北京市西城区九年级数学 2015— 2016 学年度第一学期期末试卷
D． 5
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则 cosA 的值为 A． C． B． D．
3．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中 OA 边与⊙C 相切于点 P．若∠AOB=90°，OP=6，则 OC 的长为 A．12 C． 6 2 B． 12 2 D． 6 3
4．将二次函数 y x 2 6 x 5 用配方法化成 y ( x h)2 k 的形式，下列结果中正确的是 A． y ( x 6)2 5 C． y ( x 3)2 4 B． y ( x 3)2 5 D． y ( x 3)2 9
1 y x 2 bx c 的图象分别交于 B，C 两点，点 B 在第一象限． 2 1 （1）求二次函数 y x 2 bx c 的表达式； 2 （2）连接 AB，求 AB 的长； （3）连接 AC，M 是线段 AC 的中点，将点 B 绕点 M 旋转 180°得到点 N，连接 AN，CN， 判断四边形 ABCN 的形状，并证明你的结论．
1 ，1) 2Βιβλιοθήκη D．(2，4)7．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 37°方向，距离 灯塔 40 海里的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后， 到达位于灯塔 P 的正东方向上的 B 处．这时，B 处与 灯塔 P 的距离 BP 的长可以表示为 A．40 海里 C．40cos37°海里 B．40tan37°海里 D．40sin37°海里
28．在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC= 4，M 为 AB 的中点．D 是射线 BC 上一个动点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AE ，连接 ED ，N 为 ED 的中点，连接 AN，MN． （1）如图 1，当 BD=2 时，AN=_______，NM 与 AB 的位置关系是____________； （2）当 4<BD<8 时， ①依题意补全图 2； ②判断（1）中 NM 与 AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论； （3）连接 ME，在点 D 运动的过程中，当 BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多 少？请直接写出结果．
25．如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PD⊥AB 于 点 D，交 AC 于点 E． （1）求证：∠PCE=∠PEC； （2）若 AB=10，ED=
3 3 ，sinA= ，求 PC 的长． 2 5
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26．阅读下面材料： 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1 ax b 与 双曲线 y2
24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某 小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计） ．他们 的操作方法如下：如图，他们先在 B 处测得最高塔塔顶 A 的仰角为 45°，然后向最高塔的 塔基直行 90 米到达 C 处，再次测得最高塔塔顶 A 的仰角为 58°．请帮助他们计算出最高 塔的高度 AD 约为多少米． （参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
19．已知抛物线 y x 2 2 x 3 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧． （1）求 A，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴； （2）设此抛物线的顶点为 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求四边形 ACBD 的面积．
20．如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=∠BDC． （1）求证：△ABD∽△DCB； （2）若 AB=12，AD=8，CD=15，求 DB 的长．
． （填“>” ， “<”或“=” ） y2 ．
12．点 A( 3 ， y1 )，B( 2 ， y2 )在抛物线 y x 2 5 x 上，则 y1
13．△ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为 15，则△DEF 的周 长为 ． 14．如图，线段 AB 和射线 AC 交于点 A，∠A=30°，AB=20． 点 D 在射线 AC 上，且∠ADB 是钝角，写出一个满足条件 的 AD 的长度值：AD= ．
2
（2）构造函数，画出图象 设 y3 x 2 4 x 1 ， y4
4 ，在同一坐标系 x
中分别画出这两个函数的图象． 双曲线 y4
4 如图 2 所示，请在此坐标系中 x
2 画出抛物线 ．．．．．y3 x 4 x 1 ；
（不用列表）
图2 （3）确定两个函数图象公共点的横坐标 观察所画两个函数的图象， 猜想并通过代入函数解析式验证可知： 满足 y3 y4 的所 有 x 的值为 （4）借助图象，写出解集 ；
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21．某小区有一块长 21 米，宽 8 米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相 同的矩形绿地， 并且两块绿地之间及四周都留有宽度为 x 米的人行通道． 如果这两块绿地 的面积之和为 60 平方米，人行通道的宽度应是多少米？
22．已知抛物线 C1 ： y1 2 x 2 4 x k 与 x 轴只有一个公共点． （1）求 k 的值； （2）怎样平移抛物线 C1 就可以得到抛物线 C2 ： y2 2( x 1)2 4k ？请写出具体的平移方 法； （3）若点 A（1， t ）和点 B（ m ， n ）都在抛物线 C2 ： y2 2( x 1)2 4k 上，且 n t ， 直接写出 m 的取值范围． 23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且 AB= 4 3 ．点 C，E 分别在⊙O 上，且 OC⊥AB 于点 D， ∠E=30°，连接 OA． （1）求 OA 的长； （2）若 AF 是⊙O 的另一条弦，且点 O 到 AF 的距离为 2 2 ， 直接写出∠BAF 的度数．
5．若一个扇形的半径是 18cm，且它的弧长是 12π cm，则此扇形的圆心角等于 A．30° B．60° C．90° D．120° 6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为( 1 ，2)， AB⊥x 轴于点 B．以原点 O 为位似中心，将△OAB 放大为 原来的 2 倍，得到△OA1B1，且点 A1 在第二象限，则点 A1 的坐标为 A．( 2 ，4) C．(2， 4 ) B．(
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九年级数学
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个 是符合题意的． ．． 1．二次函数 y x 5 7 的最小值是
2
2016.1
A． 7
3 5 4 5
B．7
5 3 3 4
C ． 5
k 交于 A（1，3）和 B（ 3 ， 1 ）两点． x
观察图象可知：①当 x 3 或 1时， y1 y2 ； ②当 3 x 0 或 x 1 时， y1 y2 ，即通过观察函 数的图象，可以得到不等式 ax b
3 2
k 的解集． x
图1
有这样一个问题：求不等式 x 4 x x 4 0 的解集． 某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式 x 4 x x 4 0 的解集进行了探究．
10．二次函数 y 2 x 2 8 x m 满足以下条件：当 2 x 1 时，它的图象位于 x 轴的下方；当
6 x 7 时，它的图象位于 x 轴的上方，则 m 的值为
A． 8
B． 10
C． 42
D． 24
二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．若
a 3 ab 的值为 ，则 b 4 b
图1
图2
备用图
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29． 在平面直角坐标系 xOy 中， 过⊙C 上一点 P 作⊙C 的切线 l． 当入射光线照射在点 P 处时， 产生反射，且满足：反射光线与切线 l 的夹角和入射光线与切线 l 的夹角相等，点 P 称为 反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C 外时，只在圆外进行反射； 当入射光线在⊙C 内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射 光线． 光线在⊙C 外反射的示意图如图 1 所示，其中∠1=∠2．
15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平 地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语 欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1 步=5 尺． 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有 1 尺高，如将秋千的踏 板往前推动两步（10 尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高 是 5 尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日 不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？” 如图， 假设秋千的绳索长始终保持直线状态， OA 是秋千的静止状态， A 是踏板，CD 是地面，点 B 是推动两步后踏板的位置，弧 AB 是踏 板移动的轨迹． 已知 AC=1 尺， CD=EB=10 尺， 人的身高 BD=5 尺． 设 绳索长 OA=OB=x 尺，则可列方程为 ．
老师认为小敏的作法正确． 请回答： 连接 OA， OB 后， 可证∠OAP=∠OBP=90°， 其依据是 由此可证明直线 PA，PB 都是⊙O 的切线，其依据是 ； ．
三、解答题（本题共 72 分，第 17﹣26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算： 4cos30 tan 60 sin 2 45 ． 18．如图，△ABC 中，AB=12，BC=15，AD⊥BC 于点 D，∠BAD=30°． 求 tanC 的值．
