第5章测试信号的相关分析

5.2.4互相关函数Ryx(τ)及ρyx(τ)的特性
① Ryx(τ)及ρyx(τ)描述了信号y(t)与x(t-τ)的相似性；其值 越大越相似。
② Ryx(τ)及ρyx(τ)具有对偶互易特性。将y(t),x(t)信号相 互易位，得x(t)与y(t)的互相关函数、系数为
2
) dt
为得到使
W y
取最小的k,令
W y k
0
有
-
2yt
k
xt
xt
dt
0
可得
k
yt xt dt
x2 t dt
yt xt x2 t dt
dt
Ryx
Wx
式中Wx为信号x(t)的总能量。
第5章 信号的相关分析
5.2.1能量信号的互相关函数
将（5.2-6）代入（5.2-5）得到最小的Wεy为
5.2.2功率信号的互相关函数
若x(t),y(t)为功率信号，则 y t, 也为功率信号。
其功率为
Py
lim
T
1 T
t0
T 2
2
t0
T 2
y
t,
dt
lim
T
1 T
t0
T 2
t0
T 2
yt
k x t
2
dt
令 P y 0
k
求得使Pεy取最小的比例因子为
k Ryx
Px
式中 Px
lim
T
1 T
x t0
T 2
2
t0
T 2
t
dt
是信号x(t)的平均功率
Ryx
lim
T
1 T
t0
T 2
t0
T 2
y(t
)
x(t
)dt
就是功率信号y(t)与x(t)的互相关函数。
第5章 信号的相关分析
5.2.2功率信号的互相关函数
定义
yx
Ryx
Px Py
为功率信号的归一化互相关函数（或叫互相关 系数）。易知
y(t) kx(t) (t)
就说y(t)与x(t)不完全相关。
第5章 信号的相关分析
5.1信号相关分析的主要任务
广义线性相关是指两信号构成线性运算关系
y(t) Ex(t)
将上式两端进行傅里叶变换有 Y(f ) H(f )X(f )
式中，线性运算E{}包括：时间延迟（超前）、比 例、微分、积分、加减组合。如…
定量评价y(t)与x(t-τ)相似性时要确定比例因子k，
取使 x t, y t, 最小是一种客观合理的方案。
第5章 信号的相关分析
5.2互相关函数 5.2.1能量信号的互相关函数
若x(t),y(t)为能量信号，则 y t, 为能量信号。其
能量为
Wy
2 y
t,
dt
y(t)
k
x(t
yx 1
其值越大，相似程度越高。
第5章 信号的相关分析
5.2.3周期信号的互相关函数
对于周期同为T的信号x(t),y(t)为，其不相似误差
y t, 也是T周期信号 。
Py
1 T
t0
T 2
2
t0
T 2
y
t,
dt 1 T
t0
T 2
t0
T 2
yt
k x t
2 dt
5.2互相关函数
也可将y(t),x(t)的关系表述为
x(t) y(t ) / k x (t, )
式中 x t, 是与y(t+τ)无比例关系的x(t)成分，显然
x (t, ) x(t) y(t ) / k
上式也反映了y(t)与x(t-τ)（也就是y(t+τ)与x（t)) 的不相似程度，可称为y(t+τ)与x(t)间基于x(t)的不相 似误差。
第5章 信号的相关分析
本章学习要求：
1.了解相关分析(correlation analysis)的主要任务 2.掌握互相关函数（cross-correlation function)和 自相关函数(autocorrelation function) 3.理解信号频谱的数字计算 4.了解维纳-欣钦定理 5.掌握互谱密度函数和互相干函数 6.掌握相关量的数字计算
如果 Ryx 取到最大值 Wy Wx 则 Wy 0 ，表明y(t) 与x(t-τ)完全相似，即y(t)=kx(t-τ).
第5章 信号的相关分析
5.2.1能量信号的互相关函数
定义
yx
Ryx
WxWy
为归一化互相关函数（或叫互相关系数）。易知
yx 1 其值越大，相似程度越高。
第5章 信号的相关分析
第5章 信号的相关分析
5.1信号相关分析的主要任务
信号相关分析就是分析信号间的关联，定量考察其 关系的密切程度。线性相关是一种工程应用广泛的重 要关系（例如）。通常说的相关分析就是指线性相关 分析。
狭义的线性相关是两信号构成比例关系。
y(t) kx(t)
此时y(t)与x(t)的波形完全相似，称为完全相关。 否则如果
y(t) kx(t ) y (t, )
式中 y t, 是与x(t-τ)无比例关系的y(t)成分，显然
y (t, ) y(t) kx(t )
上 式 反 映 了 y(t) 与 x(t-τ) 的 不 相 似 程 度 ， 可 称 为 y(t)与x(t)间基于y(t)的不相似误差。
第5章 信号的相关分析
互0
T 2
t0
T 2
y(t
)
x(t
)dt
归一化互相关函数 yx 的定义依然如（5.2-18）
所列，但其中
Px
1 T
x t0
T 2
2
t0
T 2
t
dt
Py
1 T
y t0
T 2
2
t0
T 2
t
dt
不难验证，互相关函数和系数也是周期为T的周期函数。
第5章 信号的相关分析
第5章 信号的相关分析
5.2互相关函数(cross-correlation function)
直接考虑信号x(t)、y(t)的相似性无疑是有用的。 但考虑y(t)与x(t)经各种时间滞后（超前）τ形成x(tτ)的相似性，将能更加全面地揭示y(t)与x(t)的关系。
任意两个信号y(t),x(t)的一般关系可表述为
Wy
Wy
Ry2x
Wx
可见，y(t)与x(t-τ)的不相似误差能量与信号Ryx(τ)
有明确的对应关系。即Ryx(τ)说明了y(t)与x(t-τ)的相似
（相关）程度，故被称为y(t)与x(t)的互相关函数。
由施瓦兹不等式
yt xtdt 2 y2tdt x2tdt
-
可导出
Ryx Wy Wx
如果y(t)与x(t)不满足上边两式，而构成
y(t) E{x(t)} (t)
如….则说明x(t)与y(t)不广义线性相关。
第5章 信号的相关分析
5.1信号相关分析的主要任务
相关分析的主要任务就是定义、计算合适的指标、 函数，定量描述信号（狭义、广义）线性相关的程度， 并进一步开发这些指标、函数的工程应用价值。