单质点,多质点体系地震作用处理方法的异同

单质点,多质点体系地震作用处理方法的异同
刘十一050880，易坤涛050881，王超维050882，刘超050883
地壳板块在地幔热对流作用下发生缓慢漂移，由于板块之间的碰撞和积压，地壳内部的应力不断累积。

当应力到达一定程度时，就会发生断裂，形成地震。

我国处在环太平洋地震带和喜马拉雅地震带的交汇处，为地震多发国家。

建筑抗震研究在我国有重要实际意义。

地震波分为体波和面波。

体波在地球内部传播，分为横波（S ）和纵波（P ）两种。

纵波为压缩波，传播速度与拉伸弹性模量有关，对地表建筑的作用主要是垂直方向。

横波为剪切波，传播与剪切弹性模量有关，对地表建筑作用主要是水平方向。

面波是在体表传播，由体波的折射、反射后形成的，对建筑影响既有水平方向，又有垂直方向。

因此，建筑物受到的地震作用既有水平方向，又有竖直方向的。

由于建筑在竖直方向刚度较大，而水平方向刚度较小，容易在水平方向发生震动的放大，所以主要考虑水平方向的震动响应。

由于线弹性体震动可以叠加，只要考虑了一个方向的水平震动。

求地震作用时，通常将建筑物简化为单质点或多质点体系。

单质点体系，质点受到三个力的作用： 1. 惯性力：()I g f m x x ''''=-+
2. 阻尼力：c f cx '=-
3. 恢复力：k f kx =-
4. 由质点受力平衡得：0I c k f f f ++= => g mx cx kx mx '''''++=-
其中m 、c 、k 、x g 、x 分别为质量，阻尼，体系刚度，地面位移和质点相对地面的位移。

令ω=2c m
ωξ= 则上式子转化为 22g x x x x ωξω'''''++=- 加上初始条件（x(0)＝0，x ’(0)=0）可得到
()01()()sin[()]t t g D D x t x e t d ξωτττωτω--''=--⎰；ω=D
其中ω为无阻尼体系自由振动频率,ξ称为阻尼比,一般工程结构中ξ值较小,在0.101~0.1,ωd 为有阻尼时体系自由振动圆频率,一般ω≈ωd.
将位移反应对时间求一阶和二阶导数,并且ξ值很小,可得体系地震速度反应和地震加速度反应：
()0
()()cos[()]t
t g D x t x e t d ξωτττωτ--'''=--⎰ ()0()()()sin[()]t t g D g D x t x t x e t d ξωττωτωτ--''''''+=-⎰
单自由度体系再地震作用下的振动是最简单的情况，但是由于实际工程中建筑物质量是非集中的，非集中倒一点，也不会只有一个自由度。

为了计算，同时要满足一定的精度要求，
我们一般把建筑物按照一定的原则简化成多质点体系（例如在多层房屋或不等高排架的水平振动时，一般将体系质量全部集中倒个楼层及屋盖处）。

然后将多自由度体系的振动用振型分解法分解为多个单自由度体系的振动，再用组合振型来表达。

这就是单质点和多质点体系处理方法的联系，也使单质点体系的处理有了意义。

具体的多质点体系的处理方法是：
设体系简化为n 个质点，且只考虑单向水平地面作用。

令
12{}[,,,]T
n x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅ 12{}[,,,]T n x x x x ''''=⋅⋅⋅⋅⋅
12{}[,,,]T n x x x x ''''''''=⋅⋅⋅⋅⋅
12[](,,,)
n M diag m m m =⋅⋅⋅⋅⋅ 12{}[,,,]T
I I In F f f f =⋅⋅⋅⋅⋅
{x},{x’},{x”}分别表示体系的位移向量、速度向量和加速度向量；[M]为体系的质量矩阵；{F}为体系的惯性力向量。

令[C]表示体系的阻尼矩阵，则通过对比单质点体系的运动方程可得多质点体系的运动方程形式为：
[]{}[]{}[]{}[]{1}g M x C x K x M x '''''+==-
求解后：
2
2j j j j j j j g q q q x ωξωγ'''''++=-；（{}[]{1}{}[]{}T j j T j j M M φγφφ=）
其中ζj 为体系第j 阶振型阻尼比，γj 称j 阶振型参与系数。

()()j j j q t t γ=∆
式子实际上是在单质点体系单向振动运动方程形式上的地面运动乘以一系数γj ，因此得：
()()j j j q t t γ=∆
Δj (t)为圆频率为ωj ，阻尼比ξ
j 为得单质点体系在水平地面运动作用下得相对的地面位
移反应，由此：
11
{}(){}{}n n j j j j j j x t x γφ===∆=∑∑
用振型分解反应谱法，质点i 的j 振型地震作用：
()ji i i ji j F G T λφα=；（()()T k T αβ=）
振型组合，结构最大地震反应
S S =
在实际运用中，可将质量集中度比较高的建筑简化为单质点
体系来处理。

比如水塔，
可将质量看作集中于顶部
水箱。

而大多数其它建筑，
都可以简化为多质点体系
来处理。

比如楼房，可以
将每层楼板简化为一个质
点。

右图示例了将一个两
层剪切形建筑简化为两质
点系。

对于多跨桥梁，可
以将每跨的质量看作集中
在跨中处。

建筑在地震作用下的受力和地震的烈度，建筑的自振频率，场地类型都有关系。

在多质点体系抗震设计中，一定要避免结构的固有频率和场地的振动频率，重合或接近，这样对建筑是最不利的。

由于不同的地域，不同的场地的地震反应谱都不一样，对建筑进行抗震设计，一定要因地制宜。

理论上可以通过改变体系质量分布，改变建筑刚度等方法，让体系的主振频率避开场地地震反应谱的峰值区域。

对于多质点体系，由于地震响应中，前几阶振型起主要作用，我们可以考虑约束主体系的低阶振型，许多情况下这样可以大大降低结构的动力系数。

不论是对单质点体系，还是对多质点体系，阻尼比越大，体系在相同地震作用下最大的受力就越小，因此我们也可以把增大建筑阻尼作为抗震的一种手段。

这在实际工程中也有应用。

比如土木大楼就装有阻尼器。

我校新建成的高99米的综合楼更是大量采用了粘滞阻尼器，在外墙的每个斜支撑的根部都安装有一个。

这样可以减少大楼在地震时的扭转响应。

虽然多质点体系振动可用振型分解法通过单质点体系震动来求解每个振型的地震位移响应，但求解结构的基本振型仍然是计算量很大的工作，利用已知振型求解多质点体系的位移和受力也很麻烦。

因此，应该学会利用计算机对结构的振动问题进行计算。

比如求解结构的刚度矩阵和解特征值时可以借助功能强大的MatLab；可以应用有限元分析软件ANSYS，利用此软件可以进行建筑结构实体建模，然后对结构进行线性、非线性及高度非线性分析。

还可以使用结构动力学工具箱SDTools对建筑的在地震作用下的振动进行仿真，它是基于MatLab平台的动力分析工具包，它是功能最强大的动力学分析工具包之一。