多自由度体系地震反应分析
合集下载
工程结构抗震设计基础 Part.1 第2章2 结构的弹性地震反应分析与抗震验算规定
2.8 建筑结构的抗震验算规定 2.8.1 一般规定 1、地震作用及计算方法 总的考虑： (1) 在抗震计算中，一般可在建筑结构的两个主轴方向 分别考虑水平地震作用，各方向的水平地震作用由该方 向的抗侧力构件承担； (2) 有斜交的抗侧力构件的结构，宜分别考虑各抗侧力 构件方向的水平地震作用；
(3) 对于质量和刚度明显不均匀、不对称的结构，应
(3) 按式(3-110)求顶部附加水平地震作用Δ Fn；
(4) 按式(3-111)求各质点的水平地震作用Fi(i＝1,2,…,n)； (5) 按力学方法求各层结构的地震作用效应。
《例题2-7》
试按振型分解法和底部剪力法计算下图所示三层框架 结构相应于多遇地震时的各楼层地震剪力。设防烈度8度，
近震，场地类别Ⅲ类。 (ml＝116620 kg，m2＝110850kg，
(弯矩、剪力、轴力或变形等)； 最后，按一定的组合原则，将各振型的作用效应
进行组合便得到多自由度体系的水平地震作用效应。
1
振型的地震作用
单自由度：
多自由度： 振型分解后，相应于振型j质点i的位移地震反应 质点产生的惯性力为质点所受的地震作用：
2 振型的最大地震作用 利用反应谱，可求出振型的最大地震作用：
或
结构底部总剪力FEk为
FEk
2 1GE FEj j 1 n n j Gi X j ji G j 1 1 i 1 E n 2
(3 102)
记
所以
FEk 1Geq
(3 105)
式中：FEk——结构总水平地震作用(底部剪力)标准值； α 1——相应于结构基本周期T1时的地震影响系数值，按图3-25反应谱 或式(3-40)确定； Geq——结构等效总重力荷载； GE——结构总重力荷载代表值，GE =Σ Gi , Gi为集中于质点i的重力 荷载代表值(见后面式(3-120))。 β ——等效总重力荷载换算系数，对于单质点体系等于1.0，对于二 层以上的多层建筑，其值在0.8～0.98之间。《抗震规范》规定，多质点体 系取0.85；
自由度体系结构的地震反应
曲线下降段，自特征周期至5倍特征周期区段，衰减指数应取0.9。
直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
地震影响系数曲线
2 当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定： 1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定： 2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定： 3)阻尼调整系数应按下式确定：
地震影响系数的确定
建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。其水平地震影响系数最大值应按表3-4采用；特征周期应根据场地类别和设计地震分组按表3-2采用,计算罕遇地震作用时，特征周期应增加0.05s。
近年来地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况重得多；理论分析也发现，震中距不同时反应谱频谱特性并不相同。
2
为更好体现震级和震中距的影响，采用设计地震分组来区分近震和远震，将建筑工程的设计地震分为三组。
3
设计地震第一组；震中距较小
4
设计地震第二组；震中距适中
5
设计地震第三组：震中距较大
6
常用术语—设计地震分组
谢谢观看！
单击此处添加副标题
3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱 标准反应谱
地震系数
地震系数是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值。 地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定对应关系。
地震烈度
6
7
8
9
地震系数k
0.05
0.1（0.15）
直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
