(新课标)高考数学(理)大一轮：第三章 三角函数、解三角形第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
4．已知
π tan6－α＝
5π 3 －3 ＋α＝_______. ，则 tan 3 6
3
5π π 解析：tan 6 ＋α＝tanπ－6＋α π ＝tanπ－6－α π ＝－tan6－α＝－
α(k∈Z)
sinα
cosα tanα
π +α
－sinα
－α
－sinα
π －α
π －α 2
cosα
π ＋α 2
cosα
－sinα
sinα －cosα
－tanα
－cosα
tanα
cosα
－tanα
sinα
[提醒]
kπ 对于角“ ± α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇 2
变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当 k 为奇数 时， 正弦变余弦， 余弦变正弦； 当 k 为偶数时， 函数名不变”． “符 号看象限”是指“在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时， 原函数值的符号”．
1 sin α＋cos α＝5， 由 sin α－cos α＝7， 5 4 ∴tan α＝－ . 3
4 sin α＝5， 得 cos α＝－3， 5
sin2α＋cos2α sin2α＋cos2α tan2α＋1 cos2α 1 (2) 2 ＝ ＝ ＝ . cos α－sin2α cos2α－sin2α cos2α－sin2α 1－tan2α cos2α
sin α cos α 解析：当 k 为偶数时，A＝ ＋ ＝2； sin α cos α －sin α cos α k 为奇数时，A＝ － ＝－2. sin α cos α
3 2 ． 3．sin 600° ＋tan 240° 的值等于_____
解析：sin 600° ＋tan 240° ＝sin(720° －120° )＋tan(180° ＋60° ) 3 3 ＝－sin 120° ＋tan 60° ＝－ ＋ 3＝ . 2 2
[题组练透]
1．已知
5π 1 sin 2 ＋α＝5，那么
cos α＝ 1 B．－5 2 D． 5
(
)
2 A．－5 1 C． 5
5π π 解析：sin 2 ＋α＝sin2＋α＝cos
1 α＝ . 5
sinkπ＋α coskπ＋α 2．已知 A＝ ＋ (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是 sin α cos α ( A．{1，－1,2，－2} C．{2，－2} B．{－1,1} D．{1，－1,0,2，－2} )
( × )
(3)对任意的角 α，β 有 sin2α＋cos2β＝1
(× )
3 3 或－ 3 4 4 2． (人教 A 版教材例题改编)已知 sin α＝－ ， 则 tan α＝________. 5 2sin2α－1 1 3．化简： 2 ＝____. 1－2cos α
基础盘查二
(一)循纲忆知
于 y 轴对称
( × )
2．(人教 A 版教材习题改编)
2 31π 26 3 2 (1)sin－ 4 ＝____，(2)tan－ 3 π＝____.
考点一
三角函数的诱导公式 (基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
角 2kπ＋ 函数 正弦 余弦 正切
1 法二：∵sin α＋cos α＝ ， 5 ∴(sin α＋cos α)
2
1 ＝52，即
1 1＋2sin αcos α＝ ， 25
24 ∴2sin αcos α＝－ ， 25 24 49 ∴(sin α－cos α) ＝1－2sin αcos α＝1＋ ＝ . 25 25
2
12 ∵sin αcos α＝－ ＜0 且 0＜α＜π， 25 ∴sin α＞0, cos α＜0, sin α－cos α ＞0. 7 ∴sin α－cos α＝ . 5
3 . 3
5．化简：
3π tanπ－αcos2π－αsin－α＋ 2
cos－α－πsin－π－α
.
－tan α· cos α· －cos α 解：原式＝ cosπ＋α· －sinπ＋α sin α · cos α tan α· cos α· cos α cos α ＝ ＝ －cos α· sin α －sin α ＝－1.
