振动计算力学公式
振动计算力学公式
振动计算力学公式一、简谐振动（Simple Harmonic Motion）简谐振动指的是一个物体在一个平衡位置附近做低幅度的周期性振动。
简谐振动的一些重要的力学公式如下：1. 位移（Displacement）：x = A * cos(ωt + φ)其中，x表示位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位。
2. 速度（Velocity）：v = -A * ω * sin(ωt + φ)其中，v表示速度。
3. 加速度（Acceleration）：a = -A * ω^2 * cos(ωt + φ)其中，a表示加速度。
4. 动能（Kinetic Energy）：K = 0.5 * m * v^2其中，K表示动能，m表示质量。
5. 势能（Potential Energy）：P = 0.5 * k * x^2其中，P表示势能，k表示弹性系数。
6. 总机械能（Total Mechanical Energy）：E = K + P其中，E表示总机械能。
7. 振动周期（Vibration Period）：T = 2π/ω其中，T表示振动周期。
二、阻尼振动（Damped Vibration）阻尼振动指的是振动过程中受到了阻尼力的影响，导致振幅逐渐减小。
阻尼振动的一些重要的力学公式如下：1. 位移（Displacement）：x = A * e^(-βt) * cos(ωdt + φ)其中，x表示位移，A表示振幅，β表示阻尼系数，ωd表示阻尼角频率，t表示时间，φ表示相位。
2. 速度（Velocity）：v = -A * β * e^(-βt) * cos(ωdt + φ) - A * ωd * e^(-βt) * sin(ωdt + φ)其中，v表示速度。
3. 加速度（Acceleration）：a = A * (β^2 * e^(-βt) *cos(ωdt + φ) + 2β * ωd * e^(-βt) * sin(ωdt + φ)) - A *ωd^2 * e^(-βt) * cos(ωdt + φ)其中，a表示加速度。
《力学》机械振动
A1 A2
x1
T
o
- A2 -A1
t x2
2 1
注意
2
即x2比x1超前
2
22
领先、落后以< 的相位角来判断
同相和反相
当 = 2k , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称同相
x
A1
x2
当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相反,称反相
a > 0
减速
a > 0
加速
9
四、 描述简谐振动的特征量--周期、振幅、相位
1、周期T: 物体完成一次全振动所需时间。
频率f:
物体在单位时间内完成振动的次数。 1 f T
2 2f T
2
角频率:
k 对弹簧振子： m
T 2
m k
1 f 2
k m
2. 振幅 A: 谐振动物体离开平衡位置的最大位移的 10 绝对值。
加速度
2
d x 2 a 2 A cos( t ) dt
也是简谐振动
8
2
a(t ) A cos( t )
x.v.a.
A A A
2
a
o
x
T t
A A 2A
> 0
< 0
< 0
> 0
a < 0
减速
a < 0
加速
谐振动频率相同 X 2
= ( t + 2)- ( t + 1) = 2- 1
A 初相差 （1） （2）
0
-A/2 -A/2 -A
振动力学—随机振动
T 2 T 2
1 2 xk t x dt Tlim T
xt x 2 dt
34
五、确定随机变量的概率分布函数和概率密度
函数
除某些特殊情况外，确定随机变量的概率分布函 数和概率密度函数都比较困难。 在随机振动中经常遇见的正态分布过程和某些 各态历经过程，却可以用一定的程序来计算。
2 k
T 2 T 2
x t dt
x 2 t dt
1 E X lim T T
2 x E X x 2
T 2 T 2
1 x t dt lim T T
T 2 T 2
T 2 T 2
1 lim T T
X t x k t
x k t ：样本函数
对于随机现象，我们感兴趣的往往不是各个样本 本身，而是力图从这些样本得出总体的统计特性。 7
5-3 随机过程的数字特征
8
一、集合平均 . 平稳过程
⑴ 随机过程 X t 的所有样本函数 x k t 在时刻 t1 的值 x1 t1 ，x2 t1 ， 构成一个随机变量 xk t1 记为X t1
二次矩：
2 E X x2 p x dx x 2
32
二次中心矩：
E X x
2
x x 2 pxdx x2
2
2 x
x x p x dx x p x dx 2x xp x dx x2 p x dx
X t1
取值于区间 a, b 的概率为：
第5章线性振动的近似计算方法
2 1.3213 k / m 3 2.0286 k / m
取在2m质量上施加力P所产生的“静变形曲线”作为近似的第 一阶主振型，即：
[1, 2, 2.5]T
代入瑞利商公式：
R() 0.142857 k
m
1 0.3780
k m
2024年8月7日 与精确值相比，相对误差1.34%
R(
)
T T
1
1 fii mi
1
i1 i2 12 22
1
n2
对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远
