新课标人教B版高中数学(必修3期末测试题
人教版数学高一B版必修3章末综合测评2
章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本A[5 000名居民的阅读时间的全体是总体，每位居民的阅读时间是个体，200是样本容量．]2．小波一星期的总开支分布如图1①所示，一星期的食品开支如图1②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()图1A．1%B．2%C．3%D．5%C[由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.]3．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，则由此求出的平均数与实际平均数的差是( )A ．3.5B ．－3C ．3D ．－0.5B [少输入90，9030＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际平均数等于－3.]4．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n 个学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7人，那么从高三学生中抽取的人数应为( )A ．10B ．9C ．8D ．7A [由题意知抽取的比例为7210＝130，故从高三中抽取的人数为300×130＝10.]5．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.64C [频率为13＋24＋15100＝0.52.] 6．如图2是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为( )【导学号：31892015】图2A．11 B．11.5 C．12 D．12.5C[由频率分布直方图得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，从而中位数为10＋0.20.5×5＝12，故选C.]7．甲、乙两支女子曲棍球队在某年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为()①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．A．1 B．2 C．3 D．4D[因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确．]8．在某次测量中得到的A样本数据如下：52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数B．平均数C．中位数D．标准差D[由题意可知B样本的数据为58,60,60,62,62,62,61,61,61,61，将A样本中的数据由小到大依次排列为52,54,54,55,55,55,55,56,56,56，将B样本中的数据由小到大依次排列为58,60,60,61,61,61,61,62,62,62，因此A样本的众数为55，B样本的众数为61，A选项错误；A样本的平均数为54.8，B样本的平均数为60.8，B选项错误；A样本的中位数为55，B样本的中位数为61，C选项错误；事实上，在A样本的每个数据上加上6后形成B样本，样本的稳定性不变，因此两个样本的标准差相等，故选D.]9．如图3茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩．(单位：分)图3已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为() A．2,6 B．2,7C．3,6 D．3,7D[依题意得9＋10×2＋2＋x＋20×2＋7＋4＝17×5，即x＝3，y＝7，故选D.] 10．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为()A．32 B．0.2 C．40 D．0.25A[由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x，则x＋4x＝1，所以x＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32，选A.]11．如图4所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B，则()图4A.x A ＞x B ，s A ＞s BB.x A ＜x B ，s A ＞s BC.x A ＞x B ，s A ＜s BD.x A ＜x B ，s A ＜s BB [A 中的数据都不大于B 中的数据，所以x A ＜x B ，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以s A ＞s B .]12．已知样本数据由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则a ，b 的值分别为( )A ．10,11B ．10.5,9.5C ．10.4,10.6D ．10.5,10.5D [由于样本共有10个值，且中间两个数为a ，b ， 依题意，得a ＋b 2＝10.5，即b ＝21－a .因为平均数为(2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋20)÷10＝10，所以要使该样本的方差最小，只需(a －10)2＋(b －10)2最小．又(a －10)2＋(b －10)2＝(a －10)2＋(21－a －10)2＝2a 2－42a ＋221，所以当a ＝－－422×2＝10.5时，(a －10)2＋(b －10)2最小，此时b ＝10.5.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.【导学号：31892016】60 [根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为44＋5＋5＋6×300＝60.] 14．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测试分析，得到如图5所示的时速的频率分布直方图，则时速在70 km/h 以下的汽车有________辆．图520 [由频率分布直方图可得时速在70 km/h 以下的频率是(0.01＋0.03)×10＝0.4，所以频数是0.4×50＝20.]15．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表如下： 气温(℃)18 13 10 －1 用电量(度) 24 34 38 64由表中数据得回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b＝－2，预测当气温为－4 ℃，用电量为________．68度 [回归直线方程过(x ，y )，根据题意得x ＝18＋13＋10＋(－1)4＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，将(10,40)代入y ^＝－2x ＋a ，解得a ^＝60，y ^＝－2x ＋60，当x ＝－4时，y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68，即当气温为－4 ℃时用电量约为68度．]16．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图6)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．图60．0303[∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x，y，z人，则x＝0.030×10，解得x＝30.同理，y＝20，z＝10.100故从[140,150]的学生中选取的人数为10×18＝3.]30＋20＋10三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．[解]因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．具体过程如下：(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．(4)将300人合到一起，即得到一个样本．18．(本小题满分12分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：(1)(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量更合适？并说明理由．[解] (1)x －＝110(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)．(2)中位数为41＋442＝42.5(吨)．(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．19．(本小题满分12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.(1)哪台机床次品数的平均数较小？(2)哪台机床的生产状况比较稳定？[解] (1)x －甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×110＝1.5，x －乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×110＝1.2.∵x －甲>x －乙，∴乙车床次品数的平均数较小．(2)s 2甲＝110×[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，同理s 2乙＝0.76，∵s 2甲>s 2乙，∴乙车床的生产状况比较稳定．20．(本小题满分12分)农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：(单位：cm)甲：9,10,11,12,10,20乙：8,14,13,10,12,21.图7(1)在如图7给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．[解] (1)茎叶图如图所示：(2)x 甲＝9＋10＋11＋12＋10＋206＝12， x 乙＝8＋14＋13＋10＋12＋216＝13， s 2甲≈13.67，s 2乙≈16.67.因为x 甲＜x 乙，所以乙种麦苗平均株高较高，又因为s 2甲＜s 2乙，所以甲种麦苗长得较为整齐．21．(本小题满分12分)某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数如下表：尿汞含量x2 4 6 8 10 消光系数y 64 134 205 285 360(1)(2)估计尿汞含量为9 mg/L 时的消光系数.【导学号：31892017】[解] (1)设回归直线方程为y ^＝bx ＋a .∵x ＝6，y ＝209.6，∴∑i ＝15x 2i ＝220，∑i ＝15x i y i ＝7 774，∴b ^＝7 774－5×6×209.6220－5×62＝1 48640＝37.15. ∴a^＝209.6－37.15×6＝－13.3. ∴回归方程为y ^＝37.15x －13.3.(2)∵当x ＝9时，y ^＝37.15×9－13.3≈321，∴估计尿汞含量为9 mg/L 时消光系数为321.22．(本小题满分12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图8所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．图8(1)求图中a 的值；高中数学打印版校对完成版本 (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．[解] (1)由频率分布直方图知(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a ＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×12＝20；30×43＝40；20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.。
人教b版数学必修三测试题及答案
人教b版数学必修三测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，则f(3)的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则a_5等于：A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A3. 函数y = 2^(-x) + 1的反函数为：A. y = log_2(x-1)B. y = log_2(x+1)C. y = -log_2(x-1)D. y = -log_2(x+1)答案：A4. 若圆x^2 + y^2 = 9与直线y = 2x相切，则圆心到直线的距离为：A. 3B. √5C. √3D. √2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-4, 3)，则向量a与向量b的点积为______。
答案：-256. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在x = 1处的导数为______。
答案：-47. 已知复数z = 2 + 3i，则|z| = ______。
答案：√138. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B = ______。
答案：{2, 3}三、解答题（每题10分，共20分）9. 已知等比数列{a_n}的前三项分别为2，6，18，求该数列的通项公式。
答案：a_n = 2 * 3^(n-1)10. 求函数y = x^2 - 4x + 4在区间[0, 3]上的最值。
答案：函数y = x^2 - 4x + 4在区间[0, 3]上的最大值为4，最小值为0。
四、综合题（每题15分，共40分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，求函数的单调区间。
答案：函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x的单调增区间为(-∞, 1)和(2,+∞)，单调减区间为(1, 2)。
12. 已知圆心在原点，半径为5的圆与直线y = 3x + 2相交于点A和点B，求弦AB的长度。
2020-2021学年高二数学下学期期末测试卷01(人教B版2019选择性必修第三册)(全解全析)
2020–2021学年高二下学期期末测试卷01数学·全解全析1．B 【解析】求出函数的导数，然后可得答案.2sin cos =x x xy x --'所以曲线cos x y x =在点(2π，0)处的切线的斜率为2222πππ-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B 2．B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S 的值.因为4516127053a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，所以172a d =-⎧⎨=⎩，因此，()7176767772722S a d ⨯⨯=+=-⨯+⨯=-. 故选：B. 3．C 【解析】利用等比数列的性质可得424685a a a a a =，从而可得答案由等比数列的性质有42468516a a a a a ==，可得52a =±.故选：C 4．A 【解析】根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数()f x 的单调性解：由题意可知，求函数的单调减区间，根据图象，()0f x '≤解集为1,1[2,3)3⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦，故选：A ． 5．D 【解析】由等差数列求和公式整理可得1n n a a +<，确定{}n a 为递增数列；根据871a a <-可判断数列前7项为负，由此得到结果.由()11n n n S nS ++<得：()()()()1111122n n n n a a n n a a +++++<，整理可得：1nn aa +<，∴等差数列{}n a 为递增数列，又871a a <-，80a ∴>，70a <，∴当7n ≤且n *∈N 时，0n a <；当8n ≥且n *∈N 时，0n a >；n S ∴有最小值，最小值为7S .故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列前n 项和的最值问题，解题关键是能够确定等差数列中由负变正或由正变负的项. 6．D 【解析】令()()2g x x f x =，利用导数说明其单调性，即可得到不等式()0f x <的解集；解：令()()2g x x f x =，则()()()()()()222g x xf x f x f x f x x x x '+=''=+，因为()()20f x xf x +'<，所以当0x >时()0g x '<，当0x <时()0g x '>，所以()g x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()g x 在0x =处取得极大值也就是最大值，()()max 00g x g ==，所以()20x f x ≤恒成立，又当0x =时()()20f x xf x +'<，所以()00f <，所以()0f x <恒成立，即()0f x <的解集是(),-∞+∞故选：D 7．C 【解析】A. 根据()()()f x f y f xy +=，用赋值法判断.B. 利用单调性定义判断.C. 根据B 知()y f x =在()0,∞+为增函数，再由()()()*121n n f a f a n N+=+∈，得到121n n aa +=+，求通项n a 判断.D. 与C 的判断方法一致.A. 由()()()f x f y f xy +=，令1x y == 得()10f = 故A 不正确. B. 任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <，则()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为当1x >时，()0f x >，所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以()y f x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.C. 由B 知()y f x =在()0,∞+为增函数且()()()*121n n f a f a n N +=+∈，所以121n n a a +=+，即112(1)n n a a ++=+， 又()110a f ==，所以111a +=，所以{}1n a +是以1为首项，以2为公比的等比数列， 所以121n n a -=-所以2018201921a =-，故C 正确.D. 由C 知D 不正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用以及数列问题，还考查了推理辨析论证的能力，属于中档题. 8．A 【解析】原不等式恒成立可转化为()ln(2)0l x ax b x =+-≤恒成立，求导分析求出()l x 的最大值，求出22ln 2b a a a ≤-，构造函数22()22ln 2,t a a a a =-利用导数求最大值即可求解.令()ln(2)l x ax b x =+-，则()f x x ≤恒成立即为()0l x ≤恒成立，因为0a >，所以()l x 的定义域为(,)2ba-+∞第 4 页 共 19 页22()22()1,,222a ba x ab a l x x ax b ax b a ---'=-=>-++ 当222b b x a a α--<<时()0,l x '>当22a b x a ->时，()0l x '< 在2(,)22b a b a a --上单调递增，在2(,)2a b a-+∞上单调递减， 所以max 2()()2a bl x l a-=， 由22()ln 2022a b a bl a a a--=-≤ 所以22ln 2b a a a ≤-， 则2222ln 2.ab a a a ≤- 令22()22ln 2,t a a a a =- 则()24ln 2t a a a a '=-，令()0,t a '=则1212a e =，当12102a e <<时，()0t a '>，当1212a e >时，()0t a '<， 所以()t a 在121(0,)2e 上递增，在121(,)2e +∞上递减，故12max1()()24et a t e ==，所以ab 的最大值为4e. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立转化为求函数的最大值得出22ln 2b a a a ≤-，构造函数22()22ln 2,t a a a a =-转化为求函数的最大值是解题的关键，属于难题.9．