地震影响系数曲线
2 当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定： 1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定： 2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定： 3)阻尼调整系数应按下式确定：
地震影响系数的确定
建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。其水平地震影响系数最大值应按表3-4采用；特征周期应根据场地类别和设计地震分组按表3-2采用,计算罕遇地震作用时，特征周期应增加0.05s。
近年来地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况重得多；理论分析也发现，震中距不同时反应谱频谱特性并不相同。
2
为更好体现震级和震中距的影响，采用设计地震分组来区分近震和远震，将建筑工程的设计地震分为三组。
3
设计地震第一组；震中距较小
4
设计地震第二组；震中距适中
5
设计地震第三组：震中距较大
6
常用术语—设计地震分组
谢谢观看！
单击此处添加副标题
3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱 标准反应谱
地震系数
地震系数是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值。 地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定对应关系。
地震烈度
6
7
8
9
地震系数k
0.05
0.1（0.15）
自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱
响应特性
自由度弹性体系在水平地震作用下的响应特性包括位移、速度和加速度，这些响应与体系的自振频率、阻尼比和 刚度有关。
自由度弹性体系的地震损伤机理与破坏模式
损伤机理
水平地震作用下，自由度弹性体系的损伤机理主要包括构件的弯曲、剪切和拉伸，以及 节点或连接处的断裂。
破坏模式
常见的破坏模式包括整体倾覆、结构失稳、节点或连接处断裂等，这些破坏模式与地震 强度、结构设计和材料性能有关。
自由度弹性体系是指由多个弹性体组成的体系，其中每个弹 性体都可以在一定范围内自由振动。根据体系中弹性体的数 量和性质，可以分为单自由度、多自由度和无限自由度等类 型。
自由度弹性体系广泛应用于工程结构分析中，如桥梁、建筑 和机械系统等。通过建立数学模型，可以描述体系的运动行 为和受力状态。
自由度弹性体系的运动方程
自由度弹性体系的水平地震作用与 抗震设计反应谱
目 录
• 引言 • 自由度弹性体系的基本理论 • 水平地震作用的计算方法 • 抗震设计反应谱的建立 • 自由度弹性体系在地震作用下的反应分析 • 结论与展望
01 引言
背景介绍
01
地震是一种常见的自然灾害，对人类生命财产安全造成巨大威 胁。
02
地震作用下，建筑物等结构的抗震性能是关注的重点。
未来研究可以结合实际工程案例，对自由度弹性体系的抗震性能进行更为细致的分 析和评估，为工程实践提供更为可靠的依据。
此外，可以考虑将自由度弹性体系的地震反应谱研究与其他领域的研究相结合，如 结构健康监测、地震预警等，以实现更为全面和深入的研究。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
反应谱的应用范围与限制
应用范围
适用于单自由度弹性体系的地震作用分析和抗震设计。
自由度弹性体系在水平地震作用下的响应特性包括位移、速度和加速度，这些响应与体系的自振频率、阻尼比和 刚度有关。
自由度弹性体系的地震损伤机理与破坏模式
损伤机理
水平地震作用下，自由度弹性体系的损伤机理主要包括构件的弯曲、剪切和拉伸，以及 节点或连接处的断裂。
破坏模式
常见的破坏模式包括整体倾覆、结构失稳、节点或连接处断裂等，这些破坏模式与地震 强度、结构设计和材料性能有关。
自由度弹性体系是指由多个弹性体组成的体系，其中每个弹 性体都可以在一定范围内自由振动。根据体系中弹性体的数 量和性质，可以分为单自由度、多自由度和无限自由度等类 型。
