(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第三章 三角函数、解三角形第三节 三角函数的图象与性质
π 3 3sin2x－6 ∈－2，3， 3 f(x)的值域是－2，3.
即此时函数
3．函数 y＝lg(sin 2x)＋
π π －3， ∪0， 2 2 2 ． 9－x 的定义域为_________________
数的值域为 R.
[题组练透]
1．函数 y＝ 2sin x－1的定义域为
π 5π A．6， 6 π 5π C． 2kπ＋6，2kπ＋ 6 (k∈Z)
(
π 5π B．2kπ＋6，2kπ＋ 6 (k∈Z) π 5π D． kπ＋6，kπ＋ 6 (k∈Z)
第三节
三角函数的图象与性质
基础盘查
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
(一)循纲忆知 1．能画出 y＝sin x, y＝cos x, y＝tan x 的图象，了解三角函数
的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大
值和最小值，图象与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间
C．在[0，π]上是增函数，在－π，0上是减函数
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
2
2
π 1－ 5 ≤ x 最小值为 4 的最大值为4， 2
2
.
[类题通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 (组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
π y＝－ tanx＋6 ＋ 2
的定义域为
考点一 三角函数的定义域与值域 (基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
正弦、余弦函数的定义域为 R，正切函数的定义域为
π xx≠kπ＋ ，k∈Z 2 ；正弦、余弦函数的值域为[－1,1]，正切函
sin 2x＞0， 解析：由 2 9 － x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
4．求函数 y＝cos x＋sin x
2
π |x|≤ 的最大值与最小值． 4
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
1 5 2 ∴y＝－t ＋t＋1＝－ t ＋ ， 2 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin x
π π 正弦函数的单调递增区间是－2＋2kπ，2＋2kπ(k∈Z)，单调 π 3π 递减区间是2 ＋2kπ， 2 ＋2kπ(k∈Z)；余弦函数的单调递增区间
是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
π π 正切函数的单调递增区间是－2＋kπ，2＋kπ(k∈Z)．
(2)把所给的三角函数式变换成 y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域； (3)把 sin x 或 cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域；
(4)利用 sin x ±cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域．
考点二
三角函数的单调性 (重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
2
ห้องสมุดไป่ตู้
( B． 0 1 D．－ 2
)
3 1 解析：f(x)＝1－2sin x＋2sin x＝－2 sin x ＋ ，所以函 2 2 3 数 f(x)的最大值是 ，最小值是－3，所以最大值与最小值的和 2 3 是－ ，故选 C. 2
2
4． (人教 A 版教材习题改编 )函数
π xx≠kπ＋ ，k∈Z 3 ． ____________________
π π － ， 内的单调性． 2 2
(二)小题查验
1．判断正误
(1)函数 y＝sin x 的图象介于直线 y＝1 与 y＝－1 之间 ( √ )
π (2)将余弦曲线向右平移 个单位就得到正弦曲线 2
(3)函数
3π y＝sin2x＋ 2 是奇函数
( √ )
( × ) ( × )
)
1 解析：由 2sin x－1≥0, 得 sin x≥ ， 2 π 5π 所以 2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ (k∈Z)． 6 6
2．函数
π π f(x)＝3sin2x－6 在区间0，2 上的值域为 3 B.－2，3 3 3 D.－ ，3 2
π (4)函数 y＝sin x 的对称轴方程为 x＝2kπ＋ (k∈Z) 2
(5)正切函数在整个定义域内是增函数
( × )
2．(人教 A 版教材习题改编)函数 y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是 ( A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
π π π π B．在－2，2 上是增函数，在－π，－2 和2，π上都是减函数
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高考数学大一轮复习 3.3.2简单的三角恒等变换课件 理
(1)求 f(x)的零点； (2)求 f(x)的最大值和最小值．
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21
【解】 (1)令 f(x)＝0，得 sinx·( 3sinx＋cosx)＝0，所以
sinx＝0
或
tanx＝－
3 3.
由 sinx＝0，x∈2π，π，得 x＝π； 由 tanx＝－ 33，x∈2π，π，得 x＝56π. 综上，函数 f(x)的零点为56π或 π.
