数值积分
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
第七章数值积分
x2
x4
h h ( f 0 4 f1 f 2 ) ( f 2 4 f3 f 4 ) 3 3 h ( f 0 4 f1 2 f 2 4 f3 f 4 ) 3
2019/4/8 华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
例7.3
1
可见，依然是布尔公式的结果最接近真实值
x3
x0
3h 3h5 (4) f ( x)dx ( f 0 3 f1 3 f 2 f3 ) f ( ) 8 80
布尔公式的精度为n=5，如果f∈C6[a,b]，则
2019/4/8
x4
x0
2h 8h7 (6) f ( x)dx (7 f 0华南师范大学数学科学学院 32 f1 12 f 2 32 f3 谢骊玲 7 f4 ) f ( ) 45 945
1
0
f ( x)dx
2(1/ 4) 1 1 3 (7 f (0) 32 f ( ) 12 f ( ) 32 f ( ) 7 f (1)) 45 4 2 4 1 (7(1.00000) 32(1.65534) 12(1.55152) 32(1.06666) 7(0.72159)) 1.30859 90
x1
x0
h h3 (2) f ( x)dx ( f 0 f1 ) f ( ) 2 12
辛普森公式的精度为n=3，如果f∈C4[a,b]，则
x2
x0
h h5 (4) f ( x)dx ( f 0 4 f1 f 2 ) f ( ) 3 90
辛普森3/8公式的精度为n=3，如果f∈C4[a,b]，则
且具有性质 a f ( x)dx Q[ f ] E[ f ] 的公式为数值积分 或面积公式。项 E[ f ] 称为积分的截断误差，值
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
数值积分
1.183 215 957
1.264 911 064
0.125267 7 101
0.16571813 101
0.4
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.358 212 600
1.435 132 919 1.508 966 254 1.580 338 238 1.649 783 431 1.717 779 348 1.784 770 832
上式称为欧拉公式，或称为矩形法。若已知初值，就可以经过上式的 迭代计算求得近似值。
f ( x)
o
a
b
x
yy = f ( x) Nhomakorabeaf2f1
f...
fn
O
a
b
x
梯形法
基于欧拉思想的近似思想，我们现用梯形的面积来代替前面的矩形面积，可以得到梯 形公式
h yn 1 yn ( K1 K 2 ) 2
yn1 i yni h i f n i
i 0 i 1
k 1
k 1
i , i 均为待定系数。如果 1 0 ，且上式的右端不含 式中 fi f ( yi , ti ) ， 有 y n 1，公式称为显式。如果 1 0 上式的右端含有 yn 1 ，称为隐式 公式。
欧拉法
欧拉法（Euler）是最简单的一种数值积分法。虽然它的计算精度较低，实际中很 少采用，但推导简单，能说明构造数值解法一般计算公式的基本思想。 已知一阶微分方程 dy
f (t , y ) dt y (t 0 ) y0
tn1 tn
y(tn1 ) y(t n )
ki f (t ci h, y(t ) h a j k j )(i 1, 2,3,......, r )
数值积分
数值积分
四边形单元
四边形单元与一维单元类似，按经验公式计算，4 节点、8节点、12节点单元的Gauss积分阶次应该分 别选1.5、2.5、3.5。因此，有
a）4节点单元可以取减缩积分方案n=1或正常积分 方案n=2；
b）8节点单元可以取减缩积分方案n=2或正常积分 方案n=3；
