高一数学北师大版必修1教学教案第二章3函数的单调性
北师大版高中数学必修一《3函数的单调性和最值》新课件(69页)
答案：A
3. 函 数f(x)=—2x+1(x∈[ -2,2])的最小、最大值分别为( )
A.3,5 B.—3,5 C.1,5 D.—5,3
解析：因为f(x)=—2x+1(x∈ [-2,2])是单调递减函数，所以当 x=2 时，函数的最小值为一3.当x=—2 时，函数的最大值为5.
答案：B
4. 函数f(x)在[一2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、
综上，函
间(Vk, 十一)上为增函数.
在区间(0, √k )上为减函数，在区
状元随笔 此题中函数f(x)是一种特殊函数(对勾函数),用
定 义法证明时通常需要进行因式分解，由于x₁x₂-k(k>0) 与0的大
小 关系是不明确的，因此要分类讨论.
方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
取值 设 x₁,x₂ 是该区间内的任意两个值，且x₁<x₂
A. (一一，0)U[0,1]B.(—1,0)U[0,1]
C.(0, 十 一 )
D.[0,1]
解析：函数f(x)=—x²+4mx 的图象开口向下，且以直线x=2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2, 解得m≤1,g(x)
的图象由
的图象向左平移一个单位长度得到的，若在
区间[2,4]上是减函数，则2m>0, 解得m>0.综上可得m 的取值范围
A.m>0
B.
C.—1<m<3
D.
解析：由题意知 答案：B
解得
状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数 的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所
有自变量都必须在函数的定义域内.
高中数学新北师大版精品教案《函数的单调性教学重点、难点突破方法》
《函数的单调性》---教学重点、难点突破方法与解说尊敬的各位领导、专家、评委：您好！《函数的单调性》，是北师大版必修一第二章第3节内容。
对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面:首先，要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难其次，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的所以，本节课的教学重点是函数单调性的概念,判断、证明函数的单调性；难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性二、教学目标的确定根据教材的特点和教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，我从3个方面确定以下目标：①理解函数的单调性概念，掌握用定义判断和证明函数的单调性方法。
②培养学生观察、归纳、推理论证的逻辑思维能力。
③体会感悟数学结合、分类讨论、特殊到一般的数学思想。
三、教学方法的选择多媒体投影，计算机辅助教学；教师启发讲授，学生探究学习。
四、教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计如下：1．创设情境，引入课题；2．归纳探索，形成概念；3．掌握证法，适当延展；4．归纳小结，提高认识。
1．创设情境，引入课题本环节的教学先从学生熟悉的歌曲《小苹果》出发，让学生体会数学就在身边。
然后给出“艾宾浩斯的记忆遗忘曲线”。
在本环节的教学中，我设计了以下问题：问题1：分别作出函数2()1;()f x x f x x =+=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？（主要是从学生的已有认知出发，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数的单调性定义的第一次认识。
）在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息。
对与第二个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性，则能更好的理解和掌握概念，因此我设计了问题2问题2：根据自己的理解，怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？教学中，我引导学生用自己的语言描述函数增减性的定义：如果函数()f x在某个区间上的图象从左到右是上升的，或者如果函数()f x在某个区间上随自变量的增大，也越来越大，我们称函数()f x在该区间上为增加的．然后让学生类比描述函数减少的定义至此，学生对函数单调性就有了一个直观、描述性的认识．2．归纳探索，形成概念此环节中，通过对二次函数研究、交流、讨论，将函数的单调性研究从研究函数的图像过渡到研究函数的解析式，使学生对单调性的认识由感性的认识上升到理性认识的高度，使学生完成对概念的第二次认识；并归纳得出，判定函数单调性的方法：⑴图像法：从左往右看图像的升降情况⑵定义法：利用定义判定证明函数的增、减性3掌握方法，适当延展本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结，使学生初步掌握根据单调性定义证明函数单调性的方法，同时引导学生探究定义的等价形式，对证明方法做适当延展观察:下图是定义在闭区间[－6,9]上的函数= f的图象,根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上,函数是增加的还是减少的？强调：1函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在单调性问题,故区间端点处若有定义写开写闭均可；2明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．从而加深学生对定义的理解，完成本阶段的教学例1 画函数()32f x x =+的图像，判断它的单调性，并加以证明我引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤取值→作差变形→定号→下结论通过对证明过程的分析，使学生明确每一步的必要性和目的，特别是第三步，让学生明确变形的方法以及变形的程度，帮助学生掌握方法，提高学生的推理论证能力．证明过程的教学分为三个环节：难点突破、详细板书、归纳步骤【设计意图】给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫变式：判断函数23)(+=x x f 在下面给定区间或集合上的单调性。
北师大版数学必修一《函数的单调性》参考教案
《函数的单调性》教案一、教材分析-----教学内容、地位和作用本课是北师大版新课标普通高中数学必修一第二章第3节《函数的单调性》的内容，函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
在学生现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；在本节课是以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。
利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。
学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。