第二节
同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础盘查一
同角三角函数的基本关系
(一)循纲忆知
理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1， sin α ＝tan α. cos α
(二)小题查验
1．判断正误
(1)对任意角 α，sin23α＋cos23α＝1 都成立 ( √ )
α sin 2 α (2)对任意角 α， α＝tan 都成立 2 cos 2
考点二 同角三角函数的基本关系 (题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]
同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系： sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
π sin α (2)商数关系： tan α＝ α≠kπ＋ ，k∈Z. 2 cos α
[一题多变]
[典型母题]
1 已知 α 是三角形的内角，且 sin α＋cos α＝ . 5 (1)求 tan α 的值； 1 (2)把 2 用 tan α 表示出来，并求其值． cos α－sin2α
π 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α ， π ±α 的正弦、 2 余弦、正切的诱导公式．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角 (√ )
(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变， 符号看象限”， 其中的奇、 π 偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化 2 (√ )
[解 ]
(1)法一：联立方程 ① ②
1 sin α＋cos α＝ ， 5 2 2 sin α＋cos α＝1， 1 由①得 cos α＝ －sin α， 5 将其代入②，整理得 25sin2 α－5sin α－12＝0. ∵α 是三角形内角， 4 sin α＝5， ∴ cos α＝－3， 5 4 ∴tan α＝－ . 3
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式文北师大版
解析：sin
θcos
θ＝ssiinn2θθ· ＋
ccooss2θθ＝tatna2nθθ＋
1＝222＋
＝ 1
2. 5
5 ． (2016·石 家 庄 一 模 ) 已 知 α 为 第 二 象 限 角 ， 则 cos
α· 1＋tan2α＋sin α
1＋tan12α＝___0_____．
解析: 因为 α 为第二象限角，所以 sin α＞0，cos α＜0，
5
5
所以 sin(π＋α)＝－sin α＝－4.
5
3．若
sin
θcos
θ＝1，则
2
tan
θ＋cos
sin
θ θ的值是(B
)
A．－2
B．2
C．±2
1 D.2
解析：tan
θ＋cos
sin
θθ＝scions
θθ＋csions
θθ＝cos
1
θsin
θ＝2.
2
4．已知 tan θ＝2，则 sin θ·cos θ＝____5____．
(1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互
化，利用sin cos
αα＝tan
α可以实现角
α
的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，
sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos
α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
三
四
五
六
α＋ 角 2kπ(k∈ π＋α
－α
π－α
π－α 2
π＋α 2
Байду номын сангаас
高考数学一轮总复习 第三章 三角函数与解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式(理)
导公式．
义、同角关系式；
关系式和诱导公式；
2.理解同角三角函数
2014年大纲卷考查诱导 观察分析这些公式 公式及三角函数单调 特征，掌握记忆诀
的基本关系式：sin2x 性；
窍；通过基本题型，
＋cos2x＝1，s i n x ＝ cos x
tanx
2015年新课标卷Ⅰ考查 掌握解题规律 诱导公式、两角和与差 的正余弦公式
函数名不变 符号看象限
四
π－α
sinα －cosα ______ －tanα
五
六
π
π
2 －α 2 ＋α
cosα cosα
sinα －sinα
—
—
函数名改变 符号看象限
3．三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边与 单位圆相交于点 P，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴于点 M，则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点 P 的坐标为 (cosα，sinα)，其中 cosα＝OM，sinα＝MP.单位圆与 x 轴的正 半轴交于点 A，单位圆在点 A 的切线与角α的终边或其反向延长 线相交于点 T，则 tanα＝AT.我们把有向线段 OM，MP，AT 分 别叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
答案：D
(2)(2011 年大纲)已知 α∈π，32π，tanα＝2，则 cosα＝ ________.
解析：α∈π，32π，tanα＝2，则
cosα＝－
5 5.