c）12节点单元可以取减缩积分方案n=3或正常积分 方案n=4。
数值积分
P( ) ( 1 )( 2 ) ( n ) ( j )
j 1 n
b
a
P( )d 0
i
(i 0,1, , n 1)
上式可用来确定积分点的位置。
数值积分
用条件ψ(ξi)=F(ξi)构造的多项式积分后可写成如下形式
数值积分
以上积分在多个坐标方向上选取的积分点数是相 同的，实际上，根据单元的特点对不同坐标方向 也可选取不同的积分点数。对于4节点四边形单元， 在单元刚度矩阵积分中，被积函数中包含1，ξ，η， ξ 2，η2，ξη项，最高方次为2。通常采用2×2阶高 斯积分。同样，对于8节点六面体单元，通常采用 2×2×2阶Gauss积分。
i 1 n j 1
n
n
H i H j F ( j ,i )
i 1 j 1
n
数值积分
同理，对于三维数值积分，有
I
1 1 n
1 n
1
1 1 n
F ( , , )d d d
H i H j H m F ( m , j , i )
i 1 j 1 m 1
① 矩阵相乘的秩规则
如果几Байду номын сангаас矩阵相乘
B UAV
数值分析6-数值积分
代数精度
如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ，公式
定义
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
精确成立，但对于某一次数为 m+1 的多项式不精确成
立，则称该求积公式的代数精度为 m 次。
第二章 数值积分
数值积分引言
计算定积分
I[ f ]
b
f ( x) dx
a
微积分基本公式：ab f ( x)dx F (b) F (a)
但是在许多实际计算问题中
(1) f (x) 表达式较复杂，原函数难求！甚至有时不能用初 等函数表示。如 f ( x) sin x , f ( x) ex2
如何求解求积公式
思考题
如果求积节点并没有确定，则待定参数有几个？ 有2n+2个
能够达到的代数精度是多少？ 2n+1个
此时的方程为非线性方程
插值型求积公式
基本思想
由已知的n+1个点以及在这n+1个点上的函数值， 作拉格朗日插值，得到pn(x)
则
b
b
bn
a f ( x )dx a pn ( x )dx a
a
6
2
辛甫生 公式
一般求积公式
更一般地，可以用 f (x) 在 [a, b] 上的一些离散点
上的值加权平均作为 f () 的近似值，从而构造出
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
求积节点
k 0
求积系数
机械求积法：求积系数仅仅与结点xk的选取有关，而不 依赖于被积函数f(x)的具体形式
第四章 数值积分
第四章 数值积分定积分的产生是有它重要的应用背景。
例如要计算由数据点(,)i i x y (0,1,2,,)i n =所围成的平面图形的面积；计算极限230lim nn i i n→∞=∑，这些问题都与定积分有关。
在数学分析或高等数学中已讲过计算定积分的一些方法，这些方法其最主要的理论基础就是被积函数的原函数存在。
但在实际应用和科学计算过程中，有些定积分的被积函数的原函数不存在或原函数比较复杂或不易求出，这时牛顿-莱布尼茨公式就不好用了。
例如定积分10sin x dx x ⎰，⎰ 等其被积函数的原函数不存在。
再例如由数据点(,)i i x y (0,1,2,,)i n =所围成的平面图形的面积不能精确的表示成定积分，但可以近似的表示为数据点(,)i i x y (0,1,2,,)i n =对应的某个函数的定积分。
对这类问题可以用数值积分的方法来讨论和解决。
数值积分的应用是较广泛的，尤其在一些实际问题的研究和解决中数值积分法起到了重要的作用，见文献[17，20]。
4.1 数值积分初步所谓数值积分就是用函数值的线性组合近似函数的积分值。
