《计算方法》第五章 数值积分
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计算方法数值积分
C1(2)
(1)1 2
4
21!1!0t(t2)dt6
类似可得，n=3时有四个Cotes系数
C 0 (3 ) 8 1 , C 1 (3 ) 8 3 , C 2 (3 ) 8 3 , C 3 (3 ) 8 1
n=4时，有五个Cotes系数
C 0 ( 4 ) 9 7 , 0 C 1 ( 4 ) 9 3 , 0 2 C 2 ( 4 ) 1 9 , 2 0 C 3 ( 4 ) 9 3 , 0 2 C 4 ( 4 ) 9 70
(k=0,1,2,…,4N)，h
ba N
4、复合Simpson公式算法
(1) 输入a,b,N (2) hba,sf(a),xa
2N
(3) 当 i=1,2, …,N时 做循环
① x=x+h ② s=s+4f(x) ③ x=x+h ④ s=s+2f(x)
(4) s h(s f (b)) 3
f()f(1 )f(2 ) f(n) N
1、复合梯形公式的余项
所以 IT Nb 1 a 2 h2f() , (a,b)
由 f (x) 在[a,b]上连续可知，f (x) 在[a,b]
上有界，于是存在常数M2，使
公式(5.6)称为等距节点内插求积公式。
求Ak
Ak
ablk(x)dx
b( n xxj a j0xk xj
)dx
jk
在等距节点前提下，做变换 t x a ，由 axb，可得 0tn 而x-xj=(t-j)h (j=0,1,2,…,n) ，xk-xhj=(k-j)h (j,k=0,1,2,…,n且j≠k)。 于是(5.5)式即为
A kk h !(( n 1 )n k k )! 0 n j n 0(tj)d t(b a )n(k !1 () n n kk)! 0 n j n 0(tj)dt
计算方法 第5章 数值积分与数值微分
第五章 数值积分与数值微分在高等数学中我们学过定积分⎰badx x f )(的计算方法，若找到被积函数)(x f 在],[b a 区间上的一个原函数)(x F ，利用Newton-Leibniz 公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()(可以轻易得计算出积分值，但在实际问题中，往往会遇到一些困难。
1) 有些函数虽然能找到原函数, 但表达式过于复杂，例如411)(x x f +=的原函数为 )]12arctan()12[arctan(2211212ln 241)(22-++++-++=x x x x x x x F2) 有些函数找不到初等函数形式的原函数，例如积分⎰⎰-1102,sin dx edx x x x3) 有些情况下，函数值是用表格形式给出的，例如：6.1178.876.651.496.364.275.203.1587654321y x对于以上这些积分问题，解决的方法就是使用数值积分方法。
其实数值积分方法不仅可以解决上述问题，最为重要的优点是对任意被积函数任意积分区间的积分问题都可以采用统一的数值积分公式，非常便于计算机编程实现。
对于微分问题，虽然对每一个初等函数都可以求出其导数，但是不同函数其求导方法依赖于各自不同的求导公式，没有简单、统一的处理方法，而数值微分法却可以对不同的函数使用统一的数值微分公式或数值微分算法。
本章首先介绍一些数值积分公式，最后再简单的介绍数值微分问题。
5.1 数值积分公式1. 数值积分的基本思想我们知道定积分⎰badx x f )(的几何意义就是{})(,0,,x f y y b x a x ====所围成的曲边形面积，而数值积分的基本思想是利用函数)(x f y =在区间],[b a 上某些点处函数值的线性组合来计算其定积分的近似值，把计算定积分这一复杂问题转换为仅仅涉及到函数值的计算问题，而无需考虑函数本身的结构以及函数值的真实来源，这样就很便于计算机编程实现。
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
计算方法课件-第5章-数值微分与数值积分讲解
11
h2 R2 ( x0 ) 3
f (1 )—左端
h2 R2 ( x1 ) - 6
f (2 )
—中
R2 ( x2 )
h2 3
f (3 )
—右端
例1：已知列表
X 2.5
2.55 2.60 2.65 2.70
Y 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317
求f (2.50), f (2.6), f (2.7)的近似值。
h 2!
f ''( ) O(h)
因此，有误差
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
''( ), x0
x0 h
4
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
中心差商
f '( x0 )
f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
由Taylor展开
f ( x0
因此，有误差
R( x)
f
'( x0 )
f ( x0 h) h
f ( x0 )
h 2!
