高考数学专题：指数函数、对数函数、幂函数
高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数
高考数学专题 指数函数、对数函数、幂函数【要点】考点1：指数函数 定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数。
考点2：对数函数 定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数。
1>a 10<<a1>a 10<<a图 象性 质定义域： R 值域：（0，+∞）①过点（0，1），图象都在第一、二象限； ②指数函数都以x 轴为渐近线； ③对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxay a y -==与的图象关于y 轴对称。
(,0)x ∈-∞时y ∈（0，1）； ),0(+∞∈x 时 y ∈（1，+∞）。
(,0)x ∈-∞时 y ∈（1，+∞）； ),0(+∞∈x 时y ∈（0，1）。
在R 上是增函数。
在R 上是减函数。
考点3：幂函数 1．幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数． 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象。
2．观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数； （2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数； 在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近。
【课堂精练】 1．=3log 9log 28（ ）A ．32 B ． 1 C ．23D ．2 2．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使幂函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A ．1,3 B ．-1,1 C ．-1,3 D ．-1,1,3 3．函数2x y =-的图象（ ）A ．与2x y =的图象关于y 轴对称B ．与2x y =的图象关于坐标原点对称C ．与2x y -=的图象关于y 轴对称D ．与2x y -=的图象关于坐标原点对称 4．(2010年重庆卷)函数164x y =-的值域是( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4) 5．已知函数xxx f +-=11lg)(，若b a f =)(，则)(a f -=（ ） A ．b B ．b - C ．b 1D ．1b-6．已知10<<a ，1-<b ，则函数b a y x+=的图像不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．设02log 2log <<b a ，则（ ）（A ）10<<<b a （B ）10<<<a b （C ）a b <<1 （D ）b a <<1 8．函数lg y x =( )A ．是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增B ．是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减C ．是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 8．（06天津卷）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） A ．R Q P << B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<9．(2010年全国卷)设a=3log 2，b=In2，c=125-，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a10．（2009宁夏海南卷）用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{})0(10,2,2m in )(≥-+=x x x x f x ，则)(x f 的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）711．（2008年山东卷文）已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<- D ．1101ab --<<<12．(2010年全国卷)已知函数x x f lg )(=，若b a <<0且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是( )(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞13．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 。
高考数学指数函数对数函数与幂函数对数与对数函数对数函数的性质与图像对数函数的性质与图像
, -2<x<2
所以函2 数 fx(x)的定义域为(-2,2),关于原点对称.
解法一: f(-x)=ln
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2 =②x
2 -x
=-f(x),
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所以函数f(x)=ln 2是- x 奇函数.
2 x
解法二: f(x)+f(-x)=ln +2 l-nx =③2 x
2 x
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内容(nèiróng)总结
第四章 指数函数、对数函数与幂函数。易错辨析:忽视对数函数对系数、底数(dǐshù)、真数的要求致误.。b的取值范围是(3,+∞),故选C.。所以
y=log2(x2+4)≥log24=2.。即函数y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).。3.(1)(变条件)把本例(1)①中的函数变成“y= ”,结果如何。因为对数函数的图像过点
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探究(tànjiū)三 对数函数的定义域、值域问题