ABC 【解析】 计算可得2q，故选项A 正确；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列，∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2n n a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确； 所以122n n S +=-,则9822510S =-=，故选项C 正确.又lg2lg2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有： （1）定义法； （2）通项公式法 （3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明. 10．AD 【解析】求出函数的导数，根据导数的符号判断函数的单调性，从而可判断AB 的正误，根据零点存在定理和最值的符号可判断CD 的正误.()1x xf x e-'=，令()0f x '=可得1x =， 当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，故1x =为()f x 的极大值点，故A 正确.又()f x 在(),1-∞上为增函数，()f x 在()1,+∞上为减函数， 故当1x =时，函数()f x 取得最大值，故B 错误. 当10e a <<时，()()max 110f x f a e==->， 又()00f a =-<，而1e a >，故2211e a >>且2212ln 221ln1l 1112ln 2l n n af a a a a a a e a a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()2ln ,g t t t t e =->，则()2210t g t t t-'=-=<， 故()2ln g t t t =-在(),e +∞上为减函数，故112ln 20e a a-<-<，由零点存在定理及()f x 的单调性可得()f x 有两个不同的零点，故D 正确. 而当0a ≤时，当1≥x 时，()0f x >恒成立，故()f x 在R 最多有一个零点， 故C 错误. 故选：AD 【点睛】方法点睛：导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明，注意需选择特殊点的函数值，使得其函数值的符号符合预期的性质，选择特殊点的依据有2个方面：（1）与极值点有明确的大小关系；（2）特殊点的函数值较易.与零点有关的不等式问题，可依据零点的性质及函数的单调性构建新函数来证明. 11．BC 【解析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案.第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-，第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误； 第三年底剩余资金3227109(140%)5488525ta a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确；因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+，所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t ta a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-，因为800t <，所以7280002t->， 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确；当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误； 故选：BC 【点睛】解题的关键是根据123,,a a a ，总结出n a ，并利用求和公式，求得n a 的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题. 12．ACD 【解析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项.解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e ∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确； 对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根， 等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠， 令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误； 对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x-'=， 令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，等价于()ln120F x x ax+-'==有两个不同的正根，即方程ln12xax+=有两个不同的正根，由C可知，021a<<，即12a<<，则D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．13．1013【解析】由1n na S+=，推得11(2)2nnana-=≥，得到数列{}na表示首项为12，公比为12的等比数列，求得na和nS，进而得到21nnnSa=-，再结合等比数列求和公式，即可求解.由数列{}na的前n项和nS，且满足1n na S+=，当2n≥时，111n na S--+=，两式相减，可得()11120n n n n n na a S S a a----+-=-=，即11(2)2nnana-=≥，令1n=，可得11121a S a+==，解得112a=，所以数列{}n a表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12nna⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11122111212nn nS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以1122112nn n n n S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2939121239222(111)S S S S a a a a ++++=+++-+++()9102129211101312-=-=-=-.故答案为：1013. 【点睛】关键点睛：由1n n a S +=，利用1,1=,2n n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩，推得11(2)2n n a n a -=≥从而证得数列{}n a 为等比数列是解答本题的关键. 14．133,4⎫⎪⎭【解析】()2321f x x ax '=-+，设0x 是函数()f x 的极小值点，由0∆>和()00f x >可得032x >>用001132a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得答案.()2321f x x ax '=-+，由题可得，函数()f x 有极值，故24120a ∆=->，解得：3a >设0x 是函数()f x 的极小值点，故()2000032103f x x ax ax ⎧'=-+=⎪⎨>⎪⎩， 解得：00011332a x x x ⎛⎛⎫=+> ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为函数()f x 的极小值大于零，所以()()()323200000000011332230222x f x x ax x x x x x =-++=-++=-+++>，解得：02x <所以：0001133223a x x x ⎛⎫⎛⎫=+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由双勾函数的知识可得001132a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在323⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以133,4a ⎫∈⎪⎭ 故答案为：133,4⎫⎪⎭15．17 【解析】利用n S 求出n a ，则可得9a .因为2n S n =，当2n ≥时，21(1)n S n -=-，所以221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，又1n =时，111a S ==也适合上式， 所以21n a n =-， 所以929117a =⨯-=. 故答案为：17 【点睛】关键点点睛：利用n S 求出n a 是解题关键. 16．12ln 2a ≥- 【解析】先判断()g x 的单调性，求出()max g x ，再转化已知条件得到min 1(ln )2a x x x ≥-，最后构建新函数1()ln 2h x x x x =-，并求最小值min ()h x 即可解题解：因为()322332g x x x x =-+-，所以()2231g x x x '=-+-，令()0g x '=，即22310x x -+-=，解得12x =或1x =， 则()g x 在11(,)32上单调递减，在1(,1)2上单调递增，在(1,2)上单调递减， 所以()max 231(1)1326g x g ==-+-=- 对任意的1,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在1,23n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()g m f n ≤成立，则存在1,23n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()max ()f n g x ≥成立， 则存在1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得21ln 36a x x +-≥-成立，则存在1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得1ln 2a x x x ≥-成立，则min 1(ln )2a x x x ≥-，1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令1()ln 2h x x x x =-，则()1ln 2h x x -'=-令()0h x '=，1ln 02x --=解得：12x e -= 所以1()ln 2h x x x x =-在121(,)3e -上单调递增，在12(,2)e -上单调递减，所以min 1()(2)22ln 212ln 22h x h ==⨯-=-， 所以12ln 2a ≥-故答案为：12ln 2a ≥- 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、利用导函数解决不等式的恒成立与能成立问题，是偏难题. 17．（1）12n n a ；（2）2n T n =.【解析】（1）利用等比数列的求和公式进行基本量运算，可得数列{}n a 的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得数列{}n b 的前n 项和n T ．（1）由题意可知()()()416311115111911a q q a qa q q q ⎧-⎪=-⎪⎨--⎪=⎪--⎩解得112a q =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为12n n a .（2）2log 21n an b a n ==- 数列{}n b 的前n 项和()21212n n n T n +-==.18．（Ⅰ）11,2a b ==；（Ⅱ）()f x 的最大值为12-，最小值为212e-.【解析】（Ⅰ）由导数的几何意义以及切点在切线上也在曲线上联立方程可解. （Ⅱ）利用导数求出单调区间，再根据单调性可求最值.解：（Ⅰ）()2ln f x a x bx =-，()2af x bx x'∴=-， 由题意，有()()120112f a b f b ⎧=-=⎪⎨=-=-'⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()2ln 2x f x x =-，()211x f x x x x -'=-=，1x e e≤≤， ∴令()0f x '>，得11x e<<；令()0f x '<，得1x e <<.()f x ∴在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减.()()221111,1,1222e f f f e e e⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，()()()()2maxmin 11,122e f x f f x f e ∴==-==-.19．（1）a ≤5（2）最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15. 【解析】（1）转化为()0f x '≥在[3)+∞，恒成立，即31()2a x x≤+在[1)+∞，恒成立，利用单调性求出1x x +在[3)+∞，上的最小值即可得解；（2）根据3x =是()f x 的极值点求出5a =，分析单调性即可求出最值.（1）因为()f x 在[3,)+∞上是增函数，令f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3≥0在[3,)+∞上恒成立， ∴312a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭min 1y x x=+在[1,)+∞上为增函数， ∴当3x =时，min 313105223x x ⎛⎫+=⨯= ⎪⎝⎭，∴a ≤5.（2）f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去). 当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0， 即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15. 【点睛】关键点点睛：第（1）问转化为()0f x '≥在[3)+∞，恒成立是解题关键，第（2）问根据3x =是()f x 的极值点求出5a =是解题关键. 20．（1）证明见解析；（2）()1112nn -+⋅．【解析】（1）由已知得2212k k b --=，根据等差中项的性质有3232k k b -=⋅，由等比数列的定义即可证{}2k b 是等比数列；（2）由（1）得32212n n n b b ---=，写出{}n c 通项，根据裂项相消法求n S .（1）证明：由数列{}n a ，{}n b ，满足22n n a -=，()*21k k b a k N-=∈，∴2212k k b --=，由21k b -，2k b ，21k b +成等差数列，则有3232k k b -=⋅，整理得2222kk b b -=（常数）， ∴数列{}2k b ：以34为首项，公比为2的等比数列． （2）由（1）知：()323*2213222n n n n n b b n N -----=⋅-=∈， ∴()()()()()()()12212122111811212212n n n n n n n n n n n c n n n b b n n n n n n --+-++====-≥+-+⋅+⋅⋅+⋅， ∴()()0112111111111222223221212n n n nS n n n -=-+=++-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅．21．（1）12a =；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）当1n =时，1121a a =-，即可求得12a =； （2）因为1221n n a a a a =+++-…，化简得到11112n n n a a a ++=-，得到212211114n n n a a a ++-=-，进而得到()2222312112211111(1)(1)(1)4444n n n a a a n T a a a +++-=-+-++-=--，即可求解； （3）由（2）得到1121n n S a ++=+，由（2）得到122n n a +≤再由121n a a +≤=，12312n n n a ++≤≤即可作出证明.（1）由题意，正项数列{}n a 满足：()1221n n a n N a a a *=∈++⋅⋅⋅⋅⋅+-， 当1n =时，1121a a =-，结合10a >得12a =. （2）因为1221n n a a a a =+++-…，所以12112n n a a a a +++-=…，所以11112n n n a a a ++-=，可得11112n n n a a a ++=-， 所以212211114n n n a a a ++=+-，所以212211114n n n a a a ++-=-， 所以22222222112132111111111()()()n n na a a a a a a a ++-=-+-++-()2222312111(1)(1)(1)4444n n a a a n T a ++=-+-++-=--即121445n n T n a ++=+-. （3）由（2）知11112n n n a a a ++-=， 所以31221321111111()()()222n n na a a a a a a a a +++++=-+-++-， ()11111112n n S a a a ++-=-，即1121n n S a ++=+. 一方面，由（2）知22112214455n n T n a a a ++=+-≥+=，所以122n n a +≤另一方面，由10n a +>，所以111n n a a +<，于是1n n a a +< 121n a a +≤=，所以22211214n n T a a a n ++=++≤++…， 所以12114245431n n n T n n n a a +++=+-≤+⇒≥+12312n n n a ++≤≤131121n n S n +++≤≤，所以当2n ≥321211n n S n +≤-≤-. 【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前n 项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 22．（1）()1f x x =+；（2）极大值为()01g =，无极小值；（3）()1,323,2e e ⎛⎫-∞--+∞⎪⎝⎭【解析】（1）先根据题意得()1,0P m -，进而得切线斜率1k =，故()1f x x m =-+，再根据()12f =求得m ，进而得解析式； （2）由（1）()1xx g x e +=，求导得()'x xg x e -=，进而根据导数与极值的关系即可得答案； （3）将不等式整理变形得：存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，进而转化为()()min max 2h x h x <，再研究函数()h x 的单调性得()0,a x e ∈时，函数()h x 为减函数，(),+a x e ∈∞时，函数()h x 为增函数，再分0a ≤，01a <<，1a ≥三种情况讨论求解即可得答案.解：（1）令()ln 0y x m =+=解得1x m =-，故点()1,0P m -， 对函数()ln y x m =+求导得1'y x m=+， 所以曲线()ln y x m =+在点P 处的切线斜率为111k m m==-+，所以曲线()ln y x m =+在点P 处的切线方程为：1y x m =-+，即：()1y f x x m ==-+， 又因为()12f =，故2m =， 所以()y f x =的解析式()1f x x =+. （2）由（1）知()()1xx f x x g x e e+==，函数定义域为R ， 所以()'xxg x e -=， 故当()0,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减，当(),0x ∈-∞时，()'0g x >，()g x 单调递增， 所以函数()g x 在0x =处取得极大值，极大值为()01g =，无极小值.（3）因为()()222222222222ln 1ln 1ln 1ln x x a x x x x x a x x x +-++-+=()()2222222211ln 1ln 1ln 1ln 111a x a x x x x x ⎛⎫+-+ ⎪+-+⎝⎭==， 故不等式()()21222222ln 1ln h x x x a x x x <+-+等价于()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为[]211,e x ∈ ，故存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以只需()()min max 2h x h x <成立即可.