f
''( ) O(h)
3
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
向后差商
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
由Taylor展开
R( x)
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
f ( )的近似值，这样导出的求积公式
ab
f
( x)dx
b
2
a
h2 R2 ( x0 ) 3
f (1 )—左端
h2 R2 ( x1 ) - 6
f (2 )
—中
R2 ( x2 )
h2 3
f (3 )
—右端
例1：已知列表
X 2.5
2.55 2.60 2.65 2.70
Y 1.58114 1.59687 1.61245 1.62788 1.64317
求f (2.50), f (2.6), f (2.7)的近似值。
h 2!
f ''( ) O(h)
因此，有误差
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf
'( x0 )
h2 2!
f
''( ), x0
x0 h
4
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
中心差商
f '( x0 )
f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
由Taylor展开
f ( x0
因此，有误差
R( x)
f
'( x0 )
f ( x0 h) h
f ( x0 )
h 2!
f
''( ) O(h)
3
5.1 数值微分
5.1.1 差商型求导公式
向后差商
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
由Taylor展开
R( x)
f '( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
f ( )的近似值，这样导出的求积公式
ab
f
( x)dx
b
2
a
数值计算方法之数值积分
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
数值积分方法
(b a)3 12n 2
f (),
[a,b]
5.2.2 复化Simpson公式：
★ 计算公式
将[a, b] 2m 等分, m 为积分子区间数，记 n = 2m，n+1
为节点总数 ，h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih,
i = 0,1,2,…,n,
在[a, b]上恒为正时，f ( x)在[a, b]上为凹，表示梯形的面积大
于曲边梯形的面积，此时（5.2）式计算出的值比积分
b
f ( x)dx
a
的值大.
二、Simpson公式 n=2时的求积公式
将 [a, b] 二 等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2，
x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多
b x bdx 1 (b a) a ab 2
1
b
a l1( x)dx
b x adx 1 (b a) a ba 2
b
a
f
( x)dx
ba 2
f
(a)
f
(b)
T(f)
(5.2)
这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近 似计算公式，称为梯形数值积分公式。
第五章 数值积分方法
问题提出
计算
I
b
f ( x)dx
F(a) F(b)
a
但是在许多实际问题经常遇到下列情况：
（1）原函数存在但不能用初等函数表示；
（2）原函数可以用初等函数表示，但结构复杂；
（3）被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表。
数值计算方法 数值积分1
b
bn
n
b
a Ln (x)dx
(
a
l j (x) y j )dx
[ a l j (x)dx]y j
j 0
j0
n
(b a) [
1
j0 b a
b
a l j (x)dx] f (x j )
n
(b a)
C
( j
n
)
f
(x
j
)
j 0
因此就归结为求权
C
( j
n)
1 ba
b a
5.1 Newton-Cotes求积公式
5.1.1 Cotes 系数
首先，我们考察一种简单情况。设 y = f (x) 用节点 (a, f (a)),(b,( f (b))
的一次插值多项式代替，即
f (x)= L1(x)+ r1(x)
(5.1.1)
= x- b f (a)+ x- a f (b)+ 1 f " (x)(x- a)(x- b) x (a,b)
C (n) j
1 ba
bn a
i0
x xi dx 1
x j xi
nh
nn 0
i0
t i hdt j i
i j
i j
1 n
1
nn
(t i)dt
n i0 j i 0 i0
i j
i j
(1)n j
nn
(t i)dt
nj!(n j)! 0 i0
i j
当n 1时，仅有两个节点：
l
j
( x)dx
b
1
a
bn a
i0
x xi dx x j xi
计算方法 第五章 数值积分与微分1
插值型求积公式： In ( f )
其中
b
A
k 0
b a
n
f ( xk )
Ak lk ( x )dx
a b a
n1 ( x )dx 1 ( xk ) ( x xk ) n
余项 Rn [ f ]
f ( ) n1 ( x )dx ( n 1)!
首先，遇到的是一类被积函数 f ( x) 没有初等 函数有限形式的原函数，如:
椭圆周长: L 4
1
2 0
1 a sin d；
2 x2
正态分布函数: e
0
dx
其次，被积函数 f ( x) 由表格形式给出，没有解析形式，也无 法使用 Newton- Leibniz 公式；
b
a
f ( x)dx lim
x 0
f ( )x
i 0 i
n
i
(1)分割 (2)近似 (3)求和
a x0 x1 ... xn i b si f ( )xi
n n
xi xi xi 1
S n si f ( i )xi
i 0 i 0
f (a kh)
当n为奇数时至少具有n次代数精度；当n为偶数时至少 具有n+1次代数精度。
证明： 由定理5.2知：插值型求积公式至少有n次代数精度
f ( x ) x （n为偶数）时，余项等于零。 ( n 1) b f b n ( ) 余项 Rn [ f ] ( x xk )dx a (n 1)! n1 ( x )dx a k 0 xk a kh 作变换 x a th
第三，常常 f ( x) 本身形式并不复杂，而原函数 F ( x)推 导十分冗长，且表达式复杂，给计算结果带来十分不便。
其中
b
A
k 0
b a
n
f ( xk )
Ak lk ( x )dx
a b a
n1 ( x )dx 1 ( xk ) ( x xk ) n
余项 Rn [ f ]
f ( ) n1 ( x )dx ( n 1)!