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8．如图，A，B，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中， ∠ABC=70°，∠ACB=30°，D 是 连接 DB，DC，则∠DBC 的度数为 A．30° C．50° B．45° D．70° 的中点，
2014-2015学年北京市西城区2015届九年级上学期期末考试数学试题(含答案)
北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷九年级数学 2015. 1一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果ADE =120°，那么∠B 等于（ ） A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面 积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于A ．3B ．6C ．9D ．126．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ≥3C ．m ＜5D ．m ≤57．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是 A ．512B ．513 C ．1213D ．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形，AB =A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是（ ） A ．7 B ．8 C ．14 D ．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-错误!未找到引用源。
2014-2015学年北京市西城区2015届九年级上学期期末考试数学试题(含答案)
北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷九年级数学 2015. 1一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果ADE =120°，那么∠B 等于（ ） A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面 积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于A ．3B ．6C ．9D ．126．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ≥3C ．m ＜5D ．m ≤57．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是 A ．512B ．513 C ．1213D ．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形，AB =A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是（ ） A ．7 B ．8 C ．14 D ．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-错误!未找到引用源。
2014-2015学年北京市西城区2015届九年级上学期期末考试数学试题(含答案)
北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷九年级数学 2015. 1一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果ADE =120°，那么∠B 等于（ ） A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面 积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于A ．3B ．6C ．9D ．126．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ≥3C ．m ＜5D ．m ≤57．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是 A ．512B ．513 C ．1213D ．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形，AB =A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是（ ） A ．7 B ．8 C ．14 D ．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-错误!未找到引用源。
北京市西城区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有 一个是符合题意的． 1．二次函数 y=（x﹣5）2+7 的最小值是（ ） A．﹣7 B．7 C．﹣5 D． 52．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则 cosA 的值为（ ）
（） A．30° B．60° C．xOy 中，点 A 的坐标为（﹣1，2），AB⊥x 轴于点
B．以原点 O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的 2 倍，得到△OA1 B1 ，且点 A
1
在第二象限，则点 A1 的坐标为（ ）
A．（﹣2，4） B．（ ，1） C．（2，﹣4） D．（2，4） 7．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 37°方向，距离灯塔 40 海里的 A 处， 它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的正东方向上的 B 处．这时， B 处与灯塔 P 的距离 BP 的长可以表示为（ ）
21．某小区有一块长 21 米，宽 8 米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修 建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为 x 米的人 行通道．如果这两块绿地的面积之和为 60 平方米，人行通道的宽度应是多少 米？
22．已知抛物线 C1 ：y1 =2x2﹣4x+k 与 x 轴只有一个公共点． （1）求 k 的值； （2）怎样平移抛物线 C1 就可以得到抛物线 C2 ：2y =2（x+12）﹣4k ？请写出具体 的平移方法； （3）若点 A（1，t）和点 B（m，n）都在抛物线 2C ：2y =2（x+21﹣）4k 上，且 n ＜t，直接写出 m 的取值范围． 23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且 AB= ．点 C，E 分别在⊙O 上，且 OC⊥ AB 于点 D，∠E=30°，连接 OA．
北京市西城区2015届九年级上期末考试数学试题及答案.doc
北京市西城区2015届九年级上期末考试数学试题及答案九年级数学2018.1【一】选择题(此题共32分，每题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意旳、 1、二次函数2(+1)2y x =--旳最大值是A 、2-B 、1-C、1D 、22、如图，四边形ABCD内接于⊙O ，E为CD 延长线上一点，假如 ∠ADE =120°，那么∠B 等于 A 、130° B 、120° C 、80° D 、60°3、以下手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形旳是ABCD4、把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A 、()231y x =+-B 、()233y x =++ C 、()231y x =--D 、()233y x =-+5、△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′旳位似比是1∶2，假如△ABC 旳面积是3，那么△A ′B ′C ′旳面积等于 A 、3B 、6C 、9D 、126、假如关于x 旳一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 旳取值范围是 A 、m ＞2B 、m ≥3C 、m ＜5D 、m ≤57、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠旳值是 A、512B 、513C 、1213 D 、1258、如图，在10×10旳网格中，每个小方格差不多上边长为1旳小正 方形，每个小正方形旳顶点称为格点、假如抛物线通过图中 旳三个格点，那么以这三个格点为顶点旳三角形称为该抛物 线旳“内接格点三角形”、设对称轴平行于y 轴旳抛物线与网 格对角线OM 旳两个交点为A ，B ，其顶点为C ，假如△ABC是该抛物线旳内接格点三角形，AB =，且点A ，B ，C旳横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件旳抛物线条数是 A 、7B 、8C 、14D 、16【二】填空题〔此题共16分，每题4分〕9、在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-旳图象上，AB ⊥x 轴于 点B ，那么△AOB 旳面积等于、10、如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转某个角度得到 △AB ′C ′，使AB ′∥CB ，CB ，AC ′旳延长线相交于点D ， 假如∠D =28°，那么BAC ∠=°、 11、如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边旳交点为E ，AE=3，DE=5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 旳对应点 为A ，C ，那么线段CE 旳长应等于、12、在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m 〔其中0m >〕，点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2旳圆 上，假如动点P 满足90APB ∠=︒，〔1〕线段OP 旳长 等于〔用含m 旳代数式表示〕；〔2〕m 旳最小值 为、【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕13、计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒、 14、解方程：2410x x -+=、15、如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 旳延长线上，PC ，PD与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于点E 、假如⊙O 旳半径等于1tan 2CPO ∠=，求 弦CD 