高中数学第二章参数方程双曲线抛物线的参数方程课件新人教A版选修
设椭圆上一点 P(5cos θ，3sin θ)，
双曲线一渐近线为 3x－4y＝0，
∴点 P 到直线的距离 d＝|3×5cos
θ－12sin
5
θ|
＝3|
41sin （θ－φ）|
5
(tan
φ＝54)．
∴dmax＝3 541.
对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲 线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注 明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．
又∵y＝tan θ，
∴x2＝3y2＋3，即x32－y2＝1.
经验证可知，选项 B 合适．
3．过点 M(2，4)且与抛物线xy＝＝42tt2，只有一个公共
点的直线有( )条( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选 C 由xy＝＝42tt2得 y2＝8x. ∴点 M(2，4)在抛物线上． ∴过点 M(2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有 2 条．
又设 MN 的中点为 P(x，y)， 则yx＝＝88tt121＋＋22 88tt222.，∴kAP＝4（4（t21＋t1＋t22）t2）－1. 由 kMN＝kAP 知 t1·t2＝－18， 又xy＝＝44（（tt121＋＋tt222）），， 则 y2＝16(t21＋t22＋2t1t2)＝16(x4－14)＝4(x－1)． ∴所求轨迹方程为 y2＝4(x－1)．
变形为 y0＝14x20，即 x2＝4y.表示的为抛物线．
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时， 常根据需要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关 于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是 参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参 数方程表示点的坐标
2．已知抛物线 C：xy＝＝22tt2，(t 为参数)，设 O 为坐 标原点，点 M 在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2， 求点 M 到抛物线焦点的距离．
解：由xy＝＝22tt2，得 y2＝2x， 即抛物线的标准方程为 y2＝2x. 又∵M 点的纵坐标为 2， ∴M 点的横坐标也为 2.即 M(2，2)． 又∵抛物线的准线方程为 x＝－12. ∴由抛物线的定义知|MF|＝2－(－12)＝2＋12＝52. 即点 M 到抛物线焦点的距离为52.
如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线
α＋sec
β)，b2(tan
α＋tan
β))，
于是线段 AB 中垂线方程为
y－b2(tan
α＋tan
β)＝－ba（（tsaenc
α－sec α－tan
ββ））[x－a2(sec源自α＋sec β)]．
将 P(x0，0)代入上式，∴x0＝a2＋ 2ab2(sec α＋sec β)．
∵A、B 是双曲线同支上的不同两点，∴|sec α＋sec β|>2.
则 5y4＋16y2－16＝0，
解得 y2＝45或 y2＝－4(舍去)，则 x＝54y2＝1.
又 y≥0，所以其交点坐标为(1，255)．
答案：(1，2
5
5 )
本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普 通方程的互化．天津高考以抛物线的参数方程为载体 考查抛物线定义的应用，属低档题．
[考题印证]
[精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其 应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出 M、 P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线 的延长线上，且 M 为线段 OP 的中点，抛物线的参数方 程为xy＝＝22tt2，，由中点坐标公式得xy00＝＝44tt2，，
第2课时 双曲线、抛物线的参数方程
[核心必知]
1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点x＝ ，焦a点sec在φx，轴上的双曲线xa22－by22＝ 1 的参数方程是 y＝btan φ ，规定参数 φ 的取值
范围为 φ∈[0，2π)且 φ≠π2 ，φ≠3π2 ． (2)中心在原点x＝，焦bt点an在φy ，轴上的双曲线ay22－xb22＝
解析：抛物线的普通方程为 y2＝2x，设点 P(x，y)，点 M 为(x1，y1)(x1≠0)，则 x1＝2x，y1＝2y.
