信号时频分析-讲义
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从Fourier 分析到小波分析
1 Fourier 分析
所有客观存在的事物都包含着大量标志其本身所存的时间空间特征的数据，这就是该事物的信息。当人们要了解事物某方面的情况时，通常要以各种手段把所需的信息表达出来，供人们观测和分析，这种对信息的表达形式称之为“信号”，所以信号是信息的载体。信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，发电机组运行时的温度信号和振动信号等。
对一个给定的信号或过程，如)(t x ，我们可以用众多的方法来描述它，
如)(t x 的函数表达式，通过Fourier 变换所得到的)(t x 的频谱，即)(?ωx
，再如)(t x 的相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。Fourier 变换和反Fourier 变换作为
桥梁建立了信号)(t x 与其频谱)(?ωx
之间的一对一映射关系，从时域到频域的映射关系为Fourier 变换：
?∞
∞--=dt e t x x t j ωω)()( (1-1)
反过来，从频域到时域的映射关系为反Fourier 变换：
?∞
∞-=ωωπωd e x t x t j )(21
)( (1-2)
Fourier 变换的本质思想是用一些简单的基本函数的加权和来近似和表示一个复杂的函数，这样的近似和表示有很多优点，它给我们分析和认识复杂现象提供了一种有效的途径，一些在时域内难以观察的现象和规律，在频域内往往能十分清楚地显示出来。
Fourier 变换和反Fourier 变换属于整体或全局变换，即只能从整体信号的时域表示得到其频谱，或者只能从整体信号的频域表示得到信号的时
域表示。也就是说频谱)(?ωx
的任一频点值都是由时间过程)(t x 在整个时域(-∞,∞)上的贡献所决定；反之，过程)(t x 在某一时刻的状态也是由其频谱)(?ωx
在整个频域(-∞,∞)上的贡献所决定。也就是说，)(t x 在任何时刻的微
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小变化都会牵动整个频谱，而任何有限频段上的信息都不足确定任意小时间范围内的过程)(t x 。因此，Fourier 变换建立的只是一个域到另一个域的
桥梁，并没有把时域和频域组合在一起，所以频谱)(?ωx
只是显示了信号)(t x 中各频率分量的振幅和相位，而无法表现信号各频率分量随时间变换的关系。
t / s t / s (a) x 1(t ) (b) x 2(t )
图2.1 信号x 1(t )和x 2(t )
图2.1中的两个信号x 1(t )、x 2(t )可很好地说明Fourier 变换的局限性，
它们的时域表示如下：
)18sin()12sin()6sin()(1t t t t x πππ++= 0≤t ≤4s (1-3)
???≤≤+<≤+=s 4t 2 )(18sin 2)(12sin s 2t 0 )(12sin )(6sin 2)(2t t t t t x ππ
π
π (1-4) 这两个信号都是由三种频率分量组成，但它们的持续过程是不一样的，在x 1(t )中，三种分量一直存在；而在x 2(t )中，只有一个分量一直存在，另两个只是分别占信号整个过程的前一半和后一半。
f / Hz f / Hz
(a)21|)(?|ωx (b)22|)(?|ωx 图2.2 信号x 1(t )和x 2(t )的频谱
图2.2是这两个信号的频谱21|)(?|ωx
、22|)(?|ωx ，显然这两个不同的信号有相同的频谱，这说明Fourier 分析不能将这两个信号区分开。
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2 短时Fourier 分析
2.1 基本定义
为了克服Fourier 变换不能同时进行时间——频率局域性分析的缺点，因发明全息照相技术而获诺贝尔奖的Gabor 于1946年提出了短时Fourier 变换(STFT)。短时Fourier 变换的思想是把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性则是通过时间域加窗来实现，所以也称为加窗Fourier 变换，定义如下：
?∞
∞---=dt e t g t x t j x ωτωτ)()(),(STFT (2-6) 式中)(t g 是分析窗函数，它在时域是紧支的，一般选用能量集中在低频处的实偶函数。随着τ的不断变化，由g 所确定的窗口在时间轴上移动，使分析信号)(t x 逐步进入被分析的状态，因此该变换反映了信号)(t x 在时刻为τ、频率为ω的分量的相对含量。
Gabor 采用Gauss 函数)(t g a (式2-7)作为分析窗函数，因此用Gauss 函数作为窗函数的短时Fourier 变换也称Gabor 变换),(τωx G 。Gauss 函数是
紧支的，它的Fourier 变换也是Gauss 函数)(?ωa g
(式2.2-8)，从而保证了Gabor 变换在时域和频域都具有局域化功能。
a t a e a
t g 4/221)(-=π (2-7) 2
)(?ωωa a e g -= (2-8)
t / s rad/s (a))(t g a (b))(?ωa g
图2.3 Gauss 函数)(t g a 及其Fourier 变换)(?ωa g
可以证明，对于Gabor 变换，式2-9是成立的
?∞
∞-=)(?),(ωττωx
d G x (2-9)
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这说明信号x (t )的Gabor 变换按窗口宽度精确地分解了x (t )的频谱)(?ωx
，提取了它的局部频谱信息，当τ在整个时间轴上平移时，就给出了x (t )的完整的Fourier 变换，因此没有损失x (t )在频域上的任何信息。 短时Fourier 变换是能量守恒变换，对于任何窗函数下式都成立
???