旳长、16、如图，正方形网格中旳每个小正方形旳边长差不多上1，每个小正方形旳顶点叫做格点、△ABC 旳三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°得到 △AB C ''、〔1〕在正方形网格中，画出△AB C ''；〔2〕计算线段AB 在旋转到AB '旳过程中所扫过区域旳面积、 〔结果保留π〕17、某商店以每件20元旳价格购进一批商品，假设每件商品售价a 元，那么每天可卖出(80010)a -件、假如商店打算要每天恰好盈利8000元，同时要使每天旳销售量尽量大，求每件商品旳售价是多少元、18、假如关于x 旳函数2(2)1y ax a x a =++++旳图象与x 轴只有一个公共点，求实数a 旳值、【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕19、如图，小明同学在东西方向旳环海路A 处，测得海中灯塔P在它旳北偏东60°方向上，在A 旳正东400米旳B 处，测得 海中灯塔P 在它旳北偏东30°方向上、问：灯塔P 到环海路旳距离PC 取1.732，结果精确到1米〕20、如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中顶点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上、 〔1〕求证：△EBF ∽△FCD ；〔2〕连接DH ，假如BC=12，BF =3，求tan HDG ∠旳值、21、如图，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称、E 为半径OC 上一点，3OC OE =，连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M 、〔1〕请依题意补全图形；〔2〕求证：AOC DBC ∠=∠； 〔3〕求BMBC旳值、 22、抛物线C ：2=23y x x +-.〔1〕补全表中，两点旳坐标，并在所给旳平面直角坐标系中画出抛物线C ； 〔2〕将抛物线C 上每一点旳横坐标变为原来旳2倍，纵坐标变为原来旳12，可证明得到旳曲线仍是 抛物线，〔记为1C 〕，且抛物线1C 旳顶点是抛物 线C 旳顶点旳对应点，求抛物线1C 对应旳函数表达式.【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分〕23、如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(,2)2A ，(3,)B n 在反比例函数my x=〔m 为常数〕旳图象G 上，连接AO 并延长与图象G 旳另一个交点为点C ，过点A 旳直线l 与x 轴旳交点为点(1,0)D ，过点C 作CE ∥x 轴交直线l 于点E 、〔1〕求m 旳值及直线l 对应旳函数表达式； 〔2〕求点E 旳坐标；〔3〕求证：BAE ACB ∠=∠、24、如图，等边三角形ABC 旳边长为4，直线l 通过点A 并与AC 垂直、当点P 在直线l上运动到某一位置〔点P 不与点A 重合〕时，连接PC ，并将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到△BCQ ，记点P 旳对应点为Q ，线段PA 旳长为m 〔0m >〕、 （1） ①QBC ∠=︒；②如图1，当点P 与点B 在直线AC 旳同侧，且3m =时，点Q 到直线l 旳距离等于； （2） 当旋转后旳点Q 恰好落在直线l 上时，点P ，Q 旳位置分别记为0P ，0Q 、在图2中画出现在旳线段0P C 及△0BCQ ，并直截了当写出相应m 旳值；〔3〕当点P 与点B 在直线AC 旳异侧，且△PAQ 时，求m 旳值、 25、如图1，关于平面上不大于90︒旳MON ∠，我们给出如下定义：假设点P 在MON ∠旳内部或边界上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，那么称PE PF +为点P 相关于MON ∠旳“点角距离”，记为(),d P MON ∠、如图2，在平面直角坐标系xOy 中，关于xOy ∠，点P 为第一象限内或两条坐标轴正 半轴上旳动点，且满足(),d P xOy ∠=5，点P 运动形成旳图形记为图形G 、 〔1〕满足条件旳其中一个点P 旳坐标是，图形G 与坐标轴围成图形旳面积等于； 〔2〕设图形G 与x 轴旳公共点为点A ，(3,4)B ，(4,1)M ，求(),d M AOB ∠旳值；〔3〕假如抛物线212y x bx c =-++通过〔2〕中旳A ，B 两点，点Q 在A ，B 两点之间旳抛物线上〔点Q 可与A ，B 两点重合〕，求当(),d Q AOB ∠取最大值时，点Q旳坐标、北京市西城区2018-2018学年度第一学期期末九年级数学试卷参考【答案】及评分标准2018.1【一】选择题〔此题共32分，每题4分〕【二】填空题〔此题共16分，每题4分〕 9、3、10.28、11.415、12.〔1〕m ；〔2〕3. 【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕13、解：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232=-⎝⎭3分 121.2=…………………………………………………………………………………5分 14、解：2410x x -+=、∵1a =，4b =-，1c =，………………………………………………………1分∴224(4)41112b ac -=--⨯⨯=、………………………………………………2分∴x ==………………………………………………3分422±== ∴原方程旳解是12x =+22x =5分15、解：连接OC 、〔如图1〕∵PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，∴OC ⊥PC ，………………………………………………………………………1分 PC =PD ，∠OPC=∠OPD 、∴CD ⊥OP ，CD =2CE 、…………………………2分∵21tan =∠CPO ， ∴1tan tan 2OCE CPO ∠=∠=、……………3分 设OE=k ，那么CE=2k ，OC =、〔0k >〕 ∵⊙O 旳半径等于=3k =、∴CE=6、…………………………………………………………………………4分 ∴CD =2CE=12、…………………………………………………………………5分16、〔1〕画图见图2、……………………………2分 〔2〕由图可知△ABC 是直角三角形，AC=4，BC=3，因此AB=5、……………………3分线段AB 在旋转到AB '旳过程中所扫过区域是一个扇形，且它旳圆心角为90°，半径为5、………………………………………4分 ∴221125ππ5π444AB B S AB '=⨯=⨯=扇形、 ……………………………………5分因此线段AB 在旋转到AB '旳过程中所扫过区域旳面积为25π4、 17、解：依照题意，得(20)(80010)8000a a --=、〔20≤a ≤80〕……………………1分整理，得210024000a a -+=、可得(40)(60)0a a --=、解方程，得140a =，260a =、……………………………………………………3分 当140a =时，800108001040400a -=-⨯=〔件〕、 当260a =时，800108001060200a -=-⨯=〔件〕、因为要使每天旳销售量尽量大，因此40a =、…………………………………4分 答：商店打算要每天恰好盈利8000元，同时要使每天旳销售量尽量大，每件商品旳售价应是40元、………………………………………………………………………5分 18、解：〔1〕当0a =时，函数21y x =+旳图象与x 轴只有一个公共点成立、…………1分 〔2〕当a ≠0时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 旳二次函数、∵它旳图象与x 轴只有一个公共点，∴关于x 旳方程2(2)10ax a x a ++++=有两个相等旳实数根、………2分∴2(2)4(1)0a a a ∆=+-+=、………………………………………………3分整理，得2340a -=、解得a =、……………………………………………………………5分 综上，0a =或a =、 【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕19、解：如图3，由题意，可得∠PAC =30°，∠PBC =60°、 …………………………………………2分∴30APB PBC PAC ∠=∠-∠=︒、∴∠PAC=∠APB 、∴PB =AB =400、……………………………3分在Rt △PBC 中，∠PCB =90°，∠PBC =60°，PB =400，∴sin 400346.4PC PB PBC =⋅∠==≈346〔米〕、………………4分 答：灯塔P 到环海路旳距离PC 约等于346米、……………………………………5分 20、〔1〕证明：如图4、∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，∴∠B =∠C =90°，∠EFG =90°，BC =CD ，GH=EF=FG 、又∵点F 在BC 上，点G 在FD 上，∴∠DFC +∠EFB =90°，∠DFC +∠FDC =90°， ∴∠EFB =∠FDC 、……………………1分 ∴△EBF ∽△FCD 、……………………2分〔2〕解：∵BF =3，BC =CD =12，∴CF =9，15DF 、由〔1〕得BE CFBF CD=、 ∴399124BF CF BE CD ⨯⨯===、……………………………………………3分∴154GH FG EF ==、……………………………………4分454DG DF FG =-=、 ∴1tan 3GH HDG DG ∠==、…………………………………………………5分21、〔1〕补全图形见图5、…………………………………………1分 〔2〕证明：∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，∴∠DBC =2∠ABC 、……………………………2分 又∵2AOC ABC ∠=∠，∴AOC DBC ∠=∠、……………………………3分〔3〕解：∵，∴∠A =∠D 、又∵AOC DBC∠=∠，∴△AOE ∽△DBM∴OE BMOA BD=、 ∵3OC OE =，OA=OC ， ∴13BM OE OE BD OA OC ===、 ∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称， ∴BC =BD 、BF=BF∴13BM BM BC BD ==、…………………………………………………………5分 22、解：〔1〕(1,4)A --，(3,0)B -、………………………………………………………2分画图象见图6、………………………………………………………………3分〔2〕由题意得变换后旳抛物线1C 旳相关点旳坐标如下表所示：设抛物线1C 对应旳函数表达式为2(2)2y a x =+-、〔a ≠0〕 ∵抛物线1C 与y 轴交点旳坐标为(0, 1.5)-，∴3422a -=-、 解得18a =、∴221113(2)28822y x x x =+-=+-、………5分∴抛物线1C 对应旳函数表达式为2113822y x x =+-说明：其他正确解法相应给分、【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分〕 23、解：〔1〕∵点1(,2)2A 在反比例函数my