2018~2019学年浙江杭州西湖区杭州学军中学高二下学期期中数学试卷(详解)
，
则
．
所以 关于 递增，故
．
解法 ： 同解法 ，得
．令
，则Biblioteka ．由及得
康 ，
．又
，所以
． 设
智，
则
，故 递减，
故
爱 ，即
．
思
而
学
/
不可能为直角三角形，③错
误；
当 、 分别为 、 中点时，平面
重合， 与 重合时，平面
与平面
智 与平面 所成的角为 ，当
所成的锐二面角最大，为
与
，等于 ．∴平面 ∴正确的是①②④． 故答案为：①②④．
与平面
爱所成的锐二面角范围为
，④正确，
16. 一条街道上有
思 盏路灯，将路灯依次排列并编号
．有关部门要求晚上这 盏路灯中相邻
A. 相等
B. 互补
C. 无关
D. 相等或互补
【答案】 D
【解析】
A
康
智
B
爱 D C
设二面角的棱为 ，自二面角内一点分别向两个面引垂线，两条交线确定的平面与已
思 知平面的交线分别为 ， ，则 平面
，
为二面角的平面角，由
四边形的内角和为 ，可知
与
互补，
∴自二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角互补或相等(
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（2）
．
【解析】（ 1 ）在菱形
中，设
康 智 所成角的正弦值． 爱， 是 的中点，
思 又∵
，
， ．
而 ∴
∴
，
又∵ 在底面
， 的射影 是
学∴
平面
又∵
平面
， ，
∴
，
的中点，
而
，，
平面
，
∴ 平面
，
又
平面 ，
∴平面
平面 ．
（ 2 ）过 作
，连接 ，
/
∵
平面
，
平面
，
∴
，
又∵ ，
（ 2 ） 在组成的五位数中，数字 和 相邻的个数有多少？
， 上单调
（ 3 ） 在组成的五位数中，若从小到大排列，
排第几个？
【答案】（ 1 ） 个． （ 2 ） 个． （ 3 ） 第 个．
【解析】（ 1 ）奇数则个位有 个选择，
/
首位不是 ，则有 个选择，
根据分步乘法原理共有
个．
（ 2 ） 与 相邻，内部捆绑，看作一个数，
的两盏灯不能全开，且这 盏路灯中至少打开两盏路灯，则符合要求的开法总数是
．
【答案】
而
【解析】 由题意，至多打开 盏路灯，
学若打开 盏路灯，相当于在 盏不亮的路灯之间不相邻插入 盏打开的路灯，共有 种开法；
若打开 盏路灯，共有
种开法；
若打开 盏路灯，共有
种开法；
若打开 盏路灯，共有
种开法；
故共有
种开法．
，即
康对
恒成
对
恒成
立，则
综上，
或
（ 2 ） 解法 ： 由
智 恒成立，所以
．
．
且
得
，
此时设方程 因为
的两根为 ，所以
爱，
，则
．
，
．
由
，且
得
．
思
．
而 由
得
，代入上式得 ．
学令
，所以
，
．设 ，所以 为减函数．
，则
从而
，即
所以
．
解法 ： 由
且
此时设方程
即
则
，
，
．
，
得
，
的两根为 ，
，即
，
， ．
/
．
．
令
，则
，
【答案】（ 1 ）
是
与
的最小值．
．
的等比中项，求
（2） ．
【解析】（ 1 ）∵
，
∴
．
又抛物线 的焦点为 ，
∴，
∴
，
/
∴
，
∴椭圆
．
（ 2 ）∵ 是
与
的等比中项，
∴
，
即
，
∴直线 ．
又直线 ， 斜率均存在，
∴两直线斜率均不为 ．
故可设 ，
，
，
，
，
由
，得
．
康 ． ，
∴ 同理得
， ，
智 ． ，
∴
爱 ．
∴
思．
此时面积最大，
；
当
面 时，射影面的面积最小，
此时构成的图形为底边是 ，高为 的三角形，
．
14. 已知双曲线
（
标为
，渐近线方程为
）的其中一条渐近线经过点 ．
，则该双曲线的右顶点的坐
【答案】
;
【解析】 双曲线 的渐近线方程为
，
又其中一条过点 ，
康
∴
，，
∴双曲线
，
∴右顶点坐标为
，渐近线方程为
故答案为：
；
．
，
在
处的切线方程为
．
而，
学令 则
∴
对
，
，
，
恒成立，
∴在
上单调递增，
又易得
，
∴当
时，
，
，在
上单调递减，
当
时，
，
在 上单调递增，
∴
，
又
，
/
，
∴
，
∴
，
∴ 在区间
上的取值范围为
．
20. 已知四棱锥
的底面
是菱形，
的射影， 是 的中点．
， 的中点 是顶点 在底面
（ 1 ） 求证：平面
平面 ．
（ 2 ）若
，直线 与平面
首位不是 ， 与 内部排列，
则共有
个．
（ 3 ） 小于 的五位数中， 或 做首位，
共
个，
而大于或等于 的五位数中，
第一个是
，
∴
是第 个．
19. 已知函数
．
康
（ 1 ）求 （ 2 ）求
的图像在点
处的切线方程．
在区间
上的取值范围．
智
【答案】（ 1 ）
．
（2）
．
【解析】（ 1 ）
爱，
∴ 又 ∴ （2）
思，
/
当 、 分别在 、 上运动时，若满足
，则线段 必过正方形
的中心 ，而
平面
，∴平面
平面
，①正
确；
当 、 分别在 、 上运动时，
的面积不变， 到平面
的距
离不变，∴棱锥
的体积不变，即三棱锥
的体积为定值，②正确；
若 为
为直角三角形，则必是以 ，而此时 ， 的长大于
康 为直角的直角三角形，但 的最大值
，∴
B. 条
C. 条
康 D. 无数条
【解析】 过 作
交
于点 ，连接 ．
智
爱
则有 平移
面 与
思 ，且 与平面
有且仅有一个交点．
相交．
而 故仅有一条直线 与平面
垂直．
7. 如图，矩形
中，
，
，沿对角线 将
折起，使 点在平面
内
学 的射影落在 边上，若二面角
的平面角的大小为 ，则 的值等（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
当 取值 时，
， ，…， ，可有 个三角形；
思 …
当 取值 时， 只能取 ，只有一个三角形． ∴所求三角形的个数为
．
9. 已知
而 是正四面体（所有棱长都相等的四面体）， 是
中点， 是
学 等分点，设 与 、
、
所成角分别为 、 、 ，则（ ）．
上靠近 的三
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 分别取 中点 ， 中点 ，连结 ， ， ， ， ，如图所示：
【解析】 ∵ 在平面
内的射影落在 上，
/
∴
面
，
∵
面，
∴面
面
，
∵
，
∴
面
，
又
，
∴
即为二面角
∴
．
故选 ．
的平面角，
8. 三边长均为正整数，且最大边长为 的三角形的个数为（ ）．
A.
B.
C.
康 D.
【答案】 C 【解析】 另两边长用 ， 表示，且不妨设
智 ，
爱 要构成三角形，必须
．
当 取值 时，
， ， ，…， ，可有 个三角形；
，当
时，
），
此时， 在
上递减，在
上递增，
/
∴
，
，
令
，
∴
，
∴ 在 上递增，在
上递减，
∴
，
∴
．
故选 ．
二、填空题（本大题共7题，共计36分）
11. 设 为虚数单位，则复数
的虚部为
，模为
．
康
【答案】 ; 【解析】 复数
则其虚部为 ，模为 故答案为： ； ．
智 ， ． 爱
12. 过原点作曲线 【答案】
;
思 的切线，则切点的坐标为
5. 抛物线
而 的补角)．
的焦点为 ，弦 过 ，原点为 ，抛物线准线与 轴交于点 ，
A.
学，则 B.
等于（ ）．
C.
D.