∞∞-∞∞-∞∞-=τωωτπd d dt t x x 22|),(STFT |21|)(| (2-10) 在归一化条件下，即dt t x ?∞∞
-2|)(|＝1，短时Fourier 变换是可逆的，其逆变换公式如下 ??∞∞-∞∞--=
τωτωτπωd d e t g t x t j x )(),(STFT 21)( (2-11) 这里用短时Fourier 变换对上节中的信号x 1(t )和x 2(t )进行了分析，图2.4和图2.5给出了变换结果和相应的3D 显示效果。
t / s 图2.4 信号x 1(t )的Gabor 变换(窗口长度为1/8的信号长度)
t / s 图2.5 信号x 2(t )的Gabor 变换(窗口长度为1/8的信号长度)
通过图2.4和图2.5可以很容易地辨识出信号x 1(t )和x 2(t )，它们各个频率分量的持续时间也可轻易地知道，如对x 1(t )，它的三个频率成份就一直
f / H z 12
0 6
f / H z 0
20
40
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存在，而x 2(t )中，只有一个频率成份一直存在，而其它两个频率成份只是占据了信号整个过程的前一半和后一半。
2.2.2 短时Fourier 变换的时频分辨率
短时Fourier 变换是一种时频变换，从上面的例子可以看出，它可以方便地分析非平稳信号，现在很自然会产生这么一个问题，是不是窗口越小越好呢？先看两个极端的例子。当窗口函数选择为)(τδ时，这时
ωττωτj x e x -=)(),(STFT (2-12)
信号的STFT 变成了信号x (t )，它保持了信号的所有时间特征，有完美的时域分辨率，却无任何频域分辨率。另外，当取无限宽的窗函数时，即g (t )=1时，此时的短时Fourier 变换退化成一般的Fourier 变换，这时
)(?),(STFT ωωτx
x = (2-13) 信号的STFT 变成了信号)(?ωx
，它有极好的频率分辨率，但没有任何时间分辨率。为了分析Fourier 变换的时频局部化特性，引入相空间的概念。
所谓一个相空间是指以“时间”为横坐标，以“频率”为纵坐标的欧氏空间，而相空间中的有限区域被称为窗口。相空间的作用是用来刻画一定的物理状态，因此它具有很强的工程背景。
从数学上来说，如果函数)()(2R L t g ∈，且)()(2R L t tg ∈，则)(t g 被称为窗口函数，相空间的点),(00ωt
???
????==??∞∞-∞∞-ωωωωωd g g dt t g t t g t 220220|)(?|)(?1 |)(|)(1 (2-14) 被称为窗函数)(t g 的中心。式中，)(?ωg
为窗函数)(t g 的Fourier 变换(下同)。定义： ????????????? ??-=????? ??-=???∞∞-∞∞-2/122022/12202|)(?|)()(?1?)()()(1ωωωωωd g g g dt t g t t t g g (2-15)
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为窗函数)(t g 的时宽和频宽。相空间中以),(00ωt 为中心，以长为g ?2，宽
为g
?2?的平行于坐标轴的矩形称为由g (t )所确定的时频窗口。若g ?越小，则说明)(t g 在时域上的局部化程度越高，当用这么一个窗进行短时Fourier
变换时，将取得较好的时域分辨率；同样，若g
??越小，则说明)(t g 在频域上的局部化程度越高，用于短时Fourier 变换时，将取得较好的频域分辨率。可以证明
g
g ???≥1/2 (2-16) 这就是Heisenberg 测不准原理在时频变换中的表现，它表明g ?和g
??之间存在一定的制约关系，两者不可能同时都任意小。当且仅当g (t )取Gauss 函数时，式(2.2-16)中等号才成立。从物理的直观意义上讲，信号的频率必须至少在一个周期内(t ?≥0/1ω)进行测量，精确测量并认定某一时刻的频率是多少是没有意义的。
图2.6 短时Fourier 变换的相空间表示
图2.6给出了短时Fourier 变换的相空间表示。很明显窗口函数g (t )一
旦选定，g ?和g ??也随之确定。因此，对于任意给定的0t 和0ω，短时Fourier
变换的时频分辨率可由尺度固定的分辨基元)]?()[(0g
g t o ?±??±ω来表示，也就是说，短时Fourier 变换在相空间中任何一点(00,ωx )给出的关于信号
x (t )的信息，都是由g ?和g
??这两个不确定量限定的。 由于短时Fourier 变换的时频窗口有相同的时宽和频宽，也就是窗口的大小形状是固定不变的，它在时域和频域的分辨率是固定不变的，即在高频段和低频段有同样的分辨率，这在图2.4和图2.5上有很好的表现，可看出信号中的三个不同的频率成份在图上表现出了同样的带宽。为了更好
地说明g ?和g
??之间的相互制约性，这里用不同宽度的窗函数对前面的信号x 1和信号x 2进行了分析，如图2.7所示。
