数值积分方法详解
数值积分
1.183 215 957
1.264 911 064
0.125267 7 101
0.16571813 101
0.4
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.358 212 600
1.435 132 919 1.508 966 254 1.580 338 238 1.649 783 431 1.717 779 348 1.784 770 832
上式称为欧拉公式，或称为矩形法。若已知初值，就可以经过上式的 迭代计算求得近似值。
f ( x)
o
a
b
x
yy = f ( x) Nhomakorabeaf2f1
f...
fn
O
a
b
x
梯形法
基于欧拉思想的近似思想，我们现用梯形的面积来代替前面的矩形面积，可以得到梯 形公式
h yn 1 yn ( K1 K 2 ) 2
yn1 i yni h i f n i
i 0 i 1
k 1
k 1
i , i 均为待定系数。如果 1 0 ，且上式的右端不含 式中 fi f ( yi , ti ) ， 有 y n 1，公式称为显式。如果 1 0 上式的右端含有 yn 1 ，称为隐式 公式。
欧拉法
欧拉法（Euler）是最简单的一种数值积分法。虽然它的计算精度较低，实际中很 少采用，但推导简单，能说明构造数值解法一般计算公式的基本思想。 已知一阶微分方程 dy
f (t , y ) dt y (t 0 ) y0
tn1 tn
y(tn1 ) y(t n )
ki f (t ci h, y(t ) h a j k j )(i 1, 2,3,......, r )
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
几种常用数值积分方法的比较汇总
几种常用数值积分方法的比较汇总
一、高斯求积分法（Gauss Integral）
高斯求积分法是指求解开放空间或有界空间中函数两端点之间定积分
问题，它是一种基于特殊积分点来计算定积分值的方法，它可以更快捷的
计算数值积分。
高斯求积分法比较重要的地方就在于能够把复杂的问题转
化为可以用简单的数学工具来解决的简单问题。
优点：
1.高斯求积分法的计算精度可以达到非常高的水平；
2.具有高计算效率；
3.数值精度和积分精度可以根据具体问题的复杂性来进行控制；
4.高斯求积分法可以有效地解决复杂的定积分问题。
缺点：
1.在求解特殊函数时存在计算误差；
2.对于复杂的非线性函数，高斯求积分法的精度受到影响；
3.对于曲面积分，存在计算量大的问题。
二、拉格朗日积分法（Lagrange Integral）
拉格朗日积分法（Lagrange Integral）是指用拉格朗日插值的思想，把定积分问题转化为离散化之后更容易求解的多项式求值问题，从而求解
定积分问题的一种数值积分法。
优点：
1.拉格朗日插值可以得到准确的原函数，准确性较高；
2.具有一定的计算效率，计算速度快；
3.在求解特定函数的定积分过程中，拉格朗日积分法可以提高精度。
缺点：。
python数值积分
python数值积分Python是一种高级编程语言，广泛用于科学计算和数据分析。
在数学和科学计算领域，数值积分是一个重要的问题。
数值积分是指用数值方法计算函数的定积分，即给定一个函数$f(x)$和积分区间$[a,b]$，求$int_a^bf(x)dx$的近似值。
本文将介绍Python中常用的数值积分方法和库。
一、数值积分方法1.矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它的思想是将积分区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$h=frac{b-a}{n}$，然后用函数在小区间中点的函数值$f(frac{a+i*h}{2})$来近似表示小区间的面积，从而得到整个积分区间的近似值。
具体公式为：$$int_a^bf(x)dxapproxhsum_{i=0}^{n-1}f(frac{a+i*h}{2})$$矩形法的优点是简单易懂，容易实现。
但是它的精度较低，误差较大。
2.梯形法梯形法是一种比矩形法更精确的数值积分方法。
它的思想是将积分区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$h=frac{b-a}{n}$，然后用小区间两端点的函数值$f(a+i*h)$和$f(a+(i+1)*h)$来近似表示小区间的面积，从而得到整个积分区间的近似值。
具体公式为：$$int_a^bf(x)dxapproxfrac{h}{2}sum_{i=0}^{n-1}[f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h)]$$梯形法的优点是比矩形法更精确，误差较小。
但是它的计算量较大，对于复杂函数和大量数据，可能需要较长的计算时间。
3.辛普森法辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的思想是将积分区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$h=frac{b-a}{n}$，然后用小区间两端点和中点的函数值$f(a+i*h)$，$f(a+(i+1)*h)$和$f(frac{a+i*h+a+(i+1)*h}{2})$来近似表示小区间的面积，从而得到整个积分区间的近似值。