【答案】 D
浙江省杭州高中2018学年高二数学下学期期中考试
杭高2018学年第二学期期中考试高二数学试卷（文科）注意事项：1．本卷考试时间90分钟，满分100分。
2．本卷答案一律做在答卷页上，不得使用计算器。
一、选择题（每题3分）1、设a R，且(a i)2i为正实数，则a（）A．2B．1C．0D．12、若x(e1，1)，a lnx，b2lnx，c ln3x，则（）A．a<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a 3、函数f(x)lnx ax(a0)的单一增区间为（）A．(0,1)B．(1,)C．0,)D．(0,a)a a4、直线xcos+y-1=0(∈R)的倾斜角的范围是（）A．[0,)B．[4,3)C．[0,]D．[0,][3,) 44445、已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．x2+y2-2x-3=0B．x2+y2+4x=0C．x2+y2+2x-3=0D．x2+y2-4x=06、如图是函数f(x)x3bx2cx d的大概图象，y则x12x22等于（）x2 A2B4C8D12o x112x 33337、两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为（A．1B．2C．3D．41x8、已知函数f x log2x，若实数x0是函数f x的零点，且0x1x0，则f x 31的值（）A．恒为正当B．等于0C．恒为负值D．不大于09、定义在R上的函数f(x)知足f(log2(1x),x0，则f（2018）的值为() x)=f(x1)f(x2),x0A．-1B．0C．1D．log2610、若对于x，y的方程组ax by1有解，且全部的解都是整数，则不一样的直线L：x2y21ax by 1(a,b R)的条数为二、填空题（每题4分）11、已知直线l 122且l1与l2平行，则实数a= :ax+2y+6=0和直线l:x+(a-1)y+a-1=0,、设直线ax y+3=0与圆（x-1）2y-2)2订交于、B两点，且弦AB的长为23，则12-+(=4Aa=13、设函数f(x)=x-1,对随意x [1,），f(mx)+mf(x)<0恒建立，则实数m的取值范x 围是________14、已知函数f(xx5的零点x0a,b，且b a1，a，b N，则x)3ab.15、对于随意实数x,y规定运算：xy=ax+by+cxy，此中a,b,c是常数，等式右侧的运算是常的加法和乘法运算。
浙江省杭州学军中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)
杭州学军中学2019学年第二学期期中考试高二数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数()()+1=f x cosx sinx 的导数是（ ）． A. 2+cos x sinx B. 2cos x sinx - C. 2cos x cosx + D. 2cos x cosx -【答案】B 【解析】 【分析】由乘法求导法则求出函数的导数，再进行化简即可. 【详解】由()()+1=f x cosx sinx 可得：22()sin (sin 1)cos cos cos sin sin cos 2sin f x x x x x x x x x x '=-++⋅=--=-故答案选B【点睛】本题考查乘积的导数法则，熟练掌握乘积的导数法则和导数公式是解决本题的关键，属于基础题.2.若函数()321f x x x mx +++=是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）．A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】若函数y=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，只需y′=3x 2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥13． 故选：C ．3.用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++L L ()*n N ∈，则从k 到1k +时,左边所要添加的项是（ ）．A. 121k + B.112224k k -++C. 121k -+D. 112122k k -++ 【答案】D 【解析】分析：根据式子的结构特征，求出当n=k 时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．详解：当n=k 时，等式的左边为111111...234212k k-+-++--，当n=k+1 时，等式的左边为11111111...234212212(1)k k k k -+-++-+--++，故从“n=k 到n=k+1”，左边所要添加的项是112122k k -++，故选D. 点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k 到n=k+1项的变化．4.自二面角内一点分别向两个平面引垂线，它们所成的角与二面角的大小关系是（ ）． A. 相等 B. 互补 C. 无关 D. 相等或互补 【答案】C 【解析】解：利用二面角的定义，可知二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角相等或者互补，选C5.如图：抛物线24y x =的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，135OFA ∠=︒，则tan ACB ∠等于（ ）．A.33B.223D. 22【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线焦点F 和准线方程l ，从而得到C 点坐标，由135OFA ∠=︒，可得直线AB 的方程，由AB 的方程与抛物线的方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点A 与点B 的坐标，然后利用向量来求解.【详解】由抛物线24y x =可得：焦点F 坐标（1，0），准线方程l 为：1x =-；∴C 点坐标为（-1，0）；又Q 弦AB 过F ，135OFA ∠=︒；∴直线AB 的斜率为1，方程为1y x =-，又Q 点A 与点B抛物线上∴两方程联立214y x y x =-⎧⎨=⎩，得到2610x x -+=，解得：113222x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，22322222x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩故点(322,22)A ++，点(322,22)B --；∴(422,222)CA →=++，(422,222)CB →=-- ∴1cos 3CA CB ACB CA CB→→→→⋅∠==⋅，由于(0,)ACB π∠∈，故222sin 1cos ACB ACB ∠=-∠=； sin tan 22cos ACBACB ACB∠∴∠==∠ ；故答案选D【点睛】本题考查抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查求根公式，最后利用向量的数量积求角的三角函数值是关键，属于中档题.6.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有（ ）条A. 0B. 1C. 2D. 无数个【答案】B 【解析】试题分析：过1A F 上的点作与平面ABCD 的平行平面，分别与线段1D E 与1C F 相交与,M N ，由面面平行的性质可得，MN 平行平面ABCD ，而这样的平面可以做无数个，故与平面ABCD 平行的直线MN 有无数条．考点：线面平行的判断．7.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，沿对角线BD 将ABD △折起，使A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角C AB D --的平面角的大小为θ，则sin θ的值等（ ）．A.34B.7437D.45【答案】A 【解析】 【分析】根据题意证明CD ⊥平面ABC 以及AB ⊥平面ACD 即可说明CAD ∠是二面角C AB D --的平面角，解CAD ∆即可得到答案.【详解】由A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上点O 处，故AO ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ；∴AO CD ⊥，Q 在矩形ABCD 中，CD BC ⊥，且AO 交BC 于点O ，CD \^平面ABC ，又AB Ì平面ABC ，故CD AB ⊥，又在矩形ABCD 中，DA AB ⊥，且CD 交DA 于D ，故AB ⊥平面ACD ； 又AC ⊂平面ACD ，故AB AC ⊥，由于CD AB ⊥，AB AC ⊥，平面CAB I 平面DAB AB =，AD ⊂平面ABD ，AC ⊂平面ACB ；∴CAD ∠是二面角C AB D --的平面角，即=CAD θÐ，在CAD ∆中，由CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，可知CD AC ⊥， 又矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，故3CD AB ==，4AD BC ==，故3sin 4CD AD θ== 故答案选A【点睛】本题考查二面角的平面角及求法，线面垂直的证明以及性质，其中求出二面角的平面角是解题关键，属于中档题.8.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有（）．A. 25个B. 26个C. 36个D. 37个【答案】C【解析】设三角形另外两边为X,Yx+y>11x-y<11x<11,y<11且均为整数所以x,y中有个数最大为11最小的整数为1，最大边为11x=1的时候1个x=2的时候2个x=3的时候3个x=4的时候4个x=5的时候5个x=6的时候6个x=7的时候5个x=8的时候4个x=9的时候3个x=10的时候2个x=11的时候1个所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．故选C。
【解析】浙江省杭州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题
2018学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选，错选均不得分 1.设集合{}1,2,4A =，{}3,4B =，则集合A B =（ ）A. {}4B. {}1,4C. {}2,3D.{}1,2,3,4【答案】A 【分析】利用交集的运算律可得出集合AB 。
【详解】由题意可得{}4A B ⋂=，故选：A 。
【点睛】本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题。
2.直线340x y ++=的斜率为（ ） A. 13- B.13C. 3-D. 3【答案】A 【分析】将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率。
【详解】将直线方程化为斜截式可得1433y x =--，因此，该直线的斜率为13-，故选：A 。
【点睛】本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法： （1）若直线的倾斜角为α且α不是直角，则直线的斜率tan k α=； （2）已知直线上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，则该直线的斜率为1212y y k x x -=-；（3）直线y kx b =+的斜率为k ；（4）直线()00Ax By C B ++=≠的斜率为A k B=-.3.函数()22log 1y x =-的定义城是（ ） A. {}1x x > B. {}1x x <C. {}1x x ≠D. R【答案】C 【分析】根据对数的真数大于零这一原则得出关于x 的不等式，解出可得出函数的定义域。
【详解】由题意可得()210x ->，解得1x ≠，因此，函数()22log 1y x =-的定义域为{}1x x ≠，故选：C 。
【点睛】本题考查对数型函数的定义域的求解，求解时应把握“真数大于零，底数大于零且不为1”，考查计算能力，属于基础题。
4.ABC ∆中，222a b c =+，则A ∠=（ ）A. 30°B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】D 【分析】利用余弦定理计算出222cos 2b c a A bc+-∠=的值，于此可得出A ∠的值。
2018~2019学年浙江杭州下城区浙江省杭州高级中学高二下学期期中数学试卷(详解)
而
俯视图
学 【答案】 ;
【解析】 由三视图可知该几何体为三棱锥， ，
，
故体积为 ，表面积为
．
14.
/
已知函数
集为
．
，则
；不等式
的解
【答案】 ;
【解析】 （ ）∵
，
∴
，
∴
．
故答案为： ．
（ ）当
时，
，
∴在
上单调递增，
又在
上单调递增，
∴ 在 上单调递增，
康
由 解得
得
，
．
智
15. 设曲线
值为
．
在点
爱 处的切线与 轴的交点的横坐标为
（ ）．
A.
B.
C.
【答案】 C
康 ，
则
智D.
【解析】 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴
爱 思
而 ∴
∴
．
8.
