第五章 等参元和数值积分PPT课件
i
x
Ni
x
Se i
E1 1 12
1
N i x
1
2
1
N i y
1
N i y
N i y
1 1 2
N i x
i 1,,4
三、单元刚度矩阵
K e hB eTD B edx h d1y 1B eTD B eJdd 1 1
e
体力的等效结点力：
Fb eh 11
N 1 eT
L 1 , L 2 , L 3 ,L 4 1
J
x y
N i
N i
x
N
i
J
1
N
i
y
x
J
y N1
N2
N3
N4
x1 x2
y1 y2
x y N1
N2
N3
N4xx34
y3 y4
y
J 1
1 J
x
y
x
(2) 体积微元和面积微元之间的变换
y
x
z
dVddd
d
x
di y
d
j
z
dRx i
N3
N3
N4xx12 N 4xx43
y1 yyy432J
N
i
x
Be i
LN
e i
0
N
i
y
0
N i
y
N
i
x
N i N i
N
i
J
x N i
i 1,,4
y
Ni 1 41i1i i 1,,4
y
J 1
1 J
x
y
x
N i
N i
e L u e B ee B 1 e B e 2 B 3 e B e 4 e
x
L
0
y
B e 的子块应是：
0
y
x
N
i
x
Be i
LN
e i
0
N
i
y
0
N i
y
N
i
x
i 1,,4
Ni 1 41i1i i 1,,4
N
i
0
x
Be i
LN
e i
0
N i y
1
f
Jdd
面力的等效结点力：Feqh11NeT f
(x)2(y)2d
(
1边）
y2
1
xi,yi i,i 2 0
1
4
3
x
3
4
四边形单元
母单元
5.2 等参元的概念和单元矩阵的变换
一、等参元的概念
坐标变换:
x
m
N i x i
i= 1
y
m
N i y i
i= 1
m
z N i z i
i= 1
x
N
i
J
1
N
i
y
N i
N i
x
N
i
J
1
N
i
y
算Be 与 S e
N i
N i
x
N
i
J
1
N
i
y
i 1,,4
N
i
x
B
e i
0
N
i
y
0
N i
y 是ξ、η的函数。i 1,,4
N
y
j
z
Rd
d
x di
y dj
z dRx i
y
j
z Rd
d
x
di y
d
j z
dRx
i y
j z
Rd
(2) 体积微元和面积微元之间的变换 dVd dd
d
x
di
y
d
j
z
dRx
i
y
j z
Rd
d
x di y dj
z dRx i
y
j
z Rd
d
x
di y
位移场函数:
u
n
N iu i
i= 1
n
v N iv i
i= 1
n
w N i w i
i= 1
m n , N i N i mn mn
等参元或同参元
超参元 次参元
1.一维单元的平面坐标变换
y1
2 y 1 3
1
2
x
3 1
2.二维单元的平面坐标变换
y
y
2 y 1 2 3 4
2
4
2
1
x
3
x
d
j z
dRx
i y
j z
Rd
x y z
dv
x
y
z
d dd
J
d dd
体积微元
x y z 的变换源自(2) 体积微元和面积微元之间的变换
y
x
z 设 C ，ξ面上 因为： dAdSdd
1
d A d Sd d C y z z y 2 z x x z 2 x y y x 2 2d d
母单元
子单元
x
x
3.二维单元的平面坐标变换
子单元
母单元
二、等参元的单元矩阵变换
Ke BeTDBe dv Ve
Fbe NeTf dv Ve
Fqe NeT f dS Se
① 计算用局部坐标表示的形函数 Ni(,,) 对整体坐标 的(x,y,z)偏导数；
② 将整体坐标系中的体积（面积）积分转换为在局部坐 标系中的体积（面积）积分；
第五章 等参元和数值积分
5.1 任意四边形单元
y2
1
2
1
4
3
x
0
3
4
四边形单元
母单元
u12x3y4xy
v56x7y8xy
对任意一个四边形单元，只要恰当选择单元自然坐标ξ、
η，就得到在ξ、η域的正方形单元。称ξ、η域的正方
形单元为母单元。
这个变换要实现一点到一点的对应，例如，对角点。
xi,yi i,i
