第四章-多自由度体系结构的地震反应
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自由度体系结构的地震反应
曲线下降段，自特征周期至5倍特征周期区段，衰减指数应取0.9。
直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
地震影响系数曲线
2 当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定： 1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定： 2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定： 3)阻尼调整系数应按下式确定：
地震影响系数的确定
建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。其水平地震影响系数最大值应按表3-4采用；特征周期应根据场地类别和设计地震分组按表3-2采用,计算罕遇地震作用时，特征周期应增加0.05s。
近年来地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况重得多；理论分析也发现，震中距不同时反应谱频谱特性并不相同。
2
为更好体现震级和震中距的影响，采用设计地震分组来区分近震和远震，将建筑工程的设计地震分为三组。
3
设计地震第一组；震中距较小
4
设计地震第二组；震中距适中
5
设计地震第三组：震中距较大
6
常用术语—设计地震分组
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3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱 标准反应谱
地震系数
地震系数是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值。 地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定对应关系。
地震烈度
6
7
8
9
地震系数k
0.05
0.1（0.15）
直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
地震影响系数曲线
2 当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定： 1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定： 2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定： 3)阻尼调整系数应按下式确定：
地震影响系数的确定
建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。其水平地震影响系数最大值应按表3-4采用；特征周期应根据场地类别和设计地震分组按表3-2采用,计算罕遇地震作用时，特征周期应增加0.05s。
近年来地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况重得多；理论分析也发现，震中距不同时反应谱频谱特性并不相同。
2
为更好体现震级和震中距的影响，采用设计地震分组来区分近震和远震，将建筑工程的设计地震分为三组。
3
设计地震第一组；震中距较小
4
设计地震第二组；震中距适中
5
设计地震第三组：震中距较大
6
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3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱 标准反应谱
地震系数
地震系数是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值。 地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定对应关系。
地震烈度
6
7
8
9
地震系数k
0.05
0.1（0.15）
多自由度体系在地面运动作用下的振动方程
多自由度体系在地面运动作用下的振动方程我们要找出多自由度体系在地面运动作用下的振动方程。
首先，我们需要了解多自由度体系的振动方程的基本形式。
多自由度体系的振动方程通常由以下形式给出：
M{ddot x} + C{dot x} + Kx = F(t)
其中：
M 是质量矩阵，
C 是阻尼矩阵，
K 是刚度矩阵，
x 是位移向量，
{dot x} 是速度向量，
{ddot x} 是加速度向量，
F(t) 是外部作用力向量。
对于地面运动作用下的振动，我们需要考虑地面的运动对体系的影响。
假设地面以速度 v 和加速度 a 运动，那么地面的运动可以表示为：
x_ground = vt + at^2