学 已知函数
，若对任意两个不相等的正数
成立，则 的取值范围为（ ）．
，
，都有
恒
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】
，
由于对任意两个不相等的正数 ， ，都有
∴
对
恒成立，
∴
，
，
/
∴
，
又
，
∴
，
故选 ．
9. 如图，在底面为正三角形的棱台
由
，
得 和 平行或异面，
所以由
推不出
，所以“
”是“
故选 ．
”的充分不必要条件．
/
4. 若变量 ， 满足约束条件
A.
B.
，则目标函数 C.
2018-2019学年人教A版浙江省杭州高级中学高二第二学期期中数学试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4} 2．命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是（）A．若a∉M，则b∉M B．若b∈M，则a∉MC．若a∉M，则b∈M D．若b∉M，则a∈M3．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若变量x，y满足约束条件，且z＝3x+y的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．85．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（x+1），那么f（﹣1）等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．26．函数y＝xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝bc，sin C＝sin B，则A＝（）A．30°B．60°C．90°D．120°8．已知函数，若对任意两个不相等的正数x1、x2，都有恒成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）9．如图，在底面为正三角形的棱台ABC﹣A1B1C1中，记锐二面角A1﹣AB﹣C的大小为α，锐二面角B1﹣BC﹣A的大小为β，锐二面角C1﹣AC﹣B的大小为γ，若α＞β＞γ，则（）A．AA1＞BB1＞CC1B．AA1＞CC1＞BB1C．CC1＞BB1＞AA1D．CC1＞AA1＞BB110．已知椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|＝4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2﹣e1的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题11．复数（i为虚数单位）的共轭复数＝，|z|＝．12．曲线的离心率为，渐近线为．13．已知某几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是，表面积是．14．已知函数，则f（f（ln2））＝，不等式f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为．15．设曲线y＝x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x2019的值为．16．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若，则∠AFB的最大值为．17．已知函数，则函数y＝f（g（x））﹣a 的零点最多有个．三、解答题18．已知函数．（1）求函f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，求函数y ＝g（x）在区间上的值域．19．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设g（x）＝．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．20．如图，已知四棱椎E﹣ABCD，△EAD是以AD为斜边的直角三角形，AE＝2，∠DAE＝60°，BC∥AD，AB＝BC＝CD＝AD，P是ED的中点．（1）求证CP∥平面ABE；（2）若CE＝，求直线CP与平面AED所成的角．21．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．22．函数．（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）设分别为函数f（x）的极大值和极小值，若s＝m﹣n，求s的取值范围．参考答案一、选择题1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4} 【分析】进行补集、交集的运算即可．解：∁U B＝{1，5，6}；∴A∩（∁U B）＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}．故选：B．2．命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是（）A．若a∉M，则b∉M B．若b∈M，则a∉MC．若a∉M，则b∈M D．若b∉M，则a∈M【分析】直接利用四种命题是逆否关系写出结果即可．解：否定没有的条件作结论，否定命题的结论作条件，即可得到命题的逆否命题．命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M．故选：B．3．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：∵m⊄α，n⊂α，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．4．若变量x，y满足约束条件，且z＝3x+y的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点C时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得x＝2，y＝﹣1，即C（2，﹣1），代入目标函数z＝3x+y得z＝3×2﹣1＝5．即目标函数z＝3x+y的最大值为5．故选：A．5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（x+1），那么f（﹣1）等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【分析】由函数在x＞0时的解析式可得f（1）的值，又由f（x）为奇函数，结合奇函数的性质，可得f（﹣1）＝﹣f（1），即可得答案．解：根据题意，f（1）＝1×（1+1）＝2，又由f（x）为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2；故选：A．6．函数y＝xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】容易看出，该函数是奇函数，所以排除B项，再原函数式化简，去掉绝对值符号转化为分段函数，再从研究x＞0时，特殊的函数值符号、极值点、单调性、零点等性质进行判断．解：令f（x）＝xln|x|，易知f（﹣x）＝﹣xln|﹣x|＝﹣xln|x|＝﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）＝xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；令f（x）＝0，得xlnx＝0，所以x＝1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．故选：C．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝bc，sin C＝sin B，则A＝（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】已知第二个等式利用正弦定理化简用b表示出c，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cos A，将表示出的a与c代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．解：已知等式sin C＝sin B，由正弦定理化简得：c＝b，代入a2﹣b2＝bc得：a2﹣b2＝3b2，即a＝2b，∴cos A＝＝＝0，则A＝90°，故选：C．8．已知函数，若对任意两个不相等的正数x1、x2，都有恒成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）【分析】先确定g（x）＝f（x）﹣4x＝ax2+alnx﹣4x，在（0，+∞）上单增，再利用导数，可得ax2﹣4x+a≥0恒成立，即可求出实数a的取值范围．解：函数，定义域：（0，+∞）；若对任意两个不相等的正数：x1、x2，都有恒成立，则有：f（x1）﹣f（x2）＞4（x1﹣x2），∴f（x1）﹣4x1＞f（x2）﹣4x2，令：g（x）＝f（x）﹣4x＝ax2+alnx﹣4x，有：g（x）＝f（x）﹣4x＝ax2+alnx﹣4x，在（0，+∞）上单增，g′（x）＝ax+﹣4≥0；在（0，+∞）上恒成立，也就是ax2﹣4x+a≥0恒成立，在（0，+∞）；即：a≥；x∈（0，+∞）；a≥（）max；x∈（0，+∞）；令h（x）＝；x∈（0，+∞）；h′（x）＝；函数h（x）在（0，1）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，函数h（x）在（1，+∞）上h′（x）＜0，h（x）单调递减．h（1）max＝2∴a≥（）max＝2；故选：A．9．如图，在底面为正三角形的棱台ABC﹣A1B1C1中，记锐二面角A1﹣AB﹣C的大小为α，锐二面角B1﹣BC﹣A的大小为β，锐二面角C1﹣AC﹣B的大小为γ，若α＞β＞γ，则（）A．AA1＞BB1＞CC1B．AA1＞CC1＞BB1C．CC1＞BB1＞AA1D．CC1＞AA1＞BB1【分析】利用二面角的定义，数形结合能求出结果．解：在底面为正三角形的棱台ABC﹣A1B1C1中，记锐二面角A1﹣AB﹣C的大小为α，锐二面角B1﹣BC﹣A的大小为β，锐二面角C1﹣AC﹣B的大小为γ，∵α＞β＞γ，∴三条侧棱AA1，BB1，CC1中，AA1最小，CC1最大，∴CC1＞BB1＞AA1．故选：C．10．已知椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|＝4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2﹣e1的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆的定义可得m+n＝2a1，由双曲线的定可得m﹣n＝2a2，解得m＝a1+a2，n＝a1﹣a2，由|F1F2|＝4|PF2|，可得n＝c，即a1﹣a2＝c，由e1＝，e2＝，可得﹣＝，由0＜e1＜1，可得＞1，可得＞，即1＜e2＜2，则e2﹣e1＝e2﹣＝，可设2+e2＝t（3＜t＜4），则＝＝t+﹣4，由f（t）＝t+﹣4在3＜t＜4递增，可得f（t）∈（，1）．故选：B．二、填空题11．复数（i为虚数单位）的共轭复数＝1﹣i，|z|＝．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念及复数模的计算公式求解．解：∵＝，∴，|z|＝．故答案为：1﹣i；．12．曲线的离心率为，渐近线为y＝±2x．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析其焦点位置以及a、b的值，计算可得c 的值，由离心率公式以及渐近线方程计算可得答案．解：根据题意，双曲线，其焦点在x轴上，且a＝1，b＝2，则c＝＝，则双曲线的离心率e＝＝，其渐近线方程y＝±2x；故答案为：，y＝±2x．13．已知某几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是，表面积是1+．【分析】几何体为三棱锥，底面为等腰三角形，一条侧棱垂直底面，画出直观图，求解体积以及表面积即可．解：由三视图可知几何体是底面是等腰直角三角形，侧棱垂直底面的三棱锥，棱锥的高为2，如图：AO＝OD＝1，BO＝OC＝，DO⊥底面ABC，所以几何体的体积V＝＝．表面积为：＝1+故答案为：；1+．14．已知函数，则f（f（ln2））＝，不等式f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为{x|﹣3＜x＜1} ．【分析】判断函数f（x）在R上的单调性，然后根据单调性解不等式即可．解：f（ln2）＝e ln2＝2，所以f（f（ln2））＝f（2）＝，当x＜0时，f（x）＝，则f'（x）＝x2﹣x＜0，所以f（x）在（﹣∞，0）上递增，则f（x）＜f（0）＝0又当x≤0时，f（x）＝e x，在[0，+∞）上单调递增，则f（x）≥f（0）＝0，所以f（x）在R上单调递增，所以由f（3﹣x2）＞f（2x），得3﹣x2＞2x，所以﹣3＜x＜1，所以不等式的解集为：{x|﹣3＜x＜1}．