函数单调性(北师大版)
北师大版高中数学必修一《3函数的单调性和最值》新课件(69页)
答案：A
3. 函 数f(x)=—2x+1(x∈[ -2,2])的最小、最大值分别为( )
A.3,5 B.—3,5 C.1,5 D.—5,3
解析：因为f(x)=—2x+1(x∈ [-2,2])是单调递减函数，所以当 x=2 时，函数的最小值为一3.当x=—2 时，函数的最大值为5.
答案：B
4. 函数f(x)在[一2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、
综上，函
间(Vk, 十一)上为增函数.
在区间(0, √k )上为减函数，在区
状元随笔 此题中函数f(x)是一种特殊函数(对勾函数),用
定 义法证明时通常需要进行因式分解，由于x₁x₂-k(k>0) 与0的大
小 关系是不明确的，因此要分类讨论.
方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
取值 设 x₁,x₂ 是该区间内的任意两个值，且x₁<x₂
A. (一一，0)U[0,1]B.(—1,0)U[0,1]
C.(0, 十 一 )
D.[0,1]
解析：函数f(x)=—x²+4mx 的图象开口向下，且以直线x=2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2, 解得m≤1,g(x)
的图象由
的图象向左平移一个单位长度得到的，若在
区间[2,4]上是减函数，则2m>0, 解得m>0.综上可得m 的取值范围
A.m>0
B.
C.—1<m<3
D.
解析：由题意知 答案：B
解得
状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数 的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所
有自变量都必须在函数的定义域内.
2.3函数的单调性和最值(第1课时函数的单调性)课件高一上学期数学北师大版
(-2), ≥ 2,
解 f(x)=x|x-2|=
(2-), < 2,
图象如图所示.
由图象可知,函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.
角度2利用单调函数的运算性质判断函数的单调性
【例1-2】
解
2 2 -3
判断函数f(x)=
的单调性.
2.[探究点一·2024陕西咸阳高一期末]函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间
是( C )
A.(-∞,0)
B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0)和(2,+∞)
D.(2,+∞)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2 -4, ≥ 0,
解析 由于 f(x)=(x-4)·|x|= 2
知识点2 增函数、减函数的定义
函数 增函数
条件
减函数
设函数y=f(x)的定义域是D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2)
结论 称函数y=f(x)是增函数
f(x1)>f(x2)
称函数y=f(x)是减函数
名师点睛
1.若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]
和[-1,1]上单调递减.
- 2 + 2 + 1, ≥ 0,
(2)y= 2
- -2 + 1, < 0,
-(-1)2 + 2, ≥ 0,
高一数学北师大版必修1教学教案第二章3函数的单调性
函数的单调性教学设计与反思一.教材分析函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用，本节课教学应实现如下教学目标【教学目标】1.知识与技能理解函数单调性概念；掌握用定义判断和证明一些简单函数单调性的方法；了解函数单调区间。
2.过程与方法培养从概念出发,进一步研究其性质的意识及能力;体会感悟数形结合、分类讨论的思想.3.情感态度价值观由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望,突出学生的主观能动性,激发学生学习数学的兴趣.【教学重难点】重点:函数单调性的概念,判断和证明一些简单函数单调性的方法.难点:关于函数单调性概念的符号语言的认知,应用定义证明单调性的代数推理论证【教学过程】一.导课要研究函数的单调性,我们先从熟知的函数入手,下面请同学们作出函数y=x+1 和y=x+1 的图像.1.思考: 从左到右看,图像的变化趋势如何？随着自变量的变化,函数值如何变化?2.观察动画回答：(1)由函数y=x2图像,观察图像的变化趋势。
(2)函数y=x2中y随x如何变化?那么,我们怎样用符号语言表达函数值的增减变化呢?〖设计意图〗从图像直观感知函数单调性在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．二.新知探究1.请同学们阅读课本37页(3分钟)2.老师强调相关概念:函数递增时,图像是_________函数递减时, 图像是________在函数y=f(x)的定义域内的一个区间内A上,如果对于任意两个数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数在区间A上是增加的,有时也称函数在区间A上是递增的。
3.函数的单调性课件(北师大版必修1)[1]
![3.函数的单调性课件(北师大版必修1)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/abde02f0ba0d4a7302763a3d.png)
（3）单调性的理论证明
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数无形时少直觉, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘,几何代数统一体, 永远联系莫分离.