其中 x_ground 是地面的位移。
由于地面和体系是相互作用的，我们需要将地面的位移和加速度引入到振动方程中。
具体来说，我们需要将地面的位移和加速度作为外部作用力加入到方程的右边。
因此，多自由度体系在地面运动作用下的振动方程为：
M{ddot x} + C{dot x} + Kx = -Kx_ground
其中 x_ground 是地面的位移，由地面的速度和加速度决定。
自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱
响应特性
自由度弹性体系在水平地震作用下的响应特性包括位移、速度和加速度，这些响应与体系的自振频率、阻尼比和 刚度有关。
自由度弹性体系的地震损伤机理与破坏模式
损伤机理
水平地震作用下，自由度弹性体系的损伤机理主要包括构件的弯曲、剪切和拉伸，以及 节点或连接处的断裂。
破坏模式
常见的破坏模式包括整体倾覆、结构失稳、节点或连接处断裂等，这些破坏模式与地震 强度、结构设计和材料性能有关。
自由度弹性体系是指由多个弹性体组成的体系，其中每个弹 性体都可以在一定范围内自由振动。根据体系中弹性体的数 量和性质，可以分为单自由度、多自由度和无限自由度等类 型。
自由度弹性体系广泛应用于工程结构分析中，如桥梁、建筑 和机械系统等。通过建立数学模型，可以描述体系的运动行 为和受力状态。
自由度弹性体系的运动方程
自由度弹性体系的水平地震作用与 抗震设计反应谱
目 录
• 引言 • 自由度弹性体系的基本理论 • 水平地震作用的计算方法 • 抗震设计反应谱的建立 • 自由度弹性体系在地震作用下的反应分析 • 结论与展望
01 引言
背景介绍
01
地震是一种常见的自然灾害，对人类生命财产安全造成巨大威 胁。
02
地震作用下，建筑物等结构的抗震性能是关注的重点。
未来研究可以结合实际工程案例，对自由度弹性体系的抗震性能进行更为细致的分 析和评估，为工程实践提供更为可靠的依据。
此外，可以考虑将自由度弹性体系的地震反应谱研究与其他领域的研究相结合，如 结构健康监测、地震预警等，以实现更为全面和深入的研究。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
反应谱的应用范围与限制
应用范围
适用于单自由度弹性体系的地震作用分析和抗震设计。
自由度弹性体系在水平地震作用下的响应特性包括位移、速度和加速度，这些响应与体系的自振频率、阻尼比和 刚度有关。
自由度弹性体系的地震损伤机理与破坏模式
损伤机理
水平地震作用下，自由度弹性体系的损伤机理主要包括构件的弯曲、剪切和拉伸，以及 节点或连接处的断裂。
破坏模式
常见的破坏模式包括整体倾覆、结构失稳、节点或连接处断裂等，这些破坏模式与地震 强度、结构设计和材料性能有关。
自由度弹性体系是指由多个弹性体组成的体系，其中每个弹 性体都可以在一定范围内自由振动。根据体系中弹性体的数 量和性质，可以分为单自由度、多自由度和无限自由度等类 型。
自由度弹性体系广泛应用于工程结构分析中，如桥梁、建筑 和机械系统等。通过建立数学模型，可以描述体系的运动行 为和受力状态。
自由度弹性体系的运动方程
自由度弹性体系的水平地震作用与 抗震设计反应谱
目 录
• 引言 • 自由度弹性体系的基本理论 • 水平地震作用的计算方法 • 抗震设计反应谱的建立 • 自由度弹性体系在地震作用下的反应分析 • 结论与展望
01 引言
背景介绍
01
地震是一种常见的自然灾害，对人类生命财产安全造成巨大威 胁。
02
地震作用下，建筑物等结构的抗震性能是关注的重点。
未来研究可以结合实际工程案例，对自由度弹性体系的抗震性能进行更为细致的分 析和评估，为工程实践提供更为可靠的依据。
此外，可以考虑将自由度弹性体系的地震反应谱研究与其他领域的研究相结合，如 结构健康监测、地震预警等，以实现更为全面和深入的研究。
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反应谱的应用范围与限制
应用范围
适用于单自由度弹性体系的地震作用分析和抗震设计。
第四讲-2 多点地震动输入
t s d u u u u g u g 0
u s为由于基础位移u g的拟静力位移，显然随时间而变化; u d 为结构的动力位移； 当结构各基础经历一致地面运动时p g (t ) 0.
k k T g
2, 直接积分法（动力时程反应分析） 动力时程反应分析可以描述结构在动力荷载作用下的结构反应 情况，对大跨度结构来说主要分为结构建模和结构输入两大部分。 近年来，随着计算手段的完善和具有较强分析模拟能力软件的开发 与利用，结构特别是大跨度结构的地震反应分析有了深入、全面的 发展，较之20世纪80年代以前主要以SAP或ADINA软件为蓝本的分 析更推进了一步，出现了一些国内外通用的计算软件。 目前各国学者对结构动力时程反应分析，在结构建模方面多采用三 维动力分析模型，并着重对地震波输入模型的影响效果进行深入的 探讨。地震波在介质中传播对大跨度结构地震时程反应影响的有效 模拟是近年来在大跨度结构抗震研究的热点之一，其中尤以多点输 入模型的建立为主要研究领域，主要以分析空间两点地震波的变异 规律，如行波效应、传播衰减、频率变异、入射角度变化等为主。 直接积分法是在结构的各支点输入地震动，求出结构的反应时程。 鉴于多点输入的特殊性，结构反应计算公式必须重新推导。