另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。
二、教学目标：根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：(一)三维目标1 知识与技能：（1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。
（2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2 过程与方法：（1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。
（2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。
3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。
（二）重点、难点重点：函数单调性的概念:为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为：每个步骤都是在教师的参与下与引导下，通过学生与学生之间，师生之间的合作交流，不断反省，探索，直到完善结论，最终达到一个严密，简洁的定义。
新教材北师大版必修第一册 第二章函数3函数的单调性2函数的单调性的应用 课件(40张)
有
()
A.f(-2)<f(1)<f(3)
B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(3)<f(-2)<f(1)
D.f(3)<f(1)<f(-2)
【解析】选A.因为对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[(f(x1)-f(x2)]>0, 当x1<x2时,x1-x2<0,则f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2);当x1>x2时,x1-x2>0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是增函数, 所以f(-2)<f(1)<f(3).
y
-f(y).
(1)证明:函数f(x)是增函数;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f( 1 )<2.
3
课堂检测·素养达标
1.函数y= 1 在[2,3]上的最小值为 ( )
x－1
A.2 B. 1
2
C ．1
D．－1
3
2
【解析】选B.y= 1 在[2,3]上单调递减,
x 1
所以x=3时取最小值为 1 .
的取值范围是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3)
C.[2,3)
D.[0,3)
【思路导引】从定义域,单调性两个方面列不等式求范围.
【变式探究】 本例的条件若改为“单调递增”,试求m的取值范围. 【解析】因为f(x)的定义域为[0,+∞), 由f(2x-4)>-1,得f(2x-4)>f(2), 因为f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以2x-4>2,解得x>3.
高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性(一)学案 北师大
3 函数的单调性（一）学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一 函数的单调性思考 画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图像，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图像的升降情况如何？梳理 单调性是相对于区间来说的，函数图像在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数．反之则为减函数．很多时候我们不知道函数图像是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：一般地，在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________．在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么，就称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________，有时也称函数y ＝f (x )在区间A 上是__________．如果函数y ＝f (x )在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数y ＝f (x )在该子集上具有单调性；如果函数y ＝f (x )在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数． 知识点二 函数的单调区间思考 我们已经知道f (x )＝x 2在(－∞，0]上是减少的，f (x )＝1x在区间(－∞，0)上是减少的，这两个区间能不能交换？梳理一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．类型一求单调区间并判断单调性例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增加的还是减少的？反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增加的，要么是减少的，不能二者兼有．跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性．类型二 证明单调性命题角度1 证明具体函数的单调性例2 证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数．反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数．命题角度2 证明抽象函数的单调性例3 已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数．反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：f(x)在R上是减函数．类型三 单调性的应用命题角度1 利用单调性求参数范围例4 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．[18，13)B ．(0，13)C ．[18，＋∞)D ．(－∞，18]∪[13，＋∞)反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的．跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．命题角度2 用单调性解不等式例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．反思与感悟若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．跟踪训练5 在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)<f(2a－1)，则a 的取值范围又是什么？1．函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的增区间是( )A ．[－2,0]B ．[0,1]C ．[－2,1]D ．[－1,1]2．