——华罗庚
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
y
y f (x)
f (x1 )
当 x1 x 2时 ， 都 有 f （ x1） > f （ x 2）
f (x 2 )
O
x1
x2
x
那么就说 函数f (x)在 区间D上为减函数。
在区间D内
在区间D内
y=f(x)
y=f(x)
y f(x2)
y
图象
f(x1)
·
·
x1 x2 x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
O
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f (x1 )
x1
O
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f (x1 )
x1 O
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f ( x1 )
x 1O
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f (x1 )
O x1
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f (x1 )
O x1
x
实例2：分析二次函数的图象
y
yx
2
f (x1 )
北师大版数学必修一《函数的单调性》参考教案
《函数的单调性》教案一、教材分析-----教学内容、地位和作用本课是北师大版新课标普通高中数学必修一第二章第3节《函数的单调性》的内容，函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
在学生现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；在本节课是以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。
利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。
学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。
另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。
二、教学目标：根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：(一)三维目标1 知识与技能：（1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。
（2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2 过程与方法：（1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。
（2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。
3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。
（二）重点、难点重点：函数单调性的概念:为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为：每个步骤都是在教师的参与下与引导下，通过学生与学生之间，师生之间的合作交流，不断反省，探索，直到完善结论，最终达到一个严密，简洁的定义。
新教材北师大版必修第一册 第二章函数3函数的单调性2函数的单调性的应用 课件(40张)
有
()
A.f(-2)<f(1)<f(3)
B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(3)<f(-2)<f(1)
D.f(3)<f(1)<f(-2)
【解析】选A.因为对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[(f(x1)-f(x2)]>0, 当x1<x2时,x1-x2<0,则f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2);当x1>x2时,x1-x2>0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是增函数, 所以f(-2)<f(1)<f(3).
y
-f(y).
(1)证明:函数f(x)是增函数;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f( 1 )<2.
3
课堂检测·素养达标
1.函数y= 1 在[2,3]上的最小值为 ( )
x－1
A.2 B. 1
2
C ．1
D．－1
3
2
【解析】选B.y= 1 在[2,3]上单调递减,
x 1
所以x=3时取最小值为 1 .
的取值范围是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3)
C.[2,3)
D.[0,3)
【思路导引】从定义域,单调性两个方面列不等式求范围.
【变式探究】 本例的条件若改为“单调递增”,试求m的取值范围. 【解析】因为f(x)的定义域为[0,+∞), 由f(2x-4)>-1,得f(2x-4)>f(2), 因为f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以2x-4>2,解得x>3.
北师大版数学必修一《函数的单调性》教学课件
证明：任意取 x1，x2∈［2,5］且 x1＜x 2， x1 x2 则 f(x1)＝ ，f(x2)＝ . x1－1 x2－1 f(x2)－f(x1)＝ x1－x2 x2 x1 － ＝ . x2－1 x1－1 (x2－1)(x1－1)
，
∵x1<x2<0， ∴x1－x2<0，x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 故 f ( x)
1 1 在区间(－∞，0)上是单调增函数. x
求函数的单调区间
如图所示的是定义在半开半闭区间［－5,5)上的函数y＝f(x)的图 象，根据图象写出y＝f(x)的单调区间，并指出在每一个单调区间上y＝f(x)是 增函数还是减函数.
为几个最简因式的积或几个完全平方的形式.
1.证明函数 f ( x)
1 1 在区间(－∞，0)上是增函数. x
【证明】 设x1，x2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x1<x2.