答案：－
5 5
(3)(2012 年大纲)已知 α 为第二象限角，sinα＋cosα＝ 33， 则 cos2α＝( )
A．－
5 3
B．－
3．(2013 年大纲)已知 α 是第二象限角，sinα＝153，则 c．－153
高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案理北师大版
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式[考纲传真] (教师用书独具)1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．(对应学生用书第49页)[基础知识填充]1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.2．诱导公式组序 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin αsin αcos αcos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α正切 tan αtan α－tan α －tan α口诀 函数名不变，符号看象限函数名改变 符号看象限记忆规律 奇变偶不变，符号看象限[知识拓展] 1.诱导公式的两个应用：(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．“1”代换sin 2α＋cos 2α＝1.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的“奇、偶”是指π2的奇数倍、偶数倍，“变与不变”指函数名称是否变化．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( )A ．－513B ．－1213C ．513D ．1213B [∵sin α＝513，α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]3．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4＝________. 2 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4＋sin π4＝22＋22＝ 2.]4．已知tan α＝2，则sin α－cos αsin α＋cos α的值为________．13[∵tan α＝2， ∴sin α－cos αsin α＋cos α＝sin αcos α－cos αcos αsin αcos α＋cos αcos α＝tan α－1tan α＋1＝13.] 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.－45 [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.](对应学生用书第50页)同角三角函数基本关系式的应用(1)已知sin αcos α＝8，且4＜α＜2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34(2)(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A ．6425B ．4825C ．1D ．1625(1)B (2)A [(1)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)∵tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425，故选A ．] [规律方法] 同角三角函数关系式及变形公式的应用方法1利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.2应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cosα这三个式子，利用sin α±cos α2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.3注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.[跟踪训练] (1)若sin α＝－13，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )【导学号：79140105】A ．125B ．－125C ．512D ．－512(2)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．12D ．－12(1)D (2)B [(1)法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D ．(2)因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0， 所以sin θ－cos θ＝－23.]诱导公式的应用(1)化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin (－171°)·sin(－261°)的结果为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．2(2)已知A ＝sin(k π＋α)sin α＋cos(k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}(1)C (2)C [(1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261° ＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.][规律方法] 利用诱导公式的方法与步骤(1)方法：利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归． (2)步骤：易错警示：利用诱导公式的关键是符号问题．[跟踪训练] (1)(2018·南昌一模)(1)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.(2)计算：tan(π＋α)cos(2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2cos(－α－3π)sin(－3π－α)＝________.(1)13 (2)－1 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝13. (2)原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos(π＋α)[－sin(3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos αsin α＝tan αcos αcos α－cos αsin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.]同角关系式与诱导公式的综合应用(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.(2)(2017·郑州质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin 3(π－α)＋cos(α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值为________.【导学号：79140106】(1)－43 (2)335 [(1)由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.sin 3(π－α)＋cos(α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335.][规律方法] 三角函数求值与化简的常用方法1弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦切互化.2和积转换法：利用sin θ±cos θ2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.3巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ1＋tan 2θ＝tan π4等.4利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤.[跟踪训练] (1)已知sin α＝3，α是第二象限角，则tan(π－α)＝________.(2)(2018·湖北调考)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝5，则1sin x cos x ＝( )A ．265B ．－265C ．±265D ．－526(1)24 (2)B [(1)∵sin α＝13，α是第二象限角，∴cos α＝－223，∴tan α＝－24，故tan(π－α)＝－tan α＝24. (2)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x －sin x＝－1tan x ＝5，∴tan x ＝－15，∴1sin x cos x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ＝tan 2x ＋1tan x ＝－265，故选B ．]。
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理北师大版20171125446