故答案为：；{x|﹣3＜x＜1}．15．设曲线y＝x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x2019的值为．【分析】先求出其导函数，把x＝1代入，求出切线的斜率，进而得到切线方程，找到切线与x轴的交点的横坐标的表达式，化简即可求出结论．解：因为y＝x n+1，故y′＝（n+1）x n，所以x＝1时，y′＝n+1，则直线方程为y﹣1＝（n+1）（x﹣1），令y＝0，则x＝1﹣＝，故切线与x轴的交点为（，0），则x1•x2•…•x2019＝×××…×＝．故答案为：．16．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若，则∠AFB的最大值为．【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．解：∵|AB|，|AF|+|BF|＝x1+x2+4，∴|AF|+|BF|＝|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB＝＝＝﹣1＝．又|AF|+|BF|＝|AB|≥2，∴|AF|•|BF|≤|AB|2．∴cos∠AFB≥＝﹣，∴∠AFB的最大值为，故答案为：．17．已知函数，则函数y＝f（g（x））﹣a的零点最多有 6 个．【分析】分别作出y＝f（x）和y＝g（x）的图象，求得g（x）的值域，通过f（x）的图象，考虑log35＜a＜2时，f（t）＝a的t的范围，再求t＝g（x）的x的个数，可得所求结论．解：分别作出函数的图象（如右），可得g（x）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），由y＝f（g（x））﹣a＝0，可得a＝f[g（x）]，可令t＝g（x），即y＝f（t），当log35＜a＜2时，﹣7＜t＜﹣1，或2＜t＜3或3＜t＜4，由y＝g（x）的图象，可得t＝g（x）的交点个数为6个，则函数y＝f（g（x））﹣a的零点最多6个．故答案为：6．三、解答题18．已知函数．（1）求函f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，求函数y ＝g（x）在区间上的值域．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）根据y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得到结果．解：（1）f（x）＝cos x（sin x+cos x）+＝cos x sin x+cos2x+＝cos2x+1＝，∴f（x）的周期T＝，由﹣+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ（k∈Z），∴f（x）的单调增区间为；（2）函数f（x）的图象向右平移个单位后，得g（x）＝＝，∵x∈，∴2x﹣，∴，∴g（x）∈，∴g（x）的值域为：．19．已知函数f（x）＝ax2﹣4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设g（x）＝．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）＝ax2﹣4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，其图象对称轴为直线x＝2，且g（x）的最小值为1，最大值为4，列出方程可得实数a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，分离变量k，在x∈[1，2]上恒成立，进而得到实数k的取值范围．解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝ax2﹣4ax+1+b（a＞0）其图象对称轴为直线x＝2，函数的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，∴，解得：a＝3，b＝12；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）＝3x2﹣12x+13，g（x）＝＝．若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，则k≤（）2﹣2（）+1在x∈[1，2]上恒成立，2x∈[2，4]，∈[，]，当＝，即x＝1时，（）2﹣2（）+1取最小值，故k≤．20．如图，已知四棱椎E﹣ABCD，△EAD是以AD为斜边的直角三角形，AE＝2，∠DAE＝60°，BC∥AD，AB＝BC＝CD＝AD，P是ED的中点．（1）求证CP∥平面ABE；（2）若CE＝，求直线CP与平面AED所成的角．【分析】（1）取AE的中点F，连结PG，BG，推导出四边形BCPG为平行四边形，CP∥BG，则CP∥平面ABE；（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，求解三角形证明OC⊥底面AED，可得∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，进一步求解三角形得答案．【解答】证明：（1）取AE中点G，连结PG，BG，∵BC∥AD，BC＝AD，PG∥AD，PG＝，∴BC∥PG，BC＝PG，则四边形BCPG为平行四边形，则PC∥BG，∵BG⊂平面PAB，PC⊄平面PAB，∴CP∥平面ABE；解：（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，连接EO，PO，由已知可得OD＝1，CD＝2，则CO＝，在△ODE中，由余弦定理求得，而CE＝，∴OC2+OE2＝CE2，即∠COE为直角，则OC⊥OE，由OC⊥AD，∴OC⊥平面AED，∴∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，由OP＝，∴tan，即∠CPO＝60°．∴直线CP与平面AED所成的角为60°．21．如图，椭圆E：+＝1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．【分析】（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（2）设N点横坐标为x0，则＝＝，由﹣＜x0≤，可得的取值范围；（3）由题意设直线PQ的方程为y＝k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2＝1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．【解答】（1）解：由题意知，b＝1，再由a2＝b2+c2，解得，继而得椭圆的方程为；（2）解：由（1）知，椭圆右准线方程为x＝2，设N点横坐标为x0，则＝＝，∵﹣＜x0≤，∴．∴的取值范围是[，+∞）；（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0由题设知，直线PQ的方程为y＝k（x ﹣1）+1（k≠0），代入，化简得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）＝0，则，由已知△＞0，从而直线AP与AQ的斜率之和＝2k+（2﹣k）＝2k﹣2（k﹣1）＝2．即有直线AP与AQ斜率之和为2．22．函数．（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）设分别为函数f（x）的极大值和极小值，若s＝m﹣n，求s的取值范围．【分析】（1）求出函数导数，令它大于等于0和小于等于0，其在定义域上恒成立，分类讨论a即可得到a的范围，注意定义域；（2）设f'（x）＝0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m＝f（x1），n＝f（x2），因为x1x2＝1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12﹣2x1+a＝0，得＜x1＜1，所以s＝m ﹣n＝ax1﹣﹣2lnx1﹣（ax2﹣﹣2lnx2）＝ax1﹣﹣2lnx1﹣（﹣ax1+2lnx1）＝2（ax1﹣﹣2lnx1），由ax12﹣2x1+a＝0，得a＝，代入上式得，g（x）＝﹣lnx，求导数，应用单调性，即可得到s的范围．解：（1）函数．定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝a+﹣＝，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，①当a＝0时，f′（x）＝﹣＜0在（0，+∞）内恒成立，∴a＝0满足题意；②当a＞0时，设g（x）＝ax2﹣2x+a（x∈（0，+∞））由题意知△＝4﹣4a2≤0∴a≤﹣1或a≥1又∵a＞0，∴a≥1，所以a的取值范围为：a＝0或a≥1，（2）由导函数的ax2﹣2x+a，得△＞0得4﹣4a2＞0，即﹣1＜a＜1且＜a＜1，得＜a＜1，此时设f'（x）＝0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m＝f（x1），n＝f（x2），因为x1x2＝1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12﹣2x1+a＝0，得＜x1＜1，所以s＝m﹣n＝ax1﹣﹣2lnx1﹣（ax2﹣﹣2lnx2）＝ax1﹣﹣2lnx1﹣（﹣ax1+2lnx1）＝2（ax1﹣﹣2lnx1），由ax12﹣2x1+a＝0，得a＝，代入上式得，s＝4（﹣lnx1）＝4（﹣lnx12），令x12＝t，所以＜t＜1，g（x）＝﹣lnx，则s＝4g（t），g′（t）＝＜0，所以g（x）在[，1]上单调递减，从而g（1）＜g（t）＜g（），即0＜g（t）＜，所以0＜s＜．s的取值范围是0＜s＜．。
浙江省杭州学军中学高二下学期期中考试(数学文).doc
浙江省杭州学军中学高二下学期期中考试（数学文）一、选择题（本题共10小题，其中每个小题只有一个答案是正确的，每个小题3分，共30分，把你 认为正确的答案填在答题卡上）1．在复平面内，复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点位于 A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．“∵四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提为A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形3．用反证法证明：“方程,02=++c bx ax 且c b a ,,都是奇数,则方程没有整数根”正确的假设是方程存在实数根0x 为A ．整数B ．奇数或偶数C ．正整数或负整数D ．自然数或负整数4．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为 A. B ．△C ．▭D ．○5．复数i z 2321+-=，则=+221zz A.1 B.1- C.i D. i 2321--6．实部为5，模与复数的模相等的复数有 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个7．z 是纯虚数的一个充要条件是 A ． B ． C ． D ．8．正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为A ．13B ．-33C ．33D ．239．平面α的一个法向量为v 1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量为v 2＝(－2，－4，10)，则平面α与平面βA ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定10．已知直线01=++y x 上的点A 与曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3cos 4πθρ上的点B ，则||AB 的最小值是A ．1232-+ B ．2232-+ C ． 1231-+ D ．2231-+二、填空题（本题共6小题，每个小题4分，共24分，把你认为正确的答案填在答题卷上）11．若复数为实数，则实数___▲_____；12．某正数列前n 项的和与通项的关系是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a s 121，计算321,,a a a 后，归纳出=n a ___▲__； 13．已知a >0，b >0，m ＝lga ＋b 2，n ＝lg a ＋b 2，则m 与n 的大小关系为___▲_____； 14．在曲线ρ＝θcos 3上，极角为－32π的点的直角坐标是___▲_____； 15．