x=〔m 为常数〕旳图象G 上， ∴1212m =⨯=、………………………………………………………………1分 ∴反比例函数m y x =〔m 为常数〕对应旳函数表达式是1y x=、设直线l 对应旳函数表达式为y kx b =+〔k ，b 为常数，k ≠0〕、∵直线l 通过点1(,2)2A ，(1,0)D ，∴12,20.k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得4,4.k b =-⎧⎨=⎩∴直线l 对应旳函数表达式为44y x =-+、………………………………2分 〔2〕由反比例函数图象旳中心对称性可知点C 旳坐标为1(,2)2C --、…………3分 ∵CE ∥x 轴交直线l 于点E ， ∴E C y y =、∴点E 旳坐标为3(,2)2E -、…………………………………………………4分〔3〕如图7，作AF ⊥CE 于点F ，与过点B 旳y 轴旳垂线交于点G ，BG 交AE 于点M ，作CH ⊥BG 于点H ，那么BH ∥CE ，BCE CBH ∠=∠、 ∵1(,2)2A ，1(,2)2C --，3(,2)2E -，∴点F 旳坐标为1(,2)2F -、∴CF =EF 、 ∴AC =AE 、∴∠ACE =∠AEC 、…………………………5分∵点(3,)B n 在图象G 上，∴13n =，∴1(3,)3B ，11(,)23G ，11(,)23H -、在Rt △ABG 中，1223tan 1332AG ABH BG -∠===-， 在Rt △BCH 中，1223tan 1332CH CBH BH +∠===+， ∴ABH CBH ∠=∠、…………………………………………………………6分 ∴BCE ABH ∠=∠、∵BAE AMH ABH AEC ABH ∠=∠-∠=∠-∠，ACB ACE BCE ∠=∠-∠， ∴∠BAE =∠ACB 、……………………………………………………………7分24、解：〔1〕①QBC ∠=90︒；………………………………………………………………1分②m =3时，点Q 到直线l 旳距离等于、………………………………2分 〔2〕所画图形见图8、…………………………3分m =4分 〔3〕作BG ⊥AC 于点G ，过点Q 作直线l 旳垂线交l∵CA ⊥直线l ，∴∠CAP =90︒、易证四边形ADFG 为矩形、∵等边三角形ABC 旳边长为4，∴∠ACB =60︒，122DF AG CG AC ====，1302CBG CBA ∠=∠=︒、 ∵将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到△BCQ ，∴△ACP ≌△BCQ 、∴AP =BQ =m ，∠PAC =∠QBC =90︒、 ∴∠QBF =60︒、在Rt △QBF 中，∠QFB =90︒，∠QBF =60︒，BQ=m ，∴QF =、……………………………………………………………5分 要使△PAQ 存在，那么点P 不能与点A ，0P 重合，因此点P 旳位置分为以下两种情况：① 如图9，当点P 在〔2〕中旳线段0P A 上〔点P 不与点A ，0P 重合〕时，可得0m <<Q 在直线l 旳下方、∴2DQ DF QF =-=、∵1APQ S APDQ ∆=⋅=∴1(2)2m =、240m -+=、 解得1m=或2m=经检验，m =0m <<7分② 如图10，当点P 在〔2〕中旳线段0AP 旳延长线上〔点P 不与点A ，0P 重合〕时，可得m >Q 在直线l 旳上方、 ∴22DQ QF DF =-=-、∵12APQS AP DQ ∆=⋅=∴.12)2m -=、 整理，得2330m --=、解得m 〔舍负〕、 经检验，m =在3m >8分综上所述，m =32132+时，△PAQ 、25、解：〔1〕满足条件旳其中一个点P 旳坐标是(5,0)；…………………………………1分 〔说明：点(,)P x y 旳坐标满足5x y +=，0≤x ≤5，0≤y ≤5均可〕 图形G 与坐标轴围成图形旳面积等于252、…………………………………2分 〔2〕如图11，作ME ⊥OB 于点E ，MF ⊥x 轴于点F ，那么MF =1，作MD ∥x 轴，交OB于点D ，作BK ⊥x 轴于点K 、由点B 旳坐标为(3,4)B ，可求得直线OB 对应旳函数关系式为43y x =、 ∴点D 旳坐标为3(,1)4D ，313444DM =-=、 ∴OB =5，4sin 5BK AOB OB ∠==， 4sin sin 5MDE AOB ∠=∠=、 ∴13413sin 455ME DM MDE =⋅∠=⨯=、 ………………………………………3分 ∴1318(,)155d M AOB ME MF ∠=+=+=、 ………………………………………4分〔3〕∵抛物线212y x bx c =-++通过(5,0)A ，(3,4)B 两点， ∴221055,21433.2b c b c ⎧=-⨯++⎪⎪⎨⎪=-⨯++⎪⎩解得2,5.2b c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴抛物线对应旳函数关系式为215222y x x =-++、………………………5分 如图12，作QG ⊥OB 于点G ，QH ⊥x 轴于点H 、作QN ∥x 轴，交OB 于点N 、设点Q 旳坐标为(,)Q m n ，其中3≤m ≤5， 那么215222QH n m m ==-++、同〔2〕得4sin sin 5QNG AOB ∠=∠=、 ∴点N 旳坐标为3(,)4N n n ，34NQ m n =-、 ∴43sin ()54QG NQ QNG m n =⋅∠=-4355m n =-、 ∴4342(,)5555d Q AOB QG QH m n n m n ∠=+=-+=+ 24215(2)5522m m m =+-++ 218155m m =-++ 2121(4)55m =--+、 ∴当4m =〔在3≤m ≤5范围内〕时，(),d Q AOB ∠取得最大值〔215〕、 …………………………………………………………6分现在点Q 旳坐标为5(4,)2、…………………………………………………7分。
北京市西城区九年级数学 2015— 2016 学年度第一学期期末试卷
北京市西城区2015—2016学年度第一学期期末试卷九年级数学2016.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．二次函数()257y x =-+的最小值是A ．7-B ．7C ．5-D ．52．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，则cos A 的值为A ．35B ．53C ．45D ．343．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙C相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为A ．12B ．122C ．62D ．634．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是A ．2(6)5y x =-+B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+-5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12πcm ，则此扇形的圆心角等于A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1-，2)，AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的2倍，得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1的坐标为A ．(2-，4)B ．(12-，1)C ．(2，4-)D ．(2，4)7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的正东方向上的B 处．这时，B 处与灯塔P 的距离BP 的长可以表示为A ．40海里B ．40tan37°海里C ．40cos37°海里D ．40sin37°海里8．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中，∠ABC =70°，∠ACB =30°，D 是的中点，连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为A ．30°B ．45°C ．50°D ．70°9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+C ．300(6020)y x =-D ．(60)(30020)y x x =--10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为A ．8B ．10-C ．42-D ．24-二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若34a b =，则a bb+的值为．12．点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”）13．△ABC 的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，则△DEF 的周长为．14．如图，线段AB 和射线AC 交于点A ，∠A =30°，AB =20．点D 在射线AC 上，且∠ADB 是钝角，写出一个满足条件的AD 的长度值：AD =．15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，CD 是地面，点B 是推动两步后踏板的位置，弧AB 是踏板移动的轨迹．已知AC =1尺，CD =EB =10尺，人的身高BD =5尺．设绳索长OA =OB =x 尺，则可列方程为．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ，OB 后，可证∠OAP =∠OBP =90°，其依据是；由此可证明直线PA ，PB 都是⊙O 的切线，其依据是．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：24cos30tan60sin 45︒⋅︒-︒．18．如图，△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD =30°．求tan C 的值．19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．20．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠BDC ．（1）求证：△ABD ∽△DCB ；（2）若AB =12，AD =8，CD =15，求DB 的长．尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P 为⊙O 外一点．求作：经过点P 的⊙O 的切线．如图，（1）连接OP ，作线段OP 的垂直平分线MN交OP 于点C ；（2）以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交⊙O 于A ，B 两点；（3）作直线PA ，PB ．所以直线PA ，PB 就是所求作的切线．21．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？22．