π 3 3 [解析] (1)因为 cos ＋α ＝ ，所以 sin α ＝－ ，显然α 在 5 2 5 4 3 第三象限，所以 cos α ＝－ ，故 tan α ＝ . 5 4 (2)由 sin α ＋2cos α ＝0 得 tan α ＝－2， 所以 2sin α cos α －cos2α 2sin α cos α －cos2α ＝ sin2α ＋cos2α 2tan α －1 ＝ tan2α ＋1 －4－1 ＝ ＝－1. 4＋1
4 3π ， 2π 1.已知 sin(2π － α)＝ ，α ∈ ，则 2 5 tan(π － α)＝( D ) 3 A. 4 3 C．－ 4 4 B．－ 3 4 D. 3
4 4 解析：由 sin(2π －α)＝ ，得 sin α ＝－ . 5 5 3 3 因为 α∈ π ， 2π ，所以 cos α ＝ ， 2 5 4 所以 tan α ＝－ . 3 4 故 tan(π － α)＝－ tan α ＝ . 故选 D. 3
20π 1．cos － ＝( C ) 3 1 A. 2 3 B. 2 1 C．－ 2 3 D．－ 2
π 3 2．(必修 4 P24 习题 1－4B 组 T1 改编)已知 sin ＋α ＝ ， 2 5 π α ∈ 0， ，则 sin(π ＋α)等于( D ) 2 3 A. 5 4 C. 5 3 B．－ 5 4 D．－ 5
2 2
1 1.(1)已知 α 是第二象限的角，tan α ＝－ ，则 2 2 5 － 5 cos α ＝ ________ ． 1 (2)如果 sin x＋ cos x＝ ， 且 0<x<π ， 那么 tan x 的值是 ( A ) 5 4 4 3 A．－ B．－ 或－ 3 3 4 3 4 3 C．－ D. 或－ 4 3 4
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式创新教学案(含
第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式[考纲解读] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α，并能熟练应用同角三角函数关系进行化简求值．(重点)2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限〞的含义，并能利用诱导公式进行化简．(重点、难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲内容在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础．预测2021年高考将以诱导公式为基础内容，结合同角三角函数关系式及三角恒等变换进行考查，试题以客观题为主，难度小，具有一定的技巧性.对应学生用书P0631.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：01 sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：02 sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式一 二三四五 六 角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－α π2＋α 正弦sin α01 －sin α 02 －sin α 03sin α 04cos α 05 cos α 余弦cos α06 －cos α07cos α 08 －cos α 09sin α10 －sin α正切tan α11 tan α12 －tan α13 －tan α ——口诀 函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限1．概念辨析(1)对任意α，β∈R ，有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)假设α∈R ，那么tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.( )(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．小题热身 (1)假设sin α＝55，π2<α<π，那么tan α＝________. 答案 －12解析 因为sin α＝55，π2<α<π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255， 所以tan α＝sin αcos α＝－12.(2)化简：cos 2α－1sin αtan α＝________.答案 －cos α解析 原式＝－sin 2αsin α·sin αcos α＝－cos α.(3)sin 2490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________.答案 －12－12解析 sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.(4)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么sin(π＋α)＝________.答案 －45解析 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.对应学生用书P063题型 一 同角三角函数关系式的应用角度1 化简与求值1．(2019·某某模拟)角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)，那么cos α＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 由任意角三角函数的定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，所以3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)．整理得2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．角度2 sin α＋cos α、sin αcos α、sin α－cos α三者之间的关系2.(2019·某某石室中学模拟)α为第二象限角，且sin α＋cos α＝15，那么cos α－sin α＝( )A.75 B ．－75C ．±75D.2425答案 B解析 因为sin α＋cos α＝15，所以(sin α＋cos α)2＝125，即1＋2sin αcos α＝125，所以2sin αcos α＝－2425.所以(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.又因为α为第二象限角．所以cos α<0，sin α>0.所以cos α－sin α<0.所以cos α－sin α＝－75.角度3“齐次式〞问题3．sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，那么cos 2α＋sin αcos α的值是() A.35 B ．－35C ．－3D ．3 答案 A 解析 因为sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，所以tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，所以cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35.1．应用同角三角函数关系式化简、求值的方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．如举例说明1.(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系〞公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．2．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α之间的关系问题(1)方法：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(2)关注点：根据角α终边的位置确定sin α＋cos α，sin α－cos α的符号．如举例说明2.3．sin α，cos α的齐次式的解法 (1)常见的结构①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切〞代换法求解；②sin α，cos α的齐次分式⎝ ⎛⎭⎪⎫如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)巧用“1〞的变换：1＝sin 2α＋cos 2α.如举例说明3.1．假设α是第二象限角，那么tan α1sin 2α－1化简的结果是( ) A ．－1 B ．1 C ．－tan 2α D ．tan 2α答案 A解析 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以tan α1sin 2α－1＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1. 2．假设sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，那么sin αcos α的值等于( ) A ．－25B ．－15C.25或－25D.25答案 A解析 由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，那么tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 3．