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22
(2)f(x)＝
23(1－cos2x)＋12sin2x＝sin2x－3π＋
3 2.
因为 x∈2π，π， 所以 2x－3π∈23π，53π. 所以当 2x－3π＝23π，即 x＝π2时，f(x)的最大值为 3；
当
2x－3π＝32π，即
x＝1112π时，f(x)的最小值为－1＋
3 2.
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12
三角函数的给值求值与给值求角
【例 2】 (1)已知 0<β<2π<α<π，且 cosα－β2＝－19， sinα2－β＝23，求 cos(α＋β)的值；
(2)已知 α，β 为锐角，sinα＝35，cos(α＋β)＝－45，求 2α＋β.
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13
【解】 (1)∵0<β<2π<α<π， ∴－π4<α2－β<π2，4π<α－β2<π， ∴cosα2－β＝ 1－sin2α2－β＝ 35， sinα－β2＝ 1－cos2α－β2＝495， ∴cosα＋2 β＝cosα－2β－α2－β
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7
【解】 原式＝2×22scino1s021°0co°s10°－sin10°(csoins55°°－ sin5° cos5°)
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21
【解】 (1)令 f(x)＝0，得 sinx·( 3sinx＋cosx)＝0，所以
sinx＝0
或
tanx＝－
3 3.
由 sinx＝0，x∈2π，π，得 x＝π； 由 tanx＝－ 33，x∈2π，π，得 x＝56π. 综上，函数 f(x)的零点为56π或 π.
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22
(2)f(x)＝
23(1－cos2x)＋12sin2x＝sin2x－3π＋
3 2.
因为 x∈2π，π， 所以 2x－3π∈23π，53π. 所以当 2x－3π＝23π，即 x＝π2时，f(x)的最大值为 3；
当
2x－3π＝32π，即
x＝1112π时，f(x)的最小值为－1＋
3 2.
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12
三角函数的给值求值与给值求角
【例 2】 (1)已知 0<β<2π<α<π，且 cosα－β2＝－19， sinα2－β＝23，求 cos(α＋β)的值；
(2)已知 α，β 为锐角，sinα＝35，cos(α＋β)＝－45，求 2α＋β.
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13
【解】 (1)∵0<β<2π<α<π， ∴－π4<α2－β<π2，4π<α－β2<π， ∴cosα2－β＝ 1－sin2α2－β＝ 35， sinα－β2＝ 1－cos2α－β2＝495， ∴cosα＋2 β＝cosα－2β－α2－β
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7
【解】 原式＝2×22scino1s021°0co°s10°－sin10°(csoins55°°－ sin5° cos5°)
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
(5)tan (α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ(T(α－β)). (6)tan (α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ(T(α＋β)).
2.二倍角公式 (1)基本公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
答案：C 【反思感悟】 理解数学文化内容，结合题目条件进行三角变换求值是关键.
【高分训练】
(2021 年泸州市模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图
是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成
一个大的正方形，若图3-3-1中直角三角形两锐角分别
为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为 9∶25，
答案：12
⊙三角变换与数学文化的创新问题 新高考数学考查的学科素养提炼为理性思维，数学应用，数 学探究和数学文化，其中数学文化作为素养考查的四大内涵之一， 以数学文化为背景的试题将是新高考的必考内容.
[例 4]公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边 形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为 0.618，
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
θ＋cos θ)sin 2＋2cos θ
2θ－cos
θ 2
＝______.
解析：由 θ∈(0，π)，得 0＜2θ＜π2， ∴cos 2θ＞0，∴ 2＋2cos θ＝ 4cos22θ＝2cos2θ.
又(1＋sin θ＋cos θ)sin
解析：原式＝1－cos22α－π3＋1－cos 22α＋π3－sin2α＝1－ 12cos2α－π3＋cos 2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cos π3－sin2α＝1－ co2s2α－1－c2os 2α＝12.
