第2章-1 地震作用-单自由度

阻尼使得系统的频率变小。
1
2
0
齐次解的另外一种写法
x(t ) e

t
r0 cos( t ) r0 cos( t )
0

式中cos的系数称为振动的振幅。振动幅度的大小(振幅)是 随时间变化的。如果阻尼比为零时，振幅不变。阻尼比越 大振幅衰减得的越快。 所谓自由振动可以假设为系统在初始时刻有一个初始位移、 初始速度或初始的加速度。此后不再受任何其它外部作用， 这时方程就是右端项为零的齐次方程。
地面运动与建筑物的反应


深圳地王大厦在地震Kobel下的加速度响应和反应功率谱 加速度的衰减是由阻尼决定的，帝王大厦的阻尼比较小， 所以衰减比较慢。 地震响应频率主要在0.52Hz左右，远离其基本频率0.17。

自由振动－齐次解

振动方程的解表现为：齐次解＋特解。其中齐次 解的物理意义是质点的自由振动。其方程为：
2x 2 x 0 x (2 11)
0
方程的解为(2-12)：
x(t ) e
t
( Acos t B sin t ) Acost B sint
1
2
0
可见:如果阻尼比＝1则振动的频率为0。此时系统不振动。
Feq GeK
三种最大地震反应
(t ) g (t ) Sa m x x
max
最大加速度反应
S d x(t ) max 最大位移反应 (t ) max 最大速度反应 Sv x S a S v 2 S d (2 43)
设计反应谱(P.63)
设计反应谱是地震影响系数的谱曲线。 地震影响系数定义为结构的最大加速度与 重力加速度的比（无量纲的”加速度”）：

k Sa系的地震最 大绝对加速度反应a与其自振周期的比值。 设计反应谱：最大地震加速度反应与基本 周期的关系——用于设计目的。

地震反应谱Sa(T) ：某个SDF体系的最大地震反应与 体系自振周期T的关系(与结构特性以及具体地震 动有关)。P.23 (抗震)设计反应谱：统计得到的、近似的、用于抗 震设计的最大地震影响系数(类似加速度)和周期的 (1/5) 关系曲线 =0.235
0.9
场地土对加速度反应的影响

软土的加速度反应未必最大，但是峰值区域宽

(2 9)
单自由度体系振动求解－结果汇总
单自由度体系自由振动 （1）无阻尼时
2x 2 x g x x
（2）有阻尼时 时
2
1 （3）有阻尼强迫振动时 2x 2 x g x x
自由振动解加上：

结构动力计算的计算简图
多层、高层结构的动力计算简图
把结构转化成一个多自由度体系
i+1
mn
ki
i
mi m2 m1
楼板上下各取层高的一半，这个范围内的 全部质量集中到该层对应的质点上。 该层以下的全部抗侧力构件的刚度累加作 为多质点体系的刚度。

2.1.1 单自由度弹性体系的地震反应

1. 2. 3.

最大值与烈度有关 曲线形状与具体结构有关
0.05 0.9 0.5 5
0.05
0.9
0.05
1 0.02 (0.05 ) / 8 0.02
0.05 2 1 0.06 1.4
Tg值与具体 场地有关
0.05
1
单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
1.
2.
设计的特殊性：不需求任意时刻的位移解(需 进行Duhamel积分）。重要的是最大地震反应。 两类方法：
1. 2.
直接积分获得时程曲线然后再用FFT获得反应谱。 利用设计反应谱(一条考虑多种因素的简化曲线)。
3.
目的：把动力问题转化为等效的静力问题。这 个等效的静荷载是考虑了地震的动力作用效应 后获得的。

同一地点同样的地震烈度时，各种结构所受的地震 作用一般是不同的。(结构的动力特性不同)所以本 章考虑如何简化这些影响因素，得到地震荷载
结构的动力特性

结构的基本动力特性
结构的质量m 结构的阻尼c: 结构的刚度k:

结构的动力特性决定了结构自由振动的周 期(频率)－固有周期。 固有周期和场地的特征周期决定了结构所 受地震力的大小。
共振问题
设系统无阻尼，初始时刻为静止，地面加速度为 利用Duhamel 积分得到：

g X g sin(t ) x
x(t )
Xg k (1 2
sin(t ) )
当
，x(t)的振幅为无穷大，这时就是所谓共振
2
在两者比较接近时，由于分母中两者之比的平方也十分接近于1，所 以振幅也就十分大。此时结构的破坏已经是不可避免的了。 以上结论对于有阻尼的情况也是成立的，所不同的是，在有阻尼的
阻尼比对最大地震反应的影响


