惯性积和惯性矩
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M02资_惯性矩和惯性积的平行移轴定理
iycxcxcxc6412xcxcyc便是形心主惯性矩轴便是形心主轴ycxc材料力学本章小结一知识点1熟练计算典型形状的静矩和形心2熟练计算典型形状的惯性矩惯性积惯性半径3掌握平行移轴公式的应用方法二重点内容1常见形状的二次矩计算2平行移轴公式
第5章 平面的几何性质 5
材料力学
本章主要内容
§5–1 面积矩与形心位置 惯性矩、惯性积、 §5–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 §5–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §5–4 惯性矩和惯性积的转轴定理 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
2 A
y
I y =∫ x 2 dA
二、极惯性矩： 极惯性矩： 矩。
A
x
dA y x
是面积对极点的二次
ρ
I ρ =∫ ρ 2 dA=I x +I y
A
材料力学
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 惯性积：
I xy =∫ xydA
A
y 是对称轴， 如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0 x dA y x
x y
dA y1 x1 x
Ix+I y Ix−I y Ix1 = + α α 2 cos2 −Ixysin2 2
α
材料力学
Ix+I y Ix−I y − I y1 = α α 2 cos2 −Ixysin2 2 Ix−I y Ix1y1 = sin2 +Ixy圆对其切线AB的惯性矩。 y 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； d O B x 二是用平行移轴定理等知识求。 建立形心坐标如图,求图形对形 心轴的惯性矩。
A
Iρ =
I P πd 4 I x =I y = = 2 64
第5章 平面的几何性质 5
材料力学
本章主要内容
§5–1 面积矩与形心位置 惯性矩、惯性积、 §5–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 §5–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §5–4 惯性矩和惯性积的转轴定理 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
2 A
y
I y =∫ x 2 dA
二、极惯性矩： 极惯性矩： 矩。
A
x
dA y x
是面积对极点的二次
ρ
I ρ =∫ ρ 2 dA=I x +I y
A
材料力学
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 惯性积：
I xy =∫ xydA
A
y 是对称轴， 如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0 x dA y x
x y
dA y1 x1 x
Ix+I y Ix−I y Ix1 = + α α 2 cos2 −Ixysin2 2
α
材料力学
Ix+I y Ix−I y − I y1 = α α 2 cos2 −Ixysin2 2 Ix−I y Ix1y1 = sin2 +Ixy圆对其切线AB的惯性矩。 y 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； d O B x 二是用平行移轴定理等知识求。 建立形心坐标如图,求图形对形 心轴的惯性矩。
A
Iρ =
I P πd 4 I x =I y = = 2 64
01-极惯性矩 惯性矩 惯性积课件
极惯性矩 惯性矩 惯性积
二、极惯性矩
IP
2dA
A
2 z2 y2
所以 I P I z I y
z
dA
z
O
y
y
对于圆形对圆心的极 惯 性矩自己课下推导 。
极惯性矩 惯性矩 惯性积
三、惯ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ积
I yz
yzdA
A
1.惯性矩的数值恒为正，惯性
积则可能为正值，负值，也
可能等于零；
z
dA dA z y
y
2.若y，z 两坐标轴中有一个为截面的对称轴， 则 截面对y，z轴的惯性积一定等于零。
极惯性矩 惯性矩 惯性积
四、惯性半径
iy
Iy A
iz
Iz A
极惯性矩 惯性矩 惯性积
极惯性矩 惯性矩 惯性积
一、惯性矩(面积的二次矩）
I y
z 2dA
A
Iz
y 2dA
A
z
z
O
y
dA y
极惯性矩 惯性矩 惯性积
例题
I y
z 2dA
A
h/2 z2bdz h/2
z
dA z
yh
b h/2 z2dz h/2 3
bh 12
b
对于三角形、圆形对自身形 心轴的惯性矩自己课下推导 。
惯性矩和惯性积的平行移轴公式
截面的形心必在对称轴 zc 上。 取过矩形 2 的形心且平行 于底边的轴作为参考轴， 记作 y 轴 。
20 140
zc
20
1
yc
2
y
100
A1 20140 A2 100 20
Z1 80 Z2 0
所以截面的形心坐标为
ZC
A1 Z1 A1
A2 Z2 A2
46.7mm
20 140zc20源自1ycxc
ob
x
二、组合截面的惯性矩 惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、
惯性积。
组合截面的惯性矩，惯性积
n
I x I xi i1
n
I y I yi i1
n
I xy I xyi i 1
例 3 -1 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
解：将截面分成两个矩形截面。
xc
b
x
Ix , Iy , Ixy _____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y
yc
I x I xc a2 A
Iy Iyc b2 A
I xy I xcyc abA