α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，sin αcos α＝229，那么sin α－cos α＝________.(提示(22－1)2＝9－42)答案1－223解析 因为sin αcos α＝229，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α ＝1－429＝9－429＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－132.又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝1－223.题型 二 诱导公式的应用1．化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案 C解析 原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.2．(2019·某某六校教育研究会联考)假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A.255 B ．－255C.55D ．－55 答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－55. 3．假设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值为________．答案 0 解析 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.(1)诱导公式的两个应用方向与原那么①求值，化角的原那么与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简，化简的原那么与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)应用诱导公式的基本流程(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．(4)注意观察角与所求角的关系，如果两者之差或和为π2的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明2中⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2.1．(2020·某某高三摸底)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2021π2＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 因为角α的终边经过点P (3,4)． 所以cos α＝332＋42＝35. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2021π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－1010π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－35. 2．k ∈Z ，化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α＝________.答案 －1解析 当k 为偶数时，原式＝sin －αcos －π－αsin π＋αcos α＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1.当k 为奇数时，原式＝sin π－αcos －αsin αcos π＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上知，原式＝－1.题型 三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用1．(2019·某某模拟)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2019π2＋α＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，那么cos α＝( )A.12 B ．－12C ．－32D.32答案 C 解析 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫2019π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1008π＋3π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α＝12，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32.2．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，那么C 等于( )A.π3 B.π4 C.π2D.2π3答案 C解析 因为3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，所以3cos A ＝3sin A ，所以tan A ＝33，又0<A <π，所以A ＝π6.因为cos A ＝－3cos(π－B )，即cos A ＝3cos B ，所以cos B ＝13cos π6＝12，又0<B <π，所以B ＝π3，所以C ＝π－(A ＋B )＝π2.应选C. 3．(2019·某某六中第一次阶段性检测)f (α)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan π＋α－cos π－α2－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋cos π－α＋cos 2π－α.(1)化简f (α)；(2)假设－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值X 围．解 (1)f (α)＝cos αtan α＋cos α2－1－4cos α－cos α＋cos α＝sin α＋cos α2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z .∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3.同角三角函数关系式和诱导公式综合应用题的解法(1)使用诱导公式把求解的三角函数式化为只含一个角的三角函数式．如举例说明3.(2)使用同角三角函数的基本关系式求解该三角函数式的值，求解中注意公式的准确性．1．(2019·某某八校联考)sin(π＋α)＝－13，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝() A ．2 2 B ．－2 2 C.24D ．±2 2答案 D解析 因为sin(π＋α)＝－sin α＝－13，所以sin α＝13，所以cos α＝±1－sin 2α＝±223， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2. 2.1＋2sin π－3cos π＋3化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对答案 A解析 因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，所以原式＝1－2sin3·cos3＝sin3－cos32＝|sin3－cos3|.因为π2<3<π，所以sin3>0，cos3<0，即sin3－cos3>0，所以原式＝sin3－cos3.3．tan100°＝k ，那么sin80°的值等于( ) A.k1＋k2B ．－k1＋k2kk答案 B解析 由得tan100°＝k ＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以tan80°＝－k ，又因为tan80°＝sin80°cos80°＝sin80°1－sin 280°，所以sin 280°1－sin 280°＝k 2，注意到k <0，可解得sin80°＝－k1＋k2.对应学生用书P277组 基础关1．计算：sin 11π6＋cos 10π3＝( )A ．－1B ．1C ．0 D.12－32答案 A 解析 sin 11π6＋cos 10π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.2．sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，那么θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3答案 D解析 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝sin θcos θ＝ 3.又因为|θ|<π2，所以θ＝π3. 3．cos31°＝a ，那么sin239°·tan149°的值是( ) A.1－a2aB.1－a 2a答案 B解析 sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan31°)＝sin31°＝1－a 2.4．假设0≤2x ≤2π，那么使1－sin 22x ＝cos2x 成立的x 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π答案 D解析 显然cos2x ≥0，因为0≤2x ≤2π，所以0≤2x ≤π2或3π2≤2x ≤2π，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π.5．