就是说，如果函数()f x 在区间[,]a b 上的函数值()i f x (0,1,2,,)i n =已知，则构造一个数值公式0()ni i i A f x =∑，以此来近似()b af x dx ⎰，即()b af x dx ⎰()ni i i A f x =≈∑ （4.1）构造数值公式（4.1）的主要方法是利用插值法，即对()f x 构造一个插值多项式()p x ，用该插值多项式()p x 的积分近似()b af x dx ⎰，即()b af x dx ⎰()bap x dx ≈⎰ （4.2）1 梯形公式若函数()f x 在区间[,]a b 上的函数值(),()f a f b 已知，那么可以做出过点(,()),(,())a f a b f b 的线性插值1()()()x b x ap x f a f b a b b a--=+-- 在区间[,]a b 上用1()p x 代替()f x 得()b af x dx ⎰1()(()())b baax b x ap x dx f a f b dx a b b a--≈=+--⎰⎰ =(()())2b af a f b -+ （4.3） 公式（4.3）称为梯形公式，记为(()())2b aT f a f b -=+。
数值积分 正交积分
数值积分正交积分数值积分（Numerical integration）是一种用数值方法计算定积分的技术。
它在实际应用中广泛使用，尤其是对于无法通过解析方法得到闭式解的复杂函数或无限区间的积分。
数值积分方法有多种，其中一种常见的方法是基于插值的方法，如梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。
这些方法将函数曲线近似为更简单的几何图形，然后对这些几何图形进行数值计算以近似求解积分值。
正交积分（Orthogonal integration）是一种特殊的数值积分方法，它利用正交多项式的性质来进行积分计算。
正交多项式是一组满足特定正交关系的多项式，例如勒让德多项式、切比雪夫多项式和拉盖尔多项式等。
通过将被积函数与正交多项式进行内积运算，可以将积分转化为正交多项式系数的线性组合，从而简化计算过程。
正交积分具有高精度和数值稳定性的优点，因此在科学计算和工程领域得到广泛应用。
它常用于求解含有正交多项式的函数积分、拟合数据、解微分方程等问题。
总之，数值积分是一种通过数值计算逼近定积分的方法，而正交积分则是利用正交多项式的特性进行积分计算的一种特殊数值积分方法。
数值积分方法基于离散化的思想，将定积分问题转化为对一组离散点上函数值的求和或加权平均。
以下是两种常见的数值积分方法：1. 梯形法则（Trapezoidal rule）：梯形法则将被积函数在积分区间上近似为一系列线段构成的梯形，然后计算这些梯形面积之和。
它的基本思想是通过线性插值来逼近原函数，并计算相邻线段之间的面积。
梯形法则的公式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈(b-a) * [(f(a) + f(b)) / 2]2. 辛普森法则（Simpson's rule）：辛普森法则将被积函数在积分区间上近似为一系列抛物线，通过将每个小区间分成偶数个子区间，并利用抛物线曲线来逼近函数。
它的基本思想是使用二次多项式插值，并计算相邻子区间之间的面积。
辛普森法则的公式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈(b-a) * [(f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)) / 6]对于正交积分，我们使用正交多项式的特性来简化计算。
第7章 数值积分
第七章 高斯数值积分法对于等参单元推导载荷列阵和刚度矩阵时，需计算如下形式的积分：其中被积函数一般比较复杂，甚至得不到显式。
因此，通常采用数值积分代替函数积分，即在单元内部选取某些点，先计算被积函数在这些点的函数值，然后用这些系数（称为加权系数，简称权）乘上这些函数值，再求总和作为近似积分值。
在有限元法中通常采用精度较高的高斯数值求积分法。