高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象与性质课件文
(2)函数 y＝sin(－3x＋ 4 )，x∈R 在什么区间上是增函数？
第九页，共18页。
(2015·重庆卷)已知函数 f(x)＝sinπ2 －xsin x－ 3cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论 f(x)在π6 ，23π上的单调性．
第十页，共18页。
解：(1)f(x)＝sinπ2 －xsin x－ 3cos2x
答案：(1)A (2)B
第十五页，共18页。
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化 为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念与规律、三角函 数的周期公式求解．
2．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点 或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 x＝x0 或点 (x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行 判断．
第五页，共18页。
(2015·课标全国Ⅰ卷) 函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减 区间为( )
第六页，共18页。
A.kπ－41，kπ＋34，k∈Z B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z C.k－14，k＋34，k∈Z D.2k－14，2k＋34，k∈Z 命题立意：本题考查余弦函数的图象与单调性；求函数解析式的 过程考查了推理论证能力，求单调区间则考查了运算求解能力．
)
A．2 或 0
B．－2 或 2
C．0
D．－2 或 0
第十四页，共18页。
解析：(1)y＝2cos2x－π4 －1＝cos2x－π2 ＝sin 2x 为奇函数， 最小正周期 T＝2π 2 ＝π.
(2)因为函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意 x 都有 fπ6 ＋x＝fπ6 －x， π
第九页，共18页。
(2015·重庆卷)已知函数 f(x)＝sinπ2 －xsin x－ 3cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论 f(x)在π6 ，23π上的单调性．
第十页，共18页。
解：(1)f(x)＝sinπ2 －xsin x－ 3cos2x
答案：(1)A (2)B
第十五页，共18页。
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化 为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念与规律、三角函 数的周期公式求解．
2．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点 或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 x＝x0 或点 (x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行 判断．
第五页，共18页。
(2015·课标全国Ⅰ卷) 函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减 区间为( )
第六页，共18页。
A.kπ－41，kπ＋34，k∈Z B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z C.k－14，k＋34，k∈Z D.2k－14，2k＋34，k∈Z 命题立意：本题考查余弦函数的图象与单调性；求函数解析式的 过程考查了推理论证能力，求单调区间则考查了运算求解能力．
)
A．2 或 0
B．－2 或 2
C．0
D．－2 或 0
第十四页，共18页。
解析：(1)y＝2cos2x－π4 －1＝cos2x－π2 ＝sin 2x 为奇函数， 最小正周期 T＝2π 2 ＝π.
(2)因为函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意 x 都有 fπ6 ＋x＝fπ6 －x， π
高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第三章 三角函数、解三角形 第三节 三角函数的图象与性质
C．在[0，π]上是增函数，在－π，0上是减函数
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
π 3．正弦函数 y＝sin x 的对称轴是 x＝kπ＋ ，k∈Z，对称中 2 心为(kπ，0)，k∈Z.余弦函数 y＝cos x 的对称轴是 x＝kπ，k∈Z，
π 对称中心为2 ＋kπ，0，k∈Z，的直线， 对称中心是图象与 x 轴的交
(2)求三角函数的对称轴或对称中心； (3)三角函数对称性的应用.
角度一：三角函数的周期 2π 1．函数 y＝－2cos 4 ＋x＋1 是
A．最小正周期为 π 的奇函数 B．最小正周期为 π 的偶函数 π C．最小正周期为 的奇函数 2 π D． 最小正周期为 的非奇非偶函数 2
π (4)函数 y＝sin x 的对称轴方程为 x＝2kπ＋ (k∈Z) 2
(5)正切函数在整个定义域内是增函数
( × )
2．(人教 A 版教材习题改编)函数 y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是 ( A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
π π π π B．在－2，2 上是增函数，在－π，－2 和2，π上都是减函数
4．求函数 y＝cos x＋sin x
2
π |x|≤ 的最大值与最小值． 4
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
1 5 2 ∴y＝－t ＋t＋1＝－ t ＋ ， 2 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin x
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
π 3．正弦函数 y＝sin x 的对称轴是 x＝kπ＋ ，k∈Z，对称中 2 心为(kπ，0)，k∈Z.余弦函数 y＝cos x 的对称轴是 x＝kπ，k∈Z，
π 对称中心为2 ＋kπ，0，k∈Z，的直线， 对称中心是图象与 x 轴的交
(2)求三角函数的对称轴或对称中心； (3)三角函数对称性的应用.