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t / s t / s 图2.7 信号x 1(t )和x 2(t )的Gabor 变换(窗口长度为1/4的信号长度) 和图2.4和图2.5相比，那里的窗口宽度为1/8的信号长度，而现在的窗口用的是1/4的信号长度。可明显看出，图2.7中的频率分辨率提高了，每个频率分量都在上面表现为比图2.4和图2.5中更窄的带。而它在时域的分辨精度下降了，这通过信号x 2(t )的分析可看出。在图2.5中，两个各占信号过程一半的分量基本上以2s 点为分界，而在图2.7中，这两个分量在时间轴上却出现了交叠。
通过上面的分析可知，当用短时Fourier 变换分析信号时，如果想对高频分量分析取得很好的时域分辨率，就必须选择宽带的短时窗；如果想对低频分量分析取得很好的频域分辨率，就必须选择窄带的宽时窗，但无法同时达到这两个目的。而实际的信号过程是很复杂的，无论是单一的还是多分量的信号，为了提取高频分量或速变成份的信息，时域窗口g ?应尽量
窄，而同时容许频域窗g
??适当放宽，因为更高频率分量即使有较大的绝对频率误差，仍可以使相应的相对误差保持不变；对于慢变信号或低频成份，
频域窗口g
??就应当尽量缩小，保证有较高的频率分辨率，以保证频率的相对误差满足提取信息的基本需要。简而言之，实际的信号的分析需要时频
窗口具有自适应性，它可按上面的情形自动改变g ?和g
??的大小，高频时频窗宽，时窗窄；低频时则频窗窄，时窗宽。这么一个自适应窗口的相空间特性可用图2.8表示。
12 0 6 f / H z f / H z 0
20
40
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图2.8 自适应窗的相空间表示
短时Fourier 变换还有一个缺点就是它的离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这也大大限制了其应用范围。
3 连续小波变换
从Fourier 变换到短时Fourier 变换再到对自适应窗口的需求反映了信号分析处理过程中一个共同的基本要求，这就是具有自适应窗口特性和平移功能，为了实现高效算法，要求对信号x (t )进行变换处理的积分核应具有正交基。归结起来，变窗口、平移和正交性是作为信号分析最有效的数学工具的主要条件。小波变换(Wavelet Transform)正是为了满足这个需求而发展起来的。
3.1基本定义
设x (t )是一有限能量函数，即)()(2R L t x ∈，则该函数的小波变换定义为以函数族)(,t b a ψ为积分核的积分变换，如下式所示
);,(ψb a W x ,()()a b x t t dt ψ∞
-∞=? a >0 (3-17) 函数族)(,t b a ψ由基本小波函数)(t ψ通过伸缩和平移产生，如下所示
)()(2/1,a
b t a t b a -=-ψψ (3-18) 式中a 是尺度参数，b 是定位参数，2/1-a 因子是归一化常数，用来保证变
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换的能量守恒，即
??∞
∞
-∞∞-==dt t dt t t b a b a 22,2,|)(||)(|||)(||ψψψ (3-19) 小波函数的频域表示如下 )(?)(?,ωψωψ
ωa e a j b a -= (3-20) 可以看出，当a 减小时，小波函数的时宽减小，频宽增大，且)(,t b a ψ的窗口中心向|ω|增大方向移动；当a 增大时，小波函数的频宽减小，时宽增大，且)(,t b a ψ的窗口中心向|ω|减小方向移动。这说明连续小波变换的局部化是变化的，在高频处时域分辨率高，频域分辨率低；而在低频处时域分辨率低，频域分辨率高，即具有“变焦”的性质，这也正是我们追求的自适应窗的性质。下面以常用的Morlet 小波函数来说明。
rad/s rad/s rad/s
a = 0.5 a = 1 a = 2 图2.9 不同尺度下的Morlet 小波函数及其频谱(50=ω)
Morlet 小波是最常用的复值小波，由下式给出
2/2/4/12200)()(t t j e e e t -----=ωωπ
ψ (3-21)
其Fourier 变换为 ][)(?2/2/2/)(4/122020ωωωωπωψ
------=e e
e (3-22) 当0ω≥5时，020≈-ωe ，则Morlet 小波函数可简化如下 2/4/120)(t
t j e e t ---=ωπψ (3-22)
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其Fourier 变换相应地变为
2/)(4/120)(?ωωπωψ
---=e (3-23) 图2.9 给出了不同尺度参数a 下的Morlet 小波函数及其频谱，可以看出，当a 增大时，小波函数被延展，对应的Fourier 变换缩小，频域窗口中心减小，反之亦然。另外，可以看出Morlet 小波函数的频谱具有带通的特征，事实上，所有满足下面条件的小波函数的频谱都具有这样的性质。
小波)(t ψ的选择不是唯一的，很多函数可用来作为小波基函数，但也不是任意的，它的选择应该满足以下条件：
1. 定义域是紧支撑的，即在一个很小的区间之外，函数值为零，它保证了
函数的速降特性，以便获得时域局域化。
