计算方法 第5章 数值积分
计算方法_数值积分
f
(b)]
其中xk=a+kh
(k=0,1,2,…,N)，
h
ba N
2.复合Simpson公式
如果在每个子区间上使用Simpson公式，就得到复
合Simpson公式。将N等分后的每个子区间再对分一次，
于是共有2N+1个节点，xk 在每个N等分的子区间[x2k ,
ak x2k+2]
h (k=0,1,2,…,2N)， (2k=0,1,2,…,N-1)上应
这个问题有明显的答案
I*
4 a rc tg
x
|
1 0
3 .1 4 1 5 9 2 6
取n = 8用复合梯形公式
T8
1 8
1 2
f
(0)
2
f
1 8
2
f
1 4
2
f
3 8
2
f
1 2
2
f
5 8
5.1 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式
建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又 有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于是有
b
b
a f (x)dx a (x)dx
现用第四章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有
b
b
a
算的结果进行比较。
解 计算结果列于表5-2中。
函数f (x) 梯形值 Simpson值 Cotes值 准确值
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
Ch数值计算方法之数值积分
6. 柯特斯公式
•
作为课外作业，大家可以取n=4,相应地k可以取0，1 ，2，3 和4，仿照上面的方式，可以得到：
从而可进一步写出相应的求积公式，这就是柯特斯公式。
•
在后面将要介绍的龙贝格求积算法中，我们将产生梯形序列， 辛卜生序列，柯特斯序列和龙贝格序列，前三个序列都是基 于牛顿-柯特斯公式产生的序列，而龙贝格序列则不是。
3.变步长复化梯形公式
• 假设对某个n,我们利用复化梯形公式，也就是上面的
（3）式，得到了Tn，如果它不满足我们的精度要求， 那么我们可以把每个子区间再对分一次，这相当于 把积分区间划分为2n等分。
a)/(2n),则有
• 记y0,y1,y2,…,y2(n-1),y2n-1,y2n为等分点，记t=(b-
1.复化中点公式
• 复化中点公式也许最不为人们所注意，以至在一般
的教科书中还没有这个名称，我们在后面将会看到， 对于求数值积分来说，它实际上是最有用的公式。
• 把积分区间[a,b]划分为n等分，记x0,x1,…,xn为等分
点，记[xj-1,xj]为第j个子区间， zj为区间的中点， j=1,2,…,n，记h=(b-a)/n,记Mn为所有子区间上利用 中点公式所求得的积分值的和，那么我们有
作为课外练习，鼓励大家给出完整证明。
6.基本结论
• 我们可以利用上面的定理所给出的方法证明辛卜生
公式的代数精度是3，而中点公式和梯形公式的代数 精度是1。
• 现在我们可以对这三个公式作一个简单的评价：
• 中点公式和梯形公式的代数精度虽然都是1，但中点公
式只计算一个点的函数值，而梯形公式却要计算两个点 处的函数值，所以中点公式优于梯形公式。
数值计算方法之数值积分
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
数值计算中的数值积分方法
数值计算中的数值积分方法数值计算是应用数学的一个分支，它主要涉及数值计算方法、算法和数值实验。
其中，数值积分作为数值计算中的一个重要环节，其作用在于将连续函数转化为离散的数据，从而方便计算机进行计算和处理。
本文将介绍数值积分的概念、方法和应用。
一、数值积分的概念数值积分是利用数值方法对定积分进行估计的过程。
在数值积分中，积分被近似为离散区间的和，从而可以被计算机进行处理。
数值积分中，被积函数的精确的积分值是无法计算的，而只能通过数值方法进行估计。
数值积分的目的是通过选取合适的算法和参数来尽可能减小误差，达到精度和效率的平衡。
二、数值积分的方法1. 矩形法矩形法是数学上最简单的数值积分方法之一。
矩形法的算法是将要积分的区间分为若干个小区间，然后计算每个小区间中矩形的面积，最后将所有小矩形的面积加起来得到近似的积分值。
矩形法的精度一般较低，适用于计算不需要高精度的函数积分。
2. 梯形法梯形法是数值积分中常用的一种方法，其原理是将区间分为若干个梯形，并计算每个梯形的面积，最后将所有梯形的面积加起来得到近似的积分值。
梯形法的计算精度较高，但其计算量较大。
3. 辛普森法辛普森法是数值积分中一种高精度的方法，它是利用二次多项式去估计原函数。
辛普森法的原理是将区间分为若干等分小区间，并计算每个小区间中的二次多项式的积分值，最后将所有小区间的积分值加起来得到近似的积分值。
辛普森法的优点是其精度高，计算量相对较小。
三、数值积分的应用数值积分方法在各个领域都有广泛的应用。
例如，它可以被用于工程学、物理学和金融学中的数值计算。
在工程学中，数值积分被用于数值模拟和计算机辅助设计中。
在物理学中，数值积分则被用于数值求解微分方程和计算机模拟等领域。
在金融学中，数值积分则被应用于计算复杂的金融模型和风险分析。
总之，数值积分方法是数学和计算机科学中非常重要的一部分。
通过不同的数值积分方法来近似计算定积分，我们能够利用计算机更加高效地进行数学计算和数据分析，从而使得数学和物理等学科的研究者能够更加快速地得出准确的结果。