所以()()()()222ln 1ln ln 1ln 'x a x a x a x h x x x-++---==， 因为[]1,x e ∈时，[]ln 0,1x ∈，故[]ln 11,0x -∈-所以当()0,ax e∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，(),+a x e ∈∞时，()'0h x >，函数()h x 为增函数所以（i ）当0a ≤时，()'0h x >在[]1,e 恒成立，故函数()h x 在[]1,e 单调递增，故()()()()min max 311,a h x h h x h e e -====，所以32ae-<，解得32a e <-； （ii ）当01a <<时，()1,a x e ∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，(),a x e e ∈时，()'0h x >，函数()h x 为增函数，故()()min 1a a a h x h e e+==，()()(){}max3,033max 1,max 1,1,31aa e a h x h h e ee e a -⎧<<--⎪⎧⎫===⎨⎬⎨⎩⎭⎪-≤<⎩， 所以，当03a e <<-时，132a a a e e+-<，即()()1213a a a e -+<-， 令()()()1213a m a a a e-=+--，()11'22a a m a e ae --=-+，()()111''10a a a m a e ae a e ---=-+=-<，故()'m a 在()0,1单调递减，()()()''3'10m a m e m a >->=>，故()m a 在()0,1单调递增， 所以()m a 在()0,3e -上也单调递增，()()3020m a m e>=->，与()()()12130a m a a a e -=+--<矛盾，无解当31e a -≤<时，121aa e+<，即()21a a e +<，所以()210aa e +-<， 令()()21ak a a e =+-，()'2ak a e =-，令()'20ak a e =-=得ln 2a =， 故当0ln 2a <<时，()'0k a >，函数()k a 单调递增， 当ln 21a <<时，()'0k a <，函数()k a 单调递减， 由于()()()()01,140k a k k a k e >=>=->， 故函数()k a 在()0,1的函数值恒大于0，故当31e a -≤<时，()0k a >，与()210aa e +-<矛盾，无解；（iii ）当1a ≥时，[]1,x e ∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，故()()()()max min 311,a h x h h x h e e -====，所以()231a e-<，解得132a e >-； 综上，实数a 的取值范围是()1,323,2e e ⎛⎫-∞--+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义，极值，不等式能成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，综合分析问题与解决问题的能力，是难题.本题第三问解题的关键在于对已知不等式变形转化为存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，进而只需()()min max 2h x h x <成立即可，再分类讨论求函数的最值即可.。
2024-2025学年高中数学人教B版必修三综合测试卷
2024-2025学年高中数学人教B 版必修三综合测试卷(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．sin 480°等于()A ．－12B ．12C ．－32D ．322．若a ＝(3，4)，b ＝(5，12)，则a 与b 的夹角的余弦值为()A ．6365B ．3365C ．－3365D ．－63653．若|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝7，则a 与b 的夹角θ的余弦值为()A ．－12B ．12C ．13D ．－134．设向量a α的模为22，则cos 2α等于()A ．－14B ．－12C ．12D ．325．化简式子2－sin 22＋cos4的值是()A ．sin 2B ．－cos 2C ．3cos 2D ．－3cos 26．函数f (x )＝tan (x 2－π6)的单调递增区间是()A ．[2k π－2π3，2k π＋4π3]，k ∈Z B ．(2k π－2π3，2k π＋4π3)，k ∈Z C ．[4k π－2π3，4k π＋4π3]，k ∈ZD ．(4k π－2π3，4k π＋4π3)，k ∈Z 7.如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝4sin (πx6＋φ)＋k ，据此图象可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A ．10B ．8C ．6D ．58.如图，向量OA →＝a ，OB →＝b ，且BC →⊥OA →，C 为垂足，设向量OC →＝λa (λ>0)，则λ的值为()A ．a ·b |a |2B ．a ·b |a ||b |C ．a ·b |b |D ．|a ||b |a ·b二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列函数中，周期不为π2的是()A ．y ＝cos 4xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cosx 4D ．y ＝sinx 210．已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ，给出下列四个选项，正确的有()A ．函数f (x )的最小正周期是πB ．函数f (x )在区间[π8，5π8]上是减函数C ．函数f (x )的图象关于点(－π8，0)对称D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin2x 的图象向右平移π8个单位，再向下平移1个单位得到11．若函数f (x )＝cos ωx (ω>0)在开区间(2π，3π)内既没有最大值1，也没有最小值－1，则下列ω的取值中，可能的有()A ．13B ．12C ．34D ．112．已知向量a 与向量b 满足如下条件，其中a 与b 的夹角是π3的有()A ．|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2B ．|a |＝|b |＝1，a 2＋a ·b ＝32C ．a ＝(3，－1)，b ＝(23，2)D ．a ＝(2，23)，b ＝(－3，0)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)13．将函数y ＝sinx 的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数的解析式是________．14．若扇形的周长是16cm ，圆心角是2rad ，则扇形的面积是________cm 2.15．设α为锐角，若cos (α＋π6)＝45，则sin (2α＋π12)的值为________.16．关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称．②f (x )的图象关于原点对称．③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、β(β>α)的终边分别与单位圆交于A，B两点，点A(45，3 5 ).(1)若点B(513，1213)，求cos(α＋β)的值；(2)若OA→·OB→＝31010，求sinβ.18．(12分)设向量a ＝(cos (α＋β)，sin (α＋β))，b ＝(cos (α－β)，sin (α－β))，且a ＋b ＝.(1)求tan α的值；(2)求2cos 2α2－3sin α－12sin （α＋π4）的值．19．(12分)已知sin α＝35，α∈(0，π2).(1)求sin (α＋π4)的值；(2)若tan β＝13，求tan (2α－β)的值．20．(12分)已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1，x ∈R .(1)求它的振幅、周期和初相；(2)用“五点法”作出它的简图；(3)该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？21．(12分)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ>0，ω>0，|φ的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？22．(12分)已知向量m ＝(sin x ，－12)，n ＝(3cos x ，cos 2x )，函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最小正周期及单调增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，π2]上的值域．答案解析1．解析：sin 480°＝sin (360°＋120°)＝sin 120°＝sin (180°－60°)＝sin 60°＝32.答案：D2．解析：由题意得cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝3×5＋4×125×13＝6365.答案：A3．解析：由|a ＋b |＝7，得7＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋4＋2×1×2cos θ，所以cos θ＝12.答案：B4．解析：由题意，知＝22.∴cos 2α＝14.∴cos2α＝2cos 2α－1＝12－1＝－12.答案：B5．解析：将cos4运用倍角公式变形为1－2sin 22，从而原式化为3－3sin 22，再开方即得结果．答案：D6．解析：由题意，函数f (x )＝tan ，令－π2＋k π<x 2－π6<π2＋k π，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x <2k π＋4π3，k ∈Z ，即函数f (x )k π－2π3，2k π，k ∈Z .答案：B7．解析：某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝4sin (πx6＋φ)＋k ，据此图象可知，这段时间水深最小值为－4＋k ＝2，所以k ＝6，故这段时间水深(单位：m )的最大值为4＋k ＝10.答案：A8．解析：OC →为OB →在OA →上的投影．故|OC →|＝a ·b|a |，∴OC →＝a ·b |a |·a |a |＝a ·b |a |2·a .答案：A9．解析：对于选项A ，周期为T ＝2π4＝π2；对于选项B ，周期为T ＝2π2＝π；对于选项C ，周期为T ＝2π14＝8π；对于选项D ，周期为T ＝2π12＝4π.故选BCD.答案：BCD10．解析：因为f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1－1＝sin2x ＋cos 2x －1＝2sin (2x ＋π4)－1，对A ，因为ω＝2，所以f (x )的最小正周期T ＝π，结论正确；对B ，当x ∈[π8，5π8]时，2x ＋π4∈[π2，3π2]；则f (x )在[π8，5π8]上是减函数，结论正确．对C ，因为f (－π8)＝－1，得到函数f (x )－π8，－，结论不正确；对D ，函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π8个单位，再向下平移1个单位得到，结论不正确．答案：AB11．解析：因为函数f (x )＝cos ωx (ω>0)在开区间(2π，3π)内既没有最大值，也没有最小值，所以f (x )＝cos ωx (ω>0)的周期大于等于2π，即2πω≥2π，所以ω≤1.当ω＝13时，f (x )＝cos 13x ，x ∈(2π，3π)时，x 3∈(2π3，π)，无最大值1和最小值－1，ω＝13成立，A 正确；当ω＝12时，f (x )＝cos 12x ，x ∈(2π，3π)时，x 2∈(π，3π2)，无最大值1和最小值－1，ω＝12成立，B 正确；当ω＝34时，f (x )＝cos 3x 4，x ∈(2π，3π)时，3x 4∈(3π2，9π4)，有最大值1，不成立，C 不正确；当ω＝1时，f (x )＝cos x ，x ∈(2π，3π)时，无最大值1和最小值－1，ω＝1成立，D 正确．故选ABD.答案：ABD12．解析：由a ·(b －a )＝2，得a ·b －a 2＝2，则a ·b ＝3，设向量a 与向量b 的夹角为α，则a ·b ＝|a |·|b |cos α＝3，则cos α＝12，那么α＝π3，则A 正确；由a 2＋a ·b ＝32，得a ·b ＝12，设向量a 与向量b 的夹角为α，则a ·b ＝|a |·|b |cos α＝12，则cos α＝12，那么α＝π3，则B 正确；由a ＝(3，－1)，b ＝(23，2)，则|a |＝2，|b |＝4，a ·b ＝4，则cos α＝12，那么α＝π3，则C 正确；由a ＝(2，23)，b ＝(－3，0)，则|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则cos α＝－12，那么α＝2π3，则D 不正确．答案：ABC13．解析：图象向右平移π8个单位，解析式应变为y ＝sin 3＋π4，即y ＝sinx ，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，得y ＝sin .答案：y ＝sin 14．解析：设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ，则l ＝2r,16＝2r ＋2r ，所以r ＝4，则扇形面积为S ＝12×2×r 2＝16(cm 2).答案：1615．解析：设β＝α＋π6，所以sin β＝35，sin 2β＝2sin βcos β＝2425，cos 2β＝2cos 2β－1＝725，所以sin(2α＋π12)＝sin (2α＋π3－π4)＝sin (2β－π4)＝sin2βcosπ4－cos 2βsinπ4＝17250.答案：1725016．解析：要使函数f (x )＝sin x ＋1sin x有意义，则有sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z ，∴定义域为{x |x ≠kπ，k ∈Z }，定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－x )＋1sin （－x ）＝－sin x －1sin x x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称，∴①是假命题，②是真命题．对于③，要证f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，只需证＝.∵＝sin ＋1sin ＝cos x ＋1cos x ，＝sin ＋1sin ＝cos x ＋1cos x ，∴＝，∴③是真命题．令sin x ＝t ，－1≤t ≤1且t ≠0，∴g (t )＝t ＋1t，－1≤t ≤1且t ≠0，此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴函数的最小值不为2，即f (x )的最小值不为2.∴④是假命题．综上所述，所有真命题的序号是②③.答案：②③17．解析：(1)因为α，β是锐角，且A (45，35)，B (513，1213)在单位圆上，所以sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1213，cosβ＝513，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×513－35×1213＝－1665.(2)因为OA →·OB →＝31010，所以|OA →|·|OB →|cos (β－α)＝31010，且|OA →|＝|OB →|＝1，所以，cos (β－α)＝31010，可得sin (β－α)＝1010(β>α)，且cos α＝45，sin α＝35，所以sin β＝sin [α＋(β－α)]＝sin αcos (β－α)＋cos αsin (β－α)＝35×31010＋45×1010＝131050.18．解析：(1)a ＋b ＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)＝(2cos αcos β，2sin αcos β).∴2cos αcos β＝45，2sin αcos β＝35，∴tan α＝34.(2)2cos 2α2－3sin α－12sin＝cos α－3sin αsin α＋cos α＝1－3tan α1＋tan α＝－57.19．解析：(1)因为sin α＝35，α∈(0，π2)，所以cos α＝1－sin 2α＝1－（35）2＝45，所以sin (α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝35×22＋45×22＝7210.(2)由(1)tan α＝34得tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝321－916＝247，所以tan (2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝247－131＋247×13＝139.20．解析：y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54＝12sin (2x ＋π6)＋54.(1)y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的振幅为A ＝12，周期为T ＝2π2＝π，初相为φ＝π6.(2)令x 1＝2x ＋π6，则y ＝12sin (2x ＋π6)＋54＝12sin x 1＋54，列出下表，并描点得出的图象如图所示：x －π12π65π122π311π12x 10π2π3π22πy ＝sinx 110－10y ＝12sin (2x ＋π6)＋545474543454(3)将函数图象依次经过如下变换：函数y ＝sin x 的图象．函数y ＝sin (2x ＋π6)的图象函数y ＝12sin (2x ＋π6)的图象函数y ＝12sin (2x ＋π6)＋54的图象，即得函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的图象．21．解析：(1)由题图，得A ＝3，2πω＝43＝5π，故ω＝25.由f (x )＝3sin ，得sin ＝0.又|φ|<π2，∴φ＝－π10，∴f (x )＝3sin .(2)设把f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度，能使得到的图象对应的函数为偶函数．由f (x ＋m )＝3sin 25（x ＋m ）－π10＝3sin (2x 5＋2m 5－π10)为偶函数，知2m 5－π10＝k π＋π2(k ∈Z )，解得m ＝5k π2＋3π2(k ∈Z ).∵m >0，∴m min ＝3π2.故至少把f (x )的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．22．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝3sin x cos x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin (2x －π6)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，所以增区间为[－π6＋k π，π3＋k π]，k ∈Z .(2)由(1)得f (x )＝sin (2x －π6)，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin [2(x ＋π6)－π6]＝sin (2x ＋π6)的图象，因此g (x )＝sin (2x ＋π6)，又x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，sin (2x ＋π6)∈[－12，1]，故g (x )在[0，π2]上的值域为[－12，1].。
高中数学人教B版必修第三册《7.1.2 弧度制及其与角度制的换算》练习题(3)
