2.7 二次根式(第1课时)课件北师大版数学八年级上册
76、决生人不命生能太贵放过相弃短知，暂世，何界今用上天金没放与有弃钱失了。败明20，天.7.只不14有一20放定.7弃能.1。得42到200.。7.7.1.814时4。23023.0分72.1804时年23073.月7分.1144日。-J星2u0l期-220二0年7二.71月4〇.21二042〇日0年星七期月二十二四〇日二〇年七月十四日
a的算术平方根是 a (a≥0),其中0的算术平方根是0.
2.什么是一个数的平方根？如何表示？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a， 那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根).
用 a (a≥0)表示.
3.平方根的性质： 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根是0； 负数没有平方根.
(2) 6,
(m≤0),
(6) a2 1 ,
(3) 12, (5) xy (， x,y 异号)， (7) 3 5.
注意：在实数范围内,负数没有平方根
【跟踪训练】
判断下列代数式中哪些是二次根式.
⑴
1，
2
⑵ 16,
(3) a 2 2a 2 ， (4) x x 0,
(5) m 32 .
【例题】
的认识！
?
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
1. 表示a的算术平方根；
2. a可以是数,也可以是式；
3. 形式上含有二次根号
；
既可表示开平方运算,也可表示运算的结果.
【例题】
【例1】说一说下列各式哪些是二次根式.
((14))
32 , -m
S
为____________.
如图所示，已知正方形的面积为b-3，则 b-3
正方形的边长是 b 3 .
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2 500
S
π
b3
表示一些正数的算术平方根;
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式;
a叫做被开方数.
开动你的脑筋，你一定行！
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 a (a 0)
A． x 2
B． x
C． x2 2
D． x2 2
【解析】选C.A项中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A项
不一定是二次根式；B项中当x≥0时是二次根式，故B项不
一定是二次根式；C项中无论x为何值，x2+2＞0，所以C项
一定是二次根式；D项中当x=0时，不是二次根式，所以D
项也不正确.
3.（盐城·中考）使 x 2 有意义的x的取值范围是____.
第二章 实数
7 二次根式 第1课时
1．了解二次根式的概念. 2．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情
景下求根号内所含字母的取值范围. 3．会求二次根式的值.
1.什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个正数x的平方等于a，即 x 2 a ，
那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
1.（芜湖·中考）要使式子 a 2 有意义，
a
a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0
B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0
D. a≥-2且a≠ 0
【解析】选D.要使式子 a 有2 意义，须同时满足a+2≥0，
a
a≠0两个条件，解两个不等式可得a≥-2且a≠0 .
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
亲爱的读者： 2、利世千所上里在没之的有行地绝，方望始，的于天处足下境人，。都只20向有20那对年里处7月去境1。绝4日二望星〇的期二人二〇。年二七〇月二十〇四年日七月20十20四年日7月201240日年星7月期1二4日星期二 春去春春又去回春，又新回桃，换新旧桃符换。旧在符那。桃在花那盛桃开花的盛地开方的，地在方，在 3、不成少宽功年恕都易众永学生远老，不难不会成原言，谅弃一众，寸生放光，弃阴是者不苦永可了远轻你不。自会。己成20。功:33。270.:1343.72.01240.22002:303270.:1343.72.01240.22002:3032200:3:332:02:5373.:124.72.01240.22002:303270.:1343.72.01240.2020
420、:3办敏37事而.1刚好4.愎学20自，20用不20，耻:3即下37使问.1失。4.败。20了72.10也42.0从2:03不2302反70悔.:1343。.:2704.21704.12.2400.:23203022700.12:3403.:23203027:30.1324:02.:2530232020:03:3:32250:33:2420:33:24
花一样美丽，感谢你的阅读。 87、人放勇生眼气就前通像方往卫，天生只堂纸要，，我怯没们懦事继通的续往时，地候收狱尽获。量的20少季:33扯节2。就0:3在230前:2353方72.。01:432.302:.02724.1074T.12u40e.s27d0.1a24y02,T0Juu.e7lys.1d14a4。y,,2J0u2ly0年147, 月201240日星期二二〇二〇年七月十 四日 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。20:3320:33:257.14.2020Tuesday, July 14, 2020
【解析】要使式子 x 有2 意义，需满足x-2≥0，
解得x≥2. 答案： x≥2
通过本课时的学习，需要我们掌握： （1）二次根式的概念. （2）根号内字母的取值范围. （3）二次根式的值.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而 是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯
亲爱的亲读爱者的：读者：
1、人生盛生活年如不逆相重旅信来，眼我泪一亦，日是眼难行泪再人并晨。不代及20表时.7.软宜14弱自7.。勉14，2.02岁.072.月1042不70.:待1343人.220。0:23。032:22004:.3J7u3.1l2-4027:03.21304:2:.32430J2u0l-20:2303:2303:33:25Jul-2020:33
【例2】求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1.
