初三解直角三角形知识点和练习题
解直角三角形知识点及跟踪习题
解直角三角形知识点及跟踪习题 考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 知识点二．三角函数对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的. 因此这几个比值都是锐角∠A 的函数，记作sin A 、cos A 、tan A 、cot A ，即sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数.知识点三。
锐角三角函数的特征与性质：（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1 （2）tan A •cot A =1（3）补充：sin tan cos AAA，cos cot sin AA A （视情况定） （4）补充：已知锐角∠A ，则22sin cos 1AA（视情况定）（5）锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，①.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ②.余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ③.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ④.余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大 知识点四、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60°90° sinα 0 21 22 23 1 cos α 1 23 22 21 0 tan α 0 33 1 3不存在 cot α不存在3133 0︒15020米30米从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.（2在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图19.4.5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度 （或坡比）.记作i ,即i =lh . 坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6. 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝lh=tan a 显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡. 知识点六．1.解直角三角形：在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边共5个元素，由已知元素求出未知元素 的过程，叫做解直角三角形。
部编数学九年级下册专题07解直角三角形及其应用(重难点突破)(解析版)_new含答案
专题07 解直角三角形及其应用重点会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形难点会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型，解决某些简单的实际问题易错用三角函数计算式，忽视“在直角三角形中”这个条件一、解直角三角形【例1】在Rt ABC △中，1cos 2A =，那么sin A 的值是（ ）A B C D ．12【答案】A【详解】解：设A Ð相邻直角边为x ，∵1cos 2A =，∴斜边=2x ，根据勾股定理可得A Ð对边==，∴sin A ==故选A ．【例2】如图，在ABC V 中，1sin 2B =，8AB =，5AC =，且C Ð为锐角，cos C 的值是（）A ．35B ．45CD ．34【答案】A【详解】解：如图，过点A 作AD BC ^于点D ．∵1sinB=2AD AB =，8AB =，∴4=AD ，∵5AC =，∴3CD ==，∴3cosC=5CD AC =．故选：A ．二、解直角三角形在实际问题中的应用【例1】3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树AB 垂直于水平平台BC ，通往平台有一斜坡CD ，D 、E 在同一水平地面上，A 、B 、C 、D 、E 均在同一平面内，已知3BC =米，5CD =米，1DE =米，斜坡CD 的坡度是3:4，李同学在水平地面E 处测得树冠顶端A 的仰角为62°，则樱花树的高度AB 约为（ ）（参考数据：sin620.88°≈，cos620.47°≈，tan 62 1.88°»）A ．15米B ．13米C ．12米D ．9米【答案】C 【详解】解：延长AB 交水平面于F ，过点C 作CG ^水平面于G ，如图所示：在Rt CDG △中，斜坡CD 的坡度是3:4，5CD =米，设3,4CG x GD x ==，则55CD x ===，解得1x =，3CG \=米，4GD =米，Q 3BC =米，1DE =米，3418FE FG GD DE \=++=++=米，在Rt AFE V 中，90AFE Ð=°，62AEF Ð=°，则tan 62AF AB BF FE FE+°==，Q tan 62 1.88°»，8FE =米，3BF CG ==米，31.888AB +\=，解得12AB »米，故选：C ．【例2】如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度1200AC =m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角30a =°，则飞机A 与指挥台B 的距离是（ ）A ．1200B ．C ．2400D ．【答案】C 【详解】解：由题意得，30B a Ð=°=，90C Ð=°，∴22400AB AC ==m ，答：飞机A 与指挥台B 的距离为2400m,故选C ．三、用三角函数计算时，忽视了“在直角三角形中”这个条件解锐角三角形或钝角三角形时，要注意添加适当的辅助线，构造直角三角形.【例1】如图，在ABC V 中，60BAC Ð=°，45B Ð=°，BC =AD 平分BAC Ð交BC 于点D ，则线段AD 的长为（ ）A ．B ．12C ．D ．6【答案】B 【详解】解：如图，过点,C D 作AB 的垂线，垂足分别为,F E ，在Rt CFB △中，sin BF BC B =´=在Rt ACF V 中，12sin CF AC CAB ===Ð，∵ABC V 中，60CAB Ð=°，45B Ð=°，∴75ACD Ð=°，∵AD 是BAC Ð的角平分线，∴30DAB Ð=°，∴75ADC DAB B Ð=Ð+Ð=°，∴ADC ACD Ð=Ð，∴12AC AD ==．故选:B ．【例2】如图在一笔直的海岸线l 上有相距3km 的A ，B 两个观测站，B站在A 站的正东方向上，从A 站测得船C 在北偏东60°的方向上，从B 站测得船C 在北偏东30°的方向上，则船C 到海岸线l 的距离是（）A ．32km B C D ．【答案】C【详解】解：过C作CD 垂直于海岸线l 交于D 点，根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB ，∴BC=AB=3km ，在Rt △CBD 中，，故选择：C ．一、单选题1．在学校操场旁边的台阶上有一个“翔”的雕塑，雕塑后面是很长的一段台阶CD ，意寓拥抱梦想，展翅翱翔，如图，雕塑的上边缘点A 距地面平台高度为AB 的长，点B 距台阶底端C 的距离1BC =米，台阶底端C 与顶端D 的连线可视作坡度为1:0.75的斜坡，且40CD =米．若A ，B ，C ，D 四点在同一平面内，且在点D 看石雕上边缘点A 的俯角为50°，则雕塑“翔”的高度AB 约为（ ）米．（参考数据：sin 500.77°»，cos500.64°»，tan 50 1.19°»）A ．2.21B ．2.20C ．2.25D ．2.31【答案】C 【详解】解：过A 作AF D E ^于F ，如图所示：则四边形ABEF 为矩形，AB EF \=，AF BE =，Q 台阶底端C 与顶端D 的连线可视作坡度为1:0.75的斜坡，\设4DE x =米，则3CE x =米，由勾股定理得：222CD DE CE =+，即22240(4)(3)x x =+，解得：8x =，则324CE x ==（米)，432DE x ==（米)，12425BE BC CE \=+=+=（米)，25AF \=米，Q 在点D 看石雕上边缘点A 的俯角为50°，50DAF \Ð=°，在Rt DAF D 中，tan DF DAF AFÐ=，tan 25 1.1929.75DF AF DAF \=×л´=（米)，则3229.75 2.25AB FE DE DF ==-=-=（米)故选：C ．2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝，点E 是边BC 上一动点，B 关于AE 的对称点为B ′，过B ′作B ′F ⊥DC 于F ，连接DB ′，若△DB ′F 为等腰直角三角形，则BE 的长是（ ）A ．6B ．3C ．D ．6【答案】D【详解】解：6,AB AB AB AD AD ===¢\=¢Q ,又△DB′F 为等腰直角三角形，045FDB \Ð=,又在矩形 ABCD ，090ADF Ð=,045ADB \=¢Ð,又AB AD ¢= AB D \¢V 等腰直角三角形,090AB D \=¢Ð,090AB E Ð=¢Q ,D BE \¢、、三点共线，在等腰直角△RCE ，CE=CD=6,\BE=BC-CE=6,故选D..3．如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，点B ，点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内⊙C 上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径为（ ）A．