中考数学专题-锐角三角函数-(解析版)
锐角三角函数
一、单选题
1．（2021·湖南中考真题）下列计算正确的是（ ）
A ．0(3)1π-=
B ．1tan302=︒
C 2=±
D ．236a a a ⋅=
【答案】A
【分析】
根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可．
【详解】
解：A 、0(3)1π-=，此选项正确；
B 、tan 303
︒=，此选项错误；
C 2=，此选项错误；
D 、235a a a ⋅=，此选项错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法，熟知相关计算法则即定义是解决本题的关键．
2．（2021·福建中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A 与河对岸工厂B 之间的距离，在学校附近选一点C ，利用测量仪器测得60,90,2km A C AC ∠=︒∠=︒=．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB 等于（ ）
A ．2km
B ．3km
C ．
D ．4km
【答案】D
【分析】
解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长．
【详解】
60,90,2km A C AC ∠=︒∠=︒=
cos AC A AB ∴=，1cos602
︒= 241
cos 2
km AC AB A ∴===． 故选D ．
【点睛】
本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键．
3．（2021·浙江金华市·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）
A ．4cos α米
B ．4sin α米
C ．4tan α米
D ．4cos α
米 【答案】A
【分析】 根据等腰三角形的性质得到12
BD DC BC ==
，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】
过点A 作AD BC ⊥，如图所示：
∵AB AC =，AD BC ⊥，
∵BD DC =， ∵DC co AC
α=， ∵cos 2cos DC AC αα=⋅=，
∵24cos BC DC α==，
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5
αβ==，则梯子顶端上升了（ ）
A ．1米
B ．1.5米
C ．2米
D ．2.5米
【答案】C
【分析】 根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD =CE sin β与AD =AB sin α，两线段作差即可．
【详解】
解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ
4
5 ===，
在Rt∵ECD中，sin
4
105
CD CD
CE
β===，
∵CD=4
10=8 5
⨯，
在Rt∵ABD中，sin
3 =
105
AD AD
AB
α==，
∵
3
10=6
5
AD=⨯，
∵AC=CD-AD=8-6=2．
故选择C．
【点睛】
本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键．
5．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75
︒≈︒≈︒≈）（）．
A．7.5米B．8米C．9米D．10米
【答案】D
【分析】
结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．
【详解】 根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=
≈ ∵6BC =米 ∵6100.60.6
BC AB ===米 故选：D ．
【点睛】
本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．
6．（2021·天津中考真题）tan30︒的值等于（ ）
A B C ．1 D ．2
【答案】A
【分析】
根据30°的正切值直接求解即可．
【详解】
解：由题意可知，tan 303
︒=
， 故选：A ．
【点睛】
本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．
7．（2021·湖南株洲市·中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面1l 于点A ，BE 与水平线2l 的夹角为()090αα︒≤≤︒，12////EF l l ，若 1.4AB =米，2BE =米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．
①当90α=︒时，h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
①当45α=︒时，h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
①当60α=︒时，h 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】C
【分析】 ∵,,A B E 三点共线，直接计算可得；
∵做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出h ；
∵方法同∵．
【详解】
如图过E 点作EM AB ⊥交AB 的延长线于点M ，
12////EF l l
∴MEB α∠=
则sin h AM AB BE α==+⨯
∵当90α=︒时,,,A B E 三点共线，
1.42 3.4 3.3h AE AB BE ==+=+=>
∴h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故∵正确．
∵当45α=︒时，
sin 1.42 1.4 1.41 2.81 2.9h AB BE α=+⨯=+≈+=<
∴h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故∵正确．
∵当60α=︒时，
sin 1.42 1.4 1.73 3.13 3.12
h AB BE α=+⨯=+⨯≈+=> ∴ h 等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故∵错误．
综上所述：说法正确的为：∵∵，共2个．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键．
8．（2021·重庆中考真题）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）
A ．69.2米
B ．73.1米
C ．80.0米
D ．85.7米
【答案】D
【分析】 作DF ∵AB 于F 点，得到四边形DEBF 为矩形，首先根据坡度的定义以及DE 的长度，求出CE ，
BE 的长度，从而得到DF =BE ，再在Rt ∵ADF 中利用三角函数求解即可得出结论．
【详解】