2 1 .
1- 2a
3 a 32 .
【解析】（1）由于被开方数是非负数，可
知a+1≥0，即a≥-1.
（2）由于被开方数是非负数，且分母不
为零，可知1-2a>0，即a<1 . 2
（3）由（a-3）2≥0，可知a可以取任意实数.
【跟踪训练】
1.x取何值时,下列二次根式有意义?
思考 1.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2.0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3.－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
塔座
50 m
?m
am
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为__a_2___2_5_0_0_ m.
下球体
S
下球体在平面图上的圆的面积为S，则该圆的半径
这醉人这芬春醉芳去人的春芬季又芳节回的，，季愿新节你桃，生换愿活旧你像符生春。活天在像一那春样桃天阳花一光盛样，开阳心的光情地，像方心桃，情在像桃 54、努不海力要内不为存不它知一的已定结，成束天功而涯，哭若不，比努应邻力当。一为Tu定它es不的da成开y,功始Ju。而ly笑T1u。4e,s72d.0a12y40,.2J0u2ly021704.1T,42u.02e20sd02aJ0uy2,l0yJ:32u30ly2T10u4:e3,s32d20a02y:03, 73Ju/:12ly4/212040:,232030:22407/14/2020 花一这样醉花美人一丽芬样，芳美感的丽谢季，你节感的，谢阅愿你读你的。生阅活读像。春天一样阳光，心情像桃 65、莫你生愁必命前须的路非成无常长知努，已力需，，要天才吃下能饭谁看，人起还不来需识毫要君不吃。费苦8时力，3。吃3分亏8时8。时3T33u分3e分8sd时1a43y-3J, u分Jlu-1l2y401-7J4.u1,l42-2.02020702.J10u4l.y202200Tuesday, July 14, 20207/14/2020
(1) x 1 x 1
(2) 3x x 0
(3) 4 x2 x为 全 体 实 数 (4) 1 x
x0
(5) x3 x 0
1 (6) x2
x0
2.已知a，b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1, 你能求出a及 a+b 的值吗？
【解析】依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0,所以b= 12,把 b= 1 2代入原式，得a=1,所以a+b=1+12 =32 .
a的算术平方根是 a (a≥0),其中0的算术平方根是0.
2.什么是一个数的平方根？如何表示？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a， 那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根).
用 a (a≥0)表示.
3.平方根的性质： 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根是0； 负数没有平方根.
(2) 6,
(m≤0),
(6) a2 1 ,
(3) 12, (5) xy (， x,y 异号)， (7) 3 5.
注意：在实数范围内,负数没有平方根
【跟踪训练】
判断下列代数式中哪些是二次根式.
⑴
1，
2
⑵ 16,
(3) a 2 2a 2 ， (4) x x 0,
(5) m 32 .
【例题】
的认识！
?
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
1. 表示a的算术平方根；
2. a可以是数,也可以是式；
3. 形式上含有二次根号
；
既可表示开平方运算,也可表示运算的结果.
【例题】
【例1】说一说下列各式哪些是二次根式.
((14))
32 , -m
S
为____________.
如图所示，已知正方形的面积为b-3，则 b-3
正方形的边长是 b 3 .