③ 用数值积分计算出Ke, Fbe, Fqe。
Keh1 1BeTD BeJdd 11
N
i
x
Be i
LN
e i
0
N
i
y
0
N i
y
N
i
x
(1) 导数之间的变换
Ni x
y
z
Ni x
Ni x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
Ni
x
y
z
Ni z
Ni Z
N1
J
N1
N
1
Nm
N m
x1
y1
z1
N m
xm
ym
zm
N i
x N
y
i
J
N i
1
N
i
N i
N i
Z
平面问题
Ni
Ni
x
x
y
y
NNyxii
x y
Ni 1 41i1i
N
i
N
i
y x
i 1,,4
Ni
Ni
x
x
y
y
NNyxii
x y
J
x y
N i N i
N
i
J
x N i
i 1,,4
y
x
4
N ixi
1 4
y
N iyi
1
x
x
yyN N 11
N2
N2
A d d
面积微元
在η、ζ面上也类似。
的变换
平面问题
y
x
N1
d A ddJdd J N1
N Nm mxxm 1
yym 1JJ1211
J12 J22
在 C 的曲线上（坐标线）的弧微分 dsd dd
dS x2 y2d
(3) 面积坐标与整体坐标之间的变换
1. 体积坐标(面积坐标)不完全独立
L1L2L3L41 (L1L2L31)
5.1 任意四边形单元
y2
1
xi,yi i,i 2 0
1
4
3
x
3
4
四边形单元
母单元
一、 坐标变换
坐标变换: 位移场函数:
4
x
1 4
N ixi
y
1
N iyi
u
4
1 4
N iu i
v
1
N ivi
或记为矩阵形式: ue Ne ae
Ni 1 41i1i i 1,,4
二、单元应变与应力
合集下载
FE-Ch04.1-5等参元与数值积分
形函数Ni (ξ,η)在单元的i结点上的值为1， 在其它结点上的值均为0。
坐标变换式采用如下相似的公式，
x = ∑ N i (ξ ,η ) xi
i =1 8 8
（4-12）
y = ∑ N i (ξ ,η ) y i
i =1
将ξ=1代入公式（4-12），可以得到单元345边在 ξ=1 4-12 345 整体坐标下的参数方程：
N3 =
1 (1 − ξ )(1 + η ) 4
（4-5）
1 N 4 = (1 + ξ )(1 + η ) 4
四个结点的坐标为
(ξ i ,ηi )
，定义新的变量，
(i=1，2，3，4)
ξ 0 = ξ iξ ， η 0 = ηiη
(4-6)
形态函数表示为，N i
1 = (1 + ξ 0 )(1 + η 0 ) (i=1，2，3，4) 4
如果单元不是等参的, 即坐标插值:
x = ∑ N i (ξ ,η ) xi
i =1 m
y = ∑ N i (ξ ,η ) yi
i =1
m
中的节点数m和插值函数Ni, 各自不等于未知函数 n ’: φ插值中的节点数n和插值函数Nk ϕ = N ' (ξ ,η )ϕ
∑
k =1
k
k
这时,可以分两种情况: (1)超参单元, 即坐标插值节点数m>未知函数φ插值节 点数n, 单元一般不满足完备性的要求 (2)次参单元, 即m<n, 从构造变节点单元的一般方法, 假定一2D等参单元在各节点有线性变化的场函数, Φ=a+bx+cy 其在各节点有对应的场函数值, Φi=a+bxi+cyi (i=1,2,…,n)
最新有限元法基础-5等参元与数值积分演示教学
Ni Ni L1 Ni L2 Ni L3 Ni L4 Ni Ni
L1 L2 L3 L4 L1 L4
Ni Ni L1 Ni L2 Ni L3 Ni L4 Ni Ni
L1 L2 L3 L4 L2 L4
Ni Ni L1 Ni L2 Ni L3 Ni L4 Ni Ni
19
有限元法基础
5.1等参变换的概念 边界面力的变换
QTe e NTTd
以 1 为例，d 0
11
Qe NTTdA NTTAdd
Ae
11
20
有限元法基础
5.1等参变换的概念 4）对二维问题
Ni x yNi
Ni Ni
N ix yN xi((x,,y))N xiJN xi
y
y y
y
N i N xi x N yi y N zi z
