3—5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用共21页
第五节 多自由度体系的水平地震作用
第五节 多自由度体系的水平地震作用一、振型分解反应谱法多质点弹性体系地震反应同单质点弹性体系一样，可以通过运动方程的建立和求解来实现。
假定建筑结构是线弹性的多自由度体系，利用振型分解和振型正交性原理，将求解n 个多自由度弹性体系的地震反应分析分解成n 个独立等效的单自由度体系的最大地震反应，分别利用标准反应谱，求得结构j 振型下，质点i 的F ，再按一般力学方法，求j 振型水平地震作用产生的作用效应（弯矩、剪力、轴力和变形），最后，按一定法则将各振型的作用效应进行组合，（但应注意，这种振型间作用效应的组合，并非简单的求代数和。
）便可确定多自由度体系在水平地震作用下产生的作用效应。
由于各个振型在总的地震效应中的贡献总是以自振周期最长的基本振型（第一振型）为最大，高振型的贡献随振型阶数增高而迅速减小。
实际上，即使体系的自由度再多，也只计算对结构反应起控制作用的前k 个振型就够了，一般需考虑的振型个数k=2—3，即取前2—3个振型的地震作用效应进行组合，就可以得到精度很高的近似值，从而大胆减少计算工作量。
1、振型的最大地震作用第j 振型I 质点最大地震作用i ji j j ji G X F γα=式中： j α —— 相应于第j 振型自振周期T 的地震影响系数j γ —— j 振型的振型参与系数∑∑===n i jiin i jii j X m X m 121γ ji X —— j 振型i 质点的水平相对位移——振型位移i G —— 集中于i 质点的重力荷载代表值上述方法繁琐，工作量大，计算不方便，因此工程中为了简化计算，在满足一定条件下，可采用近似的计算法，即底部剪力法。
2、振型组合（1）SRSS （平方和开方法）∑=2j S S（2）CQC （完整二次项组合法）二、底部剪力法1、 适用条件：（1） 高度不超过40m ；（2） 以剪切变形为主（房屋高宽比小于4）（3） 质量和刚度沿高度分布比较均匀（4） 近似于单质点体系当结构满足上述条件时，结构振动位移反应以基本振型（第一振型）为主，且基本振型接近于直线。
多自由度水平地震作用
§4 多自由度体系地震反应分析
无阻尼多自由度弹性体系的自由振动方程为：
} [ K ]{u} {0} [ M ]{u
设结构作简谐振动，其位移反应为： {u} { } sin( t ) 式中，ω—自振频率；θ—初始相位角; {ϕ}—仅与位置坐标有关的向量。 2 ([ K ] [ M ]){} 0 可以得到特征方程： 根据线性代数的知识，特征方程存在非零解的 充要条件是系数行列式等于零，即得到频率方 程： | [ K ] 2 [ M ] | 0
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
4.1 动力方程的建立
实际工程结构的质量都是沿结构几何形状连续 分布的，因此，严格地说，其动力自由度应该 是无限的。 但是，采用无限自由度模型，一方面计算过于 复杂；另一方面也没这种必要，因为，选用有 限多自由度模型的计算结果已能充分满足一般 工程设计的精度要求。 因此，在研究和应用中，一般通过结构的离散 化方法，将无限自由度体系转化为有限自由度 体系。
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
为了对不同频率的振型进行形状上的比较，需 要将其化为无量纲形式，这种转化过程称为振 型的规格化。 振型规格化的方法可采用下述三种方法之一： (1)特定坐标的规格化方法：指定振型向量中某一 坐标值为1，其它元素按比例确定； (2)最大位移值的规格化方法：将振型向量各元素 分别除以其中的最大值；
{ j }T [K ]{i } i2 { j }T [M ]{i }
T {i }T [ K ]{ j } 2 { } [ M ]{ j } j i
左式不变，而对右式进行转置运算可得
{ j }T [K ]{i } i2 { j }T [M ]{i }
自由度体系结构的地震反应
直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
地震影响系数曲线
2 当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定： 1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定： 2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定： 3)阻尼调整系数应按下式确定：
地震影响系数的确定
建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。其水平地震影响系数最大值应按表3-4采用；特征周期应根据场地类别和设计地震分组按表3-2采用,计算罕遇地震作用时，特征周期应增加0.05s。