如图所示，作DF ∵AB 于F 点，则四边形DEBF 为矩形，
∵50DE BF ==,
∵斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，
∵在Rt ∵CED 中，15tan 2.412
DE C CE ∠=
==， ∵50DE =，
∵120CE =，
∵15012030BE BC CE =-=-=，
∵30DF =，
在Rt ∵ADF 中，∵ADF =50°， ∵tan tan 50 1.19AF ADF DF
∠=︒==， 将30DF =代入解得：35.7AF =，
∵AB =AF +BF =35.7+50=85.7米，
故选：D ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．
9．（2021·浙江中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==，点P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（ ）
A ．π
B ．π+
C
D ．2π
【答案】B
【分析】 先判断出点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，再判断出点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，找到当点P 与点A 重合时，点P 与点D 重合时，点C 1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：设BP 与CC 1相交于Q ，则∵BQC =90°，
∵当点P 在线段AD 运动时，点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，
延长CB 到E ，使BE =BC ，连接EC ，
∵C 、C 1关于PB 对称，
∵∵EC 1C =∵BQC =90°，
∵点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，
当点P 与点A 重合时，点C 1与点E 重合，
当点P 与点D 重合时，点C 1与点F 重合，
此时，tan
3PC AB PBC BC BC ∠=
===， ∵∵PBC =30°，
∵∵FBP =∵PBC =30°，CQ =122
BC =，BQ 32=，
∵∵FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCF S CC BQ =⨯==
线段1CC 扫过的区域的面积是
21203604
BCF S ππ⨯+=+． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．
10．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）
A ．tan OE m α=⋅
B ．2sin CD m α=⋅
C ．cos AE m α=⋅
D ．2sin COD S m α=⋅
【答案】B
【分析】 根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．
【详解】
解：∵AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ∵12
DE CD = 在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ∵tan =
DE OE
α ∵=tan 2tan DE CD OE αα
=，故选项A 错误，不符合题意； 又sin DE OD α= ∵sin DE OD α=
∵22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意；
又cos OE OD
α= ∵cos cos OE OD m αα==
∵AO DO m ==
∵cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意；
∵2sin CD m α=，cos OE m α= ∵2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=
⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意； 故选B ．
【点睛】
本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．
11．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，
BD =E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）
A B C ．1 D 【答案】C
【分析】
根据条件可知∵ABD 为等腰直角三角形，则BD =AD ，∵ADC 是30°、60°的直角三角形，可求出AC 长，再根据中位线定理可知EF =
2
AC 。 【详解】
解：因为AD 垂直BC ，
则∵ABD 和∵ACD 都是直角三角形，
又因为45,60,B C ∠=︒∠=︒
所以AD =BD =，
因为sin∵C =2
AD AC =， 所以AC =2，
因为EF 为∵ABC 的中位线，
所以EF =2
AC =1， 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键．
12．（2021·云南中考真题）在ABC 中，90ABC ∠=︒，若s n 3100,5i A A C ==
，则AB 的长是（ ） A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．80
【答案】D
【分析】
根据三角函数的定义得到BC 和AC 的比值，求出BC ，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵∵ABC =90°，sin ∵A =
BC AC =35，AC =100， ∵BC =100×3÷5=60，
∵AB ，
故选D ．
【点睛】
本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．
13．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度1:2.4i =．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC 的高度
约为（ ） 1.732≈）
A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米
【答案】A
【分析】
作DF∵AB于F点，EG∵BC于G点，根据坡度求出DF=50，AF=120，从而分别在∵BEG和∵CEG中求解即可．
【详解】
如图，作DF∵AB于F点，EG∵BC于G点，
则四边形DFBG为矩形，DF=BG，
∵斜坡AD的坡度1:2.4
i=，
∵
15
tan
2.412
DF
DAF
AF ∠===，
∵AD=130，
∵DF=50，AF=120，
∵BG=DF=50，
由题意，∵CEG=60°，∵BEG=45°，
∵∵BEG为等腰直角三角形，BG=EG=50，
在Rt∵CEG中，CG，
∵6
505136.