(2019·某某二中模拟)角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，那么sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2答案 D 解析 因为r ＝2sin22＋－2cos22＝2，由任意角的三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos2.6．假设sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，那么m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5答案 B解析 由得Δ＝(2m )2－4×4×m ＝4m (m －4)≥0，所以m ≤0或m ≥4，排除A ，C.又因为sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以m 24＝1＋m2，解得m ＝1－5或m ＝1＋5(舍去)．7．tan α＝3，那么1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12 B ．2C ．－12D ．－2答案 B解析 因为tan α＝3，所以1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋1＋2tan αtan 2α－1 ＝32＋1＋2×332－1＝2. 8．化简：(1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝________. 答案 1解析 (1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.9．化简：sin α＋πcos π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αtan －αcos 3－α－2π＝________. 答案 －1解析 原式＝－sin α－cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－tan αcos 3α＝sin αcos αcos α－sin αcos αcos 3α＝sin αcos 2α－sin αcos 2α＝－1. 10．cos(75°＋α)＝13，那么sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．答案 －23解析 因为cos(75°＋α)＝13，所以sin(α－15°)＝sin[(75°＋α)－90°]＝－cos(75°＋α)＝－13.cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13.所以sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝－23.组 能力关1．2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝( )A.22B ．－22C. 2 D ．－ 2答案 A解析 因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23，所以tan θtan 2θ＋1＝23，解得tan θ＝22(tan θ＝2，舍去，这是因为2θ是第一象限的角，所以tan θ为小于1的正数)．2．(2019·某某模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.3．－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，那么1cos 2α－sin 2α的值为() A.75 B.257 C.725D.2425答案 B解析 因为－π2<α<0，所以cos α>0，sin α<0，可得cos α－sin α>0，因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2，所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－125＝4925，cos α－sin α＝75，cos 2α－sin 2α＝15×75＝725，所以1cos 2α－sin 2α的值为257. 4．(2020·某某摸底)假设1＋cos αsin α＝2，那么cos α－3sin α＝( )A ．－3B ．3C ．－95D.95答案 C解析 因为1＋cos αsin α＝2，所以cos α＝2sin α－1.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋(2sin α－1)2＝1.整理得5sin 2α－4sin α＝0，因为sin α≠0，所以sin α＝45.所以cos α＝2sin α－1＝35.所以cos α－3sin α＝35－125＝－95.5．cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α等于( )A.223B.13 C ．－13D ．－223答案 D 解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α.因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.6．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________. 答案 44.5解析 因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1， 设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， 那么S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°，两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5. 7．α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且满足 1－sin α1＋sin α＋1cos α＝2，那么cos 2α＋2sin2α＝________.答案 95解析 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以 1－sin α1＋sin α＋1cos α＝1－sin α1－sin α1＋sin α1－sin α＋1cos α＝1－sin α－cos α＋1cos α＝sin αcos α，那么sin αcos α＝2，tan α＝2，而cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝95. 8．sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解 tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin α＝255>0，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 那么原式＝1sin αcos α＝52；当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 那么原式＝1sin αcos α＝－52.。
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教版
为( B )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．a＞c＞b
5．(2021·唐山模拟)已知sin52π＋α＝35，那么tan α的值为( C )
A．－43
B．－34
C．±43
D．±34
6．(2021·苏州模拟)化简：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosα α＝________. 解析：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosαα＝sin1＋α＋cossinααtcaonsαα＝cos α.
3 4
π，B＝56π，不符合题意，舍去．
综上，C＝172π.
[答案]
7 12π
三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的发掘以及三角形内 角和定理的应用.
(二)创新应用——斜率公式与三角函数的交汇问题
[例2] 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上
有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝23，则|a－b|＝( B )
1 A.5
B．
5 5
25 C. 5
D．1
本题主要通过商数关系进行弦化切，结合斜率公式求解，着重 考查了逻辑推理与数学运算核心素养．
[题组突破]
1．已知曲线f(x)＝32x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则
2sinsiαn2cαo－s αc＋osc2αos2α＝( C )
1 A.2
B．2
函数名不变 符号看象限
函数名改变，符 号看象限
1．若sin6π－α＝13，则cos3π＋α＝( C )
A．－79
B．－13
1 C.3
D．79
2．化简scions25απ－＋π2α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件
A.－153
B.153
C.－152
D.152
答案：C
2.(一题两空)已知 tan α＝12，则ssiinnαα－＋3ccoossαα＝___________； sin2α＋sinαcos α＋2＝________.