设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y +=___▲_____； 16．设{}n a 是集合{}Z t s t s s t ∈<≤+,,0|22中的所有数从小到大排成的数列，即,6,5,3321===a a a ,12,10,9654===a a a ，则=10a ___▲_____；三、解答题（本题有5题，共46分，必须写出推理和演算过程）17．（本题10分）设复数i z +=1，且i z z b az z -=+-++1122，求实数b a ,的值． 18．（本题10分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；19．（本题8分）求证：αββααβαsin sin )cos(2sin )2sin(=+-+．本题10分）用反证法证明：关于x 的方程03442=+-+a ax x 、0)1(22=+-+a x a x 、0222=-+a ax x ,当23-≤a 或1-≥a 时,至少有一个方程有实数根．21．（本题8分）已知椭圆134221=+y x C ：和抛物线)0(222>=p px y C ：，过点)0,1(M 且倾斜角为3π的直线与抛物线交于A 、B ，与椭圆交于C 、D ，当3:5||:||=CD AB 时，求p 的值．杭州学军中学/下学期期中考试高二年级数学（文）答案一、1、B ；2、B ；3、C ；4、A ；5、B ；6、A ；7、D ；8、C ；9、B ；10、B ； 二、11、32=a ；12、1--=n n a n ；13、n m >；14、)33,3(；15、9；16、24； 三、17、2,1=-=b a ；18、（1）证一：A D 1是E D 1在平面1AD 上的射影，由三垂线定理，11AD D A ⊥，所以D 1E ⊥D A 1；证二：建立如图的坐标系，则 ()1,0,11=DA ，设)0,,1(t E ，则 ()1,,11-=t D ，01111=-=⋅D DA ，所以D 1E ⊥D A 1；（2）此时，)0,1,1(E ，()1,1,11-=D ，设平面ACD 1的法向量是()y x ,,1=， ()1,0,11-=AD ，()0,2,1-=，由0,01=⋅=⋅AD ，得⎪⎭⎫⎝⎛=1,21,1 取()2,1,2=n ，311==d ，求点E 到面ACD 1的距离是31． 19、略； 三个方程都没有实根，则有判别式都小于零得： 123021312123-<<-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--<><<-a a a a a 或， 与23-≤a 或1-≥a 矛盾，故原命题成立；21、解：设直线方程是)(23211是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=，分别代入椭圆、抛物线方程得：012452=-+t t （1） 08432=--p pt t （2） 设D C B A 、、、的参数分别为4321t t t t 、、、， 则364||||221p p t t AB +=-=，516||||43=-=t t CD ，由3:5||:||=CD AB 解得2=p 。
浙江省杭州市市西湖中学2018-2019学年高二数学文联考试题含解析
浙江省杭州市市西湖中学2018-2019学年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，，为单位圆上不同的三点，则点集所对应的平面区域的面积为（）A. B. C. D.参考答案：D略2. 设α、β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于( )参考答案：A3. 已知椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实根，，则点A. 必在圆上 B．必在圆内C．必在圆外 D.以上三种情况都有可能参考答案：B4. 设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（）A B CD参考答案：A5. 若命题p：(x-2)(x-3)=0，q：x-2=0，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B6. 设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，，则=（）A．1：4 B．1：5 C．1：7 D．1：6参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求得抛物线的焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义，求得点B的坐标，从而写出直线AB方程，联立抛物线方程求得A点坐标，从而得到A到准线的距离，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则|BF|=|BN|=x2+1=，∴x2=，把x2=代入抛物线y2=4x，得，y2=﹣，∴直线AB过点M（2，0）与（，﹣）方程为y=（x﹣2），代入抛物线方程，解得，x1=8，∴|AE|=8+1=9，∵在△AEC中，BN∥AE，∴===，故选：D．7. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件、80件、60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n= ( )A.9B.10C.12 D .13参考答案：D8. 已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x﹣7，其导函数为f′（x）．①f（x）的单调减区间是；②f（x）的极小值是﹣15；③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a）；④函数f（x）有且只有一个零点．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：C【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）=x3﹣2x2﹣4x﹣7，知f′（x）=3x2﹣4x﹣4，令f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得x=，x2=2，分别求出函数的极大值和极小值，知①错误，②④正确；由a＞2，x＞2且x≠a，利用作差法知f（x）﹣f（a）﹣f′（a）（x﹣a）＞0，故③正确；【解答】解：f（x）=x3﹣2x2﹣4x﹣7，其导函数为f′（x）=3x2﹣4x﹣4．令f′（x）=0，解得x=﹣，x=2，当f′（x）＞0时，即x＜﹣，或x＞2时，函数单调递增，当f′（x）＜0时，即﹣＜x＜2时，函数单调递减；故当x=2时，函数有极小值，极小值为f（2）=﹣15，当x=﹣时，函数有极大值，极大值为f（）＜0，故函数只有一个零点，①错误，②④正确；∵a＞2，x＞2且x≠a，∴f（x）﹣f（a）﹣f′（a）（x﹣a）=x3﹣2x2﹣4x﹣a3+2a2+4a﹣（3a2﹣4a﹣4）（x﹣a）=x3+2a3﹣2x2﹣2a2﹣3a2x+4ax＞0，∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a），故③正确；所以中真命题的个数为3个，故选：C9. 关于x的方程有一个根为1，则△ABC一定是( )A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形参考答案：A10. 有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面仍一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖，则中奖机会大的游戏盘是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】概率的意义．【分析】利用几何概型分别求出A，B，C，D四个游戏盘中奖的概率，由此能求出结果．【解答】解：在A中，中奖概率为，在B中，中奖概率为，在C中，中奖概率为，在D中，中奖概率为．∴中奖机会大的游戏盘是D．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线l1：x+y﹣2=0与直线l2：ax﹣y+7=0平行，则a= ．参考答案：﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】求出两条直线的斜率，利用两条直线的平行条件，求出a的值．【解答】解：由题意得，直线l1：x+y﹣2=0的斜率是﹣1，直线l2：ax﹣y+7=0平行的斜率是a，因为直线l1与直线l2平行，所以a=﹣1，故答案为：﹣1．12. 已知直线L：x+y﹣9=0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，点A在直线L上，B、C为圆M 上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为．参考答案：[3，6]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将圆的方程化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，设A（a，9﹣a）①当a≠2时，把∠BAC看作AB到AC的角，又点C在圆M，由圆心到AC的距离小于等于圆的半径，求出a的范围．②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线有y﹣7=x﹣2，M 到它的距离，判断这样点C不在圆M上不成立．【解答】解：圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0方程可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，设A点的横坐标为a．则纵坐标为9﹣a；①当a≠2时，k AB=，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得k=，直线AC的方程为y﹣（9﹣a）=（x﹣a）即5x﹣（2a﹣9）y﹣2a2+22a﹣81=0，又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即≤，化简得a2﹣9a+18≤0，解得3≤a≤6；②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y﹣7=x﹣2即x﹣y+5=0，M到它的距离d==＞，这样点C不在圆M上，还有x+y﹣9=0，显然也不满足条件，综上：A点的横坐标范围为[3，6]．故答案为：[3，6]．13. 已知函数，当（e为自然常数），函数f(x)的最小值为3，则a的值为_____________.参考答案：【分析】求出导函数，由导函数求出极值，当极值只有一个时也即为最值．【详解】，，当时，则，在上是减函数，，（舍去）．当时，当时，，递减，当时，，递增．∴，，符合题意．故答案为．【点睛】本题考查由导数研究函数的最值．解题时求出导函数，利用导函数求出极值，如果极值有多个，还要与区间端点处函数值比较大小得最值，如果在区间内只有一个极值，则这个极值也是相应的最值．14. 函数的单调递增区间是____________参考答案：.试题分析：由题意得，，令，得.考点：利用导数求单调区间.15. 椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是．参考答案：【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．【分析】由圆的方程求得圆的半径，要使椭圆与圆有四个不同交点，则圆的半径大于椭圆短半轴小于椭圆长半轴长，由此得到不等式求得椭圆离心率的范围．【解答】解：由圆x2+y2=（+c）2是以原点为圆心，以为半径的圆，∴要使椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2有四个不同交点，则，由，得b＜2c，即a2﹣c2＜4c2，即；联立，解得或e＞1（舍）．∴椭圆离心率的取值范围是．故答案为：．16. 一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为36π，那么该三棱柱的体积是．参考答案：162【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据球的体积得出球的半径，由球与棱柱相切可知棱柱的高为球的直径，棱柱底面三角形的内切圆为球的大圆，从而计算出棱柱的底面边长和高．【解答】解：设球的半径为r，则=36π，解得r=3．∵球与正三棱柱的三个侧面相切，∴球的大圆为棱柱底面等边三角形的内切圆，∴棱柱底面正三角形的边长为2=6．∵球与棱柱的两底面相切，∴棱柱的高为2r=6．