函数y ＝6x的减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)3．在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋14．已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1)<f (0)，则下列结论正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递减，在区间[－1,0]上递增 B ．函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上递增，在区间[－1,0]上递减 C ．函数y ＝f (x )在区间[－2,0]上的最小值是f (－1) D ．以上的三个结论都不正确5．若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是( ) A ．x <1 B ．x >－1 C ．－1<x <1D ．x <－1或x >11．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都递减，未必有f (x )在A ∪B 上递减．2．对增函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代： (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f x 1－f x 2x 1－x 2>0.对减函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f x 1－f x 2x 1－x 2<0.3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．4．若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )递增，f (x )－h (x )递增，②－f (x )递减，③1f x递减(f (x )≠0)．5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f x 1f x 2与1比较．答案精析问题导学 知识点一思考 两函数的图像如下：函数f (x )＝x 的图像由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图像在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的．梳理 增加的 递增的 减少的 递减的 知识点二思考 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x的定义域．题型探究例1 解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减少的，在区间[－2,1]，[3,5]上是增加的．跟踪训练1 解 先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－x 2－2x －，－1≤x ≤3的图像，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)． 例2 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)．设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝x 在定义域[0，＋∞)上是增函数．跟踪训练2 证明 设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)．∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数．例3 证明 方法一 设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2. 令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1.∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在R 上是增函数． 方法二 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0， 从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0.f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．跟踪训练3 证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)， ∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1， ∴f (1)≠0，∴f (0)＝1. 令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，∴f (x )f (－x )＝1，又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1，∴f (x )＝1f －x＞1. ∴对任意实数x ，f (x )恒大于0.设任意x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， ∴f (x )在R 上是减少的．例4 A [要使f (x )在R 上是减函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，－a <0，a －＋4a ≥－a ·1. 解得18≤a ＜13.] 跟踪训练4 a ≤1或a ≥2解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 例5 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23， 即所求a 的取值范围是0<a <23. 跟踪训练5 解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23， ∴所求a 的取值范围是(23，＋∞)． 当堂训练1．C 2.C 3.B 4.D 5.C。
第二章-§3-函数的单调性和最值高中数学必修第一册北师大版
1
是增函数.
知识点4 复合函数的单调性
例4-7 (2024·山东省高密市期中)已知函数 在定义域[0, +∞)上单调递减，则
[−, ]
[−, ]
1 − 2 的定义域是________，单调递减区间是________.
【解析】∵ 的定义域为[0, +∞),
∴ 1 − 2 ≥ 0,即 2 ≤ 1,故−1 ≤ ≤ 1.
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,
即 1 > 2 ,
∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.
同理可得，函数 =
综上可得，函数 =
+
+
+
+
> > 0 在 −∞, − 上单调递减.
方法帮|关键能力构建
题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解
例8 函数 =
+
+
−∞, − 和 −, +∞
> > 0 的单调递减区间为____________________.
【解析】（定义法） 由题意知函数 的定义域是(−∞, −) ∪ −, +∞
（［大前提］研究函数的单调性时，一定要坚持定义域优先原则）.