大于基频，因此左端可只保留基频项，有：
2024年8月7日 《振动力学》
1
12
1
12
1
22
1
n2
邓克利法
得到的基频是精确值的下限。
8
线性振动的近似计算方法 / 邓克利法
n
i 1
1
i2
1
12122源自1线性振动的近似计算方法 / 邓克利法
作用力方程的特征值问题： Kφ 2Mφ
位移方程的特征值问题： Dφ φ D=FM
特征值： 12 22 n2
1 2 n
关系： i 1/ i2 位移方程的最大特征根： 1 1/ 12
（基频） 对应着系统的第一阶固有频率
位移方程的特征方程： D I 0
aT Λa aT Ia
n
a 2j
2 j
j 1
n
a 2j
j 1
分析证明：
12 R( ) n2
若将瑞利商右端分子内的所有 j 换为 1
n
n
由于 1 是最低阶固有频率， 因此： R()
a
2 2
j1
振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
力学环境试验基础知识
什么称为力，力的单位？使物体获得加速度或变形，位移对另一个物体的作用称之为力，牛顿=1 公斤米 /秒方什么是应力，应力单位是什么？物体单位面积上受到的作用力称之为应力，单位N/CM 方。
什么称之为力矩？力和力臂的乘积为力矩单位 M=F.R正弦振动定义可以用时间的正弦函数和余弦函数表示其位移变化的运动叫做正弦振动，公式X （t ）=A随机振动的定义随机振动是瞬时值在任何瞬间不能确定的振动什么是加速度加速度是速度随时间的变化率什么是加速度谱密度即单位频率上的均方加速度值，单位用表示， g 是重力加速度， HZ 是每秒多少周的带宽。
什么是正弦振动的频率和周期物体或质点在单位时间（ 1s）内振动的次数为频率，物体或质点来回往复运动一次所经历的时间 T 称为振动周期。
什么是共振频率当外界激振频率与结构试件的固有频率一致时结构发生共振，对应于振动最大的频率为共振频率，反共振是指一个迫振系统，如果激振频率作稍微变化引起响应增加，这点称之为反共振点。
什么是均方根加速度给定时间间隔 T 内，加速度变化量X（t ）的均方根值冲击的特性是什么冲击的特性是冲击作用下产生的加速度幅值大，持续作用时间短，短至几毫秒时间。
简单冲击波形三要素加速度峰值持续时间波形什么是电压、电流电流是有规则的流动称之电流，单位是安培电压是正极和负极之间的电位差叫做电压，计量单位伏特欧姆定律的定义I =U/R 通过电路的电流 I ，等于该部分电路两端的电压 U 除以该部分电路的电阻 R什么叫电阻，用什么单位计量？电路中某两点间在一定电压作用下决定电流强度的物理量，称为电阻。
电阻也可以理解为物体对电流通过时呈现的阻力，计量单位是欧姆，电阻并联：R =什么是电容，计量单位？电容是储存电荷的能力叫做电容器量，简称电容，用C 表示。
计量单位：法拉、微法拉、微微法拉电容器并联时，总电容等于各个电容之和。
串联是，总电容的倒数等于各个电容倒数之和，而较其他任何一个电容器的电容为小。
拉格朗日方程-振动
x12 y12 l12
x2 x1 2 y2 y1 2 l22
利用自由度DOF计算的公式，可得到双摆的自由度为
DOF ＝３×２－４＝２
设刚性杆l 1与x轴的夹角为q 1 ，刚性杆l 2与x轴的夹角为q 2 ，方向如 图所示，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置， q 1和q 2可以作
对图（b）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：
x2 y2 z2 l2
这样，坐标 x 、 y 和 z 就再不独立。若用球面坐标r 、y 和j 来表示， 必须满足条件 r = l ，只要用y 和j 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬
时的质量矩阵和刚度矩阵。
解 由于双摆只能在平面内摆动，可取q 1和q 2为广义坐标。 并以平衡位置 q 1＝q 2＝ 0 作为势能零点。
则系统的势能为
U ＝ m1 g l 1 ( 1 cos q 1 ) m 2 g [ l 1 ( 1 cos q 1 ) l 2 ( 1 cos q 2 ) ]
微振动时，系统的势能在平衡位置附近展开并保留广义坐标的二次项：
作用在理想约束质系上所有的主动力和惯性力任意瞬时在虚位移上的虚功之 和等于零。
分析力学基础 5 Lagrange方程
Lagrange方程
拉格朗日方程利用广义坐标来描述非自由质点系的运动，这组方程以系统 的动能、势能、耗散函数和广义力的形式出现，具有以下形式：
d dt
L qi
L qi
D qi
为双摆的广义坐标。
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
完整约束
当约束方程本身或约束方程通过积分后可以用下式所示的形式表示时， 称为完整约束。显然，例1和例2的约束都是完整约束。
振动计算力学公式