近年来地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况重得多；理论分析也发现，震中距不同时反应谱频谱特性并不相同。
2
为更好体现震级和震中距的影响，采用设计地震分组来区分近震和远震，将建筑工程的设计地震分为三组。
3
设计地震第一组；震中距较小
4
设计地震第二组；震中距适中
5
设计地震第三组：震中距较大
6
常用术语—设计地震分组
谢谢观看！
单击此处添加副标题
3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱 标准反应谱
地震系数
地震系数是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值。 地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定对应关系。
地震烈度
6
7
8
9
地震系数k
0.05
0.1（0.15）
自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱
自由度弹性体系在水平地震作用下的响应特性包括位移、速度和加速度，这些响应与体系的自振频率、阻尼比和 刚度有关。
自由度弹性体系的地震损伤机理与破坏模式
损伤机理
水平地震作用下，自由度弹性体系的损伤机理主要包括构件的弯曲、剪切和拉伸，以及 节点或连接处的断裂。
破坏模式
常见的破坏模式包括整体倾覆、结构失稳、节点或连接处断裂等，这些破坏模式与地震 强度、结构设计和材料性能有关。
自由度弹性体系是指由多个弹性体组成的体系，其中每个弹 性体都可以在一定范围内自由振动。根据体系中弹性体的数 量和性质，可以分为单自由度、多自由度和无限自由度等类 型。
自由度弹性体系广泛应用于工程结构分析中，如桥梁、建筑 和机械系统等。通过建立数学模型，可以描述体系的运动行 为和受力状态。
自由度弹性体系的运动方程
自由度弹性体系的水平地震作用与 抗震设计反应谱
目 录
• 引言 • 自由度弹性体系的基本理论 • 水平地震作用的计算方法 • 抗震设计反应谱的建立 • 自由度弹性体系在地震作用下的反应分析 • 结论与展望
01 引言
背景介绍
01
地震是一种常见的自然灾害，对人类生命财产安全造成巨大威 胁。
02
地震作用下，建筑物等结构的抗震性能是关注的重点。
未来研究可以结合实际工程案例，对自由度弹性体系的抗震性能进行更为细致的分 析和评估，为工程实践提供更为可靠的依据。
此外，可以考虑将自由度弹性体系的地震反应谱研究与其他领域的研究相结合，如 结构健康监测、地震预警等，以实现更为全面和深入的研究。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
反应谱的应用范围与限制
应用范围
适用于单自由度弹性体系的地震作用分析和抗震设计。
结构地震反应分析与抗震计算课件
3.1.2 地震作用
结构抗震理论的发展
结构地震反应计算方法的发展，大致可以划分为三个阶段：
1、静力理论阶段---静力法
1920年，由日本大森房吉提出。假设建
m
筑物为绝对刚体。
mxg (t)
结构所受的水平地震作用：
Fmx gma x G gx gma x Gk
xg (t )
fc cx&t
结构地震反应分析与抗震计算
3.2.1 运动方程
弹性恢复力是使质点从振动位置回到平衡位置的力，由结构的弹 性变形产生。 根据胡克定律，恢复力与质点偏离平衡位置的位移成正比，但 方向与质点位移的方向相反。
fr kx
根据达朗贝尔原理，在任一时刻t，质点在惯性力、阻尼力及弹 性恢复力三者作用下保持动力平衡。于是运动平衡方程为
结构地震反应分析与抗震计算
3.1.3 结构动力计算简图及体系自由度
为确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需要的独立 的几何参数的数目，即自由度。
空间中一个自由质点可有三个独立的平动位移（忽略转 动），因此它具有三个平动自由度。若限制质点在一个平面内 运动，则一个质点有两个自由度。根据结构自由度的数量多少， 可分为单自由度体系和多单自由度体系。 质量集中点的个数与自由度个数并不是一一对应的
结构地震反应分析与抗震计算
3.1.3 结构动力计算简迪图拜及哈体利系法自塔由度
高层建筑
结构地震反应分析与抗震计算
烟囱
结构地震反应分析与抗震计算
对多、高层建筑其集中质量等于该楼层上、下各半的区域质量 （楼盖、墙体等）之和（每个质点的质量应根据重力荷载代表 值确定），并集中在楼面结构标高处，固端位置一般取至基础 顶面或室外地面下0.5m处。
计算多自由度弹性体系的最大地震反应
