第四章桥梁结构地震反应分析

当
t
[ x0 cos D t
0 x0 x
D
sin D t ]
0 （无阻尼） x(t ) x0 cos t x0 sin t 无阻尼单自由度体系 自由振动为简谐振动 k ——固有频率
T 2
m

2
m k
——固有周期
有阻尼体系 自振的振幅将不断衰减，直至消失
2.方程的特解I——简谐强迫振动
地面简谐运动
设
使体系产生简谐强迫振动
，代入运动方程
x g (t ) A sin g t
x 2 x 2 x Ag 2 sin g t
(0) 0 ）： 方程的特解（零初始条件 x(0) 0 x
g 2 g A( ) 1 ( ) sin g t 2 cos g t x(t ) 2 2 g 2 g 1 ( ) 2 ( )
初位移、初速度引起 迅速衰减，可不考虑
地面运动 引起
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对上式求导可得振子相对速度与绝对加速度反应积分公式：
t ( t ) (t ) e g ( ) cos[d (t )]d 0
t 基于上面公式，用数值积分的方法，可得出各反应的时程 (t ) (t ) e (t ) ( ) sin[ (t )]d g g d 0 曲线。以不同单自由度体系的周期为横坐标，以不同阻尼 比为参数，绘出最大相对位移、最大相对速度和最大绝对 加速度的谱曲线，分别称为相对位移反应谱、拟相对速度 反应谱和拟加速度反应谱 （分别简称为位移反应谱、速度 反应谱和加速度反应谱），并用符号记为SD、PSV和PSA
根据自由振动位移方程，可 得
x(t )
D
sin D t
图 体系自由振动
4.方程的特解III —— 一般强迫振动
地震地面运动一般为不规则往复运动
地面运动加速度时程曲线
求解方法：
将地面运动分解为很多个脉冲运动
t
时刻的地面运动脉冲
g ( )d x
引起的体系反应为：
0 t g ( )d x dx(t ) e (t ) sin D (t ) t D
当
t
1
c r 2m
临界阻尼系数：
临界阻尼比（简称阻尼比）
图 各种阻尼下单自由度体系的自由振动

c cr
初始条件: 则
0 x (0) 初始位移 x 0 x(0) , 初始速度 x
c2 0 x0 x
c1 x0
D
体系自由振动位移时程 x(t ) e
m2
不考虑竖向振动时，平 面结构的集中质量法
M2 M1
m1
集中化描述举例
a、水塔建筑 b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）
h
h h
主要质量：水箱部分 次要质量：塔柱部分 水塔 水箱全部质量 部分塔柱质量 集中到水箱质心
(a) 水塔
(b) 厂房
主要质量：屋面部分 集中到各跨屋盖标高处 厂房
厂房各跨质量 (b)
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4.1 结构抗震动力学初步概念
4.1.1 结构地震振动方程
根据达朗贝（D’Alembert）原理
EI h dz Fs dz FI dz FDபைடு நூலகம்dz (c)
(t ) g
z
g ( z, t )
FI FD FS 0
其中，
m
)dz FI dz m( g
图 单自由度体系简谐地面强迫振动振幅放大系数
g / 1

达到最大值
共振
2.方程的特解II——冲击强迫振动
地面冲击运动：
g x g ( ) x 0
g x m P 0
0 dt dt
0 dt
对质点冲击力：
dt
图 地面冲击运动
4.1
1.基本概念：
概述
地震作用——地震引的结构振动，在结构中产生动力荷载效 应（内力、变形等），属于间接作用。地震作用是建筑抗震 设计的基本依据，取决于地震强弱、场地、结构动力特性等。 地震作用效应——地震作用在结构中产生的内力和变形。 结构动力特性——结构固有的动力性能，如自振周期、阻尼、 振型等。 动力自由度——动力分析时，具有一定质量的质点的振动方 向，与静力自由度有差异。 地基一般假定为不发生转动，地基运动仅考虑一个竖向 分量和两个水平分量。 上部结构的地震响应分析也仅考虑这 三个方向。
2
g
化简为 x(t ) B sin( g t )
振幅放大系数
B A ( g / ) 2
g 2 g 1 ( ) 2 ( )
2
2
A —地面运动振幅 B —体系质点的振幅