写成矩阵形式 Ni x
y
z
Ni
x
Ni
x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
Ni
x
y
z
Ni z
Ni
z
J 称为Jacobi 矩阵
J (x, y, z)
( ,, )
d x di y d j z dk
d x d i y d j z d k
i jk
dd x, y, z, dd
x, y, z,
d A =d d A d d 1
A y z y z 2 Z x z x 2 x y x y 2 1 /2
5.1等参变换的概念
规则化单元：母单元
在自然坐标系内(局部)
实际单元：子单元 在总体坐标系内(整体)
利用节点坐标和形函数建立坐标变换关系
第5章 等参单元与数值积分
2020/6/30
13
第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
我们定义的形函数满足：
N i ( i ,i ) ij
1 当 j 0 当 j
i i
4
Ni ( , ) 1
i 1
(5-1-6)
设真实位移场为x，y的线性函数
u 1 2x 3 y
v 4 5x 6y
将x，y按(5-1-3)代入，
2020/6/30
3
第2节四结点四边形等参数单元
[母体单元、自然坐标和形函数 ]
母体单元ê：边长为２的正
η
方形，自然坐标系ξ，η 示于左
4
3 (1,1)
图。取四个角点为结点，在单元
内的排序为１、２、３、４。仿
ξ
照矩形单元，可定义出四个形函 数
(-1,-1) １
2
Ni
(
,
)
1 4
1
i
(1
i )
(5-1-1)
2020/6/30
12
第2节四结点四边形等参数单元
[收敛性分析 ]
(1)单元内位移场连续
x、y、u、v都是ξ，η的双线性函数(连续函数)。只要Jacobi 行列式detJ≠0，u、v就是x，y的连续函数。即在实际单元 内u、v连续。
(2)刚体位移和常应变条件
对于二阶问题，这个条件归结为假定的位移场中包括总 体坐标的完全一次多项式。或者换一个提法：假定的位移 场可以精确地表述任何一种线性变化的真实位移场。当试 探函数直接用总体坐标的多项式描述时(像第四章所做的那 样)采用前面一种提法是方便的。现在试探函数是用自然坐 标表述的，则用后一种提法更合适一些。
x 则由(5-1-3)，可得出坐标变换为
第五章 等参元和数值积分
y1 y2 y3 y4
N 2 N 2
N 3 N 3
y x
N 4 x1 x2 N 4 x3 x4
J
y 1 J x
N1 N m x1 N1 N m J xm N1 N m
y1 ym
z1 zm
N i N i x N i 1 N i J y N i N i Z
B 与 Se 算
e
Ni Ni x 1 N J Ni i y
N i x e Bi 0 N i y
i 1,,4
1 N i 1 i 1 i 4
i 1,,4
N i x N x i
x y
y N i x y N i y
2
0 3
1
4
3
x
四边形单元 一、 坐标变换 坐标变换:
x N i xi 1 4 y N i yi 1
4
母单元 位移场函数:
4 u N i ui 1 4 v N i vi 1
或记为矩阵形式:
u
e
N a
e
e
1 N i 1 i 1 i i 1,,4 4
0 N i y N i x
i 1,,4
N 2 N 2
N 3 N 3
y x
N 4 x1 x2 N 4 x3 x4
J
y 1 J x
N1 N m x1 N1 N m J xm N1 N m
y1 ym
z1 zm
N i N i x N i 1 N i J y N i N i Z
B 与 Se 算
e
Ni Ni x 1 N J Ni i y
N i x e Bi 0 N i y
i 1,,4
1 N i 1 i 1 i 4
i 1,,4
N i x N x i
x y
y N i x y N i y
2
0 3
1
4
3
x
四边形单元 一、 坐标变换 坐标变换:
x N i xi 1 4 y N i yi 1
4
母单元 位移场函数:
4 u N i ui 1 4 v N i vi 1
或记为矩阵形式:
u
e