t m g u g cu t cgu g kut k g u g 0 mu
ut u s u d
d cu d kud p eff (t ) mu s m g u g ) (cu s cgu g ) (kus k g u g ) p eff (t ) (mu
地震发生时，从震源释放出来的能量是以波的形式传至地表，引起地面振动。 对于平面尺寸较大的结构，各支点的地震动是不同的，产生变化的原因大致有三 点。
3—4 多自由度弹性体系的地震反应分析
n j=1
Hale Waihona Puke 或者 61） （3-61） [M]{ɺɺ}+[K]{x} = {0} x 根据方程（ 61）的特点， 根据方程（3-61）的特点，可设微分方程组的解为 62） （3-62） {x} = {φ}sin(ωt +φ) 其中 { } = [φ1， 2， φn ]T 是各个质点自由振动的振 φ φ ..... 幅。
4．主振型的正交性 {φj }T [M]{φi} = 0
i≠ j i≠ j
3.4.3 地震反应分析的振型分解法
振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加 振型分解法 就是通过把体系的位移反应按振型加 以分解， 并利用各振型相互正交的特性， 以分解 ， 并利用各振型相互正交的特性 ， 将原来 耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程， 耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程 ， 从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为若 干个相当于各自振周期的单自由度体系结构的问 在求得了各单自由度体系结构的地震反应后， 题 ， 在求得了各单自由度体系结构的地震反应后 ， 采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反 应 。 振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反 应的重要方法。 应的重要方法。
3.4.2 多自由度体系的自由振动
对于n自由度弹性体系， 对于n自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次 个自振频率， （K] −ω2[M] {φi } ={0} ，可求得相应 ） 代入式( 70) 代入式(3-70) [ 的 n 个主振型 ， 除第一主振型外的其它振型统称为 个主振型， 高阶振型。 自由度弹性体系自由振动时， 高阶振型 。 n 自由度弹性体系自由振动时 ， 任一质 点的振动都是由n 个主振型的简谐振动叠加而成， 点的振动都是由 n 个主振型的简谐振动叠加而成 ， 故自由振动方程的通解可写为：
Hale Waihona Puke 或者 61） （3-61） [M]{ɺɺ}+[K]{x} = {0} x 根据方程（ 61）的特点， 根据方程（3-61）的特点，可设微分方程组的解为 62） （3-62） {x} = {φ}sin(ωt +φ) 其中 { } = [φ1， 2， φn ]T 是各个质点自由振动的振 φ φ ..... 幅。
4．主振型的正交性 {φj }T [M]{φi} = 0
i≠ j i≠ j
3.4.3 地震反应分析的振型分解法
振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加 振型分解法 就是通过把体系的位移反应按振型加 以分解， 并利用各振型相互正交的特性， 以分解 ， 并利用各振型相互正交的特性 ， 将原来 耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程， 耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程 ， 从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为若 干个相当于各自振周期的单自由度体系结构的问 在求得了各单自由度体系结构的地震反应后， 题 ， 在求得了各单自由度体系结构的地震反应后 ， 采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反 应 。 振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反 应的重要方法。 应的重要方法。
3.4.2 多自由度体系的自由振动