数值计算中的数值积分方法
数值计算中的数值积分方法数值计算是应用数学的一个分支，它主要涉及数值计算方法、算法和数值实验。
其中，数值积分作为数值计算中的一个重要环节，其作用在于将连续函数转化为离散的数据，从而方便计算机进行计算和处理。
本文将介绍数值积分的概念、方法和应用。
一、数值积分的概念数值积分是利用数值方法对定积分进行估计的过程。
在数值积分中，积分被近似为离散区间的和，从而可以被计算机进行处理。
数值积分中，被积函数的精确的积分值是无法计算的，而只能通过数值方法进行估计。
数值积分的目的是通过选取合适的算法和参数来尽可能减小误差，达到精度和效率的平衡。
二、数值积分的方法1. 矩形法矩形法是数学上最简单的数值积分方法之一。
矩形法的算法是将要积分的区间分为若干个小区间，然后计算每个小区间中矩形的面积，最后将所有小矩形的面积加起来得到近似的积分值。
矩形法的精度一般较低，适用于计算不需要高精度的函数积分。
2. 梯形法梯形法是数值积分中常用的一种方法，其原理是将区间分为若干个梯形，并计算每个梯形的面积，最后将所有梯形的面积加起来得到近似的积分值。
梯形法的计算精度较高，但其计算量较大。
3. 辛普森法辛普森法是数值积分中一种高精度的方法，它是利用二次多项式去估计原函数。
辛普森法的原理是将区间分为若干等分小区间，并计算每个小区间中的二次多项式的积分值，最后将所有小区间的积分值加起来得到近似的积分值。
辛普森法的优点是其精度高，计算量相对较小。
三、数值积分的应用数值积分方法在各个领域都有广泛的应用。
例如，它可以被用于工程学、物理学和金融学中的数值计算。
在工程学中，数值积分被用于数值模拟和计算机辅助设计中。
在物理学中，数值积分则被用于数值求解微分方程和计算机模拟等领域。
在金融学中，数值积分则被应用于计算复杂的金融模型和风险分析。
总之，数值积分方法是数学和计算机科学中非常重要的一部分。
通过不同的数值积分方法来近似计算定积分，我们能够利用计算机更加高效地进行数学计算和数据分析，从而使得数学和物理等学科的研究者能够更加快速地得出准确的结果。
数值积分使用数值方法计算定积分
数值积分使用数值方法计算定积分定积分是数学中的重要概念，用于求解曲线下面的面积。
在某些情况下，定积分无法通过解析解来求解，此时可以使用数值方法来进行近似计算。
数值积分是一种广泛应用的技术，本文将介绍数值积分的基本原理以及常见的数值方法。
一、数值积分的基本原理数值积分的基本原理是将曲线下的面积近似为若干个矩形的面积之和。
假设要计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，首先将[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n。
然后，在每个小区间上选择一个代表点xi，计算其对应的函数值f(xi)，然后将所有矩形的面积相加，即可得到近似的定积分值。
二、矩形法矩形法是数值积分中最简单的方法之一。
它将每个小区间上的函数值看作是一个常数，然后通过计算矩形的面积来近似定积分的值。
矩形法主要有两种形式：左矩形法和右矩形法。
1. 左矩形法左矩形法使用小区间左端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
即近似矩形的面积为f(xi) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
然后将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
2. 右矩形法右矩形法与左矩形法相似，仅仅是使用小区间右端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
近似矩形的面积为f(xi + Δx) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
同样地，将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
三、梯形法梯形法是比矩形法更精确的数值积分方法。
它通过使用每个小区间的两个端点处函数值的平均值来代表整个小区间上的函数值，并计算梯形的面积来近似定积分的值。
梯形法的计算公式为：(f(xi) + f(xi + Δx)) * Δx / 2，其中xi为小区间的左端点。
将所有梯形的面积相加，得到近似的定积分值。
四、辛普森法辛普森法是一种更加高阶的数值积分方法，它使用三个点对应的函数值来逼近曲线。
将每个小区间看作一个二次函数，可以通过拟合这个二次函数来近似定积分的值。
辛普森法的计算公式为：(f(xi) + 4 * f(xi + Δx/2) + f(xi + Δx)) * Δx / 6，其中xi为小区间的左端点。
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法一、梯形法则（Trapezoidal Rule）：梯形法则是一种常见的确定积分的数值计算方法。
它的基本思想是通过将函数曲线上的曲线段看作是一系列梯形，然后计算这些梯形的面积之和来近似表示定积分的值。
具体来说，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每个小区间内的梯形面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
