数学物理方程举例和基本概念优秀课件
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数学物理方程02线性偏微分方程的分类公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
a12 a11 a22
a1*1
a11
(
x
)2
2a12
x
y
a22
(
y
)2
a11 x
a22
y
2
0
由此推出
a1*2
a11
x
x
a12 ( x
y
x
y
)
a22
y
y
a11 x
a22
y
a11 x
a22
y
0
21
数学物理方程
而
a2*2
a11
(
x
)2
2a12
x
y
a22
(
y
)2
0
所以，方程（1）可改写为
(f)exuxx e yuyy u
29
数学物理方程
2、求出下列各方程旳通解，并代回原方程来检验是否有解：
(a)x2uxx 2xyuxy y2uyy xyux y2uy 0
(b)yuxx c2 yuyy 2c2uy 0 （c为常数）
(c) uxx
1 c2
u yy
0
（c为常数）
(d)uxx 3uxy 2uyy 0
u( x, y) (x, y)
数学物理方程
u( ,)
复合求导
u u u x x x u u u y y y
2u 2u ( )2 2 2u 2u ( )2 u 2 u 2
x2 2 x
x x 2 x x2 x2
2u 2u 2u 2u u 2 u 2
u 0
u(x, y) g( y ) y h( y )
x
x
25
例2 utt a2uxx 0
数学物理方程PPT讲义
解的存在性：是研究在一定的定解条件下，方程是否有解。
从物理意义上来看，对于合理的提出问题，解的存在似乎 不成问题，因为自然现象本身给出了问题的答案。 在数学上对解的存在性进行证明的必要性 从自然现象归结出偏微分方程时，总要经过一些近似的过 程，并提出一些附加的要求。 对于比较复杂的自然现象，有时也很难断定所给的定解条 件是否过多，或者互相矛盾。
(1) (2)
u方向
由于是微小的横振动，所以
cos 2 cos1 1
sin 2 tan2 ux xdx
sin 1 tan1 ux
x
u
1
T1 o x
2 T 2
x+dx
x
那么，有(1)可知张力T只与位置有关，且
1 T ( x) xdx 2 (l 2 x 2 ) x 2
不含初始条件，只含边界条件条件
注意：初始条件必须写完整，也就是要把整个体系所有点的初始态都写出来。
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量 在边界上的数值，即
三 类 边 界 条 件
u S f (t )
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边 界外法线方向上方向导数的数值，即
如果定解问题的解是稳定的，那么就可断言，只要定 解条件的误差在一定的限制之间，我们所得的解就必然 近似于所需要的解。
2、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
Lui fi
f
i
f
u u
i
Lu f
i
u
Lu 0
Lui 0
u
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。(物理上)
数学物理方程课件.
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小结
x
k
(待定系数法)
(1) f ( x ) e Pm ( x ), (可以是复数）
y x e Qm ( x );
x
( 2) f ( x ) e x [ Pl ( x ) cosx Pn ( x ) sinx ],
r1 j ,
x
r2 j ,
x
y1 e cos x, y2 e sin x,
方程的通解为
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
y py qy 0
特征根的情况
r pr q 0
通解的表达式
2
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
可设 Q( x ) Qn ( x ),
y* Qn ( x )e x ;
( 2) 若是特征方程的单根，
p q 0,
2
2 p 0,
y* xQn ( x )e x ;
可设 Q( x ) xQn ( x ),
( 3) 若是特征方程的重根，
p q 0,
2.