6B．5C．3D 【答案】C【详解】∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∴∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°﹣120°=60°，∴∠BAO=60°，∵点A的坐标为（0，3），∴AO=3，∴cos∠BAO=AO AB，∴AB=3cos60°=6，∴⊙C的半径为3，故选：C．4．如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D 处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45º，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为（）A．3米B．4.5米C．6米D．8米【答案】B【详解】解：如图所示,设两个交点分别为F、P, 根据题意得FC=DP=DE=1.5米,故∠DPE=∠E, 在Rt△PDE中, ∠DPE=∠E=45o,又知DP//BA,故∠BAE=∠DPE=∠E,则AB=BE.设AB=x米,BD=(x-1.5)米.因为FC//AB,即∠DFC=∠DAB,∠FDC=∠ADB,所以△ABD~△FCD, 则AB BD FC CD=即：1.51.51x x-=，移项并合并系数化为1, 解得：x=4.5,即AB=4.5米，故选B.5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosB＝34，则BC的长为( )A．6B．C D 【答案】A【详解】解：因为在直角△ABC中,cos B=34 BCAB=,所以3 84 BC=,解得:BC=6．故选A．6．如图，△ABC是等边三角形，AB=4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（）A．2B．C D1【答案】D【详解】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，设DM＝x，在Rt△CDM中，CM，∵线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，∴ED ＝EF ，∠DEF ＝90°，易得△EDM ≌△FEN ，当D 在BC 上时，如图1，DM ＝EN ＝x ，EM ＝NF ＝，在Rt △AFN 中，AF 2＝2＋(2+x)2＝24(43x ++当D 在BC 的延长线上时，如图2，DM ＝EN ＝x ，EM ＝NFx ＋2，在Rt △AFN 中，AF 2＝2＋(2-x)2＝24(43x ++当xAF 2有最小值4+，∵24(43x ++4+∴AF 1=+，故选D.二、填空题7．要测量河岸相对两点A ，B 的距离，已知AB 垂直于河岸BF ，先在BF 上取两点C ，D ，使CD ＝CB ，再过点D 作BF 的垂线段DE ，使点A ，C ，E 在一条直线上，如图，测出DE ＝20米，则AB 的长是_____米．【答案】20【详解】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥AB ，∴∠ABC ＝∠EDC ＝90°，在△ABC 和△EDC 中，ABC EDC 90BC DC ACB ECD °ìÐ=Ð=ï=íïÐ=Ðî，∴△ABC ≌△EDC （ASA ），∴AB ＝ED ＝20．故答案为：20．8．已知△ABC ，O 为AC 中点，点P 在AC 上，若OP=，tan ∠A= 12，∠B=120°，AP=________．【答案】【详解】作CD ⊥AB 的延长线于D ．∵∠ABC ＝120°，∴∠CBD ＝60°．∵BC ＝∴DC ＝BC •sin60°＝=3．∵tan ∠A 12=，∴AD ＝6，∴AC ==∴AO =∵OP =，∴AP ＝故答案为三、解答题9．如图，已知Rt ABC V 中，90C Ð=°，AC BC ==ABC V 绕点A 顺时针方向旋转60°到AB C ¢V ，点B ，C 的对应点分别为点B ¢，C ¢，连接C B ¢，（1）依题意，尺规作图补全图形；（保留作图痕迹，不写作法与证明）（2）求C B ¢的长．【答案】（1）见图（21-【详解】解（1）（2）∵图形旋转后，对应各边相等，ABC V 绕A 顺时针旋转60°，可得'AB AB =∴'ABB V 是等边三角形又∵在'ABC V 和''B BC V中AB B B BC BC AC B C ¢¢¢¢ì¢===¢ïíïî∴'''ABC B BC V V ≌，即'BC 平分'ABB Ð延长'BC 交'AB 于D因为Rt ABC V中，AC BC ==2AB ==∵ 'ABB V 是等边三角形，BD 平分'ABB Ð∴根据等腰三角形“三线合一”得BD 垂直平分'AB所以BD 由于''AC B ACB V V ≌ ，又是等腰直角三角形，BD 垂直平分'AB ，则1'C D AD ==所以1''C B BD C D =-=1 .10．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB 长为10m ，扶梯AB 的坡度i为．改造后的斜坡式动扶梯的坡角ACB Ð为15°（1）请你求出AD 的长度；（2）请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC 的长度．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin150.26,cos150.97,tan150.27°°°»»»）【答案】（1）AD=5；（2）19.2m【详解】（1）解∵扶梯AB 的坡度i 为，:AD DB \=DB =．在Rt ADB V 中，222AD DB AB +=Q ，222310AD AD \+=解得5AD =±．因为5-不合题意，所以5AD =．（2）在Rt ACD V 中，sin AD ACD ACÐ= ，519.2(m)sin150.26AD AC °\=»» 答：改造后的自动扶梯AC 的长约为19.2m ．一、单选题1．如图，四边形ABCD 内接于O e ，3AB =，5AD =，120BCD Ð=°，点C 为»BD的中点，则线段AC 的长为（ ）ABC．D【答案】B【详解】解：过C 作CE AB ^交AB 延长线于点E ，CF AD ^于F ，则90E CFD CFA Ð=Ð=Ð=°，∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴180BAD BCD Ð+Ð=°，∵120BCD Ð=°∴60BAD Ð=°∵点C 为弧BD 的中点，∴»»BCCD =，∴1302BAC DAC BAD Ð=Ð=Ð=°，BC CD =，∵CE AB ^，CF AD ^，∴CE CF =，∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴D CBE Ð=Ð，在CBE △和CDF V 中CBE D E CFDCE CF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()AAS CBE CDF ≌V V ，∴BE DF =，在AEC V 和AFC V 中E AFC EAC FACAC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()AAS AEC AFC ≌V V ，∴AE AF =，设BE DF x ==，∵3AB =，5AD =，∴3AE AF x ==+，∴53x x =++，解得：1x =，即4AE =，∴cos30AE AC =°故选：B ．2．如图，沿AB 方向架桥BD ，以桥两端B 、D 出发，修公路BC 和DC ，测得150ABC Ð=°，1500m BC =，105BCD Ð=°，则公路DC 的长为（ ）A ．900mB ．C ．mD ．m【答案】D 【详解】过点C 作CE BD ^，垂足为E ，Q 150ABC Ð=°，18015030CBD \Ð=°-°=°，903060BCE \Ð=°-°=°，Q 105BCD Ð=°，\1056045DCE Ð=°-°=°，在Rt BCE V 中，30CBE Ð=°，1500BC =m ，\17502CE BC ==m ，在Rt CDE V 中，45DCE Ð=°，CD \==，故选：D ．3．如图，直线12l l ∥，O e 与1l 和2l 分别相切于点A 和点B ，点M 和点N 分别是1l 和2l 上的动点，MN 沿1l 和2l 平移，若O e 的半径为1，60AMN Ð=°，则下列结论不正确的是（ ）A ．1l 和2l 的距离为2B ．当MN 与O e 相切时，AM =C ．MN =D ．当90MON Ð=°时，MN 与O e 相切【答案】B【详解】连结OA OB 、，如图1，∵O e 与1l 和2l 分别相切于点A 和点B ，∴1OA l ^，2OB l ^，∵12l l ∥，∴点A 、O 、B 共线，∴AB 为O e 的直径，∴1l 和2l 的距离为2；作NH AM ^于H ，如图1，则2MN AB ==，∵60AMN Ð=°，∴sin 60NHMN °=，∴MN==当MN与Oe相切，如图2，连结OM ON，，当MN在AB左侧时，11603022AMO AMN°°Ð=Ð=´=，在Rt AMO△中，tanOAAMAMOÐ=，即AM=在Rt OBN△中，60ONB BNMÐ=Ð=°，tanOBONBBNÐ=，即BN==，当MN在AB右侧时，AM=∴AM；当90MONÐ=°时，作OE MN^于E，延长NO交1l于F，如图2，∵OA OB=，∴Rt RtOAF OBNV V≌，∴OF ON=，∴MO垂直平分NF，∴OM平分NMFÐ，∴OE OA=，∴MN为Oe的切线．故选：B．4．如图，在四边形ABCD中，BC DC^，30BDCÐ=°，8AD=，AB=AC的最小值为（ ）A．B．5C．6D．