解析：ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaann αα－ ＋31＝－53.sin2α＋sinαcos α＋2＝
的技能以及基本的运算能力.
π2±α，π±α的正弦、余弦、正切
2.题型为选择题和填空题，中 低档难度
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：csoinsαα＝tan αα≠π2＋kπ，k∈Z.
2.三角函数的诱导公式
公式 一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α (k∈Z)
π4＋α 与π4－α 等，常见的互补关系有π3＋α 与23π－α；π4＋α 与34π－α 等.
【考法全练】
1.(考向 1)(2023 年兴庆区校级月考)已知角 α 的终边经过点
(－1，2)，则 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝(
)
3 A.5
B.－35
C.－130
3 D.10
解析：因为角α的终边经过点(－1，2)，
π2＜α＜π，则 sin α－cos α 的值为( )
A.194
B.－194
C.
14 3
D.－
14 3
解析：因为 sin (π－α)－cos (π＋α)＝32，且π2＜α＜π，所以 sin α
＋cos α＝23，sin α＞0，cos α＜0，方程两边平方，可得 1＋2sin αcos α
2024届高三数学一轮复习-三角函数与解三角形 第2练 同角三角函数的基本关系及诱导公式(解析版)
第2练同角三角函数的基本关系及诱导公式一、单选题
二、多选题
A．()f x 的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦
B．()f x 的最小正周期为πC．π
6
ϕ=
D．将函数f （x ）的图象向左平移14．（2023·全国·高三专题练习）2022的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图象近似函数而破碎的涌潮的图象近似()f x '（两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为A．2
ω=C．π4f x ⎛
⎫'+ ⎪⎝
⎭的图象关于原点对称
三、填空题
15．（2023·全国·高三专题练习）已知16．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知π
四、解答题
(1)若AM BM =，求
AC
AM
的值；(2)若AM 为BAC ∠的平分线，且20．（2023·全国·高三专题练习）a c <，且ππsin cos 36A ⎛⎫⎛- ⎪ ⎝⎭⎝(1)求A 的大小；
(2)若sin sin 43sin a A c C +=
参考答案：。
2021届高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式训练理新人教版
2021届高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式训练理新人教版【选题明细表】知识点、方法题号同角三角函数的差不多关系式1,2,6,11,12,14诱导公式7,9,10综合应用问题3,4,5,8,131.(2021·江西模拟)已知sin α=-,且α是第三象限的角,则tan α的值为( A )(A) (B)-(C) (D)-解析:因为sin α=-,且α是第三象限的角,因此cos α=-=-,则tan α==,故选A.2.(2021·乐东县一模)已知tan α=3,则等于( B )(A) (B) (C) (D)2解析:因为tan α=3,因此===.故选B.3.(2021·晋中一模)若sin(π-α)=,且≤α≤π,则cos α等于( B )(A) (B)-(C)- (D)解析:因为sin(π-α)=sin α=,且≤α≤π,则cos α=-=-.故选B.4.(2021·九江一模)已知tan θ=3,则cos(+2θ)等于( C )(A)- (B)- (C) (D)解析:因为tan θ=3,则cos(+2θ)=sin 2θ====. 故选C.5.(2021·焦作二模)若cos(-α)等于,则cos(π-2α)等于( D )(A) (B) (C)- (D)-解析:由cos(-α)=,可得sin α=.因为cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-.故选D.6.已知-<α<0,sin α+cos α=,则的值为( C )(A) (B)(C)(D)解析:法一联立由①得,sin α=-cos α,将其代入②,整理得25cos2α-5cos α-12=0.因为-<α<0,因此因此==.故选C.法二因为sin α+cos α=,因此(sin α+cos α)2= ()2,可得2sin αcos α=-.