∵点 M 在抛物线上，且点 M 与 O 不重合， ∴4y2＝4x⇒y2＝x.(x≠0)
答案：y2＝x(x≠0)
7．双曲线xy＝＝62se3ctaαn
α，
(α
为参数)的两焦点坐标是
(
天津
高
考)已
知
抛物
线的
参数方
程为
x＝2pt2， y＝2pt，
(t
为参
数)，其中 p>0，焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l
的垂线，垂足为 E.若|EF|＝|MF|，点 M 的横坐标是 3，则 p
＝________．
[命题立意] 本题考查抛物线的参数方程与普通方 程的互化及抛物线定义的应用．
1．下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x2－y＝0 表示
同一曲线的方程是( )
x＝|t|， A.y＝t
x＝cos t， B.y＝cos 2t
x＝tan t，
C.y＝11＋－ccooss
2t 2t
x＝tan t，
D.y＝11－＋ccooss
2t 2t
解析：选 D 注意参数范围，可利用排除法．普通方 程 x2－y＝0 中的 x∈R，y≥0.A 中 x＝|t|≥0，B 中 x＝cos t ∈[－1，1]，故排除 A 和 B.而 C 中 y＝22csoins22tt＝cot2t＝ta1n2t＝ x12，即 x2y＝1，故排除 C.
2．下列双曲线中，与双曲线xy＝＝ta3nseθc
θ，
(θ
为参
数)的离心率和渐近线都相同的是( )
A.y32－x92＝1
B.y32－x92＝－1
C.y32－x2＝1
D.y32－x2＝－1
解析：选 B
由
x＝
3 sec
θ
得
，
x2
＝
3
cos2θ
＝
3（sin 2θ＋cos2θ） cos2θ
＝3tan 2θ＋3，
4．方程xy＝＝22tt＋－22－－tt，(t 为参数)表示的曲线是(
)
A．双曲线
B．双曲线的上支
C．双曲线下支 D．圆
解析：选 B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相 减，得：x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，
即 y2－x2＝4. 又注意到 2t>0，2t＋2－t≥2 2t·2－t＝2，即 y≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为： y2－x2＝4(y≥2)． 显然它表示焦点在 y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支．
在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P，使 P 到直线 y＝ x 的距离为 2.
[精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用，解答 本题需要先求出双曲线的参数方程，设出 P 点的坐标，建 立方程求解．
设 P 的坐标为(secφ，tan φ)，由 P 到直线 x－y＝0 的距离
为 2得|secφ－2tan φ|＝ 2
∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．
参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的， 因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某 些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计 算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利 用三角知识处理．
1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲 线的顶点．
二、填空题 5．(陕西高考)圆锥曲线xy＝＝2t2t，(t 为参数)的焦点坐标是 ________．
解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为 y2＝4x，则焦 点坐标为(1，0)．
答案：(1，0)
6．已知抛物线 C：xy＝＝22tt2，(t 为参数)设 O 为坐标原点， 点 M 在 C 上运动(点 M 与 O 不重合)，P(x，y)是线段 OM 的 中点，则点 P 的轨迹普通方程为________．
2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？
提示：如果 x 对应的参数形式是 asecφ，则焦点在
x 轴上；
如果 y 对应的参数形式是 asecφ，则焦点在 y 轴上．
3．若抛物线的参数方程表示为xy＝＝ttaann22p2pαα，. 则参数 α 的
几何意义是什么？
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[解析] 由题意知，抛物线的普通方程为 y2＝2px(p>0)， 焦点 F(p2，0)，准线 x＝－p2，设准线与 x 轴的交点为 A.由 抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF 是正三角形，在 Rt△EFA 中，|EF|＝2|FA|，即 3＋p2＝2p，得 p＝2.
答案：2
一、选择题
1 的参数方程是 y＝asecφ ．
2．抛物线的参数方程
x＝2pt2，
(1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为 y＝2pt ，t∈ R ．
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一 点与原点连线的 斜率的倒数 ．
[问题思考]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？ 提示：参数 φ 是点 M 所对应的圆的半径 OA 的旋转 角(称为点 M 的离心角)，而不是 OM 的旋转角．
三、解答题 9．已知双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)，A、B 是双曲线 同支上相异两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P(x0，0)，求证：|x0|>a2＋a b2.
证明：设 A、B 坐标分别为(asec α，btan α)，(asec β，
btan
β)，则中点为
a M(2(sec
3．(广东高考)已知两曲线参数方程分别为
x＝ 5cos
双曲线一渐近线为 3x－4y＝0，
∴点 P 到直线的距离 d＝|3×5cos
θ－12sin
5
θ|
＝3|
41sin （θ－φ）|
5
(tan
φ＝54)．
∴dmax＝3 541.
