第五章 数值积分方法
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
计算方法 第5章 数值积分与数值微分
第五章 数值积分与数值微分在高等数学中我们学过定积分⎰badx x f )(的计算方法，若找到被积函数)(x f 在],[b a 区间上的一个原函数)(x F ，利用Newton-Leibniz 公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()(可以轻易得计算出积分值，但在实际问题中，往往会遇到一些困难。
1) 有些函数虽然能找到原函数, 但表达式过于复杂，例如411)(x x f +=的原函数为 )]12arctan()12[arctan(2211212ln 241)(22-++++-++=x x x x x x x F2) 有些函数找不到初等函数形式的原函数，例如积分⎰⎰-1102,sin dx edx x x x3) 有些情况下，函数值是用表格形式给出的，例如：6.1178.876.651.496.364.275.203.1587654321y x对于以上这些积分问题，解决的方法就是使用数值积分方法。
其实数值积分方法不仅可以解决上述问题，最为重要的优点是对任意被积函数任意积分区间的积分问题都可以采用统一的数值积分公式，非常便于计算机编程实现。
对于微分问题，虽然对每一个初等函数都可以求出其导数，但是不同函数其求导方法依赖于各自不同的求导公式，没有简单、统一的处理方法，而数值微分法却可以对不同的函数使用统一的数值微分公式或数值微分算法。
本章首先介绍一些数值积分公式，最后再简单的介绍数值微分问题。
5.1 数值积分公式1. 数值积分的基本思想我们知道定积分⎰badx x f )(的几何意义就是{})(,0,,x f y y b x a x ====所围成的曲边形面积，而数值积分的基本思想是利用函数)(x f y =在区间],[b a 上某些点处函数值的线性组合来计算其定积分的近似值，把计算定积分这一复杂问题转换为仅仅涉及到函数值的计算问题，而无需考虑函数本身的结构以及函数值的真实来源，这样就很便于计算机编程实现。
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
数值积分方法讨论
数值积分方法讨论一、积分方法的定义与分类在数学中，积分是一个重要的概念，用于计算曲线下面的面积或者曲面下面的体积。
而数值积分方法，则是一种近似计算积分的方法，它通过离散化和近似的方式来代替精确的积分计算。
数值积分方法可以分为以下几类：1.牛顿-科茨公式(NC公式)NC公式是一种非常常见的数值积分方法，它基于牛顿插值多项式的思想，将被积函数近似为一个多项式，并通过对多项式进行积分来近似计算原函数的积分。
通过选择不同的插值节点和插值多项式的次数，可以得到不同精度的数值积分结果。
2.梯形法则梯形法则是一种基于线性插值的数值积分方法，它将被积函数近似为一系列梯形的面积之和。
具体而言，梯形法则将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形来近似被积函数的曲线，最后将所有梯形的面积相加得到数值积分结果。
3.辛普森公式辛普森公式是一种基于二次插值的数值积分方法，它将被积函数近似为多个二次多项式，并通过对这些多项式进行积分来近似计算原函数的积分。
辛普森公式的核心思想是将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用二次多项式来近似被积函数的曲线，最后将所有小区间上的积分结果相加得到数值积分结果。
二、数值积分方法的误差分析数值积分方法在计算积分时会引入一定的误差，这些误差包括截断误差和舍入误差。
截断误差是由于对被积函数进行近似表示而引入的误差，而舍入误差则是由于计算机数值计算的有限精度而引入的误差。
1. 截断误差截断误差主要受到数值积分方法的选择和精度的影响。
例如，在牛顿-科茨公式中，选择不同的插值节点和插值多项式的次数会对截断误差产生影响。
一般来说，使用更多的节点和更高次数的多项式可以减小截断误差，提高数值积分的精度。
2. 舍入误差舍入误差是由于计算机数值计算的有限精度而引入的误差。
在计算机中，浮点数的存储和运算都存在精度限制，因此在进行数值积分计算时，可能会发生舍入误差。
为了减小舍入误差，可以采用一些数值稳定的计算方法，如使用高精度计算库或者更精确的数值计算算法等。
第五章 常微分方程初值问题数值解法
则有
yn 1 yn hf ( xn , yn )
( 5.2 ) Euler格式
例5.1 用Euler格式解初值问题
2x y y y y (0) 1
取步长h=0.1.