2. 平均值为零，也就是?∞
∞-=0)(dt t ψ，甚至)(t ψ的高阶矩也应该为零，即
?∞∞-=0)(dt t t k
ψ k = 0,1,…N -1 (3-24) 我们称满足这项要求的小波函数具有k 阶消失矩，它可以消除信号x (t )的多项式展开中k t (k 均值为零的条件也称小波容许条件，即 ∞<=?∞ ∞-ωψωωψd C |||)(?|2 (3-25) 式?∞ ∞--=dt e t t j ωψωψ)()(?，这个条件使函数)(t ψ的波形必定具有振荡性，并且随着k 的增大，)(t ψ的振荡性会越来越强。 从小波变换的定义可看出，小波变换是一线性变换，它的物理图案就是用一族频率不同的振荡函数作为窗口函数)(,t b a ψ对信号x (t )进行扫描和平移，其中a 为改变振荡频率的伸缩参数，b 为平移参数。这时小波变换在某种意义上类似于短时Fourier 变换，但不同的是，小波变换的时域和频域分辨率与频率有关。在高频段，小波变换能达到高时域分辨率，而频域分辨率比较差，对低频段则刚好相反。而短时Fourier 变换在所有频段的时域和频域分辨率都是不变的。 对于所有的x (t )，)()(2R L t ∈ψ，x (t )的连续小波变换的逆变换可由下式 - - 给出 ??∞∞-∞∞--=dadb t b a W a C t x b a x )();,(1)(,2ψψψ (3-26) 利用Parseval 公式和Fourier 变换的相似性，很容易证明上述逆变换公式。这说明信号x (t )的小波变换并没有损失任何信息，变换是守恒的，因而下式成立 ???∞∞-∞ ∞--∞∞-=db b a W da a C dt t x x 222|);,(|1|)(|ψψ (3-27) 2.3 小波变换的分辨率 我们同样可以通过相空间来分析小波变换的分辨率，定义相空间的点),(0?0,,b a b a t ψψω为小波函数)(,t b a ψ的中心。 ???? ?????==????∞∞∞∞-∞∞ -02,02,02,2,0|)(?||)(?||)(||)(|,,ωωψωωψωωψψψψd d dt t dt t t t b a b a b a b a b a b a (3-28) 定义 ??? ??????? ??-=???? ??-=???∞∞-∞∞-2/12,20,2/12,20,|)(?|)(?|)(|)(,,ωωψωωψψψψψd dt t t t b a b a b a b a b a b a (3-29) 为小波函数)(,t b a ψ的时宽和频宽。不难证明下面各式成立 b at t b a +=000 ,1,ψψ (3-30) 000,1,1ψψωωa b a = (3-31) 0,1,ψψ?=?a b a (3-32) 0,1,?1?ψψ ?=?a b a (3-33) 由(3-32)和(3-33)还可推出 =??=??0,10,1,,??ψψψ ψb a b a 常数 (3-34) - - 对小波函数)(,t b a ψ而言，它的频谱)(?,ωψb a 具有带通特性，而0?,b a ψω就是它 的通频带中心，带宽BW 则为2b a ,?ψ ?。由上述公式可看出，随着a 的增大，0?,b a ψω减小，这表明带通的中心向低频分量偏移，这时小波变换分析的是信号的低频分量，而此时 b a ,?ψ ?相应减小，b a ,ψ?相应增大，因此在低频段，小波变换可达到较高的频率分辨率和较低的时域分辨率，反之亦然。这正是我们所需要的图2.8所示的自适应窗的特点。另外，由式(3-34)可知，在小波函数的相空间中，即使每个分辨基元的宽度(确定了时域分辨率)和高度(确定了频域分辨率)在各处不一样，但它的面积是一常数，这也正是Heisenberg 测不准原理在小波变换中的体现。再看看反映小波函数滤波特性的品质因子Q ，由(2.3-31)和(2.3-33)还可推出 常数＝带宽中心频率=?=?=0,10 ,0?2?20,1,ψωψ ωψψb a b a Q (3-35) Q 为常数说明小波变换相当于一个恒Q 的带通滤波器，可用图2.10来表示小波变换的滤波特性。与此相对应，短时Fourier 变换的滤波特性可用2.11来表示。 ω0 ω2 ω4 ω8 ω 图2.10 小波变换的滤波特性 ω0 ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6 ω7 ω8 ω 图2.11 短时Fourier 变换的滤波特性 图2.12则给出了小波变换的相空间表示。 Wigner-Ville 分布 Wigner-Ville 分布可以看作是一大类分布的原型，它们和短时傅立叶变换谱有着本质的 不同。它首先由Wigner 提出，用于量子力学领域问题的研究，后由Ville 引入到信号分析。因为在计算中，信号需要用到两次，因此Wigner-Ville 分布被称为一种二次型分布。 基本定义及计算 Wigner-Ville 分布可由信号x (t )本身或它的频谱)(ωX 定义为如下两种等价方式 ττ+τ-=ωτω -+∞∞-?d )e 21()21(π21)(i t x t x ,t WVD *x , (2.1.1) τθ+ωθ-ω=ωθ+∞∞-?d )e 2 1 ()21(π21)(i t *x X X ,t WVD . (2.1.2) 其中*表示复数共轭。