1 > 2 ,
又等价于ቊ
或ቊ
即ቊ
或
1 < 2
1 − 2 < 0
1 − 2 > 0,
ቊ
1 < 2 ,
3函数的单调性和最值-北师大版高中数学必修第一册(2019版)教案
3 函数的单调性和最值-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案课程目标本课程的主要目标是让学生了解函数的单调性和最值的概念，并能够运用所学知识解决实际问题。
具体目标包括：1.掌握函数单调性的定义和判别方法；2.掌握函数最值的概念和求解方法；3.能够应用函数的单调性和最值解决实际问题。
课程内容一、函数的单调性1.函数的单调性概念：如果一个函数在其定义域上任意两点的函数值的大小关系都相同，那么这个函数就是单调的。
2.单调性判定方法：可以通过研究函数的导数或者函数的一阶差分值来判断一个函数的单调性。
3.单调性的应用：函数的单调性可以应用于最值的求解、不等式的证明等问题中。
二、函数的最值1.函数最大值和最小值的概念：在函数定义域内，函数值最大的数就叫做函数的最大值；函数值最小的数就叫做函数的最小值。
2.最值的求解方法：可以通过求解导数或者利用单调性来确定函数的最值。
3.最值的应用：最值可以应用于最优化问题、优化设计等方面。
教学方法1.讲解法：通过案例分析，教师介绍单调性和最值的概念和判定方法。
2.组合式教学：学生分组协作，通过完成练习题来深化对单调性和最值的认识。
3.实践教学：通过实际问题的解决，来锻炼学生应用所学知识解决实际问题的能力。
教学设计一、引入教师通过实际生活中的例子，引导学生认识单调性和最值，并且让学生思考，如果需要求解最优解，我们应该怎么办？二、知识点讲解1.函数的单调性概念、判定方法和应用；2.函数的最值的概念、求解方法和应用。
三、分组练习教师组织学生进行分组协作练习，通过练习题来复习和深化所学知识。
四、实践应用教师通过实际问题的讨论，让学生应用所学知识解决实际问题。
总结通过本课程的学习，学生将会掌握函数单调性和最值的概念和应用，以及运用所学知识解决实际问题的能力。
同时，本课程也将为学生今后的学习打下坚实的基础。
《函数的单调性和最值(1)》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《函数的单调性和最值（1）》教学设计1．理解增函数、减函数、最值等概念．2．培养学生利用函数概念进行判断推理的能力及数形结合的能力．3．使学生养成细心观察、认真分析的良好思维习惯．重点：函数单调性的概念．难点：对函数单调性概念中关键词的理解． 一、新课导入 复习函数的概念，回答以下问题： 1．函数是如何定义的?函数概念包含几个要素?各是什么?2．函数常见的表示法有几种?各有什么特点?3．函数的定义域怎样确定?如何表示?4．函数研究的主要内容是什么?5．下列函数具有什么特征?如何说明函数具有这些特征?为什么具有这些特征?（1）y =2x +1 （2）y =−x 2+1 （3）y =1x1．函数概念：给定实数集R 中的两个非空数集A 和B ，如果存在一个对应关系f ，使对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就把对应关系f 称为定义在集合A 上的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A ．函数的三要素：定义域、对应法则、值域．2．解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系；图象法的特点：直观形象地表示出函数变化的趋势；列表法的特点：不需计算直接就可看出自变量相应的函数值．3．函数的定义域：使函数有意义的自变量的取值范围．通常用集合或者区间来表示．4．函数研究的主要内容是函数的概念与性质．5．(1)中函数值随自变量的增大而增大；随自变量的减小而减小．(2)中，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而增大；在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而减小．(3)中在第一象限和第三象限，函数值均随自变量的增大而减小．设计意图：(1)复习函数概念及函数的表示法，引导学生从概念出发研究函数的性质;(2)回顾初中对函数性质的认识及研究方法，与本节课的学习内容形成对比． ◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程二、新知探究问题1：（展示某只股票在某一天内的变化图）请学生观察股市图，说一说这只股票当天的走势．答案：随着时间的增加，股票价格不断增长，最后随着时间的增加，价格稳定不变．问题2：观察函数图象，分析当自变量x变化时，函数值f(x)是怎样随之变化的．答案：从左至右观察函数f(x) (x∈[-6，9])的图象上点的位置变化，可以看出：对于区间[-6，-5]，[-2，1]，[3，4.5]，[7，8]，图象是上升的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而增大；对于区间[-5，-2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]，图象是下降的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而减小．