数值积分使用数值方法计算定积分
数值积分使用数值方法计算定积分定积分是数学中的重要概念，用于求解曲线下面的面积。
在某些情况下，定积分无法通过解析解来求解，此时可以使用数值方法来进行近似计算。
数值积分是一种广泛应用的技术，本文将介绍数值积分的基本原理以及常见的数值方法。
一、数值积分的基本原理数值积分的基本原理是将曲线下的面积近似为若干个矩形的面积之和。
假设要计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，首先将[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n。
然后，在每个小区间上选择一个代表点xi，计算其对应的函数值f(xi)，然后将所有矩形的面积相加，即可得到近似的定积分值。
二、矩形法矩形法是数值积分中最简单的方法之一。
它将每个小区间上的函数值看作是一个常数，然后通过计算矩形的面积来近似定积分的值。
矩形法主要有两种形式：左矩形法和右矩形法。
1. 左矩形法左矩形法使用小区间左端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
即近似矩形的面积为f(xi) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
然后将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
2. 右矩形法右矩形法与左矩形法相似，仅仅是使用小区间右端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
近似矩形的面积为f(xi + Δx) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
同样地，将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
三、梯形法梯形法是比矩形法更精确的数值积分方法。
它通过使用每个小区间的两个端点处函数值的平均值来代表整个小区间上的函数值，并计算梯形的面积来近似定积分的值。
梯形法的计算公式为：(f(xi) + f(xi + Δx)) * Δx / 2，其中xi为小区间的左端点。
将所有梯形的面积相加，得到近似的定积分值。
四、辛普森法辛普森法是一种更加高阶的数值积分方法，它使用三个点对应的函数值来逼近曲线。
将每个小区间看作一个二次函数，可以通过拟合这个二次函数来近似定积分的值。
辛普森法的计算公式为：(f(xi) + 4 * f(xi + Δx/2) + f(xi + Δx)) * Δx / 6，其中xi为小区间的左端点。
数值计算方法数值积分与微分方程数值解
数值计算方法数值积分与微分方程数值解数值计算是计算数值结果的一种方法，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
数值计算方法涉及到估算数学问题的解，其中包括数值积分和微分方程数值解。
本文将分别介绍数值积分和微分方程数值解的基本原理和常用方法。
一、数值积分数值积分是通过数值计算方法来估计函数的积分值。
积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域的问题求解中。
传统的积分计算方法，如牛顿-柯特斯公式和高斯求积法，需要解析求解被积函数，但是对于大多数函数来说，解析求解并不容易或者不可能。
数值计算方法通过离散化被积函数，将积分问题转化为求和问题，从而得到近似的积分结果。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
1. 梯形法则梯形法则是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形的面积来近似原函数的面积，最后将所有小区间的梯形面积相加得到近似积分值。
2. 辛普森法则辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用一个二次多项式来近似原函数，最后将所有小区间的二次多项式积分值相加得到近似积分值。
3. 复化求积法复化求积法是一种将积分区间进一步细分的数值积分方法。
通过将积分区间划分为更多的小区间，并在每个小区间上应用辛普森法则或者其他数值积分方法，可以得到更精确的积分结果。
二、微分方程数值解微分方程是描述自然现象中变化的数学模型。
求解微分方程的解析方法并不适用于所有的情况，因此需要利用数值计算方法来估计微分方程的解。
常见的微分方程数值解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是最简单的微分方程数值解方法之一。
它通过将微分方程离散化，将微分运算近似为差分运算，从而得到微分方程的近似解。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进。
它通过使用两个不同的点来估计微分方程的解，从而得到更精确的近似解。
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第五章数值积分§5.0 引言§5.1 机械求积公式§5.2 Newton-Cotes公式§5.3 变步长求积公式及其加速收敛技巧§5.4 Gauss公式§5.5 小结§5.0 引 言1. 定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:()()()ba f x dx Fb F a =-⎰其中F (x )是f (x )的原函数之一，可用不定积分求得。