对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲 线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注 明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．
又∵y＝tan θ，
∴x2＝3y2＋3，即x32－y2＝1.
经验证可知，选项 B 合适．
3．过点 M(2，4)且与抛物线xy＝＝42tt2，只有一个公共
点的直线有( )条( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选 C 由xy＝＝42tt2得 y2＝8x. ∴点 M(2，4)在抛物线上． ∴过点 M(2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有 2 条．
又设 MN 的中点为 P(x，y)， 则yx＝＝88tt121＋＋22 88tt222.，∴kAP＝4（4（t21＋t1＋t22）t2）－1. 由 kMN＝kAP 知 t1·t2＝－18， 又xy＝＝44（（tt121＋＋tt222）），， 则 y2＝16(t21＋t22＋2t1t2)＝16(x4－14)＝4(x－1)． ∴所求轨迹方程为 y2＝4(x－1)．
变形为 y0＝14x20，即 x2＝4y.表示的为抛物线．
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时， 常根据需要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关 于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是 参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参 数方程表示点的坐标
2．已知抛物线 C：xy＝＝22tt2，(t 为参数)，设 O 为坐 标原点，点 M 在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2， 求点 M 到抛物线焦点的距离．
解：由xy＝＝22tt2，得 y2＝2x， 即抛物线的标准方程为 y2＝2x. 又∵M 点的纵坐标为 2， ∴M 点的横坐标也为 2.即 M(2，2)． 又∵抛物线的准线方程为 x＝－12. ∴由抛物线的定义知|MF|＝2－(－12)＝2＋12＝52. 即点 M 到抛物线焦点的距离为52.
如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线
α＋sec
β)，b2(tan
α＋tan
β))，
于是线段 AB 中垂线方程为
y－b2(tan
α＋tan
β)＝－ba（（tsaenc
α－sec α－tan
ββ））[x－a2(sec源自α＋sec β)]．
将 P(x0，0)代入上式，∴x0＝a2＋ 2ab2(sec α＋sec β)．
∵A、B 是双曲线同支上的不同两点，∴|sec α＋sec β|>2.
则 5y4＋16y2－16＝0，
解得 y2＝45或 y2＝－4(舍去)，则 x＝54y2＝1.
又 y≥0，所以其交点坐标为(1，255)．
答案：(1，2
5
5 )
本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普 通方程的互化．天津高考以抛物线的参数方程为载体 考查抛物线定义的应用，属低档题．
[考题印证]
[精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其 应用．解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出 M、 P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线 的延长线上，且 M 为线段 OP 的中点，抛物线的参数方 程为xy＝＝22tt2，，由中点坐标公式得xy00＝＝44tt2，，
第2课时 双曲线、抛物线的参数方程
[核心必知]
1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点x＝ ，焦a点sec在φx，轴上的双曲线xa22－by22＝ 1 的参数方程是 y＝btan φ ，规定参数 φ 的取值
范围为 φ∈[0，2π)且 φ≠π2 ，φ≠3π2 ． (2)中心在原点x＝，焦bt点an在φy ，轴上的双曲线ay22－xb22＝
解析：抛物线的普通方程为 y2＝2x，设点 P(x，y)，点 M 为(x1，y1)(x1≠0)，则 x1＝2x，y1＝2y.
∵点 M 在抛物线上，且点 M 与 O 不重合， ∴4y2＝4x⇒y2＝x.(x≠0)
答案：y2＝x(x≠0)
7．双曲线xy＝＝62se3ctaαn
α，
(α
为参数)的两焦点坐标是
(
天津
高
考)已
知
抛物
线的
参数方
程为
x＝2pt2， y＝2pt，
(t
为参
数)，其中 p>0，焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l
的垂线，垂足为 E.若|EF|＝|MF|，点 M 的横坐标是 3，则 p
＝________．
[命题立意] 本题考查抛物线的参数方程与普通方 程的互化及抛物线定义的应用．
1．下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x2－y＝0 表示
同一曲线的方程是( )
x＝|t|， A.y＝t
x＝cos t， B.y＝cos 2t
x＝tan t，
C.y＝11＋－ccooss
2t 2t
x＝tan t，
D.y＝11－＋ccooss
2t 2t
解析：选 D 注意参数范围，可利用排除法．普通方 程 x2－y＝0 中的 x∈R，y≥0.A 中 x＝|t|≥0，B 中 x＝cos t ∈[－1，1]，故排除 A 和 B.而 C 中 y＝22csoins22tt＝cot2t＝ta1n2t＝ x12，即 x2y＝1，故排除 C.