函数值随着自变量的增大而增大，或随着自变量的增大而减小，这种变化规律称为函数的单调性．追问：怎样用数学的符号语言来表达函数值f(x)在区间[-6，-5]上随x值的增大而增大呢?答案：对于任意的x1、x2∈[-6，-5]．当x1<x2时，f(x1)< f(x2)．设计意图：在观察分析的过程中，将点的位置变化转化为随自变量的变化函数值的变化，由对函数图象的观察转化为对函数性质的研究．问题３：通过上面的学习，我们如何用数学的符号语言表达函数的单调性呢？一般地，设函数f(x)的定义域D：如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)< f(x2)，那么就称函数y=f(x)是增函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y= f(x)在区间I上单调递增．如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y=f(x)是减函数，特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递减．如果函数y=f(x)在区间上单调递增或递减，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性．此时I为函数y=f(x)的单调区间．追问１：如何理解函数单调性定义中的关键词“任意的”“都有”？答案：“任意的”“都有”指的是在定义域当中存在两个变量满足条件，是不能确定函数的单调性的，需要对定义域内任意选取的所有x1、x2，只要满足x1<x2都有f(x1)< f(x2)或者f(x1)> f(x2)成立，才能确定函数的单调性．追问２：函数单调递增或者单调递减还有其他表示形式吗？答案：在函数y=f(x)定义域内的一个区间I上，对于任意的x1、x2∈I且x1≠x2，>0，则称函数y=f(x)在区间I上是增函若[f(x1)－f(x2)](x1−x2)>0或f(x1)－f(x2)x1−x2数或函数y=f(x)在区间I上单调递增．若[f(x1)－f(x2)](x1−x2)＜0或f(x1)－f(x2)＜0，则称函数y=f(x)在区间I上是减函数x1−x2或函数y=f(x)在区间I上单调递减．问题４：观察问题２中函数的图象，函数值f(x)在哪个范围内变化？从函数图象上看，函数的最大值（最小值）在哪个自变量处取到？答案：根据函数图象，函数值在f(3)和f(2)这两个函数值之间变化，其中在x=3处取得最小值，在x=2处取得最大值．函数的最值：若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0∈D，使得f(x0)=M，则称M为函数y=f(x)的最大值．同样的，可以定义函数y=f(x)的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值．总结：（1）M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；（2）最大（小）值定义中的“对所有的”是说对于定义域内的每个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上（下）方．三、应用举例例1．设f(x)是定义在R上的函数，判断下列命题是否成立，并说明理由．（1）若存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1)< f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增；（2）若存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1) ≤f(x2)成立，则函数f(x)在R上不可能单调递减；（3）若存在x2>0，对于任意的x1∈R，都有f(x1)< f(x1+x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增；（4）对任意的x1、x2∈R，且x1<x2，都有f(x1) ≥f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调递减．解：（1）不成立，比如函数y=−x2−1<0，f(−1)< f(0)．函数在对称轴的左侧单调递增，右侧单调递减，并不是在R上单调递增．（2）成立，由函数单调递减的定义可知，在给定区间上，当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)．所以存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1) ≤f(x2)成立，则函数f(x)在R上不可能单调递减．（3）成立，当x2>0时，x1<x1+x2恒成立，且满足f(x1)< f(x1+x2)，根据函数单调递增的定义可知成立．（4）不成立，由函数单调递减的定义可知当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)，不能带等号．设计意图：（1）改变概念的内涵或外延，有利于学生从较高层次把握概念的本质，从而认识到概念中哪些因素是重要的，起关键作用的，哪些因素容易出错，形成对数学概念的全面理解和认识．（2）引入反例、错例，可以帮助学生从另一个角度形成对数学概念的更深入、更全面的认识．