梯形法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/2 * (f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + ... + 2f(a+(n-1)h) + f(b))梯形法则的优点是简单易懂，容易实现，并且对于一般的函数都能达到较好的近似效果。
然而，它的缺点是精度较低，需要较大的划分数n才能得到较准确的结果。
二、辛普森法则（Simpson's Rule）：辛普森法则是一种比梯形法则更高级的确定积分方法，它通过将函数曲线上的曲线段看作是由一系列抛物线组成的，然后计算这些抛物线的面积之和来近似表示定积分的值。
与梯形法则类似，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每两个相邻小区间内的抛物线面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
辛普森法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/3 * (f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) +4f(a+3h) + ... + 2f(a+(n-2)h) + 4f(a+(n-1)h) + f(b))辛普森法则相较于梯形法则具有更高的精度，尤其对于二次或更低次的多项式函数来说，可以得到非常准确的结果。
但是，辛普森法则在处理高次多项式或非多项式函数时可能会出现误差较大的情况。
三、高斯求积法（Gaussian Quadrature）：高斯求积法是一种基于插值多项式的数值积分方法。
数值积分方法
(b a)3 12n 2
f (),
[a,b]
5.2.2 复化Simpson公式：
★ 计算公式
将[a, b] 2m 等分, m 为积分子区间数，记 n = 2m，n+1
为节点总数 ，h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih,
i = 0,1,2,…,n,
在[a, b]上恒为正时，f ( x)在[a, b]上为凹，表示梯形的面积大
于曲边梯形的面积，此时（5.2）式计算出的值比积分
b
f ( x)dx
a
的值大.
二、Simpson公式 n=2时的求积公式
将 [a, b] 二 等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2，
x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多
b x bdx 1 (b a) a ab 2
1
b
a l1( x)dx
b x adx 1 (b a) a ba 2
b
a
f
( x)dx
ba 2
f
(a)
f
(b)
T(f)
(5.2)
这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近 似计算公式，称为梯形数值积分公式。
第五章 数值积分方法
问题提出
计算
I
b
f ( x)dx
F(a) F(b)
a
但是在许多实际问题经常遇到下列情况：
（1）原函数存在但不能用初等函数表示；
（2）原函数可以用初等函数表示，但结构复杂；
（3）被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表。
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连续系统仿真：数值积分法2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@2第二章连续系统仿真：数值积分方法⏹2.1 数值积分的基本概念⏹2.2 龙格-库塔方法⏹2.2.1 二阶RK 方法⏹2.2.2 四阶RK 方法⏹2.2.3 多步法⏹2.3 数值计算稳定性分析2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@3问题描述()(),(),()()t t t t t f x A u B u x =+()()()()()()t t t t t t =+⎧⎨=+⎩xAx Bu y Cx Du 000,(),t t =x x 求:x (t )= ?，t ≥t 0(2-1)(2-2)对比上面两个问题,有:y (t )是x (t ) u (t )的线性组合。
解出x (t )，就可计算出y (t )。
x (t )由状态方程决定。
数学上的微分方程的初值问题。
