初中数学圆的易错题汇编及答案

初中数学圆的易错题汇编及答案

一、选择题

1．已知线段AB 如图，

(1)以线段AB 为直径作半圆弧?AB ，点O 为圆心；

(2)过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、，交?AB 于点E F 、；

(3)连接,OE OF ．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )

A ．CE DF =

B ．??AE BF =

C ．60EOF ∠=?

D ． =2C

E CO

【答案】D

【解析】

【分析】 根据作图可知AC CO OD DB ===,据此对每个选项逐一判断即可.

【详解】

根据HL 可判定ECO FDO ?V V ,得CE DF =，A 正确；

∵过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、，连接AE ，

CE 为OA 的中垂线，AE OE =

在半圆中，OA OE =

∴OA OE AE ==,AEO △为等边三角形，60EOF =o ∠AOE=∠FOD=∠, C 正确；

∴圆心角相等，所对应的弧长度也相等，??AE BF

=，B 正确 ∵60,90EOC =o o ∠AOE=∠, ∴=3CE CO ，D 错误

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键在于证明60o ∠AOE=.

2．如图，⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC ，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C 的度数是（ ）

A．25°B．27.5°C．30°D．35°

【答案】D

【解析】

分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．

详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，

∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，

∴∠AOC=2∠B=50°，

∴∠C=180°-95°-50°=35°

故选D．

点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．

3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( )

A．1 B．3

2

C．3D．

5

2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

OE=1

2

AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解.

【详解】

解：连接CE，

∵E点在以CD为直径的圆上，

∴∠CED=90°，

∴∠AEC=180°-∠CED=90°，

∴E点也在以AC为直径的圆上，

设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8，

∴OC=1

2

AC=4，

∵BC=3，∠ACB=90°，

∴OB=22

=5，

OC BC

∵OE=OC=4，

∴BE=OB-OE=5-4=1.

故选A.

【点睛】

本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质和勾股定理.

4．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣2，7）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】C

【解析】

【分析】

设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可．

【详解】

设P（x，y），

∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，

∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，

∵OP2＝x2+y2，

∴PA2+PB2＝2OP2+2，

当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值，

∴OP的最小值为CO﹣CP＝3﹣1＝2，

∴PA 2+PB 2最小值为2×22+2＝10．

故选：C ．

【点睛】

本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P 坐标，将所求代数式的值转化为求解OP 的最小值，难度较大．

5．下列命题中，是假命题的是( )

A ．任意多边形的外角和为360o

B ．在AB

C V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V

C ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边

D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等

【答案】D

【解析】

【分析】

根据相关的知识点逐个分析．

【详解】

解：A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题；

B. 在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V ，根据HL ，是真命题；

C. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，是真命题；

D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本选项是假命题.

故选D ．

【点睛】

本题考核知识点：判断命题的真假. 解题关键点：熟记相关性质或定义．

6．已知某圆锥的底面半径为3 cm ，母线长5 cm ，则它的侧面展开图的面积为（ ） A ．30 cm 2

B ．15 cm 2

C ．30π cm 2

D ．15π cm 2

【答案】D

【解析】

试题解析：根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得：

S ＝RL π＝15π

故选D.

7．如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，连接AD ，若∠DAC ＝30°，DC ＝1，则⊙O 的半径为（ ）

A．2 B．3C．2﹣3D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°，结合∠DAC=30°，DC=1得AC=2DC=2，∠C=60°，再由AB=ACtanC=23可得答案．

【详解】

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BDA＝∠ADC＝90°，

∵∠DAC＝30°，DC＝1，

∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，

则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝23，

∴⊙O的半径为3，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角函数的应用．

的扇形无重叠地围成一个圆锥，则这个圆锥的高8．如图，用半径为12cm，面积2

72cm

为（）

A．12cm B．6cm C．6√2 cm D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角，再利用周长公式计算出底面圆的周长，得出半径．再构建直角三角形，解直角三角形即可．

【详解】

72π=212360n π? 解得n=180°， ∴扇形的弧长=

18012180

π?=12πcm ． 围成一个圆锥后如图所示：

因为扇形弧长=圆锥底面周长

即12π=2πr

解得r=6cm ，即OB=6cm

根据勾股定理得OC=22126=63-cm ，

故选D ．

【点睛】

本题综合考查了弧长公式，扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长，及勾股定理等知识，所以学生学过的知识一定要结合起来．

9．木杆AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线，其中正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】

解：如右图，

连接OP ，由于OP 是Rt △AOB 斜边上的中线，

所以OP=12

AB ，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP 是一个定值，点P 就在以O 为圆心的圆弧上，那么中点P 下落的路线是一段弧线．

故选D ．

10．如图，点E 为ABC ?的内心，过点E 作MN BC P 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（ ）

A ．3．5

B ．4

C ．5

D ．5．5

【答案】B

【解析】

【分析】 连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以

767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56

MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．

【详解】

连接EB 、EC ，如图，

∵点E 为△ABC 的内心，

∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，

∴∠1=∠2，

∵MN∥BC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴BM=ME，

同理可得NC=NE，∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴MN AM

BC AB

=，即

7

67

MN BM

-

=，则BM=7-

7

6

MN①，

同理可得CN=5-5

6

MN②，

①+②得MN=12-2MN，

∴MN=4．

故选：B．

【点睛】

此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．

11．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）

A．1

3

B．

1

2

C．

3

4

D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长．

【详解】

圆锥的底面周长是：π；

设圆锥的底面半径是r，则2πr=π．

解得：r=1

2

．

故选B．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

12．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为（ ）

A ．2π

B ．3π

C ．6π

D ．8π

【答案】B

【解析】

【分析】 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．

【详解】 解：圆锥的侧面积为：12

×2π×1×3＝3π， 故选：B ．

【点睛】

此题考查圆锥的计算，解题关键在于掌握运算公式. 13．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=?，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）