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2 500
S
π
b3
表示一些正数的算术平方根;
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式;
a叫做被开方数.
开动你的脑筋，你一定行！
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 a (a 0)
A． x 2
B． x
C． x2 2
D． x2 2
【解析】选C.A项中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A项
不一定是二次根式；B项中当x≥0时是二次根式，故B项不
一定是二次根式；C项中无论x为何值，x2+2＞0，所以C项
一定是二次根式；D项中当x=0时，不是二次根式，所以D
项也不正确.
3.（盐城·中考）使 x 2 有意义的x的取值范围是____.
第二章 实数
7 二次根式 第1课时
1．了解二次根式的概念. 2．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情
景下求根号内所含字母的取值范围. 3．会求二次根式的值.
1.什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个正数x的平方等于a，即 x 2 a ，
那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
1.（芜湖·中考）要使式子 a 2 有意义，
a
a的取值范围是（ ）
A. a≠ 0
B. a＞-2且a≠ 0
C. a＞-2或a≠ 0
D. a≥-2且a≠ 0
【解析】选D.要使式子 a 有2 意义，须同时满足a+2≥0，
a
a≠0两个条件，解两个不等式可得a≥-2且a≠0 .
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
亲爱的读者： 2、利世千所上里在没之的有行地绝，方望始，的于天处足下境人，。都只20向有20那对年里处7月去境1。绝4日二望星〇的期二人二〇。年二七〇月二十〇四年日七月20十20四年日7月201240日年星7月期1二4日星期二 春去春春又去回春，又新回桃，换新旧桃符换。旧在符那。桃在花那盛桃开花的盛地开方的，地在方，在 3、不成少宽功年恕都易众永学生远老，不难不会成原言，谅弃一众，寸生放光，弃阴是者不苦永可了远轻你不。自会。己成20。功:33。270.:1343.72.01240.22002:303270.:1343.72.01240.22002:3032200:3:332:02:5373.:124.72.01240.22002:303270.:1343.72.01240.2020
420、:3办敏37事而.1刚好4.愎学20自，20用不20，耻:3即下37使问.1失。4.败。20了72.10也42.0从2:03不2302反70悔.:1343。.:2704.21704.12.2400.:23203022700.12:3403.:23203027:30.1324:02.:2530232020:03:3:32250:33:2420:33:24
花一样美丽，感谢你的阅读。 87、人放勇生眼气就前通像方往卫，天生只堂纸要，，我怯没们懦事继通的续往时，地候收狱尽获。量的20少季:33扯节2。就0:3在230前:2353方72.。01:432.302:.02724.1074T.12u40e.s27d0.1a24y02,T0Juu.e7lys.1d14a4。y,,2J0u2ly0年147, 月201240日星期二二〇二〇年七月十 四日 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。20:3320:33:257.14.2020Tuesday, July 14, 2020
【解析】要使式子 x 有2 意义，需满足x-2≥0，
解得x≥2. 答案： x≥2
通过本课时的学习，需要我们掌握： （1）二次根式的概念. （2）根号内字母的取值范围. （3）二次根式的值.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而 是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯
亲爱的亲读爱者的：读者：
1、人生盛生活年如不逆相重旅信来，眼我泪一亦，日是眼难行泪再人并晨。不代及20表时.7.软宜14弱自7.。勉14，2.02岁.072.月1042不70.:待1343人.220。0:23。032:22004:.3J7u3.1l2-4027:03.21304:2:.32430J2u0l-20:2303:2303:33:25Jul-2020:33
【例2】求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1.
2 1 .
1- 2a
3 a 32 .
【解析】（1）由于被开方数是非负数，可
知a+1≥0，即a≥-1.
（2）由于被开方数是非负数，且分母不
为零，可知1-2a>0，即a<1 . 2
（3）由（a-3）2≥0，可知a可以取任意实数.
【跟踪训练】
1.x取何值时,下列二次根式有意义?
思考 1.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2.0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3.－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
塔座
50 m
?m
am
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为__a_2___2_5_0_0_ m.