已知抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C ：222(1)4y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点A （1，t ）和点B （m ，n ）都在抛物线2C ：222(1)4y x k =+-上，且n t <，直接写出m 的取值范围．23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB =43．点C ，E 分别在⊙O 上，且OC ⊥AB 于点D ，∠E =30°，连接OA ．（1）求OA 的长；（2）若AF 是⊙O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为22，直接写出∠BAF 的度数．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PD ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：∠PCE =∠PEC ；（2）若AB =10，ED =32，sin A =35，求PC 的长．26．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+与双曲线2ky x=交于A （1，3）和B （3-，1-）两点．观察图象可知：①当3x =-或1时，12y y =；②当30x -<<或1x >时，12y y >，即通过观察函数的图象，可以得到不等式kax b x+>的解集．有这样一个问题：求不等式32440x x x +-->的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式32440x x x +-->的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化当0x =时，原不等式不成立；当0x >时，原不等式可以转化为2441x x x +->；当0x <时，原不等式可以转化为2441x x x+-<；（2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线44y x=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线．．．．．2341y x x =+-；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足34y y =的所有x 的值为；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式32440x x x +-->的解集为．图1图227．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0），且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．（1）求二次函数212y x bx c =-++的表达式；（2）连接AB ，求AB 的长；（3）连接AC ，M 是线段AC 的中点，将点B 绕点M 旋转180°得到点N ，连接AN ，CN ，判断四边形ABCN 的形状，并证明你的结论．28．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）如图1，当BD =2时，AN =_______，NM 与AB 的位置关系是____________；（2）当4<BD <8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．图1图2备用图29．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．图1图2图3（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为__________°；，0)出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第②自点A(1二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______________；（3）如图4，点M的坐标为(0，2)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．图4北京市西城区2015—2016学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准2016.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号12345678910答案BACCDADCBD二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．．12．>．13．90．14．满足即可，如：AD =10．15．．16．直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=23243()22⨯⨯-………………………………………………………3分=162-=112．…………………………………………………………………………5分18．解：∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB=∠ADC =90°．∵在Rt △ABD 中，AB =12，∠BAD =30°，∴BD =12AB =6，…………………………………1分AD =AB ·cos ∠BAD =12·cos30°=63．……………………………………2分∵BC =15，∴CD =BC －BD =15－6=9．………………………………………………………3分∴在Rt △ADC 中，tan C =ADCD……………………………………………………4分=639=233．………………………………………5分19．解：（1）令0=y ，则2230x x -++=．解得11-=x ，32=x ．………………………………………………………1分∵点A 在点B 的左侧，74222(4)10x x -+=3100<<AD∴A （1-，0），B （3，0）．…………………………………………………2分对称轴为直线1=x ．…………………………………………………………3分（2）∵当1x =时，4=y ，∴顶点C 的坐标为（1，4）．…………………………………………………4分∵点C ，D 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（1，4-）．∵AB =4，∴=ACB DCB ACBD S S S ∆∆+四边形1442162=⨯⨯⨯=．………………………………5分20．（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ．……………………1分∵∠A =∠BDC ，∴△ABD ∽△DCB ．……………………3分（2）解：∵△ABD ∽△DCB ，∴AB ADDC DB=．…………………………………………………………4分∵AB =12，AD =8，CD =15，∴12815DB=．∴DB =10．………………………………………………………………5分21．解：根据题意，得(213)(82)60x x --=．…………………………………………2分整理得211180x x -+=．解得12x =，29x =．…………………………………………………………3分∵9x =不符合题意，舍去，∴2x =．……………………………………………………………………………4分答：人行通道的宽度是2米．……………………………………………………5分22．解：（1）∵抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴有且只有一个公共点，∴方程2240x x k -+=有两个相等的实数根．∴2(4)420k ∆=--⨯=．……………………………………………………1分解得2k =．…………………………………………………………………2分（2）∵抛物线1C ：21242y x x =-+22(1)x =-，顶点坐标为（1，0），抛物线2C ：222(1)8y x =+-的顶点坐标为（-1，-8），………………3分∴将抛物线1C 向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线2C ．…………………………………………………………………4分（3）31m -<<．……………………………………………………………………5分23．解：（1）∵OC ⊥AB 于点D ，∴AD =DB ，……………………………………1分∠ADO =90°．∵AB =43，∴AD =23．∵∠AOD =2∠E ，∠E =30°，∴∠AOD =60°．………………………………………………………………2分∵在Rt △AOD 中，sin ∠AOD=OAAD，∴OA =︒=∠60sin 32sin AOD AD =4．………………………………………………3分（2）∠BAF =75°或15°．……………………………………………………………5分24．解：（1）∵在Rt △ADB 中，∠ADB =90°，∠B =45°，∴∠BAD =90°—∠B =45°．∴∠BAD =∠B ．∴AD =DB ．……………………………1分设AD =x ，∵在Rt △ADC 中，tan ∠ACD =ADDC，∠ACD =58°，∴DC =tan 58x．………………………………………………………………3分∵DB =DC +CB =AD ，CB =90，∴tan 58x+90=x ．……………………………………………………………4分将tan58°≈1.60代入方程，解得x ≈240．…………………………………………………………………5分答：最高塔的高度AD 约为240米．25．（1）证明：连接OC ，如图1．∵PC 是⊙O 的切线，C 为切点，∴OC ⊥PC ．……………………………1分∴∠PCO =∠1+∠2=90°．∵PD ⊥AB 于点D ，∴∠EDA =90°．图1∴∠A +∠3=90°．∵OA =OC ，∴∠A =∠1．∴∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．即∠PCE =∠PEC ．…………………………………………………………2分（2）解：作PF ⊥EC 于点F ，如图2．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵在Rt △ABC 中，AB =10，3sin 5A =，∴BC =AB ·sin A =6．∴AC =22BC AB -=8．………………………………………………………3分∵在Rt △AED 中，ED =32，∴AE =sin ED A =52．∴EC=AC －AE =112．∵∠2=∠4，∴PE=PC ．∵PF ⊥EC 于点F ，∴FC=12EC=114，……………………………………………………………4分∠PFC =90°．∴∠2+∠5=90°．∵∠A +∠2=∠1+∠2=90°．∴∠A =∠5．∴sin ∠5=35．∴在Rt △PFC 中，PC =sin 5FC ∠=1255．……………………………………5分图226．解：（2）抛物线如图所示；……………………1分（3）x =4-，1-或1；……………………3分（4）41x -<<-或1x >．……………………5分27．