例3 (1)求下列函数的定义域:
①y= ;lg (2-x)
②y=log(2x-1)(-4x+8). (2)求下列函数的值域:
①y=log2(x2+4);
②y=lo (3+2x-x第四章 指数函数(zhǐ shù hán shù)、对数函数与 4.2 对数与幂对函数数函数
4.2.3 对数函数(duìshùhán shù)的性质与图像
第1课时 对数函数(duìshùhán shù)的性质与图像
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情境导学
问题(wèntí):已知细胞的分裂个数y与分裂次数x满足函数y=2x,那么反过来,x是不是关于
指数与对数函数幂函数知识点总结
指数与对数函数幂函数知识点总结指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要内容，是数学中常见的数学函数类型。
下面将对这三种函数进行详细介绍和总结。
1.指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数。
通常表示为f(x)=a^x，其中a>0且不等于1、指数函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即指数为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
指数函数的应用广泛，例如在金融领域中的复利计算、生物学中的生长模型、物理学中的放射性衰变等都可以使用指数函数模型来描述。
2.对数函数对数函数是指输出的指数与给定的底数相等的函数，常用的对数函数有以e为底的自然对数函数ln(x)和以10为底的通用对数函数log(x)。
对数函数的特点有：-对数函数的定义域为正实数。
- 对数函数的基本性质是函数值等于对应的指数值，即log_a(a^x) = x。
- 自然对数函数ln(x)与指数函数e^x互为反函数。
-对数函数可以帮助解决指数方程和指数不等式等问题。
对数函数在数学中广泛应用，例如在科学计算、数据压缩、信号传输和信息论等领域都有应用。
3.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数且大于0。
幂函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即幂为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
幂函数与指数函数相似，但是幂函数的底数是常数。
幂函数在自然科学领域中经常出现，例如在物理学中的速度、加速度和质量等计算中经常使用幂函数模型。
指数函数、对数函数和幂函数是数学中的基本函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在学习指数函数、对数函数和幂函数时，需要熟练掌握其定义、性质和应用。
高中数学考点6指数函数、对数函数、幂函数(含近年年高考试题)新人教A版[1]
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考点6 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T8)若a〉b〉1，0〈c〈1，则（）A。
a c〈b c B。
ab c<ba cC.alog b c〈blog a cD.log a c〈log b c【解析】选C。
对A:由于0<c<1,所以函数y=x c在R上单调递增，因此a>b〉1⇔a c>b c,A错误.对B:由于—1〈c-1<0，所以函数y= 1c x-在（1,+∞)上单调递减，所以a>b>1⇔1c a-<1c b-⇔ba c〈ab c,B错误。
对C:要比较alog b c和blog a c，只需比较alnclnb 和blnclna,只需比较lncblnb和lncalna，只需比较blnb和alna，构造函数f（x)=xlnx(x>1),则f'(x）=lnx+1>1>0，f（x)在(1,+∞)上单调递增，因此f（a）〉f（b)>0⇔alna〉blnb>0⇔1alna <1 blnb.又由0<c〈1得lnc<0，所以lncalna >lncblnb⇔blog a c>alog b c,C正确。
对D：要比较log a c和log b c，只需比较lnclna 和lnclnb，而函数y=lnx在（1，+∞)上单调递增,故a>b〉1⇔lna>lnb>0⇔1lna <1lnb。
又由0〈c<1得lnc<0,所以lnclna 〉lnclnb⇔log a c>log b c,D错误.2。
（2016·全国卷Ⅰ高考文科·T8)若a>b 〉0,0<c 〈1,则 ( ) A.log a c<log b c B.log c a 〈log c bC 。
a c<b cD.c a>c b【解析】选B 。
指数函数、对数函数及幂函数知识总结+典型考题
指数函数、对数函数及幂函数知识总结+典型考题指数函数、对数函数及幂函数知识总结一、知识框图二、知识要点梳理函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.常见性质n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.常见性质几个重要的对数恒等式，，.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：幂函数形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.三、考题训练1.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ11）当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是（ ）（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 2.（2012·安徽高考文科·Ｔ3）（2log 9）·（3log 4）=（ ）（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 3.（2012·天津高考文科·Ｔ6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（ ）2x （A ）y=cos ，x R ∈ 2||x （B ）y=log ， 0x R x ∈≠且 2x xe e --（C ）y=， x R ∈ 3+x （D ）y=1， x R ∈4.