x y py qy Pn ( x )e
设非齐方程特解为 y* Q( x )e x
代入原方程
Q( x ) (2 p)Q( x ) ( 2 p q )Q( x ) Pn ( x )
2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0,
1 A 2 , 代入方程, 得 2 Ax B 2 A x B 1 1 2x
数学物理方程课件
三、方程的化简
步骤：第一步：写出判别式 断方程的类型；
a122 a11a22 ，根据判别式判
第二步：根据方程（1）写如下方程
a11 ( dy 2 dy ) 2a12 a22 0 dx dx (2)
称为方程（1）的特征方
程。方程（2）可分解为两个一次方程
dy a12 dx a11 (3)
第二节一维齐次波动方程的cauchy问题
一、D’Alembert公式 考虑无界弦的自由振动（cauchy问题即初值问题）
utt a 2u xx , x , t 0, u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
解:(1)化标准形，然后求通解
数学物理方程
第一章方程的一般概念
第一节方程的基本概念
Hale Waihona Puke 定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为
偏微分方程。 一般形式：
F ( x1 , x2 ,, xn , u, ux , ux ,, uxn , ux x , ) 0
1 2 1 1
其中u 为多元未知函数，F是 x1 , x2 ,, xn , u u的有限个偏导数的已知函数。
波动方程
热传导方程
utt a2uxx f ( x, t )
ut a uxx f ( x, t )
2
位势方程
f ( x, y ) 0, Laplace方程 u xx u yy f ( x, y ) f ( x, y ) 0, Poisson方程
第二节二阶线性偏微分方程的分类
2 x at c1 x at dx 2 a 0 x at c x at dt 2
数学物理方程举例和基本概念PPT课件
数学物理问题的研究繁荣起来是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的 解决做出了贡献。如：Fourier（ 1811年） ，在研究热的传播中，提出了三维 空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。Cauchy 给出了第一个关于解的存在定理，开创了PDE的现代理论。到19世纪末，二阶 线性PDE的一般理论已基本建立，PDE这门学科开始形成。
非齐次
3
2u t 2
a2
2u x 2;2阶 线性源自齐次42u t 2
a2
4u x4
f
x,t;
4阶
线性
非齐次
7 8
u
x
u
v y v
0 ;
0
1阶 线性 齐次
y x
t u
u u
x u
c2
u x
0 0
;
t x x
1阶 非线性 拟线性
5
1
u y
2
2u x2
2
u x
u y
解的稳定性： 当定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变 动， 则称该定解问题的解是稳定的，否则称之为不稳定的。
如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件中的初始数据 或边界数据，则称该定解问题是适定的，否则称它是不适定的.
注：对不适定问题的研究也是非常有意义的！
例如：在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题中. 例如： 对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始
流热量Q2与物体内部的源所产生的热量Q3之和，即
Q1 Q2 Q3 .
⑹ 费克Fick定律：粒子流强度q与浓度的下降率成正比，即q ku
扩散定律 其中，k为扩散系数，负号表示浓度减少的方向。
非齐次
3
2u t 2
a2
2u x 2;2阶 线性源自齐次42u t 2
a2
4u x4
f
x,t;
4阶
线性
非齐次
7 8
u
x
u
v y v
0 ;
0
1阶 线性 齐次
y x
t u
u u
x u
c2
u x
0 0
;
t x x
1阶 非线性 拟线性
5
1
u y
2
2u x2
2
u x
u y
解的稳定性： 当定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变 动， 则称该定解问题的解是稳定的，否则称之为不稳定的。
如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件中的初始数据 或边界数据，则称该定解问题是适定的，否则称它是不适定的.
注：对不适定问题的研究也是非常有意义的！
例如：在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题中. 例如： 对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始
流热量Q2与物体内部的源所产生的热量Q3之和，即
Q1 Q2 Q3 .
⑹ 费克Fick定律：粒子流强度q与浓度的下降率成正比，即q ku
扩散定律 其中，k为扩散系数，负号表示浓度减少的方向。
数学物理方程 ppt课件
