反比例函数中的面积问题专题课程教案

教学过程一、复习预习由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。

这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。

这类反比例函数与一次函数的交点问题以及相交后求围成三角形的面积的题型难度很大，并且属于学生在计算中的难点问题，归纳起来有两个方面：1、函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究x取何值时，一次函数与反比例函数值的大小比较； 2、相交时所围成的三角形的面积问题。

现以近年中考试题为例加以分析，希望能对同学自主学习有所帮助。

、知识讲解k1 1．反比例函数的定义：一般地，形如y＝（y kx 1或xy k ）（ k 为常数， k __________________________________ 0）的x 函数叫做反比例函数．k 2．反比例函数的性质：反比例函数y＝k（ k≠0）的图象是 ___ ___ ．当 k>0 时，两分x支分别位于第 ___ 象限内，且在每个象限内， y随 x 的增大而；当 k<0时，两分支分别位于第 ___ 象限内，且在每个象限内， y 随 x 的增大而．3．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为 _ ；反比例函数还是___ 图形，它有两条 ___ ，分别是直线 __ ________ ．k4．在双曲线 y ＝k上任取一点 P 向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于xk5．因在反比例函数的关系式y＝k（ k≠0）中，只有一个待定系数 k，确定了 k 的值，也x就确定了反比例函数的关系式，因而一般只要给出一组 x、y 的值或图象上任意一点的坐标，然后代入 y＝k中即可求出__ 的值，进而确定出反比例函数的关系式．xk6、利用反比例函数中 |k| 的几何意义求解与面积有关的问题。

设 P 为双曲线y k 上任意一x点，过点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的k的矩形 PMON的面积为 S=|PM|×|PN|=|y| ×|x|=|xy| y k, xy k,s k 。

从而得：x结论 1：过双曲线上任意一点作 x 轴、 y 轴的垂线，所得矩形的面积 S为定值|k| 。

对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：k结论 2：在直角三角形 ABO中，面积 S= 。

2结论 3：在直角三角形 ACB中，面积为 S=2|k| 。

结论 4：在三角形 AMB中，面积为 S=|k| 。

考点 /易错点 1反比例函数与一次函数的结合: 一次函数图像过不过原点，注意求面积的方法有些区别。

考点 /易错点 2反比例函数图像对称性（轴对称与中心对称）的应用，能相应的得到一些点的坐标的结论时要注意坐标符号的变化。

三、例题精析题型归类：题型一：已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k ）【例题 1 】k【题干】如图，直线OA与反比例函数y （k 0）的图象在第一象限x交于A点，AB⊥ x 轴于点B，△ OAB的面积为 2，则k＝．答案】 k=4k解析】 由图象知 ,k>0, 由结论及已知条件得 2， ∴ k=42BC 的中点 F 、 E ，且四边形 OEBF 的面积为 2，则 k【答案】 k=2【解析】 连结 OB ，∵E 、F 分别为 AB 、BC 的中点∴kk k而s OCE s OAF ，由四边形 OEBF 的面积为 2 得2 ，解得 k=2 。

22 2评注：第①小题中由图形所在象限可确定 k>0 ，应用结论可直接求 k 值。

第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含 k 的方程求 k 值。

题型二：已知反比例函数解析式，求图形的面积例题 3 】题干】 在反比例函数 y 4的图象中，阴影部分的面积不等于 4 的是（ ）x例题 2 】题干】 如图，已知双y k（k 0）（ x 0）经过矩形x答案】 B【解析】 因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故S=4，对于 B ：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故于 D ： S=4 故选（ B ） 题型三：利用数形结合思想求点的坐标，注意分类讨论例题 4 】题干】 k已知一次函数 y=kx+b （k ≠o） 和反比例函数 y= 的图象交于点 A （1，1）． 2x （1） 求两个函数的解析式；（2） 若点 B 是 x 轴上一点，且△ AOB 是直角三角形，求 B 点的坐标．【答案】 解：k（ 1）∵点 A （1， 1）在反比例函数 y 的图象上，∴ k=2，∴反比例函数的解析式为： 1y 。

设一次函数的解析式为： y=2x+b ，∵点 A （ 1， 1）在一次函数y=2x+b x 的图象上，∴b=-1 ，∴一次函数的解析式为 y=2x-1 。

（2）如图，∵点 A （ 1， 1）， ∴∠ AOB=45°，∵△ AOB 是直角三角形，∴点 B 只能在 x 轴 正半轴上，①当∠ OB 1A=90°时，即 B 1A ⊥OB 1，∵∠ AOB 1=45°，∴ B 1A=OB 1，∴ B 1（ 1，0）；② 当∠ OAB 2=90°时，∠ AOB 2=∠ AB 2O=45°， ∴B 1起 OB 2的中点，∴ B 2（2，B 、C 、D 的面积易求。