自由度弹性体系广泛应用于工程结构分析中，如桥梁、建筑 和机械系统等。通过建立数学模型，可以描述体系的运动行 为和受力状态。
自由度弹性体系的运动方程
自由度弹性体系的水平地震作用与 抗震设计反应谱
目 录
• 引言 • 自由度弹性体系的基本理论 • 水平地震作用的计算方法 • 抗震设计反应谱的建立 • 自由度弹性体系在地震作用下的反应分析 • 结论与展望
01 引言
背景介绍
01
地震是一种常见的自然灾害，对人类生命财产安全造成巨大威 胁。
02
地震作用下，建筑物等结构的抗震性能是关注的重点。
未来研究可以结合实际工程案例，对自由度弹性体系的抗震性能进行更为细致的分 析和评估，为工程实践提供更为可靠的依据。
此外，可以考虑将自由度弹性体系的地震反应谱研究与其他领域的研究相结合，如 结构健康监测、地震预警等，以实现更为全面和深入的研究。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
反应谱的应用范围与限制
应用范围
适用于单自由度弹性体系的地震作用分析和抗震设计。
小波分解法在多自由度线性体系地震反应分析中的应用
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ｒ ｑ ｅ ｃ ｅ ｏ ｏ ｉｉｎ ｍｅ ｈ ｎ ｓ ｏ ｖ ｌ ｔｔａ ｓ ｒＢ ｉ ｎ ｒ ｄ ｃ ｄ．Ｔｈ ｏ ｍｕｌ ｅ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｄ ｃ ｍｐ ｓｔ ｃ ａ ｉｍ ｆｗａ ｅ ｅ ｒ ｎ ｆ ｉ Ｓｉ ｔｏ ｕ ｅ ｏ ｏ ｅ ｆｒ ａ
，
ｈ ｇ ｅ ｕ ｎ ｙ ｉ ｅｓ ｃｓｇ ａ ａ ｅ ｆｌｅ ｄ ａ ｄ ｓｇ ａ —ｏ ｎ ｉｅ ｒ ｔ ａ ｅ ｉ ｒ ｖ ｄ．Ｔｈ ｒ ｓａ ｉ ｈ ｆ ｑ ｅ ｃ ｎ ｓ ｉｍｉ ｉ ｎ ｌｃ ｎ ｂ ｔ ｒ ｎ ｉ ｌｔ— ｏ ｓ ａ ｉ ｃ ｎ ｂ ｍｐ ｏ ｅ ｒ ｉ ｅ ｎ ｏ ｅ ｅ ｉ ｍｉ ｏ ｒｏ ｔ ｅ ｈｅ ｄ ｎ ｍｉ ｅ ｐ ｎｓ ｓ ｏ ｅ ｏ ｔｕ ｔ ｎ ｓｇ ａ ｎ ｒｇｎ ｌｓ ｉｍｉ ｉ ａ Ｉ ｓ ｎ ｒｅ ｒ ｒｂｅｗｅ ｎ ｔ ｙ ａ ｃ ｒ ｓ ｏ ｅ ｆｒ ｃ ｎｓｒ ｃｉ ｉｎ ｌａ ｄ ｏ ｉ ａ ｅ ｓ ｃ ｓｇ １ ｔｉ ｏ ｉ ｎ
成 分 对 结 构振 动 影 响 甚 微 。
关键词 ：小波 变换 ；多分辨分析 ；多 自由度 线性 体 系； 地震 响应 ； 波 滤
中图 分 类 号 ： Ｎ １． Ｔ ９ １７ 文 献标 识 码 ： Ａ
Ａｐ ｉａｔｏ ｏ ｖ ｌ ｔｄ ｃ ｍ ｐ ｉｉ ｎ ｍ ｅ ｈ ｄ ｎ ａ ｔ ｑｕ ｋ ｅ ｐｏ ｓ ｎａ ｙ ｉ ｐｌ ｉ ｎ ｆ ｗａ ｅｅ ｅ ｏ ｃ ｏｓｔｏ ｔ ｏ ｉ ｅ ｒ ｈ ａ ｅ ｒ ｓ ｎ ｅ ａ ｌ ｓｓ
建立 求解 结构动力响应 的小波分 解法。算例表 明： 线性体 系的地震 响应 可 由各 频带 动力响 应叠加 而 成， 验证 了线性 系统动 力响应唯 一性的结论 。利 用小波 多分辨 率的特 点可安全 有效地 滤去 地震动 高
3—4 多自由度弹性体系的地震反应分析
n j=1
Hale Waihona Puke 或者 61） （3-61） [M]{ɺɺ}+[K]{x} = {0} x 根据方程（ 61）的特点， 根据方程（3-61）的特点，可设微分方程组的解为 62） （3-62） {x} = {φ}sin(ωt +φ) 其中 { } = [φ1， 2， φn ]T 是各个质点自由振动的振 φ φ ..... 幅。
4．主振型的正交性 {φj }T [M]{φi} = 0
i≠ j i≠ j
3.4.3 地震反应分析的振型分解法