（2012·北京高考文科·Ｔ12）已知函数f （x ）=lgx ，若f （ab ）=1，则f （a 2）+f （b 2）=___________.5.（2012·江苏高考·Ｔ5）函数6()12log f x x=-的定义域为 .6.（2012·山东高考文科·Ｔ15）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝ .7.函数y=(31)x -2x 在区间[-1, 1]上的最大值为 .8.记函数13x y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g = A ． 2 B ． 2- C ． 3 D ． 1-9.若函数f （x ）=log x a 在[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a=___ 10．函数y =的定义域是____________10．f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧〉〈-)1(log )1(281x x xx 则满足f （x ）=41的x 的值是_______________3 11．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数,若8)](1)][(1[11=++--b fa f,则f (a +b )的值为A. 1B. 2C. 3D. 3log 2 12．函数)(log )(2x ax x f a -=在]4,2[∈x 上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. 1>a B. 1,0≠>a a C. 10<<a D. φ∈a . 13.方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___________________14.21-=a 是函数ax e x f x ++=)1ln()(为偶函数的c（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件15.已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为R ，且f (x )在（)31,-∞-上是增函数，则a的范围是 .16.函数y=log 2(1-x)的图象是（A ） （B ） （C ） （D ）16.已知9x -10.3x +9≤0，求函数y=（41）x-1-4·（21）x +2的最大值和最小值17.设函数,241)(+=xx f （1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值；（2）记*),()1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n ∈+-++++=K 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.。
专题24：幂函数、指数函数、对数函数知识点与典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习
（2）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数 , loge N记为ln N ．
3、对数式与指数式的互化
x loga N a x N
对数式
指数式
对数底数← a → 幂底数
对数← x → 指数
真数← N → 幂
结论：（1）负数和零没有对数
（2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1,
2
3
10 49 5 3
3
3
47
10．化简
（1）
2
5 3
0
22
2
1 4
1
2
1
0.01 2
4
3
（2） 3 8 4 3 2 3 2 3
16
【答案】（1） ；（2）-2.
15
【分析】
（1）利用指数幂的运算性质即可求解.
（2）利用指数幂的运算性质即可求解.
【详解】
1
1
（1）原式 1
当 x 0 时， 0 y 1 ；
当 x 0 时， 0 y 1 。
当 x 0 时， y 1。
在 , 上是 增 函数。 在 , 上是 减 函数。
11．函数 y 3 x 的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【分析】 根据函数的最大值排除 A B D 可得答案. 【详解】
因为 | x | 0 ，所以 y 3|x| 30 1，排除 A B D.
log a M N log a M log a N
16．已知 a log3 2 1 ，则 2a （ ）
专题 24：幂函数、指数函数、对数函数知识点与典型例题（解析版）
幂函数图像及性质分析
y1 x
高一数学 基本初等函数(对、指、幂函数)高考考纲及典型例题高考真题解析
.
2
a 3 3a
【法二】 8 x 8 x 2 x
2
3 2
x 3
2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x
1
2 3
3
37 48
5 9 37 100 3 100 . 3 16 48
4
（4）原式 0.4 1 1 2 2 3 0.1
5 1 1 1 143 . 1 2 16 8 10 80
4.函数 f x a 2 7a 7 a x 是指数函数,求实数 a 的值. 【解析】∵函数 f x a 2 7a 7 a x 是指数函数,
1
0 a2 a1 1 a4 a3 . 1 又由题知： 0 10 1 3 10 ,∴ A 项正确. 3
1 x
a1 a2
O
x 1 x
b 7.已知二次函数 y ax 2 bx 与指数函数 y 的图象只能是下列图形中的 a y
1 1
1 2
1 1 , y x 2 的图像,了解它们的变化情况. x
二、重点知识总结
1.指数与指数幂运算 （1）①
a
n n n
n
a. a , 当n是奇数时 . a , 当n是偶数时
② a
（2）分数指数幂 ①a ②a
m n
n a m （ a 0 , m, n N * ,且 n 1 ）
x y
2
是非负数，故④对.
7 （3） 2 9
2023全国高考真题数学汇编：指数函数、对数函数与幂函数章节综合
7．1
【分析】根据给定条件，把 x = 1 代入，利用指数、对数运算计算作答. 2
【详解】函数
f
(x)
=
4x
+ log2
x ，所以
f
(1) 2
=
Байду номын сангаас
1
42
+
log 2
1 2
=
2
−1
= 1.