阻尼不仅使振幅虽时间衰减，还使得α max减小。 设计反应谱中， α max不仅与烈度有关，还考虑了 阻尼比的影响——阻尼增大α max减小。
最大地震作用计算 —反应谱法回顾
F am

Feq GeK
等效地震荷载是一个静力。作用在质点上。 此地震力放到原静力的计算简图上就可以计 算结构中的构件的地震作用效应
*高频结构主要取决于地面的最大加速度Sa *中频结构主要取决于地面的最大速度Sv *低频结构主要取决于地面的最大位移Sd *三种反应之间存在一定关系，可以从一个求另两个
反应谱与设计反应谱

时程曲线：变量与时间的关系 谱曲线：变量最大值与频率(周期)的关系

注意区别：地震动的谱曲线和结构地震反应的谱曲线


再论地震作用效应的特点




结构质量：轻的结构地震作用小，重的结构地震 作用大。所以，轻的结构对抗震有利。 阻尼：阻尼明显降低结构反应(包括峰值)。 结构自振周期：在地震时，结构的基本周期地面 不能与运动的周期接近，否则会产生共振。 场地土：土质越软，反应谱上加速度峰值区域宽 度越大——说明有更多的结构受较强地震作用。 地震的持时：地震作用是持续时间很短的作用。 但结构的破坏与否，与地震的作用时间(称为持时) 关系很大。
1 g () sin (t )d x(t ) x 0
t
Duhamel 积分和时程分析法-逐步积分法
1 g ( )e (t ) sin (t )d x(t ) x 0

t

杜哈美积分的特点：以一个含参变量的积分表达的，其中的 参变量是时间t。 杜哈美积分的物理意义是：初始处于静止状态的单自由度系 统，在受地震作用的全部时间内，任意时刻t的位移。 地震激励的特别困难：在地震问题中，上式中的积分是无法 计算的。原因是其中的地面加速度在任何一个时刻都是一个 随机量，它本身又是时间的函数所以是随机过程。 时程分析法：用数值积分的方法获得这个积分的近似解 线性加速度法、威尔逊θ法



这说明在时间T 以后，系统的位移又回到的原来的位置。T 称 为自由振动的周期或固有周期。它的倒数称为固有频率。 f=1/T。 固有频率仅仅与系统本身的特性有关，而与外部激励无关。这 也就是“固有”的含义。也就是说，无论初始的外部激励是什 么样子的，系统在自由振动的情况下，就是按其固有频率振动 的。 考虑自由振动问题时，我们最关心的是系统的固有周期，而振 幅是与初始条件有关的量，是非本质的。
2m
阻尼对单自由度体系振动的影响
1.
2.
3.
振幅衰减——阻尼越大振幅衰减越快 减小自振频率——增大自振周期 减小最大加速度反应
固有周期和固有频率
给时间t一个增量
T
2

2
m k
x(t ) r0 cos( (t
2
r0 cos(t )
) ) r0 cos( 2 t )
阻尼 P.16
1、阻尼是结构的重要动力特性之一。 2、阻尼力是使得结构振动不断衰减的力。这个力与质点的 运动速度成正比，但是与速度的方向相反。也就是说，速 度越大阻尼越大，如果质点静止，则阻尼也就为零。所以 阻尼力是与质点的运动有关的力。而刚度提供的则是与质 点位移有关的力(弹性恢复力)。 3、阻尼力表达为：D cx 其中负号表示与质点的运动方向相反。c称为阻尼系数。 4、阻尼的大小在实用中用阻尼比来表示。阻尼比是一个小 于1的无量纲数。阻尼比的测定是比较困难的，在实际工 程中通常取为0.05 确定阻尼比的实验原理参考教材P. c (2 7b) 5、阻尼比与阻尼系数之间的关系为：
0
1 ~ g ()e (t ) sin (t )d x (t ) x 0
t




无阻尼自由振动：系统只在恢复力作用下维持的 振动。其振动的振幅不随时间而改变，振动过程 将无限地进行下去。 有阻尼自由振动：系统在振动过程中，除受恢复 力外，还存在阻尼力，这种阻尼力的存在不断消 耗振动的能量，使振幅不断减小。 强迫振动：在外激振力作用下的振动称为强迫振 动。（工程中的自由振动，都会由于阻尼的存在 而逐渐衰减，最后完全停止。但实际上又存在有 大量的持续振动，这是由于外界有能量输入以补 充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。） 有阻尼受迫振动由两部分组成。第一部分是衰减 的自由振动；第二部分是受迫振动。
2.2.1 单自由度体系的运动方程
cx kx P(t ) m x
2 g x 2x x x
(2 4) (2 8)
g x