2．下列双曲线中，与双曲线xy＝＝ta3nseθc
θ，
(θ
为参
数)的离心率和渐近线都相同的是( )
A.y32－x92＝1
B.y32－x92＝－1
C.y32－x2＝1
D.y32－x2＝－1
解析：选 B
由
x＝
3 sec
θ
得
，
x2
＝
3
cos2θ
＝
3（sin 2θ＋cos2θ） cos2θ
＝3tan 2θ＋3，
4．方程xy＝＝22tt＋－22－－tt，(t 为参数)表示的曲线是(
)
A．双曲线
B．双曲线的上支
C．双曲线下支 D．圆
解析：选 B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相 减，得：x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，
即 y2－x2＝4. 又注意到 2t>0，2t＋2－t≥2 2t·2－t＝2，即 y≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为： y2－x2＝4(y≥2)． 显然它表示焦点在 y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支．
在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P，使 P 到直线 y＝ x 的距离为 2.
[精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用，解答 本题需要先求出双曲线的参数方程，设出 P 点的坐标，建 立方程求解．
设 P 的坐标为(secφ，tan φ)，由 P 到直线 x－y＝0 的距离
为 2得|secφ－2tan φ|＝ 2
∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．
参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的， 因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某 些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计 算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利 用三角知识处理．
1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲 线的顶点．
二、填空题 5．(陕西高考)圆锥曲线xy＝＝2t2t，(t 为参数)的焦点坐标是 ________．
解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为 y2＝4x，则焦 点坐标为(1，0)．
答案：(1，0)
6．已知抛物线 C：xy＝＝22tt2，(t 为参数)设 O 为坐标原点， 点 M 在 C 上运动(点 M 与 O 不重合)，P(x，y)是线段 OM 的 中点，则点 P 的轨迹普通方程为________．
2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？
提示：如果 x 对应的参数形式是 asecφ，则焦点在
x 轴上；
如果 y 对应的参数形式是 asecφ，则焦点在 y 轴上．
3．若抛物线的参数方程表示为xy＝＝ttaann22p2pαα，. 则参数 α 的
几何意义是什么？
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[解析] 由题意知，抛物线的普通方程为 y2＝2px(p>0)， 焦点 F(p2，0)，准线 x＝－p2，设准线与 x 轴的交点为 A.由 抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF 是正三角形，在 Rt△EFA 中，|EF|＝2|FA|，即 3＋p2＝2p，得 p＝2.
答案：2
一、选择题
1 的参数方程是 y＝asecφ ．
2．抛物线的参数方程
x＝2pt2，
(1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为 y＝2pt ，t∈ R ．
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一 点与原点连线的 斜率的倒数 ．
[问题思考]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？ 提示：参数 φ 是点 M 所对应的圆的半径 OA 的旋转 角(称为点 M 的离心角)，而不是 OM 的旋转角．
三、解答题 9．已知双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)，A、B 是双曲线 同支上相异两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P(x0，0)，求证：|x0|>a2＋a b2.
证明：设 A、B 坐标分别为(asec α，btan α)，(asec β，
btan
β)，则中点为
a M(2(sec
3．(广东高考)已知两曲线参数方程分别为
x＝ 5cos
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2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈ R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的 斜率的倒数 ．
Байду номын сангаас
[小问题·大思维]
1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？ 提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[研一题] [ 例 3]
x＝4secθ， y＝3tan θ
如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线 (θ 为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双
曲线渐近线的最大距离．
[精讲详析]
本题考查椭圆及双曲线的参数方程， 解答本题需
要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条 件求出椭圆的参数方程求解即可． x2 y2 ∵16－ 9 ＝1，∴右焦点(5,0)，右顶点(4,0)．
p p F(2，0)，准线 x＝－2，设准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可 得|EM|＝|MF|，所以△MEF 是正三角形，在 Rt△EFA 中，|EF| p ＝2|FA|，即 3＋2＝2p，得 p＝2.