下球体
S
下球体在平面图上的圆的面积为S，则该圆的半径
这醉人这芬春醉芳去人的春芬季又芳节回的，，季愿新节你桃，生换愿活旧你像符生春。活天在像一那春样桃天阳花一光盛样，开阳心的光情地，像方心桃，情在像桃 54、努不海力要内不为存不它知一的已定结，成束天功而涯，哭若不，比努应邻力当。一为Tu定它es不的da成开y,功始Ju。而ly笑T1u。4e,s72d.0a12y40,.2J0u2ly021704.1T,42u.02e20sd02aJ0uy2,l0yJ:32u30ly2T10u4:e3,s32d20a02y:03, 73Ju/:12ly4/212040:,232030:22407/14/2020 花一这样醉花美人一丽芬样，芳美感的丽谢季，你节感的，谢阅愿你读你的。生阅活读像。春天一样阳光，心情像桃 65、莫你生愁必命前须的路非成无常长知努，已力需，，要天才吃下能饭谁看，人起还不来需识毫要君不吃。费苦8时力，3。吃3分亏8时8。时3T33u分3e分8sd时1a43y-3J, u分Jlu-1l2y401-7J4.u1,l42-2.02020702.J10u4l.y202200Tuesday, July 14, 20207/14/2020
(1) x 1 x 1
(2) 3x x 0
(3) 4 x2 x为 全 体 实 数 (4) 1 x
x0
(5) x3 x 0
1 (6) x2
x0
2.已知a，b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1, 你能求出a及 a+b 的值吗？
【解析】依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0,所以b= 12,把 b= 1 2代入原式，得a=1,所以a+b=1+12 =32 .
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【教学课件】2.7二次根式 北师大版 八年级数学上册
(a 0,b 0)
问题2：请验证下列等式是否成立？
(1) 4 4 ; (2) 81 81 ; (3) 9 9
25 25
100 100
4 4
请学生总结：
a b
a b
a a bb
(a 0,b 0) 这是二次根式的除法 法则。
(a 0,b 0)
例2 计算：
(1) 3 ; (2) 4 4 ; (3) 64 (4) 2 1 1
北师大版数学八年级上册
第二章 实数 7.二次根是
二次根式概念
形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式.
【说明】 二次根式必须具备以下特点； (1)有二次根号； (2)被开方数不能小于0。
指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是, 为什么?
5, a (a 0), 3 8, a (a 0)
探索交流，研究发现
算一算： (1) 4 25 ______; 4 25 _____;
(2) 9 49 ______; 9 49 _____;
(3) 36 1 ______; 36 1 _____;
4
9
答案：（1）10、10 （2）21、21 （3）3、2
ห้องสมุดไป่ตู้
根据填空你能发现什么？
一般情况下，当 a 0,b 0时，ab与 a b
100
9
9
2 10
答案 : (1) 3 10
(3) 8 2 2 33
(2) 2 10 3
(4)5
回顾联系，形成结构
进行二次根式的乘除法运算，要注意必备的条件， 正确使用公式，并要能灵活地与其他有关知识联系 起来，使运算便捷。
有什么关系？
想一想 (4) (9) 4 9
北师版数学八年级上册第1课时 二次根式课件
7
5
1 4 2 ； 2 6 2 ； 3 2 21 ； 4 6 ； 5 5 .
7
2
5
1. 下列式子是二次根式的有（ D）个.
① 1 ，② -5 ，③ - x2 + 2 ，④ 6 ， 5
⑤
-
1 3
2
，⑥
1 - a ，⑦
a2 - 2a + 1
A.2 B.3 C.4 D.5
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（B ）.
►一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—— 维尔斯特拉斯 ►历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人 深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根 ►在现实中,不存在像数学那样有如此多的东西,持续了几千年依然是 确实的如此美好。——苏利文确。 ►宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。J·H·京斯 ►新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。——华罗 庚 ►数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔 ►上帝是一位算术家。——雅克比
67 与 6 7， 6 与 6 . 77
ab a · （b a 0，b 0），a a（a 0，b 0）， bb
积的算术平方根，等于各个因式算术平方根 的积； 商的算术平方根，等于被除数的算术平方根 除以除数的算术平方根.