振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加 振型分解法 就是通过把体系的位移反应按振型加 以分解， 并利用各振型相互正交的特性， 以分解 ， 并利用各振型相互正交的特性 ， 将原来 耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程， 耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程 ， 从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为若 干个相当于各自振周期的单自由度体系结构的问 在求得了各单自由度体系结构的地震反应后， 题 ， 在求得了各单自由度体系结构的地震反应后 ， 采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反 应 。 振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反 应的重要方法。 应的重要方法。
3.4.2 多自由度体系的自由振动
对于n自由度弹性体系， 对于n自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次 个自振频率， （K] −ω2[M] {φi } ={0} ，可求得相应 ） 代入式( 70) 代入式(3-70) [ 的 n 个主振型 ， 除第一主振型外的其它振型统称为 个主振型， 高阶振型。 自由度弹性体系自由振动时， 高阶振型 。 n 自由度弹性体系自由振动时 ， 任一质 点的振动都是由n 个主振型的简谐振动叠加而成， 点的振动都是由 n 个主振型的简谐振动叠加而成 ， 故自由振动方程的通解可写为：
Hale Waihona Puke 或者 61） （3-61） [M]{ɺɺ}+[K]{x} = {0} x 根据方程（ 61）的特点， 根据方程（3-61）的特点，可设微分方程组的解为 62） （3-62） {x} = {φ}sin(ωt +φ) 其中 { } = [φ1， 2， φn ]T 是各个质点自由振动的振 φ φ ..... 幅。
4．主振型的正交性 {φj }T [M]{φi} = 0
i≠ j i≠ j
3.4.3 地震反应分析的振型分解法
振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加 振型分解法 就是通过把体系的位移反应按振型加 以分解， 并利用各振型相互正交的特性， 以分解 ， 并利用各振型相互正交的特性 ， 将原来 耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程， 耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程 ， 从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为若 干个相当于各自振周期的单自由度体系结构的问 在求得了各单自由度体系结构的地震反应后， 题 ， 在求得了各单自由度体系结构的地震反应后 ， 采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反 应 。 振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反 应的重要方法。 应的重要方法。
3.4.2 多自由度体系的自由振动
对于n自由度弹性体系， 对于n自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次 个自振频率， （K] −ω2[M] {φi } ={0} ，可求得相应 ） 代入式( 70) 代入式(3-70) [ 的 n 个主振型 ， 除第一主振型外的其它振型统称为 个主振型， 高阶振型。 自由度弹性体系自由振动时， 高阶振型 。 n 自由度弹性体系自由振动时 ， 任一质 点的振动都是由n 个主振型的简谐振动叠加而成， 点的振动都是由 n 个主振型的简谐振动叠加而成 ， 故自由振动方程的通解可写为：
第三章4_多自由度体系的最大地震反应的底部剪力法
因此，底部剪力法采用如下假定： （1）计算时仅取第一振型。 （2）第一振型为倒三角形。
4
根据振型分解反应谱法，对于第1振型第 i 质点的水平地
震作用为：
Fi F1i 111iGi
(a)
Fn mn
1n
由于第1振型为倒三角形，则
11 1i 1n c
H1
Hi
Hn
1i c Hi
(b)
（2）计算振型参与系数