BC BG CG≈
=+=+米，故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键． 14．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，ABC 中，BD AB ⊥，BD 、AC 相交于点D ，47AD AC =，2AB =，150ABC ∠=︒，则DBC △的面积是（ ）
A
．14 B
．14 C
．7 D
．7
【答案】A
【分析】
过点C 作CE AB ⊥的延长线于点E ，由等高三角形的面积性质得到:3:7DBC ABC S S =，再证明ADB ACE ，解得47
AB AE =，分别求得AE 、CE 长，最后根据ACE 的面积公式解题． 【详解】 解：过点C 作CE AB ⊥的延长线于点E ，
DBC 与ADB △是等高三角形，
43:::4:377ADB DBC S S AD DC AC AC === :3:7DBC ABC
S S ∴= BD AB ⊥
∴ADB ACE
2
2416749ADB ACE AC S
AD S AC AC ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
47
AB AE ∴= 2AB =
72
AE ∴= 73222
BE ∴=-= 150,ABC ∠=︒
18015030CBE ∴∠=︒-︒=︒
tan 302CE BE ∴=︒⋅=
设4,3ADB DBC S x S x ==
494
ACE S x ∴=
∴49174222
x ∴=⨯⨯
x ∴=
314x ∴=
， 故选：A ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
15．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1cos 4
B =
，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B ∠=∠，连结CE ，则CE AD 的值为（ ）
A ．32 B
C
D ．2
【答案】D
【分析】 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出12
AD BD CD BC ===，在结合题意可得BAD B ADE ∠=∠=∠，即证明//AB DE ，从而得出BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，即易证()ADE CDE SAS ≅，得出AE CE =．再由等腰三角形的性质可知AE CE DE ==，
BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，即证明ABD ADE ∼，从而可间接推出
CE BD AD AB
=．最后由1cos 4AB B BC ==，即可求出BD AB 的值，即CE AD 的值． 【详解】
∵在Rt ABC 中，点D 是边BC 的中点， ∵12AD BD CD BC ===
， ∵BAD B ADE ∠=∠=∠，
∵//AB DE ．
∵BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，
∵在ADE 和CDE △中，AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∵()ADE CDE SAS ≅，
∵AE CE =，
∵ADE 为等腰三角形，
∵AE CE DE ==，BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，
∵ABD ADE ∼， ∵
DE AD BD AB =，即CE BD AD AB
=． ∵1cos 4
AB B BC ==， ∵12AB BD =，
∵2CE BD AD AB
==． 故选D ．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
16．（2021·重庆中考真题）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若
58
ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（ ）（参
1.73≈≈）
A ．9.0m
B ．12.8m
C ．13.1m
D ．22.7m
【答案】C
【分析】 分别解直角三角形Rt DEF △和Rt MBC ，求出NE 和MB 的长度，作差即可．
【详解】
解：∵50FE m =，DF 的坡度i =1：1.25，
∵:1:1.25DE EF =，解得40m DE =， ∵5258
ND DE m ==， ∵65NE ND DE m =+=，
∵60MCB ∠=︒，30m BC =，
∵tan 60MB BC =⋅︒=，
∵顶端M 与顶端N 的高度差为6513.1NE MB m -=-≈，
故选：C ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．
17．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，15AB =，20BC =，把边AB 沿对角线BD 平移，点'A ，'B 分别对应点A ，B ．给出下列结论：①顺次连接点'A ，'B ，C ，D 的图形是平行四边形；①点C 到它关于直线'AA 的对称点的距离为48；①''A C B C -的最大值为15；①''A C B C +的最小值为
）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【分析】 根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断∵，再利用等积法得出点C 到BD 的距离，从而对∵做出判断，再根据三角形的三边关系判断∵，如图，作D 关于AA '的对称点D ，DD '交AA '于,M 连接BD '，过D 作D N BC '⊥于,N 分别交,AM BD 于,,K H 证明D C ' 是最小值时的位置，再利用勾股定理求解D C '，对∵做出判断．
【详解】
解：由平移的性质可得AB //A B ''
且AB =A B ''
∵四边形ABCD 为矩形
∵AB //CD ，AB =CD =15
∵A B ''//CD 且A B ''=CD
∵四边形A B ''CD 为平行四边形，故∵正确
在矩形ABCD 中，BD
过A 作AM ∵BD ，CN ∵BD ，则AM =CN
∵S ∵ABD =12AB ·CD =12
BD ·AM ∵AM =CN =152025
⨯=12 ∵点C 到AA '的距离为24
∵点C 到它关于直线AA '的对称点的距离为48 ∵故∵正确
∵A C B C A B ''''-≤
∵当,,A B C ''在一条直线时A C B C ''-最大， 此时B '与D 重合
∵A C B C ''-的最大值=A B ''=15 ∵故∵正确，
如图，作D 关于AA '的对称点D ，DD '交AA '于,M 连接BD '，过D 作D N BC '⊥于,N 分别交,AM BD 于,,K H
则////,15,AB A B KH AB KH ''== KM 为D HD '的中位线， BD DD '⊥，
15,D K HK '∴==
由A B CD ''可得B C A D ''=， ,B C A D A D ''''∴==
,A C B C A C A D D C ''''''∴+=+= 此时最小， 由∵同理可得：12,DM D M '== 153tan =,204DC HN DBC BC BN ∠=== 设3,HN x = 则4,BN x = 由勾股定理可得：22222,DD BD BD BN D N '''+==+ ()()22
2225243034,x x ∴+=++ 整理得：2251803010,x x +-= ()()575430,x x ∴-+= 解得：12743,55
x x ==-（负根舍去）， 72171204,,55
NC x D N '∴=-==
D C '∴== ∵故∵正确