对于n自由度弹性体系， 对于n自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次 个自振频率， （K] −ω2[M] {φi } ={0} ，可求得相应 ） 代入式( 70) 代入式(3-70) [ 的 n 个主振型 ， 除第一主振型外的其它振型统称为 个主振型， 高阶振型。 自由度弹性体系自由振动时， 高阶振型 。 n 自由度弹性体系自由振动时 ， 任一质 点的振动都是由n 个主振型的简谐振动叠加而成， 点的振动都是由 n 个主振型的简谐振动叠加而成 ， 故自由振动方程的通解可写为：
地震作用计算——地震反应分析 PPT
在特定的干扰作用下，单自由度弹性体系的最大反应与 自振周期T的变化关系曲线即反应谱。
基本思路：实际应用时根据结构体系的自振周期找到对 应的加速度反应峰值，在结合结构上的质量（或重力荷载） 求出结构所受地震作用力和结构变形。计算出的结构体系的 最大反应随自振周期的变化曲线就是反应谱。
fR cx (t) C —阻尼系数
＊惯性力 fI
——质量与绝对加速度的乘积
fIm [ x g(t) x (t)]
§4.2 结构动力学方法——弹性解答
4.2.2 振动微分方程及解答
一、单自由度体系
Famk tc x x tm x txt a xt xt 质点m的绝对加速度:
g （ ) ( )
xg (t) x(t)
fR
fI
fS
假定地基 完全刚性
xg (t) x(t)
——地面水平位移，可由地震
时地面运动实测记录求得。
——质点对于地面的相对弹性 位移或相对位移反应。
作用在质点上的三种力：
＊弹性恢复力 fs
——使质点从振动位置回到平衡位置的力
fs kx(t)k —刚度系数
＊阻尼力 fR
——使结构振动衰减的力，由外部介质阻力、 构件和支座部分连接处的摩擦和材料的非弹性 变形以及通过地基散失能量（地基振动引起） 等原因引起
例:若为两个自由度,令n=2，则有
将求出的w1、w2分别代回方程，可求出X1 、X2的相对值。
对应于w1为第一振型：
X11 X12
k12
k1112m2
对应于w2为第二振型：
X21 k12
X22 k11 22m1
§4.2 结构动力学方法——弹性解答
4.2.2 振动微分方程及解答
基本思路：实际应用时根据结构体系的自振周期找到对 应的加速度反应峰值，在结合结构上的质量（或重力荷载） 求出结构所受地震作用力和结构变形。计算出的结构体系的 最大反应随自振周期的变化曲线就是反应谱。
fR cx (t) C —阻尼系数
＊惯性力 fI
——质量与绝对加速度的乘积
fIm [ x g(t) x (t)]
§4.2 结构动力学方法——弹性解答
4.2.2 振动微分方程及解答
一、单自由度体系
Famk tc x x tm x txt a xt xt 质点m的绝对加速度:
g （ ) ( )
xg (t) x(t)
fR
fI
fS
假定地基 完全刚性
xg (t) x(t)
——地面水平位移，可由地震
时地面运动实测记录求得。
——质点对于地面的相对弹性 位移或相对位移反应。
作用在质点上的三种力：
＊弹性恢复力 fs
——使质点从振动位置回到平衡位置的力
fs kx(t)k —刚度系数
＊阻尼力 fR
——使结构振动衰减的力，由外部介质阻力、 构件和支座部分连接处的摩擦和材料的非弹性 变形以及通过地基散失能量（地基振动引起） 等原因引起
例:若为两个自由度,令n=2，则有
将求出的w1、w2分别代回方程，可求出X1 、X2的相对值。
对应于w1为第一振型：
X11 X12
k12
k1112m2
对应于w2为第二振型：
X21 k12
X22 k11 22m1
§4.2 结构动力学方法——弹性解答
4.2.2 振动微分方程及解答
3—5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用
3.5.2 底部剪力法
再将余下的部分 (1−δn )FEK 进行分配。因此， 进行分配。因此，在 考虑了上述调整后， 考虑了上述调整后，顶点的水平地震作用为 GnHn Fn = n (1−δn )FEK +δnFEK ∑ H jGj (3-135b) 135b) j=1 而其余各质点的水平地震作用为
αj Gi Vjo = ∑ Fji = ∑α jγ jφjiGi = α1G∑ γ j X ji i=1 i=1 i=1α G 1
n n n
5-3)
αj Gi 2 FEK = ∑V = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1
n 2 jo n n
(3-
3.5.2 底部剪力法
式中， 为高振型影响系数， 式中，ξ为高振型影响系数，其表达式为
αj Gi 2 ξ = j∑1(i∑ γ j X ji ) = =1α G 1
n n