首先介绍一维高斯求积公式式中，()k f ξ是被积函数f 在积分点k ξ处的函数值；k w 是加权系数；n 是所选积分点的数目。
例如取一个积分点01=ξ（此时即1=n ），该点的函数值为1f （如图4.9 (a))，并取加权系数21=w ，则积分这是一种最简单的计算方法，只有当函数()ξf f =是一条直线时，即()ξf f =线之下是一个梯形才是精确的，若()ξf f =是任意曲线，则此计算结果是相当粗糙的。
为了改善精度，在11+≤≤-ξ范围内，取两个对称点1ξ，2ξ其函数值分别为()1ξf 和()2ξf 如图7.1（b ），但是横坐标1ξ、2ξ以及相应的权1w 和1w 需要确定。
为此设()ξf 为三次式，即则而由高斯求积公式于是由式（c ）和（d ）两式得即为了在3210,,,c c c c 取任意数值时式（d ）都是精确的，因此上式两边对应的系数必须相等，则有因此解得实根值得说明的是，上面确定的两个积分点的高斯求积公式（d ）对于被积函数是四次以下（不包括四次）的多项式是完全精确的，否则是近似的表达式。
另外，如图7.1（b ）所示，用两个矩形面积来表示函数()ξf 在区间[—1，十1]与轴ξ所围的面积，这就是式（d ）的几何意义。
图7.1 被积函数f 在积分点处的数值以相同的方法可以处理由3个函数值所组成的近似积分，如图7.1（c ）。
对不同的积分点数可确定相应的积分点坐标和加权系数，由此构成高斯积分表，见表7.1。
下面讨论二维、三维的高斯求积公式，对于二重积分可先对ξ积分，而把η视为常量，此时引入一维的高斯求积公式，则有再对η积分有将式（e ）代入式（f ），则可得二维的高斯求积公式用相同的方法可以导得三维的高斯求积公式在实际计算中，为了保证计算精度，并且不过分增加计算工作量，高斯积分中的积分点数n 通常可根据等参单元的节点数来选取，对于讨论的平面8节点等参单元和空间20节点等参单元都可以取3=n 。
第五章数值积分
误差 -0.0057 0.00003 0.000003
0
则要求h<0.006
（2）、复化抛物线公式:
则要求h<0.15 （3）、逐次分半抛物线公式计算:
5.5加速收敛技巧与Romberg求积 1.加速收敛技巧—Richadson外推法：
真值F*，近似值F，考虑真值与h无关，而F是与h有关的函数，记为F1(h)， 它的截断误差估计式记为:
4.例3：P114用复化梯形公式、复化抛物线公式和n=6的牛顿-科茨公 式计算积分：
下表给出sinx在7个点的值, 计算结果与精确值比较
计算结果与真值比较:
计算方法 复化梯形公式 复化抛物线公式 牛顿-科茨公式(n=3)
真值
若要具有5位有效数字，则: （1）、复化梯形公式:
结果 0.99429 1.00003 1.000003
两边取对数并整理得:
所以只要1/h=68即可，也即把区间[0，1]等分为68份就可: 用复化抛物线求积公式计算，由式（5.16）有:
两边取对数并整理得:
所以只要1/h=3即可，也即把区间[0，1] 6等分就可:
5.4 逐次分半法 1.问题所在：结合上节误差估计式以复化梯形公式为例
区间n等分时截断误差:
第五章 数值积分
区间[a,b]上的黎曼可积函数f(x)的积分：
b
a f (x)dx
有两种可能：（1）f(x)原函数无法用初等函数表示出来。 （2）f(x)用表格形式给出
考虑积分数学上描述：如图
5.1 求积公式
利用前面插值多项式P(x)逼近逼近被积函数f(x)，并对P(x)求积代替原积分
即：
b
b
a f (x)dx a P(x)dx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
们的Gauss积分阶次应该分别选0.5、1.5、2.5。
数值积分
三角形单元和四面体单元的积分点位置、权函数和 误差量级分别列于下表。
数值积分
Gauss积分 一维Gauss积分
在Gauss积分方案中，积分点ξi不是等间距分布的， 通过适当选择ξi，使n个积分点的数值积分达到2n-1 阶的精度，也就是说如果F(ξ)是2n-1次多项式，积 分结果将是精确的。以较少的积分点得到较高的 积分精度是Gauss积分的优点。