A ．12

B ．1

C 3

D 31

【答案】D

【解析】

【分析】

分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．

解：在菱形ABCD中，

∵∠ABC=60°，AB=1，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，最小值为1；

②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD 最小，最小值为31

-

③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；

上所述，PD的最小值为31

-

故选D．

【点睛】

本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

14．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD

边于点F，则FE

EC

＝（）

A．1

2

B．

1

3

C．

1

4

D．

3

8

【答案】C

【解析】

【分析】

连接OE、OF、OC，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF＝∠FOE，证明△EOF∽△ECO，利用相似三角形的性质即可解答．

【详解】

解：连接OE、OF、OC．

∵AD、CF、CB都与⊙O相切，

∴CE＝CB；OE⊥CF； FO平分∠AFC，CO平分∠BCF．

∴∠AFC+∠BCF ＝180°，

∴∠OFC+∠OCF ＝90°，

∵∠OFC+∠FOE ＝90°，

∴∠OCF ＝∠FOE ，

∴△EOF ∽△ECO ， ∴=OE EF EC OE ，即OE 2＝EF?EC ． 设正方形边长为a ，则OE ＝

12a ，CE ＝a ． ∴EF ＝

14a ． ∴EF EC ＝14

． 故选：C ．

【点睛】

本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.

15．如图，3个正方形在⊙O 直径的同侧，顶点B 、C 、G 、H 都在⊙O 的直径上，正方形ABCD 的顶点A 在⊙O 上，顶点D 在PC 上，正方形EFGH 的顶点E 在⊙O 上、顶点F 在QG 上，正方形PCGQ 的顶点P 也在⊙O 上．若BC ＝1，GH ＝2，则CG 的长为（ ）

A ．125

B 6

C 21

D ．22【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

解：连接AO 、PO 、EO ，设⊙O 的半径为r ，OC =x ，OG =y ，

由勾股定理可知：22222222211{22r x r x x y r y =++=++=++（）①

（）②（）③

，②﹣③得到：x 2+（x +y ）2﹣（y +2）2﹣

22=0，∴（x +y ）2﹣22=（y +2）2﹣x 2，∴（x +y +2）（x +y ﹣2）=（y +2+x ）（y +2﹣x ）．∵x +y +2≠0，∴x +y ﹣2=y +2﹣x ，∴x =2，代入①得到r 2=10，代入②得到：10=4+（x +y ）2，∴（x +y ）2=6．∵x +y ＞0，∴x +y =

6，

∴CG =x +y =6．

故选B ．

点睛：本题考查了正方形的性质、圆、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数列方程组解决问题，难点是解方程组，利用因式分解法巧妙求出x 的值，学会把问题转化为方程组，用方程组的思想去思考问题．

16．如图，ABC V 是O e 的内接三角形，且AB AC

=，56ABC ∠=?，O e 的直径CD 交AB 于点E ，则AED ∠的度数为（ ）

A ．99?

B ．100?

C ．101°

D ．102?

【答案】D

【解析】

【分析】 连接OB ，根据等腰三角形的性质得到∠A ，从而根据圆周角定理得出∠BOC ，再根据OB=OC 得出∠OBC ，即可得到∠OBE ，再结合外角性质和对顶角即可得到∠AED 的度数.

【详解】

解：连接OB ，

∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠ACB=56°，

∴∠A=180°-56°-56°=68°=12

∠BOC ，

∴∠BOC=68°×2=136°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=（180°-136°）÷2=22°，

∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=56°-22°=34°，

∴∠AED=∠BEC=∠BOC-∠OBE=136°-34°=102°.

故选D.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是作出辅助线OB，得到∠BOC的度数.

17．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是( )

A．22°B．26°C．32°D．68°

【答案】A

【解析】

试题分析：根据同弧所对的圆心角等于圆周角度数的两倍，则∠BOC=2∠A=136°，则根据三角形内角和定理可得：∠OBC+∠OCB=44°，根据OB=OC可得：∠OBC=∠OCB=22°.

考点：圆周角的计算

18．如图，已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm，则这个圆锥的侧面积为（）

A ．50cm 2

B ．50πcm 2

C ．255cm 2

D ．255πcm 2

【答案】D

【解析】

【分析】 根据勾股定理求出圆锥的母线长，求出底面圆周长，根据扇形面积公式计算即可．

【详解】

解：如图所示，

∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm ， ∴等腰三角形的斜边长＝22105+＝55，即圆锥的母线长为55cm ，圆锥底面圆半径为5，

∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π，即为侧面展开扇形的弧长，圆锥的侧面积＝12

×10π×55＝255πcm 2， 故选：D ．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的轴截面是等腰三角形，勾股定理的应用，以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．

19．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m 的半圆，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（ ）

A ．3m

B ．33

C ．35

D ．4m

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】 如图，由题意得：AP =3，AB =6，90.

BAP ∠=o

∴在圆锥侧面展开图中22

3635.

BP m

=+=

故小猫经过的最短距离是35.m

故选C.

20．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）

A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．

【详解】

根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为

12cm，

所以圆锥的母线长22

5+12=13，

所以这个圆锥的侧面积=1

2

×2π×5×13=65π（cm2）．

故选B．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．