(0 x 1)
Euler格式的具体形式为
y n 1 y n hf ( x n , y n ) 2 xn yn 0.1( yn ) yn 0.2 xn 1.1 yn yn
计算公式的精度 常以Taylor展开为工具来分析计算公式的精度. 为简化分析，假定yn是准确的，即在 yn y ( xn ) 的前提下估计误差 y ( xn 1 ) yn 1 Euler格式的局部截断误差 由 从而 局部截断误差
f ( xn , yn ) f ( xn , y ( xn )) y '( xn ) y ( xn 1 ) yn 1 y ( xn 1 ) ( yn hf ( xn , yn )) y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn )
y ( xn ), y ( xn 1 ), 的近似值 y1 , y2 , , yn , yn 1 ,
相邻两个节点的间距 h xi 1 xi 称为步长，步 长可以相等，也可以不等.本章总是假定h为定数， 称为定步长，这时节点可表示为
xn x0 nh , n 0,1, 2,
由f ( xn 1 , yn 1 ) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) y '( xn 1 )（在xn点Taylor展开） h2 y '( xn ) hy ''( xn ) y '''( xn ) ... 2 3 2 h h 因此yn 1 y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 4 h f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) 2 h2 h3 y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 3!
结构动力学中的常用数值方法
第五章 结构动力学中的常用数值方法5．1．结构动力响应的数值算法....0()(0)(0)M x c x kx F t x a x v ⎧++=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩当c 为比例阻尼、线性问题→模态叠加最常用。
但当C 无法解耦，有非线性存在，有冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。
此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。
所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。
（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）中心差分法的解题步骤1. 初始值计算（1） 形成刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。
（2） 定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3） 选择时间步长t ∆，使它满足cr t t ∆<∆，并计算 021()a t =∆，112a t=∆，202a a =（4） 计算...0011122t x x x x a a -∆=-+（5） 形成等效质量阵01M a M a C -=+ （6） 对M -阵进行三角分解T M LDL -= 2．对每一时间步长（1） 计算时刻t 的等效载荷21()()t t t tt Q Q K a M x a Ma C x --∆=---- （2） 求解t t +∆时刻的位移 ()Tt t t L D L x Q -+∆=（3） 如需要计算时刻t 的速度和加速度值，则.1()t t t t t x a x x +∆-∆=-..0(2)t t t t t t x a x x x +∆-∆=-+若系统的质量矩阵和阻尼矩阵为对角阵时，则计算可进一步简化。
纽马克法的解题步骤1.初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C（2）定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3）选择时间步长t ∆，参数γ、σ。
第五章数值积分
误差 -0.0057 0.00003 0.000003
0
则要求h<0.006
（2）、复化抛物线公式:
则要求h<0.15 （3）、逐次分半抛物线公式计算:
5.5加速收敛技巧与Romberg求积 1.加速收敛技巧—Richadson外推法：
真值F*，近似值F，考虑真值与h无关，而F是与h有关的函数，记为F1(h)， 它的截断误差估计式记为:
4.例3：P114用复化梯形公式、复化抛物线公式和n=6的牛顿-科茨公 式计算积分：
下表给出sinx在7个点的值, 计算结果与精确值比较
计算结果与真值比较:
计算方法 复化梯形公式 复化抛物线公式 牛顿-科茨公式(n=3)
真值
若要具有5位有效数字，则: （1）、复化梯形公式:
结果 0.99429 1.00003 1.000003
两边取对数并整理得:
所以只要1/h=68即可，也即把区间[0，1]等分为68份就可: 用复化抛物线求积公式计算，由式（5.16）有:
两边取对数并整理得:
所以只要1/h=3即可，也即把区间[0，1] 6等分就可:
5.4 逐次分半法 1.问题所在：结合上节误差估计式以复化梯形公式为例
区间n等分时截断误差:
第五章 数值积分
区间[a,b]上的黎曼可积函数f(x)的积分：
b
a f (x)dx
有两种可能：（1）f(x)原函数无法用初等函数表示出来。 （2）f(x)用表格形式给出
考虑积分数学上描述：如图
5.1 求积公式
利用前面插值多项式P(x)逼近逼近被积函数f(x)，并对P(x)求积代替原积分
即：
b
b
a f (x)dx a P(x)dx
数值积分与数值微分21599
b
a
f ( x)dx I n Ak f ( xk ) 至少具有n次代数精度，
k 0
n
所以用插值基函数lk(x)当作f(x)代入，上式精确成立，即：
b
a
lk ( x)dx I n Aj lk ( x j ) Ak
n
j 0
n
所以 I n Ak f ( xk ) 为插值型的求积．
b a 1i n
则称求积公式是收敛的． 中，由于计算 f(xk) 定义 在求积公式a f ( x)dx Ak f ( xk )
b n
可能产生误差，实际得到 fk 即： f ( xk ) fk k n n 记 I n ( f ) Ak f ( xk )，I n ( f ) Ak f k 如果对任
由书中表知，当 n 8 时柯特斯系数出了负值，所以
(n) (n) C C k k 1 k 0 k 0 n n
故 n 8 时Newton-Cotes 公式不适用。
2019/4/23
数计学院《数值计算》课程建设组QAB
二、偶数阶求积公式的代数精度
n 为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1 次代数精度。 证明： 当n 为偶数时，由于有 f ( n1) ( x) ( xn1 )( n1) (n 1)!