N a
e
e
1 N i 1 i 1 i i 1,,4 4
0 N i y N i x
i 1,,4
第五章 等参元和数值积分PPT课件
1
4
3
x
3
4
四边形单元
母单元
5.2 等参元的概念和单元矩阵的变换
一、等参元的概念
坐标变换:
x
m
N i x i
i= 1
y
m
N i y i
i= 1
m
z N i z i
i= 1
位移场函数:
u
n
N iu i
i= 1
n
v N iv i
i= 1
n
w N i w i
i= 1
m n , N i N i mn mn
N i x
i 1,,4
三、单元刚度矩阵
K e hB eTD B edx h d1y 1B eTD B eJdd 1 1
e
体力的等效结点力：
Fb eh 11
N 1 eT
1
f
Jdd
面力的等效结点力：Feqh11NeT f
(x)2(y)2d
(
1边）
y2
1
xi,yi i,i 2 0
① 多项式 的构造
n
n 1
li(n 1)()fi iiP 2n-1次多项式
i 1
i0
li ( n 1 )() ( ( i 1 1 ) ) ( (i 2 2 ) )( (i i i 1 1 ) ) ( (i i i 1 1 ) )( ( i n ) n )
对任意一个四边形单元，只要恰当选择单元自然坐标ξ、
η，就得到在ξ、η域的正方形单元。称ξ、η域的正方
形单元为母单元。
这个变换要实现一点到一点的对应，例如，对角点。
xi,yi i,i
5.1 任意四边形单元
y2
有限元第5章-等参数单元
5 等参数单元 5-1 等参数单元的引入 三角形单元内的应力为常量，不同单元的应力互
不相同，提高精度的方法： （1）减小单元尺寸； （2）提高单元插值函数的阶次。 为了适应不规则边界，要求用曲边单元。 基于以上原因，引入等参数单元。
2021/8/14
1
5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
2021/8/14
27
利用
x
, y
的表达式，可以将形状函数 Ni,
对整体坐标x,y的偏导数，转换成对局部坐标 ,
的偏导数。
例如 其中
Ni
Ni y
Nxi J1N i J1x
xyN N ii
y
4
4
y
i1
Ni ,yi
,
y
i1
Ni ,yi
2021/8/14
4
4
x
i1
Ni , xi
2021/8/14
30
为此，展开雅可比矩阵
x
J
x
y
y
4 i 1 4 i 1
N N
i
i
, ,
xi xi
4
N
i
,
y i
i 1
4
N
i
,
y i
i 1
4
i 1 4
i 1
i
4
i
4
1 i 1 i
xi xi
4
i 1
4
i 1
i
4
i
4
1 1
i i
234 678
或者
, f,
2021/8/14
不相同，提高精度的方法： （1）减小单元尺寸； （2）提高单元插值函数的阶次。 为了适应不规则边界，要求用曲边单元。 基于以上原因，引入等参数单元。
2021/8/14
1
5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
2021/8/14
27
利用
x
, y
的表达式，可以将形状函数 Ni,
对整体坐标x,y的偏导数，转换成对局部坐标 ,
的偏导数。
例如 其中
Ni
Ni y
Nxi J1N i J1x
xyN N ii
y
4
4
y
i1
Ni ,yi
,
y
i1
Ni ,yi
2021/8/14
4
4
x
i1
Ni , xi
2021/8/14
30
为此，展开雅可比矩阵
x
J
x
y
y
4 i 1 4 i 1
N N
i
i
, ,
xi xi
4
N
i
,
y i
i 1
4
N
i
,
y i
i 1
4
i 1 4
i 1
i
4
i
4
1 i 1 i
xi xi
4
i 1
4
i 1
i
4
i
4
1 1
i i
234 678
或者
, f,
2021/8/14
第五讲 等参单元
•
关于高斯积分有如下结论： 采用N个积分点的高斯积分，如果被积函数是2N-1阶及以
下的多项式，则高斯求积公式给出准确结果。
•
对于二、三维高斯积分，有：
I
I
1
1