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
ppt课件
于是有
T2 =T1=T ρuttdx=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]
化简后得到
ρutt = T uxx utt = a2 uxx
uxxdx
a2 = T/ρ
6
波动方程
推广1
情况：受迫振动（考虑重力或外力）
分析：设单位长度所受到的横向外力 F(x,t)，则dx段的受力为Fdx
方程：ρutt = T问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的 变化。 分析：扩散现象遵循扩散定律，即q= - D▽ u，q是扩散流强 度，D是扩散系数，▽u是浓度梯度。对于三维扩散问题， 考察单位时间内小体积元dxdydz的净流入量。
z
dz
y
dy
dx
x
o
ppt课件
9
扩散方程
在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为
分析：设弦平衡时沿x轴，考虑 弦上从x到x+dx的一段，其质 量为ρdx。设弦的横振动位移 为u(x,t)，则
α1
B
A
α2
C
ppt课件
由牛顿第二定律
ρdxutt=T2sinα2- T1sinα1 0 = T2 cosα2- T1 cosα1
微振动条件
cosα1 = cosα2= 1 sinα1 = tanα1 = ux(x,t) sinα2= tanα2 = ux(x+dx,t)
大学数学物理方程课件
其中p(x)、q(x)和f(x)是已知函数，分别表示y'的导数、y的导数和f(x)的系数。
二阶线性常微分方程的解法
要点一
总结词
要点二
详细描述
求解二阶线性常微分方程的方法主要有分离变量法、常数 变易法、积分因子法等。
求解二阶线性常微分方程的方法有多种，其中分离变量法 是通过将方程中的未知函数和自变量分离，将方程转化为 两个一阶常微分方程进行求解；常数变易法是将方程中的 常数项视为变量，通过代换将其转化为一个等价的二阶线 性常微分方程进行求解；积分因子法则是通过引入一个积 分因子，将原方程转化为一个全微分方程进行求解。
有限元方法
将连续的偏微分方程问题离散化为有限个单元，然后 利用变分原理求解。
偏微分方程的应用实例
热传导问题
描述热量在物体中的传播，如温度分布、热传导 速率等。
波动问题
描述波动现象，如声波、电磁波、水波等。
流体动力学问题
描述流体运动规律，如流体速度、压力、密度等。
总结与展望
07
本章小结
内容回顾
1
大学数学物理方程课件
目 录
• 引言 • 数学物理方程基础知识 • 一阶常微分方程 • 二阶线性常微分方程 • 高阶线性常微分方程 • 偏微分方程简介 • 总结与展望
01
引言
课程简介
课程名称
大学数学物理方程
适用对象
大学本科生，特别是物理、工程和数学专业的 学生
课程目标
培养学生掌握数学物理方程的基本概念、方法和应用，提高解决实际问题的能 力。
变量代换法
通过引入新变量简化方程，适用于难以直接 求解的复杂问题。
积分变换法
利用积分将微分方程转化为易于求解的初值 问题。
二阶线性常微分方程的解法
要点一
总结词
要点二
详细描述
求解二阶线性常微分方程的方法主要有分离变量法、常数 变易法、积分因子法等。
求解二阶线性常微分方程的方法有多种，其中分离变量法 是通过将方程中的未知函数和自变量分离，将方程转化为 两个一阶常微分方程进行求解；常数变易法是将方程中的 常数项视为变量，通过代换将其转化为一个等价的二阶线 性常微分方程进行求解；积分因子法则是通过引入一个积 分因子，将原方程转化为一个全微分方程进行求解。
有限元方法
将连续的偏微分方程问题离散化为有限个单元，然后 利用变分原理求解。
偏微分方程的应用实例
热传导问题
描述热量在物体中的传播，如温度分布、热传导 速率等。
波动问题
描述波动现象，如声波、电磁波、水波等。
流体动力学问题
描述流体运动规律，如流体速度、压力、密度等。
总结与展望
07
本章小结
内容回顾
1
大学数学物理方程课件
目 录
• 引言 • 数学物理方程基础知识 • 一阶常微分方程 • 二阶线性常微分方程 • 高阶线性常微分方程 • 偏微分方程简介 • 总结与展望
01
引言
课程简介
课程名称
大学数学物理方程
适用对象
大学本科生，特别是物理、工程和数学专业的 学生
课程目标
培养学生掌握数学物理方程的基本概念、方法和应用，提高解决实际问题的能 力。
变量代换法
通过引入新变量简化方程，适用于难以直接 求解的复杂问题。
积分变换法
利用积分将微分方程转化为易于求解的初值 问题。
数学物理方程-典型方程和定解条件名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
运动时，弦上各点旳运动规律。
简化假设：
(1)柔软：弦上旳任意一点旳张力沿弦旳切线方向； 细：与张力相比可略去重力,弦旳截面直径与长度相比可忽视，弦视为曲
线 均匀：质量是均匀旳，线密度为常数。
(2)横振动：振动发生在同一平面内。若弦旳平衡位置为x轴，横向是指 弦上各点在同一平面内垂直于x轴旳方向运动；
x
x
即x点处的应变为 u(x,t) . x
若略去垂直杆长方向的变形，根据Hooke定律，弹(应)力P与应变 u x
成正比：P E u , E为杆的Young模量,故
x
2u t 2
E
2u x2
,
2u t 2
a2
2u x2
,
（其中a
E）.