则
1 1 1 1 x x f ( x1 ) f ( x2 ) 1 1 1 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
【思路点拨】 观察图象可知，函数y＝f(x)在区间［－5,5)上不具有单调 性，但在区间［－5，－2］，［－2,1］，［1,3］，［3,5)上具有单调性. 【解析】 函数y＝f(x)的单调区间有［－5，－2］，［－2,1］，［1,3］， ［3,5)， 其中y＝f(x)在区间［－5，－2］，［1,3］上是减函数，在区间［－2,1］，
［3,5)上是增函数.
(1)利用图象研究函数的单调性是常用的解题方法.但要注 意函数的定义域. (2)写单调区间时，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连 接它们.
函数的单调性
高三总复习
数学 (北师大版)
2.在理解函数单调性的定义时，值得注意下列三点： (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数 在不同的区间上可以有不同的单调性， (2)单调性是函数在某一区间上的“部分整体性”， 因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值替代；但若 需说明函数不具有单调性，有时可举特殊值说明。
高三总复习数学 (北师大版)来自函数的单调性高三总复习
数学 (北师大版)
2014
考 1 .了解函数单调性的概念． 纲 2 .掌握判断一些简单函数单调性的方法， 要 并能利用函数的单调性解决一些问题． 求
考 试 热 点 1 .求函数的单调区间或判断函数在某个区 间内的单调性． 2 .给出一个含有字母参数的函数在某个区 间内的单调性，求参数的取值范围.
高三总复习
数学 (北师大版)
1.（2012· 安徽）若函数 f x 2x a 的单调区间是[3,+∞） -6 则a=_________ 2.（2011· 江苏）函数 f x log5 2x 1 的单调增区间是 1 _______ , 3. 如果函数 f x ax2 2x 3 在区间 ,4 上是单调 D 递增的，则实数a的取值范围是_______
高三总复习
数学 (北师大版)
题型二 利用函数单调性求参数 【例2】 若函数
ax 1 f x x 1
在 ,1 上是减函
数，求实数a的取值范围
高三总复习
数学 (北师大版)
高三总复习
数学 (北师大版)
1．根据定义证明函数单调性的一般步骤是：(1)设x1 ， x2 是给定区间内的任意两个值，且x1<x2 ；(2)作差f(x2)－ f(x1)，并将此差式变形(要注意变形的程度)；(3)判断f(x2)－ f(x1)的正负(要注意说理的充分性)以确定其增减性． 函数的单调性可以借助函数的导数来确定．一般地， 设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f ′(x)>0，则f(x)在这
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3)当函数f ( x)在区间(, m]是增函数时， 求实数m的取值范围。
课堂小结，知识再现
1、函数单调性是对定义域的某个区间而言 的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变 化的性质. 2、判断函数单调性的方法：
（1）利用图象： 在单调区间上，增函数图象从左向右是 上升的，减函数图象是下降的. （2）利用定义： 用定义证明函数单调性的一般步骤： 任意取值→作差变形→判断符号→ 得出结论 .
【教学目标】
使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明 一些简单函数在给定区间上的单调性。
【教学重点】： 理解函数单调性的概念，以
及用定义证明函数的单调性．
为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为： 作图象并观察图象→讨论：函数图象的变化趋势是什么？ → 在这种变化趋势下， x与函数值y是如何相互影响的？ →你能从量的角度出一个缜密的，完善的定义来吗？
如果y=f(x)在区间A上是增加或是减少的， 那么称A为单调区间
单调函数 如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是 增加的或是减少的，那么就称函数y=f(x) 在这个子集上具有单调性. 如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的 或减少,这个函数为增函数或减函数,统称 为单调函数.
练习:给出下列函数的图象,指出函数的单调区间, 并指明其单调性.
