全等三角形的讲义讲义
初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版
初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版初中数学全等三角形综合复讲义——全面完整版一、基础知识1.全等图形的有关概念1)全等图形的定义：两个图形能够完全重合，就是全等图形。
例如，图13-1和图13-2就是全等图形。
2)全等多边形的定义：两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如，图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边：两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
4)全等多边形的表示：例如，图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
5)全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。
6)全等多边形的识别：对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别1)根据定义：若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
2)根据SSS：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
3)根据SAS：如果两个三角形有两边及夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
4)根据ASA：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
5)根据AAS：如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别1)根据HL：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
2)SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。
《全等三角形》 讲义
《全等三角形》讲义一、全等三角形的定义两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形。
“完全重合”意味着它们的形状和大小完全相同，包括三角形的三条边和三个角。
例如，我们有两个三角形△ABC 和△DEF，如果将△DEF 放到△ABC 上，能够完全覆盖住△ABC，没有任何多余的部分或者空缺，那么我们就说△ABC 和△DEF 是全等三角形。
二、全等三角形的性质1、对应边相等如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、对应角相等∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、周长相等由于对应边相等，所以两个全等三角形的周长也相等。
4、面积相等全等三角形能够完全重合，所以它们的面积相等。
三、全等三角形的判定方法1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么可以判定△ABC ≌△DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，∠C ＝∠F，AB ＝ DE，那么△ABC ≌△DEF。
5、 HL（斜边、直角边）这是针对直角三角形的特殊判定方法。
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
比如，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，AB ＝ DE（斜边），AC ＝ DF （直角边），那么 Rt△ABC ≌ Rt△DEF。
三角形全等的讲义
三角形全等的判定一、判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：1、三边对应相等的两个三角形全等（能够简写成“边边边”或“SSS”）。
2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（能够简写成“边角边”或“SAS”）。
3、两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等（能够简写成“角边角”或“ASA”）。
4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（能够简写成“角角边”或“AAS”）。
二、判别两个直角三角形全等时，除了能够应用以上4种判别方法外，还能够应用“斜边、直角边”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（能够简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
三、尺规作图使用尺规作图作相等角、相等线段以及全等三角形。
四、应用三角形的判定方法三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不但因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的相关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．（2）条件缺乏，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利使用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的隐藏条件有：①公共边，公共角，对顶角；②线段的相加减；③角度的互余，互补，三角形的外角等于与它不相邻的内角和。
全等三角形的讲义整理讲义
全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。
）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。
【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边， CA 与 是对应边；(2)∠A 与 是对应角，∠ABC 与 是对应角， ∠BAC 与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。
【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ .【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等，对应角的角平分线相等）【例题2】 （海南省中考卷第5题） 已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．【练习2】 如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）A 20° B．30° C ．35° D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ， 且∠ABD=90°。
《全等三角形》数学教学PPT课件(6篇)
E A
F
B
C
∆ABC ≌ ∆FDE
对应顶点 对应顶点 对应顶点 对应角 对应角 对应角 对应边 对应边 对应边
41
课堂测试 1.如果∆ABC≌ ∆ADC，AB=AD，∠B=70°, BC=3cm,那么∠D=___7_0,D°C=____3cm
D
课堂测试
2、若△AOC≌△BOD，对应边是 应角是 ；
小组讨论完成
解：∵ △ABD ≌ △EBC，∴AB=EB，BD=BC, ∵BD=ED+EB ∴DE=BD-EB=BC-AB=5-3=2cm.
