大学物理(机械工业出版社)上册 课后练习答案

第一章 质点的运动

1-1 已知质点的运动方程为：2

3010t t x +-=，

2

2015t t y -=。式中x 、y 的单位为m ，t 的单位为ｓ。试

求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向。

分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．

解 (1) 速度的分量式为t t x

x 6010d d +-==

v t t

y

y 4015d d -==v

当t ＝0 时, v o x ＝-10 m·ｓ-1 , v o y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为

12

0200s m 0.18-⋅=+=y x v v v

设v o 与x 轴的夹角为α,则2

3

tan 00-==x

y αv v

α＝123°41′

(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==

t a x

x v , 2

s m 40d d -⋅-==

t

a y y v

则加速度的大小为22

2

s m 1.72-⋅=+=

y x a a a

设a 与x 轴的夹角为β,则3

2tan -==

x y

a a β β＝-33°41′(或326°19′)

1-2 一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动。现测得其加速度a ＝A-B v ，式中A 、B 为正恒量，求石子下落的速度和运动方程。

分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v 的函数,因此,需将式d v ＝a (v )d t 分

离变量为

t a d )

(d =v v

后再两边积分． 解选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点．

(1) 由题 v v

B A t

a -==

d d (1) 用分离变量法把式(1)改写为

t B A d d =-v

v

(2)

将式(2)两边积分并考虑初始条件,有

⎰⎰=-t t B A 0d d d 0v v v v

v 得石子速度 )1(Bt

e B A --=v

由此可知当,t →∞时,B

A

→v 为一常量,通常称为极限速度

或收尾速度．

(2) 再由)1(d d Bt e B

A

t y --==

v 并考虑初始条件有 t e B

A

y t

Bt y

d )1(d 00⎰

⎰--= 得石子运动方程)1(2-+=-Bt

e B A t B A y

1-3 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即a = - k v 2，k 为常数。在关闭发动机后，试证：

（1）船在t 时刻的速度大小为 1

00

+=

t kv v v ；

（2）在时间t 内，船行驶的距离为

01

ln(1)x v kt k

=

+； （3）船在行驶距离x 时的速率为v =v 0e -kx 。 [证明]（1）分离变数得

2

d d v

k t v =-， 故 020

d d v t

v v

k t v =-⎰⎰，

可得：

11

kt v v =+． （2）公式可化为0

01v v v kt

=

+，

由于v = d x/d t ， 所以：00001

d d d(1)1(1)

v x t v kt v kt k v kt =

=+++

积分

00001

d d(1)(1)x

t

x v kt k v kt =++⎰⎰

．

因此 01

ln(1)x v kt k

=+．

(3 ) 要求 v ( x )，可由 dx

dv v dt dx dx dv dt dv a ===

，有 kdx v

dv

dx dv v

kv -=⇒=-2 积分得

kx

x v

v e v v kx v v dx k v dv -=-=⇒-=⎰⎰00

,ln 0证毕． 1－4行人身高为h ，若人以匀速v 0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H 的光滑

平台上，求小车移动的速度和加速

度。

解：人前进的速度v 0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，

222

202

0222

02

220

3/2

22220()()()()l v t H h v t dl

dt v t H h H h v d l

dt H h v t =+-∴=

+--=

⎡⎤-+⎣⎦

所以小车移动的速度220

2

20

)(t

v h H t v v --=

小车移动的加速度[]

2/3220

2

2

2)

()(t

v h H v h H a +--=

1-5 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为

262x a +=，a 的单位为 m/s 2，x 的单位为 m 。质点在

x =0处，速度为10m/s ，试求质点在任何坐标处的速度值。

解： ∵

x v

v t x x v t v a d d d d d d d d ===

分离变量： x x adx d )62(d 2

+==υυ

两边积分得 c

x x v ++=32

2221

由题知，0=x 时，100

=v ,∴50=c

∴ 1

3s m 252-⋅++=x x v

1-6 如图所示，一弹性球由静止开始自由下落高度 h 后落在一倾角

30=θ的斜面上，与斜

面发生完全弹性碰撞后作抛射体运动，问它第二次碰到

斜面的位置距原来的下落点多远。

解：小球落地时速度为gh v 20=

建立直角坐标

系，以小球第一次落地点为坐标原点如图

0060cos v v x =

200060cos 2

1

60cos t g t v x +

= （1） 0

0060sin v v y =

200060sin 2

1

60sin t g t v y -

= （2） 第二次落地时 0=y g

v t 0

2=

所以 m g

v t g t v x 8.0260cos 2160cos 202

00

0==

+= 1－7一人扔石头的最大出手速率为v ＝25m/s ，他能击中一个与他的手水平距离L=50m ，高h=13m 的目标吗？在此距离上他能击中的最大高度是多少？

解：由运动方程2

1cos ,sin 2

x vt y vt gt θθ==-

,消去t 得轨迹方程

222(1)2g

y xtg tg x v

θθ=-

+ 以x ＝05.0m ，v ＝25ms －1

代入后得

222

2250(1)50225

5020(1)

5

20()11.25

4

g

y tg tg tg tg tg θθθθθ=-

+⨯⨯=-+=--+ 取g ＝10.0，则当 1.25tg θ=时，max 11.25y =〈13 所以他不能射中，能射中得最大高度为max 11.25y =

1-8 一质点沿半径为R 的圆周按规律2

02

1bt t s -=v 运

动，v 0 、b 都是常量。(1) 求t 时刻质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b ？(3) 当加速度达到b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？

分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝s (t ),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a ｔ,而加速度的法向分量为a n ＝v 2 /R ．这样,总加速度为a

H

h

v 0 图1-18 习题1-4图