已知: (1)状态方程(2)初值(3)输入u (t ) ，t ≥t 0求: 系统的输出y (t )= ?, t ≥t 0已知: (1)微分方程(2)初值()()(),dx t f x t t dt=000,(),t x t x =2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@ 42.1 数值积分法的基本原理微分方程的求解：(1) 解析方法:只能求解一些特殊类型的方程.《高等数学》(2) 数值解法:大部分的实际问题采用. 《计算方法》,《数值分析》差分方法是一类重要的数值解法.⏹1 数值积分法的原理0()(),(0)xt ax t x x == 0()at x t x e =解析解:描点t = [0, 1, 2, 3, 4, 5 ]x =[1, e -1,e -2,e -3,e -4,e -5]1234500.10.20.30.40.50.60.70.80.91tx (t )e -t为分析理解，作出函数的图形.取a = -1, x 0=1, 则()tx t e -=2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@ 52.1 数值积分法的基本原理取点更密集一些，例如每隔0.25取一个点，0.511.522.533.544.5500.10.20.30.40.50.60.70.80.91tx (t )e-t00.51 1.522.533.544.550.10.20.30.40.50.60.70.80.91tx (t )e -tt =[0, 0.25, 0.5, …]2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@ 62.1 数值积分法的基本原理⏹1 数值积分法的原理⏹数值解法，就是寻求x=x (t )在一系列离散点t 1,t 2, …t k 上的近似解x 1, x 2, …,x k (此即数值解) .离散点满足：t 1 <t 2 < t 3 < …< t k < …⏹根据已知的初始条件x 0，采用“步进式”逐步递推的方法，依次计算出各时刻的数值x i .⏹差分格式：⏹由…x k -1, x k 计算x k +1的公式. x k +1＝？⏹在仿真课程中，称为仿真模型2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@72.1 数值积分的基本原理001001121122111(1) ()(2)()(3)()()()k k k k k x t x t t h x t x t t h x t x t t h x t x +++==+≈=+≈=+≈已知初值 计算时刻的数值解 计算时刻的数值解 计算时刻的数值解 注1：步长:注2：一般计算中，h 0=h 1=h 2=…=h k =h ,等步长(固定步长)算法.注3：x (t k ) 表理论解,是精确的．x k 表示近似的数值解，含有误差（舍入误差和截断误差）．1k k kh t t +=-数值积分求解的步骤：2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@ 82.1 数值积分的基本原理2 欧拉(Euler)法微分方程(式2-2)的计算难点,在于其含有微分项. 因此要设法消除微分项,这就是数值计算中的离散化. 方法:用差分代替微分.取t = t k ，也即在t k 时刻, 微分方程变为：()()(),k k k dx f x t d t tt =2.1 显式格式: 一阶向前差分代替导数项1()()()k k k x t x t dx t dt h +-≈()1()()(),k k k k x t x t h f x t t +≈+⋅()1,k k k k x x h f x t +=+⋅用x k 表示计算得到的近似值状态方程的仿真模型：[]1k k k k x x h Ax Bu +=+⋅+(2-3)上式变成代数方程，2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@10gk=1;gT=0.5;tk = 0 ;% 系统时钟，初始时刻t 0= 0xk = 0;% 状态x k ≈x (t k ), 初始状态x 0= 0u0=100; % 输入信号u= 100 * 1(t)h = 0.05; % 仿真步长timeend = 6*gT; % 仿真时间长度a = 1 -h/gT; b = gk*h/gT;% 为了plot 作图, 状态x ,时种t 分别保存到数组t_eu1, x_eu1t_eu1(1)=tk; x_eu1(1)=xk;for( ih = 2 : timeend/h +1 ) % ih 是循环变量, 也表示数组的下标tk = tk + h;uk = u0;xk = xk * a + b * uk;x_eu1(ih) = xk;t_eu1(ih) = tk;end;figure()；plot(t_eu1, x_eu1, ‘b’); % 蓝色线，数值解例2.1 采用欧拉方法的MATLAB 仿真程序2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@12分析：1) 红线表示理论解析解，蓝线表示欧拉法的仿真结果。
两线没有重合，说明计算存在误差．误差范围[5%-0.06%]例2-1 仿真结果分析2) 如何减小误差？h 越小，差分越趋向于微分；减小h , 可以减小误差．2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@13分析：1) h=0.02, 红线与蓝色线重合度高。
表明仿真解的误差减小．误差范围[2%-0.005%]例2-1 仿真结果分析2)还有没有其他减小误差的方法呢？研究其他数值积分方法2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@142.1 数值积分的基本概念欧拉公式的几何理解(之1) :从导数的概念理解：欧拉公式是一种折线近似. 看下图：t x0x 1x 2x 1t 2t kt 1k t +3t 0A1A 2A 3A kx 1n x +1k A +()()x x t =精确值未知的k x x =数值计算()010000011011100000110001111()(),(,).-(,)..[,)](, A A x t xt f t x A A t t h A x x x hf A A x t t t A t x t A t x t x ==+ 做直线,斜率为在的一阶导数即，直线与横坐标交于点，也即：欧拉公式是以直线来近似纵坐标就是纵轴方向的增量:＝对比发现上代替精确的在已知点()，求式就是欧时刻的点区间的式：拉公曲线段。