1 1
1
1
f ( , )dd f (i , j ) wi w j
i 1 j 1
1
L
M
1 1 1
平面内的任意四边形单元称为实际单元或子单元。显然， 母单元的节点对应于不同的x，y坐标就得到不同的任意 四边形单元。
•变实例
• 建立了局部坐标系或映射后，我们可以在ξ -η 平面上 的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。 • 任意四边形单元在母单元中的位移模式插值公式（或者
称为ξ -η 坐标系下的位移模式）可以参考矩形单元的 位移模式写为：
1）形函数导数的坐标变换 • 等参单元中形函数是局部坐标ξ ,η 的显函数，而计算 应变时需要形函数对x,y坐标的导数。根据等参变换式， ξ ,η 和 x,y之间有一定函数关系，由复合函数求导规 则有：
N i x N x i y N i N i x x N J N y i i y y
k B DBhd
e T
e
由于[B]矩阵已是ξ,η的函数，上式积分应该在自然坐标系下 进行，或者说进行积分变量替换。
在整体坐标系中，面积微元为x 方向和y 方向微矢量的叉乘 的模量，
• 由二维重积分变量替换公式得到：
k 1 1 B DBh J dd
任意直边四边形
任意六面体
第五章_形函数与等参单元
演得到形函数
➢ 推导原理和过程明确，但是推导繁琐，只能适应简单的少节点单
元（常应变三角形单元等）；
➢ 思变：形函数仅是单元内部的位移插值函数（利用节点位移达到
内部位移），可考虑利用数学中的“插值函数”方法，直接给出
形函数。从而避开繁琐的推导
2
5.1 面积坐标与自然坐标
一．面积坐标
1．面积坐标的定义
二者之间可通过一定的坐标转换公式进行转换
10
Hale Waihona Puke 优点✓该种坐标系下,无论四边形的大小和形状如何,其坐标特征是相同的,
因此可用统一的表达式描述,可以推导统一的有限元公式;
✓以局部坐标系导出的公式,有利于数值积分运算,可克服高精度单元的
单刚矩阵、等效节点力矩阵等因无法导出显式而必须进行积分所遇到的 困难；
Lm = 1－Li－Lj，变换式可以把平面上的任意三角形ijm变换为LiLj平面上的三角形
i1 , j1 , m1。
7
4 面积坐标的求导和积分 当面积坐标的函数对直角坐标求导时，可以应用下列公式
Li Lj Lm bi bj bm x x Li x Lj x Lm 2 Li 2 Lj 2 Lm Li Lj Lm ci c j cm y y Li y Lj y Lm 2 Li 2 Lj 2 Lm
l
Li
Lj
ds
(
! ! l 1)!
(i, j, m)
式中l为该边的长度。可得到
Li dxdy A / 3
L2i dxdy A / 6
Li Ljdxdy A /12
（5-7） （5-8）
9
二．四边形自然坐标（归一化处理）
(-1,1) 4
1(1,1)
➢ 推导原理和过程明确，但是推导繁琐，只能适应简单的少节点单
元（常应变三角形单元等）；
➢ 思变：形函数仅是单元内部的位移插值函数（利用节点位移达到
内部位移），可考虑利用数学中的“插值函数”方法，直接给出
形函数。从而避开繁琐的推导
2
5.1 面积坐标与自然坐标
一．面积坐标
1．面积坐标的定义
二者之间可通过一定的坐标转换公式进行转换
10
Hale Waihona Puke 优点✓该种坐标系下,无论四边形的大小和形状如何,其坐标特征是相同的,
因此可用统一的表达式描述,可以推导统一的有限元公式;
✓以局部坐标系导出的公式,有利于数值积分运算,可克服高精度单元的
单刚矩阵、等效节点力矩阵等因无法导出显式而必须进行积分所遇到的 困难；
Lm = 1－Li－Lj，变换式可以把平面上的任意三角形ijm变换为LiLj平面上的三角形
i1 , j1 , m1。
7
4 面积坐标的求导和积分 当面积坐标的函数对直角坐标求导时，可以应用下列公式
Li Lj Lm bi bj bm x x Li x Lj x Lm 2 Li 2 Lj 2 Lm Li Lj Lm ci c j cm y y Li y Lj y Lm 2 Li 2 Lj 2 Lm
l
Li
Lj
ds
(
! ! l 1)!