故答案为：1
8． (−,0) (0,1) (1,+ )
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断 a 的取值范围．
a −1 若方程有一根为 x=− 1，则1+ a +1 0 ，即 a −2 且 a 1；
若方程有一根为
x
=
1 ，则 a −1
1
2
a −1
−
a
1 a −1
+1
0
，解得：
a
2且
a
1；
若 x = 1 = −1时， a = 0 ，此时1+ a +1 0 成立． a −1
（2）当 x2 − ax +1 0 时， f ( x) = 0 (a +1) x2 −(a + 2) x +1 = 0 ，
2023 全国高考真题数学汇编 指数函数、对数函数与幂函数章节综合
一、单选题
1．（2023 全国高考真题）设函数 f ( x) = 2x(x−a) 在区间 (0,1) 上单调递减，则 a 的取值范围是（ ）
A． (−, −2
B． −2, 0)
C． (0, 2
D．2, +)
2．（2023 天津高考真题）若 a = 1.010.5, b = 1.010.6, c = 0.60.5 ，则 a,b, c 的大小关系为（ ）
必修一(8)指数函数对数函数及幂函数
指对函数及幂函数指对函数及幂函数三个基本函数的考查一直是高考必考重点，对于指对函数考查主要集中在图像性质（如定点、定义域、运算性质、单调性、复合函数单调性以及比较大小等热点考点），对幂函数主要考查五中基本类型的的幂函数，另该知识点也常和不等式、解三角形、导数、三角函数等知识点结合在一起考查，故在高一阶段应该打好基础，学好三种基本函数的基本性质及其运用. 一、基础知识回顾 （1）含零的指数幂运算： ○101(0)a a =≠○201(0)x x => （2）根式与分数指数幂的转化运算：1(0)n a ≥当，○21(0)nn a a a-=≠○301)nma a n =>>，○41(0)nm n ma a a -=> （3）指数幂的运算性质○1(0)m n m n a a a a m n R +=>∈，，○2()(0)m n mn a a a m n R =>∈，， ○3()(00)n n nab a b a b n R =>>∈，， 练习1 求下列函数的定义域：（1）20()(23)f x x x =+- （2）223()0x x f x --=（3）()f x =（4）324()(2)f x x x =--练习2 求下列式子的值：（1）314422 （2）78472⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22- （4）1216二、指数函数定义：一般形如(01)xy a a a x R =>≠∈且，的函数叫做指数函数，其中x 自变量是，a 是底数重要性质：2()01(01)10x x xf x a a ma na k t a a ⎧<<⇒⎫⇒∞⎪⎬>⇒⎭⎪⎪⎨⎪++==⎪⎪⎩单调递减均过定点，，值域为（0，+）,定义域为R 单调递增比较大小的方法：化成同底数或同指数方程思想：形如解方程可以将设将其转化为一元二次方程复合函数性质综合：（单调性：“同增异减”）题型1：考查图像 例1：已知2231()2x x f x +-⎛⎫=⎪⎝⎭，求使()1f x >的x 的取值范围.解析：此题考查指数函数基本性质，因为()f x 的图像必过（0，1）且为减函数，故只需解2230x x +-< 解：()223031x x x +-<⇒∈-，练习1 求下列各式满足条件的x 的解集：（1）2()21x f x =< （2）3()39x f x -=< （3）223()0.51x x f x +-=<题型2：比较大小 例2：已知232343112223a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，比较a b c ，，的大小 解析：可以发现a b 与同底且结合1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减，故有a b >，又a c 与同指数，可以由草图得知a c <解：b a c <<练习1 已知有23a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34bn ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试在下列条件下比较m n ，的大小（1）a b = （2）00a b >>， （3）00a b <<， （4）00a b ><，（5）00a b <>，题型3：判断单调性求值域 例3：函数22()2x x f x -+=，求函数()f x 在[]12，上的值域.解析：()()2g x f x =，根据复合函数“同增异减”得到()f x 在区间[]12，上为增函数，故()f x 值域为[](1)(2)f f ， 解：由题意2min ()(1)24f x f ===，5max ()(2)232f x f ===，故()f x 在区间[]12，上的值域为[]432， 练习1 函数221()2x x f x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，求函数()f x 在[]12，上的最大值.练习2 函数223()2x x f x -+=，求函数()f x 在[]21--，上的最大值.题型4：综合方程考查例4： 已知关于x 的方程211()32533x xf x ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0)x ≥，求()f x 的最值.解析：此类形式可先将方程进行转化，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭（01t <≤），原方程转化为2()325f t t t =-+，由于已知t 的取值范围，故进一步可求()f x 的最值.解：令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭（01t <≤），原方程转化为2()325f t t t =-+当13t =，即1x =时，方程()f x 取得最小值，14(1)3f =； 当1t =，即0x =时，方程()f x 取得最大值，(0)6f =.