中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题附答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中， ∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题： （1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数． （2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长． （3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值． 【答案】（1）∠BME=15°； （2BC=4； （3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8， 当h≥2时，S=18﹣3h． 【解析】 试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可； （2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度； （3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC． 试题解析：解：（1）如图2， ∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）． ∴OA=OB，
中考数学专题-锐角三角函数-(解析版)
锐角三角函数 一、单选题 1．（2021·湖南中考真题）下列计算正确的是（ ） A ．0(3)1π-= B ．1tan302=︒ C 2=± D ．236a a a ⋅= 【答案】A 【分析】 根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可． 【详解】 解：A 、0(3)1π-=，此选项正确； B 、tan 303 ︒=，此选项错误； C 2=，此选项错误； D 、235a a a ⋅=，此选项错误； 故选：A ． 【点睛】 本题考查零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法，熟知相关计算法则即定义是解决本题的关键． 2．（2021·福建中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A 与河对岸工厂B 之间的距离，在学校附近选一点C ，利用测量仪器测得60,90,2km A C AC ∠=︒∠=︒=．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB 等于（ ） A ．2km B ．3km C ． D ．4km 【答案】D 【分析】
解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长． 【详解】 60,90,2km A C AC ∠=︒∠=︒= cos AC A AB ∴=，1cos602 ︒= 241 cos 2 km AC AB A ∴===． 故选D ． 【点睛】 本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键． 3．（2021·浙江金华市·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ） A ．4cos α米 B ．4sin α米 C ．4tan α米 D ．4cos α 米 【答案】A 【分析】 根据等腰三角形的性质得到12 BD DC BC == ，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】 过点A 作AD BC ⊥，如图所示：
备战中考数学综合题专题复习【锐角三角函数】专题解析附答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==， ∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线． （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20 【解析】 试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可； （2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可． 试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB， ∵∠CAB=2∠BCP， ∴∠BCP=∠CAN， ∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°， ∵点D在⊙O上， ∴直线CP是⊙O的切线； （2）如图，作BF⊥AC ∵AB=AC，∠ANC=90°， ∴CN=CB=， ∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=， ∴sin∠CAN=，
2023年中考数学一轮专题练习 ——锐角三角函数(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习 ——锐角三角函数 一、单选题（本大题共10小题） 1. （天津市2022年）tan 45︒的值等于（ ） A ．2 B ．1 C D 2. （陕西省2022年（A 卷））如图，AD 是ABC 的高，若26BD CD ==，tan 2C ∠=，则边AB 的长为（ ） A ． B ． C ． D ．3. （吉林省长春市2022年）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A ，变幅索的底端记为点B ，AD 垂直地面，垂足为点D ，BC AD ⊥，垂足为点C ．设ABC α∠=，下列关系式正确的是（ ） A ．sin AB BC α= B ．sin BC AB α= C ．sin AB AC α= D ．sin AC AB α= 4. （湖北省荆州市2022年）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在OB 上，:1:2OC BC =，连接AC ，过点O 作OP AB ∥交AC 的延长线于P ．若()1,1P ，则tan OAP ∠的值是（ ）
A B ． C ．13 D ．3 5. （四川省广元市2022年）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于点P ，则cos ∠APC 的值为（ ） A B ． C ． 25 D 6. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A ，B ，C 都在格点上，∠O =60°，则tan ∠ABC =（ ） A ．13 B ．1 2 C D 7. （贵州省黔东南州2022年）如图，PA 、PB 分别与O 相切于点A 、B ，连接PO 并延长与O 交于点C 、D ，若12CD =，8PA =，则sin ADB ∠的值为（ ）
中考数学锐角三角函数(大题培优 易错 难题)附答案解析
中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)附答案解析 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E． （1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由； （2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F． ①若CF=CD时，求sin∠CAB的值； ②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）
中考数学：锐角三角函数试卷解析