对于 A ：43 6 ；对于 C ：S=4，对学习必备欢迎下载0），综上可知， B 点坐标为（ 1， 0）或（ 2，0）。

例题 5 】k题干】 如图，一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y 的图象交于 M 、N 两点． x （1） 求反比例函数和一次函数的函数关系式．（2） 根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围．k【答案】 解：（ 1）∵ y 的图象经过 N （﹣ 1，﹣ 4），∴ k=xy= ﹣ 1×（﹣ 4）=4．∴反比例x44函数的解析式为 y 。

又∵点 M 在 y 的图象上， ∴ m=2．∴ M （ 2，2）．又∵直线y=ax+bxx题型四：利用点的坐标及面积公式求图形的面积例题 6 】 【题干】如图，已知 A （ 4, n ）, B （2, 4）是一次函数 y kx b 的图像和反比例函数 y 的 x 图像的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及三角形 AOB 的面积．图象经过 M ， N ，∴一次函数的解析式为 y=2x ﹣2；2）由图象可知：反比例函数的值>一次函数的值的 x的取值范围是 x<﹣ 1 或 0<x< 2．学习必备 欢迎下载( 2) 是 直 线 与 轴 的 交 点 ， 当 时 ， 点评注：对于例 4、例 5、例 6 类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数 解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。

难度属中档题。

题型五：利用反比例函数的对称性求有关的面积问题例题 7 】【题干】 已知, A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数 y (x>0)图象上五个整数点(横、纵坐x标均为整数) ，分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作 四分之一圆周的两条弧，组成如图 5 所示的五个橄榄形(阴影部分) ，则这五个橄榄形的面 积总和是(用含 π 的代数式表示)【答案】∵ x,y 为正整数， ∴x=1,2,4,8,16 ，即 A 、B 、C 、D 、E 五个点的坐标为 (1,16) 、(2,8) 、(4,4) 、(8,2) 、 (16,1) ，因五个橄榄形关于 y=x 对称，故有答案】解：(1) B(2, 4) 在 y m上m 8 ． 反比例函数的解析式为：点 A( 4,n)在 y 8上x，解之得A( 4,2) 。

经过一次函数的解析式为：S= =13π-26 。

【答案】 解：（ 1） y=-x+8 与 y=k/x 联立已知 k>0， x2 -8x+k=0 ， 64-4k>0 ，得 0<k<16。

（2）设两个交点横坐标为 x 1 和 x 2 ，根据 x 2-x 1=6 以及 x2-8x+k=0 ，（ x 2+x 1）2-4x1x 2=36，由 韦达定理 x 1+x 2 =8； x 1x 2=k 解得 k=7。

例题 8 】题型六：与其它知识结合，如一元二次方程、相似形、二次函数等 例题 7 】题干】 如图，一次函数 y=－ x+8 和反比例函数 ky （x>0 ）的图象在第一象限内有两个不同的公共点 A （x 1，y 1） 、B （x 2，y 2）． （1） 求实数 k 的取值范围． （2） 若△ AOB 的面积 S △ AOB =24，求 k 的值．题干】如图，已知：一次函数：y x 4 的图像与反比例函数：y 2(x 0) 的图像分x别交于A、B两点，点M是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图像上任意一点，过N分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x 取何值时，S1的最大值；（2）观察图形，通过确定x 的取值，试比较S1、S2的大小．2答案】解：(1) S1 x( x 4) x24x =（2）∵S2 2，由S1 S2可得：x24x 2 ，x24x 2 0，∴ x 2 2。

通过观察图像可得：当x 2 2 时，S1 S2。

当0 x 2 2或x 2 2 时，S1 S2 ；当2 2 x 2 2 时，S1 S2 。

四、课堂运用基础】例 1 、2 变式k1.如图，矩形ABOD的顶点A 是函数y （k 0）与函数y x （k 1）在第二象限的交x点，AB x轴于B，AD y轴于D，且矩形ABOD的面积为 3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y 轴上一动点，且，求点P的坐标．答案解：（ 1）由图象知 k<0，由结论及已知条件得 -k=33∴反比例函数的解析式为y ，一次函数的解析式为yx 2x（ 3）设点P 的坐标为（ 0，m）直线与y 轴的交点坐标为M（ 0，2），PM9 1 9 1∴ m 92或m 12，∴点P的坐标为（ 0，29）或（ 0，12）。

分析依据图象及结论求 k 值是本题的关键，只k 代值，才能通过解方程组求 A、C 两有求出点的坐标，然后才能解决第③小问。