余项
b
余项 R[ f ]
b a 4 (4) h f ( ) , 180
( a, b) , h
ba 2
2019/4/23
数计学院《数值计算》课程建设组QAB
n = 4: C
(4) 0
7 (4) 16 (4) 2 (4) 16 (4) 7 , C1 , C2 , C3 , C4 柯特斯公式 90 45 15 45 90
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xk
xn b
o
a
xk-1 xk
xk+1 b
x
I f ( x)dx lim f ( xk )xk
b a n k 0
n 1
I f ( x)dx f ( xk )xk
b a k 0
n 1
5.1 插值型求积公式
a x0 x1 xk xn b
A0 l0 ( x)dx
a b a b b a b
x b xa f ( x) L1 ( x) f (a) f (b) a b ba
x b 1 dx b a a b 2
A1 l1 ( x)dx
a
几何意义：用梯形面 xa 1 dx b a ba 2 积代替被积函数的曲
b b k 0 a k 0 a
n
n
I ( f ) I n ( f ) Ak f ( xk ),
k 0
n
Ak lk ( x) dx
a
b
5.1 插值型求积公式 定义
设有计算 I ( f )
b
a
f ( x)dx 的求积公式
n
I n ( f ) Ak f ( xk ),
n 1 n 1 n 1 h h T I f ( x ) f ( x Tn ( f ) 2 f ( ) n f k (a ) kxk ) f ( kb 1) 取n = 8用复合梯形公式 2 k 0 k 0 k 1 2
b
a
f ( x) g ( x)dx f (x ) g ( x)dx 利用这一定理
a
b
梯形与曲边梯形面积的对比：
正负决定
5.1 插值型求积公式 三点二次拉格朗日插值积分--辛卜生公式 y=f(x) L2(x)
x0
x1
x2
5.1 插值型求积公式 辛卜生公式: 取x0=a, x1=(a+b)/2, x2=b, n=2
(1) 牛顿-莱布尼兹公式—0.8670 (2) 梯形公式—0.75
(3) 辛卜生公式—0.8775
(4) 复合梯形公式T4=0.8617
5.3 其它复合求积公式
复合右矩形公式 借用积分中值定理 若f是[a, b]上的连续函数，则存在x∈[a, b]，使得
b
a
f ( x)dx f (x ) (b a)
y y= f(x)
o
a
b
x
分段线性插值--复合梯形法 1. 等分求积区间，比如取步长
ba ，分[a, h n
b]为n
等分，分点为
xk x0 kh ,k = 0, 1, 2,…, n
2. 在区间 [xk, xk+1]上求 I k x
xk 1
k
f ( x)dx
3. 取和值 ，作为整个区间上的积分近似值
n 1 1 h n1 1 T2 n Tn f xk 1/2 [Tn h f (a kh h )] 2 2 k 0 2 2 k 0
复合梯形公式(节点加密) 由 递推 逐渐逼近，达到计算精度即停止。
条件成立
则终止计算并以T2n为定积分
的近似值
教材P68--例5.1
n 1 h Tn ( f ) f (a) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
误差由各小区间梯形误差累加
小区间增多,误差减小→控制
复合梯形公式(节点加密)
x1/2
x0
n 1 n 1
x3/2
x1 x2
…
xk
xk 1/2
xk+1
…
xn-1
xn1/2
复合辛卜生公式
ba a b S( f ) f (a) 4 f ( ) f (b) 6 2 每2个节点间增加一个中值节点, 节点数由n→2n. 节距
变为h=(b-a)/2n.
