反比例函数与面积问题
反比例函数求面积公式大全
反比例函数求面积公式大全《反比例函数求面积公式大全》引言：反比例函数是数学中的一种特殊函数，其特点是当自变量x增加时，因变量y会以相反的趋势减小。
在数学和实际应用中，使用反比例函数可以描述许多重要的关系，尤其是与面积相关的问题。
本文将为读者提供一份反比例函数求面积的公式大全，帮助读者更好地理解和应用反比例函数。
一、长方形1. 长方形的面积与其长度（l）和宽度（w）成反比例关系，即S = k/(l×w)，其中k为常数。
二、正方形1. 正方形的面积与其边长（s）的平方成反比例关系，即S = k/s²，其中k为常数。
三、圆1. 圆的面积与其半径（r）的平方成反比例关系，即S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。
四、椭圆1. 椭圆的面积与其长轴（2a）和短轴（2b）的乘积成反比例关系，即S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的半长。
五、三角形1. 三角形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = (1/2)bh。
六、平行四边形1. 平行四边形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = bh。
七、等腰梯形1. 等腰梯形的面积与其上底（a）、下底（b）和高（h）的关系为S = (a + b)h/2。
八、圆环1. 圆环的面积与其外半径（R）、内半径（r）和π的关系为S = π(R² - r²)。
结论：通过反比例函数求面积的公式大全，读者可以更加方便地计算各种几何形状的面积。
这些公式对于数学学习、几何推导以及实际生活中的建模和计算都具有重要意义。
希望读者能够掌握这些公式，并在实际中运用自如，提高数学应用的能力和解决问题的水平。
反比例函数中的面积问题(共26张PPT)
课后精练
解：(1)如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H， ∵直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋4，∴B 点坐标为(0，4)， A 点坐标为(2，0)． ∵∠OAB＋∠DAH＝90°，∠ADH＋∠DAH＝90°， ∴∠BAO＝∠ADH. 又∵∠BOA＝∠AHD，∴△AOB∽△DHA. ∴ADOH＝ABOH＝AADB＝12.∴D2H＝A4H＝12，解得 DH＝4，AH＝8. ∴D(10，4)，则 k＝10×4＝40. 故答案为：40.
③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝2＋ 3；
7.如图，函数 y＝kx(k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线 相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧)，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别 交 x 轴，y 轴于点 E，F.现有以下四个结论：
课后精练
∵D(10，4)，∴D′(10，－4)． 设直线 CD′的解析式为 y＝ax＋d， 则180a＋a＋dd＝＝8－ ，4，解得da＝＝－566. ， 故直线 CD′的解析式为 y＝－6x＋56. 当 y＝0 时，x＝238，故 P 点坐标为238，0. 延长 CD 交 x 轴于 Q，此时|QC－QD|的值最大， ∵CD∥AB，D(10，4)，∴直线 CD 的解析式为 y＝－2x＋24. ∴Q(12，0)．∴PQ＝12－238＝83. 故 P 点坐标为238，0，Q 点坐标为(12，0)，线段 PQ 的长为83.
