第10讲 单自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱
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【2019年整理】第三章1单自由度体系的弹性地震反应分析与地震作用
地震波记录
• 50年代起，美国、前苏联和中国先后采用反应谱理论建立了抗震 计算方法。
反应谱理论与振型分解法
• 由于反应谱理论正确而简单地反映了地震特性，以及结构的 动力特性，从而得到了国际上广泛的承认。实际上到50年代， 反应谱理论已基本取代了震度法。 • 值得一提的是，结构力学的振型分解法的发展是使反应谱理 论从单自由度推广到多自由度的关键。
17
3. 振动方程的简化
令： = k m (3.6) (3.7)
=
c 2 m
代入式（3.4b）得 即 (t ) 2 x (t ) 2 x (t ) = g (t ) x x (3.5)
式中 ：称为自振频率
：称为阻尼比。对于一般结构 = 0.01 0.1。
8
震害分析实例
• 1976 年 7 月 28 日唐山地震，天津第二毛纺厂的3 层钢筋
混凝土框架厂房，二层框架柱的上、下端，混凝土剥 落，主筋外露，钢筋弯钩拉脱。
• 震后，对二层柱进行局部修复加固。同年 11 月 15 日宁
河地震时，该厂房因底层严重破坏而全部倒塌。 • 事后，对该钢筋混凝土框架结构采用振型分解反应谱 法进行抗震承载力验算。计算结果表明，各层承载力 和变形均满足要求。
• 目前，工程中求解结构地震反应的方法有两类：
1. 拟静力法，也称为等效荷载法。 • 通过反应谱理论将地震对结构的作用等效为静力荷载， 按静力方法求解结构的内力和位移等。 2. 直接动力法或称为时程分析法。 • 通过输入地震波，对结构动力方程直接积分，求出结 构的地震反应与时间变化的关系，得到结构地震反应 的时程曲线。
D
sin D t ]
(3.11)
pdt 代入式（3.11）则可得到瞬时 m 冲量作用下的质点位移时程曲线： (0) = 现将x(0) = 0和x
第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱一、水平地震作用的基本公式 由上一节可知，()()[]()()t kx t x c t xt x m +=+- 0 3.26因()()r kx t xc ，略去不计，有()()[]()t kx t x t x m ≈+-0 3.27质点的绝对加速度为3.28()()()()()t x t x mkt xt x t a 20ϖ-=-=+= 将式3.24代入上式，得3.29质点的最大绝对加速度为()m ax a t a S =3.30一、 地震反应谱 反应谱分析法：求解结构最大地震反应的方法即反应谱分析法，这种方法是对单质点单自由度体系，在给定的阻尼比 时，取不同的自振周期T ，求出任意给定的地震波下的最大加速度 。
然后，以阻尼比 为参数，作出自振周期T 与最大反应的关系曲线族，即反应谱。
这样一来，对于任何单质点、单自由度体系，如果已知其自振周期T 、阻尼比 ，便可从反应谱图中直接查得该结构体系在特定地震波下的最大反应，实际运用是比较方便的。
图3.7是根据1940.5.18美国埃尔森特罗地震时地面运动加速度记录绘出的加速度反应谱曲线。
任何地震波所得的地震反应谱，几乎后共同的特点。
1、谱曲线是多峰点的，是由于地面运动的不规则造成的，但在阻尼比等于零时反应谱的谱值最大，而任何较小的阻尼比都能否使峰点削平很多。
2、当结构自振周期较小时，随周期T 的增加，反应急剧增长，而较大自振周期时，反应逐渐衰减、稳定。
目前，世界各国已普遍计算和利用地震反应谱。
在现今设计中，已有许多可以直接应用的地震反应谱，包括最大加速度、最大相对加速度或最大相对位移反应，以满足不同使用的要求。
aS 与质点质量的乘积即为水平地震作用的绝对最大值a mS F = 3.31二、 标准反应谱βGk x Sg x mg mS F max a max a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00 3.32式中： k—— 地震系数 β—— 动力系数mg G =——重力（一）地震系数1、概念：即指地面运动最大加速度与重力加速度的比值2、公式：gxk max0 =3.333、有关因素：与地震烈度有关4、确定：见表 3.1 （二）动力系数β1、概念：即指单质点弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面最大加速度之比。
第三章1-单自由度体系的弹性地震反应分析与地震作用
1 k
x g (t )
上式与振动方程（3.4b）完全相同。
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3. 振动方程的简化