例1 化简：
1 81 64 ； 2 256 ；
3 5 ；
9
解：1 8164= 81 64=9 8=72；
第1课时 二次根式
北师大版 八年级上册
它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.
一般地，形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式， a叫做被开方数.
二次根式有什么性质呢？
北师大版八年级数学上册《2.7二次根式(第1、2课时)》课件
2 5;
2
3 12；
3 2
xy
1 ; x
4
288
1 . 72
2 5 2 5 10；
3 12 36 6；
(2) 3 12
1 1 2 xy 2 y； 3 2 xy x x
的式子叫做
例1 当x是怎样的实数时， 义？
x2
在实数范围内有意
解：由
x 2 0，得 x2
当x 2时，x 2在实数范围内有意义 .
当x是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？ x ?
2
3
x为任意实数
x为大于或等于零的实数
练
习
1. 要画一个面积为18cm2的矩形，使它的宽与长的比 为2：3，则它的宽与长分别是多少？ 解：设其宽为2x，长为3x，则有
把
a a 反过来，就得到 b b
a a a 0, b 0 . b b
利用它可以进行二次根式的化简.
例5 化简：
1
3 ; 100
2
25 y . 2 9x
3 3 3 解： ； 1 100 10 100
25 y 5 y 25 y . 2 2 2 9x 3x 9x
2 3 2 a 2、 、 19 a
等，你发现有何特点？
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
被开方数4ab含 4，a，b这样的因 数或因式，其中4 可以开方后移到根 号外，它是开得 尽的因数
练习
1.计算：
1
解: (1)
6 5 2 30 2；
3
2024八年级数学上册第二章实数7二次根式第1课时二次根式及其性质习题课件新版北师大版
5. [2024永州一中期末]化简｜ a －3｜＋( − )2的结果是
(
D
)
A. 0
B. 6
C. 2 a －6
D. 6－2 a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
知识点2二次根式的性质
·
6. (1) ＝
(2)
＝
1
2
3
( a ≥0， b ≥0)；
( a ≥0， b ＞0).
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 下列各式的化简正确的是(
C
)
A. (−) × (−) ＝ − × − ＝(－2)×(－7)＝14
B. ＝ + ＝ × ＝5
C.
＝
＝
＝
D. . ＝
1
2
＝
3
4
5
6
7
8
9
10
嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化
成另一个式子的平方，如：
5＋2 ＝(2＋3)＋2 × ＝( )2＋( )2＋2× ×
＝( ＋ )2；
8＋2 ＝(1＋7)＋2 × ＝12＋( )2＋2×1× ＝
(1＋ )2.
1
2
3
4
5
6
7
北师大版八年级数学上册课件：2.7 二次根式 (共42张PPT)
aa
(ab≥0，b≥b0)
知识解读
（1）在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略被开方
数a，b均为非负数的条件；
（2）a必须是非负数，b必须是正数，式子 才成立.若a，
b都是负a数，则 ＞0，虽然 有意义，但
在a实数
范围内b无意义 a b
b a, b
例4 计算： 48 .
3
解： 48 48 16 4.
题型三 二次根式的加减运算在实际生活中的应用
例11“教师节”要到了，为了表示对老师的敬意，李 明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一 张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用 金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金 彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够， 还需买多长的金彩带？（ 2 ≈1.414，结果保留整数）
思路导图
计算出所需金彩 带的长度
将求出的长度与 1.2 m进行比较
根据比较 结果得出 结论
解：正方形壁画的边长分别为 800 cm， 450cm.
镶壁画边所用的金彩带长为 4 ( 800 450 )
4 (20 2 15 2) 140 2 197.96 (cm).