计算多自由度弹性体系的最大地震反应杨晓云;杨卫平;谷明宇【摘要】简要介绍了计算多自由度弹性体系最大地震反应的振型分解法及底部剪力法的理论基础,着重对这两种方法求解框架的最大底部剪力和最大顶点的位移过程进行了探讨,得出了一些有意义的结论.【期刊名称】《山西建筑》【年(卷),期】2013(039)022【总页数】3页(P24-26)【关键词】地震反应;位移;剪力;结构【作者】杨晓云;杨卫平;谷明宇【作者单位】内蒙古科技大学建筑与土木工程学院,内蒙古包头014010;内蒙古科技大学建筑与土木工程学院,内蒙古包头014010;内蒙古科技大学矿业工程学院,内蒙古包头014010【正文语种】中文【中图分类】TU352.10 引言目前，对结构抗震设计最有意义的是结构最大地震反应。
两种计算多自由度弹性体系最大地震反应的方法:一种是振型分解反应谱法，另一种是底部剪力法。
其中前者的理论基础是地震反应分析的振型分解法及地震反应谱概念，而后者则是振型分解反应谱法的简化。
1 振型分解法求解框架的最大底部剪力和最大顶点位移3层剪切型结构如图1所示，结构处于8度区(地震加速度是0.20g)，Ⅰ类场地第一组，结构阻尼比是0.05。
试采用振型分解反应谱法，求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。
解:该结构是3自由度体系，质量矩阵和刚度矩阵分别为:先由特征值方程求自振圆频率，令得:即:B3－5.5B2+7.5B－2=0。
由上式可得:B1=0.351，B2=1.61，B3=3.54。
从而由得:由得结构的各阶自振周期:为求第一阶振型，将w1=14.5rad/s代入:得则第一阶振型为:同理得:由(振型分解反应谱法)得:根据场地类别、设计地震分组查表得特征周期值:根据设防烈度、地震影响查表得水平地震影响系数:αmax=0.16，则:由Fji=Giαjγjφji得:第一振型各质点(或各楼面)水平地震作用为:F11=2.0×9.8×0.0976×1.421×0.301=0.818kN。
7第七讲 多自由度弹性体系的水平地震作用
S1 (k11 x1 k12 x2 )
阻尼力
D1 (c11 x1 c12 x2 )
x x m
1 g 1
1
I
质点1的动力平衡方程
I1 + D1 + S1 = 0 得：
m1 1 c11 x1 c12 x2 k11 x1 k12 x2 m1 g x x
k11 k12 k1n 两边左乘一个 X 0 m1 T m2 t )} X T0[c](X {k)( t )} X T [ k ] X {q( t ( X M )} j [ M ][ ] X T {q ,[k ] q ,[c ] T { x j } [ M ]{ xk } X [ M ]{ I }g ( t ) M j ( j k ) x mn 0 根据振型的正交性有： 假定： k12 kknnn kkn1 11 1 m 0
2
1
2( )
j振型的反应:
记 j (t ) 为阻尼比 j ，频率 j 的SDOF体系地震位 移反应，则：
j (t ) 1
j
t 0
g ( )e j j ( t ) sin j ( t )d x
j振型的圆频率
j振型的阻尼比 (j=1,2,3… …,n)
q j (t ) j j (t )
质点的地震反应位移为：
x t X q t
第i质点的位移Leabharlann xi ( t )
j 1
n
j
j ( t ) X ji
3—5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用
3.5.2 底部剪力法
再将余下的部分 (1−δn )FEK 进行分配。因此， 进行分配。因此，在 考虑了上述调整后， 考虑了上述调整后，顶点的水平地震作用为 GnHn Fn = n (1−δn )FEK +δnFEK ∑ H jGj (3-135b) 135b) j=1 而其余各质点的水平地震作用为
αj Gi Vjo = ∑ Fji = ∑α jγ jφjiGi = α1G∑ γ j X ji i=1 i=1 i=1α G 1
n n n
5-3)
αj Gi 2 FEK = ∑V = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1
n 2 jo n n
(3-
3.5.2 底部剪力法
式中， 为高振型影响系数， 式中，ξ为高振型影响系数，其表达式为
αj Gi 2 ξ = j∑1(i∑ γ j X ji ) = =1α G 1
n n
计算资料的统计分析表明， 计算资料的统计分析表明 ， 当结构体系各质点重量 相等，并在高度方向均匀分布时， 相等，并在高度方向均匀分布时， ， ξ =1.5( n为质点数n +1) /(2n +1) 为质点数。如为单质点体系(即单层建筑 即单层建筑)， 为质点数。如为单质点体系 即单层建筑 ， ，如 ξ =1 为无穷多质点体系， 抗震规范》取中间值， 为无穷多质点体系， 。《抗震规范》取中间值， ξ = 0.75 故式(3-5-3) ξ = 0.85 即 。故式 n n n αj Gi 2 2 FEK = ∑Vjo = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1 改写为
3.5.2 底部剪力法
FEK = α1Geq