要证明上面两式是等价的，只需将信号写成它的频谱形式，然后将其代入到(2.1.1)式，即可得到(2.1.2)式。式(2.1.1)中，)2/()2/(* ττ+-t x t x 称为信号的瞬时相关函数，因此Wigner-Ville 分布实质上是对信号的瞬时相关函数的傅立叶变换，它的结果能够反映信号的时频特征。 例2.1.1 对于信号 )π400sin()(t t x = )10(≤≤t (2.1.3) 其采样频率为1000 Hz 。图2.1.1是其Wigner-Ville 分布，频率轴划分区间数为512。图中清楚显示，该信号在整个时间段上，只含有一个频率为200Hz 的分量。需要说明的是，图中显示的是Wigner-Ville 分布的绝对值，后面所有图中，如果没有特别注明，都默认显示的是绝对值。 图2.1.1 信号(2.1.3)的Wi gn er-Vi ll e 分布 W i g n e r -V il l e 分布 500 0.2 0.4 0.6 1 0.2 0.4 0.6 0.8 班级 011304 学号 1301120308 题目声频信号的时频分析 学院通信工程学院 专业通信与信息系统 学生姓名白小慧 摘要 我们生活在一个信息社会里，而信息的载体就是信号。在我们身边以及在我们身上，信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，伴随着我们生命始终的心电信号，脑电信号以及心音、脉搏、血压、呼吸等众多的生理信号。 语言作为人类最重要最自然的交流工具，是人类获得信息的重要来源之一.研究声频信号的特性和工业控制领域的语音识别技术，开发实用的语音识别和控制系统，对于语音识别技术的普及与应用具有十分重要的意义。 本文从声音的产生开始，分析声音的特性进而用傅里叶变换和短时傅里叶变换分析声频信号。 关键词：语音识别，傅里叶变换，短时傅里叶变换 ABSTRACT As the most important and natural tool for human's communication, language is one of the most significant sources for human to get information. The research on the characteristics of the audio signals and the speech recognition technology in the field of industrial control and the development of utility system of speech recognition and control are very significant and necessary for the popularization and application of the speech recognition technology. This paper introduces the generation of sound ，some analyses on the characteristics of speech are given. In addition, the audio signals is analyzed via the Fourier transform and short-time Fourier transform. Keywords ：speech recognition，Fourier transform，short-time Fourier transform 时频分析工具箱中提供了计算各种线性时频表示和双线性时频分布的函数，本帖主要列出时频分析工具箱函数简介，以号召大家就时频分析应用展开相关讨论。 一、信号产生函数： amexpo1s 单边指数幅值调制信号amexpo2s 双边指数幅值调制信号amgauss 高斯幅值调制信号 amrect 矩形幅值调制信号 amtriang 三角形幅值调制信号fmconst 定频调制信号 fmhyp 双曲线频率调制信号 fmlin 线性频率调制信号 fmodany 任意频率调制信号 fmpar 抛物线频率调制信号 fmpower 幂指数频率调制信号 fmsin 正弦频率调制信号 gdpower 能量律群延迟信号 altes 时域Altes信号 anaask 幅值键移信号 anabpsk 二进制相位键移信号 anafsk 频率键移信号 anapulse 单位脉冲信号的解析投影anaqpsk 四进制相位键移信号 anasing Lipscjitz 奇异性 anaste 单位阶跃信号的解析投影atoms 基本高斯元的线性组合dopnoise 复多普勒任意信号 doppler 复多普勒信号 klauder 时域Klauder小波 mexhat 时域墨西哥帽小波 二、噪声产生函数 noiseecg 解析复高斯噪声 noiseecu 解析复单位高斯噪声 tfrgabor Gabor表示 tfrstft 短时傅立叶变换 ifestar2 使用AR(2)模型的瞬时频率估计instfreq 瞬时频率估计 sqrpdlay 群延迟估计 三、模糊函数 ambifunb 窄带模糊函数 