专题2 反比例函数中的面积问题
考点解读
反比例函数中的面积类问题是最能体现数形结合思想 方法的一类问题，几何中的函数问题使图形性质代数 化，函数中的几何问题使代数知识图形化，利用“数”
反比例函数中的面积问题
反比例函数与面积问题
反比例函数内容丰富、涉及的数学知识较多，是函数的重要内容之一。
下面讨论几个反比例函数与图象的面积问题，供同学们学习时参考。
一. 求函数解析式
例 1. 如图1，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形
PEOF 的面积为3。
求这个反函数的解析式。
分析：利用反比例函数
x k y =的特点及矩形PEOF 的面积为3，求k 的值。
二. 求面积
例2. 图2中正比例函数和反比例函数的图象相交于A 、B 两点，分别
以A 、B 两点为圆心，画与y 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（1，2），
求图中两个阴影面积的和。
分析：利用反比例函数和圆的对称性求解。
三. 特殊点组成图形的面积
例3. 如图3，反比例函数
x 8y -=与一次函数2x y +-=的图象相交于
A 、
B 两点。
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求AOB ∆的面积。
分析：将AOB ∆的面积转化为AOD ∆与BOD ∆面积和求解。
四. 探讨面积的变化
例4. 如图4，x y =和)0m (mx y >=的图象与
)0k (x k y >=的图象分别交于第一象限内的两点A ，C ，过A ，C 分别向x 轴作垂线，垂
足分别为B ，D ，若直角三角形AOB 与直角三角形COD 的面积分
别为21、S S ，则1S 与2S 的关系为（ ）
A. 21S S >
B. 21S S =
C. 21S S <
D. 与k ,m 的值无关 分析：利用函数)0k (x k y >=的解析式与面积的关系求解。
反比例函数中及面积有关的问题
反比例函数中与面积有关的问题知识点回忆由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进展考察。
这种考察方式既能考察函数、反比例函数本身的根底知识内容，又能充分表达数形结合的思想方法，考察的题型广泛，考察方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的几种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，那么两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k故S=|k|从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于以下三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|类型之一k与三角形的面积k〔k＞0〕经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直※1、如图，双曲线y=x角边AB相交于点C．假设△OBC的面积为6，那么k=______．最正确答案过D点作DE⊥x轴，垂足为E，1k,由双曲线上点的性质，得S△AOC=S△DOE=2∵DE⊥x轴，AB⊥x轴，∴DE∥AB，∴△OAB∽△OED，又∵OB=2OD，∴S△OAB=4S△DOE=2k，由S△OAB-S△OAC=S△OBC，得2k-21k=6，解得：k=4．故答案为：4．2、如图1-ZT-1，分别过反比例函数y=x2018(x＞0)的图象上任意两点A、B作x 轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S 1、S2,，比拟它们的大小，可得A.S1＞S2B.S1=S2C.S1＜S2D.S1、S2大小不确定。
反比例函数中的面积问题
解得 k=2 评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。 第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相 等，列出含k的方程求k值。
例2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数 与函数 在第二象限的交点， 轴于B， 轴于D，且矩形ABOD的பைடு நூலகம்积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标．
图象上，∴
解得x=1从而所求面积为π 评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有 对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
四、 讨论与面积有关的综合问题 例8．（2008山东省）（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：
与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积.
.解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上 ∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=
（2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2 ∴B(-4，2) ∵点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上 ∴ 4=-2k+b 且2=-4k+b 解得 k=1 b=6 ∴直线AB为y=x+6 与x轴的交点坐标C（-6，0）
（3）若点P是y轴上一动点，且 ， 求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得 -k=3 ∴
∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 （2）由 ，解得 ，
∴点A、C的坐标分别为（
，3），（3， ） （3）设点P的坐标为（0，m） 直线 与y轴的交点坐标为M（0，2） ∵
反比例函数背景下的应用题（面积问题）
反比例函数背景下的应用题（面积问题）
反比例函数背景下与面积相关的问题往往围绕着以下三个结论展开：①反比例函数上任意一点与坐标轴围成的矩形面积；②反比例函数上任意一点与坐标轴围成的三角形面积；③反比例函数上任意两点与原点围成的三角形面积.