25
例题3-5-1解答——续
（3）计算水平地震作用
F2i 2 2 X 2iGi ( i 1, 2 ) F21 2 2 X21G1 0.160.2331.71609.8 37.5 kN F22 2 2 X22G2 0.160.233(1)509.8 18.3 kN
FEk Geq1
1: 多层砌体房屋，底部框架和多层内框架砖房，宜取水平
地震影响系数最大值 max 对质量及层高均匀者：
Gi G j G
H j jh
3(n 1)
2(2n 1)
单质点： 1, FEk GEq1 G1
多质点： n 2 0.75 ~ 0.9
规范规定： 0.85
（四）地震作用分布
Fi mi 1i
Hn
F1 m1
Hi
11
H1
5
Fi F1i 111iGi
(c)
n
11TTMM111i1Gi
m j1 j
j 1 n
1i1Gi
m
2
j 1j
j 1
n
c Gj H j
j1 n
cHi1Gi
c2
G
j
H
2 j
j 1
n
GjH j
j1 n
4
根据振型分解反应谱法，对于第1振型第 i 质点的水平地
震作用为：
Fi F1i 111iGi
(a)
Fn mn
1n
由于第1振型为倒三角形，则
11 1i 1n c
H1
Hi
Hn
1i c Hi
(b)
（2）计算振型参与系数
25
例题3-5-1解答——续
（3）计算水平地震作用
F2i 2 2 X 2iGi ( i 1, 2 ) F21 2 2 X21G1 0.160.2331.71609.8 37.5 kN F22 2 2 X22G2 0.160.233(1)509.8 18.3 kN
FEk Geq1
1: 多层砌体房屋，底部框架和多层内框架砖房，宜取水平
地震影响系数最大值 max 对质量及层高均匀者：
Gi G j G
H j jh
3(n 1)
2(2n 1)
单质点： 1, FEk GEq1 G1
多质点： n 2 0.75 ~ 0.9
规范规定： 0.85
（四）地震作用分布
Fi mi 1i
Hn
F1 m1
Hi
11
H1
5
Fi F1i 111iGi
(c)
n
11TTMM111i1Gi
m j1 j
j 1 n
1i1Gi
m
2
j 1j
j 1
n
c Gj H j
j1 n
cHi1Gi
c2
G
j
H
2 j
j 1
n
GjH j
j1 n
地震作用计算——地震反应分析 PPT
在特定的干扰作用下，单自由度弹性体系的最大反应与 自振周期T的变化关系曲线即反应谱。
基本思路：实际应用时根据结构体系的自振周期找到对 应的加速度反应峰值，在结合结构上的质量（或重力荷载） 求出结构所受地震作用力和结构变形。计算出的结构体系的 最大反应随自振周期的变化曲线就是反应谱。
fR cx (t) C —阻尼系数
＊惯性力 fI
——质量与绝对加速度的乘积
fIm [ x g(t) x (t)]
§4.2 结构动力学方法——弹性解答
4.2.2 振动微分方程及解答
一、单自由度体系
Famk tc x x tm x txt a xt xt 质点m的绝对加速度:
g （ ) ( )
xg (t) x(t)
fR
fI
fS
假定地基 完全刚性
xg (t) x(t)
——地面水平位移，可由地震
时地面运动实测记录求得。
——质点对于地面的相对弹性 位移或相对位移反应。
作用在质点上的三种力：
＊弹性恢复力 fs
——使质点从振动位置回到平衡位置的力
fs kx(t)k —刚度系数
＊阻尼力 fR
——使结构振动衰减的力，由外部介质阻力、 构件和支座部分连接处的摩擦和材料的非弹性 变形以及通过地基散失能量（地基振动引起） 等原因引起
例:若为两个自由度,令n=2，则有
将求出的w1、w2分别代回方程，可求出X1 、X2的相对值。
对应于w1为第一振型：
X11 X12
k12
k1112m2
对应于w2为第二振型：
X21 k12
X22 k11 22m1
§4.2 结构动力学方法——弹性解答
4.2.2 振动微分方程及解答
基本思路：实际应用时根据结构体系的自振周期找到对 应的加速度反应峰值，在结合结构上的质量（或重力荷载） 求出结构所受地震作用力和结构变形。计算出的结构体系的 最大反应随自振周期的变化曲线就是反应谱。
fR cx (t) C —阻尼系数
＊惯性力 fI
——质量与绝对加速度的乘积