中考数学：锐角三角函数试卷解析 一、选择题 1.(2021四川巴中，第8题3分)在Rt△ABC中，C=90，sinA=1/2，则t anB的值为() A.1 B.3 C.1/2 D.2 考点：锐角三角函数. 分析：依照题意作出直角△ABC，然后依照sinA=，设一条直角边BC 为5x，斜边AB为13x，依照勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后依照三角函数的定义可求出tanB. 解答：∵sinA=，设BC=5x，AB=13x，则AC==12x， 故tanB==.故选D. 点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是把握三角函数的定义和勾股定理的运用. 2.(2021山东威海，第8题3分)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则AOB的正弦值是() A.1 B.1/2 C.3/5 D.2/3 考点：锐角三角函数的定义;三角形的面积;勾股定理 分析：作ACOB于点C，利用勾股定理求得AC和AB的长，依照正弦的定义即可求解. 解答：解：作ACOB于点C. 则AC=AB===2，则sinAOB===. 故选D. 点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边. 3.(2021四川凉山州，第10题，4分)在△ABC中，若|cosA﹣|+(1﹣tan B)2=0，则C的度数是() A.45 B.60 C.75 D.105 考点：专门角的三角函数值;非负数的性质：绝对值;非负数的性质：偶次方;三角形内角和定理
分析：依照非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，依照三角形的内角和定理可得出C的度数. 解答：解：由题意，得cosA=，tanB=1， A=60，B=45， C=180﹣A﹣B=180﹣60﹣45=75. 故选：C. 点评：此题考查了专门角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些专门角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理. 4.(2021甘肃兰州,第5题4分)如图，在Rt△ABC中，C=90，BC=3，A C=4，那么cosA的值等于() A.1/2 B.3/5 C.2 D.1/5 考点：锐角三角函数的定义;勾股定理. 分析：第一运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解. 解答：解：∵在Rt△ABC中，C=90，AC=4，BC=3， AB=. cosA=， 故选：D. 点评：本题要紧考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边. 5.(2021广州,第3题3分)如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则(). (A)(B)(C)(D) 【考点】正切的定义. 【分析】. 【答案】D 6.(2021浙江金华，第6题4分)如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x 轴所夹的锐角为，则t的值是【】
中考数学专题复习10锐角三角函数及其运用(解析版)
锐角三角函数及其运用复习考点攻略 考点一 锐角三角函数 1. 锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中.∠C =90°.AB =c .BC =a .AC =b . 正弦：sin A = ∠的对边=斜边A a c ； 余弦：cos A = ∠的邻边=斜边A b c ； 正切：tan A = ∠的对边=邻边A a b ． 【注意】根据定义求三角函数值时.一定要根据题目图形来理解.严格按照三角函数的定义求解.有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 2
【例2】A ． B C D ．1 【答案】C 【解析】把sin45° =代入原式得：原式 =2× ．故选C ． 考点三 解直角三角形 1．在直角三角形中.求直角三角形所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中.∠C =90°.则： （1）三边关系：a 2+b 2=c 2； （2）两锐角关系：∠A +∠B =90°； （3）边与角关系：sin A =cos B =a c .cos A =sin B =b c .tan A =a b ； （4）sin 2A +cos 2A =1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边.正弦、余弦很方便； 已知直边求直边.理所当然用正切； 已知两边求一边.勾股定理最方便； 已知两边求一角.函数关系要记牢； 已知锐角求锐角.互余关系不能少； 已知直边求斜边.用除还需正余弦. 【例3】如图.我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD .DC ∥AB ,BC 长为6米.坡角β为45°.AD 的坡角α为30°.则AD 的长为 ________ 米 （结果保留根号） 2sin 2 22
初中数学锐角三角函数的专项训练及解析答案
初中数学锐角三角函数的专项训练及解析答案 一、选择题 1．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，∠DOE＝120°，DE＝1，则BD＝（） A．3 B． 23 C．63D．33 【答案】B 【解析】 【分析】 证明△OBE是等边三角形，然后解直角三角形即可． 【详解】 ∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，CD=BC． ∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴OE=OD=OB． ∵∠DOE=120°，∴∠BOE=60°，∴△OBE是等边三角形，∴∠DBC=60°． ∵∠DEB=90°，∴BD= 23 sin603 DE = ? ． 故选B． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则AB两地之间的距离约为（） A．1000sinα米B．1000tanα米C．1000 tanα 米D． 1000 sinα 米 【答案】C 【解析】【分析】
在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB α=，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ?中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC AB α= ， ∴1000tan tan AC AB αα ==米． 故选：C ． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=2，cosA= 23，那么AB 的长是（ ） A ．3 B ．43 C ．5 D ．13 【答案】A 【解析】 根据锐角三角函数的性质，可知cosA= AC AB =23，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3. 故选A. 点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值 cosA=A ∠的邻边 斜边，然后带入数值即可求解. 4．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12 MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ?的面积减去CNE ?的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）
2020-2021全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题汇总附答案解析