令： = k m (3.6) (3.7)
=
c 2 m
代入式（3.4b）得 即 (t ) 2 x (t ) 2 x (t ) = g (t ) x x (3.5)
式中 ：称为自振频率
x (t )
建立振动方程有两种方法： 刚度法和柔度法
m
k
fD
m
fS
fI
x g (t )
14
1. 刚度法
地震时，任意时刻质点m的相对位移为x(t ) 任意时刻基础的位移为xg (t ) 质点m的绝对加速度为： x(t ) xg (t ) 取质点m为脱离体，则其所受 到的作用力有：
xg (t )
t
30
振动方程的特解——续
2 x 2 x = g x x
观察振动方程，可将方程右边项 xg (t )看作单位质量(m = 1)上 的动力荷载。
g (t )曲线划分成若 现将 x 干个瞬时荷载（如图）。
当t = 时： 体系的质量 m = 1 g ( ) 1 瞬时荷载为 P = x g ( ) d 瞬时冲量为 Pdt = x
x(t ) = et (c1 cosDt c2 sin Dt )
D = 1 2
D : 有阻尼单自由度体系的 自振频率
一般工程为欠阻尼情况： 边界条件： 代入上式：
x0 = x(0), x 0 = x(0)
c1 = x0
代入上式导数式： c = 2
x 0 x0
6
第10讲 单自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱
解：
h=5m
T 1.0s
（4）求水平地震影响系数
max 1.4 Tg 0.95s
Tg T 5Tg Tg ( ) 2 max T
0.05 0.9 0.3 6
2 max
(
0.45 max
Tg T ) 2 max
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
例1：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚 度 ic EI c / h 2.6 104 kN m ,阻尼比为0.05。试求该结构多 遇地震时的水平地震作用。 解： （1）求结构体系的自振周期
5Tg
6 .0
T ( s)
---地震影响系数；
max ---地震影响系数最
地震影响 多遇地震 罕遇地震
地震影响系数最大值
烈度 6 0.04 ----7 0.08(0.12) 0.50(0.72) 8 0.16(0.24) 0.90(1.20) 9 0.32 1.40
大值； T ---结构周期；
运动方程
m
kx
xg (t )
R(t ) cx mx cx kx mxg
单自由度弹性体系的水平地震作用与抗震 设计反应谱 一、单自由度体系的水平地震作用 对于单自由度体系，把惯性力看作反映地震对结构体 系影响的等效力，用它对结构进行抗震验算。 结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为
0.9
单支点体系水平地震作用计算法则 1 求出结构的自身振动周期T
2 结合表4-4，查得水平地震影响系数最大值
3 结合表4-5，查得特征周期Tg
h=5m
T 1.0s
（4）求水平地震影响系数
max 1.4 Tg 0.95s
Tg T 5Tg Tg ( ) 2 max T
0.05 0.9 0.3 6
2 max
(
0.45 max
Tg T ) 2 max
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
例1：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚 度 ic EI c / h 2.6 104 kN m ,阻尼比为0.05。试求该结构多 遇地震时的水平地震作用。 解： （1）求结构体系的自振周期
5Tg
6 .0
T ( s)
---地震影响系数；
max ---地震影响系数最
地震影响 多遇地震 罕遇地震
地震影响系数最大值
烈度 6 0.04 ----7 0.08(0.12) 0.50(0.72) 8 0.16(0.24) 0.90(1.20) 9 0.32 1.40
大值； T ---结构周期；
运动方程
m
kx
xg (t )
R(t ) cx mx cx kx mxg
单自由度弹性体系的水平地震作用与抗震 设计反应谱 一、单自由度体系的水平地震作用 对于单自由度体系，把惯性力看作反映地震对结构体 系影响的等效力，用它对结构进行抗震验算。 结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为
0.9
单支点体系水平地震作用计算法则 1 求出结构的自身振动周期T
2 结合表4-4，查得水平地震影响系数最大值
3 结合表4-5，查得特征周期Tg
第三章-单自由度体系结构的地震反应