n
n
I Hi H j F ( j ,i )
i 1
j 1
nn
Hi H j F ( j ,i )
i1 j1
数值积分
同理，对于三维数值积分，有
111
I
F ( ,, )ddd
1 1 1
nnn
Hi H j Hm F (m , j , i )
i1 j1 m1
数值积分
以上积分在多个坐标方向上选取的积分点数是相 同的，实际上，根据单元的特点对不同坐标方向 也可选取不同的积分点数。对于4节点四边形单元， 在单元刚度矩阵积分中，被积函数中包含1，ξ，η， ξ 2，η2，ξη项，最高方次为2。通常采用2×2阶高 斯积分。同样，对于8节点六面体单元，通常采用 2×2×2阶Gauss积分。
数值积分
这些单元在数值积分时，同样会象一维单元一样， 出现零能模式或闭锁现象。为了避免这些现象发生， 同样采用选择Gauss积分方案和减缩积分加阻尼矩 阵的方法进行刚度矩阵的数值积分。
对于4节点单元来说，在单元面内减缩积分是1×1 个积分点，正常积分是2×2个积分点，两者相差4 倍，因此减缩Gauss积分方案和减缩积分加阻尼矩 阵的方法对于4节点单元来说改善的效果不大。
数值积分
六面体单元
六面体单元与四边形单元相似。
a) 8节点单元可以取减缩积分方案n=2或正常积分方 案n=3。
b) 20节点单元可以取减缩积分方案n=3或正常积分 方案n=4。
8节点单元也可以类似4节点四边形单元采用单点积 分(0,0)加稳定化矩阵的积分方案。这种方法计算单 刚的效率比较高，可以降低有限元计算时间。
C3[F(c, c, d) F(c, d, c) F(d, c, c)]
数值积分
四面体单元的Hammer积分表示为
1 0
1 L1 0
1L1 L2 0
F
(L1,
L2
,
L3 ,
L4
)dL3dL2dL1
1111
A1F ( 4
,
4
,
4
,
) 4
B4[F (a, b, b, b)
F (b, a,b,b) F (b,b, a,b) F (b,b,b, a)]
按经验公式计算： 2节点线单元：m=0，n=0.5 3节点线单元：m=2，n=1.5 4节点线单元：m=4，n=2.5
实际应用计算： 2节点线单元只能取Gauss积分点n=1 3节点线单元可以取n=1或n=2 4节点线单元可以取n=2或n=3
数值积分
在有限元法中，把3节点单元取n=1以及4节点 单元取n=2的积分方案称为减缩积分，而3节点 单元取n=2以及4节点单元取n=3的积分方案称 为正常积分。
数值积分
三角形单元
按经验公式计算，3节点三角形单元的积分阶次 n=0.5，实际计算时只能取n=1。这样就造成计算 结果偏硬，有时会产生闭锁现象，实际有限元计 算时也证明了这一点。
三角形高阶单元的积分阶次是比较精确的。例如， 6节点三角形单元的积分阶次应该取n=1.5，在单 元面内应该是3个积分点，这与“三角形单元的数 值积分”表中所给出的积分点数正好相符。但是， 这并不意味着单元的精度就比较高，因为单元的 精度是由插值多项式本身决定的。
B UAV
则B矩阵的秩
秩B min（秩U，秩A，秩V）
即B矩阵的秩一定小于等于U、A、V矩阵中秩最小者。
数值积分
② 矩阵相加的秩规则 如果几个矩阵相加
C AB
则C矩阵的秩
秩C 秩A＋秩B
则C矩阵的秩一定小于等于A和B矩阵秩的和。
数值积分
单元采用Gauss减缩积分方案时，就会造成系数矩阵 秩的不足，产生零能模式，即使单元发生变形，应 变能仍为零。这种应变能为零不同于刚体运动。此 时就要注意检查K的非奇异性条件是否得到保证。
数值积分
刚度矩阵K是非奇异的
求解已经约束处理后的有限元平衡方程KU=F时，要 求方程组存在惟一解，就必须保证系数矩阵的逆K-1 存在。系数矩阵K非奇异的条件是满秩的，即
K 0
如果K是N阶方阵，则要求它的秩为N。因此，数值 积分应该保证K是满秩的，否则将使求解失败。
数值积分