ambifuwb 宽带模糊函数 四、Affine类双核线性时频处理函数tfrbert 单式Bertrand分布 tfrdfla D-Flandrin分布 tfrscalo 尺度图 tfrspaw 平滑伪Affine类Wigner分布tfrunter Unterberger分布 五、Cohen类双核线性时频处理函数 tfrbj Born-Jordan分布 tfrbud Butterworth分布 tfrcw Choi-Williams分布 tfrgrd 归一化的矩形分布 tfrmh Margenau-Hill分布 tfrmhs Margenau-Hill频谱分布tfrmmce 谱图的最小平均互熵组合tfrpage Page分布 tfrwv 伪Wigner-Ville分布 tfrri Rihaczek分布 tfrridb 降低交叉项的分布（Bessel 窗） - - 从Fourier 分析到小波分析 1 Fourier 分析 所有客观存在的事物都包含着大量标志其本身所存的时间空间特征的数据，这就是该事物的信息。当人们要了解事物某方面的情况时，通常要以各种手段把所需的信息表达出来，供人们观测和分析，这种对信息的表达形式称之为“信号”，所以信号是信息的载体。信号是无处不在的。如我们随时可听到的语音信号，随时可看到的视频图像信号，发电机组运行时的温度信号和振动信号等。 对一个给定的信号或过程，如)(t x ，我们可以用众多的方法来描述它， 如)(t x 的函数表达式，通过Fourier 变换所得到的)(t x 的频谱，即)(?ωx ，再如)(t x 的相关函数，其能量谱或功率谱等。在这些众多的描述方法中，有两个最基本的物理量，即时间和频率。Fourier 变换和反Fourier 变换作为 桥梁建立了信号)(t x 与其频谱)(?ωx 之间的一对一映射关系，从时域到频域的映射关系为Fourier 变换： ?∞ ∞--=dt e t x x t j ωω)()( (1-1) 反过来，从频域到时域的映射关系为反Fourier 变换： ?∞ ∞-=ωωπωd e x t x t j )(21 )( (1-2) Fourier 变换的本质思想是用一些简单的基本函数的加权和来近似和表示一个复杂的函数，这样的近似和表示有很多优点，它给我们分析和认识复杂现象提供了一种有效的途径，一些在时域内难以观察的现象和规律，在频域内往往能十分清楚地显示出来。 Fourier 变换和反Fourier 变换属于整体或全局变换，即只能从整体信号的时域表示得到其频谱，或者只能从整体信号的频域表示得到信号的时 域表示。也就是说频谱)(?ωx 的任一频点值都是由时间过程)(t x 在整个时域(-∞,∞)上的贡献所决定；反之，过程)(t x 在某一时刻的状态也是由其频谱)(?ωx 在整个频域(-∞,∞)上的贡献所决定。也就是说，)(t x 在任何时刻的微 ? ? ? ? ? ? ? ∞ ∞ ? ? ? ? ? ? 1 0 0 n 信号的时频分析实验 一、实验目的 1、 掌握 Matlab 对信号时频分析方法。 2、 掌握能量信号、周期性功率信号和非周期性功率信号的概念。 3、 掌握能量信号和功率信号的截断信号的时频域特性。 4、 掌握相关函数的概念及与功率谱的关系。 二、实验原理 1、能量信号的时频分析 （1） 能量信号：能量有限的信号，满足0 < E = ∞ s 2 (t )dt < ∞ 。如时间受限信号。 -∞ （2） 能量信号的频谱密度 能量的频谱密度为： S ( f ) = ∞ s (t )e - j 2t dt -∞ S ( f ) 的逆变换为原信号： s (t ) = ∞ S ( f )e j 2ft df -∞ 也可以表示为： S () = ∞ s (t )e - j t dt ， -∞ s (t ) = 1 ∞ S ()e j t d 2 -∞ （3） 能量谱密度 根据帕塞瓦定理（能量守恒），可以知道 E = ∞ | s (t ) |2dt = ∞ | s ( f ) |2df -∞ -∞ 因此，可以将G ( f ) =| s ( f ) |2 看成是信号的能量谱密度，表示能量随频率的分布。 （4） 能量信号的相关函数 能量信号的自相关函数定义： R () = ? -∞ s (t )s (t +)dt 能量信号的互相关函数定义： R 12 () = ? -∞ s 1 (t )s 2 (t +)dt , （5） 能量信号的相关函数和能量谱密度的关系 - ∞ << ∞ - ∞ << ∞ f [R ()] = ∞ ∞ s (t )* s (t +)e -i 2f d dt = ∞ ∞ s (t )* e i 2ft s (t +)e -i 2f (t +)d dt -∞ -∞ -∞ -∞ ?v ?=t +?z →[ ∞ s (t )e -i 2ft dt ]* ∞ s (v )e -i 2fv dv =| S ( f ) |2 -∞ -∞ 由此可看到，能量信号的自相关与其能谱密度是一对傅立叶变换对。 