解法分析：对于平面直角坐标系中三角形面积的求法问题有如下的解法策略：①当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴上时，可以直接求三角形面积；②当三角形中的任意一边不在坐标轴或不平行于坐标轴时，利用割补法(补成/分割成规则图形)面积进行求解。
本题中的△ABC的一边AC//x轴，则可以直接求解，需要注意的是当用点表示线段长度时，要加上绝对值。
解法分析：本题可以直接求三角形的面积，△MPQ的底PQ是可求的定值，而高是点M和点P横坐标差的绝对值，要注意M点可能在第二象限，也可能在第四象限，加上绝对值后就可以避免漏解了。
解法分析：本题首先需要联立正比例函数和反比例函数的解析式求出A、B两点的坐标，然后过A、B两点作x轴垂线构造梯形，求梯形面积即可。
解法分析：本题可以用代数法或几何法解决。
综合利用直角三角形的性质，三角形的面积比解决。
同时还要能够利用点的坐标表示线段的长度，灵活运用。
解法分析：本题主要考察了反比例函数上的点与坐标轴围成的矩形面积。
对于第2、3问，需要分类讨论，即P在B左侧或P在B右侧，进行计算。
解法分析：本题是反比例函数和正方形背景下的问题。
△BCE的面积可以直接求解，主要表示出E的坐标，再求出B'E的长度，即可求出△BCE的面积。
反比例函数面积问题专题
反比例函数面积问题专题反比例函数面积问题是数学中的一个重要问题，也是中学数学中常见的题型之一、这种问题涉及到两个变量的关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比例关系。
在解决这类问题时，需要通过分析问题的条件和利用数学公式，找出两个变量之间的关系，并求解出所要求的面积。
首先，让我们来梳理一下反比例函数的基本概念。
反比例函数也被称为倒数函数或者比例函数的倒数。
当两个变量的乘积为常数时，我们就可以称它们之间存在反比例关系。
即当一个变量的值增大时，另一个变量的值就会减小，反之亦然。
反比例函数可以用以下的公式来表示：y=k/x其中，y和x分别代表两个变量的值，k为常数，表示两个变量的乘积。
通过这个公式，我们可以求出y与x的关系，也可以表示成x与y的关系。
反比例函数在数学学科中有着广泛的应用，并且有很多技巧可以帮助我们解决相关的问题。
接下来，让我们来讨论解决反比例函数面积问题的思路。
对于这类问题，我们通常需要求解一个围成面积的最大或者最小值。
我们可以按照以下的步骤来解决这类问题：1.确定问题的条件：首先，我们需要明确给定的条件，包括一些已知的数值和问题的限定条件。
2.建立模型并画图：根据给定条件，我们可以建立一个函数模型来描述两个变量的关系，同时我们还可以画出一个图形，以便更好地理解问题。
3.确定所要求的值：根据问题的要求，我们需要确定所要求的面积，是最大的还是最小的。
4.利用数学方法求解：根据问题的要求和模型函数，我们可以通过求导、解方程等数学方法，求得所要求的面积的最大或最小值。
最后，让我们来看几个实际的例子，以更好地理解反比例函数面积问题。
例子1：一个矩形的长和宽成反比例关系，如果矩形的周长为60，求矩形的最大面积。
解决思路：首先根据周长的公式可以得到l + w = 30，然后利用面积公式S = lw，将w表示成l的函数，即w = 30 - l。
将这个表达式代入面积公式中，得到S = l(30 - l) = 30l - l^2、这是一个二次函数，即S = -l^2 + 30l。
专题：反比例函数中的面积问题
微专题 反比例函数中的面积问题
模型一 一点一垂线
反比例函数图象上一点与坐标轴垂线、另一坐标轴上一点(含原点)围成的三 角形面积＝ |k|.
1
S△ABC＝ 2 |k|
S△ABC＝12 |k|
1
S△AOC＝ 2 |k|
1. 如图，点A在反比例函数y＝－ 4 的图象上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一
方法一：S△EOF＝S△EOD－S△FOD. 方法二：作EM⊥x轴于点M，交OF于点B，FA⊥x轴于点A，则S△OEB＝S四边形 BMAF(划归到模型一)，则S△EOF＝S直角梯形EMAF.
类型一 两交点在反比例函数同一支上
Байду номын сангаас
方法一：当
BE CE
或
BFFA＝m时，则S四边形OFBE＝m|k|.
方法二：作EM⊥x轴于点M，
A. 1
B. m－1
C. 2
D. m
第3题图
模型四 两点两垂线
反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形 面积＝2|k|.