(2) y 2 x
A
(3) y x 2 1
y
1
B A
y
B
1
y
A
1
B
0
1
x1 x2
x
x1 x2
0
1
x
10 1
1 x1 x2
x
思考交流
对于下图的函数,你能说出它的函数值y随自变 量x值的变化情况吗?
问题2：如何描述函数图像的上升和下降趋势？ 图像上升：y随x的增大而增大 图像下降：y随x的增大而减少
不是,当x1=-1,x2=1时，有f(x1)<f(x2)
例题讲解
例2 画出函数f(x)=3x+2的图像,判断它的单调 性,并加以证明. 解 作出f(x)=3x+2的图像.由图看出,函数的图 在R上是上升的,函数是R上的增函数. y y=3x+2 证明: 任取x1,x2∈R,设x1<x2, 取值
所以 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) 作差 =3(x1-x2), 变形
借助多媒体动态地展示图象的上升与下 降过程，完成从感性认识到理性思维的质 的飞跃．注重学生的参与意识，让学生从 问题中发现、归纳、总结，最终运用概 念．同时，潜移默化地渗透各种数学思想 方法．
【教学过程】 函数值有什么变化规律？
问题1 分别作出下列函数图像，并且观察当自变量变化时，
(1) y 2 x 1
1.3.1.1函数的单调性
y
0
x
【教材分析】
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函 数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调 性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比 较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年 的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在 这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思 想将贯穿于我们整个高中数学教学。
问题3：怎样用数学语言表达函数值y随x的增减 变化呢? 1.单调性概念
在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两个数 x1,x2∈A, 当x1<x2时, 当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2), 都有f(x1)<f(x2), 那么,就称函数y=f(x)在区间A 那么,就称函数y=f(x)在区间A上是 上是减少的,有时也称函数 增加的,有时也称函数y=f(x)在区间 y=f(x)在区间A上是递减的.区 A上是递增的.区间A为函数的增区 间A为函数的减区间 间 图像特征：从左往右看图像上升 从左往右看图像下降
x1 x2 x1 x2 0 定号
5 4 3
2 1 O1 2 x
下结论 即 f(x1)<f(x2) 单调函数的定义可知,函数f(x)=3x+2是R上的增函数.
练习
1，判断下列函数在给定集合或区间上的单调性: (1)y=-5x,x∈[2,7]; 递减 (2)f(x)=3x2-6x+1,x∈(3,4);递增 (3)
图（1）
图（2）
注意：单调区间不能求并集
[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8]上是增加的 [-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9]上是减少的
注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单 独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，不存在
单调性问题。
思 考
：
强调定义中x1,x2的任意 性
t T 1 -3 2 -6 3 -9 4 5 6 7 8 -12 -15 -18 -21 -24
t∈{1,2,3,4,5,6,7,8}; 递减
1.证明函数f ( x) x 1在R上为增函数.
3
2.已知函数f ( x ) x 2 2 x 3， (1)根据图像写出函数f ( x )的单调区间； (2)证明f ( x ) x 2 2 x 3在区间( ,1] 是增函数；
函数的增减性是 针对给定区间来讲的， 离开了区间就不能谈函数的单调性
例题讲解 1 例1 说出函数 f ( x) x 的单调区间,并指 明在该区间上的单调性.
解 (-∞,0)和(0,+∞)都是函数的单调区间,在这 1 f ( x ) 两个区间上函数 减少. x 函数
1 f ( x) x
ห้องสมุดไป่ตู้
是减函数吗?
【教学难点】：函数单调性概念的形成过程
及准确表述与理解， 难在：如何使学生从描述性语言过渡到严谨的 数学语言．通过问题的分解，引导学生步步深入， 直至找到最准确的数学语言来描述定义．这里体 现以学生为主体，师生互动合作的教学新理念．
【教学方法】
采用合作交流，探究学习相结合的教学 方法。指导学生读图，从图中获得信息以 形成概念，再通过典型例题与探究题，深 化对概念的理解与应用．