角度一：三角函数的周期 2π 1．函数 y＝－2cos 4 ＋x＋1 是
A．最小正周期为 π 的奇函数 B．最小正周期为 π 的偶函数 π C．最小正周期为 的奇函数 2 π D． 最小正周期为 的非奇非偶函数 2
π (4)函数 y＝sin x 的对称轴方程为 x＝2kπ＋ (k∈Z) 2
(5)正切函数在整个定义域内是增函数
( × )
2．(人教 A 版教材习题改编)函数 y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是 ( A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
π π π π B．在－2，2 上是增函数，在－π，－2 和2，π上都是减函数
4．求函数 y＝cos x＋sin x
2
π |x|≤ 的最大值与最小值． 4
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
1 5 2 ∴y＝－t ＋t＋1＝－ t ＋ ， 2 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin x
高三理科数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第三节 三角函数的图象与性质课件
=
2π 2��π
+
π 2
≤
2������
−
π 4
≤
2������π
+
3π 2
,
������
∈
������,
可得������π
+
3π 8
≤
������
≤
������π
+
78π,k∈Z,即为其单调递
减区间.
11
考点 1 三角函数的定义域、值域
典例 1 函数 y= sin������-cos������的定义域为
14
【变式训练】
1.函数 y=tan1������-1的定义域为
.
1.
������|������
≠
������π +
π 4
且������
≠
������π
+
π 2
,������∈Z
【解析】由 tan ������ − 1 ≠
0 得 tan ������ ≠ 1, 即������
������π
+
π 4
(3)×
(4)y=sin
������
+
3π 2
是奇函数.
(4)×
() () () ()
7
2.(2016·安徽六校联考)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数
的是
()
A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x
C.y=2x+21������
D.y=x2+sin x
2.D 【解析】利用奇偶函数的判断方法易知 A,C 为奇函数,B 为
π 3
2018版高考一轮总复习数学理课件 第3章 三角函数、解
1 3． 设 M 和 m 分别是函数 y＝ cosx－1 的最大值和最小 3 －2 值，则 M＋m＝________.
解析 2 4 ∵ M＝－ ， m＝－ ，∴ M＋ m＝－ 2. 3 3
4．函数
x π y＝tan ＋ 的单调递增区间是 2 3
5π π 2 k π － ， 2 k π ＋ (k∈ Z) 2π 3 3 _______________________ ，最小正周期是________ ．
5π ≤x≤2 kπ＋ (k∈ Z)． 6
(2)函数 y＝cos
5 1－ 2 ， 4 2 __________ ．
2
π x＋ sinx|x|≤ 的最大值与最小值分别为 4
[解析 ]
∴ t∈ －
π 令 t＝ sin x，∵ |x|≤ ， 4 2 2 ， . 2 2
无最值
时，ymin＝－1
奇偶性 对 称 对称 中心
奇
偶
π k π ＋ ， 0 ，k∈ Z 2
奇
kπ ， 0 ， 2
(kπ，0)，k∈Z
π x＝kπ＋ ，k∈Z 2 2π
k∈ Z
x＝kπ，k∈Z 2π
性 对称 轴 最小正 周期
无对称轴
π
[必会结论] 1．函数 y＝Asin(ωx＋ φ)和 y＝Acos(ωx＋ φ)的最小正周 2π π 期为 T＝ ，函数 y＝ tan(ωx＋ φ)的最小正周期为 T＝ . |ω| |ω| 2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称 轴之间的距离是半周期， 相邻的对称中心与对称轴之间的距 1 离是 周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周 4 期． 3 ．三角函数中奇函数一般可化为 y＝ A sinωx 或 y＝ Atanωx 的形式， 而偶函数一般可化为 y＝A cosωx＋b 的形式．
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件理
第七页，共45页。
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是 灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、 通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x ＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
第八页，共45页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意 的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成 立．( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小关系不 确定．( × ) (4)公式 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ可以变形为 tanα＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( × )
第二十页，共45页。
冲关针对训练
已知锐角 α，β 满足 sinα＝ 55，cosβ＝31010，则 α＋β
等于( )
3π A. 4
B.π4或34π
π C.4
D．2kπ＋π4(k∈Z)
第二十一页，共45页。
解析 由 sinα＝ 55，cosβ＝31010，且 α，β 为锐角，可
知 cosα＝255，sinβ＝ 1100，
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－m 在0，π2上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m 的取值范围，并计算 tan(x1＋x2)的值．
本题采用转化法、数形结合思想．
第二十三页，cosx＋ 3， 化简可得 f(x)＝2sinxcosx－2 3cos2x＋ 3 ＝sin2x－2 312＋21cos2x＋ 3 ＝sin2x－ 3cos2x ＝2sin2x－π3.