高中数学 2.2.2双曲线的参数方程课件 新人教A版选修4-4
答案;60°
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6
题型二 双曲线参数方程应用
例 2 求点 M0(0，2)到双曲线 x2－y2＝1 的最小距离(即双曲线上
任一点 M 与点 M0 距离的最小值)．
栏
分析：点 M0 与双曲线上任一点 M 距离可转化为一个函数关系式目链
接
来进一步研究求解．
解析：把双曲线方程化为参数方程x＝sec y＝tan
由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2
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9
析疑难
提
能
力栏 目 链
接
完整版ppt
10
θ， θ (θ 为参数)，
设双曲线上动点为 M(sec θ，tan θ)，则
|M0M|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2
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7
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)
＝2tan2θ－4tan θ＋5
＝2(tan θ－1)2＋3，
栏
目
当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4 时，|M0M|2 取最小值 3，此时有|M0M|
链 接
＝ 3.
即点 M0 到双曲线的最小距离为 3.
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8
►变式训练
2．已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一
点 Q，求 P，Q 两点间距离的最小值．
栏
点拨：先求圆心
O1
与点
Q
的距离的最小值，再利用圆的性质得目
链
出 PQ 的最小值．
接
解析：设 Q(sec θ，tan θ)，
2．2.2 双曲线的参数方程
高中数学 第二讲 二 圆锥曲线的参数方程 2-3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程课件 新人教A版
方程是xy＝＝abstaecn
φ， φ
(φ 为参数)．
2．抛物线的参数方程
(1)抛物线 y2参数)． (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与
原点连线的斜率的倒数．
双曲线、抛物线参数方程的基本问题
[例 1] (1)双曲线xy＝＝62se3ctαan α， (α 为参数)的焦点坐标是
＝(sec2 θ＋2 2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2 2sec θ＋2＋tan2θ) ＝( 2sec θ＋1)2( 2sec θ－1)2 ＝(2sec2 θ－1)2. 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1， 由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
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_______．
x＝tan t，
(2)将方程y＝11－ ＋ccooss
2t 2t
(t 为参数)化为普通方程是_______．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解；
(2)利用代入法消去 t.
[解析] (1)将xy＝＝62se3ctαan α， 化为3y62 －1x22＝1， 可知双曲线焦点在 y 轴，且 c＝ 36＋12＝4 3， 故焦点坐标是(0，±4 3)． (2)由 y＝11－＋ccooss 22tt＝22csions22tt＝tan2t， 将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2，即为所求方程． [答案] (1)(0，±4 3)；(2)y＝x2
的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．
解析：由双曲线参数方程可知a＝1，
故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.
答案：10或6
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程
【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
高中数学 第二章 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程(2)课件 新人教A版选修4-4
φ≠π2，φ≠32π，
故(1)错误．
(2)由参数方程消去参数 t 可得普通方程为 y2＝－
2px(p>0)，故(2)正确．
x＝t2，
(3)由
得
y2＝4x
为抛物线方程，故其焦点为
y＝2t
(1，0)．
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．双曲线xy＝＝62se3ctαan
α， (α
为参数)的两焦点坐标是
类型 2 抛物线的参数方程及其应用(规范解答)
[典例 2] (本小题满分 10 分)如图所示， O 是直角坐标系的原点，A、B 是抛物线 y2＝2px(p>0)上异于顶点的两个动点，且 OA⊥OB 于 O，A、B 在什么位置时，△AOB 的面积最小？ 最小值是多少？
审题指导：利用抛物线的参数方程，将△AOB 的面
α.