(i, j, m)
式中l为该边的长度。可得到
Li dxdy A / 3
L2i dxdy A / 6
Li Ljdxdy A /12
（5-7） （5-8）
9
二．四边形自然坐标（归一化处理）
(-1,1) 4
1(1,1)
第五章 数值积分.ppt
1
dx 1
0
1 xdx 1
0
2
A0
A1
1 2
．
1
所以公式为： 0
f
( x)dx
1
2
f
0
f
1 ．
12
三 、牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）公式
定义3 等距节点下的插值型求积公式称为牛顿—柯特斯公式。
把区间 a,b分成 n 等分，每份的长度为 h (b a) / n ，
解： e0 1， e 2.71828 ， e0.5 1.64872
所以利用梯形公式：
I
T1
1 2
1
2.71828
1.85914
；
利用 Simpson 公式：
I
S1
1 6
1
41.64872
2.71828
1.71851 ．
对比真值 I 1.71828，可见 S1 更精确一些．
C
(n i
)
C
(n) ni
；
这可以从柯特斯系数的积分表达式中直接得到．
17
应用中必须考虑数值稳定性，设函数值计算产生误差为：
f xi fi i ，并记 max i ，则在牛顿—柯特斯公式计算中：
n
n
C(n) i
f
xi
C(n) i
fi
，误差是：
i0
f
( x)dx
ba 90
7
f
(a) 32
f
(x1) 12
f
(x2 )
数值积分实用PPT课件PPT课件
二simpson积分法抛物线积分法第20页共39页3几何意义第21页共39页4复合抛物线积分法分成n偶数个相等的小区间每个区间的长度第22页共39页计算公式几何意义第23页共39页5定步长抛物线积分抛物线积分较梯形积分更精确
微积分学中，积分计算是利用 Newton – Leibniz
公式：
来计算的。
例，某气体由温度 T1 加热到 T2 时所需热量 Q 可由下式表示：
Q
T1 T2
Cp
.mdT
Cp .m 该气体的摩尔定压热容
不知道该气体的 与CTp的.m函数关系式，而实验测得该气体的
系数据如下表所示。
C p .m
与 T 的关
T/℃
25 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800
32 k0
f
( x ) 12
k1
k0
4
f
( xk1 ) 2
n1
n1
32 f ( x ) 14 f ( x )
k0
k3 4
k 1
k
第27页/共39页
龙贝格算法
第28页/共39页
数值方法中常利用一序列{ F1、F2、…、Fk、…} 去逼近精确值，然后在理论上给出序列F的误差估计。
新思路：
能否在某种理论（截断误差估计）基础上，通过简单方法，在序列
值，而这些值又是成倍增加的，所以计算工作量较大。
第37页/共39页
程序例子：P207
作 业：
将P207的程序改为求解积分
eps=0.000001 结果（0.1115718）
1x
0 4 x2 dx
第38页/共39页
感谢您的观看。
微积分学中，积分计算是利用 Newton – Leibniz
公式：
来计算的。
例，某气体由温度 T1 加热到 T2 时所需热量 Q 可由下式表示：
Q
T1 T2
Cp
.mdT
Cp .m 该气体的摩尔定压热容
不知道该气体的 与CTp的.m函数关系式，而实验测得该气体的
系数据如下表所示。
C p .m
与 T 的关
T/℃
25 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800
32 k0
f
( x ) 12
k1
k0
4
f
( xk1 ) 2
n1
n1
32 f ( x ) 14 f ( x )
k0
k3 4
k 1
k
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龙贝格算法
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数值方法中常利用一序列{ F1、F2、…、Fk、…} 去逼近精确值，然后在理论上给出序列F的误差估计。
新思路：
能否在某种理论（截断误差估计）基础上，通过简单方法，在序列
值，而这些值又是成倍增加的，所以计算工作量较大。
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程序例子：P207
作 业：
将P207的程序改为求解积分
eps=0.000001 结果（0.1115718）
1x
0 4 x2 dx
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