因为1.2 m=120 cm＜197.96 cm，
a a (a≥0，bb≥0) b
ab a b
知识解读
（1）
(a≥0，b≥0)中的a，b既可以是数，也可以是代数式，
但必a须b满cd足a≥0，ab≥·0.公b式·可c推·广到d多个非负因式的情况，如
(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)；
（2） a （a≥a0，b＞0）中的a，b既可以是数，也可以是代数式， 但a，b必须b 满足a≥b0，
二次根式(第1课时)北师大数学八年级上册PPT课件
两个必备特征 ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14； （2）81； （3） - 0.8；（4） -3x (x 0)
（5） m (m，n异号，n 0）（6） x2 ；4 （7） 3 15
n
分析： 是否含二 是 被开方数是 是 二次
探究新知 知识点 1
二次根式的概念
5, 11, 7.2, 49 , (c b)(c b)(其中b 24, c 25) 121
这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
探究新知
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
提示：a可以是数，也可以是式. ①外貌特征：含有“ ”
巩固练习
变式训练
判断下列各式是否为最简二次根式？
（1） 12 （ ×） （3） 3 （ √ ） × （5） ab2 （ ）
（2） 4.5 （ × ） × （4） 1 （ ）
2
× （6） 2x2 8x 8（ ）
连接中考
1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ B ）
A． 1
2
B． 2 C． 4
D． 12
当x≥2时，
在实数范围内有意义.
思考 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1
（1） x 1
解：由题意得x-1＞0， 所以x＞1.
探究新知
（2） x 3
x 1
解：因为被开方数需大于或等于零， 所以x+3≥0，即x≥-3. 因为分母不能等于零， 所以x-1≠0，即x≠1. 所以x≥-3 且x≠1.
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14； （2）81； （3） - 0.8；（4） -3x (x 0)
（5） m (m，n异号，n 0）（6） x2 ；4 （7） 3 15
n
分析： 是否含二 是 被开方数是 是 二次
探究新知 知识点 1
二次根式的概念
5, 11, 7.2, 49 , (c b)(c b)(其中b 24, c 25) 121
这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
探究新知
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
提示：a可以是数，也可以是式. ①外貌特征：含有“ ”
巩固练习
变式训练
判断下列各式是否为最简二次根式？
（1） 12 （ ×） （3） 3 （ √ ） × （5） ab2 （ ）
（2） 4.5 （ × ） × （4） 1 （ ）
2
× （6） 2x2 8x 8（ ）
连接中考
1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ B ）
A． 1
2
B． 2 C． 4
D． 12
当x≥2时，
在实数范围内有意义.
思考 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1
（1） x 1
解：由题意得x-1＞0， 所以x＞1.
探究新知
（2） x 3
x 1
解：因为被开方数需大于或等于零， 所以x+3≥0，即x≥-3. 因为分母不能等于零， 所以x-1≠0，即x≠1. 所以x≥-3 且x≠1.
北师大版八年级数学上2.7二次根式(第1课时)课件(共12张PPT)
a a（a≥0， b＞0）． bb （2）最简二次根式
（3）理解本节课中用过的数学方法： 类比，找规律，归纳总结．
a a （a≥0， b＞0）． bb
其中字母a、b可以是什么数？
有什么限制条件吗？
注意公式里的条件噢！
例1 化简 （1） （2） （3）
72
；
56
；
5
。
3
通过上例中的化简，我们发现：被开方数 不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式， 这样的二次根式叫做最简二次根式.
化简解决的分母中不含有根号，我们把这 种运算叫分母有理化，而对整个二次根式来 说，我们要求计算结果必须是最简二次根式.