首先，遇到的是一类被积函数 f ( x) 没有初等 函数有限形式的原函数，如:
椭圆周长: L 4
1
2 0
1 a sin d；
2 x2
正态分布函数: e
0
dx
其次，被积函数 f ( x) 由表格形式给出，没有解析形式，也无 法使用 Newton- Leibniz 公式；
b
a
f ( x)dx lim
x 0
f ( )x
i 0 i
n
i
(1)分割 (2)近似 (3)求和
a x0 x1 ... xn i b si f ( )xi
n n
xi xi xi 1
S n si f ( i )xi
i 0 i 0
f (a kh)
当n为奇数时至少具有n次代数精度；当n为偶数时至少 具有n+1次代数精度。
证明： 由定理5.2知：插值型求积公式至少有n次代数精度
f ( x ) x （n为偶数）时，余项等于零。 ( n 1) b f b n ( ) 余项 Rn [ f ] ( x xk )dx a (n 1)! n1 ( x )dx a k 0 xk a kh 作变换 x a th
第三，常常 f ( x) 本身形式并不复杂，而原函数 F ( x)推 导十分冗长，且表达式复杂，给计算结果带来十分不便。
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j 0,1, 2, 3
I ( x4 ) I2 ( x4 )
由此得该积分公式具有 3 次代数精确度. 17
类似地, 可以证明矩形公式具 0 次代数精度
b
a
f ( x )dx f (a )(b a )
可以证明 Simpson公式具 3 次代数精度.
b
a
(b a ) ab f ( x )dx f (a ) 4 f ( ) f ( b) 6 2
4 h x 3dx 4 4 h4 h I2 ah2 [0 3h2 ] 2 4
f ( x) x3
I
h
0
f ( x) x4
I
因此
h
0
5 h x 4dx 5
5 h5 h I2 ah2 [0 4h3 ] 2 6
I ( x j ) I2 ( x j )
b
a
x dx
b2 a 2 2
=
b a 2
[a b]
[a 2 b2 ]
14
代入 L2 = x2 ：
b
a
x dx
2
b 3 a 3 3
b a 2
得代数精度 = 1
算例:
试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.
I f ( x )dx
0
h
h [ f (0) f ( h)] ah2 [ f (0) f ( h)] I 2
k 0
n
其中, xk 称为积分节点，Ak 称为求积系数。 因此，数值积分公式关键在于积分节点 xk 的选取 和积分系数 Ak 的决定，其中 Ak与被积函数 f (x) 无关。 称为机械求积公式。
6
简单算例
求积分
x
x1
0
f ( x )dx
7
简单算例 解
求积分
x
x1
0
f ( x )dx
此积分的几何意义相当于如图所示的曲边梯形的面积。
在 [a, b] 上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值多
n
项式 Ln ( x ) f ( xk )l k ( x ) ，
k 0
即得到
不同的 插值方法 有不同的 基函数
b
a
f ( x )dx f ( xk ) l k ( x )dx
b k 0 a
梯形公式
10
推广:
用 f (x) 的二次插值多项式, 来近似代替 f ( x)
( x x0 )( x x1 ) ( x x)( x x1 ) L2 ( x ) f ( x0 ) f ( x ) ( x0 x)( x0 x1 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x0 )( x x) f ( x1 ) ( x1 x0 )( x1 x)
a
a
27
I f ( x )dx a f ( xk )lk ( x )dx a Rn ( x )dx
b
b
b n
a
k 0
Ak f ( xk ) Rn ( x )dx
b
k 0
n
a
其中 Ak a lk ( x )dx a
用 f (x) 的零次多项式
y L0 ( x ) f ( x0 ) 来近似代替 f ( x)
于是有
x1 x0
f ( x )dx
x1 x0
f ( x0 )dx
f ( x0 )( x1 x0 )
左矩公式
8
推广:
x1 x0
f ( x )dx
x1 x0
f ( x1 )dx
2 2 h h I2 I x1dx 0 2 2 3 h h I x 2dx 0 3 1 h3 3 2 ( 2 a ) h I2 ah [0 2h] 2 2 1 a 令0
h f ( x )dx [ f (0) f ( h)] ah2 [ f (0) f ( h)] I 2 2
考察其代数精度。
f(x)
f(b)
f(a) a b
13
梯形公式
b a
a f ( x)dx b 2 [ f (a) f (b)] 的代数精度。
f(x)
解：逐次检查公式是否精确成立
代入 L0 = 1：
f(a)
b a 2
f(b)
a b
1 dx b a =
a
b
[1 1]
代入 L1 = x ：
x[ a ,b ]
21
§5.1.4 插值求积法 - 余项
N+1 个节点的求积公式为插值型 该求积公式至少有 N 次代数精度.