例3、热传导方程
热传导现象：当导热介质中各点旳温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
☆ 特殊函数
在求解某些类型旳数理方程时，采用分离变量法所得到旳方程旳解 是某种特殊函数，例如贝塞尔(Bessel)函数、勒让德(Legendre)函 数等。其中有些特殊函数我们在“微积分”课程中已经学习而且研究 过其性质。在本课程中，我们只讨论它们在数理方程中旳应用问题。
☆ 课程旳内容： 三类方程、 四种求解措施、 二个特殊函数
t1 V
t
M V
S
热场
t2 k2udVdt t2 c udVdt
t1 V
t1 V
t
k2u c u u k 2u a22u （齐次）热传导方程 t t c
如果介质内部有热源，设单位时间内单位体积介质中产生的热量
为Fx, y, z, t ，由能量守恒定律有
t2 k2udVdt t2 FdVdt t2 c udVdt
简化假设：
(1)柔软：弦上旳任意一点旳张力沿弦旳切线方向； 细：与张力相比可略去重力,弦旳截面直径与长度相比可忽视，弦视为曲
线 均匀：质量是均匀旳，线密度为常数。
(2)横振动：振动发生在同一平面内。若弦旳平衡位置为x轴，横向是指 弦上各点在同一平面内垂直于x轴旳方向运动；
x
x
即x点处的应变为 u(x,t) . x
若略去垂直杆长方向的变形，根据Hooke定律，弹(应)力P与应变 u x
成正比：P E u , E为杆的Young模量,故
x
2u t 2
E
2u x2
,
2u t 2
a2
2u x2
,
（其中a
E）.
例3、热传导方程
热传导现象：当导热介质中各点旳温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
☆ 特殊函数
在求解某些类型旳数理方程时，采用分离变量法所得到旳方程旳解 是某种特殊函数，例如贝塞尔(Bessel)函数、勒让德(Legendre)函 数等。其中有些特殊函数我们在“微积分”课程中已经学习而且研究 过其性质。在本课程中，我们只讨论它们在数理方程中旳应用问题。
☆ 课程旳内容： 三类方程、 四种求解措施、 二个特殊函数
t1 V
t
M V
S
热场
t2 k2udVdt t2 c udVdt
t1 V
t1 V
t
k2u c u u k 2u a22u （齐次）热传导方程 t t c
如果介质内部有热源，设单位时间内单位体积介质中产生的热量
为Fx, y, z, t ，由能量守恒定律有
t2 k2udVdt t2 FdVdt t2 c udVdt
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utt a2uxx f.
双曲型
2 反 映 输 运 过 程 的 热 传 导 或 扩 散 方 程 :
u t a 2 u f,其 中 是 L a p la c e 算 子 . 抛物型 典型方程
3 描 述 稳 定 过 程 或 状 态 ， 如 ： 引 力 势 和 静 电 势 满 足 的 P o i s s o n 方 程 ;
扩散定律 其 中 ， k 为 扩 散 系 数 ， 负 号 表 示 浓 度 减 少 的 方 向 。
❈ 一般说来，由于浓度的不均匀，物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移
，这种现象叫扩散。例如：气体、液体、固体中都有扩散现象。
⑺ 高 斯 Guass定 律 ： 通 过 任 一 闭 曲 面 S 的 电 通 量 ， 等 于 这 个 闭 曲 面 所 包 围 的
相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规 律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解。 例如：1780
年，Laplace在研究引力势的工作中提出了Laplace方程。 Euler与 Lagrange 在流体力学的工作中，Legendre和Laplace在天体力学的工作中都研究了调
0 a 2 u h ,其 中 是 L a p la c e 算 子 . 椭圆型
若 h 0 , 则 退 化 为 L a p l a c e 方 程 : u 0 .
② 数学物理方程的发展历史简述
偏微分方程理论的起源可追溯到十八世纪（微积分产生之后）， 人们将力
学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。 例如：1715年，泰勒（17
数学物理方程举例和基本概念
第一章 典型方程与定解条件
㈠ 引言 基 本 规 律 或 定 律 物 理 过 程 、 物 理 现 象
变化规律
空 间 位 置 x,y,z
物理量u
时
如：位移、时间、温度、
间
t
密度、场强，等等.