人教B 版必修第三册《7.1.2 弧度制及其与角度制的换算》练习题(3)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.半径为3cm 的圆中，有一条弧AB 长度为π2cm ，则此弧AB 所对的圆心角为( )A. 30°B. 15°C. 40°D. 20°2.若弧度为2α(0<α<π2)的圆心角所对弦长为m ，则该圆心角所对的弧长为( )A. amsinαB. amcosαC. am2sinαD. αm2cosα3.平面区域{y ≥xy ≥−√3x x 2+y 2≤2的面积是( )A. 5π12B. 5π6C. 7π12D. 7π64.若θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是( )A. sin θ2>0B. cos θ2>0C. tan θ2>0D. sin θ2cos θ2<05.下列说法正确的是( )A. 小于90°的角是锐角B. 锐角是第一象限角，反之亦然C. 角α的三角函数值与终边上点P 的位置无关D. 若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立6.将23弧度化为角度的结果为( )A. (120π)° B. 120°C. (π270)°D. 270°7.−120°的弧度数是( )A. −5π6B. −4π3C. −2π3D. −3π48.如图所示，扇形OPQ 的半径为2，圆心角为π3，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，则S ABCD 的最大值是( )A. 2√33B. 2√3C. √3D. 23二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）9.如图，三棱锥A−BCD的顶点B、C、D在平面α内，CA=AB=BC=CD=DB=4，AD=2√6，若将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内为止，则A、D两点所经过的路程之和是 ______．10.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为．11.已知一个扇形的周长是，面积为，则这个扇形的圆心角的弧度数为___________三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）12.用弧度制表示终边在x轴上的角的集合．13.若分针走过2小时30分，则分针转过的角是______．14.时间经过4h，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？15.已知弧长50cm的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径(可用计算工具，精确到1cm)．16.已知一个扇形的周长为l，当扇形的半径和中心角分别为多大时，扇形的面积最大？【答案与解析】1.答案：A解析：解：l=nπ×3180°=π2，解得：n=30°，故选：A．本题主要考查了弧长公式，属于基础题．利用弧长公式计算即可．2.答案：A解析：解：设圆的半径为r，由弧度为2α(0<α<π2)的圆心角所对弦长为m，则sinα=m2r=m2r，r=m2sinα；该圆心角所对的弧长为l=2αr=mαsinα．故选：A．根据三角函数定义求出圆的半径，再计算圆心角所对的弧长．本题考查了三角函数的定义与弧长计算问题，是基础题．3.答案：A解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图，则区域是圆心角是5π12是扇形，故面积是5π24×π×2=5π12．故选：A．作出不等式组对应的平面区域，结合相应的面积公式即可得到结论．本题主要考查平面区域的应用，以及扇形的面积公式，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．4.答案：C解析：解：∵θ为第二象限角，∴π2+2kπ<θ<π+2kπ，k∈Z．则π4+kπ<θ2<π2+kπ，k∈Z，∴θ为一或三象限角，得tanθ2>0．故选：C．由θ的范围求得θ2的范围，再由三角函数的象限符号得答案．本题考查三角函数的象限符号，是基础题．5.答案：C解析：解：对于A，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零度的角或负角，∴A错误；对于B，锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角，∴B错误；对于C，角α的三角函数值，与α的终边有关系，但与终边上点P的位置无关，C正确；对于D，α∈R时，tan α=sinαcosα不一定成立，如α=π2+kπ，k∈Z时，∴D错误．故选：C．A中，小于90°的角不一定是锐角；B中，锐角是第一象限角，反之不成立；C中，角α的三角函数值，与α的终边有关系，与终边上点P的位置无关；D中，α=π2+kπ，k∈Z时，tanα不存在．本题考查了任意角的概念与应用问题，也考查了三角函数的概念与应用问题，是基础题．6.答案：A解析：解：∵1rad=(180π)°，∴23=23×(180π)°=(120π)°．故选：A．把1弧度=(180π)°代入即可化为角度制．本题考查弧度与角度的互化，关键在于掌握二者的互化公式，属于基础题．7.答案：C解析：解：−120°的弧度数−120×π180=−2π3故应选C．考查角度制与弧度制的转化，属于基本知识型题．8.答案：A解析：解：如图，记∠COP=α，在Rt△OBC中，OB=2cosα，BC=2sinα，在Rt△OAD中，OA=√33DA=√33BC=√33×2sinα．所以AB=OB−OA=2cosα−2√33sinα．设矩形ABCD的面积为S，则S=AB⋅BC=(2cosα2√33sinα)⋅2sinα=4sinαcosα4√33sin2α=2sin2α+2√33cos2α−2√33=4√3sin(2α+π6)−2√33．由于0<α<α3，所以当2α+π6=π2，即α=π6时，S最大=√3−2√33=2√33．因此，当α=π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为2√33．故选：A．如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．9.答案：2√3π解析：解：如图，取BC中点O，在△ABC和△BCD中，∵CA=AB=BC=CD=DB=2，∴AO=DO=2√3，在△AOD中，AO=DO=2√3，又AD=2√6，∴cos∠AOD=AO2+DO2−AD22⋅AO⋅DO =√3)2√3)2√6)22×2√3×2√3=0，则∠AOD=π2，∴将该三棱锥以BC为轴转动，到点A落到平面α内时，A、D两点所经过的路程都是以O为圆心，以OA为半径的14圆周，∴A、D两点所经过的路程之和是12×2π×OA=2√3π．故答案为：2√3π．由题意画出图形，可得∠AOD为直角，求出OA的长度，然后利用圆的周长公式求解．本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查了空间想象能力和理解能力，训练了圆的周长公式的应用，是中档题．10.答案：解析：解析：试题分析：扇形面积公式，即(必须为弧度制)．考点：扇形面积公式．11.答案：解析：12.答案：解：终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ,k∈Z}．解析：直接写出终边在x轴上的角的集合即可．本题考查轴线角，是基础题．13.答案：−900°解析：解：分针走过2小时30分，是2.5周角，角度数是2.5×360°=900°；又分针是顺时针旋转，转过的角是−900°．故答案为：−900°．根据分针走过2小时30分，是2.5周角，结合分针是顺时针旋转，转过的角是负角，求出即可．本题考查了角度制的推广与应用问题，是基础题．14.答案：解：时针经过1小时旋转了30°，则经过4h，时针旋转了120°，为2π；3分针经过1小时，旋转了360°，则经过4h，分针旋转了1440°，为8π．解析：分别求出经过1小时时针与分针各转的度数，乘以4得到经过4h时针、分针各转的度数，进一步转化为弧度制．本题考查象限角与轴线角，考查实际问题中时针、分针的旋转大小问题，是基础题．15.答案：解：设这条弧所在圆的半径为r，则50=200×π180r，解得r=45π．解析：直接利用弧长公式即可本题考查了利用弧长公式求圆半径，属于基础题．16.答案：解：设扇形面积为s，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为l−2r，所以S=12(l−2r)r=−(r−l4)2+l216．故当r=l4，且α=2时，扇形面积最大．解析：设扇形的弧长，然后，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可．本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识，属于基础题．。
(word完整版)高中数学必修三期末测试题(2021年整理)
(word完整版)高中数学必修三期末测试题(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(word完整版)高中数学必修三期末测试题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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必修三期末测试题考试时间：90分钟 试卷满分:100分一、选择题：本大题共14小题，每小题4分,共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．如果输入n ＝3，那么执行右图中算法的结果是( ). A ．输出3B ．输出4C ．输出5D ．程序出错，输不出任何结果2．一个容量为1 000的样本分成若干组，已知某组的频率为0。
4，则该组的频数是（ ). A ．400B ．40C ．4D ．6003．从1,2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数,两个数都是奇数的概率是（ ). A ．61B ．41C ．31D ．214．用样本估计总体,下列说法正确的是（ ）. A ．样本的结果就是总体的结果 B ．样本容量越大,估计就越精确C ．样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态D ．数据的方差越大，说明数据越稳定 5．把11化为二进制数为（ ）. A ．1 011（2）B ．11 011(2）C ．10 110(2)D ．0 110(2）6．已知x 可以在区间[－t ，4t ］(t ＞0)上任意取值,则x ∈［－21t ，t ］的概率是( ）.(word 完整版)高中数学必修三期末测试题(word 版可编辑修改)A ．61 B ．103C ．31D ．217．执行右图中的程序，如果输出的结果是4,那么输入的只可能是( )。
2020-2021学年高二数学下学期期末测试卷03(人教B版2019选择性必修第三册)(全解全析)
2020–2021学年高二下学期期末测试卷03数学·全解全析1．C 【解析】根据等比数列的性质得5123453a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=，由对数运算化简即可．解：因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且39a =所以3132333435log log log log log a a a a a ++++()()()()55103123453333log log log 9log 310a a a a a a =⋅⋅⋅⋅====.故选：C ． 【点睛】对数运算的一般思路：（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 2．D 【解析】首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围．依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以()22()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对称性可知，()812f =，故48m ≤≤．故选：D ． 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．3．D 【解析】由等差数列求和公式整理可得1n n a a +<，确定{}n a 为递增数列；根据871a a <-可判断数列前7项为负，由此得到结果.由()11n n n S nS ++<得：()()()()1111122n n n n a a n n a a +++++<，整理可得：1nn aa +<，∴等差数列{}n a 为递增数列，又871a a <-，80a ∴>，70a <， ∴当7n ≤且n *∈N 时，0n a <；当8n ≥且n *∈N 时，0n a >；n S ∴有最小值，最小值为7S .故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列前n 项和的最值问题，解题关键是能够确定等差数列中由负变正或由正变负的项. 4．A 【解析】 令()()cos f x F x x=，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，再把不等式化为()3cos cos 3f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，结合单调性和定义域，即可求解.由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<，令()()cos f x F x x=，则()()()2'cos sin '0cos f x x f x xF x x+=< 函数()()cos f x F x x=是定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，由于cos 0x >，关于x 的不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()3cos cos 3f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()3F x F π⎛⎫<⎪⎝⎭，所以22x ππ-<<且3x π<，解得23x ππ>>， 不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数()f x 和()f x '满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）()()()()f x g x f x g x ''±型；（2）()()xf x nf x '+型；（3）()()(f x f x λλ±为常数)型. 5．D 【解析】分析得出0a <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得知1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，再由()()1f x f n =、()()2f x f m =结合因式分解可得出结论.当0a ≥时，()230f x x a '=+≥，此时，函数()f x 在R 上为增函数，当1x 、()2,x m n ∈时，()()1f x f n <，()()2f x f m >，不合乎题意，所以，0a <. 由()0f x '=可得3ax =±-当3a x或3ax 时，()0f x '>；当33a ax时，()0f x '<. 所以，函数()f x 的单调递增区间为,3a ⎛-∞-- ⎝，,3a ⎫-+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为,33a a ⎛--- ⎝. 对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，()()min f x f m =，()()max f x f n =，又当1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，所以，1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，则13a x =--，23a x =-，由()()1f x f n =可得3311x ax b n an b ++=++，可得()()33110x n a x n -+-=， 即()()221110x n x nx n a -+++=，因为1x n ≠，则22110x nx n a +++=，13a x =--213a x =-，所以，221120n nx x +-=，即()()1120n x n x -+=， 所以，120n x +=，同理可得220m x +=， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出1x 、2x 为函数()f x 的极值点；（2）利用等式()()1f x f n =，()()2f x f m =结合因式化简得出结果. 6．A 【解析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可.数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===，所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点. 7．B 【解析】分析：由题意首先求得{}n a 的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果. 详解：由题意,11222n nn a a a A n-+++=12n +=，则1112222n n n a a a n -++++=⋅，很明显14a =n ⩾2时,()21212212n n n a a a n --+++=-，两式作差可得：()()11221212n n n n n a n n n -+=--=+，则a n =2(n +1),对a 1也成立，故a n =2(n +1)， 则a n −kn =(2−k )n +2， 则数列{a n −kn }为等差数列，故S n ⩽S 6对任意的*n N ∈恒成立可化为： a 6−6k ⩾0,a 7−7k ⩽0；即()()62207220k k ⎧-+≥⎪⎨-+≤⎪⎩，解得：16773k ≤≤.实数k 的取值范围为16773⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.本题选择B 选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 8．B 【解析】先求得函数()f x 的零点,表示出()g x 的零点,根据“n 距零点函数”的定义,求得()g x 的零点取值范围.通过分离参数,用()g x 的零点表示出a .构造函数,利用导函数研究函数的单调性和最值,即可求得a 的取值范围.因为()f x 与()g x 互为“1距零点函数”. 且当()()2020log 10f x x =-=时,2x =设()20xg x x ae =-=的解为0x 由定义n αβ-<可知, 021x -<解得013x <<而当()20xg x x ae =-=时, 020x x a e =令()()020001,3,x x h x x e =∈则()()020000,2'1,3x x x h x x e-=∈ 令()0'0h x =,解得02x =或00x =（舍）所以当012x <<时,()0'0h x >, ()0200x x h x e =单调递增且()11h e =当023x <<时, ()0'0h x <,()0200x x h x e =单调递减,且()393h e =所以()()02max 42h x h e ==即()0214,hx e e ⎛⎤∈⎥⎝⎦则214,a e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选:B 【点睛】本题考查了函数新定义的应用,利用导数分析函数的单调性与最值,利用分离参数和构造函数法求参数的取值范围,属于难题. 9．BCD 【解析】根据周期函数的定义判定选项A ；根据奇偶性的定义判断选项B ；根据导函数取得正负的区间判断C ；根据导函数取得零点的值判断D 选项.对于A 选项：()()()+2+2+2sin +2sin x x f x e x ex f x ππππ==≠，所以函数()f x 不是周期为2π的函数，故选项A 错误； 对于B 选项：()f x 的定义域为R ，()()()sin sin xxf x e x e x f x --=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数，故B 正确；对于C 选项：当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()sin x f x e x -=，()()'cos sin >0x f x e x x -=-，所以函数()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增， 当30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin xf x e x =，()()'sin +cos >0x f x e x x =，所以函数()f x 在30,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以函数()f x 在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，故C 正确； 对于D 选项：当[)0,10x π∈时，()sin xf x e x =，()()'sin +cos x fx e x x =，令()()'sin +cos 0x f x e x x ==，得()+1,2,3,4,5,6,7,8,9,104x k k ππ=-=，当()100x π∈-，时，()sin xf x e x -=，()()'cos sin x f x e x x -=-，令()()'cos sin 0x f x e x x -=-=，得()+1,2,3,4,5,6,7,8,9,104x k k ππ==----------，所以在()10,10ππ-，使导函数'0f x的点有20个，且这20个点是变号零点，所以函数()f x 在()10,10ππ-内有20个极值点，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性， 考查综合分析求解与论证能力，属于较难题. 