－ξ ω t
P(t)
t
(t)
x(t)
() (a)
t
() (b)
xt ＝e
Pdt sin t （3.11） m
图3.7 瞬时冲量及其 引起的自由振动
3.3.2
一般动力荷载下的动力反应 般动力荷载下的动力反应—— 杜哈美积分
P()
图3.8示任一动力荷载，它 图3 8示任 动力荷载 它 的整个加载过程可看作是 由一系列瞬时冲量所组成。 运用叠加原理，把各个瞬 时冲量单独作用下的动力 反应求出 然后再叠加以 反应求出，然后再叠加以 求得总的动力反应。 冲量 P d 在 t t 引起的单自由度体系的振 动为
（3 1） （3.1） （3.2）
2x 2 x ＝ a t x
c c c 2 ＝ , ξ ， 2 mω 2 mk m
称为阻尼比；k为弹簧系数；c为阻尼系数 称为阻尼比 为弹簧系数 为阻尼系数
k ＝ ， 叫做无阻尼的自振圆频率 m
P t a t ＝ m Nhomakorabea3.4.2 运动方程数值计算解
目前直接对运动微分方程进行数值积分的方法，如 平均加速度法、线性加速度法、纽马克—法、 Wilson－法等。 数值方法的基本思路 t 0 ， t 0 及各个分点间的递 x 利用初始条件 x t 0 ，x 推关系，一步一步地向下进行递推计算
叫做激振加速度
地面运动作用下单自由度体系的运动方程
X(t) -mXg(t)
D S
I
Xg(t) (a) (b) (c)
图3.4
力学模型
x(t ) 质量块的绝对加速度 相对加速度为 x(t ) xg (t ) ，相对加速度为
P(t)
t
(t)
x(t)
() (a)
t
() (b)
xt ＝e
Pdt sin t （3.11） m
图3.7 瞬时冲量及其 引起的自由振动
3.3.2
一般动力荷载下的动力反应 般动力荷载下的动力反应—— 杜哈美积分
P()
图3.8示任一动力荷载，它 图3 8示任 动力荷载 它 的整个加载过程可看作是 由一系列瞬时冲量所组成。 运用叠加原理，把各个瞬 时冲量单独作用下的动力 反应求出 然后再叠加以 反应求出，然后再叠加以 求得总的动力反应。 冲量 P d 在 t t 引起的单自由度体系的振 动为
（3 1） （3.1） （3.2）
2x 2 x ＝ a t x
c c c 2 ＝ , ξ ， 2 mω 2 mk m
称为阻尼比；k为弹簧系数；c为阻尼系数 称为阻尼比 为弹簧系数 为阻尼系数
k ＝ ， 叫做无阻尼的自振圆频率 m
P t a t ＝ m Nhomakorabea3.4.2 运动方程数值计算解
目前直接对运动微分方程进行数值积分的方法，如 平均加速度法、线性加速度法、纽马克—法、 Wilson－法等。 数值方法的基本思路 t 0 ， t 0 及各个分点间的递 x 利用初始条件 x t 0 ，x 推关系，一步一步地向下进行递推计算
叫做激振加速度
地面运动作用下单自由度体系的运动方程
X(t) -mXg(t)
D S
I
Xg(t) (a) (b) (c)
图3.4
力学模型
x(t ) 质量块的绝对加速度 相对加速度为 x(t ) xg (t ) ，相对加速度为
单自由度体系结构的地震反应
3.13.1 概述
建筑结构的地震反应
3.1 概述
3.2.1力学模型及其运动方程
线性单自由度体系的运动方程
()
平衡方程地面运动作用下单自由度体系的运动方程平衡方程为（如图3.4）：
3.2.2单自由度体系的无阻尼自由振动3.2.3单自由度体系的有阻尼自由振动
例题分析
[例题3.1]
用下的受迫振动
3.3.1瞬时冲量及其引起的自由振动
应——杜哈美积分
3.4.1杜哈美积分的数值计算3.4 单自由度体系地震反应的数值计算
3.4.1杜哈美积分的数值计算
3.4.2运动方程数值计算解线性加速度法
线性加速度法线性加速度法
[]
例题分析例题分析
3.5 抗震设计反应谱 3.5.1水平地震作用的基本公式
采用的反应谱地震系数
动力系数标准的地震影响系数曲线
α
例题分析
例题分析
[例题3.3]
反应与计算 3.6.1材料的非线性
3.6.2单自由度非线性体系的运动方程 3.6.3非线性运动方程的求解3.6.4恢复力模型
“半退化三线型”恢复力模型。
第2章-1 地震作用-单自由度
地震反应谱Sa(T) ：某个SDF体系的最大地震反应与 体系自振周期T的关系(与结构特性以及具体地震 动有关)。P.23 (抗震)设计反应谱：统计得到的、近似的、用于抗 震设计的最大地震影响系数(类似加速度)和周期的 (1/5) 关系曲线 =0.235
0.9
场地土对加速度反应的影响
软土的加速度反应未必最大，但是峰值区域宽
地震作用
地震作用是由地震引起的惯性力，属于间接作用。 以前还称为地震力。地震是动力作用。 它是一种地震对结构影响的等效力 (惯性力)，并不 是直接作用于结构上的荷载。 设计中通过一系列简化，把地震作用简化为一个等 效的静力荷载，称为等效地震荷载。 影响地震作用效应的因素：