然而在实际问题中，往往碰到以下问题： (a) 被积函数f (x )是用函数表格提供的；(b)被积函数表达式极为复杂，求不出原函数，或求出原函数后，由于形式复杂不利于计算； (c)大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如210x edx -⎰，概率积分10sin xdx x ⎰, 正弦型积分222224()1sin Irx H x d r x r πθθ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭⎰回路磁场强度公式等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。
2 所谓数值积分就是求积分近似值的方法。
而数值积分只需计算()f x 在节点(1,2,,)i x i n =上的值，计算方便且适合于在计算机上机械地实现。
§5.1 机械求积公式1 数值积分的基本思想 区间[a ,b ]上的定积分()ba f x dx ⎰，就是在区间[a,b]内取n+1个点01,,,n x x x ，利用被积函数f (x )在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求定积分的值，即()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。
其中,x k 称为积分节点，A k 称为求积系数。
因此，一个数值积分公式关键在于积分节点x k 的选取和积分系数A k 的决定，其中A k 与被积函数f(x)无关。
称为机械求积公式。
1.1 简单算例说明 例1 求积分1()x xf x dx⎰此积分的几何意义相当于如下图所示的曲边梯形的面积。
解：（1） 用f (x )的零次多项式00()()y L x f x ==来近似代替()f x ,于是，1100001()(()))(x x x x f x dx f x dxf x x x ≈=-⎰⎰（为左矩公式）推广:1101110()()()()x x x x f x dx f x dxf x x x ≈=-⎰⎰（为右矩公式）110010110()()2()()2x x x x x x f x dx f dxx x f x x +≈+=-⎰⎰（为中矩公式） （2） 用f (x )的一次多项式011010110()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- 来近似代替()f x ,于是，[]1011101011010011()()1()()(()())2x x x x x x x x x x f x f x dx x x x x x f x dx L x dxx f x f x ⎛⎫--=+⎪--⎝⎭=-+≈⎰⎰⎰（为梯形公式）（3） 用f (x )的二次插值多项式,其中01x x x '<<011200010101101()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x L x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x '----'=+'''----'--+'--来近似代替()f x ,于是，112()()x x x x f x dx L x dx≈⎰⎰特别地：当011()2x x x '=+时，有10100101()()()4()()62x x x x x x f x dx f x f f x -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰（为Simpson 公式）2 代数精确度定义：若积分()baf x dx ⎰的数值积分公式0()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰对于任意一个次数不高于m 次的多项式都精确成立，且存在一个m+1次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精确度为m 。
对于代数精确度为m 的求积公式，若f (x )是不超过m 次的代数多项式，求积公式是精确成立的。
2.1 算例 例1: 有积分公式:[]11112012()()()()f x dx f f f -≈-++⎰求该积分公式的代数精确度。
这个求积公式的几何意义是曲边梯形的面积近似地用两个梯形面积来代替。
-1 01XYf(-1)f(1)f(0)解：(1)取f (x )=1，定积分1112 dx -=⎰,而数值积分[]112122++=，两端相等；(2)取f (x )=x ，定积分110xdx -=⎰,而数值积分1120102()⎡⎤⎣⎦-+⨯+=，两端相等； (3)取2()f x x =，定积分12123x dx -=⎰,而数值积分221120112()⎡⎤-+⨯+=⎣⎦，两端不相等； 只要取f (x )=1，f (x )=x 验证了上述求积公式精确成立，就意味着对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；而取2()f x x =时求积公式不精确成立，也就是存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精确度为1。