10．ACD 【解析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案.对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C 正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018aa a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确； 故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 11．ACD 【解析】化简函数()f x ，对A 选项，利用轴对称的意义验证并判断；对B ，C 选项，换元借助导数求解并判断；对D 选项，利用对称性、周期性计算并判断.依题意有222[2)]2()(sin cos )44()sin cos 22)2sin()244x x x x f x x x x x ππππ+++===+++++ 对于A 选项：22222()2()2cos 2cos 22()()44cos 2cos 2sin()2sin()222x x x x f x f x x x x x ππππππ+-+==-==++++-即()()44f x f x ππ+=-，()f x 的图像关于直线4x π=对称，A 正确；对于B 选项：,0,sin()24x t x ππ⎛⎫∈-=+ ⎪⎝⎭在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，22t <<，22()2t g t t =+， 2222)()(2)t g t t '=+202t -<<时()0g t '<，202t <<时()0g t '>，即()g t 在22(22-不单调，由复合函数单调性知，()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，即B 错误；对于C 选项：令sin(),4t x x R π=+∈，则22()[1,1]2t g t t t =∈-+，2222)()(2)t g t t '=+， ()g t 在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，min ()(0)0g t g ==，2(1)2221g -==+-2(1)2221g ==+ max ()(1)22g t g =-=()g t 的值域是[0,22]，()f x 的值域是[0,22]，C 正确；对于D 选项：由已知得2222()843sin ()42)2)0344sin()24x x x x ππππ+=⇔+-+-=+，解得22sin()43x π+=-或sin()224x π+=舍去)， 由()424x k x k k Z πππππ+=+⇒=+∈得函数sin()4y x π=+图象在区间450,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦且确保22sin()4x π+=成立的，对称轴为(,10)4x k k N k ππ*=+∈≤，22sin()43x π+=-在450,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有11个根1211,,,x x x ，数列1{}(,10)i i x x i N i *++∈≤构成以1255242x x ππ+=⋅=为首项，2π为公差的等差数列， 1231101101151(222)10910221125i i i x x x x x x x πππ+=++++=+=⋅+⋅⋅=⋅+∑，D 正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：涉及关于正(余)弦的三角方程的根的和，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键. 12．BD 【解析】根据取整函数的性质可得数列{}n a 为递增数列，根据整数的性质可得131n n a a +=-，从而可求数列{}n a 的通项，从而可判断AB 的正误，利用二项式定理可判断C 的正误，从而可判断D 的正误.211515222a +-+===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，31104142554a +-⎡==+=⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 由题可得n a 为正整数，故211552222n nn n n n n a a a a a a a ++-⎡⎤⎡⎤=≥=+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 所以数列{}n a 为递增数列， 故当2n ≥时，22n a a ≥=．又当2n ≥时，()2221924022n n n a a a ---=-<即2122n n a a -<-， 故22115222310n n n n n a a a a a +-----=<即215231n n na a a +--<2155232n n n n na a a a a +-+<=，结合31n a -、3n a 均为正整数可得2115231n n n na a a a ++-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中2n ≥， 而2131a a =-，故131n n a a +=-，其中1n ≥. 故111322n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又111022a -=≠，故102n a -≠，故112312n n a a +-=-，故数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，3为公比的等比数列， 因此111322n n a --=⨯，()11312n n a -=+，因此A 错误，B 正确．又()10092019201820203101131331222a⋅-++⋅+===()01009110081007210081009100910091009310101010112C C C C ⋅-+-+-+=()010091100810072100910091009310101010093022C C C ⋅-+-+⨯-=()010091100810072100910091009310101010003013042C C C ⋅-+-+⨯=++，因为()01009110081007210091009100931010101000302C C C ⋅-+-+⨯为10的倍数，故2020a 的个位数为4，因此C 错误．设2020104a k =+，则()202131041301130101a k k k =+-=+=++， 故2021a 的个位数为1，因此D 正确. 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：以取整函数为背景的数列的递推关系，需结合递推关系的形式和整数的性质挖掘新的隐含的递推关系，从而把问题转化为常见的递推关系，与个位数或余数有关的问题，多从二项式定理去考虑. 13．60【解析】根据数列的规律，先将数列分组，第一组1个数，第二组3个数，⋅⋅⋅，第n 组21n -个数，分别计算出各组数的和，计算出n 组数的项数和，令这个项数和为120列方程，解方程求出组数为6，然后求前6组数的和即可.将此数列分组，第一组：112，共121-项；第二组：2222123321++==22222-，共221-项的和；第三组：333333333123456728721=2222222222-++++++==，共321-项的和;⋅⋅⋅第n 组：()2121234562121=2222222222n n n n n n n n n n n n -⨯--++++++⋅⋅⋅+=⨯，共21n -项的和； 由()()()()()12321+21+21++21221120n nn ---⋅⋅⋅-=⨯--=，解得n=6,因此前120项之和正好等于前6组之和，()66212161+++22621212122260226222⨯-⋅⋅⋅-----++⋯+===， 故答案为：60. 【点睛】本题考查数列求和问题，考查观察能力，考查化归与转化的思想，属于中档题. 14．9 【解析】由题设得2n n a =，可得n S ，进而写出12nn n S S +的通项，应用裂项相消法求212231222...n n n S S S S S S ++++，最后由不等式成立，找到使不等式成立的边界值n ，即可确定其最小正整数值.由题设知：2log (1)2nn n a F =-=∴12(12)2212n n n S +⨯-==--，而1212122111()(22)(22)22222n n n n n n n n S S +++++==-----， ∴2233412122312221111111...(...)2222222222222n n n n n S S S S S S ++++++=-+-++-------22111()22222n +=---，即221112()222221200n n +-<--， ∴112121300n n +-<-，当n =8时，左边510511=，右边256300=，显然不等式不成立；当n =9时，左边10221023=，右边512300=，显然不等式成立， 故最小正整n 数的值9. 故答案为：9. 【点睛】关键点点睛：应用裂项相消法求不等式左边的和，利用特殊值找到使不等式成立的边界值，即可求最小正整数n 的值. 15．①②③⑤ 【解析】利用导数的单调性和极值，逐个讨论每个命题即可22ln '(),0xf x x x-=>，令'()0f x =，有2x e =， 20x e <<时，'()0f x >，2x e >时，'()0f x <，()220f e e -=>，又x e >时，()0f x >，而()0f e =，故()f x 有且只有一个零点，①正确；导数为0的点附近的导数值符号不同，故2e 为极值点，从而②正确； 令21()()2h x f x e -=-，由上面分析知，()h x 在()2,e e 上必有一个零点，()33402e h e e -=>， ()244602e h e ρ-=<，故必有一个零点，所以，12,(0,)x x ∃∈+∞，()()120h x h x ==，即()()21212f x f x e -==，所以，③正确；取21x e =，为极大值也为最大值，不存在2x 使得()()12f x f x <，④错误；令2ln 1ln 1()11x x g x x x x-+=--=-， 2ln '()0,01xg x x x=<<<，所以，()(1)0g x g >=，所以，⑤正确； 故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查导数单调性和极值问题，主要考查学生的数形结合能力，属于难题16．122,236⎡+⎢⎣⎦【解析】通过换元，3()()(33)1f x g m m t m ==+-+，用导数探究得{}()max (1),(1)M t g t g =--，进而可得不等式的解集.因为323()3333(1)(33)(1)1f x x x tx t x t x =-+-+=-+--+， 令[]11,1m x =-∈-，则3()()(33)1f x g m m t m ==+-+，()22()3(33)31g m m t m t '=+-=+-，因为(0,1)t ∈，令()0g m '=得1m t =--，或1m t =- 列表m1-(1,1)t --- 1t -- (1,1)t t ---1t - (1,1)t -1()g m '+-+()g m 33t -极大值极小值31t -因为函数()g m 的图象关于点(0,1)对称，且(1)330g t -=->，所以(1)0g t -->，结合表格和简图可知，{}()max (1),(1)M t g t g =--，所以()(()()3201012221221112111232211311t t M t g t t t g t ⎧⎧⎪⎪<<<<⎪⎪⎪⎪≤+⇔-≤⇔-+≤+⇔≤≤+⎨⎨⎪⎪⎪⎪≤+-≤+⎪⎪⎩⎩，故2()12M t ≤+122,236⎡+⎢⎣⎦. 故答案为：122,23⎡+⎢⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：用导数探究得{}()max (1),(1)M t g t g =--. 17．（1）y x =；（2）存在；1a y e x -=或1y x a -=-． 【解析】（1）当1a =时，()1x f x e-=，()1x f x e-'=，故()11k f ='=，再根据点斜式方程求解即可；（2）设直线与曲线()y f x =相切于点()11,A x y ，与曲线()y g x =相切于点()22,B x y ，则根据切点在切线上，也在曲线上得()11122211ln x a x a x a e x x b e e x x ---⎧=---⎪⎨⎪--=----⎩①②，整理得()()12110x x --=，再分当11x =时和21x =时两种情况求解即可.（1）当1a =时，()1x f x e-'=，()11f =，()11f '=曲线()y f x =在点()1,1处的切线方程为：()()()111y f f x -='-， 代入整理得：y x =.（2）设直线与曲线()y f x =相切于点()11,A x y ，与曲线()y g x =相切于点()22,B x y ，()x af x e-'=，()1g x x'=曲线()y f x =在点A 处的切线为：()111x ax a y e e x x ---=-与曲线()y g x =相切于点B ，则()11122211ln x a x a x a e x x b e e x x ---⎧=---⎪⎨⎪--=----⎩①②由①得：1221lnln x a x x -==-，则21ln x a x =- 将121x aex -=、21ln x a x =-代入②得：()1212211a x b x x x x ---=-，当11x =时，()111aa y ee x ---=-，即1a y e x -=当21x =时，12ln 0a x x -==，1x a =，因此1y x a -=-，即1y x a -=- 存在这样的直线，直线为1a y e x -=或1y x a -=- 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键在于把握切点即在曲线上又在切线上且切点处的导数值为切线的斜率这三个方面列方程求解，考查运算求解能力，是中档题. 18．（1）证明见解析；（2）最大自然数6n =. 【解析】（1）根据题中条件，可得1112n a +--的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得1122n n a -=-，则可得2n n b =，根据错位相减求和法，可求得n S 的表达式，根据n S 的单调性，代入数值，分析即可得答案.解：（1）∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--， ∴()()1116323346312311122162262822224n n n nn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--， ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，1122n n a -=-， 即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---，()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ，∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<，87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握. 19．（1）314a =，11b =；（2）12n n b -=；（3）见详解. 【解析】（1）根据题中条件，得到312232653a a a b a a +=⎧⎨=-⎩，求出3a ，2a ，进而可得1b ；（2）根据题中条件，得到()211323n n n n a a a a +++=--，推出数列{}n b 是以2为公比的等比数列，进而可求出通项公式；（3）由（2）先得()()222121nn n n c +=--，利用裂项相消的方法求出n S ，进而可得结论成立.（1）因为2165n n n a a a +++=，()*13n n n b a a n +=-∈N ， 所以312232653a a a b a a +=⎧⎨=-⎩，又11a =，22b =，所以32326532a a a a +=⎧⎨-=⎩，解得23414a a =⎧⎨=⎩，所以12131b a a =-=；（2）由2165n n n a a a +++=可得211263n n n n a a a a +++=--，即()211323n n n n a a a a +++=--， 又()*13n n n b a a n +=-∈N ，所以12n n bb +=，则数列{}n b 是以2为公比的等比数列，又11b =，所以12n nb -=；（3）由（2）可得()()()()()()()()21221321212111321212121n nn n n n n n n n n b c b b ++++++---===⨯------211132121n n +⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭， 因此{}n c 的前n 项和为32435211111111132121321213212111321211n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+-+-+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪--⎝--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭23234511111111132121121321212121n n +⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭121212211111111144113213239121212121321n n n n n n +++++++-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=--=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝-⎝⎭⎭因为*n ∈N ，所以121102121n n +++>--，则12112124493911n n n S ++⎛⎫=-< ⎪⎝⎭+--， 又121121211493n n n S ++⎛⎫=-+- ⎝-⎪⎭显然单调递增， 所以127n S S ≥=， 综上2479n S ≤<. 【点睛】 结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列； （2n k nn n k+-=++（3）指数型()11nn n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-. 20．（1）()1f x x =+；（2）极大值为()01g =，无极小值；（3）()1,323,2e e ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）先根据题意得()1,0P m -，进而得切线斜率1k =，故()1f x x m =-+，再根据()12f =求得m ，进而得解析式； （2）由（1）()1xx g x e +=，求导得()'x xg x e -=，进而根据导数与极值的关系即可得答案； （3）将不等式整理变形得：存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，进而转化为()()min max 2h x h x <，再研究函数()h x 的单调性得()0,a x e ∈时，函数()h x 为减函数，(),+a x e ∈∞时，函数()h x 为增函数，再分0a ≤，01a <<，1a ≥三种情况讨论求解即可得答案.