边界条件 初始条件
从数量形式上刻画了由相应 的物理定律所确立的某些物 理量之间的相互制约关系
自 由 电 荷 的 电 量 的 1倍 ， 即
SEdS1VdV,
其 中 ， 为 介 电 常 数 ， 为 电 荷 体 密 度 。
参考书目:
数学物理方程学习指导与习题解答 陈才生 科学出版社 2010年 数学物理方法学习指导 姚端正 科学出版社 2001年 数学物理方程与特殊函数 导教·导学·导考 张慧清 西北工业大学出版 社 2005年 数学物理方程与特殊函数学习指导与习题全解 赵振海 大连理工大学出 版社 2003年 数学物理方程与特殊函数学习指南 王元明 高等教育出版社 2004年
浓 度 变 化 所 需 增 加 或 减 少 的 质 量
等 于 从 t 1 到 t 2 这 段 时 间 内 进 入 或 流 出 物 体 内 部 的 净
流 热 量 Q 2 与 物 体 内 部 的 源 所 产 生 的 热 量 Q 3 之 和 ， 即 Q1 Q2 Q3.
⑹ 费 克 Fick定 律 ： 粒 子 流 强 度 q 与 浓 度 的 下 降 率 成 正 比 ， 即 q k u
⑴ 牛 顿 N e w t o n 第 二 定 律 ： F m a ;
⑵ 胡 克 H ook e定 律 ： 在 弹 性 限 度 内 ， 弹 性 体 的 张 应 力 单 位 横 截 面 上 的 内 力
和 张 应 应 变 力 弹 P 性 x 体 ,t的 相 杨 对 氏 伸 模 长 量 成 Y 正 比 相 ， 对 即 伸 长 u x x ,t
超星数字图书馆（注: 网络图书馆）
㈡ 方程的几个基本概念 ⑴ 数学物理方程：
① 定义：
主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有 时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。 例如：
1 描 绘 振 动 和 波 振 动 波 ， 电 磁 波 动 特 征 的 波 动 方 程 :
⑶ 热 传 导 F o u r ie r定 律 ： 在 d t 时 间 内 ， 通 过 面 积 元 d S 流 入 小 体 积 元 的 热 量 d Q
F o u r i e r 实 验 定 律 与 沿 面 积 元 外 法 线 方 向 n 的 温 度 变 化 率 u 成 正 比 ，
热流强度q
也 与 d t和 d S 成 正 比 ， 即
n
q k u n
dQ k udSdt, n
其 中 ， k 为 热 传 导 系 数 ， 由 物 体 的 材 料 决 定 。
⑷ 牛 顿 N e w to n 冷 却 定 律 ： 物 体 冷 却 时 放 出 的 热 量 k u ， 与 物 体 和 外 界 的
温 度 差 u 边 u 0 成 正 比 ， 即
和方程。 所有这些都丰富了这门学科的内容。
数学物理问题的研究繁荣起来是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的 解决做出了贡献。如：Fourier（ 1811年） ，在研究热的传播中，提出了三维 空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。Cauchy 给出了第一个关于解的存在定理，开创了PDE的现代理论。到19世纪末，二阶 线性PDE的一般理论已基本建立，PDE这门学科开始形成。
物 理 规 律 u u t,x ,y ,z
+ = 偏 微 分 方 程
泛定方程
定解条件
定解问题
确定系数
※ 泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。
☛ 在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。 —— 拉普拉斯
☛ 想述物理系统数学建模中常用的几个物理学定律：
46年，达朗贝尔）研究了弦线振动规律，归结为一维弦振动方程。 这一
讨论吸引了众多数学家的注意。 例如：欧拉（1759年）和丹·贝努利（1762年 ）在声波的研究中将该方程推广到二、三维。 这样就由对弦振动的研究开创 了数学物理方程这门学科。
随后，人们陆续地了解了流体的运动、弹性体的平衡与振动、热传导、电磁
k uHu边 u0
其 中 u 0 为 外 界 介 质 的 温 度 ， H 为 比 例 系 数 。
⑸ 热 量 质 量 守 恒 定 律 ： 物 体 D 内 部 各 点 温 度 由 任 一 时 刻 t 1 的 温 度 u x , y , z , t 1 变 化 为 t 2 的 温 度 u x , y , z , t 2 所 吸 收 或 放 出 的 热 量 Q 1 ，