∴三棱柱的体积V==162．故答案为162．17. 已知x>0，y>0，+=2，则的最小值为 .参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2018-2019学年人教A版浙江省杭州二中高二第二学期期中数学试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题1．复数的共轭复数是（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是（）A．B．C．D．3．二项式（﹣3x）6的展开式中的常数项为（）A．﹣540 B．135 C．270 D．5404．若（1+2x）2（1﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a2+a4+a6＝（）A．32 B．16 C．15 D．05．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n＝k 到n＝k+1时左边需增加的代数式是（）A．B．﹣C．+D．6．已知x＞0，y＞0且y﹣x＞1，则，的值满足（）A．，都大于1B．，至少有一个小于1C．，都小于1D．以上说法都不正确7．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种A．19 B．26 C．7 D．128．函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝mln（x+1）﹣3x﹣3，若不等式f（x）＞mx﹣3e x在x∈（0，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤3 B．m≥3 C．m≤3 D．m≤010．已知函数，关于x的方程有m个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为（）A．{3} B．{3，5} C．{3，4} D．{3，4，5}二、填空题：多空题每题6分，单空题每题5分，共37分11．现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为．12．已知复数z＝lg（m2+2m﹣14）+（m2﹣m﹣6）i，若复数z是实数，则实数m＝；若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则实数m的取值范围为．13．已知随机变量的分布列为：ξ﹣1 0 2P x y若，则x+y＝；D（ξ）＝．14．在（1﹣ax+x2）5的展开式中，x3的系数为30，则实数a的值为．15．若存在x0∈R，满足f（x0）＝g（x0）且f'（x0）＝g'（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”，若函数f（x）＝ax2﹣1与g（x）＝lnx存在“S点”，则实数a＝．16．在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数．（结果用数字表示）17．设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是．三、解答题18．如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B中，设点C是其中的一个交叉路口点．（1）求甲经过点C的概率；（2）设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．19．在（x2）n的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．（1）求n的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项．20．已知函数，记数列{a n}的前n项和为S n，且有a1＝f（1）．当n≥2时，．（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）请归纳猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．21．已知函数f（x）＝axe x﹣1，g（x）＝lnx+kx．（1）求g（x）的单调区间；（2）若k＝1，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．22．已知函数，g（x）＝ax2+bx．（1）当a＝2，b＝﹣3时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程，并求函数f（x）的最大值；（2）若函数y＝f（x）的两个零点分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：．参考答案一、选择题：每小题4分，共40分1．复数的共轭复数是（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．解：由＝，得复数的共轭复数是：1+2i．故选：A．2．一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是（）A．B．C．D．【分析】从中任取2个球，基本事件总数n＝＝15，这2个球中有白球包含的基本事件个数m＝+＝9，由此能求出这2个球中有白球的概率．解：一个袋子中有4个红球，2个白球，从中任取2个球，基本事件总数n＝＝15，这2个球中有白球包含的基本事件个数m＝+＝9，∴这2个球中有白球的概率是p＝＝．故选：B．3．二项式（﹣3x）6的展开式中的常数项为（）A．﹣540 B．135 C．270 D．540【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：二项式（﹣3x）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣3）r•，令＝0，求得r＝2，可得展开式中的常数项为•9＝135，故选：B．4．若（1+2x）2（1﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a2+a4+a6＝（）A．32 B．16 C．15 D．0【分析】令x＝0，得a0＝1；再分别令x＝1，x＝﹣1，可得a2+a4+a6的值．解：对于（1+2x）2（1﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，令x＝0，得a0＝1，令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a7＝0，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3…+a6﹣a7＝32，∴2（a0+a2+a4+a6）＝32，∴a2+a4+a6＝15，故选：C．5．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n＝k 到n＝k+1时左边需增加的代数式是（）A．B．﹣C．+D．【分析】求出当n＝k时，左边的代数式，当n＝k+1时，左边的代数式，相减可得结果．解：当n＝k时，左边的代数式为++…+，当n＝k+1时，左边的代数式为++…+++，故用n＝k+1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果为：+﹣＝﹣．故选：B．6．已知x＞0，y＞0且y﹣x＞1，则，的值满足（）A．，都大于1B．，至少有一个小于1C．，都小于1D．以上说法都不正确【分析】根据不等式的性质和函数的性质即可判断．解：∵x＞0，y＞0且y﹣x＞1，∴x＜y﹣1，∴﹣x＞1﹣y，∴＜＝﹣1，∵x＜y﹣1，∴3x＜3y﹣3，∴1+3x＜3y﹣2，∴＜＝3﹣，当y＞1时，3﹣＜1，当0＜y＜2时，3﹣≤1，∴可小于1，可等于1，可大于1，故，至少有一个小于1．故选：B．7．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种A．19 B．26 C．7 D．12【分析】由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出．解：顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A22＝2种，当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C21＝5，故有2+5＝7种，②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A22＝2种，当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C21＝5，故有2+5＝7种，③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则C31A22＝6种，若没有人使用现金，则有C32A22＝6种，故有6+6＝12种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+6＝26种，故选：B．8．函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为偶函数排除B；再由导数研究单调性且求得极值判断．解：函数f（x）＝2x2﹣ln|x|为偶函数，则其图象关于y轴对称，排除B；当x＞0时，f（x）＝2x2﹣lnx，f′（x）＝4x﹣．当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴f（x）有极小值f（）＝＞0．结合选项可得，函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为A．故选：A．9．已知函数f（x）＝mln（x+1）﹣3x﹣3，若不等式f（x）＞mx﹣3e x在x∈（0，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤3 B．m≥3 C．m≤3 D．m≤0【分析】令g（x）＝mlnx﹣3x问题等价于g（x+1）＞g（e x）在（0，+∞）上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．解：令g（x）＝mlnx﹣3x，问题等价于g（x+1）＞g（e x）在（0，+∞）上恒成立因为x∈（0，+∞）时，1＜x+1＜e x，所以只需g（x）在（1，+∞）上递减，即x＞1，g′（x）≤0恒成立，即，∴m≤3x．∴m≤3．故选：C．10．已知函数，关于x的方程有m个不同的实数解，则m的所有可能的值构成的集合为（）A．{3} B．{3，5} C．{3，4} D．{3，4，5}【分析】求函数f（x）的导数，判断函数的极值，作出函数f（x）的图象，设n＝f（x），利用根与系数之间的关系得到n2﹣nt﹣＝0，由判别式△＝t2+＞0，方程有两个不等实根，n1n2＝﹣＜0，利用数形结合进行讨论求解即可．解：函数f（x）的导数为f′（x）＝＝＝＝，由f′（x）＞0，得﹣1＜x＜3，f（x）递增；由f′（x）＜0，得x＞3或x＜﹣1，f（x）递减．即有f（x）在x＝﹣1处取得极小值f（﹣1）＝﹣2e；在x＝3处取得极大值f（3）＝，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程，令n＝f（x），则n2﹣nt﹣＝0，由判别式△＝t2+＞0，方程有两个不等实根，n1n2＝﹣＜0，则原方程有一正一负实根．而﹣2e×═﹣，即当n1＝，则n2＝﹣2e，此时y＝n1，和f（x）有两个交点，y＝n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1＞，则﹣2e＜n2＜0，此时y＝n1，和f（x）有1个交点，y＝n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当0＜n1＜则n2＜﹣2e，此时y＝n1和f（x）有3个交点，y＝n2与f（x）有0交点，此时共有3个交点，当﹣2e＜n1＜0，则或n2＞，此时y＝n1和f（x）有2个交点，y＝n2与f（x）有1个交点，此时共有3个交点，当n1＝﹣2e，则n2＝，此时y＝n1和f（x）有1个交点，y＝n2与f（x）有2个交点，此时共有3个交点，当n1＜﹣2e，则0＜n2＜，此时y＝n1和f（x）有0个交点，y＝n2与f（x）有3个交点，此时共有3个交点，综上方程[f（x）]2+tf（x）﹣＝0（t∈R）恒有3个不同的实数解，即m＝3，即m的所有可能的值构成的集合为{3}，故选：A．二、填空题：多空题每题6分，单空题每题5分，共37分11．现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为．【分析】分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数，根据古典概型的概率计算公式即可得出．