第二章 实数
二次根式（第1课时）
目录
Contents
01 明析概念
02 探究性质
03 知识巩固
04 知识拓展
05 课堂小结
问题 ： （其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 共同特征：都含有开方运算，并且被开方数都
是非负数。
一般地，形如 a(a0) 的式子叫做二次根式。
a叫做被开方数．
议一议
（1）你怎么发现 5 0 含有开得尽方的因数的？ 你怎么判断 14 是最简二次根式的？
7
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪 些经验与体会，与同伴交流。
•
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2021/ 6/30202 1/6/30 Wednes day, June 30, 2021
6 7 ＝ 6.480 ， 6 7 ＝ 6.480 ；
6 ＝ 0.9255 ， 7
6 ＝ 0.9255 ． 7
有何发现：
6 7 ＝
67，
6
（3）理解本节课中用过的数学方法： 类比，找规律，归纳总结．
a a （a≥0， b＞0）． bb
其中字母a、b可以是什么数？
有什么限制条件吗？
注意公式里的条件噢！
例1 化简 （1） （2） （3）
72
；
56
；
5
。
3
通过上例中的化简，我们发现：被开方数 不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式， 这样的二次根式叫做最简二次根式.
化简解决的分母中不含有根号，我们把这 种运算叫分母有理化，而对整个二次根式来 说，我们要求计算结果必须是最简二次根式.
第二章 实数
二次根式（第1课时）
目录
Contents
01 明析概念
02 探究性质
03 知识巩固
04 知识拓展
05 课堂小结
问题 ： （其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 共同特征：都含有开方运算，并且被开方数都
是非负数。
一般地，形如 a(a0) 的式子叫做二次根式。
a叫做被开方数．
议一议
（1）你怎么发现 5 0 含有开得尽方的因数的？ 你怎么判断 14 是最简二次根式的？
7
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪 些经验与体会，与同伴交流。
•
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2021/ 6/30202 1/6/30 Wednes day, June 30, 2021
6 7 ＝ 6.480 ， 6 7 ＝ 6.480 ；
6 ＝ 0.9255 ， 7
6 ＝ 0.9255 ． 7
有何发现：
6 7 ＝
67，
6
八年级数学上册第二章实数7二次根式第1课时二次根式及其性质习题pptx课件新版北师大版
其中首先错误的一步是( C )
A. 第一步
B. 第二步
C. 第三步
D. 第四步
【点拨】
因为－3 ＝－ × ＝－ ，所以首先错误的
一步是第三步.
1
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3
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13
14
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10. [母题教材P43习题T2] 若直角三角形的两条直角边长分
别为 cm和 cm，则此直角三角形的斜边长为
8
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13
14
15
(1)第7行，第2列上的数是
4
；
(2)我们规定一个二次根式落在第 a 行，第 b 列，可记作
( a ， b )，如 落在第2行，第4列，记作(2，4)，则
可记作
1
2
3
4
(406，5)
.
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14. 实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示.
( D )
A. 3 cm
B. 3 cm
C. 12 cm
D. 2 cm
【点拨】
由勾股定理，得直角三角形的斜边长＝
( ) ＋( ) ＝2 (cm).
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11. 已知 ＝ a ， ＝ b ，则 . 等于(
−
＋
B.
A.
A. 第一步
B. 第二步
C. 第三步
D. 第四步
【点拨】
因为－3 ＝－ × ＝－ ，所以首先错误的
一步是第三步.
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10. [母题教材P43习题T2] 若直角三角形的两条直角边长分
别为 cm和 cm，则此直角三角形的斜边长为
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(1)第7行，第2列上的数是
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(2)我们规定一个二次根式落在第 a 行，第 b 列，可记作
( a ， b )，如 落在第2行，第4列，记作(2，4)，则
可记作
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14. 实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示.
( D )
A. 3 cm
B. 3 cm
C. 12 cm
D. 2 cm
【点拨】
由勾股定理，得直角三角形的斜边长＝
( ) ＋( ) ＝2 (cm).
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11. 已知 ＝ a ， ＝ b ，则 . 等于(
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B.
A.
北师版八上数学2.7 二次根式(第一课时)(课件)
因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
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数学 八年级上册 BS版
0 2典例讲练来自数学 八年级上册 BS版
3
（1）下列式子：① 5 ；②
1
；③
3
−4 ；④ − 4 ；
⑤ ＋ （ x ≥0， y ≥0）；⑥ 1 + 2 ＜ −
⑦
1
2
2 + 1 ； ⑧
1
2
；
2 + 2 + 1 . 其 中 ， 一 定 是 二 次 根 式 的
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数学 八年级上册 BS版
解：①由－ x2≥0，得 x2≤0.