fIm [ x g(t) x (t)]
§4.2 结构动力学方法——弹性解答
4.2.2 振动微分方程及解答
一、单自由度体系
Famk tc x x tm x txt a xt xt 质点m的绝对加速度:
g （ ) ( )
xg (t) x(t)
fR
fI
fS
假定地基 完全刚性
xg (t) x(t)
——地面水平位移，可由地震
时地面运动实测记录求得。
——质点对于地面的相对弹性 位移或相对位移反应。
作用在质点上的三种力：
＊弹性恢复力 fs
——使质点从振动位置回到平衡位置的力
fs kx(t)k —刚度系数
＊阻尼力 fR
——使结构振动衰减的力，由外部介质阻力、 构件和支座部分连接处的摩擦和材料的非弹性 变形以及通过地基散失能量（地基振动引起） 等原因引起
例:若为两个自由度,令n=2，则有
将求出的w1、w2分别代回方程，可求出X1 、X2的相对值。
对应于w1为第一振型：
X11 X12
k12
k1112m2
对应于w2为第二振型：
X21 k12
X22 k11 22m1
§4.2 结构动力学方法——弹性解答
4.2.2 振动微分方程及解答
3—5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用
3.5.2 底部剪力法
再将余下的部分 (1−δn )FEK 进行分配。因此， 进行分配。因此，在 考虑了上述调整后， 考虑了上述调整后，顶点的水平地震作用为 GnHn Fn = n (1−δn )FEK +δnFEK ∑ H jGj (3-135b) 135b) j=1 而其余各质点的水平地震作用为
αj Gi Vjo = ∑ Fji = ∑α jγ jφjiGi = α1G∑ γ j X ji i=1 i=1 i=1α G 1
n n n
5-3)
αj Gi 2 FEK = ∑V = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1
n 2 jo n n
(3-
3.5.2 底部剪力法
式中， 为高振型影响系数， 式中，ξ为高振型影响系数，其表达式为
αj Gi 2 ξ = j∑1(i∑ γ j X ji ) = =1α G 1
n n
计算资料的统计分析表明， 计算资料的统计分析表明 ， 当结构体系各质点重量 相等，并在高度方向均匀分布时， 相等，并在高度方向均匀分布时， ， ξ =1.5( n为质点数n +1) /(2n +1) 为质点数。如为单质点体系(即单层建筑 即单层建筑)， 为质点数。如为单质点体系 即单层建筑 ， ，如 ξ =1 为无穷多质点体系， 抗震规范》取中间值， 为无穷多质点体系， 。《抗震规范》取中间值， ξ = 0.75 故式(3-5-3) ξ = 0.85 即 。故式 n n n αj Gi 2 2 FEK = ∑Vjo = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1 改写为
3.5.2 底部剪力法
FEK = α1Geq
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多自由度体系地震反应分析
mn
i+1
mi
i
m2
m1
一.多自由度弹性体系动力分析回顾 1.无阻尼多自由度自由振动分析 运动方程
设方程的特解为
利用
不恒为0,有特征方程
3-41
m2 y2 (t) m1 y1(t)
3-42 将3-42， 代入3-41
3-43
特征方程存在非0解的充要条件是系数行列式等于0 3-44
取
，则
，所以第二振型向量
（3）验证正交性
学习是一件快乐的事情，且 听下回分解！
振型对刚度的正交性:
由3-43得
j振型
由虚功互等定理
振型对质量正交性的物理意义
i振型上的惯性力在j振型上作的虚功等于0，体系以 一振型自由振动不会激起体系其它振型的振动
振型对性的物理意义
i振型上的弹性力在j振型上作的虚功
等于0，体系以一振型自由振动不会激起体 系其它振型的振动
例.求图示体系的频率、振型. 已知:
解:
m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
1.618 1
0.618 1
按振型振动时的运动规律 按i振型振动时，质点的位移为