解：（1）令()ln 0y x m =+=解得1x m =-，故点()1,0P m -， 对函数()ln y x m =+求导得1'y x m=+， 所以曲线()ln y x m =+在点P 处的切线斜率为111k m m==-+，所以曲线()ln y x m =+在点P 处的切线方程为：1y x m =-+，即：()1y f x x m ==-+， 又因为()12f =，故2m =， 所以()y f x =的解析式()1f x x =+. （2）由（1）知()()1x x f x x g x e e+==，函数定义域为R ， 所以()'xxg x e -=，故当()0,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减，当(),0x ∈-∞时，()'0g x >，()g x 单调递增， 所以函数()g x 在0x =处取得极大值，极大值为()01g =，无极小值.（3）因为()()222222222222ln 1ln 1ln 1ln x x a x x x x x a x x x +-++-+=()()2222222211ln 1ln 1ln 1ln 111a x a x x x x x ⎛⎫+-+ ⎪+-+⎝⎭==， 故不等式()()21222222ln 1ln h x x x a x x x <+-+等价于()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为[]211,e x ∈ ，故存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以只需()()min max 2h x h x <成立即可.所以()()()()222ln 1ln ln 1ln 'x a x a x a x h x x x -++---==， 因为[]1,x e ∈时，[]ln 0,1x ∈，故[]ln 11,0x -∈-所以当()0,ax e∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，(),+a x e ∈∞时，()'0h x >，函数()h x 为增函数所以（i ）当0a ≤时，()'0h x >在[]1,e 恒成立，故函数()h x 在[]1,e 单调递增，故()()()()min max 311,a h x h h x h e e -====，所以32ae-<，解得32a e <-； （ii ）当01a <<时，()1,a x e ∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，(),a x e e ∈时，()'0h x >，函数()h x 为增函数，故()()min 1a a a h x h e e+==，()()(){}max3,033max 1,max 1,1,31aa e a h x h h e ee e a -⎧<<--⎪⎧⎫===⎨⎬⎨⎩⎭⎪-≤<⎩，所以，当03a e <<-时，132a a a e e+-<，即()()1213a a a e -+<-， 令()()()1213a m a a a e-=+--，()11'22a a m a e ae --=-+，()()111''10a a a m a e ae a e ---=-+=-<，故()'m a 在()0,1单调递减，()()()''3'10m a m e m a >->=>，故()m a 在()0,1单调递增， 所以()m a 在()0,3e -上也单调递增，()()3020m a m e>=->， 与()()()12130a m a a a e -=+--<矛盾，无解当31e a -≤<时，121a a e+<，即()21a a e +<，所以()210a a e +-<， 令()()21ak a a e =+-，()'2ak a e =-，令()'20ak a e =-=得ln 2a =， 故当0ln 2a <<时，()'0k a >，函数()k a 单调递增， 当ln 21a <<时，()'0k a <，函数()k a 单调递减， 由于()()()()01,140k a k k a k e >=>=->， 故函数()k a 在()0,1的函数值恒大于0，故当31e a -≤<时，()0k a >，与()210aa e +-<矛盾，无解；（iii ）当1a ≥时，[]1,x e ∈时，()'0h x <，函数()h x 为减函数，故()()()()max min 311,a h x h h x h e e -====，所以()231a e-<，解得132a e >-； 综上，实数a 的取值范围是()1,323,2e e ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查导数的几何意义，极值，不等式能成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，综合分析问题与解决问题的能力，是难题.本题第三问解题的关键在于对已知不等式变形转化为存在实数[]21,11,x e x ∈使()1212h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，进而只需()()min max 2h x h x <成立即可，再分类讨论求函数的最值即可.21．（1）3a =；（2）15,33a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）由解析式得到导函数()f x '，结合3x =是函数()f x 的一个极值点，()30f '=即可求a 的值； （2）由题设分析知，在[]0,2x ∈内有()()max min 23f x f x -≤，结合已知2a <，讨论0a ≤、01a <<、1a =、12a <<分别求a 的范围，然后求并集即可.解：（1）由函数解析式知：()()21f x x a x a =-++'，由题意，得()()39310f a a '=-++=，故3a =. 经检验，3a =满足题意.（2）由已知，当2a <时，只需[]0,2x ∈，()()max min 23f x f x -≤. ()()()()211f x x a x a x x a =-++=--'.①当0a ≤时，()f x 在[]0,1单减，在[]1,2单增. 所以()()min 5162a f x f ==+，而()01f =，()523f =，故()max 53f x =. 所以()()maxmin 5523623a f x f x -=--≤，解得13a ≥（舍去）.②当01a <<时，()f x 在[]0,a 单增，在[],1a 单减，在[]1,2单增. 由于()()2203f f -=，所以只需()()()()210fa f ff ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即()()2144013a a a a ⎧+-+≥⎪⎨≥⎪⎩， 所以113a ≤<. ③当1a =时，()()2'10f x x =-≥，()f x 在[]0,2单增， 所以()()()()max min 2203f x f x f f -=-=，满足题意. ④当12a <<时，()f x 在[]0,1单增，在[]1,a 单减，在[],2a 单增. 由于()()2203f f -=，所以只需()()()()120f f f a f ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即533a a ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩，所以513a <≤. 综上，知：15,33a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般应用极值点处的导数为0列方程；函数在闭区间内任意两个函数值的差小于定值转化为最值间的距离小于该定值，（1）当0x x =有极值则0()0f x '=，即可得有关参数的方程；（2）[]12,,x x a b ∀∈，()()12f x f x λ-≤恒成立转化为[],x a b ∈，()()max min f x f x λ-≤； 22．（1）2m >；（2）不存在，理由见解析；（3）答案见解析. 【解析】（1）根据题意得到()111m +->，()211m m -+>，再解不等式组即可；（2）首先假设存在等差数列{}n a 符合要求，从而得到()1n d n -<成立，再分类讨论1n =和1n >的情况，即可得到答案.（3）首先设数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=，根据题意得到()1110n n n n n a a a q a a q +-=-=->>，从而得到211122a a -为最小项，同理得到211122a a -为最小项，再利用“K 数列”的定义得到11a =，3q =或12a =，2q，再分类讨论即可得到答案.（1）由题意得()111m +->，()211m m -+>，解得2m >，所以实数m 的取值范围是2m >.（2）假设存在等差数列{}n a 符合要求，设公差为d ，则1d >， 由11a =-，得()12n n n S n d -=-+， 由题意，得()21122--+<-n n n d n n 对*N n ∈均成立，即()1n d n -<. ①当1n =时，d R ∈； ②当1n >时，1n d n <-， 因为11111n n n =+>--， 所以1d ≤，与1d >矛盾，所以这样的等差数列不存在. （3）设数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q-=，因为{}n a 的每一项均为正整数，且()1110n n n n n a a a q a a q +-=-=->>， 所以在{}1n n a a --中，21a a -为最小项. 同理，11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中，211122a a -为最小项. 由{}n a 为“K 数列”，只需211a a ->，即()111a q ->， 又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，且211122a a -为最小项， 所以2111122a a -≤，即()112a q -≤， 由数列{}n a 的每一项均为正整数，可得()112a q -=， 所以11a =，3q =或12a =，2q.①当11a =，3q =时，13-=n n a ，则31nn b n =+，令()*1N n n n c b b n +=-∈，则()()1332132112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++， 又()()()()()()21232134863302312213n n nn n n n n n n n n n n +++++⋅-⋅=⋅>+++++++， 所以{}n c 为递增数列，即121n n n c c c c -->>>>，所以21333122b b -=-=>， 所以对于任意的*N n ∈，都有11n n b b +->，即数列{}n b 为“K 数列”. ②当12a =，2q时，2nn a =，则121n n b n +=+.因为21213b b -=≤， 所以数列{}n b 不是“K 数列”.综上：当11a =，3q =时，13-=n n a ，数列{}n b 为“K 数列”，当12a=，2q时，2nna=，数列{}n b不是“K数列”.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式，同时考查了分类讨论的思想，属于难题.。
最新人教版高中数学必修三测试题及答案全套
最新人教版高中数学必修三测试题及答案全套阶段质量检测（一）（A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列给出的赋值语句正确的有( ) ①2＝A ； ②x ＋y ＝2； ③A －B ＝－2； ④A ＝A *AA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B 对于①，赋值语句中“＝”左右不能互换，即不能给常量赋值，左边必须为变量，右边必须是表达式，若改写为A ＝2就正确了；②赋值语句不能给一个表达式赋值，所以②是错误的，同理③也是错误的，这四种说法中只有④是正确的．2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )a ＝1b ＝3a ＝a ＋b b ＝a －bPRINT a ，bA ．1 3B ．4 1C ．0 0D ．6 0解析：选B 输出a ＝1＋3＝4，b ＝4－3＝1. 3．把二进制数10 110 011(2)化为十进制数为( ) A ．182 B ．181 C ．180D ．179解析：选D 10 110 011(2)＝1×27＋0×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝128＋32＋16＋2＋1＝179.4．下图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ≤－1，0， －1＜x ≤2x 2， x ＞2的值的程序框图，则在①、②和③处应分别填入的是( )A．y＝－x，y＝0，y＝x2B．y＝－x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝－xD．y＝0，y＝－x，y＝x2解析：选B当x＞－1不成立时，y＝－x，故①处应填“y＝－x”；当x＞－1成立时，若x＞2，则y＝x2，即②处应填“y＝x2”，否则y＝0，即③处应填“y＝0”．5．下面的程序运行后的输出结果为()A．17 B．19C．21 D．23解析：选C第一次循环，i＝3，S＝9，i＝2；第二次循环，i＝4，S＝11，i＝3；第三次循环，i＝5，S＝13，i＝4；第四次循环，i＝6，S＝15，i＝5；第五次循环，i＝7，S＝17，i＝6；第六次循环，i＝8，S＝19，i＝7；第七次循环，i＝9，S＝21，i＝8.此时i＝8，不满足i＜8，故退出循环，输出S＝21，结束．6．下面的程序运行后，输出的值是( )i ＝0DOi ＝i ＋1LOOP UNTIL 2^i ＞2 000 i ＝i －1PRINT i ENDA ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 由题意知，此程序为循环语句，当i ＝10时，210＝1 024；当i ＝11时，211＝2 048＞2 000，输出结果为i ＝11－1＝10.7．下列程序框图运行后，输出的结果最小是( )A ．2 015B ．2 014C ．64D ．63解析：选D 由题图知，若使n (n ＋1)2＞2 015，n 最小为63.8．(全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A ．7B ．12C．17 D．34解析：选C第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，结束循环，s＝17.9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A．55 B．89C．144 D．233解析：选B初始值：x＝1，y＝1，第1次循环：z＝2，x＝1，y＝2；第2次循环：z＝3，x＝2，y ＝3；第3次循环：z＝5，x＝3，y＝5；第4次循环：z＝8，x＝5，y＝8；第5次循环：z＝13，x＝8，y ＝13；第6次循环：z＝21，x＝13，y＝21；第7次循环：z＝34，x＝21，y＝34；第8次循环：z＝55，x ＝34，y＝55；第9次循环：z＝89，x＝55，y＝89；第10次循环时z＝144，循环结束，输出y，故输出的结果为89.10.(四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()A．9B．18C．20 D．35解析：选B由程序框图知，初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，第一次循环：v＝4，i＝1；第二次循环：v＝9，i＝0；第三次循环：v＝18，i＝－1.结束循环，输出当前v的值18.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．459与357的最大公约数是________．解析：459＝357×1＋102,357＝102×3＋51,102＝51×2，所以459与357的最大公约数为51. 答案：5112．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则log 28⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝________.解析：log 28＜⎝⎛⎭⎫12－2，由题图，知log 28⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝3⊗4＝4－13＝1.答案：113．(山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________．解析：第1次循环：a ＝0＋1＝1，b ＝9－1＝8，a ＜b ，此时i ＝2； 第2次循环：a ＝1＋2＝3，b ＝8－2＝6，a ＜b ，此时i ＝3； 第3次循环：a ＝3＋3＝6，b ＝6－3＝3，a ＞b ，输出i ＝3. 答案：314．(天津高考改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为________．解析：S＝4不满足S≥6，S＝2S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2；n＝2不满足n＞3，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3；n＝3不满足n＞3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4；n＝4满足n＞3，输出S＝4.答案：4三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．)15．(本小题满分12分)如图是求1＋12＋13＋…＋1100的算法的程序框图．(1)标号①②处应分别是什么？(2)根据框图用“当”型循环语句编写程序．解：(1)①k＜101？(k＜＝100？)②S＝S＋1k. (2)程序如下：16．(本小题满分12分)以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图．解：算法语句每一步骤对应于程序框图的步骤，其框图如下：17．(本小题满分12分)画出求12－22＋32－42＋…＋992－1002的值的程序框图．解：程序框图如图所示：18．(本小题满分14分)已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)．(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值；(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少？(3)写出程序框图的程序语句．解：(1)由程序框图知：当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝－2；当x＝9时，y＝－4，所以t＝－4；(2)当n＝1时，输出一对，当n＝3时，又输出一对，…，当n＝2 015时，输出最后一对，共输出(x，y)的组数为1 007；(3)程序框图的程序语句如下：（B卷能力素养提升）（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．算法的每一步都应该是确定的，能有效执行的，并且得到确定的结果，这是指算法的( ) A ．有穷性 B ．确定性 C ．普遍性 D ．不唯一性 答案：B2．已知函数y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x ＋1，x <0，输入自变量x 的值，输出对应的函数值．设计程序框图时，需用到的基本逻辑结构是( )A ．顺序结构B ．条件结构C ．顺序结构、条件结构D ．顺序结构、循环结构 答案：C3．用“辗转相除法”求得360和504的最大公约数是( ) A ．72 B ．36 C ．24D ．2520解析：选A 504＝360×1＋144,360＝72×5＋0，故最大公约数是72. 4．若十进制数26等于k 进制数32，则k 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．8解析：选D 由题意知，26＝3×k 1＋2，解得k ＝8.5．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A ．3B ．11C ．38D ．123解析：选B 根据框图可知第一步的运算为：a ＝1＜10，满足条件，可以得到a ＝12＋2＝3，又因为a＝3＜10，满足条件，所以有a＝32＋2＝11，因为a＝11＞10，不满足条件，输出结果a＝11.6．对于下列算法：如果在运行时，输入2，那么输出的结果是()A．2,5 B．2,4C．2,3 D．2,9解析：选A本题主要考查条件语句的应用．输入a的值2，首先判断是否大于5，显然2不大于5，然后判断2与3的大小，显然2小于3，所以结果是b＝5，因此结果应当输出2,5.7．根据下面的算法，可知输出的结果S为()第一步，i＝1；第二步，判断i＜10是否成立，若成立，则i＝i＋2，S＝2i＋3，重复第二步，否则执行下一步；第三步，输出S.A．19 B．21C．