11211122122(,).A A A f t x A A t t h A x =+再在点做线段，斜率为在时刻时的位置，求得。
12n A A A 依此类推得到，，，表示2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@17局部截断误差:在x k 假定为准确的前提下(即x k =x (t k )),计算得到的x k +1(记作), 与精确值x (t k +1)的差.(只考虑第k 步的误差)2.4 欧拉格式的精度总体截断误差:它描述了从x 0, x 1, x 2,…计算到x k ，k 步误差的积累。
1ˆk x+(),0,1,2,k k ke x t x k =-= 111ˆ()k k k T x t x +++=-如果其局部截断误差为O (h r +1)，其总体截断误差为O (h r )。
收敛性: 对于如果表明当h 足够小时，x k 与x (t k )充分接近，数值解x k 收敛于精确值x (t k )则称该计算方法是收敛的。
(),1r k e O h r =≥0,0k h e →→当有r 阶方法：一个方法，它的总体截断误差若为O (h r )，则它的精度是r 阶的，称其为r 阶方法。
2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@182.4 欧拉格式的精度1. 欧拉公式(2-3):()()1ˆ,()(),()()k k k k k k k k k x x h f x t x t h f x t t x t h x t +'=+⋅=+⋅=+⋅21()()()()()2k k k k h x t x t h x t h x t x ξ+'''=+=++⋅⋅根据泰勒公式,精确值x (t k +1)精确值为:()0221122ˆ()():max ()2nk k t t h x t xx h M M x ξξξ++≤≤''''-=≤=⋅⋅注单步显式的欧拉公式的精度是一阶的.因为前向差分与后向差分的精度相同,所以隐式的欧拉公式也是一阶精度的.局部截断误差()1,k k k k x x h f x t +=+⋅2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@202.1 数值积分的基本概念000011000102211121100001()()()()(,),,()()(,)(),()()(,)(),()()(,(,)(,))(()tk t k k k k x t x t x t x t f x t t t x f x t dtt t t t x t x t f x t t t t t x t x t f x t t t t t x t x t f x t t f x t t t ++=+≈+=≈+-=≈+-=≈+--⎰当的时候，在几何意义上，上式右侧的红色部分，是由，,轴所围成的面积。
有有 很小 有 1)k k t +-欧拉公式采用矩形面积表示定积分。
如果采用梯形面积，则更准确一些。
欧拉公式的几何理解(之2) 数值积分求解角度，如何计算x (t )?考虑高等数学中的定积分公式：2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@212.1 数值积分的基本概念⏹3 梯形公式: 欧拉法用矩形的面积表示积分项。
更精确一些，可以用梯形的面积来表示积分项。
梯形差分格式是:[]1111(,)2(,)k k k k k k x x h f x t f x t +++=++()()1111()()(),2(),k k k k k k f x t x t h x t x t f t t +++⎡⎤≈++⎣⎦(2-6)状态空间模型:()()1111()()2k k k k k k Ax Bu x x h Ax Bu t t +++⎡⎤=++++⎣⎦现在是t k 时刻, x k , f (x k , t k )已知，求x k +1.而x k +1出现在等式的两端，故梯形格式是隐式的,计算比较复杂.2012-11-26控制系统建模与仿真rjliu@222.1 数值积分的基本概念⏹3 改进的欧拉公式: 先用欧拉公式预报出x k +1的近似值,再把这个近似值代入梯形公式,再利用梯形公式计算x k +1的校正值.()()1111(,),,2k k k k k k k k k k x h f x t hx x f x t f t xx ++++=+⋅⎧⎪⎨⎡⎤=++⎪⎣⎦⎩ 预报公式校正公式()()1211111211(,) ,2k k k k k k k k k k K f x t x h K f t t h hx K x x K K x t +++++=⎧⎪=+⎧⎨=⎨⎪=+⎩⎩=++ 其中因为f (·)是x 对t 的一阶导数,它的几何意义表示斜率.因此，有(2-7)(2-8)总体截断误差O (h 2)，精度是二阶的．在实时仿真的应用中较多.3.1 表示形式1：本式与RK4表示形式，是统一的。