三、巩固练习
基础练习（教材第三十二页练习1-2题）
四、课堂小结，请大家回顾一下：
这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？学生充分讨论回答。
点评梳理：
（1）全等三角形的概念及表示方法； （2）全等三角形的性质及应用。
思考
将两个全等三角形重合在一起，
重合的顶点叫对应顶点
A
D
重合的边叫对应边
重合的角叫对应角
根据动画效果，你能说出
这两个全等三角形的对应顶点、
B
CE
F 对应边、对应角各是什么吗？
36
全等三角形表示
如果两个三角形全等，那么该如何表示吗？
A
D
右图中的∆ABC和∆DEF全等
记作: ∆ABC ≌ ∆DEF
五、课后练习
1、教材第33-34页，1-6题。
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
人教版 数学（初中） （八年级 上）
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【精品讲义】八年级上册数学 三角形全等判定HL 讲义
三角形全等判定（HL）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）.2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.重点注意书写格式要点三1．直角三角形是三角形中的一类，它具有一般三角形的一切性质，所以也可以用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”来判定2．直角三角形全等的依据条件选择恰当的方法：①当有一条直角边和余边对应相等时，用HL判定其全等；②当有两条直角边对应相等时，选用SAS判定其全等；③当有斜边和一锐角对应相等时，用AAS判定其全等；④当有一直角边和一锐角对应相等时，用“ASA”或“AAS”判定它们全等类型一、直角三角形全等的判定——“HL”例1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．举一反三：1.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．2.已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.3.如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．4.如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．5.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长.例2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）举一反三：1.下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．A.2个B.3个C.4个D.5个2.下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）例3、已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC；举一反三：1.已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90° .求证：OC＝OD.2.如图，在Rt△ABC Rt△BAD中，AB为斜边，BC=AD，BC、AD相交于点E，求证：AE=BE。
全等三角形经典讲义
全等三角形状元笔记【知识要点】1．全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．4．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)．【温馨提示】1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．3．“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等．【方法技巧】1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF，说明A与D，B与E， C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF是对应边．2．判定两个三角形全等的解题思路：专题一 三角形全等的判定1．如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ．求证：△ABE≌△CDF ．2．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE . 请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是：__________； （2）证明：SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——3．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．（1）给出下列四个条件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA；④∠ADB=∠CEB；请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．专题二 全等三角形的判定与性质4．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）AB ．4C ．D ．55．【2013·襄阳】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，点D 落在点E 处，AE 的延长线交CB 的延长线于点M ，EB 的延长线交AD 的延长线于点N .求证：AM ＝AN .6．【2012·泸州】如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．NME D B CA专题三全等三角形的应用7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A．60° B．90° C．120° D．150°8．有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B两端的距离，你能说说其中的道理吗？9．已知如图，要测量水池的宽AB ，可过点A 作直线AC ⊥AB ，再由点C 观测，在BA 延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB ，这时只要量出AB′的长，就知道AB 的长，对吗？为什么？10．如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF于F ．求证：CE = CF11.已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + ADFA BECD12．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB13．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B14．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．DBACPEDCBA D CBA15．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：16．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．OEDCBAFEA17.已知:在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.18、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E，，在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；图1图2DCAB（2）证明：DC BE⊥．19．如图-1，ABC△的边BC在直线l上，AC BC⊥，且AC BC=；EFP△的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF FP=．