解：（1）∵二次函数212y x bx c =-++，当0x =和5x =时所对应的函数值相等，∴二次函数212y x bx c =-++的图象的对称轴是直线52x =．∵二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0），∴10,25.2b c b ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………1分解得2,5.2c b =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴二次函数的表达式为215222y x x =-+-．………………………………2分（2）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如图1．∵一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，∴2153222x x x -+=-+-．解得12x =，25x =．………………3分∴交点坐标为（2，1），（5，2-）．∵点B 在第一象限，∴点B 的坐标为（2，1）．∴点D 的坐标为（2，0）．在Rt △ABD 中，AD =1，BD =1，∴AB =22AD BD +=2．…………………………………………………4分（3）结论：四边形ABCN 的形状是矩形．………………………………………5分图1证明：设一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，连接MB ，MN ，如图2．∵点B 绕点M 旋转180°得到点N ，∴M 是线段BN 的中点．∴MB =MN ．∵M 是线段AC 的中点，∴MA =MC ．∴四边形ABCN 是平行四边形．……6分∵一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，当0y =时，3x =．∴点E 的坐标为（3，0）．∴DE =1=DB ．∴在Rt △BDE 中，∠DBE =∠DEB =45°．同理∠DAB =∠DBA =45°．∴∠ABE =∠DBA +∠DBE =90°．∴四边形ABCN 是矩形．……………………………………………7分28．解：（1）10，垂直；…………………………2分（2）①补全图形如图所示；………………3分②结论：（1）中NM 与AB 的位置关系不变．证明：∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠CAB =∠B =45°．∴∠CAN +∠NAM =45°．∵AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴AD =AE ，∠DAE =90°．∵N 为ED 的中点，∴∠DAN =12∠DAE =45°，AN ⊥DE ．∴∠CAN +∠DAC =45°，∠AND =90°．∴∠NAM =∠DAC ．………………………………………………4分在Rt △AND 中，ANAD =cos ∠DAN =cos 45°=22．图2在Rt △ACB 中，ACAB =cos ∠CAB =cos 45°=22．∵M 为AB 的中点，∴AB =2AM ．∴222AC AC AB AM ==．∴22AMAC =．∴AN AD=AMAC．∴△ANM ∽△ADC ．∴∠AMN =∠ACD ．∵点D 在线段BC 的延长线上，∴∠ACD =180°－∠ACB =90°．∴∠AMN =90°．∴NM ⊥AB ．………………………………………………………5分（3）当BD 的长为6时，ME 的长的最小值为2．……………………………7分29．解：（1）所得图形，如图1所示．……………………1分（2）①45°；………………………………………3分②(32-，12)或(12-，32)；……………5分（3）①如图2，直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，点Q 在第一象限，连接MQ ，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ．∵直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，∴MQ ⊥OQ ．∴∠MQO =90°．∵MO =2，MQ =1，∴在Rt △MQO 中，sin ∠MOQ=21=MO MQ ．∴∠MOQ =30°．∴OQ =OM ﹒cos ∠MOQ =3．∵QH ⊥x 轴，∴∠QHO =90°．∵∠QOH =90°-∠MOQ =60°，∴在Rt △QOH 中，QH =OQ ﹒sin ∠QOH =23．…………………………6分②如图3，当反射光线PN 与坐标轴平行时，连接MP 并延长交x 轴于点D ，过点P 作PE ⊥OD 于点E ，过点O 作OF ⊥PD 于点F ．∵直线l 是⊙M 的切线，图1图2MQH∴MD ⊥l ．∴∠1+∠OPD =∠2+∠NPD =90°．∵∠1=∠2，∴∠OPD =∠NPD ．∵PN ∥x 轴，∴∠NPD =∠PDO ．∴∠OPD =∠PDO ．∴OP =OD ．∵OF ⊥PD ，∴∠MFO =90°，PF =FD ．∵cos OMF ∠=MF MOMO MD=，设PF =FD =x ，而MO =2，MP =1，∴12212x x+=+．解得3334x -±=．∵0x >，∴3334x -+=．∵PE ⊥OD ，∴∠PED =90°=∠MOD ．∴PE ∥MO ．∴∠EPD =∠OMF ．∴cos ∠EPD =cos ∠OMF ．∴MOMFPD PE =．∴PDMO MFPE ⋅==122xx +⋅(1)x x =+=15338-．…………………………………………………………7分．可知，当反射点P 从②中的位置开始，在⊙M 上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P 的纵坐标的取值范围是1533382P y -<≤．………………………………8分图3。
2015年北京西城初三上期末数学试卷
2015年北京西城初三上期末数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．二次函数2(1)2y x =-+-的最大值是（ ）．A ．2-B ．1-C ．1D ．22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果120ADE ∠=︒，那么B ∠等于（ ）． A ．130︒ B ．120︒ C ．80︒ D ．60︒3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）． A ．2(3)1y x =+- B ．2(3)3y x =++C ．2(3)1y x =--D ．2(3)3y x =-+5．ABC △与A B C '''△是位似图形，且ABC △与A B C '''△的位似比是1:2，如果ABC △的面积是3，那么A B C '''△的面积等于（ ）． A ．3B ．6C ．9D ．126．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是（ ）． A ．2m >B ．3m ≥C ．5m <D ．5m ≤7．如图，在Rt ABC △中，sin 90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，CD AB ⊥于点D ，那么sin BCD ∠的值是（ ）．A ．512 B ．513 C ．1213 D ．1258．如图，在1010⨯的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果ABC △是该抛物线的内接格点三角形，32AB =，且点A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A C B x x x <<，那么符合上述条件的抛物线条数是（ ）．A ．7B ．8C ．14D ．169．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-的图象上，AB x ⊥轴于点B ，那么AOB △的面积等于__________．10．如图，将ABC △绕点A 按顺时针方向旋转某个角度得到AB C ''△，使AB CB '∥，CB ，AC '的延长线相交于点D ，如果28D ∠=︒，那么BAC ∠=__________︒．11．如图，点D 为ABC △外一点，AD 与BC 边的交点为E ，3AE =，5DE =，4BE =，要使BDE ACE ∽△△，且点B ，D 的对应点为A ，C ，那么线段CE 的长应等于__________．12．在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m （其中0m >），点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P 满足90APB ∠=︒，（1）线段OP 的长等于__________（用含m 的代数式表示）；（2）m 的最小值为__________．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：23tan30cos 452sin 60︒+︒-︒．14．解方程：2410x x -+=．15．如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于点E ．如果⊙O 的半径等于35，1tan 2CPO ∠=，求弦CD 的长．16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC △的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将ABC △绕点A 顺时针方向旋转90︒得到AB C ''△．（1）在正方形网格中，画出AB C ''△．（2）计算线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积．（结果保留π）17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a 元，则每天可卖出(80010)a -件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．18．如果关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a 的值．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东60︒方向上，在A 的正东400米的B 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东30︒方向上．问：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于多少米？（3取1.732，结果精确到1米）20．如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中顶点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上．（1）求证：EBF FCD ∽△△．（2）连接DH ，如果12BC =，3BF =，求tan HDG ∠的值．21．如图，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称．