25 D．27解析：选C该算法的运行过程是：i＝1，i＝1<10成立，i＝1＋2＝3，S＝2×3＋3＝9，i＝3<10成立，i＝3＋2＝5，S＝2×5＋3＝13，i＝5<10成立，i＝5＋2＝7，S＝2×7＋3＝17，i＝7<10成立，i＝7＋2＝9，S＝2×9＋3＝21，i＝9<10成立，i＝9＋2＝11，S＝2×11＋3＝25，i＝11<10不成立，输出S＝25.8．按下列程序运行的结果是()A．10.5 B．11.5C．16 D．25解析：选D A＝4.5，第一个条件结构中的条件不满足，则B＝6－3＝3，B＝3＋2＝5；而第二个条件结构中的条件满足，则B＝5×5＝25，所以运行结果为25.9．如图是求x1，x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为()A．S＝S*(n＋1)B．S＝S*x n＋1C．S＝S*nD．S＝S*x n解析：选D由题意知，由于求乘积，故空白框中应填入S＝S*x n.10．(全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝()A．0 B．2C．4 D．14解析：选B a＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．将二进制数110 101(2)化成十进制数，结果为________，再转为七进制数，结果为________．解析：110 101＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1＝32＋16＋0＋4＋0＋1＝53.110 101(2)＝104(7)．答案：53104(7)12．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________．解析：第一次进入循环体有T ＝0＋0，第二次有T ＝0＋1，第三次有T ＝0＋1＋2，……，第n 次有T ＝0＋1＋2＋…＋n －1(n ＝1,2,3，…)，令T ＝n (n －1)2>105，解得n>15，故n ＝16，k ＝15.答案：1513．输入8，下列程序执行后输出的结果是________．解析：∵输入的数据为8，t ≤4不成立， ∴c ＝0.2＋0.1(8－3)＝0.7. 答案：0.714．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．解析：第1次循环：s ＝1＋(1－1)＝1，i ＝1＋1＝2；第2次循环：s ＝1＋(2－1)＝2，i ＝2＋1＝3；第3次循环：s ＝2＋(3－1)＝4，i ＝3＋1＝4；第4次循环：s ＝4＋(4－1)＝7，i ＝4＋1＝5.循环终止，输出s 的值为7.答案：7三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)阅读下列两个程序，回答问题． ①x ＝3 y ＝4 x ＝y PRINT x ，y END(1)上述两个程序的运行结果是：①________________；②_____________________________________________. (2)上述两个程序中的第三行有什么区别？ 解：(1)两个程序的运行结果是①4 4；②3 3；(2)程序①中的x ＝y 是将y 的值4赋给x ，赋值后，x 的值变为4，程序②中的y ＝x 是将x 的值3赋给y ，赋值后y 的值变为3.16．(本小题满分12分)用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ，当x ＝3时的值．解：f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ， v 0＝7，v 1＝7×3＋6＝27， v 2＝27×3＋5＝86， v 3＝86×3＋4＝262， v 4＝262×3＋3＝789， v 5＝789×3＋2＝2 369， v 6＝2 369×3＋1＝7 108， v 7＝7 108×3＋0＝21 324， ∴f (3)＝21 324.17．(本小题满分12分)在音乐唱片超市里，每张唱片售价25元，顾客购买5张(含5张)以上但不足10张唱片，则按九折收费，顾客购买10张以上(含10张)唱片，则按八五折收费，编写程序，输入顾客购买唱片的数量a ，输出顾客要缴纳的金额C .并画出程序框图．②x ＝3 y ＝4 y ＝x PRINT x ，yEND解：由题意得C ＝⎩⎪⎨⎪⎧25a ，a <5，22.5a ，5≤a ＜10，21.25a ，a ≥10.程序框图，如图所示：程序如下：18．(本小题满分14分)设计一个算法，求f(x)＝x 6＋x 5＋x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1，当x ＝2时的函数值，要求画出程序框图，并写出程序．解：则程序框图为：程序为：S ＝0i ＝0WHILE i ≤6S ＝S ＋2^i i ＝i ＋1WEND PRINT S END阶段质量检测（二）（A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是( )A ．分层抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，分层抽样C ．分层抽样，系统抽样D ．简单随机抽样，系统抽样解析：选D 由抽样方法的概念知选D.2．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是( )A ．09,14,19,24B ．16,28,40,52C ．10,16,22,28D ．08,12,16,20解析：选B 分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．选项B 正确．3．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为( )A ．193B ．192C ．191D ．190解析：选B 1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，求得n ＝192.4．某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝－10x ＋200，则下列结论正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－10C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量在100件左右解析：选D y 与x 具有负的线性相关关系，所以A 项错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C 错误，D 正确；B 项中－10是回归直线方程的斜率．5．设有两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，它们的平均数分别是x 和y ，则新的一组数据2x 1－3y 1＋1,2x 2－3y 2＋1，…，2x n －3y n ＋1的平均数是( )A ．2x －3yB ．2x －3y ＋1C ．4x －9yD ．4x －9y ＋1解析：选B 设z i ＝2x i －3y i ＋1(i ＝1,2，…，n )，则z ＝1n (z 1＋z 2＋…＋z n )＝2n (x 1＋x 2＋…＋x n )－3n (y 1＋y 2＋…＋y n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋…＋1n ＝2x －3y ＋1.6．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A ．85,85,85B ．87,85,86C ．87,85,85D ．87,85,90解析：选C ∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为110(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.7．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得的他们某月交通违章次数的数据制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )A ．1B ．1.8C ．2.4D ．3解析：选B5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×450＝1.8.8．下表是某厂1～4月份用水量情况(单位：百吨)的一组数据：用水量y 与月份x 之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ＝－0.7x ＋a ，则a 的值为( ) A ．5.25 B ．5 C ．2.5D ．3.5解析：选A 线性回归方程经过样本的中心点，根据数据可得样本中心点为(2.5,3.5)，所以a ＝5.25. 9．在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84 B ．84,1.6 C ．85,1.6D ．85,4解析：选C 去掉一个最高分93，去掉一个最低分79，平均数为15×(84＋84＋86＋84＋87)＝85，方差为15[(85－84)2＋(85－84)2＋(85－86)2＋(85－84)2＋(85－87)2]＝1.6.10．图甲是某县参加2017年高考学生的身高条形统计图，从左到右各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10{如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数}，图乙是统计图甲中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )A ．i ＜6?B ．i ＜7?C ．i ＜8?D ．i ＜9?解析：选C 由图甲可知身高在160～180 cm 的学生都在A 4～A 7内，∴i ＜8. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为____件．解析：设乙设备生产的产品总数为x 件， 则4 800－x 50＝x80－50，解得x ＝1 800，故乙设备生产的产品总数为1 800件． 答案：1 80012．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；[25.9,26.2)，8；[26.2,26.5)，8；[26.5,26.8)，4，则样本在[25,25.9)上的频率为________．解析：[25,25.9)包括[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；频数之和为20，频率为2040＝12.答案：1213．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表法抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：____________________，_______，_______，_______，_______. (下面摘取了随机数表第7行至第9行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54解析：选出的三位数分别为331,572,455,068,877,047,447，…，其中572,877均大于500，将其去掉，剩下的前5个编号为331,455,068,047,447.答案：331 455 068 047 44714．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1， ∴a ＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x ，y ，z 人，则x100＝0.030×10，解得x ＝30.同理，y ＝20，z ＝10.故从[140,150]的学生中选取的人数为1030＋20＋10×18＝3.答案：0.030 3三、解答题(本大题共4题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分12分)某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99； 乙：110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 解：(1)甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样法． (2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100， x乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100， s 2甲＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43， s 2乙＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝228.57， ∴s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品比较稳定． 16．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数． 解：由分组[10,15)的频数是10，频率是0.25， 知10M ＝0.25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3.故p ＝3M ＝340＝0.075.因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商， 所以a ＝2540×5＝0.125.(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.17．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的．对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5. a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果知所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 010)＋a ^＝6.5(x －2 010)＋3.2. 即y ^＝6.5(x －2 010)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为 6．5×(2 016－2 010)＋260.2 ＝6.5×6＋260.2 ＝299.2(万吨)．18．(本小题满分14分)(四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a ×0.5， 解得a ＝0.30.(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000. (3)设中位数为x 吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，所以2≤x＜2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．（B卷能力素养提升）(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是() A．分层抽样B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样答案：D2．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是()A．长方体的体积与边长B．大气压强与水的沸点C．人们着装越鲜艳，经济越景气D．球的半径与表面积解析：选C A、B、D均为函数关系，C是相关关系．3．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民．这2 500名城镇居民的寿命的全体是()A．总体B．个体C．样本D．样本容量答案：C4．已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号最方便的是()A．1,2，…，106 B．0,1,2，…，105C．00,01，…，105 D．000,001，…，105解析：选D由随机数抽取原则可知选D.5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为()A ．18B ．36C ．54D ．72解析：选B 易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36. 6．对一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋c (i ＝1,2,3，…，n )，其中c ≠0，则下面结论中正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，而方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化解析：选B 设原来数据的平均数为x －，将它们改变为x i ＋c 后平均数为x ′，则x ′＝x －＋c ，而方差s ′2＝1n[(x 1＋c －x －－c )2＋…＋(x n ＋c －x －－c )2]＝s 2.7．某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 甲班学生成绩的众数为85，结合茎叶图可知x ＝5；又因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y ＝3，即x ＋y ＝5＋3＝8.8．相关变量x ，y 的样本数据如下表：经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝1.1x ＋a ，则a ＝( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3D ．0.4 解析：选C ∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，且由题意得(x ，y )＝(3,3.6)，∴3.6＝1.1×3＋a ，∴a ＝0.3.9．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为( )①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选D因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，①也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，①正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，①正确．10．已知数据：①18,32，－6,14,8,12；②21,4,7,14，－3,11；③5,4,6,5,7,3；④－1,3,1,0,0，－3.各组数据中平均数和中位数相等的是()A．①B．②C．③D．①②③④解析：选D运用计算公式x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)，可知四组数据的平均数分别为13,9,5,0.根据中位数的定义：把每组数据从小到大排列，取中间一位数(或两位的平均数)即为该组数据的中位数，可知四组数据的中位数分别为13,9,5,0.故每组数据的平均数和中位数均对应相等．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×280560＋420＝160.答案：16012．(山东高考)下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5，25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．解析：设样本容量为n，则n×(0.1＋0.12)×1＝11，所以n＝50，故所求的城市数为50×0.18＝9.答案：913．(江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：解析：对于甲，平均成绩为x －＝90，所以方差为s 2＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，对于乙，平均成绩为x －＝90，方差为s 2＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.由于2<4，所以乙的平均成绩较为稳定．答案：214．某班12位学生父母年龄的茎叶图如图所示，则12位同学母亲的年龄的中位数是________，父亲的平均年龄比母亲的平均年龄多________岁.解析：由41＋432＝42，得中位数是42.母亲平均年龄＝42.5， 父亲平均年龄为45.5，因而父亲平均年龄比母亲平均年龄多3岁． 