2、功率信号的时频分析 （1） 功率信号：如果信号的能量无穷大，但其功率存在，则称该信号为功率信号， （2） 功率信号的频谱函数 设 s (t ) 为周期性功率信号， T 0 为周期，则有C n = C (nf 0 ) = ? T 0 / 2 s (t )e - j 2 nf 0t dt T 0 -T 0 / 2 式中， C (nf ) 为复数，表示为C (nf ) =| C | e j n 短时傅里叶变换（STFT）算法研究与仿真实现 学号： 姓名： 短时傅里叶变换（STFT）算法研究与仿真实现 摘要：本文首先介绍了时频分析的发展，然后主要介绍了一种时频变换技术——短时傅里叶变换（STFT）的基本原理和特点，并应用短时傅里叶变换的方法对仿真信号进行了时频分析。最后，介绍了时频变换在雷达方面的具体应用。 关键词：时频分析，STFT 1引言 傅里叶变换是应用最广泛的信号分析工具之一，其基本观点是一个任意信号总是可以分解成一组不同频率的正弦信号，即实质上是将信号投影为一组基函数的过程，每一个基函数是频率固定的正弦波，投影的结果形成了原始信号的傅里叶变换，它在一个特定频率的值是信号与该频率正弦基相似性的度量，因此，信号的频率特性可以通过傅里叶变换表现出来。 现实世界中许多信号的频率是随时间变换的，在这种情况下，利用简单的正弦波作为基函数并且通过频谱来描述信号不总是最好的办法，时频变换就是为了描述信号的时变频率分量而发展起来的。时间信号的时频表示开始于Gabor，称为短时傅里叶变换（STFT）。它是一个移动窗口傅里叶变换，通过移动时间窗口来分析信号频率分量，这样得到一个二维的时频分布，称为谱图，谱图包含了信号在不同时间的频率信息。 时频变换主要分为两类：线性时频变换和双线性变换。本文主要讨论的STFT 是线性时频变换，而双线性变换的典型算法是Wigner-Ville分布(WVD)。 本文主要研究了短时傅里叶变换（STFT）的基本原理和特点，并应用短时傅里叶变换的方法对仿真信号进行了时频分析。最后，介绍了时频分析在雷达方面的具体应用。 2 短时傅里叶变换(STFT) 2.1 连续信号的STFT 分析时变频率分量信号的一种标准方法是把时间信号分成许多段，然后对每傅里叶变换，即为STFT 操作，信号()x t 的短时傅里叶变换定义如下： ()()(),j x t x t e d STFT ττττηΩ∞* Ω=-?-∞ （0-1） 短时傅里叶变换与傅里叶变换唯一的区别就是给定了一个窗函数()t η去截取()x t ，对截下来的局部信号做傅里叶变换，即可得到t 时刻的该段信号的傅里叶变换。由于窗函数()t η的存在使短时傅里叶变换具有了局部特性，它既是时间的函数，又是频率的函数。对给定的时间t ，(),x t STFT Ω可以看作是该时刻的频谱。为了提高短时傅里叶变换的时间分辨率，需要选择尽可能短的窗函数()t η；另一方面要得到高的频率分辨率，要求选择的时间的窗函数()t η的时间宽度尽可能的长，因此与时间分辨率的提高相矛盾。对于非平稳信号，利用短时傅里叶变换方法很难找到一个合适的时间窗口来适应不同的时间段，这是它最大的不足之处。 与其它的时频分布（如Wigner 分布）的方法相比，基于短时傅里叶变换的微多普勒有速度快、算法简单、易实现等特点。 2.2 离散信号的STFT 实际应用中要实现一个信号的STFT ，必须对该信号进行离散化，且为有限长。设采样后的信号为()n x ，0,1,,1n L =-L ，对应式（（0-1）有 ()()()()(),,j j n j n x n m e x n n mN e x n g n mN e STFT g ωωω* -=-=-∑ （0-2） 式子中N 是在时间窗函数移动的步长；s T ω=Ω是圆周频率，s T 为由()x t 得到()n x 的采样间隔。式（0-2）对应傅里叶变换中的DTFT ，即时间是离散的，频率是连续的。为了在工程中实现，还应将ω离散化，令2k k M π ω= ，则 信号的时频分析实验 一、实验目的 1、 掌握Matlab 对信号时频分析方法。 2、 掌握能量信号、周期性功率信号和非周期性功率信号的概念。 3、 掌握能量信号和功率信号的截断信号的时频域特性。 4、 掌握相关函数的概念及与功率谱的关系。 二、实验原理 1、能量信号的时频分析 （1）能量信号：能量有限的信号，满足20()E s t dt ∞ -∞ <=<∞? 。如时间受限信号。 （2）能量信号的频谱密度 能量的频谱密度为：2()()j t S f s t e dt π∞ --∞ = ? ()S f 的逆变换为原信号：2()()j ft s t S f e df π∞-∞ =? 也可以表示为：()()j t S s t e dt ωω∞ --∞ =? ， 1 ()()2j t s t S e d ωωωπ ∞ -∞ = ? （3）能量谱密度 根据帕塞瓦定理（能量守恒），可以知道2 2|()||()|E s t dt s f df ∞ ∞ -∞ -∞ = =? ? 因此，可以将2 ()|()|G f s f =看成是信号的能量谱密度，表示能量随频率的分布。 （4）能量信号的相关函数 能量信号的自相关函数定义：()()()R s t s t dt τττ∞ -∞ = +-∞<<∞? 能量信号的互相关函数定义：121 2()()(), R s t s t dt τττ∞ -∞= +-∞<<∞? （5）能量信号的相关函数和能量谱密度的关系 222() 222 [()]()*()()*()[()]*()|()|i f i ft i f t v t z i ft i fv f R s t s t e d dt s t e s t e d dt s t e dt s v e dv S f πτ ππτππτττττ∞ ∞ ∞ ∞ --+-∞-∞ -∞-∞ ∞ ∞=+---∞ -∞ =+=+???