【详解】解：过点A 作AE AD ^，且30ADE Ð=°，∵8AD =，∴AE AD ==∴DE BD AD CD ==，ADC EDB Ð=Ð， ∴EDB ADC V V ∽，∴EB BD AC CD ==，∴AC =，∴EB 最小时，AC 最小，∵EB AB AE ³-，∴EB 最小为=∴AC 5=， 故选B ．5．为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离 2.7DE =米，小明身高 1.5BF =米，他在点A 测得点D 的仰角是在点B 测得点D 仰角的2倍，已知小明在点B 测得的仰角是a ，则体温监测有效识别区域AB 的长为（ ）米．（ ）A ．66tan tan 255a a -B ．665tan 5tan 2a a -C ．665tan 25tan a a-D ．556tan 6tan 2a a -【详解】解：由题意可知：四边形CEFB 是矩形，90DCA \Ð=°， 1.5CE BF ==米，2.7DE =Q 米，2.7 1.5 1.2DC DE CE \=-=-=（米），在Rt DCB △中，DBC a Ð=，1.26tan tan 5tan DC BC DBC a a\===Ð（米），在Rt DCA V 中，22DAC DBC a Ð=Ð=，1.26tan tan 25tan 2DC AC DAC a a\===Ð（米），665tan 5tan 2AB BC AC a a æö\=-=-ç÷èø(米)，故选：B ．6．在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC Ð=°，4AB =，4BC =，1AD =（如图）．点O 是边CD 上一点，如果以O 为圆心，OD 为半径的圆与边BC 有交点，那么OD 的取值范围是（ ）A ．25OD ££B ．22950OD ££C ．2085926OD ££D ．2095926OD ££【答案】C【详解】解：如图1，过点D 作DH BC ^于H ，则1AD BH ==，4AB DH ==，413HC =-=，在Rt DHC △中，5CD ==，当O e 与BC 相切时，此时O e 与线段BC 有一个公共点，此时半径最小，设OD OE x ==，则5OC x =-，在Rt COE △中，4sin 5OE DH C OC DC ===，∴4(5)5OE x =-，由OD OE =得，4(5)5x x =-，解得209x =；如图2，当以OD 为半径的O e 过点B 时，半径最大，过点O 作OF BC ^于F ，设OD OB y ==，则5OC y =-，在Rt COF △中，4sin 5OF DH C OC DC ===， ∴()445455OF y y =-=-，()335355FC y y =-=-，∴3415BF FC y =-=+，在Rt BOF △中，由勾股定理得，222BF OF OB +=即22234(1)(4)55y y y ++-=，解得8526y =，即O e 的最大半径为8526，所以当以O 为圆心，OD 为半径的圆与边BC 有交点，那么OD 的取值范围为2085926OD ££，故选：C ．二、填空题7．如图，AB 为O e 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，若4,3AB CD ==，则sin APD Ð=_______．【详解】解：连接AD ，∵,B C APB CPD Ð=ÐÐ=Ð，∴ABP DCP ∽△△，∴43AP AB DP DC ==，∴设4AP k =，则3DP k =，∵AB 为O e 的直径，∴90ADB Ð=°，∴AD ===，∴sin AD APD AP Ð===．8．如图，线段AB ，CD 分别表示甲、乙建筑物的高，AB MN ^于点B ，CD MN ^于点D ，两座建筑物间的距离BD 为35m ．若甲建筑物的高AB 为20m ，在点A 处测得点C 的仰角a 为45°，则乙建筑物的高CD 为___________m ．【答案】55【详解】解：过点A 作AE CD ^于点E ，如图，可得，四边形ABDE 是矩形，∴35m,20m,AE BD ED AB ====∵45CAE °Ð=∴tan 4535mCE AE °=×=∴352055mCD CE ED =+=+=故答案为：55三、解答题9．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为180m ，这栋楼有多高（结果取整数）？ 1.73»）【答案】415m【详解】解：如图，由题意可得，=30=60=180m ==90BAD CAD AD ADC ADB ааÐа，，，，在Rt ADB V 中，30180BAD AD а=，=m ，∴=tan 30=180BD AD ×°=在Rt ADC V 中，60180CAD AD а=，=m ，∴tan 60CD AD =×°=，∴415BC BD CD ==»=+m ，即这栋楼的高度约为415m ．10．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且AFE B Ð=Ð．(1)求证：ADF DEC ∽△△；(2)连接AE ，当ABE V 为直角三角形时，8AB =，AD =AF =sin ABE Ð=______．【答案】(1)见解析；(2)34．【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥，AD BC ∥，∴ADE CED Ð=Ð，180B C Ð+Ð=°，又∵AFE B Ð=Ð，180AFE AFD Ð+Ð=°，∴C AFD Ð=Ð，∴ADF DEC ∽△△；（2）解：连接AE ，∵ADF DEC∽△△∴AD AF DE CD ==12DE =，∴DE AD>当90AEB Ð=°时，如下图：则90DAE AEB Ð=Ð=°，由勾股定理可得：6AE ==，63sin 84AE ABE AB Ð===，当90BAE Ð=°时，如下图：由题意可得：B ADC Ð=Ð，180B BAD Ð+Ð=°，ADE ADC Ð<Ð∴90B DAE Ð+Ð=°∴90DAE ADE DAE ADC B DAE Ð+Ð<Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴18090AED DAE ADE Ð=°-Ð-Ð>°∴AD DE >与AD DE <矛盾，∴90BAE й°，即此种情况无解，综上，故答案为：34。
数学北师大版九年级下册——解直角三角形(知识点+练习)
解直角三角形1、了解直角三角形的概念，掌握解直角三角形的常见类型与解法；2、会将求非直角三角形中的边、角问题转化为解直角三角形问题。
1、解直角三角形的概念由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫作解直角三角形。
特别提醒：①解直角三角形要注意每个三角形都有6个元素,即3个角和3条边。
②在解直角三角形的问题中,除直角外,还需知道其他两个条件,而且至少有一个条件是关于边的。
这是由直角三角形的边角关系决定的。
2、解直角三角形的常见类型及解法解直角三角形的常见类型有两种:(1)已知两边(两条直角边或一条直角边和斜边)(2)已知一边和一角(角必须为两锐角之一)特别提醒：(1)在求解直角三角形的有关问题时,要画出图形帮助分析解决问题。
(2)在解直角三角形时,正确选择关系式是关键:①若求边:一般用未知边比已知边,去寻找已知角的某一个三角函数；②若求角:一般用已知边比未知边,去寻找未知角的某一个三角函数；③求某些未知量的途径往往不唯一。
选择关系式常遵循以下原则:一是选择可以直接应用原始数据的关系式;二是选择便于计算的关系式,若能用乘法计算就避免用除法计算。
(3)对于含有非基本量的直角三角形,比如有些条件中已知两边之和,中线、高线、角平分线的长,角之间的关系,锐角三角函数值,周长,面积等,解决这类问题,我们常用的解题方法是将非基本量转化为基本量,最终达到解直角三角形的目的。
考法1 非直角三角形问题的解法在非直角三角形的问题中,往往是通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高,对于较复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法,构造出直角三角形。
(1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形(2)作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的(3)连接对角线,可以把矩形、菱形和正方形转化为含直三角形的图形考法2“双直角三角形”问题的解法双直角三角形是指一条直角边重合,另一条直角边共线的两个直角三角形。
中考《解直角三角形》复习练习题及答案