a
C(a,b)
§8-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积
一、 平行移轴公式
y x , y ——任意一对坐标轴
C —— 截面形心
a
（a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的
坐标。
o
xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）
20 140
zc
20
1
yc
2
y
100
A1 20140 A2 100 20
Z1 80 Z2 0
所以截面的形心坐标为
ZC
A1 Z1 A1
A2 Z2 A2
46.7mm
20 140zc20源自1ycxc
ob
x
二、组合截面的惯性矩 惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、
惯性积。
组合截面的惯性矩，惯性积
n
I x I xi i1
n
I y I yi i1
n
I xy I xyi i 1
例 3 -1 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
解：将截面分成两个矩形截面。
xc
b
x
Ix , Iy , Ixy _____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y
yc
I x I xc a2 A
Iy Iyc b2 A
I xy I xcyc abA
a
C(a,b)
§8-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积
一、 平行移轴公式
y x , y ——任意一对坐标轴
C —— 截面形心
a
（a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的
坐标。
o
xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）
第7章-惯性矩与惯性积
形心：截面图形的几何中心。质心是针对实物体而言的，而 形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物 体，质心和形心重合。
xC xdA
A
A
yC
A
ydA A
（10-1）
静矩：面积对某轴的一次矩。一般用S来表示。
S x ydA
A
S y xdA
A
（10-2）
1
建筑力学
S x yC A
上式说明，截面图形对任一轴的惯性矩，等于图形对其平行 的形心轴的惯性矩加上两轴间距离的平方与图形面积之积；而 截面图形对于任意一对互相垂直轴的惯性积，等于图形对于与 其平行的一对形心轴的惯性积加上图形形心坐标与其面积之积。
8
[例] 试计算截面对水平形心轴yc的惯性矩。
z
10
单位：mm ①
125 C1
I
2 I 4 I y z yz 2 2 I 4 I y z yz 2
tg 2 p
2 I yz Iy Iz
I
形心主惯性轴和形心主惯性矩的计算步骤：
(1) 确定组合截面形心的位置；
(2) 计算通过截面形心的一对坐标轴yc与zc的惯性矩Iyc 、 Izc 和惯性积Iyczc ； (3) 通过转轴公式确定形心主惯性轴的方位角α，并计算
10
建筑力学
7.4 主惯性轴和主惯性矩
z y z
dA
I y1 I z1
Iy Iz 2 Iy Iz 2 Iy Iz 2
I y Iz 2 Iy Iz 2
cos 2 I yz sin 2 cos 2 I yz sin 2
o
y
I y1z1
(土建施工)教学设计-2惯性矩和惯性积
惯性矩和惯性积
一、教学内容
知识目标：了解惯性矩、惯性积、极惯性矩的概念及其值的特征，惯性半径的概念；
熟悉截面对某轴的惯性积、极惯性矩计算公式；
掌握截面对某轴的惯性矩的计算公式。
能力目标：具备求解截面对某轴的惯性矩的能力。
二、教学重难点
重点：截面对某轴的惯性矩、惯性积、极惯性矩的计算。
难点：截面对某轴的惯性矩的计算。
三、教学方法
采用线上线下混合式教学法。
四、教学实施
课前：教师利用云课堂APP部署任务，学生在课前观看预习惯性矩和惯性积的线上ppt讲解视频。
课中：结合ppt，教师首先讲解惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积的概念，然后讲解矩形、圆形的惯性矩的计算。
课后：教师通过云课堂APP部署相关知识点的作业，要求学生按时完成，教师对作业进行批改，总结学生学习的缺乏。
五、教学小结
学生通过云课堂APP进行本次课程学习效果的评价；教师总结课程内容，并进行下次课程任务部署。
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式
HOHAI UNIVERSITY
1
HOHAI UNIVERSITY
2
HOHAI UNIVERSITY
例1 求如图矩形Sz和Sy
解：Sz
ydA
A
ah
ybdy
a
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy
bh(d
b) 2
A
zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
3
HOHAI UNIVERSITY
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
yC1 255mm yC2 140mm
5c0
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
50
C3
z
yC
A1
yC1 A2 yC2 A1 A2 A3
A3
yC 3
250
y
15050 255 18050140 25050 25 mm 15050 18050 25050
i=1
同理
n
Iz =∑ Izi
i=1
n
Iyz =∑ Iyzi
i=1
12
HOHAI UNIVERSITY
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下 图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
z
Iz
1 bh3 12
5 d 4