练习1 已知关于x 的方程1()428x x f x +=--(0)x <，求()f x 的最值三、对数函数定义：一般若有(01)xa N a a =>≠，，则x 叫做以为a 底N 的对数，记作log a x N =，其中称a 为底，N 为真数.重要性质：1001(10)1=2.71828log ln 10log lg log 10log 1(01)log ()log log ;log log log ;log log ea a ba a a a a a a a a a e N NN a a a M MN M N M N M b M N <<⇒⎫⇒∞⎬>⇒⎭==>≠=+=-= 单调递减均过定点，，值域为R,定义域为（0，+）单调递增自然对数：以无理数为底的对数,将记作常用对数：以为底的对数，将N 记作常用性质：，且运算性质：恒等式：log log ;log log a N a M a N a N N M ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪==⎪⎩换底公式： 题型1：考查对数函数定义域例1 已知函数22()log (34)f x x x =+-，求函数的定义域解析：此题复合函数考查定有类型，2()340u x x x =+->解集即为函数()f x 的定义域 解：令2()340u x x x =+->解得41x x <->•或，故()f x 的定义域为()4(1)-∞-+∞ ，，练习1 已知函数22()log (34)f x x x =--，求函数的定义域.练习2 已知函数2()lg(23)f x x x =-++，求(2)(1)f x f x ++的定义域.题型2：考查单调区间且求最值例2 求函数()ln(35)f x x =+的单调区间解析：由题可求出函数()f x 的定义域为53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，令35t x =+()0t >在53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，且()ln f t t=在()0+∞，上为增函数，“同增异减”，故()f x 在53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增解：()f x 的单调增区间为53⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.练习1 求函数23()log (6)f x x x =--的单调减区间题型3：考查对数运算 例3 求lg 25lg 4+的值解析：可以发现直接求值是行不通的，可以将原式运用对数运算性质进行化简 解：lg 25lg 4lg(254)lg1002+=⨯== 练习1 计算下列各式的值（1）22log 24log 3- （2）816log 16log 8+ （3）44log 92log 3-题型4：考查奇偶性 例4 已知函数1()log (1)1axf x a x+=>-，试判断函数()f x 奇偶性 解析：判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点对称，再运用其奇偶性判断方法构造()f x -，比较()()f x f x -与的关系解： 由101xx+>-得11x -<<（关于原点对称） 又()1111()log log log 111a a a x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭所以()f x 是奇函数 练习1 已知函数122()log 2x f x x +=-，试判断函数()f x 的奇偶性，若12()log 3f x a >恒成立，求实数a 的值 题型5：比较大小例5：设a b c d ，，，均为非负数，且有21122211log 2log log 2log 22a cb d a bcd ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，试比较a b c d ，，，的大小四、幂函数定义：一般形如()a y x a R =∈的函数称为幂函数，x 为自变量，a 为常数重要性质：11231232123a a y x y x y x y x y x y x y x --⎧⎪⎪⎨⎪⎪=======⎩判断：、指数为常数；、底数为自变量； 、幂系数为1比较大小：与指数函数一样化为同底或同指数奇偶性：当为奇数时，幂函数奇函数；当为偶函数时，幂函数为偶函数单调性：熟记，，，，，，图像题型：幂函数判断 例1 若122(3)3m m xn --+-是幂函数，求m n +的值解析：因为122(4)3m m x n --+-为幂函数，则必须符合幂函数的几个判断条件，由判断条件解出m n ，的值，则可以求出m n +的值解：由题意2312201330m m m m n n n ⎧-==-⎧⎪-≠⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪-=⎩练习1 判断下列函数是否为幂函数：（1）2y x = （2）33y x =⨯ （3）2y x -=（4）1y x =+ （5）y x = （6）13x y +=（7）2x y = （8）12y x = （9）32x y = 练习2 若13()(2)mf x m x +=+为幂函数，求(4)f 的值.题型2：性质结合图像综合运用 规律：对于ay x =（a R ∈）由图像先判断a 的正负，图像过原点且在第一象限为增函数则0a >，若图像不过原点且在第一象限为减函数则0a <；其次判断奇偶性，若图像关于y 轴对称，则a 为偶数且幂函数为偶数，若图像关于原点对称，则a 为奇数且幂函数为奇函数；当1a >时，图像曲线在第一象限下凹，当01a <<时，图像曲线在第一象限上凸，当0a <时，图像曲线在第一象限下凹.经典巩固练习2. （2006福建）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则( )A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b <<3. （2006湖北）设2()lg2x f x x +=-，则)2()2(xf x f +的定义域为（ ） A. ），（），（－4004 B.