中考数学复习专题练习解直角三角形一、选择题：1、在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2、在直角△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c,那么下列关系中,正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=3、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )A．2 B． C． D．4、在Rt ABC中，∠C=90°，sinB=,则tanA的值为( )A. B. C. D.5、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A． B． C． D．6、在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（）A. B．2 C．1 D．27、如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB值为( )A. B. C. D.8、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A.10mB.mC.15m D．m9、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4米B.6米C.12米D.24米10、如图,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )A. B.－1 C．2－ D.11、如图,已知的三个顶点都在方格图的格点上，则的值为( )A. B. C. D.12、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A． B． C． D．二、填空题:13、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=________．14、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，cosB=，则BC= ．15、如图，先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为______米．16、如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为______．17、如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1,则tan∠ADN= ．18、如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(+) tan+tan.（填“＞”“＝”“＜”）19、如图在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°若 AD=,则AB=__________20、如图所示的半圆中，是直径，且，，则的值是．21、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则________.22、如图,在中,是边边上的中线,如果,tanB值是________23、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米.24、如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°= ．三、简答题:25、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c=,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(-b)=0有两个相等的实数根，方程2x2-(10sin A)x＋5sin A=0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．26、已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，联结CE. 求cos∠ACE和tan∠ACE的值.27、如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）28、如图，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF=60°，求河流的宽度CF的值．（结果精确到个位）29、张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）30、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．31、中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）参考答案1、A．2、C．3、B．4、D.5、B．6、B.7、B.8、A．9、B.10、A.11、D.12、B．13、答案为：60°14、答案为：9．15、答案为：（米）．16、答案为24．17、答案为：4．3 18、答案为：>. 19、答案为：.20、答案为： ;21、答案为：2 ;22、答案为：23、答案为：137．24、答案为：2﹣．25、解：∵方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)=0有两个相等的实数根，且c=5，∴△=(2a)2－4(c＋b)(c-b)=0，∴a2＋b2=c2,则△ABC为直角三角形，且∠C=90°．设x1，x2是方程2x2－(10sin A)x＋5sin A=0的两个根，则根据根与系数的关系有x1＋x2=5sin A，x1·x2=sin A．∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2x l·x2=(5sin A)2－2×sin A=6，解得sinA=或sinA=－(舍去)，∴a=csin A=3，b==4，S△ABC=ab==18．26、解：过点作于点，∵四边形是正方形，∴平分，．∴，．∵是中点，∴．设，则，，．在Rt△AEF中，，．∴．∴，．27、【解答】解：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里．28、【解答】解：过点C作CE∥AD，交AB于E∵CD∥AE，CE∥AD∴四边形AECD是平行四边形∴AE=CD=50m，EB=AB﹣AE=50m，∠CEB=∠DAB=30°又∠CBF=60°，故∠ECB=30°∴CB=EB=50m∴在Rt△CFB中，CF=CB•sin∠CBF=50•sin60°≈43m答：河流的宽度CF的值为43m．29、解：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，∴∠CAB=15°∵∠CBD=60°，∠DBE=30°，∴∠CBD=30°，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∴∠CAB=∠ACB=15°，∴AB=BC=20，在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，∴DE=BEtan∠DBE=10×，∴CD=CE﹣DE=≈11.5，答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．30、：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，所以，sin∠DAF===；（2）证明：在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．31、【解答】解：过A作AD⊥CF于D，由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD=，则AD=AC•sin∠ACD=250≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．。
(完整版)初三解直角三角形练习题基础
初三解直角三角形练习题一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm=则SinA= cosA= 3、Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=54,AB=10,则BC ＝4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\=5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB=7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB= 二、选择题1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ）A 、小于300B 、大于300C 、大于450且小于600D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、A a sin C 、acosA D 、Aa cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、15005、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ）A 、41cmB 、21cmC 、43cmD 、23cm三、求下列各式的值1、sin 2600+cos 26002、sin600－2sin300cos3003. sin300－cos 24504. 2cos450+|32 |5. 0045cos 360sin 2+ 6. 130sin 560cos 300-7. 2sin 2300·tan300+cos600·cot300 8. sin 2450-tan 2300四、解答下列各题1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，，AB ＝13，BC ＝5， 求sinA, cosA, tanA, cotA2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若1312sin =A 求cosA, sinB, cosB3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，b=17, ∠B=450,求a, c 与∠A四、根据下列条件解直角三角形。