地震动三要素：地震烈度、持续时间和频率特性 建筑物的动力特性 场地土的特性（场地类别）
(2 9)
单自由度体系振动求解－结果汇总
单自由度体系自由振动 （1）无阻尼时
2x 2 x g x x
（2）有阻尼时 时
2
1 （3）有阻尼强迫振动时 2x 2 x g x x
自由振动解加上：
*高频结构主要取决于地面的最大加速度Sa *中频结构主要取决于地面的最大速度Sv *低频结构主要取决于地面的最大位移Sd *三种反应之间存在一定关系，可以从一个求另两个
反应谱与设计反应谱
时程曲线：变量与时间的关系 谱曲线：变量最大值与频率(周期)的关系
注意区别：地震动的谱曲线和结构地震反应的谱曲线
再论地震作用效应的特点
结构质量：轻的结构地震作用小，重的结构地震 作用大。所以，轻的结构对抗震有利。 阻尼：阻尼明显降低结构反应(包括峰值)。 结构自振周期：在地震时，结构的基本周期地面 不能与运动的周期接近，否则会产生共振。 场地土：土质越软，反应谱上加速度峰值区域宽 度越大——说明有更多的结构受较强地震作用。 地震的持时：地震作用是持续时间很短的作用。 但结构的破坏与否，与地震的作用时间(称为持时) 关系很大。
自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱
响应特性
自由度弹性体系在水平地震作用下的响应特性包括位移、速度和加速度，这些响应与体系的自振频率、阻尼比和 刚度有关。
自由度弹性体系的地震损伤机理与破坏模式
损伤机理
水平地震作用下，自由度弹性体系的损伤机理主要包括构件的弯曲、剪切和拉伸，以及 节点或连接处的断裂。
破坏模式
常见的破坏模式包括整体倾覆、结构失稳、节点或连接处断裂等，这些破坏模式与地震 强度、结构设计和材料性能有关。
自由度弹性体系是指由多个弹性体组成的体系，其中每个弹 性体都可以在一定范围内自由振动。根据体系中弹性体的数 量和性质，可以分为单自由度、多自由度和无限自由度等类 型。
自由度弹性体系广泛应用于工程结构分析中，如桥梁、建筑 和机械系统等。通过建立数学模型，可以描述体系的运动行 为和受力状态。
自由度弹性体系的运动方程
自由度弹性体系的水平地震作用与 抗震设计反应谱
目 录
• 引言 • 自由度弹性体系的基本理论 • 水平地震作用的计算方法 • 抗震设计反应谱的建立 • 自由度弹性体系在地震作用下的反应分析 • 结论与展望
01 引言
背景介绍
01
地震是一种常见的自然灾害，对人类生命财产安全造成巨大威 胁。
02
地震作用下，建筑物等结构的抗震性能是关注的重点。
未来研究可以结合实际工程案例，对自由度弹性体系的抗震性能进行更为细致的分 析和评估，为工程实践提供更为可靠的依据。
此外，可以考虑将自由度弹性体系的地震反应谱研究与其他领域的研究相结合，如 结构健康监测、地震预警等，以实现更为全面和深入的研究。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
反应谱的应用范围与限制
应用范围
适用于单自由度弹性体系的地震作用分析和抗震设计。
自由度弹性体系在水平地震作用下的响应特性包括位移、速度和加速度，这些响应与体系的自振频率、阻尼比和 刚度有关。
自由度弹性体系的地震损伤机理与破坏模式
损伤机理
水平地震作用下，自由度弹性体系的损伤机理主要包括构件的弯曲、剪切和拉伸，以及 节点或连接处的断裂。
破坏模式
常见的破坏模式包括整体倾覆、结构失稳、节点或连接处断裂等，这些破坏模式与地震 强度、结构设计和材料性能有关。
自由度弹性体系是指由多个弹性体组成的体系，其中每个弹 性体都可以在一定范围内自由振动。根据体系中弹性体的数 量和性质，可以分为单自由度、多自由度和无限自由度等类 型。
自由度弹性体系广泛应用于工程结构分析中，如桥梁、建筑 和机械系统等。通过建立数学模型，可以描述体系的运动行 为和受力状态。
自由度弹性体系的运动方程
自由度弹性体系的水平地震作用与 抗震设计反应谱
目 录
• 引言 • 自由度弹性体系的基本理论 • 水平地震作用的计算方法 • 抗震设计反应谱的建立 • 自由度弹性体系在地震作用下的反应分析 • 结论与展望
01 引言
背景介绍
01
地震是一种常见的自然灾害，对人类生命财产安全造成巨大威 胁。
02
地震作用下，建筑物等结构的抗震性能是关注的重点。
未来研究可以结合实际工程案例，对自由度弹性体系的抗震性能进行更为细致的分 析和评估，为工程实践提供更为可靠的依据。
此外，可以考虑将自由度弹性体系的地震反应谱研究与其他领域的研究相结合，如 结构健康监测、地震预警等，以实现更为全面和深入的研究。
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反应谱的应用范围与限制
应用范围
适用于单自由度弹性体系的地震作用分析和抗震设计。