22
§5.1.4 插值求积法 - 余项
n+1 个节点的求积公式为插值型 该求积公式至少有 n 次代数精度. 由插值余项定理得 , 插值型求积公式的余项为
f ( n1) ( ) R[ f ] I I n ( x)dx a (n 1)! 式中 与变量 x 有关, ( x) ( x x0 )( x x1 )
b a
lk ( x)dx Aj lk ( x j ) Ak
j 0
n
Return
24
§5.2 Newton-Cotes公式
第1节 第2节 公式的一般形式 低阶公式及其余项
第3节 复合求积公式
25
第1节 Newton-Cotes数值求积公式
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式
3
§5.1.1 引言
定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:
a f ( x)dx F (b) F (a)
其中 F(x) 是 f (x) 的原函数之一，可用不定积分求得.
b
问题
被积函数 f (x) 是用函数表格提供; f(x) 极为复杂，求不出原函数; 大量函数的原函数不容易或根本无法求出.
其中
lk ( x )
0 j n jk
x xj xk x j
[a , b]
n 1 ( x ) ( x xi )
i 0
n
而
f ( x) Ln ( x) Rn ( x)
因此对于定积分
b
I ( f ) f ( x )dx
a
b
b
有 I ( f ) f ( x )dx [ Ln ( x ) Rn ( x )]dx
b
, xn
利用被积函数 f (x) 在这 n+1 个点的函数值的某一 种线性组合来近似作为待求的定积分.
a
b
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
其中, xk 称为积分节点， Ak 称为求积系数。
5
§5.1.2 数值积分的基本方法
a
b
f ( x )dx Ak f ( xk )
, m ) 多项式都精确成立，
f ( x ) x m 1 不精确成立，
则称该数值积分公式具m 次代数精确度。 12
算例: 对于[a, b]上线性插值，如图所示有
x b x a L1 ( x) a f ( a ) f (b) b b a
a A1 A2 b 2
b a
a f ( x)dx b 2 [ f (a) f (b)]
n
Ak
Ak
b a
k j
( x x j ) ( xk x j )
dx
由 节点决定， 与 f (x) 无关。
20
§5.1.4 插值求积法 - 余项
误差:
R[ f ] f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
[ f ( x) Ln ( x)]dx Rn ( x)dx
计算方法
第五章 数值积分
计算方法课程组
华中科技大学数学与统计学院
1
§5 数值积分
§5.1 机械求积公式 §5.2 Newton_Cotes公式
§5.3 变步长求积公式及其加速 收敛技巧
§5.4 Gauss公式
2
§5.1 机械求积公式
第1节 引言
第2节 数值积分的基本方法
第3节 第4节 代数精度法 插值求积法
b
( x xn ) .
按此余项公式，对于次数不超过
n
的多项式 f ( x) ，
余项 R[ f ] 等于零，求积公式至少具有 n 次代数精度。
23
§5.1.4 插值求积法 - 余项
n+1 个节点的求积公式为插值型 该求积公式至少有 n 次代数精度. 反之, 若求积公式至少具有 n 次代数精度，则必定 是插值型的。因为求积公式对 n 次多项式是精确成立的:
k 0
即得到
b
a
f ( x )dx f ( xk ) l k ( x )dx
b k 0 a
n
19
§5.1.4 插值求积法
近似计算 I
b
a
f ( x )dx
利用插值多项式 Pn ( x ) f ( x ) , 则定积分容易计算。
利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:
右矩公式
f ( x1 )( x1 x0 )
x1 x0
f ( x )dx
x1 x0
x0 x1 f( )dx 2