解：从5件产品中任意抽取2有＝10种抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有＝6种．根据古典概型的概率计算公式可得一件合格，另一件不合格的概率P＝．故答案为．12．已知复数z＝lg（m2+2m﹣14）+（m2﹣m﹣6）i，若复数z是实数，则实数m＝ 3 ；若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则实数m的取值范围为（﹣5，﹣1﹣）．【分析】由实部真数大于0且虚部为0求解m值；由实部真数大于0且小于1，虚部大于0联立不等式组求解．解：∵z＝lg（m2+2m﹣14）+（m2﹣m﹣6）i为实数，∴，解得m＝3；由复数z对应的点位于复平面的第二象限，得，解得﹣5＜m＜﹣1﹣．∴实数m的取值范围为（﹣5，﹣1﹣）．故答案为：3；（﹣5，﹣1﹣）．13．已知随机变量的分布列为：ξ﹣1 0 2P x y若，则x+y＝；D（ξ）＝．【分析】由离散型随机变量的分布列的性质及数学期望的性质列方程组，能求出x，y，由此能求出x+y和D（ξ）．解：由题意得：，解得x＝，y＝，∴x+y＝，D（ξ）＝（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（2﹣）2×＝．故答案为：，．14．在（1﹣ax+x2）5的展开式中，x3的系数为30，则实数a的值为﹣1 ．【分析】利用通项公式即可得出．解：在（1﹣ax+x2）5的展开式中，通项公式T r+1＝（x2﹣ax）r，（x2﹣ax）r的通项公式T k+1＝（x2）r﹣k（﹣ax）k＝（﹣a）k x2r﹣k，令2r﹣k＝3．则r＝2时，k＝1；r＝3时，k＝3．∴x3的系数为30＝+，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．15．若存在x0∈R，满足f（x0）＝g（x0）且f'（x0）＝g'（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”，若函数f（x）＝ax2﹣1与g（x）＝lnx存在“S点”，则实数a ＝．【分析】分别令f′（x）＝g′（x），f（x）＝g（x），分离参数可得a＝，a＝，则数f（x）与g（x）的“S点”为F（x）＝﹣的零点，求出零点即可得出a的值．解：f′（x）＝2ax，g′（x）＝（x＞0），令f′（x）＝g′（x）可得a＝，令f（x）＝g（x）可得a＝，令F（x）＝﹣＝（x＞0），设函数f（x）＝ax2﹣1与g（x）＝lnx的“S点”为x0，则x0为F（x）的零点．令F（x）＝0可得1+2lnx＝0，故x＝，即x0＝．把x0＝代入a＝可得a＝．故答案为：．16．在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数588 ．（结果用数字表示）【分析】根据题意，分2步进行分析：①，对于区域B有4种情况可选，E区域与B相邻，有3种情况可选：②，对于剩下的4个区域，分4种情况讨论，由加法原理求出其栽种方案数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，对于区域B有4种情况可选，E区域与B相邻，有3种情况可选：②，对于剩下的4个区域，分4种情况讨论：A区域与E区域的相同，C区域与E区域的也相同；此时D区域的选法有3种，F区域的选法也有3种，此时ADCF的区域有3×3＝9种；A区域与E区域的不相同，C区域与E区域的相同；此时A区域的选法有2种，D区域的选法有2种，F区域的选法有3种，此时ADCF的区域有2×2×3＝12种；A区域与E区域的相同，C区域与E区域的不相同；此C区域的选法有2种，F区域的选法有2种，D区域的选法有3种，此时ADCF的区域有2×2×3＝12种；A区域与E区域的不相同，C区域与E区域也不相同；此时A区域的选法有2种，D区域的选法有2种，C区域的选法有2种，F区域的选法有2种，此时ADCF的区域有2×2×2×2＝16种；则ADCF的区域的选法有9+12+12+16＝49种栽种方案；则有12×49＝588种不同的栽种方案；故答案为：588．17．设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是[，1）．【分析】设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．解：函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，∴当x＝﹣时，[g（x）]min＝g（﹣）＝﹣．当x＝0时，g（0）＝﹣1，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过（1，0），斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1，且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得．∴a的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）．三、解答题18．如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B中，设点C是其中的一个交叉路口点．（1）求甲经过点C的概率；（2）设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．【分析】（1）设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两步事件相互独立，由此利用互斥事件概率加法公式能求出甲经过点C的概率．（2）随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．解：（1）设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两步事件相互独立，∴选择从中间一条路走到点C的概率为：P1＝＝，同理，选择从最右边的道路走到点C的概率为P2＝＝，∵选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，∴P（M）＝P1+P2＝，∴甲经过点C的概率为．（2）随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，∴X的分布列为：X0 1 2 3 4PE（X）＝+4×＝．19．在（x2）n的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．（1）求n的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项．【分析】（1）由题意根据二项展开式的通项公式，求得m的值．（2）令x的幂指数等于整数，求得r的值，可得结论．（3）设展开式中第r+1项的系数最大，根据，求得r的范围，可得结论．解：（1）由题意知：通项公式为T r+1＝•2r•，则第4项的系数为•23，倒数第4项的系数为•2n﹣3，则有＝，即＝，∴n＝7．（2）由（1）可得当2n﹣为整数时，即r＝0，2，4，6时，为有理项．故所有的有理项为T1＝x14，T3＝84x9，T5＝560x4，T7＝448x﹣1．（3）设展开式中第r+1项的系数最大，则，求得≤r≤，∴r＝5，故系数最大项为T6＝•25•＝672．20．已知函数，记数列{a n}的前n项和为S n，且有a1＝f（1）．当n≥2时，．（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）请归纳猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【分析】（1）函数，a1＝f（1）＝1．当n≥2时，．即S n+a n＝（n2+5n+2）．n＝2，3，4时解出即可．（2）猜测数列{a n}的通项公式为a n＝，用数学归纳法证明即可．解：（1）函数，a1＝f（1）＝1．当n≥2时，．即S n+a n＝（n2+5n+2）．∴S2+a2＝，解得a2＝．同理可得：a3＝，a4＝．（2）猜测数列{a n}的通项公式为a n＝，用数学归纳法证明．（i）n＝1，2时，成立．（ii）假设n＝k∈N*时成立，k≥2，即a k＝．S k＝1++＝﹣．则n＝k+1时，S k+2a k+1＝[（k+1）2+5（k+1）+2]，∴﹣+2a k+1＝（k2+7k+8），解得a k+1＝+k+1+1．∴n＝k+1时成立．综上可得：数列{a n}的通项公式为a n＝．21．已知函数f（x）＝axe x﹣1，g（x）＝lnx+kx．（1）求g（x）的单调区间；（2）若k＝1，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求函数的导数，分类讨论k的取值范围可求g（x）的单调区间；（2）（分离参数、设而不求，转化为函数问题）若k＝1，f（x）≥g（x）恒成立，即axe x﹣1≥lnx+kx恒成立因为x＞0，所以a≥．令h（x）＝．求函数h（x）的最大值即可求实数a的取值范围．解：（1）g（x）＝lnx+kx的定义域为（0，+∞），g′（x）＝+k，当k≥0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上是增函数；当k＜0时，令g′（x））＝+k＝0，得x＝﹣，令g′（x）＝+k＞0，得0＜x＜﹣，所以g（x）在（0，﹣）上是增函数，令g′（x）＝+k＜0，得x＞﹣，所以g（x）在（﹣，+∞）上是减函数；（2）当k＝1时，f（x）≥g（x）恒成立，即axe x﹣1≥lnx+kx恒成立，因为x＞0，所以a≥．令h（x）＝．h′（x）＝，令p（x）＝﹣lnx﹣x，p′（x）＝﹣﹣1＜0，故p（x）在（0，+∞）上单调递减，且p（）＝1﹣＞0，p（1）＝﹣1＜0，故存在t∈（，1）使得p（t）＝﹣lnt﹣t＝0，即lnt+t＝0，t＝e﹣t，当x∈（0，t）时，p（x）＞0，h′（x）＞0；当x∈（t，+∞），p（x）＜0，h'（x）＜0；所以h（x）max＝h（t）＝＝＝1，所以a≥1；故实数a的取值范围是{a|a≥1}．22．已知函数，g（x）＝ax2+bx．（1）当a＝2，b＝﹣3时，求函数f（x）在x＝1处的切线方程，并求函数f（x）的最大值；（2）若函数y＝f（x）的两个零点分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：．【分析】（1）代入a，b的值，求出函数的导数，求出切点坐标，求出切线方程，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最大值即可；（2）根据函数的单调性求出令，即证0＜t＜1，，令，根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：当a＝2，b＝﹣3时，（x＞0）则f'（e）＝﹣1，切点为，故函数f（x）在x＝1处的切线方程为．，令h（x）＝1﹣lnx﹣x2，则h（x）＝1﹣lnx﹣x2在（0，+∞）是减函数又h（1）＝0∴x∈（0，1），h（x）＞0，f'（x）＞0，x∈（1，+∞），h（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）是减函数，f（x）max＝f（1）＝2；（2）证明：∵x1，x2是f（x）的两个零点，不妨设x1＜x2，∴f（x1）＝f（x2）＝0，，∴，，相减得：，⇒，⇒，，∴⇒，令，即证0＜t＜1时，，，令，，在（0，1）上是增函数，又∵m（1）＝0，∴t∈（0，1），m（t）＜0，命题得证．。
杭州市七校2018-2019学年高二下期中考试数学试题含答案