新人教版初中数学——解直角三角形-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——解直角三角形知识点归纳及中考典型题解析一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sin A=∠的对边=斜边A ac；余弦：cos A=∠的邻边=斜边A bc；正切：tan A=∠的对边=邻边A ab．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°12323345°2222160°32123三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sin A=cos B=ac，cos A=sin B=bc，tan A=ab；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．考向一求三角函数的值（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．典例1 2sin45 的值为A．22B3C2D．1【答案】C【解析】把sin45°=22代入原式得：原式=2×222．故选C．1．如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sin A的值为A．23B．53C．255D．52考向二利用特殊角的三角函数值求值锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.典例2 已知∠A为锐角，且sin A=32，那么∠A等于A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】D【解析】∵sin A=32，∴∠A=60°．故选D．2．已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于A．30°B．45°C．60°D．不能确定考向三解直角三角形的应用解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.典例3 某山的山顶B 处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC 为30°，山高BC 为100米，点E 距山脚D 处150米，在点E 处测得观光塔顶端A 的仰角为60°，则观光塔AB 的高度是A ．50米B ．100米C ．125米D ．150米【答案】A【解析】如图，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥DC 于G ，在Rt △DEG 中，EG =12DE =75， ∴BF =BC -CF =BC -CE =100-75=25，EF =tan tan30BF BFBEF =∠︒=253， ∵∠AEF =60°， ∴∠A =30°，∴AF =253tan 33EF A ==75，∴AB =AF -BF =50（米），故观光塔AB 的高度为50米， 故选A ．3．如图，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45︒方向上，测得树B 在北偏东36︒方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2 1.414≈，sin360.588︒≈，cos360.809︒≈，tan360.727︒≈，cot36 1.376︒≈）1．如图，在△ABC 中，若∠C =90°，则A ．sin A =a cB ．sin A =b c C ．cos A =abD ．cos A =ba212sin45cos602︒-︒的值为 A ．(1132B ．(1132-C ．14D ．343．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，53B ∠=︒，若BC m =，则AB 的长为 A ．cos53m︒B ．cos53m ⋅︒C ．sin53m ⋅︒D ．tan53m ⋅︒4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，13AC AB =，则cos A 等于A ．223B ．13C ．22D ．245．菱形ABCD 的对角线AC =10cm ，BD =6cm ，那么tan2B 为 A ．53B ．54C ．534D ．3346．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A ，B ，C 均为格点，则sin ∠BAC 为A ．22B ．55C ．105D ．10107．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =10，sin A =35，则斜边上的高等于 A ．5B ．4.8C ．4.6D ．48．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为A ．35B ．34C ．105D ．19．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB 的坡度是1:3，堤坝高为40m ，则迎水坡面的是A ．80mB 3m ．C 40m ．D 3m ．10．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B 处，海轮航行的距离AB 长是A．2海里B．2sin55︒海里C．2cos55︒海里D．2tan55︒海里11．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1∶2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（参考数据：3≈1.732）A．1.732米B．1.754米C．1.766米D．1.823米12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tan A=125，则sin B=___________．13．在△ABC中，AB=25，AC=5，tan∠B=12，则BC的长度为__________．14．已知相邻的两根电线杆AB与CD高度相同，且相距50mBC=．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处E架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为45︒、23︒，已知测角仪EF高1.5m，则电线杆的高度约为________m．（精确到0.1m，参考数据：sin230.39︒≈，cos230.92︒≈，tan230.43︒≈）15．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=12．（1）求边AB的长；（2）求cos∠BAE的值．16．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强的身高为166cm，其中下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK=80°)，身体前倾成125°角(∠EFG=125°)，脚与洗漱台的距离GC=15cm(点D，C，G，K在同一直线上)．（1）此时小强的头部点E与地面DK的距离是多少？（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，2≈1.41，结果精确到0.1cm)1． 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．22．已知∠α为锐角，且sin α=12，则∠α= A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°3．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为A ．43 B ．34C ．35D ．454．如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若 tan ∠BAC =25，则此斜坡的水平距离AC 为A ．75 mB ．50 mC ．30 mD ．12 m5．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为183的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30，则教学楼的高度是30°CD ABA ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18m6．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米7．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB =a ，AD =b ，∠BCO =x ，则点A 到OC 的距离等于A ．a sin x +b sin xB ．a cos x +b cos xC ．a sin x +b cos xD ．a cos x +b sin x8．在△ABC 中，∠C =90°，tan A =33，则cos B =__________． 9．在直角三角形ABC 中，若2AB =AC ，则cos C =__________．10．如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C 的仰角为31°，再向东继续航行30m 到达B 处，测得该灯塔的最高点C 的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．11．如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）．12．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，3≈1.73）13．为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）14．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．①填空：∠BAO=__________．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC 的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）16．