2020-2021全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题汇总附答案解析 一、锐角三角函数 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40o ，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60o ，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝， 在Rt ADE ∆E 中， 3 1.73tan 3AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC． (1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由； (2) 求证：∠ACF=90°； (3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长. 图1 图2 【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析 （2）证明见解析 （3）=2π 【解析】 试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH （2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明 （3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题解析：（1）BE=FH．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°， ∵FH⊥BC ∴∠FHE=90° 又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90° ∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF ∴△ABE≌△EHF（SAS） ∴BE=FH (2)∵△ABE≌△EHF ∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH" ∴CH=FH ∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45° ∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45° ∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
中考数学专题训练(附详细解析)：锐角三角函数.doc
中考数学专题训练（附详细解析） 锐角三角函数 1、（专题•天津）tan60°的值等于（ ） A. 1 B. V2 C. V3 D. 2 考点：特殊角的三角函数值. 分析：根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案. 解答：解：伽60。=/5. 故选C. 点评：本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内 容. 2、（专题•温州）如图，在Z\ABC 中，ZC=90°, A. 3 1 考点：锐角三角函数的定义 分析：利用正弦函数的定义即可直接求解. 解峯解：sinA 盘更. AB 5 故选C. 点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的止弦为对边比斜边, 余弦 为邻边比斜边，正切为对边比邻边. 3、（专题•雅安）如图，AB 是OO 的直径，C 、D 是。O 上的点，ZCDB=30%过点C 作。O 的 切线交AB 的延长线于E,则sinZE 的值为（ ） 考点：切线的性质；圆周角定理；特殊角的三角函数值. AB=5, BC=3,则 sinA 的值是( B. 4 D. _4 A. B. C. D. B
分析：首先连接0C,由CE是（DO切线，可得OC丄CE,由圆周角定理，可得ZBOC=60°, 继而求得ZE的度数，则可求得sinZE的值. 解答：解：连接OC, VCE是OO切线， AOC I CE, 即ZOCE 二90。， •・• ZCDB=30°, /. ZCOB=2ZCDB=60°, /. ZE=90°・ ZCOB=30°, ・ *.sinZE=. 故选A. 点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用. 4、（专题•包头）3tan3O°的值等于（） A. V3 B. 3^3 C・勺@ D・3 考点：特殊角的三角函数值. 分析：直接把tan30。二亚代入进行计算即可. 3 解答：解：原式二3垃沁. 3 故选A. 点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键. 5、（专题•孝感）式子2cos30° - tan45° - —的值是（） A. 2忑_2 B. 0 C. 2品 D. 2 考点：特殊角的三角函数值. 分析：将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案. 解答：解:原式=2恣・1 ■（后1） 2 =V3- 1 - V3+1 =0.
2023 数学浙教版新中考 考点29锐角三角函数(解析版)
考点29锐角三角函数 考点总结 1．锐角三角函数的意义： 如图，在Rt △ABC 中，设∠C ＝90°，∠α为Rt △ABC 的一个锐角，则： ∠α的正弦sin α＝∠α的对边 斜边； ∠α的余弦cos α＝∠α的邻边 斜边； ∠α的正切tan α＝∠α的对边 ∠α的邻边 2．同角三角函数之间的关系： sin 2A ＋cos 2 A ＝ 1 ，tan A ＝s inA cos A ． 3．互余两角三角函数之间的关系： (1)sin α＝cos (90°－α)，cos α＝sin (90°－α)． (2)tan α·tan (90°－α)＝1. (3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小． (4)对于锐角A 有0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0. 4．特殊的三角函数值： 5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系：
(1)三边的关系(勾股定理)：a 2 ＋b 2 ＝c 2 ． (2)两锐角间的关系：∠A ＋∠B ＝90°． (3)边与角的关系：sin A ＝cos B ＝a c ， cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a ． 6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题． (1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图． (2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角， (3)坡角：坡面与水平面的夹角． (4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h 表示坡的铅直高度，用l 表示坡的水平宽度，用i 表示坡度，即i ＝h l ＝tan α，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图． (5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角，如图324．
2023年中考数学解答题专项复习：锐角三角函数(附答案解析)