例2．设f(x)=1x(x<0)画出f(x+3)(x<−3)的图象，并通过图象直观判断它的单调性．解：依题意知f(x)=1x+3(x<−3)其图象可由f(x)=1x(x<0)的图象向左平移3个单位长度得到．该函数在区间(−∞，−3)上单调递减．探究：对于f(x)=1x+3，(−∞，−3)和(−3，+∞)都是它的单调区间，并且函数f(x)=1x在这两个区间上都是单调递减，那么能否说函数f(x)=1x+3在整个定义域上是减函数?解：不能，因为函数f(x)=1x+3的定义域不连续，当我们在区间(−3，+∞)上取一个数比如1，在区间(−∞，−3)上取一个数比如−4，我们知道−4<1，但f(−4)=1−1=−1<f(1)=11+3=1 4，即不能说函数f(x)=1x+3在整个定义域上是减函数．例３．根据函数图像直观判断y=|x−1|的单调性，并求出最小值．解：函数y=|x−1|可以表示为y={1−x，x≤1，x−1，x>1．画出该函数的图象．由图象可知该函数在区间（-∞，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增，当x=1时，y=|x−1|取得最小值，最小值为0．探究：函数在区间[1，+∞）上是否存在最大值？为什么？答案：函数在区间[1，+∞）上不存在最大值，因为函数在区间上单调递增，因此不存在函数值M使得对于定义域内的每个值都满足不等式f(x)≤M．四、课堂练习1．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：（1）y=−5x，x∈[2，7]（2）f(x)=3x2−6x+1，x∈[3，4)；（3）y=|x2−2x|，x∈[−1，3]．2．某型号汽车使用单位体积燃料行驶的路程f（x）（单位：km）是行驶速度x（单位：km/h）的函数．由实验可知，这一函数关系是f（x）=−0.01x2+1.2x−5.8．（1）求f（50），并说明它的实际意义；（2）当速度x为多少时，汽车最省油？参考答案：1．．解析：（1）y=−5x在区间[2，7]单调递减．最小值是f(7)=−35，最大值是f(2)=10．（2）函数f(x)=3x2−6x+1的开口向上，对称轴为x=1，所以在区间[3，4)单调递增．最小值是f(3)=10，无最大值．（3）由题意，函数y=|x2−2x|，在区间[−1，0]和[1，2]上单调递减；在(0，1)和(2，3]单调递增．最小值是0，最大值是f(3)=f(−1)=3．2．解析：（1）f(50)=29.2，表示当行驶速度为50km/h时，行驶路程是29.2km．(2)由题意，函数f（x）=−0.01x2+1.2x−5.8的对称轴为x=60，此时函数最大值为f(60)=30.2，即速度为60km/h时，汽车最省油．五、课堂小结1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)< f(x2)，那么就称函数y=f(x)是增函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递增．如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)，那么就称函数y=f(x)是减函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递减．2．函数的单调区间：如果函数y=f(x)在区间上单调递增或递减，那么就称函数y= f(x)在区间I上具有单调性．此时I为函数y=f(x)的单调区间．3．函数的最值：若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0≤D，使得f(x0)=M，则称M为函数y=f(x)的最大值．同样的，可以定义函数y=f(x)的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值．六、布置作业教材第60页练习题第2~4题．。
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函数的单调性教学设计与反思
一.教材分析
函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用，本节课教学应实现如下教学目标
【教学目标】
1.知识与技能
理解函数单调性概念；掌握用定义判断和证明一些简单函数单调性的方法；了解函数单调区间。
2.过程与方法
培养从概念出发,进一步研究其性质的意识及能力;体会感悟数形结合、分类讨论的思想.
3.情感态度价值观
由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望,突出学生的主观能动性,激发学生学习数学的兴趣.
【教学重难点】
重点:函数单调性的概念,判断和证明一些简单函数单调性的方
法.
难点:关于函数单调性概念的符号语言的认知,应用定义证明单调性的代数推理论证
【教学过程】
一.导课
要研究函数的单调性,我们先从熟知的函数入手,下面请同学们作出函数y=x+1 和y=x+1 的图像.
1.思考: 从左到右看,图像的变化趋势如何？
随着自变量的变化,函数值如何变化?
2.观察动画
回答：(1)由函数y=x2图像,观察图像的变化趋势。
(2)函数y=x2中y随x如何变化?
那么,我们怎样用符号语言表达函数值的增减变化呢?