如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB=OP=100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA=OB．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB=67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）（2=1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41）1．【答案】A【解析】在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，AB =3，BC =2，∴sin A =BC AB =23，故选A ． 2．【答案】A【解析】∵sin α=cos60°=12，∴α=30°．故选A ． 3．【解析】如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，由题意，得45ACH ∠=︒，36BCH ∠=︒，200BC =， 在Rt △BHC 中，sin BH BCH BC ∠=，∴sin36200BH︒=， ∵sin360.588︒≈，∴117.6BH ≈， 又cos HC BCH BC ∠=，∴cos36200HC︒=， ∵cos360.809︒≈，∴161.8HC ≈， 在Rt △AHC 中，tan AHACH HC∠=， ∵45ACH ∠=︒，∴AH HC =，∴161.8AH ≈， 又AB AH BH =+，∴279.4AB ≈，∴279AB ≈（米）． 答：A 、B 之间的距离为279米．1．【答案】A 【解析】A 、sin A =ac，此选项正确； 考点冲关变式拓展B 、sin A =ac ，此选项错误； C 、cos A =bc ，此选项错误；D 、cos A =bc，此选项错误；故选A ． 2．【答案】D【解析】原式=2112222⨯-⨯=1–14=34，故选D ． 3．【答案】A 【解析】如图，∵cos53°=BC AB ， ∴AB =cos53m︒，故选A ． 4．【答案】B【解析】如图所示：∵13AC AB =，∴cos A =1133ABAC AB AB ==．故选B ．5．【答案】A【解析】如图，由题意得，AO ⊥BO ，AO =12AC =5cm ，BO =12BD =3cm ，则tan2B=tan ∠OBA 53AO BO ==.故选A.6．【答案】D【解析】如图所示：连接BD ，交AC 于点E ，由正方形的性质可得：BD ⊥AC ，故BD =2，AB =5，则sin ∠BAC =2102105EB AB ==．故选D ． 7．【答案】B【解析】如图所示，CD ⊥AB ，CD 即为斜边上的高，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =35， ∴sin A =10BC BC AB ==35，即BC =6， 根据勾股定理得：AC 22AB BC -=8，∵S △ABC =12AC •BC =12CD •AB ， ∴CD =6810AC BC AB ⋅⨯==4．8， 故选B ． 8．【答案】B【解析】∠ABC 所在的直角三角形的对边是3，邻边是4， 所以，tan ∠ABC =34． 故选B ． 9．【答案】A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，∴13BC AC =， ∵BC =40m ，∴AC =403m ，∴AB =22AC BC +=80m ，故选A ．10．【答案】C【解析】记灯塔P 的正北方向为射线PC 的方向.根据题意可知∠APC =55°，PC ∥AB ，AP =2海里. ∵PC ∥AB ，∠APC =55°，∴∠P AB =55°. ∵在Rt △ABP 中，AP =2海里，∠P AB =55°， ∴AB =AP ·cos ∠P AB =2cos55°（海里）. 故选C. 11．【答案】C【解析】如图，延长CA 交DB 延长线与点E ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，则∠CED =60°， ∵AB 的坡比为1∶2.4， ∴152.412AF BF ==，则设AF =5x ，BF =12x ， ∵AB =3.9米，∴在直角△ABF 中，由勾股定理知，3.92=25x 2+144x 2．解得x =310． ∴AF =5x =32，BF =12x =185，∴EF =333223tan 602sin 6033AF AFAE =====︒︒， ∵∠C =∠CED =60°， ∴△CDE 是等边三角形， ∵AC =4.5米，∴DE =CE =AC +AE 3 则BD =DE ﹣EF ﹣BF 33185≈1.766（米）， 答：浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为1.766米． 故选C ． 12．【答案】513【解析】在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，tan A =125，得125BC AC =，即12125AC =， ∴AC =5．由勾股定理，得AB 22AC BC +．所以sin B =513AC AB =，故答案为：513． 13．【答案】5【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 交于D ．∵1tan 2AD B BD ∠==， 设AD =x ，则BD =2x ， ∵AB =25，∴在△ABD 中，由勾股定理得（25）2=x 2+（2x ）2， 解得，x 1=2，x 2=﹣2（不符合，舍去）， ∴BD =4，同理，在△ACD 中，由勾股定理得，22541DC AC AD =-=-=，∴BC =DC +BD =4+1=5， 故答案为：5． 14．【答案】16.5【解析】过点F 作AB 、CD 的垂线，垂足为点G 、H ，如图所示：设AG =x m ，则有DH =x m ， ∵tan45tan23AG AG BC +=︒︒，∴tan23°=50xx-，解得x ≈15.0， ∴AB =x +1.5=16.5．电线杆的高度约为16.5 m ．故答案是：16.5． 15．【解析】（1）连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO =12BD =4，∵Rt △BOC 中，tan ∠CBD =OC OB =12，∴OC =2， ∴AB =BC =22BO CO +=2242+=25；（2）∵AE ⊥BC ，∴S 菱形ABCD =BC ·AE =12BD ·AC ， ∵AC =2OC =4，∴25AE =12×8×4，∴AE =855，∴BE =22AB AE -=()2285255⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=655， ∴cos ∠ABE =BE AB =65525=35．16．【解析】（1）如图，过点F 作FN ⊥DK 于N ，过点E 作EM ⊥FN 于M ．∵EF +FG =166，FG =100，∴EF =66， ∵∠FGK =80°，∴FN =100sin80°≈98，∵∠EFG =125°，∴∠EFM =180°–125°–10°=45°， ∴FM =66cos45°=332≈46.53，∴MN =FN +FM ≈144.5， ∴此时小强头部E 点与地面DK 相距约为144.5 cm ．（2）如图，过点E 作EP ⊥AB 于点P ，延长OB 交MN 于H ． ∵AB =48，O 为AB 中点，∴AO =BO =24，∵EM =66sin45°≈46.53， ∴PH ≈46.53，∵GN =100cos80°≈17，CG =15，∴OH =24+15+17=56，OP =OH –PH =56–46.53=9.47≈9.5， ∴他应向前9.5cm ．1．【答案】B【解析】锐角三角函数计算，︒60sin 2=2×23=3，故选A ． 2．【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sin α=12，∴∠α=30°．故选A ． 3．【答案】D【解析】如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC =90°，∴AC =22AD CD +=2234+=5．∴sin ∠BAC =CD AC =45．故选D ．4．【答案】A【解析】∵∠BCA =90°，tan ∠BAC =25，BC =30m ，∴tan ∠BAC =25＝BC AC ＝30AC，解得AC =75， 故选A ． 5．【答案】C【解析】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，183DE BC ==Rt ADE △中，tan30AEDE=， 318318(m)AE ∴==，18 1.519.5(m)AB ∴=+=，故选C ． 30°CAE6．【答案】C【解析】如图，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，延长BD 交OE 于点F ，直通中考设DF =x ，∵tan65°=OFDF ，∴OF =x tan65°，∴BF =3+x ， ∵tan35°=OFBF，∴OF =（3+x ）tan35°，∴2.1x =0.7（3+x ），∴x =1.5，∴OF =1.5×2.1=3.15，∴OE =3.15+1.5=4.65≈4.7，故选C ． 7．【答案】D【解析】如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°， ∵∠ABC =∠AEC ，∠BCO =x ，∴∠EAB =x ，∴∠FBA =x ，∵AB =a ，AD =b ，∴FO =FB +BO =a •cos x +b •sin x ， 故选D ．8．【答案】12【解析】∵tan A =33，∴∠A =30°，∵∠C =90°，∴∠B =60°，∴cos B =cos60°=12．故答案为：12． 9．