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是 灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、 通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x ＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
第八页，共45页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意 的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成 立．( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小关系不 确定．( × ) (4)公式 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ可以变形为 tanα＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( × )
第二十页，共45页。
冲关针对训练
已知锐角 α，β 满足 sinα＝ 55，cosβ＝31010，则 α＋β
等于( )
3π A. 4
B.π4或34π
π C.4
D．2kπ＋π4(k∈Z)
第二十一页，共45页。
解析 由 sinα＝ 55，cosβ＝31010，且 α，β 为锐角，可
知 cosα＝255，sinβ＝ 1100，
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－m 在0，π2上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m 的取值范围，并计算 tan(x1＋x2)的值．
本题采用转化法、数形结合思想．
第二十三页，cosx＋ 3， 化简可得 f(x)＝2sinxcosx－2 3cos2x＋ 3 ＝sin2x－2 312＋21cos2x＋ 3 ＝sin2x－ 3cos2x ＝2sin2x－π3.
(新课标)高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第3节三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换课件
－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即 3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα ＋cos(α＋β)sinα，
整理可得 sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα. 因为 α≠kπ＋π2 ，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)， 所以 cos(α＋β)·cosα≠0， 则有 tan(α＋β)＝2tanα.
第二十三页，共56页。
(2)∵α 为锐角，cosα＋π6 ＝45，∴sinα＋π6 ＝35， ∴sin2α＋π3 ＝2sinα＋π6 cosα＋π6 ＝2245， cos2α＋π3 ＝2cos2α＋π6 －1＝275， ∴sin2α＋π 12＝sin2α＋π3 －π4 ＝ 22sin2α＋π3 －cos2α＋π3 ＝1750 2.
第十二页，共56页。
考向 1 给角求值
【例 2】 sin47°－cosisn1177°°cos30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C.12
D.
3 2
第十三页，共56页。
【解析】 原式＝sin（30°＋17° cos）17－°sin17°cos30° ＝sin30°cos17°＋cos3c0o°s1s7i°n17°－sin17°cos30° ＝sin3c0o°s1c7o°s17° ＝sin30°＝12. 【答案】 C
第十八页，共56页。
cos2α－π4 ＝cos2α－π4 ＋π4 ＝ 22cos2α－π4 －sin2α－π4 ＝－3510 2.
第十九页，共56页。
解法 2：由 cosπ4 －α＝35，得 22(cosα＋sinα)＝35.① 两边平方，得 1＋2cosαsinα＝1285. sin2α＝2cosαsinα＝－275， (cosα－sinα)2＝1－－275＝3225. 根据 2cosαsinα＝－275<0 及－3π 2 <α<－π2 ，
即 3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα ＋cos(α＋β)sinα，
整理可得 sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα. 因为 α≠kπ＋π2 ，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)， 所以 cos(α＋β)·cosα≠0， 则有 tan(α＋β)＝2tanα.
第二十三页，共56页。
(2)∵α 为锐角，cosα＋π6 ＝45，∴sinα＋π6 ＝35， ∴sin2α＋π3 ＝2sinα＋π6 cosα＋π6 ＝2245， cos2α＋π3 ＝2cos2α＋π6 －1＝275， ∴sin2α＋π 12＝sin2α＋π3 －π4 ＝ 22sin2α＋π3 －cos2α＋π3 ＝1750 2.
第十二页，共56页。
考向 1 给角求值
【例 2】 sin47°－cosisn1177°°cos30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C.12
D.