例2：在如下求积公式中，求积分节点12,x x 和相应的求积系数12,A A 使其代数精确度尽可能高。
111221()()()f x dx A f x A f x -=+⎰解：(1) f (x )=1,11 1 2dx -=⎰,而数值积分为12A A +；得到方程122A A +=；(2) f (x )=x ，11 0x dx -=⎰，而数值积分为1122AxA x +； 得到方程11220Ax A x +=；(3)2()f x x =，1212 3x dx -=⎰，而数值积分为221122A x A x +；得到方程22112223A x A x +=；(4)3()f x x=，1310x dx -=⎰，而数值积分为331122A x A x +；得到方程3311220A x A x +=；综合上述方程：1211222211223311222 (1)0 (2)2 (3)30 (4)A A A x A x A x A x A x A x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 解得:1211,33x x =-= 121A A ==。
于是我们得到积分公式1111()()()33f x dx f f -=-+⎰。
再取4()f x x =，有14125x dx -=⎰，而数值积分为44112933⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两式不相等，求积公式不精确成立了。
所以，该积分公式的代数精确度为3。
§5.2 Newton-Cotes 公式1 公式的推导Newton-Cotes 公式是由拉格朗日插值公式推导出来的数值积分公式。
将区间[a ,b ]等分n 等份,记b a h n-=,分点为k x a kh =+,k=0,1,...,n ,这n+1个节点上的函数值为(),0,1,,k f x k n =,从而区间[a ,b ]上的拉格朗日插值多项式为()()()nn k k k L x f x l x ==∑其中,()k l x 为插值基本多项式,与函数f (x )无关,k=0,1,...,n 。
()()bbn aaf x dx L x dx ≈⎰⎰()()n bk k a k f x l x dx =∑⎰=00()()()nb k k a k nk k k l x dx f x A f x ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=∑⎰∑由于插值结点是等距节点，故插值多项式可以进一步化简: 因为 k x a kh =+，x a th =+故()k j x x k j h -=-，()j x x t j h -=-011011()()()()()()()()()n k k k n k k k k k k x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=----(1)(1)(1)()(1)(1)(1)()t t t k t k t n k k k k k k k n --+---=--+---0,(1)()!()!nn k j j k t j k n k -=≠-=--∏因()bk k aA l x dx =⎰，作积分变量代换x a th =+，b adx hdt dt n-==，当x a =时，t=0；当x=b 时，t=n ；故00,()1(1)()!()!nn j j k n k k b a t j dt A n k n k =≠----=⋅-∏⎰记()(),0,1,,n k k A b a C k n =-=，我们称()n k C 为柯特斯（Cotes ）系数，它不仅与函数f (x )无关，而且与积 分区间[a ,b ]无关。
例如：当n=1时 (梯形积分公式中的系数)11(1)00(1)1(1)0! 1!2C t dt -=-=⎰,01(1)10(1)1(0)1! 0!2C t dt -=-=⎰;当 n=2时 (抛物线积分公式中的系数)22(2)00(1)1(1)(2)0! 2!26C t t dt -=--=⋅⎰,12(2)10(1)2(0)(2)1! 1!23C t t dt -=--=⋅⎰,02(2)20(1)1(0)(1)2! 0!26C t t dt -=--=⋅⎰;当n=3时 (3/8积分公式中的系数)33(3)00(1)1(1)(2)(3)0! 3!38C t t t dt -=---=⋅⎰， 23(3)10(1)3(0)(2)(3)1! 2!38C t t t dt -=---=⋅⎰，13(3)20(1)3(0)(1)(3)2! 1!38C t t t dt -=---=⋅⎰，03(3)30(1)1(0)(1)(2)3! 0!38C t t t dt -=---=⋅⎰；于是，由柯特斯（Cotes ）系数()n k C 公式出发，我们得到n 阶Newton —Cotes公式：()()()()nbn k k ak f x dx b a C f x =≈-∑⎰。
2 低阶公式及其余项常用的Newton —Cotes 公式 a) 梯形公式 n=1时，积分节点为0x a =，1x b =，则数值积分公式为：[] ()()()2bab af x dx f a f b -≈+⎰其几何意义是曲边梯形的面积()baf x dx ⎰近似地用梯形面积[]()()2b af a f b -+来代替。