计算资料的统计分析表明， 计算资料的统计分析表明 ， 当结构体系各质点重量 相等，并在高度方向均匀分布时， 相等，并在高度方向均匀分布时， ， ξ =1.5( n为质点数n +1) /(2n +1) 为质点数。如为单质点体系(即单层建筑 即单层建筑)， 为质点数。如为单质点体系 即单层建筑 ， ，如 ξ =1 为无穷多质点体系， 抗震规范》取中间值， 为无穷多质点体系， 。《抗震规范》取中间值， ξ = 0.75 故式(3-5-3) ξ = 0.85 即 。故式 n n n αj Gi 2 2 FEK = ∑Vjo = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1 改写为
3.5.2 底部剪力法
FEK = α1Geq
多自由度体系的水平地震作用(精)
因此，多质点体系的等效总重力荷载即为：
Geq 0.85 Gi
i 1
n
2. 质点的地震作用
在求得结构的总水平地震作用后，将其分配到各个质 点，可以得到各质点的地震作用。 由于质量和刚度沿高度分布比较均匀，高度不高，以 剪切变形为主的多自由度结构，其地震反应以基本振 型为主，而结构的基本振型接近于倒三角形。 故假定水平地震作用按倒三角形分布。
1．结构底部剪力
多质点体系在水平地震作用任一时刻的底部剪力为
F (t ) mi [ x0 (t ) xi (t )]
i 1
n
在设计时取其时程曲线的峰值，即：
FE { mi [ x0 (t ) xi (t )]}max
i 1
n
为简化计算，根据底部剪力相等的原则，将多自由度体系 用一个与其基本周期相等的单质点体系来代替。 同时根据反应谱方法，底部剪力就可以简单地用单自由度 体系的公式计算：
多自由度体系的水平地震作用
求解结构地震作用的方法有两大类：一类是拟静力 方法；另一类为直接动力方法。 多自由度体系的水平地震作用可采用第一类方法，也 就是振型分解反应谱方法，在一定条件下还可采用更为 简单的底部剪力法。
一、振型分解反应谱法
多自由度弹性体系在地震时质点所受到的地 震作用为惯性力，当不考虑扭转耦联时，质点 i上的地震作用为
1．各振型的最大地震作用
由上式可知，作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标 准值为:
Fji (t ) mi j X ji [ x0 (t ) j (t )]max
j
[ x0 (t ) j (t )]max g
令
Gi mi g
则作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标准值可表示 为: （i=1, 2, … , m；j=1, 2, … , n） Fji (t ) j j X jiGi
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m1 0 [M] 0 x g t
k k 2 －k 2 [K] 1 － k k 2 2
(t) x x1 t x t 2
第四章 多自由度体系结构的地震反应
概 述
实际房屋的自由度：无限个； 简化：有限自由度模型。 常用分析模型：层间模型。对于建筑结构而言，一般每层 楼面及屋面可作为一个质点，而楼面与楼面（屋面）之间 墙 柱的质量则分别向 墙、柱的质量则分别向上、向下集结到楼面及屋面质点处。 向下集结到楼面及屋面质点处 这种多自由度模型在工程上一般称作为层间模型。 图4 1所示为这种层间模型的计算简图 图4.1所示为这种层间模型的计算简图
由式（4 7） 由式（4.7） 对应于1 对应于2
X 12 k 1 k 2 m1 12 ＝ X 11 k2
2 X 22 k 1 k 2 m1 2 ＝ X 21 k2
主振型
由式（4.6）得体系自由振动时的位移为 对应于1
x 11 t X11 ＝ sin 1 t 1 x 12 t X12
2 2
k 1 k 2 k 2 2 k1k 2 ＝0 m m2 m1 m 2 1
解之可得
k 1k 2 1 k1 k 2 k 2 1 k1 k 2 k 2 2 ＝ 2 m1 m2 4 m1 m2 m1m 2
矩阵[M]称为体系的质量矩阵；矩阵[K]称为体系的刚度 矩阵 而 矩阵；而 t 和 x t 称为体系的加速度矢量和位 x 移矢量。如考虑阻尼影响，则体系的运动方程为
t Cx t K x t g t M x x ＝－M I
根据达朗贝尔原理上述两力构成平衡力系（暂不考虑阻尼影响）
1 t m 1 g t －k 1 x 1 t k 2 x 2 t k 2 x 1 t ＝0 f I1 f S1＝－m 1 x x
即
1 t k 1 k 2 x 1 t k 2 x 2 t ＝－m 1 g t m1 x x
（4.4）
矩阵[C]称为体系的阻尼矩阵,如采用瑞利阻尼假定，则阻 尼矩阵为
C＝ 0 M 1 K
其中 0， 1为与体系有关的常数 其中，
4.2.2 多自由度体系的自振频率及振型
自振频率
令式（4.4）右端项为零并忽略阻尼的影响，即得该 体系的无阻尼自由振动方程为
t K x t M x ＝0
XiT K Xj＝0
i2 Xi M Xj＝0
T
因i≠ j ，则
XiT M Xj＝0
（4.18）