2023年中考数学解答题专项复习：锐角三角函数1．（2021•兰州）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 2．（2021•攀枝花）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数） （参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60） 3．（2021•巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、 B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，
专题29 锐角三角函数与运用【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习(全国通用)(解析版)
考点1：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值 1．锐角三角函数的概念 （1）锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. （2）在∠ABC 中，∠C=90°, ∠A 的正弦sin A=斜边的对边A ∠,∠A 的余弦cos A=斜边的邻边A ∠,∠A 的正切tan A=的邻边 的对边A A ∠∠. 2．特殊角的三角函数值(填写下表) 三角函数 30° 45° 60° sin a 2 1 2 2 2 3 cos a 2 3 22 21 tan a 33 1 3 【例1】（2021·湖南）下列计算正确的是（ ） A ．0(3)1π-= B ．1tan302=︒ C ．42=± D ．236a a a ⋅= 【答案】A 【分析】根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则 分别计算即可． 【详解】 解：A 、0(3)1π-=，此选项正确； B 、3tan 303 ︒=，此选项错误； 专题29 锐角三角函数与运用 知识导航 知识精讲
C 、42=，此选项错误； D 、235a a a ⋅=，此选项错误； 故选：A ． 【例2】如图，O 是ABC 的外接圆，CD 是O 的直径．若10CD =，弦6AC =，则cos ABC ∠的值为（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34 【答案】A 【分析】 连接AD ，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD 的长，然后即可求得 ∠ADC 的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC =∠ADC ，从而可以得到 cos ∠ABC 的值． 【详解】 解：连接AD ，如右图所示， ∠CD 是∠O 的直径，CD =10，弦AC =6， ∠∠DAC =90°， ∠AD =22CD AC -=8， ∠cos ∠ADC =810AD CD ==45 ， ∠∠ABC =∠ADC ， ∠cos ∠ABC 的值为 45， 故选：A ． 针对训练
【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习 锐角三角函数 (解析版)
锐角三角函数 一．选择题（共10小题） 1．如图, 河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：, 坡高BC＝2m, 则迎水坡宽度AC的长为（） A．2m B．4m C．2m D．6m 2．在Rt△ABC中, ∠C＝90°, BC＝1, AB＝3, 下列各式中, 正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝ 3．如图, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, AB＝15, cos B＝, 则AC的长为（） A．9B．10C．12D．13 4．如图, ∠AOB是放置在正方形网格中的一个角, 则sin∠AOB的值为（） A．B．C．D． 5．如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, CD⊥AB, 那么下列结论正确的是（）A．CD＝AB•tan B B．CD＝BC•sin B
C．CD＝AC•sin B D．CD＝AD•cot A． 6．如图, AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝4, tan C＝2, 则边AB的长为（） A．2B．4C．3D．6 7．已知在Rt△ABC中, ∠C＝90°, AC＝4, BC＝6, 那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝ 8．在Rt△ABC中, ∠C＝90°, BC＝3, AB＝4, 那么下列各式中正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cot A＝ 9．如图所示, △ABC的顶点是正方形网格的格点, 则tan B的值为（） A．B．C．D．1 10．在Rt△ABC中, 各边的长度都缩小4倍, 那么锐角A的余切值（）A．扩大4倍B．保持不变C．缩小2倍D．缩小4倍 二．填空题（共5小题） 11．在△ABC中, 若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0, 则∠C的度数是． 12．在Rt△ABC中, ∠C＝90°, AB＝5, BC＝3, 则tan B＝． 13．要求tan30°, 我们可以通过构造直角三角形进行计算：在Rt△ABC, ∠C＝90°, AB＝2, AC＝1, 利用三角函数定义可求出tan30°的值, 请在此基础上计算tan75°＝（结果保留根号）． 14．已知∠α为锐角, 且sinα＝, 则∠α＝．
2020年中考数学考点提分专题十二锐角三角函数(解析版)
2020年中考数学考点提分专题十二锐角三角函数（解析版） 必考点1 锐角三角函数：在直角三角形ABC 中，∠C 是直角， 1、正弦：把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作c a A = sin 2、余弦：把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作c b A =cos 3、正切：把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作b a A =tan 4、余切：把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作a b A =cot 说明：由定义可以看出tanA ·cotA ＝l （或写成A A cot 1tan =） 5、锐角三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 说明：锐角三角函数都不能取负值。 0＜ sinA ＜ l ； 0＜cosA ＜；l 6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 即sinA ＝cos （90°一 A ）＝cosB ；cosA ＝sin （90°一A ）＝sinB 7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 即tanA ＝cot （90°一 A ）＝cotB ；cotA ＝tan （90°－A ）＝ tanB 说明：式中的90°一A = B 。 8、三角函数值的变化规律 （1）当角度在0°— 90°间变化时，正弦值（正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）当角度在0°—90°间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。 9、同角三角函数关系公式 （1）1cos sin 22=+B A ；（2）A A cot 1tan = ；（3） tanA ＝A A cos sin 10．一些特殊角的三角函数值
中考数学专题复习29锐角三角函数与运用专题(全国通用解析版)