而(cos α-sin α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1+=,又-<α<0,因此sin α<0,cos α>0,因此cos α-sin α=.因此==.故选C.7.(2021·四川乐山二模)设函数f(x)(x∈R)满足f(x-π)=f(x)+sin x,当0≤x≤π,f(x)=1时,则f(-)等于( C )(A) (B)- (C) (D)-解析:因为f(x-π)=f(x)+sin x,当0≤x≤π,f(x)=1时,则f(-)=f(--π)=f(-)+sin(-)=f(--π)+sin(-)=f(-)+sin(-)+sin(-)=f(-π)+sin(-)-sin=f()+sin+sin(-)+sin=1+-+=,故选C.8. (2021·临沂一模)已知α是第二象限角,cos(-α)=,则tan α= .解析:因为α是第二象限角,cos(-α)=sin α=,因此cos α=-=-,则tan α==-.答案:-9.(2021·吉林三模)设tan α=3,则= .解析:因为tan α=3,则=====2.答案:2能力提升(时刻:15分钟)10.导学号 38486080(2021·江西上饶一模)已知sin(α-)=,则cos(α+)的值等于( A )(A) (B)(C)- (D)-解析:由sin(α-)=,则cos(α+)=cos(α+-)=sin(α-)=.故选A.11.(2021·湖南湘潭二模)若tan α-=,α∈(,),则cos 2α的值为( D )(A) (B)- (C) (D)-解析:因为tan α-=,α∈(,),因此tan α=2,则cos 2α====-.故选D.12.已知sin α=,cos α=,则m= .解析:sin α=,cos α=,sin2α+cos2α=1,因此()2+()2=1,化简整理可得9m2-10m+1=0,解得m=1或m=.答案:1或13.(2021·山东菏泽期中)(1)化简;(2)已知tan α=-,求的值.解:(1)因为sin(-α-180°)=sin[-(180°+α)]=-sin(180°+α) =sin α,cos(-α-180°)=cos[-(180°+α)]=cos(180°+α)=-cos α,因此原式===1.(2)因为tan α=-,因此==-tan α=.14.是否存在α∈(-,),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos(-β),cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.解:假设存在角α,β满足条件,则由已知条件可得由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2.因此sin2α=,因此sin α=±.因为α∈(-,),因此α=±.因为β∈(0,π),因此sin β>0,由①sin α>0,因此sin α=.由②cos β=,因此β=.因此存在α=,β=满足条件.。
高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式课件 文
＝5ttaannαα－＋42＝5×－－43－434＋2＝87.
【题点发散三】 在本例(3)的条件下，求 sin2α＋2sinαcosα 的值．
【解】 sin2α＋2sinαcosα ＝sins2iαn＋2α＋2sicnoαsc2αosα ＝tan12＋α＋ta2nt2aαnα＝1196＋－19836＝－285.
【解】 (1)原式＝sicnoαsα－－sicnoαsα－tasnin2αα＝－si1nα. (2)方法 1：n 为奇数时，原式＝ssiinnαα··c－osc－osαα＝－1； n 为偶数时，原式＝－sisnin－αα－·ccoossαα＝－1. 综上可知，原式＝－1.
方法 2：原式＝sin[π＋sinnnππ＋－αα]·ccooss[πn＋π＋nαπ－α] ＝ssiinnnnππ－ ＋ααccoossnnππ＋ －αα ＝ssiinn[n2πn＋π－α·ncπo＋s[2αnπ]c－osnnππ＋＋αα] ＝－sisninnnππ＋＋ααcocsosnπnπ＋＋αα ＝－1.
(1)若知道角的正弦值(余弦值)，利用平方关 系先求出其余弦值(正弦值)，进而再求正切值．
(2)对于齐二次多项式化切，同学们参照[题点发散一、二、 三]体会其变形技巧．
(3) 特 别 注 意 “1” 的 妙 用 ， sin2α ＋ cos2α ＝ 1,1±sin2α ＝ (sinα±cosα)2，也需要慢慢体会．
由ssiinnαα＋ －ccoossαα＝ ＝1575， ，
得scionsαα＝＝45－，35，
∴tanα＝－43.
【答案】 (1)4512 (2)43 (3)－43
【题点发散一】 在本例(3)的条件下，求cos2α－1 sin2α的 值．
【解】