振动台力学公式1、 求推力（F ）的公式F=（m 0+m 1+m 2+ ……）A …………………………公式（1）式中：F —推力（激振力）（N ）m 0—振动台运动部分有效质量（kg ）m 1—辅助台面质量（kg ）m 2—试件（包括夹具、安装螺钉）质量（kg ）A — 试验加速度（m/s 2）2、 加速度（A ）、速度（V ）、位移（D ）三个振动参数的互换运算公式2.1 A=ωv ……………………………………………………公式（2）式中：A —试验加速度（m/s 2）V —试验速度（m/s ）ω=2πf （角速度）其中f 为试验频率（Hz ）2.2 V=ωD ×10-3………………………………………………公式（3）式中：V 和ω与“2.1”中同义D —位移（mm 0-p ）单峰值2.3 A=ω2D ×10-3 ………………………………………………公式（4）式中：A 、D 和ω与“2.1”，“2.2”中同义公式（4）亦可简化为： A=D f ⨯2502式中：A 和D 与“2.3”中同义，但A 的单位为g1g=9.8m/s 2所以： A ≈D f ⨯252,这时A 的单位为m/s 2 定振级扫频试验平滑交越点频率的计算公式3.1 加速度与速度平滑交越点频率的计算公式f A-V =VA 28.6 ………………………………………公式（5） 式中：f A-V —加速度与速度平滑交越点频率（Hz ）（A 和V 与前面同义）。
3.2 速度与位移平滑交越点频率的计算公式DV f D V 28.6103⨯=- …………………………………公式（6） 式中：D V f -—加速度与速度平滑交越点频率（Hz ）（V 和D 与前面同义）。
3.3 加速度与位移平滑交越点频率的计算公式f A-D =DA ⨯⨯23)2(10π ……………………………………公式（7） 式中：f A-D — 加速度与位移平滑交越点频率（Hz ），（A 和D 与前面同义）。
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振动台力学公式1、 求推力（F ）的公式F=（m 0+m 1+m 2+ ……）A …………………………公式（1） 式中：F —推力（激振力）（N ）m 0—振动台运动部分有效质量（kg ） m 1—辅助台面质量（kg ）m 2—试件（包括夹具、安装螺钉）质量（kg ）A — 试验加速度（m/s 2）2、 加速度（A ）、速度（V ）、位移（D ）三个振动参数的互换运算公式 2.1 A=ωv ……………………………………………………公式（2） 式中：A —试验加速度（m/s 2）V —试验速度（m/s ） ω=2πf （角速度） 其中f 为试验频率（Hz ）2.2 V=ωD ×10-3………………………………………………公式（3） 式中：V 和ω与“2.1”中同义D —位移（mm 0-p ）单峰值2.3 A=ω2D ×10-3 ………………………………………………公式（4） 式中：A 、D 和ω与“2.1”，“2.2”中同义 公式（4）亦可简化为：A=D f ⨯2502式中：A 和D 与“2.3”中同义，但A 的单位为g1g=9.8m/s 2所以： A ≈D f ⨯252,这时A 的单位为m/s 2 定振级扫频试验平滑交越点频率的计算公式 3.1 加速度与速度平滑交越点频率的计算公式f A-V =VA28.6 ………………………………………公式（5）式中：f A-V —加速度与速度平滑交越点频率（Hz ）（A 和V 与前面同义）。
3.2 速度与位移平滑交越点频率的计算公式DV f DV 28.6103⨯=- …………………………………公式（6） 式中：D V f -—加速度与速度平滑交越点频率（Hz ）（V 和D 与前面同义）。
3.3 加速度与位移平滑交越点频率的计算公式f A-D =DA ⨯⨯23)2(10π ……………………………………公式（7） 式中：f A-D — 加速度与位移平滑交越点频率（Hz ），（A 和D 与前面同义）。
根据“3.3”，公式（7）亦可简化为：f A-D ≈5×DA A 的单位是m/s 24、 扫描时间和扫描速率的计算公式 4.1 线性扫描比较简单：S 1=11V f f H - ……………………………………公式（8） 式中： S1—扫描时间（s 或min ）f H -f L —扫描宽带，其中f H 为上限频率，f L 为下限频率（Hz ） V 1—扫描速率（Hz/min 或Hz/s ）4.2 对数扫频： 4.2.1 倍频程的计算公式n=2Lg f f LgLH ……………………………………公式（9）式中：n —倍频程（oct ）f H —上限频率（Hz ） f L —下限频率（Hz ）4.2.2 扫描速率计算公式R=TLg f f LgLH2/ ……………………………公式（10）式中：R —扫描速率（oct/min 或）f H —上限频率（Hz ） f L —下限频率（Hz ） T —扫描时间 4.2.3扫描时间计算公式T=n/R ……………………………………………公式（11）式中：T —扫描时间（min 或s ）n —倍频程（oct ）R —扫描速率（oct/min 或oct/s ）5、随机振动试验常用的计算公式 5.1 频率分辨力计算公式:△f=Nf max……………………………………公式（12） 式中：△f —频率分辨力（Hz ）f max —最高控制频率 N —谱线数（线数） f max 是△f 的整倍数5.2 随机振动加速度总均方根值的计算 （1）利用升谱和降谱以及平直谱计算公式 PSD(g 2/Hz)功率谱密度曲线图（a ） A 2=W ·△f=W ×(f 1-f b ) …………………………………平直谱计算公式A 1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+⎰111)(m