答案：42 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：[107,109)3株；[109,111)9株；[111,113)13株； [113,115)16株；[115,117)26株；[117,119)20株； [119,121)7株；[121,123)4株；[123,125]2株． (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？ 解：(2)频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109,121)范围内的可能性是91%.16．(本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？解：(1)作出茎叶图如下：(2)x 甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x 乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41， ∵x甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．17．(本小题满分12分)某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这些服装件数x 之间有如下一组数据：已知∑i ＝17x 2i ＝280，∑i ＝17x i y i ＝3 487， (1)求x ，y ；(2)求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程； (3)每天多销售1件，纯利y 增加多少元？ 解：(1)x ＝17(3＋4＋5＋…＋9)＝6，y ＝17(66＋69＋…＋91)≈79.86.(2)设回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^＝∑i ＝17x i y i －7x － y－∑i ＝17x 2i －7x2＝3 487－7×6×79.86280－7×62≈4.75. a ^＝y －b x －≈79.86－4.75×6＝51.36. ∴所求的回归直线方程为y ^＝51.36＋4.75x .(3)由回归直线方程知，每天多销售1件，纯利增加4.75元．18．(本小题满分14分)某地统计局就该地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000，1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽多少人？解：(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15. (2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1， 0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2， 0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25， 0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－(0.1＋0.2)0.000 5＝2 000＋400＝2 400(元)．(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×(3 000－2 500)＝0.25， 所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)．再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25(人)．阶段质量检测（三）（A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( ) A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件D ．必然事件解析：选B 根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．2．已知集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B ．12C.13D ．16解析：选C 从A ，B 中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中和为4的有(2,2)，(3,1)，共2种情况，所以所求概率P ＝26＝13.3．在区间[－3,3]上任取一个实数，所得实数是不等式x 2＋x －2≤0的解的概率为( ) A.16 B ．13C.12D ．23解析：选C 由x 2＋x －2≤0，得－2≤x ≤1， 所求概率为1－(－2)3－(－3)＝12.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( )A.13 B ．16C.12D ．14解析：选B 设正方体的体积为V ，则四棱锥O ABCD 的体积为V6，所求概率为V 6V ＝16.5．从{}a ，b ，c ，d ，e 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a ，b ，c 子集的概率是( ) A.35 B ．25C.14D ．18解析：选C 符合要求的是∅，{}a ，{}b ，{}c ，{}a ，b ，{}a ，c ，{}b ，c ，{}a ，b ，c 共8个，而集合{}a ，b ，c ，d ，e 共有子集25＝32个，∴P ＝14.6．(全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13B.12C.23D.56解析：选C 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，故选C.7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝17内部的概率是( )A.19 B ．29C.13D ．49解析：选B 点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆x 2＋y 2＝17内部只有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝2，共8种，故概率为29.8．甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每人值班1天，则甲排在乙的前面值班的概率是( ) A.16 B ．14C.13 D ．12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为甲，乙，丙；甲，丙，乙；丙，甲，乙；丙，乙，甲；乙，甲，丙；乙，丙，甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.9．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个卡片，从中无放回．．．地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于．．．14的概率为( )A.128 B ．156C.356D ．114 解析：选D 从中无放回地取2次，所取号码共有56种，其中和不小于14的有4种，分别是(6,8)，(8,6)，(7,8)，(8,7)，故所求概率为456＝114.10．小莉与小明一起用A ，B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏，以小莉掷的A 立方体朝上的数字为x ，小明掷的B 立方体朝上的数字为y 来确定点P (x ，y )，那么他们各。
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吉林省实验中学2010—2011学年度高二上学期期末质量检测数学文试题命题人：赵晓玲 审题人：李盘喜 王凯一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合01x A x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}03B x x =<<，那么“m ∈A”是“m ∈B”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知复数i a z 21+=，i z 432-=，若21z z 为实数，则实数a 的值为 A ．38B ．38-C ．23 D ．23-3.对于两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：),(11y x ，),(22y x ，…，),(n n y x ，下列说法中错误的是A.由样本数据得到的回归方程a bx y+=ˆ必过样本中心点),(y x B.残差的平方和越小的模型，拟合的效果越好 C.用2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明拟合效果越好D.若样本点呈条状分布，则变量y 和x 之间具有比较好的线性相关关系 4.已知命题041,:2<+-∈∀x x R x p ，命题2cos sin ,:=+∈∃x x R x q ，则下列判断正确的是A. p 是真命题B. q 是假命题C. p ⌝是假命题D. q ⌝是假命题5.一个路口的信号灯，绿灯亮40秒后，黄灯亮5秒，然后红灯亮30秒，那么一辆车到达 这个路口时，遇到红灯的概率为A. B. C. D.6.某重点高中高二历史会考前，进行了五次历史会考模拟考试，某同学在这五次考试中成绩如下：90 ，90 ，93 ，94 ，93 ，则该同学的这五次成绩的平均值和方差分别为 , 2 B. 92 , C. 93 , 2 ,7.在吸烟与患肺癌这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是①若2K 的观测值满足635.62≥K ，我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌；（参考数据：()01.0635.62=≥K P ）②从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺癌；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺癌有关系时，是指有5%的可能性使推断出现错误。
A.①B.①③C.③D.②8.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 ° °°D. 120°9.设()y f x '=是函数()y f x =的导函数，()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能的是A B C D10.过点(2,4)M 作直线l ，与抛物线28y x =只有一个公共点，满足条件的直线有 A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条11.设21,F F 是双曲线12222=-by a x （a>0，b>0）的两个焦点，点P 在双曲线上，若021=⋅PF PF )(22221b a c ac PF PF +==，则双曲线的离心率为A ．251+ B ．231+ C ．2 D ．221+ 12．已知两点M （－5，0），N （5，0），若直线上存在点P ，使6=-PN PM ，则称该直线为“B 型直线”。
给出下列直线 :①1+=x y , ②2=y , ③x y 34=, ④x y 2=, 其中为“B 型直线”的是A ．①③B ．①②C ．③④D ．①④二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。
13.抛物线x y 82-=的焦点坐标为 .14. 已知i 为虚数单位，复数z =a +1+( a -1) i 对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是 . xy O 1 2x y y x y xy x O 1 2 O 1 2 O 1 21 2 O15.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的值k = .16.若函数()322f x x x ax =-+-在区间1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内是增函数，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分）已知a>0，设命题p ：函数1()xy a=为增函数，命题q ：当1[,2]2x ∈时，函数11()f x x x a=+>恒成立，如果命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，求实数a 的取值范围。
18．(本小题满分12分） 为了让学生更多地了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛。
为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计。
请你根据下面的频率分布表，解答下列问题：序号 （i ） 分组 （分数）本组中间值 ()i G 频数 （人数）频率 ()i F 1[)60,70 65 ① 12.0 2 [)70,80 75 20 ② 3 [)80,90 85 ③ 24.0 4 []90,100 95 ④ ⑤ 合 计 50 1（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参赛的800名学生中大概有多少同学获奖？（3）请根据频率分布表估计该校高二年级参赛的800名同学的平均成绩。
19．(本小题满分12分）初一年级 初二年级初三年级 女生 373 x y 男生377370z如果在全校学生中随机抽取1名学生，抽到初二年级女生的概率是。
（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校学生中抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）已知,245,245≥≥z y 求初三年级中女生比男生多的概率。
20．(本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点坐标为()0,2，离心率为23. （1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 且斜率为1的直线交椭圆于A 、B 两点，求2ABF ∆的面积.21.(本小题满分12分） 已知函数3211()(1)()32f x x a x ax a R =+-+∈ （1）若()f x 在2x =处取得极值，求()f x 的单调递增区间； （2）若()f x 在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a 的取值范围.22.(本小题满分12分）已知点(3,0)P ，点A 、B 分别在x 轴负半轴和y 轴上，且0=•，点C 满足2AC BA =，当点B 在y 轴上移动时，记点C 的轨迹为E 。
（1）求曲线E 的方程；（2）过点Q （1，0）且斜率为k 的直线l 交曲线E 于不同的两点M 、N ，若D(1-,0),且DM ·DN ＞0，求k 的取值范围。
参考答案2D 3C 4D 5B 6B 7C 8B 9C 10C 11A 12B 13.()0,2- 14 .11<<-a 15.4 16．13a ≥17．解：若q p ∨为真，q p ∧为假，则p 、q 一真一假；-----2分若p 为真，则11>a，10<<∴a ------3分 若p 为假，则1≥a ------------4分 若q 为真，则()21≥+=x x x f ，2121><∴a a 即------5分 若q 为假，则210≤<a ------6分 若p 真q 假，则210≤<a ------7分若p 假q 真，则1≥a ---------8分a ∴的取值范围是：[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛,121,0 ------------------10分18. 解：（1）①为6，②为4.0，③为12，④为12⑤为24.0．------5分 （2）28880024.024.021=⨯+⨯）（，即在参加的800名学生中大概有288名同学获奖．--------9分（3）8124.09524.0854.07512.065=⨯+⨯+⨯+⨯ 估计平均成绩为81分。
------------12分19. （1）38019.02000=⨯=x （名）---------4分（2）由题意和（1）可知，初一、初二年级各有学生750名，初三年级学生为2000-750-750=500（名），故采取分层抽样方法在全校抽取48名学生，应在初三年级级抽取12482000500=⨯（名）-----------8分 （3）当,245,245≥≥z y 时，初三年级中男、女生人数的所有可能组合为： 男生245246247248249250251252253254255女生255254253252251250249248247246245所在可能组合有11种，其中女生比男生多的组合有5组，故初三年级中女生比男生多的概率为.115-----------12分 20.（1）设椭圆的方程为()012222>>=+b a by a x ， ………………………1分由题意，1,3,23,2222=-==∴==c a b c a c a ………………………3分 ∴椭圆的方程为2214x y += …………………………………………4分 （2）()()0,3,0,321F F -，设()()2211,,,y x B y x A ，则直线AB 的方程为3+=x y ．……………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322y x x y ，消x 得013252=--y y …6分 ∴()25324,51,532212212212121=--=--==+y y y y y y y y y y ∴52421=-y y ………………………10分 ∴212122112122121211211y y F F y F F y F F S S S F BF F AF ABF -⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆ =5645243221=⨯⨯ ………………………………………12分 21．解：()()21f x x a x a '=+-+--------2分 （1）∵()f x 在2x =处取得极值 ∴()20f '=∴()4210a a +-+= ∴23a =--------4分∴()25233f x x x '=-- ()123x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令()0f x '> 则()1203x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭ ∴2x >或13x <----5分 y F 2BAOF 1第20题图∴函数()f x 的单调递增区间为()1,,2,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭-------6分（2） ∵()f x 在()0,1内有极大值和极小值 ∴()0f x '=在()0,1内有两不等根对称轴12a x -=-∴()()010120010a f f >⎧⎪-⎪<-<⎪⎨⎪'>⎪'>⎪⎩ 即()2140110110a a a a a a ⎧=-->⎪⎪-<<⎨>⎪⎪+-+>⎩ --------10分∴0322a <<---------12分22.解：（1）设()()()(),00,0,,,A a a B b C x y <-------1分则()()(),,,,3,AC x a y BA a b BP b =-=-=- ∵0.BP BA = 2AC BA =∴23022a b x a a y b ⎧+=⎪-=⎨⎪=-⎩-----------4分 消去,a b 得24y x =- ∵0a < ∴30x a =< 故曲线E 的方程为()240y x x =-<-------6分（2）设直线l 方程为()1y k x =--------7分由()214y k x y x⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得()2222220k x k x k --+=--------8分 ∵直线l 交曲线E 于不同的两点M 、N ∴0> 即()22224240k k k =--> ∴21k < ①----------9分设M ()11,x y ，N ()22,x y 则()()11221,,1,DM x y DN x y =+=+∴ ()212212221k x x k x x ⎧-⎪+=⎨⎪=⎩ ∴()()121211DM DN x x y y =+++-------10分()()()121212111x x x x k x k x =++++-- ()()()2221212111k x x k x x k =++-+++22840k k -=> 解得212k > ② ----------11分 由①②联立解得：1212<<k ∴ 212k -<<-或212k <<----------12分。