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20
例如，某屋顶的永久荷载标准值为10kN，屋面活荷 载为20kN，请问该屋顶的重力荷载代表值为？ 例如，某屋顶的永久荷载标准值为10kN，雪荷载为 20kN，请问该屋顶的重力荷载代表值为？
组合值系数
可变荷载种类 雪荷载 屋面积灰荷载 屋面活荷载 按实际情况考虑的楼面活荷载 藏书库、档案库 按等效均布荷载考虑 其它民用建筑 的楼面活荷载 硬钩吊车 吊车悬吊物重力 软钩吊车 组合值系数 0.5 0.5 不考虑 1.0 0.8 0.5 0.3 不考虑
解：
h=5m
T 1.0s
（4）求水平地震影响系数
max 1.4 Tg 0.95s
Tg T 5Tg Tg ( ) 2 max T
0.05 0.9 0.3 6
2 max
(
0.45 max
Tg T ) 2 max
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
一、地震作用下单自由度体系的运动方程
质点位移
X (t ) g ) m( x x
cx
质点加速度 X (t ) x(t ) xg (t )
x(t )
I (t ) (mx mxg ) 惯性力 弹性恢复力 S (t ) kx
阻尼力
max
---地震系数
---动力系数
max
k ---水平地震影响系数
2
F G k
Sa g (t ) x
k
g (t ) x g
max
max
2 1 T g (t ) x
max
t
0
g ( )e x
2 ( t ) T
sin
2 (t )d T
3 结合表4-5，查得特征周期Tg
4 依据已求出的T，查图4-12，得到α
11
2 max
0.45 max
T ( g ) 2 max T
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
0 0 .1
Tg
5Tg
6 .0
T ( s)
Tg ---特征周期；
场地类别
---曲线下降段的衰减指数；第一组
max
二、抗震设计反应谱
在给定的地震加速度作用期间内，单质点 体系的最大位移反应、速度反应和加速度 反应随质点自振周期变化的曲线。用作计 算在地震作用下结构的内力和变形。
3
2 max
(
0.45 max
Tg T ) 2 max
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
Tg
5Tg
6 .0
T ( s)
---地震影响系数；
max ---地震影响系数最
地震影响 多遇地震 罕遇地震
地震影响系数最大值
烈度 6 0.04 ----7 0.08(0.12) 0.50(0.72) 8 0.16(0.24) 0.90(1.20) 9 0.32 1.40
大值； T ---结构周期；
h=5m
T 1.0s
（2）查表确定 max
max 1.4
场地类别
（3）查表确定Tg
第一组 第二组 第三组
Ⅰ 0.25 0.30 0.35
Ⅱ 0.35 0.40 0.45
Ⅲ 0.45 0.55 0.65
Ⅳ 0.65 0.75 0.90
18
Tg 0.95s
例3：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为9度，设计地震分组为三组，IV类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，自振周期为 1.0s，阻尼比为0.05。试求该结构罕遇地震时的水平地 震作用。
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
0 0 .1
Tg
5Tg
6 .0
T ( s)
Tg ---特征周期；
场地类别
---曲线下降段的衰减指数；第一组
1 ---直线下降段的斜率调
整系数；
第二组 第三组
Ⅰ1 0.25 0.30 0.35
Ⅱ 0.35 0.40 0.45
Ⅲ 0.45 0.55 0.65
例2：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为7（0.15g）度，设计地震分组为 二组，II类场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，自 振周期为0.4s，阻尼比为0.01。试求该结构多遇地震时 的水平地震作用。 解： （1）求结构体系的自振周期
h=5m
T 0.4s
0 0 .1
Tg
5Tg
6 .0
T ( s)
反应谱分为加速度反应谱、速度反应谱 和位移反应谱。
4
不同场地条件对反应谱的影响
Sa / g
软土层 厚的无粘性土层
周期（s)
坚硬场地
岩石