锐角三角函数与运用 考点1：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值 1．如图.在平面直角坐标系内有一点P（3.4）.连接OP.则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（） A．3 4 B． 4 3 C． 3 5 D． 4 5 【答案】D 【分析】 作PM⊥x轴于点M.构造直角三角形.根据三角函数的定义求解．【详解】 解：作PM⊥x轴于点M. ⊥P（3.4）. ⊥PM=4.OM=3. 由勾股定理得：OP=5. ⊥ 4 sinα 5 PM OP ==. 故选：D
2．如图.在边长为2的正方形ABCD 中.若将AB 绕点A 逆时针旋转60︒.使点B 落在点B '的位置.连接B B '.过点D 作DE ⊥BB '.交'BB 的延长线于点E .则B E '的长为（ ） A 31 B ．232 C 233 D 433 【答案】A 【分析】 利用已知条件求得30CBF EDF ∠=∠=︒,设EF x =.将,,DF FC BF 都表示出含有x 的代数式.利用tan FBC ∠的函数值求得x .继而求得B E '的值 【详解】 设,BE CD 交于点F , 由题意：,60AB AB BAB ''=∠=︒ ∴ABB '是等边三角形
∴60ABB '∠=︒ 四边形ABCD 为正方形 90ABC C ∴∠=∠=︒ ⊥⊥CBF =90°-60°=30°. DE ⊥BB ' 90E ∴∠=︒ 又DFE CFB ∠=∠ 30EDF CBF ∴∠=∠=︒ 设EF x = 则 221sin 2EF EF DF EF x EDF ====∠ 22FC DC DF x =-=- =244sin FC BF FC x CBF ==-∠ 43BE BF EF x =+=- 43223B E BE BB x x ''=-=--=- 3tan FC CBF BC ∠= =2232x -∴=解得：31x =323(131B E '∴=-⨯= 故选A
专题14 锐角三角函数(第01期)-2020年中考真题数学试题分项汇编(解析版)
专题14 锐角三角函数 1．（2020•广州）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan ∠BAC=2 5 ，则此斜坡的水平距离AC为 A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A 【解析】∵∠BCA=90°，tan∠BAC=2 5 ，BC=30m，∴tan∠BAC= 2 5 ＝ BC AC ＝ 30 AC ，解得AC=75， 故选A． 【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用–坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2020•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈ 0.4，tan65°≈2.1） A．3.2米B．3.9米 C．4.7米D．5.4米 【答案】C 【解析】如图，过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，
设DF =x ， ∵tan65°= OF DF ，∴OF =x tan65°，∴BF =3+x ， ∵tan35°=OF BF ，∴OF =（3+x ）tan35°，∴2.1x =0.7（3+x ），∴x =1.5， ∴OF =1.5×2.1=3.15，∴OE =3.15+1.5=4.65≈4.7，故选C ． 【名师点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 3．（2020•甘肃）在△ABC 中，∠C =90°，tan A = 3 ，则cos B =__________． 【答案】 12 【解析】∵tan A = 3 ，∴∠A =30°，∵∠C =90°，∴∠B =60°，∴cos B =cos60°=12． 故答案为： 1 2 ． 【名师点睛】在解决解直角三角形形的问题中，牢记特殊角的三角函数值可以快速准确解题． 4．（2020•杭州）在直角三角形ABC 中，若2AB =AC ，则cos C =__________． 【答案】 2或 5 【解析】若∠B =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC ，所以cos C =BC AC == 若∠A =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC =， 所以cos C = AC BC == 综上所述，cos C ． 【名师点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算． 5．（2020•深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC ，AD =600米，AD ⊥BC ，施工队站在点D 处看向B ，测得仰角为45°，再由D 走到E 处测量，DE ∥AC ，ED =500米，测得仰角为53°，求隧道BC
中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题及答案解析
中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题及答案解析 一、锐角三角函数 1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC•cos30°=3 =⨯=米， 639 ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF中， BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高 2．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，. （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的值. 【答案】（1）证明见解析
（2） 【解析】 试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形 （2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP 试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC ∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF ∵AD//BC ∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF ∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF ∴AB=BE AB=AF ∴AF=AB=BE ∵AD//BC ∴ABEF为平行四边形 又AB=BE ∴ABEF为菱形 （2）作PH⊥AD于H 由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5 ∴tan∠ADP= 考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数 3．已知：△ABC内接于⊙O，D是弧BC上一点，OD⊥BC，垂足为H． （1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH； （2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证： ∠ACD=∠APB； （3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB 于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