式（4.18）称为振型的第 正交条件，即振型关于质量 式（4.18）称为振型的第一正交条件，即振型关于质量 矩阵的正交条件或振型关于质量矩阵的加权正交性。 将式（4 18）代入式（4 17），得 将式（4.18）代入式（4.17），得
x 21 t X 21 ＝ sin 2 t 2 x 22 t X 22
对应于2
当体系分别按第一自振频率或第二自振频率振动时， 质 移 为 两质点的位移比值为
主振型
对应于1 对应于2
x 12 t X 12 k 1 k 2 m1 12 ＝ ＝ x 11 t X 11 k2
可得到的两个正号实根，它们就是两自由度体系的两个 的两个正号实根 它们就是两自由度体系的两个 自振圆频率。其中较小的一个1为第一自振圆频率或基本 自振圆频率 较大的一个2称为第二自振圆频率。 自振圆频率；较大的一个 称为第二自振圆频率
主振型
将求得的1和2分别代入式（4.7），可求得质点 l、 2的位移幅值X1和X2 ；解X1和X2不是唯 不是唯一的 的 对应于1 ，令X1和X2的解为X11和X12 对应于2 ，令X 令X1和X2的解为X21和X22
i j
i j
（4 18） （4.18） （4 19） （4.19）
振型的正交性证明
由式（4.7）
K M X ＝0 K MX ＝0
2 i i
2 j j
（4.12） （4 13） （4.13）
分别用 Xj 和 Xi 左乘式（4.12）和式（4.13），得
振型的正交性
振型的正交性，是指在多自由度体系中，任意两个不 同频率的主振型间 都存在着下述互相正交的性质： 同频率的主振型间，都存在着下述互相正交的性质： 设i为第i个频率，对应的振型为{X}i，j为第j个频率， 对应的振型为{X}j，则有： 则有：
XiT M Xj＝0
XiT K Xj＝0
即
2 t k 2 x 2 t k 2 x 1 t ＝－m 2 g t m 2 x x
（4.2）
运动方程的建立
将式（4.1）和式（4.2）合并写成矩阵形式，有
m1 0
令
1 t k 1 k 2 －k 2 x 1 t 0 x m1 x t ＝－ 0 m2 k k x t － 2 2 2 2
1 I＝ 1
x(t)
x 1 t x t 2
则两自由度体系的运动方程可写成
t K x t g t M ＝－M I x x
多自由度体系的运动方程也可以按上式表示
（4.3）
运动方程的建立
主振型
x1 t X11 X 21 xt ＝ ＝ sin1t 1 sin 2 t 2 x 2 t X12 X 22
由上式可见，在一般的初始条件下，任一质点的振动都 是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动 它不 是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动，它不 再是简谐振动，而且各质点之间位移的比值也不再是 常数 而是随时间而发生变化的 常数，而是随时间而发生变化的。
（4.5）
考虑两自由度体系的情况，令位移矢量
x 1 (t) X 1 x(t) sin t x (t) ( ) 2 X 2
（4.6）
式中，X1和X2分别为质点 l和质点2的位移幅值 将式（4.6）代入式（4.5），得
X1 2 X1 － M ＝0 sin t K sin t X X 2 2
对于一般的建筑结构，刚度矩阵和质量矩阵均 为对称矩阵 T T K ＝ K ，M ＝ M 从而，式（4.16）可写为
XiT K i2 M Xj＝0
将式（ 将式（4.17）减去式（4.15），得 ）减去式（ ） 得
（4.17）
振型的正交性证明
2 j
主振型
一般，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应的 就有多少个主振型，它们是体系的固有特性 只有各质点初位移的比值和各质点初速度的比值与该 主振型的这些比值相同时 也就是在这样特定的初始 主振型的这些比值相同时，也就是在这样特定的初始 条件下，才能出现这种振型的振动形式 在一般的初始条件下，体系的振动曲线将包含全部的 在 般的初始条件下 体系的振动曲线将包含全部的 振型 ；从线性齐次方程的特性可知，其通解为各线性 无关的特解的线性组合 对于两自由度体系而言 其 无关的特解的线性组合，对于两自由度体系而言，其 通解为
2 x 22 t X 22 k1 k 2 m1 2 ＝ ＝ x 21 t X 21 k2
上述比值与时间无关，且为常数。也就是说，当体系按其 上述比值与时间无关 且为常数 也就是说 当体系按其 自振频率振动时，两个质点的位移比值始终保持不变， 这种特殊的振动形式通常称为主振型 或简称振型 当 这种特殊的振动形式通常称为主振型，或简称振型，当 体系按1振动时称第一振型或基本振型，当按2振动时 称第 振型 称第二振型。
2 t g t f I2＝－ m 2 x x
f S2＝－f S21＝－k 2 x 2 t x 1 t
根据达朗贝尔原理上述两力构成平衡力系（暂不考虑阻尼 影响）
2 t －m 2 g t －k 2 x 2 t x 1 t f I 2 f S 2＝－m 2 x x ＝0