又因为 x2≥0，所以 x2＝0.所以 x ＝0.
故当 x ＝0时， − 2 有意义.
②由 x －4≥0，得 x ≥4.
故当 x ≥4时， − 4 有意义.
③由 x ＋2≥0，得 x ≥－2.
故当 x ≥－2时，
+2
有意义.
能称为二次根式，只能称为含有二次根式的式子.
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数学 八年级上册 BS版
（2）当 x 取什么实数时，下列各式有意义？
① − 2 ； ② − 4 ；
③
+2
；
2
④
+5
.
【思路导航】解这类问题应考虑两个方面：①二次根式的被开方
数大于或等于0；②分母不能等于0.列出不等式，求字母的取值
范围即可.
有 ②⑤⑦⑧ （填序号）.
【思路导航】根据二次根式的概念判断即可.
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数学 八年级上册 BS版
【解析】因为②⑤⑦⑧式中都含有二次根号，且被开方数都为
非负数，根据二次根式的概念可知，它们都是二次根式.因为①
因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
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0 2典例讲练来自数学 八年级上册 BS版
3
（1）下列式子：① 5 ；②
1
；③
3
−4 ；④ − 4 ；
⑤ ＋ （ x ≥0， y ≥0）；⑥ 1 + 2 ＜ −
⑦
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2
2 + 1 ； ⑧
1
2
；
2 + 2 + 1 . 其 中 ， 一 定 是 二 次 根 式 的
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解：①由－ x2≥0，得 x2≤0.
又因为 x2≥0，所以 x2＝0.所以 x ＝0.
故当 x ＝0时， − 2 有意义.
②由 x －4≥0，得 x ≥4.
故当 x ≥4时， − 4 有意义.
③由 x ＋2≥0，得 x ≥－2.
故当 x ≥－2时，
+2
有意义.
能称为二次根式，只能称为含有二次根式的式子.
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（2）当 x 取什么实数时，下列各式有意义？
① − 2 ； ② − 4 ；
③
+2
；
2
④
+5
.
【思路导航】解这类问题应考虑两个方面：①二次根式的被开方
数大于或等于0；②分母不能等于0.列出不等式，求字母的取值
范围即可.
有 ②⑤⑦⑧ （填序号）.
【思路导航】根据二次根式的概念判断即可.
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【解析】因为②⑤⑦⑧式中都含有二次根号，且被开方数都为
非负数，根据二次根式的概念可知，它们都是二次根式.因为①
北师大版数学八年级上册 2.7 二次根式
问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？
提示：可
试回顾如何计算 3a2·2a3 = 6a5 . 类比上面
例3 计算：
的计算哦！
(1)2 5 3 7；
(2)4
27
－
1 2
3 .
解：(1)2 5 3 7 23 5 7 =6 35.
(2)4
27
1 2
3
4
1 2
27 3 29 18.
二次根式
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
在有意义条 件下求字母 的取值范围
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 求出其解集.
二次根式的 双重非负性
最简二次根式
二次根式 a中,a≥0 且 a ≥0
北师大版数学八年级上册
第二章 实数
2.7 二次根式
第2课时 二次根式的运算
1. 满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次 根式： 8 ，18 ，80 ，0.5 ，1 ，20 .
前者 x 为全体实数，后者 x 为非负数.
问题2 二次根式 a 的被开方数 a 的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当 a＞0 时， a 表示 a 的算术平方根，因此 a ＞0； 当 a = 0时， a 表示 0 的算术平方根，因此 a = 0. 这就是说，当 a≥0 时， a ≥0.
归纳总结
一定是二次根式的有 A. 3 个 B. 4 个
C. 5 个
（ B） D. 6 个
2.(1)若式子
x
2
1
在实数范围内有意义，则
x
的取值
范围是__x_≥__1__；
(2)若式子 1 x 在实数范围内有意义，则 x 的