温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)双曲线1x62 －y92＝1
的参数方程为xy＝＝34tsaenc
φ， (φ
φ
为
参数)，φ∈[0，2π)．( )
即 2pt21·2pt22＋2pt1·2pt2＝0，所以 t1·t2＝－1.(4 分)
△ AOB
的面积为
S
△
AOB
＝
1 2
|OA|
·
|OB|
＝
1 2
×
2p|t1|. t21＋1·2p|t2| t22＋1＝(5 分)
2p2|t1t2| （t21＋1）（t22＋1）＝2p2 t21＋t22＋2＝
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[研一题] [ 例 3]
x＝4secθ， y＝3tan θ
如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线 (θ 为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双
曲线渐近线的最大距离．
[精讲详析]
本题考查椭圆及双曲线的参数方程， 解答本题需
要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条 件求出椭圆的参数方程求解即可． x2 y2 ∵16－ 9 ＝1，∴右焦点(5,0)，右顶点(4,0)．
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长 线上， M 为线段 OP 且
x＝2t， 的中点， 抛物线的参数方程为 y＝2t2，
x0＝4t， 由中点坐标公式得 y0＝4t2，
1 2 变形为 y0＝4x0，即 x2＝4y. 表示的为抛物线．
[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需 要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，然 后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点 的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
p p F(2，0)，准线 x＝－2，设准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可 得|EM|＝|MF|，所以△MEF 是正三角形，在 Rt△EFA 中，|EF| p ＝2|FA|，即 3＋2＝2p，得 p＝2.
2.2 2~3双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
[答案] (1)(0，± 3)；(2)y＝x2. 4
返回
(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参
数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参 数的意义． (2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是 sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ， 则焦点在y轴上．
返回
返回
4．如图所示，O是直角坐标原点，A，B是 抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动
点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求
点M的轨迹方程．
返回
解： 根据条件， 设点 M， B 的坐标分别为(x， (2pt2， A， y)， 1 2pt1)，(2pt2，2pt2)(t1≠t2，且 t1· ≠0)，则 t2
返回
返回
则：(|F1P|· 2P|)2 |F ＝[(sec θ＋ 2)2＋tan2θ]· [(sec θ－ 2)2＋tan2θ] ＝(sec2 θ＋2 2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2 2sec θ＋2＋tan2θ) ＝( 2sec θ＋1)2( 2sec θ－1)2 ＝(2sec2 θ－1)2. 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1， 由此得|F1P|· 2P|＝|OP|2. |F
x＝btan φ， 数方程是 y＝asec φ.
返回
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px
x＝2pt2， 的参数方程为 y＝2pt
t∈R.
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数．
返回
[例 1]
x＝2 3tan (1)双曲线 y＝6sec α
返回
返回
1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
返回
(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参
数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参 数的意义． (2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是 sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ， 则焦点在y轴上．
返回
返回
4．如图所示，O是直角坐标原点，A，B是 抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动
点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求
点M的轨迹方程．
返回
解： 根据条件， 设点 M， B 的坐标分别为(x， (2pt2， A， y)， 1 2pt1)，(2pt2，2pt2)(t1≠t2，且 t1· ≠0)，则 t2
返回
返回
则：(|F1P|· 2P|)2 |F ＝[(sec θ＋ 2)2＋tan2θ]· [(sec θ－ 2)2＋tan2θ] ＝(sec2 θ＋2 2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2 2sec θ＋2＋tan2θ) ＝( 2sec θ＋1)2( 2sec θ－1)2 ＝(2sec2 θ－1)2. 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1， 由此得|F1P|· 2P|＝|OP|2. |F
x＝btan φ， 数方程是 y＝asec φ.
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2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px
x＝2pt2， 的参数方程为 y＝2pt
t∈R.
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数．
返回
[例 1]
x＝2 3tan (1)双曲线 y＝6sec α
返回
返回
1．双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线 2－ 2＝1 的参 a b
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程2.1曲线的参数方程
名师点拨若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为 ������ = ������0 + ������cos������, (θ 为参数,0≤θ<2π). ������ = ������0 + ������sin������ 【做一做2】 圆x2+y2=16的参数方程为 ������ = 4cos������, 答案： ������ = 4sin������ (θ为参数).
名师点拨对参数方程的理解 1.参数方程的形式:方程组中有三个变数,其中x和y表示点的横、 纵坐标,第三个变数t叫做参变数,而且x与y分别是t的函数.由于横坐 标、纵坐标都是变数t的函数,因此给出一个t能唯一地求出对应的 x,y的值,因而能得到唯一的点. 2.参数的取值范围:在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值 范围;取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同,同一曲线选 取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式. 3.参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言 的,普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系,而参数方程是通 过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程 是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互 化.