g 2 ) f I 2 m2 ( x x
图4 1 层间模型计算简图 图4.1
……
g n ) f In m n ( x x
4.2
多自由度体系的自由振动
4 2 1运动方程的建立 4.2.1运动方程的建立 4.2.2多自由度体系的自振频率及振型 1.自振频率 2.主振型 4.2.3多自由度体系的自振频率及振型的计算
2
（4 10） （4.10）
化简后 可得 化简后，可得
2 k k k k k k 2 k k 2 k 1 2 1 2 2 1 2 2 2＝ 1 2 （4.11） 2 m1 m2 m m m m m 2 1 1 2 1
Xn(t) mn mi m2 X1(t) m1 Xg(t) Xi(t) X2(t)
在单向水平 面运动作用下 在单向水平地面运动作用下， 多自由度体系的变形如图所 示。 设该体系各质点的相对水平 位移为xi(i=1,2,…,n), 其中n为体系自由度数， 则各质点所受的水平惯性力 为
g 1 ) f I 1 m1 ( x x
运动方程的建立
如图4.2 ,两个自由度的层间剪切模型；对质点 l，取隔离体如图4.2 （c）所示，质点 l所受的惯性力fI1和恢复力fS1分别为
1 t g t f I1＝－m1 x x
fS1＝－ fS11 fS12＝－ k1x1 t k2 x2 t x1 t
k k 2 －k 2 [K] 1 － k k 2 2
(t) x x1 t x t 2
第四章 多自由度体系结构的地震反应
概 述
实际房屋的自由度：无限个； 简化：有限自由度模型。 常用分析模型：层间模型。对于建筑结构而言，一般每层 楼面及屋面可作为一个质点，而楼面与楼面（屋面）之间 墙 柱的质量则分别向 墙、柱的质量则分别向上、向下集结到楼面及屋面质点处。 向下集结到楼面及屋面质点处 这种多自由度模型在工程上一般称作为层间模型。 图4 1所示为这种层间模型的计算简图 图4.1所示为这种层间模型的计算简图
由式（4 7） 由式（4.7） 对应于1 对应于2
X 12 k 1 k 2 m1 12 ＝ X 11 k2
2 X 22 k 1 k 2 m1 2 ＝ X 21 k2
主振型
由式（4.6）得体系自由振动时的位移为 对应于1
x 11 t X11 ＝ sin 1 t 1 x 12 t X12
2 2
k 1 k 2 k 2 2 k1k 2 ＝0 m m2 m1 m 2 1
解之可得
k 1k 2 1 k1 k 2 k 2 1 k1 k 2 k 2 2 ＝ 2 m1 m2 4 m1 m2 m1m 2
矩阵[M]称为体系的质量矩阵；矩阵[K]称为体系的刚度 矩阵 而 矩阵；而 t 和 x t 称为体系的加速度矢量和位 x 移矢量。如考虑阻尼影响，则体系的运动方程为
t Cx t K x t g t M x x ＝－M I
根据达朗贝尔原理上述两力构成平衡力系（暂不考虑阻尼影响）
1 t m 1 g t －k 1 x 1 t k 2 x 2 t k 2 x 1 t ＝0 f I1 f S1＝－m 1 x x
即
1 t k 1 k 2 x 1 t k 2 x 2 t ＝－m 1 g t m1 x x
（4.4）
矩阵[C]称为体系的阻尼矩阵,如采用瑞利阻尼假定，则阻 尼矩阵为
C＝ 0 M 1 K
其中 0， 1为与体系有关的常数 其中，
4.2.2 多自由度体系的自振频率及振型
自振频率
令式（4.4）右端项为零并忽略阻尼的影响，即得该 体系的无阻尼自由振动方程为
t K x t M x ＝0
XiT K Xj＝0
i2 Xi M Xj＝0
T
因i≠ j ，则
XiT M Xj＝0
（4.18）
式（4.18）称为振型的第 正交条件，即振型关于质量 式（4.18）称为振型的第一正交条件，即振型关于质量 矩阵的正交条件或振型关于质量矩阵的加权正交性。 将式（4 18）代入式（4 17），得 将式（4.18）代入式（4.17），得
x 21 t X 21 ＝ sin 2 t 2 x 22 t X 22
对应于2
当体系分别按第一自振频率或第二自振频率振动时， 质 移 为 两质点的位移比值为
主振型
对应于1 对应于2
x 12 t X 12 k 1 k 2 m1 12 ＝ ＝ x 11 t X 11 k2
可得到的两个正号实根，它们就是两自由度体系的两个 的两个正号实根 它们就是两自由度体系的两个 自振圆频率。其中较小的一个1为第一自振圆频率或基本 自振圆频率 较大的一个2称为第二自振圆频率。 自振圆频率；较大的一个 称为第二自振圆频率
主振型
将求得的1和2分别代入式（4.7），可求得质点 l、 2的位移幅值X1和X2 ；解X1和X2不是唯 不是唯一的 的 对应于1 ，令X1和X2的解为X11和X12 对应于2 ，令X 令X1和X2的解为X21和X22
i j
i j
（4 18） （4.18） （4 19） （4.19）
振型的正交性证明
由式（4.7）
K M X ＝0 K MX ＝0
2 i i
2 j j
（4.12） （4 13） （4.13）
分别用 Xj 和 Xi 左乘式（4.12）和式（4.13），得