32y13HOHAI UNIVERSITY
14
HOHAI UNIVERSITY
作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15
1
HOHAI UNIVERSITY
2
HOHAI UNIVERSITY
例1 求如图矩形Sz和Sy
解：Sz
ydA
A
ah
ybdy
a
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy
bh(d
b) 2
A
zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
3
HOHAI UNIVERSITY
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
yC1 255mm yC2 140mm
5c0
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
50
C3
z
yC
A1
yC1 A2 yC2 A1 A2 A3
A3
yC 3
250
y
15050 255 18050140 25050 25 mm 15050 18050 25050
i=1
同理
n
Iz =∑ Izi
i=1
n
Iyz =∑ Iyzi
i=1
12
HOHAI UNIVERSITY
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下 图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
z
Iz
1 bh3 12
5 d 4
32y13HOHAI UNIVERSITY
14
HOHAI UNIVERSITY
作业题 求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15
转动惯量 惯性矩 惯性积
转动惯量惯性矩惯性积
转动惯量是动力学学科中的一个重要概念，它表示物体自身抗旋转的能力。
它是一个矢量，表示物体转动惯性矩的大小和方向，其中矩可以定义为质量及其距离物体轴心的距离之积。
惯性矩又称转动惯量，它可以被定义为物体抗旋转的力、质量及其距离物体轴心的距离的乘积。
二.算方法
转动惯量是由物体的质量和距离物体轴心的距离求出的，可以用下面公式来计算：
I=m*r^2
其中，I为转动惯量，m为质量，r为距离物体轴心的距离。
转动惯量可以通过惯性矩来描述，它是一个矢量，其方向取决于物体的转动方向。
它可以用下面的方程式来表示：
I=∑m_i*r^2_i
其中，m_i表示质量，r_i表示距离物体轴心的距离。
三.用
1.宙轨道运动：宇宙间的物体轨道运动时，物体的转动惯量是它的能量的特征，除了重力势能以外，物体还需要有一定的转动惯量来稳定轨道。
2.体动力学：在流体动力学中，转动惯量是流体旋转时受到影响的一个重要概念，在模拟流体运动时，转动惯量会对流体的运动产生重大影响。
3.行器控制：在飞行器控制中，转动惯量也是一个非常重要的概念，它决定了飞行器的性能，不同飞行器所需要的转动惯量也是不同的，这些都是飞行器控制的重要参数。
四.结
转动惯量是动力学学科中重要的概念，它表示物体自身抗旋转的能力。
转动惯量可以通过物体的质量和距离物体轴心的距离来计算，它是一个矢量，其方向取决于物体的转动方向。
转动惯量在宇宙轨道运动、流体动力学和飞行器控制等领域都具有重要的意义，是不可或缺的重要概念。
第7章-惯性矩与惯性积方案
10
y
I yc1
b1h13 12
a12h1
I yc1
10 125 3 12源自62.5 41.92
10 125
2.16 106 mm 4
矩形②对yc轴的惯性矩为：
I yc2
b2h23 12
a22h2
I yc2
70 103 12
5 41.92 70 10
截面对水平形心轴yc和垂直形心轴zc的惯性积
应等于矩形①对水平形心轴yc和垂直形心轴zc
yc
的惯性积加上矩形②对水平形心轴yc和垂直 形心轴zc的惯性积。即：
I I I yczc
yc zc 1
yczc 2
10
矩形①对yc和zc轴的惯性积为：
y
Iyczc 1 I yc1zc1 a1b1A1
A
惯性半径(工程中表示惯性矩的方法)：
ix
Ix A
iy
Iy A
5
建筑力学
组合截面的惯性矩和惯性积 当截面由n个简单图形组合而成时，截面对于某根轴的惯
性矩等于这些简单图形对于该轴的惯性矩之和。即:
n
I y I y1 I y2 I y3 I yn I yi i 1 n
4
建筑力学
7.2 惯性矩和惯性积
惯性矩：面积对某轴的二次矩。
Ix
y 2 dA
A
I y
x2dA
A
极惯性矩：平面内任意面积dA与其到坐标原点距离平方的乘积。
IP
2dA
A
Ip Ix Iy
惯性积：面积与其到x轴、y轴距离的乘积称为该面积对坐
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§1 Inertia product and principal moment of inertia 惯性积与主惯性矩
§1 Inertia product and principal moment of inertia 惯性积与主惯性矩
Inertia product 惯性积 Parallel axis theorem of inertia product 惯性积平行轴定理 Stress transformation equations and principal moment of inertia
I y1z1 I y Iz 2 I y1 I y I z I y I z cos2 I z1 2 2 I yz sin2 sin2 I yz cos2
：始边y轴，为正
I y1 I z1 I y I z I p
Principal axes and principal moment of inertia 主轴与主惯性矩 I y Iz I yz sin2 I yz cos2 0 2 2 I yz tan2 主形心轴 Iz I y 满足惯性积为零的坐标 轴 －主轴 记为 y , z
Stress transformation equations and principal moment of inertia 转轴公式与主惯性矩 转轴公式
建立 I yz 与 I y1z1 的关系