→=? ? ? ? ?? 由此可看到，能量信号的自相关与其能谱密度是一对傅立叶变换对。 2、功率信号的时频分析 （1）功率信号：如果信号的能量无穷大，但其功率存在，则称该信号为功率信号， （2）功率信号的频谱函数 设()s t 为周期性功率信号，0T 为周期，则有000/2 20/2 1()()T j nf t n T C C nf s t e dt T π--==? 式中，0()C nf 为复数，表示为0()||n j n C nf C e θ= 实验一 信号的时频分析实验 一、实验目的 1、 掌握用Matlab 对信号时频分析方法。 2、 掌握能量信号、周期性功率信号以及非周期性功率信号的概念。 3、 掌握能量信号以及功率信号的截断信号的时频域特性。 4、 掌握相关函数的概念以及与功率谱的关系。 二、实验原理 1、能量信号的时频分析 （1）能量信号：能量有限的信号，满足20()E s t dt ∞ -∞ <=<∞? 。如时间受限信号。 （2）能量信号的频谱密度 能量的频谱密度为：2()()j t S f s t e dt π∞ --∞ = ? S(ω)的逆变换为原信号：2()()j ft s t S f e df π∞ -∞ =? 也可以表示为：()()j t S s t e dt ωω∞ --∞ = ? ， 1 ()()2j t s t S e d ωωωπ ∞ -∞ = ? （3）能量谱密度 根据帕塞瓦定理（能量守恒），可以知道 22|()||()|E s t dt s f df ∞∞ -∞ -∞ ==?? 因此，可以将2 ()|()|G f s f =看成是信号的能量谱密度，表示能量随频率的分布。 （4）能量信号的相关函数 能量信号的自相关函数定义：()()()R s t s t dt τττ∞ -∞ = +-∞<<∞? 能量信号的互相关函数定义：121 2()()(), R s t s t dt τττ∞ -∞= +-∞<<∞? （5）能量信号的相关函数和能量谱密度的关系 222() 222 [()]()*()()*()[()]*()|()|i f i ft i f t v t z i ft i fv f R s t s t e d dt s t e s t e d dt s t e dt s v e dv S f πτ ππτππτττττ∞ ∞ ∞ ∞ --+-∞-∞ -∞-∞ ∞ ∞=+---∞ -∞ =+=+???→=? ? ? ? ?? 由此可看到，能量信号的自相关与其能谱密度是一对傅立叶变换对。 22()|()|()j f G f S f R e d πτττ∞ --∞ ==? 2()()j f R G f e df πττ∞ -∞ =? 21212()()j f G f R e d πτ ττ∞ --∞ =?21212()()j f R f G e d πτττ∞ -∞ =? 2、功率信号的时频分析 第三章 信号时频分析 信号分析的目的是要寻找一种简单有效的变换方法对该信号进行变换,使该信号所包含的重要特征能够显示出来,从而提取出有用的信号特征。用各种不同的方法对信号进行分析通常需要作各种不同的先验假设，当这种假设成立时,其对应的分析方法可以给出正确的分析结果,显然,对不同的信号必须有不同的假设,采用不同的分析方法。在“信号分析与处理”课程中, 我们对信号只是在时域或频城进行分析和处理, 通常信号用时间作自变量表示, 通过付里叶变换将其分解成不同的频率成分,也就是说信号可以用频率作为自变量来表示。在前面讨论随机信号时,平稳的随机信号用它的二阶统计量进行表示,即在时域用相关函数,频域用功率谱,相关函数与功率谱之间也以付里叶变换作为桥梁。前面的这些讨论是对平稳的或时不变的信号而言的。 本章我们讨论非平稳或时变信号的分析方法----信号的时频表示与分析，它是在时间-频率域而不是单一的时间域或频率域来表示信号。所谓时变就是指信号的统计特性是随时间而变化的。由于平稳信号只是非平稳信号的一种特殊情况,即最简单的非平稳信号，因而信号的时频分析适合于平稳和非平稳、时变和非时变信号。但是,我们讨论的只是线性时频表示,主要包括:短时付里叶变换,Gabor 变换和小波变换的基本概念。 第一节 概论 一. 基本概念 付里叶变换与付里叶反变换建立了信号)(t f 和它的频谱)(ωF 之间的对应关系: ? ∞∞ --==dt e t f f F t j ωωω)()(?)( (3-1。1) ωωπω?∞∞ -= d e f t f t j )(?21)( (3-1。2) 其重要性在于Fourier 变换是域变换，它把时间域与频率域联系起来，在时间域内难以观察的现象和规律，在频率域内往往能十分清楚地显示出来。时间域和频率域构成了一个信号的两种表示方式。。虽然付里叶变换建立了从一个域到另一个域的一种数学表示方法,但是这两个域是不同的,它们并没有构成一个通一的域。信号的时间信息在频域是很难得到的,频谱)(ωF 只是显示任一频率ω包含信号时频分析-讲义-WVD
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