E 为半径OC 上一点，3OC OE =，连接AE并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M ． （1）请依题意补全图形．（2）求证：AOC DBC ∠=∠． （3）求BMBC的值．22．已知抛物线C ：2=23y x x +-．抛物线顶点坐标与x 轴交点坐标与y 轴交点坐标抛物线C ：2=23yx x +-( )A ( )B (1,0)(0,3)-变换后的抛物线1C（1）补全表中A ，B 两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C ．（2）将抛物线C 上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的12，可证明得到的曲线仍是抛物线，（记为1C ），且抛物线的顶点是抛物线C 的顶点的对应点，求抛物线对应的函数表达式．1C 1C五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(,2)2A ，(3,)B n 在反比例函数m y x=（m 为常数）的图象G 上，连接AO 并延长与图象G 的另一个交点为点C ，过点A 的直线l 与x 轴的交点为点(1,0)D ，过点C 作CE x ∥轴交直线l 于点E ．（1）求m 的值及直线l 对应的函数表达式． （2）求点E 的坐标．（3）求证：BAE ACB ∠=∠．24．如图，等边三角形ABC 的边长为4，直线l 经过点A 并与AC 垂直．当点P 在直线l 上运动到某一位置（点P 不与点A 重合）时，连接PC ，并将ACP △绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到BCQ △，记点P 的对应点为Q ，线段PA 的长为m （0m >）． （1）①QBC ∠=__________︒．②如图1，当点P 与点B 在直线AC 的同侧，且3m =时，点Q 到直线l 的距离等于__________． （2）当旋转后的点Q 恰好落在直线l 上时，点P ，Q 的位置分别记为0P ，0Q ．在图2中画出此时的线段0P C 及0BCQ △，并直接写出相应m 的值．（3）当点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PAQ △的面积等于时，求m 的值．3425．如图1，对于平面上不大于90︒的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内部或边界上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则称PE PF +为点P 相对于MON ∠的“点角距离”，记为(,)d P MON ∠．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对于xOy ∠，点P 为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足(,)5d P xOy ∠=，点P 运动形成的图形记为图形G ．（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是__________，图形G 与坐标轴围成图形的面积等于__________．（2）设图形G 与x 轴的公共点为点A ，已知(3,4)B ，(4,1)M ，求(,)d M AOB ∠的值．（3）如果抛物线212y x bx c =-++经过（2）中的A ，B 两点，点Q 在A ，B 两点之间的抛物线上（点Q 可与A ，B 两点重合），求当(,)d Q AOB ∠取最大值时，点Q 的坐标．2015年北京西城初三上期末数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案A BBCDDBC二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．310．2811．415．12．（1）m ；（2）3三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：23tan30cos 452sin 60︒+︒-︒23233()2322=⨯+-⨯1332=+-12=．14．解：2410x x -+=． ∵1a =，4b =-，1c =，∴224(4)41112b ac -=--⨯⨯=． ∴2441222b b ac x a -±-±==423232±==±． ∴原方程的解是123x =+，223x =-．15．解：连接OC ．∵PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ， ∴OC PC ⊥，PC PD =，OPC OPD ∠=∠． ∴CD OP ⊥，2CD CE =．∵1tan 2CPO ∠=，∴1tan tan 2OCE CPO ∠=∠=．设OE k =，则2CE k =，5OC k =．（0k >） ∵⊙O 的半径等于35， ∴535k =，解得3k =． ∴6CE =． ∴212CD CE ==．16．（1）画图如图所示．（2）由图可知ABC △是直角三角形，4AC =，3BC =， 所以5AB =．线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域 是一个扇形，且它的圆心角为90︒，半径为5． ∴ 221125ππ5π444AB BSAB '=⨯=⨯=扇形． 所以线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积为25π4．17．解：根据题意，得(20)(80010)8000a a --=．（2080a ≤≤）整理，得210024000a a -+=．可得(40)(60)0a a --=． 解方程，得140a =，260a =．当140a =时，800108001040400a -=-⨯=（件）． 当260a =时，800108001060200a -=-⨯=（件）． 因为要使每天的销售量尽量大，所以40a =．答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售价应是40元．18．解：（1）当0a =时，函数21y x =+的图象与x 轴只有一个公共点成立． （2）当0a ≠时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 的二次函数． ∵它的图象与x 轴只有一个公共点，∴关于x 的方程2(2)10ax a x a ++++=有两个相等的实数根．∴2(2)4(1)0a a a ∆=+-+=．整理，得2340a -=． 解得233a =±． 综上，0a =或233a =±．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：如图，由题意，可得30PAC ∠=︒，60PBC ∠=︒． ∴30APB PBC PAC ∠=∠-∠=︒．∴PAC APB ∠=∠． ∴ 400PB AB ==．在Rt PBC △中，90PCB ∠=︒，60PBC ∠=︒，400PB =，∴3sin 4002003346.43462PC PB PBC =⋅∠=⨯==≈（米）． 答：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于346米．20．（1）证明：如图．∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，∴90B C ∠=∠=︒，90EFG ∠=︒，BC CD =，GH EF FG ==．又∵点F 在BC 上，点G 在FD 上，∴90DFC EFB ∠+∠=︒，90DFC FDC ∠+∠=︒， ∴EFB FDC ∠=∠．（2）解：∵3BF =，12BC CD ==， ∴9CF =，2215DF CF CD =+=．由（1）得BE CFBF CD=． ∴399124BF CF BE CD ⨯⨯===．∴22154GH FG EF BE BF ===+=． 454DG DF FG =-=． ∴1tan 3GH HDG DG ∠==．21．（1）补全图形见图．（2）证明：∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称， ∴2DBC ABC ∠=∠． 又∵2AOC ABC ∠=∠， ∴AOC DBC ∠=∠．（3）解：∵»»BF BF =， ∴A D ∠=∠．又∵AOC DBC ∠=∠， ∴AOE DBM ∽△△．∴OE BMOA BD=． ∵3OC OE =，OA OC =，∴13BM OE OE BD OA OC ===． ∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，∴BC BD =． ∴13BM BM BC BD ==．22．解：（1）(1,4)A --，(3,0)B -．画图象见图．（2）由题意得变换后的抛物线1C 的相关点的坐标如下表所示：抛物线 顶点坐标与x 轴交点坐标与y 轴交点坐标变换后的抛物线1C(2,2)A '--(6,0)B '- (2,0)(0, 1.5)-设抛物线1C 对应的函数表达式为 2(2)2y a x =+-．（0a ≠） ∵抛物线1C 与y 轴交点的坐标为(0, 1.5)-， ∴3422a -=-． 解得18a =． ∴221113(2)28822y x x x =+-=+-． ∴抛物线1C 对应的函数表达式为2113822y x x =+-．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵点1(,2)2A 在反比例函数m y x=（m为常数）的图象G 上， ∴1212m =⨯=．∴反比例函数m y x =（m 为常数）对应的函数表达式是1y x=． 设直线l 对应的函数表达式为y kx b =+（k ，b 为常数，0k ≠）．∵直线l 经过点1(,2)2A ，(1,0)D ，∴1220k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得44k b =-⎧⎨=⎩．∴直线l 对应的函数表达式为44y x =-+．（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C 的坐标为1(,2)2C --． ∵CE x ∥轴交直线l 于点E ， ∴E C y y =．∴点E 的坐标为3(,2)2E -．（3）如图，作AF CE ⊥于点F ，与过点B 的y 轴的垂线交于点G ，BG 交AE 于点M ， 作CH BG ⊥于点H ，则BH CE ∥，BCE CBH ∠=∠． ∵1(,2)2A ，1(,2)2C --，3(,2)2E-，∴点F 的坐标为1(,2)2F -． ∴CF EF =． ∴AC AE =．∴ACE AEC ∠=∠．∵点(3,)B n 在图象G 上，∴13n =， ∴1(3,)3B ，11(,)23G ，11(,)23H -．在Rt ABG △中，1223tan 1332AG ABH BG -∠===-， 在Rt BCH △中，1223tan 1332CH CBH BH +∠===+， ∴ABH CBH ∠=∠． ∴BCE ABH ∠=∠．∵BAE AMH ABH AEC ABH ∠=∠-∠=∠-∠，ACB ACE BCE ∠=∠-∠，∴BAE ACB ∠=∠．24．解：（1）①90QBC ∠=︒； ②3m =时，点Q 到直线l 的距离等于32+32． （2）画图如图所示． 433m =． （3）作BG AC ⊥于点G ，过点Q 作直线l 的垂线交l 于点D ，交BG 于点F ． ∵CA ⊥直线l ， ∴90CAP ∠=︒．