【答案】32或255【解析】若∠B =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC =22(2)x x -=3x ，所以cos C =3322BC x AC x ==； 若∠A =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC =22(2)5x x x +=， 所以cos C =22555AC x BC x==；综上所述，cos C 的值为32或255． 故答案为：32或255． 10．【解析】在Rt △CAD 中，tan ∠CAD =CDAD， 则AD =tan 31CD ︒≈53CD ，在Rt △CBD 中，∠CBD =45°，∴BD =CD ， ∵AD =AB +BD ，∴53CD =CD +30，解得CD =45， 答：这座灯塔的高度CD 约为45 m ．11．【解析】如图，在Rt △ABD 中，AB =AD =600，作EM ⊥AC 于M ，则AM =DE =500，∴BM =100， 在Rt △CEM 中，tan53°=CM EM =600CM =43，∴CM =800， ∴BC =CM –BM =800–100=700（米）． 答：隧道BC 长为700米．12．【解析】∵∠ACE =90°，∠CAE =34°，CE =55m ，∴tan ∠CAE =CE AC ，∴AC =tan 34CE ︒=550.67≈82.1（m ），∵AB =21m ，∴BC =AC –AB =61.1（m ）， 在Rt △BCD 中，tan60°=CDBC=3， ∴CD =3BC ≈1.73×61.1≈105.7（m ）， ∴DE =CD –EC =105.7–55≈51（m ）. 答：炎帝塑像DE 的高度约为51m ．13．【解析】如图，连接BD ，作DM ⊥AB 于点M ，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．14．【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO=∠AOE=90°，∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF=AB•sin∠ABF=30sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27（cm）；（2）过点DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm，∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21（cm），∴sin∠MBC=CMBC=2135=0.6，∴∠MBC=36.8°，∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°．15．【解析】如图，连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD=BD=12AB=3（米），在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，∴cos41.3°=ADOA，即OA=3cos41.3=30.75=4（米），tan41.3°=ODAD，即OD=AD•tan41.3°=3×0.88=2.64（米），则CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）．16．【解析】（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；（2）如图，∵∠CAB=67.5°，∴∠BAO=22.5°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=22.5°，∴∠BOP=45°，∵OB=100，∴OE=22OB=502，∴PE=OP–OE=100–502≈29.5cm，答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．。
初三解直角三角形知识点和练习题汇编
中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：/C=90 = / A+Z B=90°2、 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、 勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为 a , b ,斜边长为c ,那么a 2+ b 2二c 2.即直角三角 形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a , b , c 有下面关系：a 2+ b 2= c 2,那么这个三角形是直角三角 形。
考点二、直角三角形的判定1有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是直角三角形。
(经 典直角三角形：勾三、股四、弦五) 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:(1) 确定最大边(不妨设为c )；(2) 若c 2= a 2 + /，则厶ABC 是以Z C 为直角的三角形;若a 2 + b 2v c 2,则此三角形为钝角三角形(其中 若a 2 + b 2>c 2,则此三角形为锐角三角形(其中4. 勾股定理的作用：(1) 已知直角三角形的两边求第三边。
(2) 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
(3) 用于证明线段平方关系的问题。
(4) 利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念1 如图，在△ ABC 中, Z C=90学习-----好资料c 为最大边); c 为最大边)①锐角A 的对边与斜边的比叫做Z A 的正弦，记为sinA , 即 sin A =.A 的对边 斜边②锐角A 的邻边与斜边的比叫做Z A 的余弦，记为cosA ,cos A 二斜边/砒对边 二B 的邻边/A 的邻边的对边③锐角A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切，记为tanA ,即tanA 二/A 的邻边 b④锐角A 的邻边与对边的比叫做,A 的余切，记为cotA ，即co 心匚丽边=夕 2、 锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做/ A 的锐角三角函数 3、 一些特殊角的三角函数值(1)互余关系:sinA=cos(90 ° — A), cosA=sin(90 ° — A);(2)平方关系：sin 2 A cos 2 A =15、锐角三角函数的增减性 当角度在0° ~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减 小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或 减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 1、 解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知 元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
初中数学 解直角三角形 知识点讲解及例题解析
解直角三角形知识点讲解及例题解析 一、知识点讲解： 1、解直角三角形的依据 在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么 （1）三边之间的关系为（勾股定理） （2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系为 2、其他有关公式 面积公式：（hc为c边上的高） 3、角三角形的条件 在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。
4、直角三角形的关键是正确选择关系式 在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？ （1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数 （2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。
（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。
5、直角三角形时需要注意的几个问题 （1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。
（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。
（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算 二、例题解析： 例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积， 解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得，由题意，有c+a=16 ，b=8 说明：（1）由于知两边和及第三边的长，故相当于存在两个未知量，因为是在直角三角形中，所以可以利用勾股定理来沟通关系。