(－4，－1) (1，4) C. (－2，－1) (1，2) D. (－4，－2) (2，4)4. （2006湖南）函数x y 2log =的定义域是（ ）A ．(0，1］ B. (0，+∞) C. (1，+∞) D . ［1，+∞) 5. （2006湖南）函数y =( )A.(3，+∞)B.[3， +∞)C.(4，, +∞) D .[4，+∞)7. （2006天津）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）A ．R Q P <<B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<8. （2006浙江）已知1122log log 0m n <<，则（ ）A. n ＜m ＜ 1B.m ＜n ＜ 1C.1＜ m ＜nD.1 ＜n ＜m 10. （2006全国）若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c11. （2005上海）若函数121)(+=x x f ，则该函数在(),-∞+∞上是（ ）A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值12. （2005北京）函数2log y x =的图象是（ ）13. （2005）函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ） A ．（1，2）∪（2，3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1，3）D ．[1，3]16. （2009北京）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 18. （2009全国）设2lg (lg )a e b e c ===，， ）A.B . C. D.19. （2010广东）若函数()33x x f x -=+与()33x x g x -=-的定义域均为R ，则（ ）A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数 22. （2005湖北）函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是． 27. （2011四川）计算.28. （2011江苏）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________. 29. （2011陕西）设lg 0()100xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，，则((2))f f - =______.3lg10x y +=lg y x =a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>121(lg lg 25)100=4--÷大家都来到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥鳅捡螃蟹，人声鼎沸，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。
幂函数、指数函数和对数函数
幂函数、指数函数和对数函数一、幂函数1、函数k x y =（k 为常数，Q k ∈）叫做幂函数2、单调性： 当k>0时，单调递增；当k<0时，单调递减3、幂函数的图像都经过点（1，1）二、指数函数1、x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数，定义域为R ，x 作为指数2、指数函数的值域：），（∞+03、指数函数的图像都经过点（0，1）4、当a>1时，为增函数；当0<a<1时，为减函数5、指数函xa y =数的图像：a>1 0<a<1三、对数1、如果a(a>0,且a ≠－1）的b 次幂等于N ，即N a b=，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中，a 叫做底数，N 叫做真数2、零与负数没有对数，即N>03、对数恒等式：N aNa =log4、(重点强调）a>0,且a ≠－1，N>05、常用对数：以十为底的对数，记作lg N6、自然对数：以e 为底的对数，记作in N7、对数的运算性质：如果a>0,a ≠1，M>0,N>0,那么（1）N M MN a a a log log )(log += （2）N M NMa a alog log log -=（3）M n M a n a log log = 8、对数换底公式：)01,01,(log log log >≠>≠>=N b b a o a NNN b a b ，，其中四、反函数1、对于函数)(x f y =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应（即一个x 对应一个y ），且满足)(x f y =，这样得到的x 关于y 的函数叫做)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=，习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，说以把它改写为))((1A x x fy ∈=-2、反函数的定义域与值域： 函数)(x f y = 反函数)(1x f y -=定义域 D A 值域AD3、函数)(x f y =的图像与反函数)(1x f y -=的图像关于直线x y =对称五、对数函数1、函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数，是指数函数的反函数2、对数函数的图像都在y 轴的右方3、对数函数的图像都经过点（1，0）4、当a,x 范围相同时，y>0；当a,x 范围不同是，y<0,（范围指的是0<x<1和x>1两个范围）5、对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且的图像6、对数函数的定义域：x>07、对数函数的单调性：当a>1时，单调递增；当0<a<1时，单调递减六、简单指数方程指数里含有未知数的方程叫做指数方程1、819252=+-x