（1）在图-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP关系；（2）将EFP△沿直线l向左平移到图-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP的关系，请证明你的猜想；（3）将EFP△沿直线l向左平移到图-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．A （E）B C （F）Pl l l图-1 图-2图-3全等三角形——角的平分线的性质状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，AC =3 cm ，求BE 的长．专题二 角平分线的性质的应用 4．如图，三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A ．在AC 、BC 两边高线的交点处B ．在AC 、BC 两边中线的交点处C ．在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处D ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．21BAC B ∶∶∠∠6. 如图， ∠ B= ∠ C=90 °， M 是 BC 中点， DM 平分 ∠ ADC ，求证： AM 平分 ∠ DAB ．7. 如图，已知 △ ABC 的周长是 22 ， OB 、 OC 分别平分 ∠ ABC 和 ∠ ACB ， OD ⊥ BC 于 D ，且 OD=3 ， △ ABC 的面积是多少？8.如图，已知 ∠ 1= ∠ 2 ， P 为 BN 上的一点， PF ⊥ BC 于 F ， PA=PC ，求证： ∠ PCB+ ∠ BAP=180 º9.如图，△ ABC 中， P 是角平分线 AD ， BE 的交点． 求证：点 P 在∠ C 的平分线上．10. 如图，在 △ ABC 中， BD 为 ∠ ABC 的平分线， DE ⊥ AB 于点 E ，且 DE=2cm ， AB=9cm ， BC=6cm ，求 △ ABC 的面积．21NP F C BA11.如图， D 、 E 、 F 分别是△ ABC 的三条边上的点， CE=BF ，△ DCE 和△ DBF 的面积相等．求证： AD 平分∠ BAC ．。
全等三角形讲义知识点
全等三角形讲义知识点一、全等三角形的概念。
1. 定义。
- 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
- 例如，在△ABC和△DEF中，如果△ABC与△DEF能够完全重合，那么A与D、B 与E、C与F是对应顶点，AB与DE、BC与EF、AC与DF是对应边，∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F是对应角。
2. 表示方法。
- 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
- 例如，△ABC≌△DEF，表示△ABC全等于△DEF。
书写时要注意对应顶点写在对应的位置上。
二、全等三角形的性质。
1. 对应边相等。
- 如果△ABC≌△DEF，那么AB = DE，BC = EF，AC = DF。
- 这一性质可以用于求线段的长度。
例如，已知两个全等三角形的一组对应边的长度，就可以根据全等三角形对应边相等的性质求出另一组对应边的长度。
2. 对应角相等。
- 若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
- 在解决角度问题时，这个性质非常有用。
比如在几何证明中，当证明两个角相等时，如果能证明包含这两个角的三角形全等，就可以得出角相等的结论。
三、全等三角形的判定。
1. SSS（边边边）判定定理。
- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。
- 例如，在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。
- 应用：当已知两个三角形的三条边分别相等时，可以直接判定这两个三角形全等。
在实际解题中，可能需要通过计算或者已知条件推导出三边相等的关系。
2. SAS（边角边）判定定理。
- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 即如果在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。
- 注意这里的角必须是两边的夹角。
在解题时，要准确找出两个三角形中对应的两边及其夹角。
3. ASA（角边角）判定定理。
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全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。
）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。
【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空： (1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边， CA 与 是对应边； (2)∠A 与 是对应角，∠ABC 与 是对应角，∠BAC 与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。
【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ .【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）【例题2】 （海南省中考卷第5题） 已知图2中的两个三角形全等，则∠ 度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°DABCOEABCD【例题3】（）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．【练习2】 如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）A 20°B ．30°C ．35°D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ，且∠ABD=90°。
（1）△ABD 和△EBC 是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。
（2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE 的长吗？（3）直线AD 和直线CE 有怎样的位置关系？请说明理由。
专题二 全等三角形的判定【知识点1】SSS ：三边对应相等的两个三角形全等。
简写为“边边边”或“SSS". 【例题1】如图，AB=AD ，BC=CD 求证：∠BAC=∠DAC 。
ABC C 1 A 1B 1CBB 'A '【练习1】已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝D C ，AB ＝DE ， BC ＝EF ，求证：△ABC ≌△DEF ．【知识点2】SAS:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等， 简写为“边角边”或“SAS".【例题2】已知：如图，AC 和BD 相交于点O ，OA=OC ，OB=OD ． 求证：DC ∥AB ．【练习2】已知：如图，AE ∥BF ，AB=CD ，AE=BF . 求证： △AEC ≌△BFD【练习3】如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝CD ，BC ＝DE ，求证：AC ⊥CE ．若将CD 沿CB 方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，结论AC 1⊥C 2E 还成立吗？请说明理由．BCDF A【知识点3】ASA ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等， （可以简写为“角边角”或“ASA ”）【例题3】已知：如图，∠AOD=∠BOC ，∠A=∠C ，O 是AC 的中点。
求证：△AOB ≌△COD ．【练习4】1、如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4， 求证: ∠5=∠6．2、如图，点E 在△ABC 的外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ，若∠1=∠2 =∠3，AC=AE ，求证：AB=AD 。
654321E D CBA3、如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足为E，F。