3 2
第十三页，共56页。
【解析】 原式＝sin（30°＋17° cos）17－°sin17°cos30° ＝sin30°cos17°＋cos3c0o°s1s7i°n17°－sin17°cos30° ＝sin3c0o°s1c7o°s17° ＝sin30°＝12. 【答案】 C
第十八页，共56页。
cos2α－π4 ＝cos2α－π4 ＋π4 ＝ 22cos2α－π4 －sin2α－π4 ＝－3510 2.
第十九页，共56页。
解法 2：由 cosπ4 －α＝35，得 22(cosα＋sinα)＝35.① 两边平方，得 1＋2cosαsinα＝1285. sin2α＝2cosαsinα＝－275， (cosα－sinα)2＝1－－275＝3225. 根据 2cosαsinα＝－275<0 及－3π 2 <α<－π2 ，
高考数学大一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形 3.3 三角函数的图像与性质课件 文
第三章 三角函数、三角恒等变形、 解三角形
第三节 三角函数的图像与性质
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图像，了解三角函 数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的 单调性。
J 基础知识 自主学习
知识梳理
1．周期函数和最小正周期
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像
定义域
_R___
值域
_[_－__1_,1_]_
_R___ [－__1_,_1_]_
{x|x∈R且x≠＋ kπ，k∈Z}
__R__
函 数
y＝sin x
4．下列函数中，周期为 π，且在π4，π2上为减函数的是(
)
A．y＝sin2x＋π2
B．y＝cos2x＋π2
C．y＝sinx＋π2
D．y＝cosx＋2π
解析 由函数的周期为 π，可ห้องสมุดไป่ตู้除 C，D。又函数在π4，π2上为减函 数，排除 B，故选 A。
答案 A
5．函数 y＝ ___34_π_＋__2_k_π_(k_∈__Z__) _。
【解析】 要使函数有意义需满足
sin x>0，
cos
x－12≥0，
即scionsxx>≥0，12，
cos x－12的定义域
解得2－kππ3＋<x2<kππ＋≤2xk≤π，3π＋2kπ (k∈Z)，
第三节 三角函数的图像与性质
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图像，了解三角函 数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的 单调性。
J 基础知识 自主学习
知识梳理
1．周期函数和最小正周期
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像
定义域
_R___
值域
_[_－__1_,1_]_
_R___ [－__1_,_1_]_
{x|x∈R且x≠＋ kπ，k∈Z}
__R__
函 数
y＝sin x
4．下列函数中，周期为 π，且在π4，π2上为减函数的是(
)
A．y＝sin2x＋π2
B．y＝cos2x＋π2
C．y＝sinx＋π2
D．y＝cosx＋2π
解析 由函数的周期为 π，可ห้องสมุดไป่ตู้除 C，D。又函数在π4，π2上为减函 数，排除 B，故选 A。
答案 A
5．函数 y＝ ___34_π_＋__2_k_π_(k_∈__Z__) _。
【解析】 要使函数有意义需满足
sin x>0，
cos
x－12≥0，
即scionsxx>≥0，12，
cos x－12的定义域
解得2－kππ3＋<x2<kππ＋≤2xk≤π，3π＋2kπ (k∈Z)，
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第三节三角恒等变换第1课时课件新人教版
[题组突破] 1．设α，β都是锐角，且cos α＝ 55，sin(α＋β)＝53，则cos β＝________. 答案：2255
2．已知cos(75°＋α)＝31，则cos(30°－2α)的值为________． 解析：cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝13，
所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－92＝97. 答案：79
理解数学文化内容，结合题目条件进行三角变换求值是关键
[对点训练]
(202X·武汉模拟)《周髀算经》中给出了弦图，如图所示，所谓弦图
是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，
若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比
为4∶9，则cos(α－β)的值为( ) A
[解析] (1)∵α，β∈0，2π， 从而－π2<α－β <π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，
∴－π2<α－β
<0.∴sin(α－β)＝－
10 10 .
cos(α－β)＝3 1010.
∵α为锐角，且sin α＝53，∴cos α＝45.
∴cos β＝cos[α－(α －β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
解析：原式＝ cos
cos 40° 25° 1－cos
50°
＝ cos 40° ＝ cos 40° ＝ cos 25°· 2sin 25° 2
2.
答案： 2
2 sin 50°
4．(202X·杭州质检)若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________. 答案：17
第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式