x（1）将方程化为同底数幂的形式：225992=+-x x2252=+-∴x x 解得：5,021==x x（2）指对互换：281log 2592==+-x x ，解得：5,021==x x2、0155252=-⋅-x x换元法：令)05>=t t x（，则原方程化为01522=--t t ，解得：（舍）3,521-==t t 1,55==∴x x3、11235-+=x x两边同取以十为底的对数，得：1123lg 5lg -+=xx ，3lg )1)(1(5lg )1+-=+∴x x x （ 0)3lg 3lg 5)(lg 1(=+-+∴x x ，解得：5log 13lg 5lg 113+=+=-=x x 或七、简单对数方程对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程（解对数方程须检验，真数＞0）1、化为同底：2)532(log 2)1(=-++x x x2)1(2)1()1(log )532(log +=-+++x x x x x ，532)1(22-+=+x x x062=-+x x ，3,221-==x x经检验，x=2为原方程的解2、换元：1log 325log 225=-x x令t x =25log ，则t x 125log =，所以原方程化为：1312=-t t0232=-+∴t t ，解得32,121=-=t t当1-=t 时，1log 25-=x ，251=∴x当32=t 时，32log 25=x ，3165=∴x经检验，它们都是原方程的根 所以原方程的解为321165,32==x x。
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高考数学专题复习:指数函数、对数函数、幂函数（理科）1．（2007北京文、理，5分）函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（ ） A ．(0)+∞，B ．(19]，C ．(01)，D ．[9)+∞，B ；[解析] 函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19]，。
[考点透析]根据指数函数在对应区间的值域问题，结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题。
2．（2007山东文、理，5分）给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3xf x = B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =B ；[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=，C 满足()()()f xy f x f y =+，而D 满足()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，B 不满足其中任何一个等式。
[考点透析]根据指数函数、对数函数，结合三角函数等其他相关函数讨论分析对应的性质是高考中比较常见的考题之一，关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。
3．（2007全国2理，5分）以下四个数中的最大者是（ ）A ．（ln2）2B ．ln （ln2）C ．ln 2D ．ln2 D ；[解析] ∵0ln 21<<，∴ln （ln2）<0，（ln2）2<ln2，而ln 2=21ln2<ln2，∴最大的数是ln2。
[考点透析]根据对数函数的基本性质判断对应函数值的大小关系，一般是通过介值（0，1等一些特殊值）结合对数函数的特殊值来加以判断。
4．（2007安徽理，5分）若A=}822|{2<≤∈-xZ x ，B=}1|log ||{2>∈x R x ，则)(C R B A I 的元素个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 C ；[解析] 由于A=}822|{2<≤∈-xZ x =}321|{<-≤∈x Z x =}11|{≤<-∈x Z x =｛0，1｝，而B=}1|log ||{2>∈x R x =}2210|{><<∈x x R x 或，那么)(C R B A I =｛0，1｝，则)(C R B A I 的元素个数为2个。
[考点透析] 从指数函数与对数函数的单调性入手，解答相关的不等式，再根据集合的运算加以分析和判断，得出对应集合的元素个数问题。
5．（2007江苏，5分）设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞UA ；[解析] 由10)0(-==a f 得，011lg )(<-+=x x x f ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+111011xx xx，01<<-∴x 。
[考点透析]根据对数函数中的奇偶性问题，结合对数函数的性质，求解相关的不等式问题，要注意首要条件是对数函数的真数必须大于零的前提条件。
6．（2007北京理，5分）对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）A ．①③B ．①②C ．③D ．②D ；[解析] 函数①()lg(21)f x x =-+，函数(2)f x +=lg(||1)x +是偶函数；且()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；但对命题丙：(2)()f x f x +-=||1lg(||1)lg(|2|1)lg|2|1x x x x ++--+=-+在x ∈(－∞,0)时，(||1)12lglg lg(1)(|2|1)213x x x x x +-+==+-+-+-为减函数，排除函数①，对于函数③，()cos(2)f x x =+函数(2)cos(2)f x x +=+不是偶函数，排除函数③，只有函数②2()(2)f x x =-符合要求。