易证四边形ADFG 为矩形． ∵等边三角形ABC 的边长为4，∴60ACB ∠=︒，122DF AG CG AC ====，1302CBG CBA ∠=∠=︒． ∵将ACP △绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到BCQ △，∴ACP △≌BCQ △．∴AP BQ m ==，90PAC QBC ∠=∠=︒ ︒． ∴60QBF ∠=︒．在Rt QBF △中，90QFB ∠=︒，60QBF ∠=︒，BQ m =， ∴32QF m =．要使PAQ △存在，则点P 不能与点A ，0P 重合，所以点P 的位置分为以下两种情况： 如图，当点P 在（2）中的线段0P A 上（点P 不与点A ，0P 重合）时，可得4303m <<， 此时点Q 在直线l 的下方．∴322DQ DF QF m =-=-． ∵1324APQ S AP DQ =⋅=△， ∴133(2)224m m -=．整理，得23430m m -+=． 解得133m =或23m =． 经检验，33m =或3在4303m <<的范围内，均符合题意． 如图，当点P 在（2）中的线段0AP 的延长线上（点P 不与点A ，0P 重合）时，可得433m >， 此时点Q 在直线l 的上方．∴322DQ QF DF m =-=-． ∵1324APQ S AP DQ =⋅=△， ∴133(2)224m m -=． 整理，得 234330m m --=． 解得23213m ±=（舍负）． 经检验，23213m +=在433m >的范围内，符合题意． 综上所述，33m =或3或23213+时，PAQ △的面积等于34．25．解：（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是(5,0)；（说明：点(,)P x y 的坐标满足5x y +=，05x ≤≤，05y ≤≤均可） 图形G 与坐标轴围成图形的面积等于252． （2）如图，作ME OB ⊥于点E ，MF x ⊥轴于点F ，则1MF =，作M D x ∥轴，交OB 于点D D ，作BK x ⊥轴于点K ．由点B 的坐标为(3,4)B ，可求得直线OB 对应的函数关系式为43y x =． ∴点D 的坐标为3(,1)4D ，313444DM =-=．∴OB=5，4sin 5BK AOB OB ∠==， 4sin sin 5MDE AOB ∠=∠=．∴13413sin 455ME DM MDE =⋅∠=⨯=．∴1318(,)155d M AOB ME MF ∠=+=+=．（3）∵抛物线212y x bx c =-++经过(5,0)A ，(3,4)B 两点，∴221055214332b c b c ⎧=-⨯++⎪⎪⎨⎪=-⨯++⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩．∴抛物线对应的函数关系式为215222y x x =-++．如图，作QG OB ⊥于点G ，QH x ⊥轴于点H ．作QN x ∥轴，交OB 于点N ．设点Q 的坐标为(,)Q m n ，其中35m ≤≤， 则215222QH n m m ==-++． 同（2）得4sin sin 5QNG AOB ∠=∠=． ∴点N 的坐标为3(,)4N n n ，34NQ m n =-．∴43sin ()54QG NQ QNG m n =⋅∠=-4355m n =-． ∴4342(,)5555d Q AOB QG QH m n n m n ∠=+=-+=+24215(2)5522m m m =+-++ 218155m m =-++2121(4)55m =--+．∴当4m =（在35m ≤≤范围内）时，(),d Q AOB ∠取得最大值215． 此时点Q 的坐标为5(4,)2．2015年北京西城初三期末上数学试卷部分解析一、选择题 1．【答案】A【解析】二次函数2(1)2y x =-+-的最大值是2-． 故选A ．2．【答案】B【解析】四边形ABCD 内接于⊙O ，120B ADE ∠=∠=︒． 故选B ． 3．【答案】B【解析】既是轴对称图形又是中心对称图形的是只有B ，选项A 、C 是轴对称图形，选项D 是中心对称图形． 故选B ． 4．【答案】C【解析】把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线为2(3)1y x =--．故选C ． 5．【答案】D【解析】ABC △与A B C '''△是位似图形，且ABC △与A B C '''△的位似比是1:2，面积比等于相似比的平方，即ABC △的面积是3，则A B C '''△的面积等于12． 故选D ． 6．【答案】D【解析】关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，114(1)1404m m ∆=--=-+≥，解得5m ≤．故选D ．7．【答案】B【解析】∵90ACB ∠=︒，CD AB ⊥， ∴BCD A ∠=∠．在在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，13AB =． 5sin sin 13BC BCD A AB ∠=∠==． 故选B ． 8．【答案】C【解析】当(1,1)A ，(4,4)B ，(2,0)C 时，过A 、B 、C 三点的抛物线为2(2)y x =-，符合题意． 将此抛物线依次向右平移，再向上平移1个单位，都符合题意，当(4,4)B 依次平移到(5,5)B 、(6,6)B 、(7,7)B 、(8,8)B 、(9,9)B 、(10,10)B ，一共有7个；同理，当(0,0)A ，(2,4)B ，(3,3)C 时，过A 、B 、C 三点的抛物线为2(2)4y x =--+，符合题意．将此抛物线依次向右平移，再向上平移1个单位，都符合题意，当(3,3)B 依次平移到(4,4)B 、(5,5)B 、(6,6)B 、(7,7)B 、(8,8)B 、(9,9)B ，一共有7个．故符合上述条件的抛物线一共有7714+=条． 故选C ．二、填空题 9．【答案】3【解析】点(2,)A n -在反比例函数6y x=-的图象上，32AOB k S ==△．答案为3． 10．【答案】28【解析】依题可知，AB CB '∥，28D B AC ''∠=∠=︒．有旋转的性质可知28BAC B AC ''∠=∠=︒． 故答案为28．11．【答案】415【解析】∵BDE ACE ∽△△，∴43DE BE CE AE ==，∵3AE =，5DE =，4BE =，∴31544CE DE ==． 故答案为415．12．【答案】（1）m ；（2）3【解析】∵90APB ∠=︒，AO BO =，∴12PO AB OA OB m ====． OC CP PO OC CP -+≤≤，(3,4)C ，5OC =，2CP r ==， ∴OP 最小值为3． 故答案为（1）m ；（2）3．。
2014-2015学年北京市西城区2015届九年级上学期期末考试数学试题(含答案)
北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷九年级数学 2015. 1一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果ADE =120°，那么∠B 等于（ ） A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面 积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于A ．3B ．6C ．9D ．126．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ≥3C ．m ＜5D ．m ≤57．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是 A ．512B ．513 C ．1213D ．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形，AB =A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是（ ） A ．7 B ．8 C ．14 D ．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-错误!未找到引用源。
2014-2015学年北京市西城区2015届九年级上学期期末考试数学试题(含答案)、小升初数学试卷
北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷九年级数学 2015. 1一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果ADE =120°，那么∠B 等于（ ） A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面 积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于A ．3B ．6C ．9D ．12 6．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是 A ．m ＞2 B ．m ≥3 C ．m ＜5 D ．m ≤57．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是A ．512B ．513 C ．1213D ．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形，AB =A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是（ ） A ．7 B ．8 C ．14 D ．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-错误!未找到引用源。
2014-2015学年北京市西城区2015届九年级上学期期末考试数学试题(含答案)
北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷九年级数学 2015. 1一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果ADE =120°，那么∠B 等于（ ） A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面 积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于A ．3B ．6C ．9D ．126．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是A ．m ＞2B ．m ≥3C ．m ＜5D ．m ≤57．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是 A ．512B ．513 C ．1213D ．1258．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC 是该抛物线的内接格点三角形，AB =A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是（ ） A ．7 B ．8 C ．14 D ．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x=-错误!未找到引用源。