关于矩阵的秩，有以下两个基本规则。 ① 矩阵相乘的秩规则 如果几个矩式 ( )
在 i (i 1, 2,L , n) 有 (i ) F (i )
b
( )d
近似
b
F ( )d
a
a
i 为积分点或取样点
数值积分
常用的数值积分方法
Hammer积分
Gauss积分 特点：积分点不是等间距分布的，通过 适当选择积分点，能以较少的积分点得到 较高的积分精度
数值积分
4节点四边形单元：在单元刚度矩阵积
分中，被积函数中包含 1, ,, 2, 2,
项，最高方次为2。通常采用2×2阶高 斯积分。同样，对于8节点六面体单元， 通常采用2×2×2阶高斯积分。
数值积分
数值积分的阶次选择 求解单元平衡方程时，绝大多数情况要采用 数值积分方法，如何选择数值积分的阶次将 直接影响计算精度和计算量。如果积分阶次 选择不当，有时甚至会导致计算失败
K的非奇性的必要条件为
M nd N
式中，M为系统的单元数，N为系统的自由度数，n 为Gauss积分点数，d为应变分量数，二维问题d=3， 轴对称问题d=4，三维问题d=6。
vdetJdd 0
数值积分
则单元刚度矩阵k为
k k0 ks
k0 1 1 BT (0, 0)DeB(0, 0)detJdd 1 1
ks
1 3
1 1
1 1
B,T
(0,
0)
De
B,
(0,
0)detJd
d
1 1
1 1
B,T
(0,
0)De
B,
(0,
0)detJd
d
式中，k0是4节点四边形的减缩积分单刚，ks称为k0的 稳定化单元刚度矩阵。
实际数值结果表明，有时减缩积分方案会带来 很大的计算误差，产生零能模式。
正常积分方案有时计算结果也会偏小，产生闭 锁现象。
数值积分
造成这些现象的原因有很多，例如，单元形 状、单元相对大小、单元受力状况、分析问 题的类型等等。为了避免零能模式和闭锁现 象的发生，一般采用减缩积分加阻尼矩阵方 法。采用减缩积分方案时，对每个节点施加 一个柔性弹簧，通过弹簧的阻尼增加刚度矩 阵的稳定性，阻止零能模式的发生。但是弹 簧的刚性系数越大，计算误差就越大，因此 弹簧系数的选择也有一定的困难。
数值积分
Hammer积分
在三角形单元和四面体单元中，自然坐标是面积坐 标和体积坐标。采用这些坐标建立的单元形函数， 其单元刚度矩阵的一般形式为
二维
I
1 0
1 0
L1
F
(
L1
,
L2
,
L3
)dL2dL1
三维
I
1 0
1L1 0
1L2 0
L1
F
(L1,
L2
,
L3,
L4
)dL3dL2dL1
数值积分
数值积分
针对4节点减缩积分特点，提出了稳定化矩阵积分 方案。这种方法的基本思想是，在自然坐标系
ξη 中，单元应变ε在点(0,0)泰勒展开，并去掉
二阶小项，即
(,) [B(0,0) B, (0,0) B, (0,0)]ue
将上式代入单元平衡方程式kue=f
数值积分
考虑到
vdetJdd 0 vdetJdd 0
n
P( ) ( 1)( 2) ( n ) ( j ) j 1 b i P( )d 0 (i 0,1,, n 1) a 上式可用来确定积分点的位置。
数值积分
用条件ψ(ξi)=F(ξi)构造的多项式积分后可写成如下形式
b
n
( )d
a
Hi F (i )
i 1
式中Hi称为积分的权系数，简称为权，Hi的表达式为
Hi
b a
li(
n1)
(
)d
数值积分
将积分点坐标和权系数分别修改为
a
2
b
a
2
b
i
,
ba 2 Hi
则可将积分区间规则化为（-1，1）。
数值积分
在规则化区间（-1，1）中，一阶和二阶Gauss积分 的积分点坐标和权系数分别为
一阶 ：
i 0.0 , Hi 2.0
二阶 ： i 1/ 3 , Hi 1.0
数值积分
选择积分阶次的原则主要依据以下两点：
积分精度 积分阶次n与被积分多项式的阶次m有直接 关系。一般来说，有限元应用的经验公式
n 1 (m 1) 2
积分项有两个应变矩阵B相乘，因此m一定是 偶数，则积分阶数n等于0.5、1.5、2.5、……
数值积分
常用单元的积分阶次选择
一维单元
一般都采用正规自然坐标系法得到的形函数