结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响。 地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反应谱 把随时程变化的地震作用转化为最大的等效侧向力。 将多个地震反应谱平均后得平均加速度反应谱
场地类别
第一组 第二组 第三组
Ⅰ 0.25 0.30 0.35
Ⅱ 0.35 0.40 0.45
Ⅲ 0.45 0.55 0.65
Ⅳ 0.65 0.75 0.90
14
Tg 0.3
例1：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚 度 ic EI c / h 2.6 104 kN m ,阻尼比为0.05。试求该结构多 遇地震时的水平地震作用。
21
1 可变荷载有四个代表值_______________、_______________、 ________________、___________________。 2 设计中需要考虑的极限状态形式包括_______________、 _______________。 3 请解释何为单质点体系 4 发生地震时，距离震中距越远，结构的破坏程度就一定越小 这种说法是否正确？ 5 地震反应谱曲线的横、纵坐标分别代表什么变量？
解：
h=5m
T 0.4s
（4）求水平地震影响系数
max 0.12 Tg 0.4
Tg T 2 max
2 max
(
0.45 max
Tg T ) 2 max
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
2 1
0.05 1.42 0.08 1.6
（2）查表确定 max
max 0.12
场地类别
（3）查表确定Tg
第一组 第二组 第三组
Ⅰ 0.25 0.30 0.35
Ⅱ 0.35 0.40 0.45
Ⅲ 0.45 0.55 0.65
Ⅳ 0.65 0.75 0.90
16
Tg 0.4s
例2：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为7（0.15g）度，设计地震分组为 二组，II类场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，自 振周期为0.4s，阻尼比为0.01。试求该结构多遇地震时 的水平地震作用。
5
单支点体系水平地震作 用计算法则
6
单支点体系水平地震作用计算法则 1 求出结构的自身振动周期T
2 结合表4-12，查得水平地震影响系数最大值
7
2 max
0.45 max
T ( g ) 2 max T
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
0 0 .1
运动方程
m
kx
xg (t )
R(t ) cx mx cx kx mxg
单自由度弹性体系的水平地震作用与抗震 设计反应谱 一、单自由度体系的水平地震作用 对于单自由度体系，把惯性力看作反映地震对结构体 系影响的等效力，用它对结构进行抗震验算。 结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为
12
单支点体系水平地震作用计算法则 1 求出结构的自身振动周期T
2 结合表4-4，查得水平地震影响系数最大值
3 结合表4-5，查得特征周期Tg
4 依据已求出的T，查图4-12，得到α
注意结合式（4-28）求得η 2，式（4-26）求得Υ ，以及式（4-27）求得η 1
5 F= αG,求出水平方向地震作用，进而求出地震剪力。
13
例1：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚 度 ic EI c / h 2.6 104 kN m ,阻尼比为0.05。试求该结构多 遇地震时的水平地震作用。 解： （1）求结构体系的自振周期
G Gk QiQik
i 1 n
Qik ---第i个可变荷载标准值；
Qi ---第i个可变荷载的组合值系数；
组合值系数
可变荷载种类 雪荷载 屋面积灰荷载 屋面活荷载 按实际情况考虑的楼面活荷载 藏书库、档案库 按等效均布荷载考虑 其它民用建筑 的楼面活荷载 硬钩吊车 吊车悬吊物重力 软钩吊车 组合值系数 0.5 0.5 不考虑 1.0 0.8 0.5 0.3 不考虑
(t ) g (t ) F F (t ) max m x x
Sa mg g (t ) x g (t ) x
max max
max
mS a
g
Gk G
G ---集中于质点处的重力荷载代表值；
g ---重力加速度
Sa g (t ) x
k
g (t ) x g
h=5m
12ic 2 12480 24960kN/m 2 h m G / g 700kN / 9.8m / s 2 71.4 t K 2