b a b f f f f m f w df f w b ba……………………升谱计算公式 A 1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎰121112111)(m f f f f m f w df f w ……………………降谱计算公式 式中：m=N/3 N 为谱线的斜率（dB/octive ） 若N=3则n=1时，必须采用以下降谱计算公式A3=2.3w 1f 1 lg12f f 加速度总均方根值：g mis=321A A A ++ （g ）…………………………公式（13-1）设：w=w b =w 1=0.2g 2/Hz f a =10Hz f b =20Hz f 1=1000Hz f 2=2000Hz w a →w b 谱斜率为3dB ，w 1→w 2谱斜率为-6dB利用升谱公式计算得：A 1=5.12010111202.011111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++m b ab b f f m f w 利用平直谱公式计算得：A 2=w ×（f 1-f b ）=0.2×(1000-20)=196利用降谱公式计算得：A 3 =1002000100011210002.0111212111=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----m f f m f w 利用加速度总均方根值公式计算得：g mis=321A A A ++=1001965.1++=17.25(2) 利用平直谱计算公式：计算加速度总均方根值 PSD(g 2/Hz)功率谱密度曲线图（b ）为了简便起见，往往将功率谱密度曲线图划分成若干矩形和三角形，并利用上升斜率（如3dB/oct ）和下降斜率（如-6dB/oct ）分别算出w a 和w 2，然后求各个几何形状的面积与面积和，再开方求出加速度总均方根值g rms =53241A A A A A ++++ (g)……公式（13-2）注意：第二种计算方法的结果往往比用升降谱计算结果要大，作为大概估算可用，但要精确计算就不能用。
例：设w=w b +w 1=0.2g 2/Hz f a =10Hz f b =20Hz f 1=1000Hz f 2=2000Hz 由于f a 的w a 升至f b 的w b 处，斜率是3dB/oct ，而w b =0.2g 2/Hz10dB w w ab3lg= 所以w a =0.1g 2/Hz 又由于f 1的w 1降至f 2的w 2处,斜率是-6dB/oct ，而w 1=0.2g 2/Hz10dB w w 6lg12-= 所以w 2=0.05g 2/Hz 将功率谱密度曲线划分成三个长方形(A 1 A 2 A 3)和两个三角形（A 4 A 5），再分别求出各几何形的面积，则A 1=w a ×（f b -f a ）=0.1×(20-10)=1 A 2=w ×（f 1-f b ）=0.2×(1000-20)=196 A 3=w 2×（f 2-f 1）=0.05×(2000-1000)=50()()()()5.0210201.02.024=--=--=a b a b f f w w A()()()()7521000200005.02.0212214=--=--=f f w w A加速度总均方根值g rms =54321A A A A A ++++=755.0501961++++ =17.96（g ）5.3 已知加速度总均方根g (rms)值,求加速度功率谱密度公式S F =02.119802⨯rmsg ……………………………………………………公式（14） 设：加速度总均方根值为19.8g rms 求加速度功率谱密度S FS F =)/(2.002.119808.1902.11980222Hz g g rms =⨯=⨯ 5.4 求X p-p 最大的峰峰位移（mm ）计算公式准确的方法应该找出位移谱密度曲线，计算出均方根位移值，再将均方根位移乘以三倍得出最大峰值位移（如果位移谱密度是曲线，则必须积分才能计算）。
在工程上往往只要估计一个大概的值。
这里介绍一个简单的估算公式X p-p =1067·32131067oo o o f w f w ⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ……………………………………公式（15）式中：X p-p —最大的峰峰位移（mm p-p ）f o —为下限频率（Hz ）w o —为下限频率（f o ）处的PSD 值（g 2/Hz ） 设： f o =10Hz w o =0.14g 2/Hz则: X p-p =1067·p p o o o mm fw f w -=⨯=⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛6.121014.010*******3213 5.5 求加速度功率谱密度斜率(dB/oct)公式 N=10lgn w w LH/ (dB/oct)…………………………………………公式（16） 式中： n=lg2lg /LHf f （oct 倍频程） w H —频率f H 处的加速度功率谱密度值（g 2/Hz ） w L —频率f L 处的加速度功率谱密度值（g 2/Hz ）。