[考点透析]根据对数函数、幂函数、三角函数的相关性质来分析判断相关的命题，也是高考中比较常见的问题之一，正确处理对应函数的单调性与奇偶性问题。
7．函数)2log 2(0)y x =+>的反函数是（ ）A.142(2)x x y x +=->B.142(1)x x y x +=->C.242(2)x x y x +=->D.242(1)x x y x +=->C ；[解析] 原函数过(4,1)-故反函数过(1,4)-从而排除A 、B 、D 。
[考点透析]根据对应对数函数型的函数的反函数的求解步骤加以分析求解对应的反函数，但通过原函数与反函数之间的特殊关系，利用排除法加以分析显得更加简单快捷。
8．（2007天津理，5分）设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<A ；[解析] 由122log aa =可知0a >21a⇒>121log 102a a ⇒>⇒<<，由121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0b >⇒120log 1b <<112b ⇒<<，由21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0c >20log 112c c ⇒<<⇒<<，从而a b c <<。
[考点透析] 根据指、对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基本初等函数比较常用的方法之一。
关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。
9．（2007广东理，5分）已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M I N （ ） A ．{}1>x x B ．{}1<x x C ．{}11<<-x x D ．∅ C ；[解析] 依题意可得函数xx f -=11)(的定义域M=}01|{>-x x =}1|{<x x ， )1ln()(x x g +=的定义域N=}01|{>+x x =}1|{->x x ，所以M I N=}1|{<x x I }1|{->x x ={}11<<-x x 。
[考点透析] 本题以函数为载体，重点考查幂函数与对数函数的定义域，集合的交集的概念及其运算等基础知识，灵活而不难．10．（2007山东理，5分）设a ∈{－1，1，21，3}，则使函数y=x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．－1，1 C ．－1，3 D ．－1，1，3 A ；[解析] 观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。
[考点透析] 根据幂函数的性质加以比较，从而得以判断．熟练掌握一些常用函数的图象与性质，可以比较快速地判断奇偶性问题．特别是指数函数、对数函数、幂函数及其一些简单函数的基本性质．11．（2007江苏，5分）设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线x =1对称，且当1≥x 时，)(x f =13-x，则有（ ）A ．)31(f <)23(f <)32(fB ．)32(f <)23(f <)31(fC ．)32(f <)31(f <)23(fD ． )23(f <)32(f <)31(fB ；[解析] 当1≥x 时，)(x f =13-x，其图象是函数xy 3=向下平移一个单位而得到的1≥x 时图象部分，如图所示，又函数)(x f 的图象关于直线x =1对称，那么函数)(x f 的图象如下图中的实线部分， 即函数)(x f 在区间)1,(-∞上是单调减少函数， 又)23(f =)21(f ，而322131<<，则有)32()21()31(f f f >>，即)32(f <)23(f <)31(f ．[考点透析] 利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析，通过图象可以非常直观地判断对应的性质关系．12．（2007湖南文、理，5分）函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 B ；[解析] 函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象如下：根据以上图形，可以判断两函数的图象之间有三个交点。
[考点透析] 作出分段函数与对数函数的相应图象，根据对应的交点情况加以判断。
指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。
特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线x y =对称。
在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂。
13．（2007四川文、理，5分）函数)(x f =x 2log 1+与)(x g =12+-x 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）C ；[解析] 函数)(x f =x 2log 1+的图象是由函数x y 2log =的图象向上平移1个单位而得来的；又由于)(x g =12+-x =)1(2--x ，则函数)(x g =12+-x 的图象是由函数x y -=2的图象向右平移1个单位而得来的；故两函数在同一直角坐标系下的图象大致是：C 。
[考点透析] 根据函数表达式与基本初等函数之间的关系，结合函数图象的平移法则，得出相应的正确判断。
14．（2007全国Ⅰ文、理，5分）设1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21，则a =（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4D ；[解析] 由于1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21， 那么a a a a log 2log -=21，即2log a =21，解得221=a ，即a =4。