例如，某屋顶的永久荷载标准值为10kN，屋面活荷 载为20kN，请问该屋顶的重力荷载代表值为？ 例如，某屋顶的永久荷载标准值为10kN，雪荷载为 20kN，请问该屋顶的重力荷载代表值为？
组合值系数
可变荷载种类 雪荷载 屋面积灰荷载 屋面活荷载 按实际情况考虑的楼面活荷载 藏书库、档案库 按等效均布荷载考虑 其它民用建筑 的楼面活荷载 硬钩吊车 吊车悬吊物重力 软钩吊车 组合值系数 0.5 0.5 不考虑 1.0 0.8 0.5 0.3 不考虑
解：
h=5m
T 1.0s
（4）求水平地震影响系数
max 1.4 Tg 0.95s
Tg T 5Tg Tg ( ) 2 max T
0.05 0.9 0.3 6
2 max
(
0.45 max
Tg T ) 2 max
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
一、地震作用下单自由度体系的运动方程
质点位移
X (t ) g ) m( x x
cx
质点加速度 X (t ) x(t ) xg (t )
x(t )
I (t ) (mx mxg ) 惯性力 弹性恢复力 S (t ) kx
阻尼力
max
---地震系数
---动力系数
max
k ---水平地震影响系数
2
F G k
Sa g (t ) x
k
g (t ) x g
max
max
2 1 T g (t ) x
max
t
0
g ( )e x
2 ( t ) T
sin
2 (t )d T
3 结合表4-5，查得特征周期Tg
4 依据已求出的T，查图4-12，得到α
11
2 max
0.45 max
T ( g ) 2 max T
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
0 0 .1
Tg
5Tg
6 .0
T ( s)
Tg ---特征周期；
场地类别
---曲线下降段的衰减指数；第一组
max
二、抗震设计反应谱
在给定的地震加速度作用期间内，单质点 体系的最大位移反应、速度反应和加速度 反应随质点自振周期变化的曲线。用作计 算在地震作用下结构的内力和变形。
3
2 max
(
0.45 max
Tg T ) 2 max
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
Tg
5Tg
6 .0
T ( s)
---地震影响系数；
max ---地震影响系数最
地震影响 多遇地震 罕遇地震
地震影响系数最大值
烈度 6 0.04 ----7 0.08(0.12) 0.50(0.72) 8 0.16(0.24) 0.90(1.20) 9 0.32 1.40
大值； T ---结构周期；
h=5m
T 1.0s
（2）查表确定 max
max 1.4
场地类别
（3）查表确定Tg
第一组 第二组 第三组
Ⅰ 0.25 0.30 0.35
Ⅱ 0.35 0.40 0.45
Ⅲ 0.45 0.55 0.65
Ⅳ 0.65 0.75 0.90
18
Tg 0.95s
例3：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为9度，设计地震分组为三组，IV类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，自振周期为 1.0s，阻尼比为0.05。试求该结构罕遇地震时的水平地 震作用。
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
0 0 .1
Tg
5Tg
6 .0
T ( s)
Tg ---特征周期；
场地类别
---曲线下降段的衰减指数；第一组
1 ---直线下降段的斜率调
整系数；
第二组 第三组
Ⅰ1 0.25 0.30 0.35
Ⅱ 0.35 0.40 0.45
Ⅲ 0.45 0.55 0.65
例2：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为7（0.15g）度，设计地震分组为 二组，II类场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，自 振周期为0.4s，阻尼比为0.01。试求该结构多遇地震时 的水平地震作用。 解： （1）求结构体系的自振周期
h=5m
T 0.4s
0 0 .1
Tg
5Tg
6 .0
T ( s)
反应谱分为加速度反应谱、速度反应谱 和位移反应谱。
4
不同场地条件对反应谱的影响
Sa / g
软土层 厚的无粘性土层
周期（s)
坚硬场地
岩石
结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响。 地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反应谱 把随时程变化的地震作用转化为最大的等效侧向力。 将多个地震反应谱平均后得平均加速度反应谱