质点的加速度为
m2 y2 (t) m1 y1(t)
质点上的惯性力为 质点上的惯性力与位移同频同步。
X 21
m2
X
2i
2 i
m1
X
1i
2 i
---3-44为有关ω的多项式称为频率方程
频率方程的每一个根ω，特征方程3-43有一个非0解{X} 称为振型向量，特征向量，模态向量。
3-43 特征方程
---振型方程 为了对不同频率的振型进行形状上的比较，需要将其化为无量 纲形式，这种转化过程称为振型的规格化。振型规格化的方法 可以采用下述三种方法之一： ①特定坐标的规格化方法：指定振型向量中某一坐标值为1， 其它元素按比例确定； ②最大位移值的规格化方法：将振型向量各元素分别除以其中 的最大值；
例图3-1示意图 [例3-1] 已知某两个质点的弹性体系，例图3-1所示，质量
，侧移刚度 振
。试求该体系的自振周期和振型，并验证
型的正交性。
[解]：质量矩阵
刚度矩阵 （1）求自振频率
频率方程 令
则上式可改写为
展开行列式得： 求得：
（2）求振型 由
可得：
取
，则
当
时
由
，第一振型向量，所以
， 可得：
X11
2.振型的正交性 i振型
j振型 i振型上的惯性力
i振型 j振型
i振型上的惯性力在 j振型上作的虚功
2.振型的正交性
i振型上的惯性力在
i振型
j振型上作的虚功
j振型上的惯性力
j振型
j振型上的惯性力在 i振型上作的虚功
由虚功互等定理
振型对质量正交性的物理意义
i振型
i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0
mn
i+1
mi
i
m2
m1
一.多自由度弹性体系动力分析回顾 1.无阻尼多自由度自由振动分析 运动方程
设方程的特解为
利用
不恒为0,有特征方程
3-41
m2 y2 (t) m1 y1(t)
3-42 将3-42， 代入3-41
3-43
特征方程存在非0解的充要条件是系数行列式等于0 3-44
取
，则
，所以第二振型向量
（3）验证正交性
学习是一件快乐的事情，且 听下回分解！
振型对刚度的正交性:
由3-43得
j振型
由虚功互等定理
振型对质量正交性的物理意义
i振型上的惯性力在j振型上作的虚功等于0，体系以 一振型自由振动不会激起体系其它振型的振动
振型对性的物理意义
i振型上的弹性力在j振型上作的虚功
等于0，体系以一振型自由振动不会激起体 系其它振型的振动
例.求图示体系的频率、振型. 已知:
解:
m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
1.618 1
0.618 1
按振型振动时的运动规律 按i振型振动时，质点的位移为
质点的加速度为
m2 y2 (t) m1 y1(t)
质点上的惯性力为 质点上的惯性力与位移同频同步。
X 21
m2
X
2i
2 i
m1
X
1i
2 i
---3-44为有关ω的多项式称为频率方程
频率方程的每一个根ω，特征方程3-43有一个非0解{X} 称为振型向量，特征向量，模态向量。
3-43 特征方程
---振型方程 为了对不同频率的振型进行形状上的比较，需要将其化为无量 纲形式，这种转化过程称为振型的规格化。振型规格化的方法 可以采用下述三种方法之一： ①特定坐标的规格化方法：指定振型向量中某一坐标值为1， 其它元素按比例确定； ②最大位移值的规格化方法：将振型向量各元素分别除以其中 的最大值；
例图3-1示意图 [例3-1] 已知某两个质点的弹性体系，例图3-1所示，质量
，侧移刚度 振
。试求该体系的自振周期和振型，并验证
型的正交性。
[解]：质量矩阵
刚度矩阵 （1）求自振频率
频率方程 令
则上式可改写为
展开行列式得： 求得：
（2）求振型 由
可得：
取
，则
当
时
由
，第一振型向量，所以
， 可得：
X11
2.振型的正交性 i振型
j振型 i振型上的惯性力
i振型 j振型
i振型上的惯性力在 j振型上作的虚功
2.振型的正交性
i振型上的惯性力在
i振型
j振型上作的虚功
j振型上的惯性力
j振型
j振型上的惯性力在 i振型上作的虚功
由虚功互等定理
振型对质量正交性的物理意义
i振型
i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0