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中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCa b c弦股勾勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A（3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1（4）商（弦切）关系：tanA=AAcos sin5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：正弦sin ，余弦cos ，正切tan(4) 面积公式：（hc 为c 边上的高）考点五、解直角三角形 应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
练习题1．矩形的边长分别为a，则两条对角线长的和是（ ）A. 2B.2．在ABC ∆中，90C ︒∠=，AB=2，AC=1，则sin B 的值是（ ） A.12D. 23．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设ADE α∠=，且35cos α=，AB=4，则AD 的长为（ ） A.3 B.163 C. 203 D. 165:i h l =hlα4．在高出海平面100米的山岩上一点A ，看到一艘船B 的俯角为300，则船与山脚的水平距离为（ ）A.50米B.200米C.1003米D.33100米5．在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，AB 的坡度i=1:2，那么BC ：CA ：AB 等于（ ） A ．1：25．13 2 C ．135．1：2：5 6．在ABC ∆中，90C ︒∠=，a,b,c 分别为A,B,C ∠∠∠的对应边，23cos B =，1a =，则b = ．7．计算：（1）(32tan 45π︒︒--+ （221632sin 30.︒+(3))21sin 4527320066tan 302︒︒︒+8.在等腰ABC ∆中，AB=AC ，如果AB=2BC ，画图并计算C ∠的四个三角函数值？9．如图所示，已知：在ABC ∆中，60A ︒∠=，45B ︒∠=，AB=8，求ABC ∆的面积．（结果可保留根号）10.已知α为锐角，且1sin cos 5αα-=，求sin cos αα+的值．11.如图，小明想测量塔BC 的高度。
他在楼底A 处测得塔顶B 的仰角为60︒；爬到楼顶D 处测得大楼AD 的高度为18米，同时测得塔顶B 的仰角为30︒，求塔BC 的高度。
CB12.一张宽为4，长为5的矩形纸片ABCD，沿对角线BD对折，点C落在点C'位置，B C'交AD于G，求AG的长。
GABDCC'附加题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD⊥AB于D，设∠ACD=α，则cosα的值为（）A．45B．34C．43D．352.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=450，OC=2，则点B的坐标为（）A. (21，)B.()1,2， C.()21,1+ D. ()1,21+3.如图，已知∆ABC中，∠ABC=900，AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线123,,l l l上，且12,l l之间的距离为2，23,l l之间的距离为3，则AC的长是（）A. 217B. 25C. 42D.74.已知∠A为锐角，且cosA≤21，那么（）A.0°＜A≤60°B.60°≤A ＜90°C.0°＜A≤30°D.30°≤A＜90°5.当009045<<A时，下列不等式中正确的是（）。
A.AAA sincostan>> B.AAA sintancos>>C.AAA costansin>> D.AAA cossintan>>6.将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是（）A.233cm B. 433cm C. 5cm D. 2cm7.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E,∠EDC:∠EDA=1:3，且AC=10，则DE的长度是（）A. 3 B. 5 C. 52 D. 5228.若太阳光线与地面成300角，一棵树的影长为10米，则树高h的范围是（）（7.13=）A.53≤<h B.105<<h C.1510<<h D.15>h9.如图，ABCD是一个正方形，P、Q是正方形外的两点，且∆APD和∆BCQ都是等边三角形，则tan∠PQD （）A. 23- B. 23+ C. 31- D. 62-10.如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=900，sinB=35，D是BC上一点，DE⊥AB于E,CD=DE，AC+CD=9，求：⑴BC的长；⑵CE的长。
11.如图，已知BC⊥AD于C,DF⊥AB于F,9AFDEFBSS=VV，∠BAE=α。
（1）求sin cosαα+的值；（2）若AEB ADES S=V V,AF=6时，求tan∠BAD的值。
12.在正方形ABCD中，F是CD上一点，AE⊥AF,AE交CB的延长线于点E,连结EF 交AB 于点G.（1）求证：DF ·FC=BG ·EC;(2)已知：当tan ∠DAF=13时，∆AEF 的面积为10cm 2，问当tan ∠DAF=23时，∆AEF 的面积是多少？第三部分 真题分类汇编详解2007-2012（2007）19．（本小题满分6分）一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C ，继续向东航行60海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近？（参考数据：sin21.3°≈925，tan21.3°≈25， sin63.5°≈910，tan63.5°≈2）（2008）19．（本小题满分6分）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且2AB =米，BCD 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6o，最大夹角β为64.5o．请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.60.32=o，tan18.60.34=o，sin 64.50.90=o，tan 64.5 2.1=o）A B C 北东DＤＣBβαC（2009）19．（本小题满分6分）在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度． （参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈）（2010）19．（本小题满分6分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）解：（2011）19．(6分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由 原来的40º减至35º．已知原楼梯AB 长为5m ，调整后的楼梯所占地 面CD 有多长？(结果精确到0.1m ．参考数据：sin40º≈0.64，cos40º≈0.77，sin35º≈0.57，tan35º≈0.70)B37° 48°DC A 第19题图40º 35º ADBC（2012）20.（8分）附历年真题标准答案：（2007）19．（本小题满分6分）解：过C 作AB 的垂线，交直线AB 于点D ，得到Rt △ACD 与Rt △BCD ．设BD ＝x 海里，在Rt △BCD 中，tan ∠CBD ＝CDBD，∴CD ＝x ·tan63.5°．在Rt △ACD 中，AD ＝AB ＋BD ＝(60＋x)海里，tan ∠A ＝CD AD，∴CD ＝( 60＋x ) ·tan21.3°． ∴x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，即 ()22605x x =+．解得，x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C 最近． …………………………6′ （2008）19．（本小题满分6分）解：设CD 为x ，在Rt△BCD 中，ο6.18==∠αBDC ，∵CDBCBDC =∠tan ，∴x BDC CD BC 34.0tan =∠⋅=． ········ 2′ 在Rt△ACD 中，ο5.64==∠βADC ， ∵CDACADC =∠tan ，∴x ADC CD AC 1.2tan =∠⋅=． ∵BC AC AB -=，∴x x 34.01.22-=． 1.14x ≈． 答：CD 长约为1.14米． （2009）19．（本小题满分6分） 解：由题意知CD AD ⊥，EF AD ∥， ∴90CEF ∠=°，设CE x =，在Rt CEF △中，tan CE CFE EF ∠=，则8tan tan 213CE x EF x CFE ===∠°； 在Rt CEG △中，tan CE CGE GE ∠=，则4tan tan 373CE x GE x CGE ===∠°B CD ACGEDB AF 第19题图∵EF FG EG =+，∴845033x x =+．37.5x =，∴37.5 1.539CD CE ED =+=+=（米）． 答：古塔的高度约是39米． ············································································· 6分 （2010）19．（本小题满分6分）解：设CD = x ．在Rt △ACD 中，tan37ADCD︒=， 则34AD x =，∴34AD x =. 在Rt△BCD 中，tan48° = BD CD，则1110BD x=， ∴1110BD x =. ……………………4分∵AD ＋BD = AB ，∴31180410x x +=．解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． ………………… 6分（2011）19．（本小题满分6分）（2012）20.（8分）B37° 48°DC第19题图11。