特别提醒1.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取 值范围的扩大或者缩小,必须根据参数的取值范围确定f(t)和g(t)的 值域,即x和y的取值范围. 2.参数方程化为普通方程常用的方法是代入消参数法,当使用代 入消参数法比较复杂时,可对式子先进行化简,再消参数,有时要利 用代数恒等式的方法消去参数.
������ = cos2 ������, 做一���� = sin2 ������ 是 ; (2)直线y=2x的一个参数方程可以是 .
名师点拨对参数方程的理解 1.参数方程的形式:方程组中有三个变数,其中x和y表示点的横、 纵坐标,第三个变数t叫做参变数,而且x与y分别是t的函数.由于横坐 标、纵坐标都是变数t的函数,因此给出一个t能唯一地求出对应的 x,y的值,因而能得到唯一的点. 2.参数的取值范围:在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值 范围;取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同,同一曲线选 取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式. 3.参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言 的,普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系,而参数方程是通 过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程 是同一曲线的两种不同表达形式,参数方程可以与普通方程进行互 化.
特别提醒1.将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取 值范围的扩大或者缩小,必须根据参数的取值范围确定f(t)和g(t)的 值域,即x和y的取值范围. 2.参数方程化为普通方程常用的方法是代入消参数法,当使用代 入消参数法比较复杂时,可对式子先进行化简,再消参数,有时要利 用代数恒等式的方法消去参数.
������ = cos2 ������, 做一���� = sin2 ������ 是 ; (2)直线y=2x的一个参数方程可以是 .
第二讲 抛物线的参数方程课件 新人教A版选修4-4课件
y x
a sec b tan
(为参数)
思考:抛物线参数方程是什么?
前面曾经得到以时刻 t作为参数的抛 物线的参数方程 :
x 100 t ,
y
500
1 2
g
t2
.
t为参数, 且0 t
1000 g
对于一般的抛物线,怎样建立相应的
参数方程呢 ?
看点M运动形成轨迹的过程.
解 根据条,设点M , A, B
B
图2 13
的坐标为 x, y, 2 pt12,2 pt1 ,
2 pt22,2 pt2 t1 t2,且t1 t2 0,则OM x, y,
OA 2 pt12,2 pt1 ,OB 2 pt22,2 pt2 ,
所以xt1 t2 y 0,即t1 t2 y x 0. ⑨
x
因为AM x 2 pt12, y 2 pt1 ,
y
MB 2 pt22 x,2 pt2 y ,
A M
且A, M , B三点共线,所以
O
x
x 2 pt12 2 pt2 y y 2 pt1 2 pt22 x ,
x2 2 py( p 0)的参数方程?
x
y
2p
tan
2p
tan2
(为参数）
x y
2 2
pt pt
2
(t为参数)
用不同的参数方程动态 描述轨迹形成过程.
1、若曲线x 2 pt 2 (t为参数)上异于原点的不同 y 2 pt
2.2.2-2.2.3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
[研一题] [ 例 3]
x＝4secθ， y＝3tan θ
如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线 (θ 为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双
曲线渐近线的最大距离．
[精讲详析]
本题考查椭圆及双曲线的参数方程， 解答本题需
要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条 件求出椭圆的参数方程求解即可． x2 y2 ∵16－ 9 ＝1，∴右焦点(5,0)，右顶点(4,0)．
பைடு நூலகம்
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线 OM 为终边的角．
[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P， P 到直线 y＝x 的 使
[精讲详析]
本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程， 设出 P 点的坐标， 建立方程求解． 设 P 的坐标为(secφ， φ)， P 到直线 x－y＝0 的距离为 2 tan 由 |secφ－tan φ| 得 ＝ 2 2 1 sin φ 得|cos φ－cos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
[悟一法] 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲 线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解 过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可 将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
[通一类] 1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶 点．
证明：设双曲线为 x2－y2＝a2，取顶点 A(a,0)， 弦 B′B∥Ox，B(asecα，atan α)，则 B′(－asecα，atan α)． atan α atan α ∵kB′A＝ ，kBA＝ ， －asecα－a asecα－a ∴kB′A·BA＝－1. k ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.