场地类别
第一组 第二组 第三组
Ⅰ 0.25 0.30 0.35
Ⅱ 0.35 0.40 0.45
Ⅲ 0.45 0.55 0.65
Ⅳ 0.65 0.75 0.90
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Tg 0.3
例1：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚 度 ic EI c / h 2.6 104 kN m ,阻尼比为0.05。试求该结构多 遇地震时的水平地震作用。
21
1 可变荷载有四个代表值_______________、_______________、 ________________、___________________。 2 设计中需要考虑的极限状态形式包括_______________、 _______________。 3 请解释何为单质点体系 4 发生地震时，距离震中距越远，结构的破坏程度就一定越小 这种说法是否正确？ 5 地震反应谱曲线的横、纵坐标分别代表什么变量？
解：
h=5m
T 0.4s
（4）求水平地震影响系数
max 0.12 Tg 0.4
Tg T 2 max
2 max
(
0.45 max
Tg T ) 2 max
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
2 1
0.05 1.42 0.08 1.6
（2）查表确定 max
max 0.12
场地类别
（3）查表确定Tg
第一组 第二组 第三组
Ⅰ 0.25 0.30 0.35
Ⅱ 0.35 0.40 0.45
Ⅲ 0.45 0.55 0.65
Ⅳ 0.65 0.75 0.90
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Tg 0.4s
例2：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为7（0.15g）度，设计地震分组为 二组，II类场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，自 振周期为0.4s，阻尼比为0.01。试求该结构多遇地震时 的水平地震作用。
5
单支点体系水平地震作 用计算法则
6
单支点体系水平地震作用计算法则 1 求出结构的自身振动周期T
2 结合表4-12，查得水平地震影响系数最大值
7
2 max
0.45 max
T ( g ) 2 max T
[2 0.2 1 (T 5Tg )]max
0 0 .1
运动方程
m
kx
xg (t )
R(t ) cx mx cx kx mxg
单自由度弹性体系的水平地震作用与抗震 设计反应谱 一、单自由度体系的水平地震作用 对于单自由度体系，把惯性力看作反映地震对结构体 系影响的等效力，用它对结构进行抗震验算。 结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为
12
单支点体系水平地震作用计算法则 1 求出结构的自身振动周期T
2 结合表4-4，查得水平地震影响系数最大值
3 结合表4-5，查得特征周期Tg
4 依据已求出的T，查图4-12，得到α
注意结合式（4-28）求得η 2，式（4-26）求得Υ ，以及式（4-27）求得η 1
5 F= αG,求出水平方向地震作用，进而求出地震剪力。
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例1：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚 度 ic EI c / h 2.6 104 kN m ,阻尼比为0.05。试求该结构多 遇地震时的水平地震作用。 解： （1）求结构体系的自振周期
G Gk QiQik
i 1 n
Qik ---第i个可变荷载标准值；
Qi ---第i个可变荷载的组合值系数；
组合值系数
可变荷载种类 雪荷载 屋面积灰荷载 屋面活荷载 按实际情况考虑的楼面活荷载 藏书库、档案库 按等效均布荷载考虑 其它民用建筑 的楼面活荷载 硬钩吊车 吊车悬吊物重力 软钩吊车 组合值系数 0.5 0.5 不考虑 1.0 0.8 0.5 0.3 不考虑
(t ) g (t ) F F (t ) max m x x
Sa mg g (t ) x g (t ) x
max max
max
mS a
g
Gk G
G ---集中于质点处的重力荷载代表值；
g ---重力加速度
Sa g (t ) x
k
g (t ) x g
h=5m
12ic 2 12480 24960kN/m 2 h m G / g 700kN / 9.8m / s 2 71.4 t K 2