1 2
0.2
0.5
1
2
5
g /
二、运动方程的解
2x 2 x 0 齐次方程： x
自由振动：在没有外界激励的 情况下结构体系的运动
1.方程的齐次解——自由振动
方程的解：
特征方程 r 2 2 r 2 0
（1）若
特征根
r2 2 1
r1 2 1
b. 无限柔性结构（ 0 ） ： SD g ,max , SV g ,max , SA 0
叠加：体系在t时刻的地震反应为：
地面运动脉冲引起的单自由度体系反应
1 t ( t ) x(t ) dx(t ) xg ( )e sin D (t )d 0 D 0
t
杜哈密积分 方程通解（单自由度体系）： 体系地震反应（通解）=自由振动（齐次解）+强迫振动（特解）
g (t ) x
m
g (t ) m x
---地震系数：反映震级、震中距、地基 等的影响 将F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应
4.2.2动力反映谱法
作用在质点上的三种力：
惯性力 、阻尼力
fI
、弹性恢复力
fr
fc
＊惯性力 ＊阻尼力
g ) f I m( x x
f c cx
P 质点加速度（0～dt）： a g x m P g dt dt x dt时刻的速度： V m
1P dt时刻的位移： d (dt) 2 0 2m
地面冲击作用后，体系不再受外界任何作用，将做自由振动 自由振动初速度为
g dt V x
g dtet x
单质点体系 (c) 多、高层建筑
(d) 烟囱
集中化描述举例 (a) 水塔 (a) 水塔 c、多、高层建筑
(b) 厂房 厂房 (b) d、烟囱
(c) 多、高层建筑 c) 多、高层建筑 主要质量：楼盖部分
(d) 烟囱 烟囱 (d) 结构无主要质量部分
结构分成若干区域
集中到各区域质心
多质点体系
多质点体系
2 d 1 2f d Td
2
A C12 C22
4.2桥梁结构地震反应分析方法
结构抗震设计理论发展过程主要经历三个阶段—— 静力法、动力反应谱法和动态时程分析法 4.2.1.静力理论阶段---静力法
1920年，日本大森房吉提出。 假设建筑物为绝对刚体。 地震作用：
——由结构内摩擦及结构周围介质（如空气
水等）对结构运动的阻碍造成
C —— 阻尼系数
＊弹性恢复力 ——由结构弹性变形产生
f r kx
k —— 体系刚度
力的平衡条件：
f I fc fr 0
cx kx m g m x x
令
c k 2m m
2x 2 x g x x
x(t)
体系自由振动 ——无阻尼状态
1 ， r1 r2 x(t ) (c1 c2 t )e t
1 ，r1

=0
体系不振动 ——临界阻尼状态 体系不振动 ——过阻尼状态
r 2 为负实数 、
x(t ) c1e r1t c2 e r2t
0 1
1 1
0 x(t ) c1 cos t c2 sin t t (c1 cos D t c2 sin D t ) （2）若 0 1 ，r1 、r 2 为共轭复数 x(t ) e 体系产生振动 2 其中 D 1 ——欠阻尼状态
（3）若
（4）若
一个自由质点,若不考 虑其转动,则相对于空 间坐标系有3个独立的 分量,因而有三个自由 度；在平面内，如果忽 略直杆的轴向变形,则 在平面内与直杆相连的 质点只有一个位移分量, 即只有一个自由度。
在动力问题中由于要考虑惯性力，因此还要研究质量 在运动过程中的自由度问题。在动力问题中，体系的 自由度指确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所 需的独立几何参数的数目。 集中质量法把连续分布的质量集中在若干质点上，把 无限自由度问题简化为有限自由度问题，从而简化了 m3 动力问题的分析。 M3
dz FD dz C
Fs dz EI dz
所以，
(a)
g (t )
u
(b)
图3.2 桥墩地震水平挠曲振动示意图
0.4 0.3
m C EI m
加 速 g度 (g)
0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3 0 5 10 15 20 25


PSA 2 SD
忽略小阻尼比的影响，有：
地震 1 地震 2 光滑平均
T1 T 2 T 3