y1 ycos zsin
z1 zcos ysin
I y1z1 A ( ycos zsin )( zcos ysin )dA
二者平行
算例
试计算惯性积 Iyz
I y0 z0 0
yC 20 mm zC -10 mm
I yz I y0 z0 AyC zC
I yz 0 (20 10-3 m)(-10 10 -3 m)(20 40 10-6 m2 ) I yz 16 10-8 m4
转轴公式与主惯性矩
Inertia product 惯性积
Inertia product, product second moment of area 当 y 或 z 轴为 截面对称轴时
I yz 0
I yz A yzdA
[L]4
－截面对 y, z 轴的惯性积
算例
试计算图示截面的惯性积 Iyz
-2424'
4 I y 1 b4 2b4 1 b4 2b4 b cos48 48 ' sin48 48' I z 2 18 9 2 18 9 18
I y 0.1520b4
I z 0.1258b4
I yz A yzdA I yz A yC y0 zC z0 dA I y0 z0 A y0 z0dA
A y0dA 0 A z0dA 0
I yz I y0 z0 AyC zC
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz－任意直角坐标系
注意：( yC , zC )－形心 C 的坐标
I yz 0 0 yzdydz
h( b z ) y1 b
b
y1
I yz 0 0
I yz
b h( b-z )/b
yzdydz
b 2 h2 24
Parallel axis theorem of inertia product
惯性积平行轴定理
平行轴定理
建立 I yz 与 I y0 z0 的关系
对主轴的惯性矩 －主惯 性矩 记为 I y , I z
Iy Iz I y Iz 2 I y Iz 2
主形心轴
cos2 I yz sin2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过形心的主轴－主形心轴 相应惯性矩－主形心惯性矩
算例
确定主形心轴与主形心惯性矩，h=2b
hb 3 b4 36 18
bh3 2b4 I z0 I y0 36 9 2 2 4 b h b I y0 z0 I yz yC zC A yC zC A 24 18 2 I y0 z0 2(-b4 / 18) 8 tan2 4 4 I z0 I y0 2b / 9 b / 18 7
§1 Inertia product and principal moment of inertia 惯性积与主惯性矩
Inertia product 惯性积 Parallel axis theorem of inertia product 惯性积平行轴定理 Stress transformation equations and principal moment of inertia
I y1z1 I y Iz 2 I y1 I y I z I y I z cos2 I z1 2 2 I yz sin2 sin2 I yz cos2
：始边y轴，为正
I y1 I z1 I y I z I p
Principal axes and principal moment of inertia 主轴与主惯性矩 I y Iz I yz sin2 I yz cos2 0 2 2 I yz tan2 主形心轴 Iz I y 满足惯性积为零的坐标 轴 －主轴 记为 y , z
Stress transformation equations and principal moment of inertia 转轴公式与主惯性矩 转轴公式
建立 I yz 与 I y1z1 的关系
y1 ycos zsin
z1 zcos ysin
I y1z1 A ( ycos zsin )( zcos ysin )dA
二者平行
算例
试计算惯性积 Iyz
I y0 z0 0
yC 20 mm zC -10 mm
I yz I y0 z0 AyC zC
I yz 0 (20 10-3 m)(-10 10 -3 m)(20 40 10-6 m2 ) I yz 16 10-8 m4
转轴公式与主惯性矩
Inertia product 惯性积
Inertia product, product second moment of area 当 y 或 z 轴为 截面对称轴时
I yz 0
I yz A yzdA
[L]4
－截面对 y, z 轴的惯性积
算例
试计算图示截面的惯性积 Iyz
-2424'
4 I y 1 b4 2b4 1 b4 2b4 b cos48 48 ' sin48 48' I z 2 18 9 2 18 9 18
I y 0.1520b4
I z 0.1258b4
I yz A yzdA I yz A yC y0 zC z0 dA I y0 z0 A y0 z0dA
A y0dA 0 A z0dA 0
I yz I y0 z0 AyC zC
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz－任意直角坐标系
注意：( yC , zC )－形心 C 的坐标
I yz 0 0 yzdydz
h( b z ) y1 b
b
y1
I yz 0 0
I yz
b h( b-z )/b
yzdydz
b 2 h2 24
Parallel axis theorem of inertia product
惯性积平行轴定理
平行轴定理
建立 I yz 与 I y0 z0 的关系
对主轴的惯性矩 －主惯 性矩 记为 I y , I z
Iy Iz I y Iz 2 I y Iz 2
主形心轴
cos2 I yz sin2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过形心的主轴－主形心轴 相应惯性矩－主形心惯性矩
算例
确定主形心轴与主形心惯性矩，h=2b
hb 3 b4 36 18
bh3 2b4 I z0 I y0 36 9 2 2 4 b h b I y0 z0 I yz yC zC A yC zC A 24 18 2 I y0 z0 2(-b4 / 18) 8 tan2 4 4 I z0 I y0 2b / 9 b / 18 7