〖设计意图〗从图像直观感知函数单调性在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．
二.新知探究
1.请同学们阅读课本37页(3分钟)
2.老师强调相关概念:函数递增时,图像是_________
函数递减时, 图像是________
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间内A上,如果对于任意两个数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数在区间A上是
增加的,有时也称函数在区间A上是递增的。
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间内A上,如果对于任意两个数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数在区间A上是减少的,有时也称函数在区间A上是递减的。
如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的, 那么称区间A为单调区间。
〖设计意图〗通过师生双边活动,让学生亲身体验数学概念如何从直观到抽象,从文字到符号,从粗疏到严密.最后,通过类比的方法,由学生自己得到单调减函数的概念,让学生体会数学概念是如何扩充完善的。
(教师补充四个概念)
★如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或减少的, 那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性。
★如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的, 我们分别称这个函数为增函数或减函数, 统称为单调函数。
如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的, 那么称区间A为单调区间。
★如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或减少的, 那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性。
★如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的, 我们分别称这个函数为增函数或减函数, 统称为单调函数。
4.(学生互动)
(1).函数y=x2在(∞,+∞)是增加的吗?
(2).定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)在R上增函数吗?
〖设计意图〗通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化。
三.巩固反馈
例1. 下图是定义在闭区间[5,5]上的函数y=f(x)的图像,根据图像写出y=f(x)的单调区间,并指明在该区间上的单调性
解:函数的单调区间有[5,2], [2,1], [1,3], [3,5]，在区间[5,2], [1,3]上是减少的;在区间[2,1], [3,5]上是增加的。
(学生互动)：
说出函数f(x)= 的单调区间，并指明在该区间上的单调性。
（追问）：（1）有几个单调区间时,能把这几个区间并起来吗?
（2）能否说此函数在定义域内是减函数?
例2 .证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
(学生总结):证明函数单调性的步骤
(学生板演,学生纠错)：证明函数f(x)=x22x在(1,)上的单调性
〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤。
通过练习巩固运用定义证明单调性的方法步骤。
【课堂小结,知识再现】
1、函数的单调性定义。
2、判断函数单调性的方法：
（1）图像法：
在单调区间上,若函数是增加的,则它的图像是上升的,若函数是减少的,则它的图像是下降的.
（2）定义法：
用定义证明函数单调性的一般步骤：
任意取值→作差变形→判断符号→得出结论
函数单调性教学反思
函数单调性是函数的一个重要性质，并且学生是头一次接触函数的单调性，陌生感强。
函数单调性，单调区间的概念掌握起来有一定困难，特别是增函数、减函数的定义很抽象，学生很难理解，这样会增加学生的负担，不利于学生学习兴趣的激发。
因此我首先引导学生从熟知的一次函数、二次函数的图像分析入手，使学生对增、减函数有一个直观的印象。
进一步，通过分析函数图像的变化趋势，启发学生归纳总结出增、减函数中函数值与自变量之间的变化规律，使学生会熟练的通过函数的图像来判断一个函数是增函数，还是减函数。
在此基础上，给出函数单调性，函数单调区间的概念。
在课堂上重点训练了学生怎样从函数图像
上来判断函数的单调区间，以及在每个单调区间上的单调性的能力，从学生上的课堂反应来看，学生能熟练的通过函数的图像来判断函数的单调性，也能用定义证明一个函数是增函数（减函数）,总之，这节课的教学目标达到了，而且学生课堂反应积极、热情。
从教的角度评析这节课感觉很到位,但从学的视角去评价就会发现:教师为了营造轻松愉快的课堂气氛,注重了学生学习兴趣的培养,但过于心切,总想尽快地“直奔主题”，把通过探讨等得出概念的过程却在师生间的简单问答中滑过,学生的思维情绪始终处于压抑状态,使得教学无法向纵深发展,知识目标的完成受到影响,学生必要的能力得不到良好训练,学习情感得不到有效激发.，存在的另一个问题就是老师讲多了。