振型的正交性
振型的正交性，是指在多自由度体系中，任意两个不 同频率的主振型间 都存在着下述互相正交的性质： 同频率的主振型间，都存在着下述互相正交的性质： 设i为第i个频率，对应的振型为{X}i，j为第j个频率， 对应的振型为{X}j，则有： 则有：
XiT M Xj＝0
XiT K Xj＝0
即
2 t k 2 x 2 t k 2 x 1 t ＝－m 2 g t m 2 x x
（4.2）
运动方程的建立
将式（4.1）和式（4.2）合并写成矩阵形式，有
m1 0
令
1 t k 1 k 2 －k 2 x 1 t 0 x m1 x t ＝－ 0 m2 k k x t － 2 2 2 2
1 I＝ 1
x(t)
x 1 t x t 2
则两自由度体系的运动方程可写成
t K x t g t M ＝－M I x x
多自由度体系的运动方程也可以按上式表示
（4.3）
运动方程的建立
主振型
x1 t X11 X 21 xt ＝ ＝ sin1t 1 sin 2 t 2 x 2 t X12 X 22
由上式可见，在一般的初始条件下，任一质点的振动都 是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动 它不 是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动，它不 再是简谐振动，而且各质点之间位移的比值也不再是 常数 而是随时间而发生变化的 常数，而是随时间而发生变化的。
（4.5）
考虑两自由度体系的情况，令位移矢量
x 1 (t) X 1 x(t) sin t x (t) ( ) 2 X 2
（4.6）
式中，X1和X2分别为质点 l和质点2的位移幅值 将式（4.6）代入式（4.5），得
X1 2 X1 － M ＝0 sin t K sin t X X 2 2
对于一般的建筑结构，刚度矩阵和质量矩阵均 为对称矩阵 T T K ＝ K ，M ＝ M 从而，式（4.16）可写为
XiT K i2 M Xj＝0
将式（ 将式（4.17）减去式（4.15），得 ）减去式（ ） 得
（4.17）
振型的正交性证明
2 j
主振型
一般，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应的 就有多少个主振型，它们是体系的固有特性 只有各质点初位移的比值和各质点初速度的比值与该 主振型的这些比值相同时 也就是在这样特定的初始 主振型的这些比值相同时，也就是在这样特定的初始 条件下，才能出现这种振型的振动形式 在一般的初始条件下，体系的振动曲线将包含全部的 在 般的初始条件下 体系的振动曲线将包含全部的 振型 ；从线性齐次方程的特性可知，其通解为各线性 无关的特解的线性组合 对于两自由度体系而言 其 无关的特解的线性组合，对于两自由度体系而言，其 通解为
2 x 22 t X 22 k1 k 2 m1 2 ＝ ＝ x 21 t X 21 k2
上述比值与时间无关，且为常数。也就是说，当体系按其 上述比值与时间无关 且为常数 也就是说 当体系按其 自振频率振动时，两个质点的位移比值始终保持不变， 这种特殊的振动形式通常称为主振型 或简称振型 当 这种特殊的振动形式通常称为主振型，或简称振型，当 体系按1振动时称第一振型或基本振型，当按2振动时 称第 振型 称第二振型。
2 t g t f I2＝－ m 2 x x
f S2＝－f S21＝－k 2 x 2 t x 1 t
根据达朗贝尔原理上述两力构成平衡力系（暂不考虑阻尼 影响）
2 t －m 2 g t －k 2 x 2 t x 1 t f I 2 f S 2＝－m 2 x x ＝0
g 2 ) f I 2 m2 ( x x
图4 1 层间模型计算简图 图4.1
……
g n ) f In m n ( x x
4.2
多自由度体系的自由振动
4 2 1运动方程的建立 4.2.1运动方程的建立 4.2.2多自由度体系的自振频率及振型 1.自振频率 2.主振型 4.2.3多自由度体系的自振频率及振型的计算
2
（4 10） （4.10）
化简后 可得 化简后，可得
2 k k k k k k 2 k k 2 k 1 2 1 2 2 1 2 2 2＝ 1 2 （4.11） 2 m1 m2 m m m m m 2 1 1 2 1
Xn(t) mn mi m2 X1(t) m1 Xg(t) Xi(t) X2(t)
在单向水平 面运动作用下 在单向水平地面运动作用下， 多自由度体系的变形如图所 示。 设该体系各质点的相对水平 位移为xi(i=1,2,…,n), 其中n为体系自由度数， 则各质点所受的水平惯性力 为
g 1 ) f I 1 m1 ( x x
运动方程的建立
如图4.2 ,两个自由度的层间剪切模型；对质点 l，取隔离体如图4.2 （c）所示，质点 l所受的惯性力fI1和恢复力fS1分别为
1 t g t f I1＝－m1 x x
fS1＝－ fS11 fS12＝－ k1x1 t k2 x2 t x1 t