（1）证明：过A的直线与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF，如图1。
（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。
【知识点4】AAS:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，(可以简写为“角角边”或“AAS”)这一结论很容易由ASA推得：因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角分别对应相等，那么第三个角必对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等．所以两个三角形如果具备两个角和一条边对应相等，就可以判断其相等。
【例题4】1、下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．①②③2、已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．【练习6】1、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是282cm，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．2、△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．【知识点5】HL:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，（可以简写为“斜边，直角边”或“HL”）【例题5】（1）证明两个直角三角形全等的方法有（2）根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝8； B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30；C.∠A＝60，∠B＝45，AB＝4；D. ∠C＝90，AB＝6（3）已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.（4）如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，AE⊥CD于E，BF⊥DC交CD的延长线于F．求证：BF=CE．AEDFA BCDEF图9【练习2】1、对于下列各组条件，不能判定△ABC ≌△C B A '''的一组是 （ ） （A ） ∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，AB=A ′B ′ （B ） ∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，AC=A ′C ′ （C ） ∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，BC=B ′C ′ （D ） AB=A ′B ′，AC=A ′C ′，BC=B ′C ′ （2）专题三 角的平分线的性质【知识点1】角的平分线：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线【例题1】1、已知∠BAC ，作∠BAC 的平分线。
（尺规作图）2、直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对【知识点2】角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
【例题2】1、△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD＝8cm，则点D到AB的距离为＿＿＿＿cm．2、如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm2、如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③3、如图，已知△ABC 中，E 是AB 延长线上的一点，AE=AC，AD 平分∠A，BD=BE。
求证：∠ABC=2∠C。
【知识点3】角平分线的判定方法1：（角平分线的定义）把一个角分成两个相等的角的射线叫做角平分线。
方法2：（角平分线的判定定理）到角两边的距离相等的点在角的平分线上。
（此命题与角的性质定理的已知和结论都不同）【例题3】1、如图中，E是AB延长线上一点，AC⊥BC、AD⊥BD、AC=AD，求证：∠DEA =∠CEA 。
2、如图，A、B、C 三点在同一直线上，分别以AB、BC 为边在直线的同旁作等边三角形ABD、BCE，连结AE 交BD 于M，连结CD 交BE 于N，连结MN，求证：△BMN 是等边三角形。
3、已知：如图，AO平分∠EAD和∠EOD ；求证：①△AOE≌△AOD ②EB=DC4、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC.FC AE第二章轴对称专题一：轴对称图(二)图(一)DCAB【基础练习】1.（2010•日照）已知上面四个汽车标志图案，其中是轴对称图形的图案是______________。
（只需填入图案代号）．2. （2008•）如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为_____________cm 2．3. 下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．4.下图均为7×6的正方形网格，点A 、B 、C 在格点上．在图中确定格点D ，并画出以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形．(要求：分别在图①、图②、图③中画出三个互不相同的图形)5. （2009•）如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线l 对称，则∠B 的度数为（ ）6.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”。
如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”。
（1）在图（一）中作出四边形ABCD 关于直线BD 对称的四边形A'B'C'D'； （2）求图（一）中四边形ABCD 的面积；（3）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且△EFG 为轴对称图形。
【知识点】 1.轴对称与轴对称图形的区别和联系_____________________________________________________2.轴对称的性质：________________________________________________________________________________3.轴对称的作法：作ABC 关于直线L 的对称图形LBCA专题二：线段的垂直平分线【基础练习】1. （2010•）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _____度（1题）（2题）（4题）（5题）2.（2010•）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为___________3.（2009•黄冈）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于____4.（2009•）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为___________5. （2010•）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B6. （2010•）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点【知识点】1.线段的垂直平分线的作法：A B2.线段的垂直平分线的性质与判定：_________________________________________________________ 【复习检测】1.（2010•）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC=AD ； （2）AB=BC+AD ．MNDABC2.如图，AD 为△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线分别交AB 、AC 于N 、M 两点，求证：ND ∥AC 。