2019学年第二学期期中杭州地区七校联考高二年级数学学科试题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1. 抛物线28y x =的焦点坐标是 ( ▲ )A （—2，0）B （0，—2）C （2，0）D （0，2）2、已知点(3,1,4)A --，则点A 关于原点对称的点的坐标为 ( ▲ )A ．)4,1,3(--B ．)4,1,3(---C ．)4,1,3(D ．(3,1,4)-3、椭圆22221124x y m m +=+-的焦距是 ( ▲ ) A ．4 B ．2 2 C ．8 D ．与m 有关4、下列有关命题的说法正确的是 ( ▲ ) A ．命题“若1,12==x x 则”的否命题为：“若1,12≠=x x 则”； B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件； C ．命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题为假命题；D ．命题“若022≠+y x ，则y x 、不全为零”的否命题为真命题.5、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．若△1MNF 为正三角形，则该双曲线的离心率为 ( ▲ )A B C D 6、不等式|25|7x +≥成立的一个必要而不充分条件是 ( ▲ ) A ．0x ≠ B ．6x ≤- C ．61x x ≤-≥或 D ． 1x ≥7、正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值 ( ▲ )A ．10 B ．10 C ．5 D ．58、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( ▲ )B. C.D.B（第8题）（第9题） 9、如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 是平面ABCD 上的动点，点M 在棱AB 上， 且13AM =，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为4，则动点P 的轨迹是( ▲ )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线10、过M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 ( ▲ )A ．－12B ．－2 C.12 D ．2二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11、命题“存在实数x ，使1x >”的否定是 .12、已知点P 到点(3,0)F 的距离比它到直线2x =-的距离大1，则点P 满足的方程为 .13、M 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，1260F MF ∠=，则12F MF ∆的面积等于 ．14、已知椭圆C ：2213x y +=，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且AB =，则直线l的方程为 .15、在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为 . 16、已知向量(0,1,1)a =-，(4,1,0)b =，||29a b λ+=且0λ>，则λ= .17、抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m等于三、解答题（本题共5小题，共52分）18、(本题满分8分)已知双曲线与椭圆1244922=+y x 共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线方程．19、(本题满分10分)设命题:p “对任意的2,2x x x a ∈->R ”，命题:q “存在x ∈R ，使2220x ax a ++-=”。
浙江省杭州市西湖高级中学2018-2019学年高二下学期4月月考数学试题 Word版含答案
杭西高2019年4月高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共15小题，每小题5分，共75 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合M={x|2-x 2>0},N={x|-2<x<1,x ∈Z}，则M N =（ ）A .{}1B .{}1,0-C .{}1,0,1-D .∅2.函数f (x )=sin(-2x )的一个递增区间是( ) A . B .CD .3.()()231f x x xf =+'，则()'2f =（ ） A .1 B .2 C .4 D . 84.已知向量a =(0，2，1)，b =(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为 ( ) A .0°B .45°C .90°D .180°5.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位: cm),则这个几何体的体积是( )A .8 cm 3B .12 cm 3C .24 cm 3D .72 cm 36.已知R a ∈，则“1a ≤”是“112a a ++-=”的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件7.设函数错误！未找到引用源。
，则( )A.x=错误！未找到引用源。
为f(x)的极大值点B.x=错误！未找到引用源。
为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点8.已知曲线321y x x =++在1x =处的切线平行于直线230ax y --=，则实数a 的值为（ ） A .25-B .52- C .10 D .10- 9.函数f (x )＝xe x ，x ∈[0，4]的最大值是（ ）A.0B.1eC.4e 4D.2e210.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，若12AF F △12124F AF AF F ∠=∠，则椭圆的方程为（ ）A .2213x y +=B .22132x y += C .2214x y +=D .22143x y += 11.点P 是曲线xy e x =+上的点， Q 是直线21y x =-上的点，则PQ 的最小值为（ ）A .12.已知函数()f x 21cos 4x x =+，'()f x 是函数()f x 的导函数，则'()f x 的图象大致是（）aA A8.已知 ()x x x f sin 21+=，[,]22x ππ∈-，则导函数()'f x 是 C （ ）13.已知函数21,0,()3,0,x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩若函数()()(1)g x f x k x =-+在(,1]-∞恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A .[1,3)B .(1,3]C .[2,3)D .(3,)+∞14.方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）A .sin cos ϕϕθ=B .sin cos ϕϕθ=-C .cos sin ϕθθ=D .sin sin θθϕ=-15.已知P ABC -是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E 是PA 中点， F 是BC 上靠近点B 的三等分点，设EF 与PA 、PB 、PC 所成角分别为α、β、γ，则（ ）A .βγα>>B . γβα>>C .αβγ>>D . αγβ>>二、填空题（本大题共7小题，单空题每题4分，其余每题6分，共36分.） 16.设(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，则()f x 的定义域为 ，(sin )6f π的值为 .17.抛物线2(0)y ax a =>上的点03,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离为2，则a = ， POF ∆的面积为__________；18已知变量x,y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数z=4x+y 的最大值为________________.19.已知函数，则在处的切线方程为_________；单调递减区间是_______．20.椭圆221x y m+=的离心率2e =，则m 的值为 ，过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为 ．21. 若函数有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是___________．22.函数f (x )=x 3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x 1,x 2,都有|f(x 1)f(x 2)|≤t ,则实数t的最小值是 ．三、解答题（本题共3个小题，共39分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 23.如图，在四棱锥ABCD P -中， PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为矩形，点E 在棱PD 上，且满足PD AE ⊥.（1）求证：平面BAE ⊥平面PCD ；（2）若AB=1，AD=PA=2，求直线AE 与平面PBC 所成角的余弦值.D APE24.已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）若,求函数在区间上的最大值；（2）若,关于的方程有且仅有一个根, 求实数的取值范围；（3）若对任意,不等式均成立, 求实数的取值范围.25.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，离心率e ＝22.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝3分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值．答案一． 选择题1-5CDACB 6-10BDCBC 11-15BAABD 二． 填空题16.[—, ], —17. 2 ,18. 819. y=—3x, (-1,1)20. 4或1/4，21. 10<<a 22. 20 三．解答题23（1）∵底面ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ⊥ADPA ABCD PA AB AB PAD AB PD ⊥⊥⊥⊥∵底面，∴，∴面，∴AE PD AB AE A PD BAE PD PCD PCD BAE⊥=⊥⊂⊥又，，∴面，又面，∴面面（4分）(2) 以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，P(0，0，2)，E （0，1，1）()()()=0111,0,2,1,2,2AE PB PC =-=-则，，， (6分)()202=,,,2200x z x z m PBC m x y z x y z y -==⎧⎧⊥⇒⎨⎨+-==⎩⎩设面，则()2,0,1m =∴ （8分）cos ,2sin cos 101010AE m AE m AE mθθ∙<>=====∴∴∴直线AE 与平面PBC 所成角的余弦值为24（1）当时,, 故在上单调递减,上单调递增, 当时,,当时,, 故在区间上．（2）当时, 关于的方程为有且仅有一个实根,则有且仅有一个实根, 设,则,因此在和上单调递减, 在上单调递增,, 如图所示, 实数的取值范围是．（3）不妨设,则恒成立．因此恒成立, 即恒成立,且恒成立, 因此和均在上单调递增,设,则在上上恒成立, 因此在上恒成立因此,而在上单调递减, 因此时,．由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此,设,则．当时,, 因此在内单调递减, 在内单调递增,因此．综上述,．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性25. 解：(1)由题意得2a ＝4，故a ＝2， ……………1分 ∵e ＝c a ＝22，∴c ＝2，b 2＝22－(2)2＝2，……………3分 ∴所求的椭圆方程为x 24＋y 22＝1. ……………4分(2)依题意，直线AS 的斜率k 存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)，从而M (3,5k )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋x 24＋y22＝1得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0. (6)分设S (x 1，y 1)，则(－2)×x 1＝8k 2－41＋2k 2，得x 1＝2－4k 21＋2k 2，从而y 1＝4k1＋2k2，即S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2， ……………8分又由B (2,0)可得直线SB 的方程为y －04k 1＋2k 2－0＝x －22－4k21＋2k2－2， 化简得y ＝－12k (x －2)， ……………10分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12k x －，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－12k ，∴N ⎝⎛⎭⎪⎫3，－12k ，……………11分故|MN |＝5k ＋12k ，……………12分又∵k >0，∴|MN |＝5k ＋12k≥25k ·12k＝10，…………14分当且仅当5k ＝12k ，即k ＝1010时等号成立．∴k ＝1010时，线段MN 的长度取最小值10.……………15分。