SABC 2 | k |
易得四边形ANBM是平行四边形， ∴S四边形ANBM＝AM·NM＝AM·2OM＝2|k|
模型四 两点两垂线 反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形
＝ ＝
1
2
1
OM·AM＋12 OM·BC |k|＋1 |k|＝|k|
22
S△ABM＝S△ADM＋S△MDB
＝
1 2
MD·|yB－yA|
S△ABM＝S△BMO＋S△AMO
＝
1 2
MO·|xB－xA|
3. 如图，直线y＝mx与双曲线y＝k (k≠0)交于点A，B，过点A作
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x
F分别是 、AB的中点，若四边形 分别是BC、 的中点 若四边形OFBE的面积 的中点， 分别是 的面积
S四边形OFBE = 2 ，则k 的值
y
E
．
C
B F
O
A
图4
x
例题精讲
☞
8 例已知如图, 反比例函数y = − 与一次函数y = − x + 2的 x 图像交于A，B两点。 y 求(1) A，B两点的坐标； (2)∆AOB的面积。
图2
小试牛刀
☞
3 (3)如图3，点A、B是双曲线y = 上的点， x 分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 若S阴影 = 1，则S1 + S 2 =
y A
S1 S2
O
图3
B x
小试牛刀
☞
（4）如图4，矩形OABC的两边在坐标轴上，且与 如图4 矩形OABC的两边在坐标轴上， OABC的两边在坐标轴上 反比例函数 y = k 的图像交于点E、F，其中点E、 的图像交于点E 其中点E
A N M D C O B x
随堂巩固
☞
12 5.如图,已知反比例函数y = 的图象与一次函数 x y = kx + 4的图象相交于P, Q两点, 并且P点的 纵坐标是6.
y
N M
(1)求这个一次函数的解析式; (2)求∆POQ的面积.
Q o
P x
直击中考
☞
如图，直线AB过点A 0）、 ）、B n）（ ）（其中 如图，直线AB过点A（m, 0）、B（0, n）（其中 AB过点 的图象与直线AB交于C 的图象与直线AB交于C、D两点，连结OC、OD． AB交于 两点，连结OC、OD． OC 已知m 10， AOB的面积为 的面积为S （1）已知m＋n＝10，△AOB的面积为S， 何值时， 取最大值？并求这个最大值 这个最大值； 问：当n何值时，S取最大值？并求这个最大值；
S矩形OAPB＝k
B
P(m,n) A
o
x
图象上的面积
☞
PB⊥y轴于点 直线 经过原点。 ⊥ 轴于点 直线PC经过原点 轴于点B,直线 经过原点。
s∆PBC = k
Q P 、 C 两点关于原点对称， ∴ PO = CO 1 ∴ S ∆PBO = S ∆CBO = k 2 ∴ S ∆PBC = S ∆ PBO + S ∆CBO = k
函数图象
某个函数
点的集合
反比例函数图象中的 面积问题
西溪实验学校 魏新良
图象上的面积
☞
k 设P(m, n)是双曲线y = (k ≠ 0)上任意一点, x 过P作x轴的垂线, 垂足为A, 则
y
1 S∆OAP = k 2
P(m,n) A x
y A o P(m,n) x
o
图象上的面积
☞
y
过P分别作x轴, y轴的垂线, 垂足分别为A, B,
y
.
B
A
O C
x
图1
小试牛刀
☞
是双曲线上的三点． （2）如图2，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这 如图2 三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P 三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10、 设它们的面积分别是S P2A20、P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则 )． ( )． A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3 C．S1<S3<S2 D．S1=S2=S3
图象上的面积
☞
y
S∆PP′A = 2 k
解:设P(m,n),则P′(-m,-n). ∴AP =|2m|，AP′ =|2n|； 1|AP⋅ AP′| ∴S = ∆PAP′ 2 1|2m|⋅|2n| = 2 = 2|k|
P/
Байду номын сангаас
P(m,n)
o x
A
小试牛刀
☞
（1）如图1，反比例函数图像上一点A 与坐标轴围成的矩形ABOC的面积是8 ， 则该反比例函数的解析式为
p n＞ ）．反比例函数 m＞0, n＞0）．反比例函数 y = （p>0） ） x
（2）若m=8，n=6，当△AOC、 m=8，n=6， AOC、 COD、 DOB的面积都相等 △COD、△DOB的面积都相等 的值。 时，求p的值。
.
小结与反思： 小结与反思：
通过今天的复习有什么收获？ 通过今天的复习有什么收获？ 与同伴交流。 与同伴交流。