1 记 x2 j 1 ( x2 j 2 x2 j ) 2
b
a
f ( x)dx
1 1 T8 f (0) 2 f 8 2 5 2 f 2 f 8 = 3.13899
1 2f 8
1 2f 4
3 2f 8
1 2
3 2f 4
7 f 1 8
b
a
f ( x) g ( x)dx f (x ) g ( x)dx
aБайду номын сангаас
b
数值积分问题 牛顿―莱布尼兹公式
e
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
找原函数很困难，有些原函数不能用初等函数表示
x2
sin x , , 1 x3 ...... x
x
2
原函数表达式过于复杂
b b
I( f )
b
a
ba a b f ( x)dx f (a) 4 f ( ) f (b) 6 2
ba a b f (a) 4 f ( ) f (b) 辛卜生公式： S ( f ) 6 2
误差
精度较梯形高
5.2 复合梯形公式
将其用于积分的近似计算，取ξ=b, 得 ---积分右矩形公式
复合右矩形公式 如在区间[a,b]内插入节点xj=a+jh(j=0,1,· · · ,n), h=(b-a)/n
得到复合右矩形求积公式：
利用拉格朗日中值定理 f ( x) f (a) f ' (x )(x a) (x [a, b]) 求右矩形公式的误差估计
j 1
n
x2 j
x2 j 2
h f ( x)dx [ f ( x2 j 2 ) 4 f ( x2 j 1 ) f ( x2 j )] j 1 3
n
展开, 得
n n 1 h S 2 n [ f (a) f (b) 4 f ( x2 j 1 ) 2 f ( x2 j )] 3 j 1 j 1
hh h xx bb xx aa f f( ( x x ) ) L L ( ( x x ) ) f f ( a ( a ) ) fx f( b ( b ) ) I I f x f x f x 2 f x f2 f x k 1 1 kk k k 1/2 k 1/ k 1/2 f kx 1 k 1 aa bb bb aa 44 4 n 1 n 1 h T2 n I k f xk 2 f xk 1/2 f xk 1 4 k 0 k 0
b
f(x)在这些节点的值f(xi)，求定积分 I ( f )
a
f ( x)dx
f ( x) Ln ( x) lk ( x) f ( xk )
k 0
n
I ( f ) I n ( f ) lk ( x) f ( xk )dx lk ( x)dx f ( xk )
k 0
如其求积系数 Ak lk ( x) dx, k 0,1, 2,...n ，则称此求 a 积公式为插值型求积公式. 定积分转换成被积函数的有 限个函数值的线性组合，无需求被积函数的原函数.
b
5.1 插值型求积公式 一、梯形公式---两点线性插值 两点公式 x0=a, x1=b, n=1
复化求积方法 取n=4, 用复合辛卜生公式
n n 1 h S 2 n [ f (a) f (b) 4 f ( x2 j 1 ) 2 f ( x2 j )] 3 j 1 j 1
1 1 0 1 3 5 7 S8 { f (0) f (1) 4[ f ( ) f ( ) f ( ) f ( )] 3 2 4 8 8 8 8 1 1 3 2[ f ( ) f ( ) f ( )]} 3.14159 4 2 4
5.4 数值积分公式的代数精度
定义
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk ),
k 0
x3 6 3x 2 x 3 16
2 3
2x
2
3
3
2 x 3x
2
3
9x 27 2x2 3 ln 32 32 2
2 x 2 x2 3
f(x)是由测量或计算得到的数据表
数值积分问题
y y=f(x)
a x0 x1 xk xk 1 xk
I f ( x)dx I k
b a k 0 n 1
复合梯形公式
ba T( f ) f (a) f (b) 2
n 1 n 1 h h x b xa I k) f ( xk ) f ( xk 1) (x L (fx( )x f ( a ) Tn f (b I) k 1 k ) f ( xk 1 ) a b b a k 0 2 k 0 2
复合求积方法比较 利用数据表
xk
f (xk)
0
4
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
1
2
3.93846 3.7647 3.5068 3.2000 2.8764 2.4600 2.26549
计算积分
4 I dx 0 1 x2
1
I 4arctgx |1 0 3.1415926...
( x x1 )( x x2 ) 1 dx b a a a ( x x )( x x ) 6 0 1 0 2 b b ( x x )( x x ) 2 0 2 A1 l1 ( x)dx dx b a a a ( x x )( x x ) 3 1 0 1 2 b b ( x x )( x x ) 1 0 1 A2 l2 ( x)dx dx b a a a ( x x )( x x ) 6 2 0 2 1 A0 l0 ( x)dx