对2013年安徽省数学高考理科第18题的进一步探究
上．
（ １ ） 若 椭 圆 Ｅ 的焦距 为 １ ， 求 椭 圆 Ｅ 的方程 ； （ ２ ） 设Ｆ ， 分别是 椭 圆的左 、 右焦点 ， Ｐ 为
数学思维能力． 学生一般能很快“ 上手 ” ， 但要深入 则“ 困难重重” ， 具有很高的区分度 ， 是一道非常成 功 的试 题．
厶
从 而Ｑ （ ０ ，
因为 Ｆ Ｐ上Ｆ １ Ｑ， 所以
一
＝
ｋ Ｆ
Ｙ ｏ
‘
・
，
也满足定值关系 口 ＋（ ｋ 一 口 ）＝ｋ （ ｋ 为 定值 ） ． 记 ， 分别是椭 圆的左、 右焦点 ， Ｐ为椭圆 Ｅ上 的第一象 限内的点 ， 直线 Ｆ ２ Ｐ交 Ｙ 轴 于点 Ｑ， 并且
２ 试 题 的一 般化
２
． ，
椭圆 Ｅ上的第一象 限内的点 ， 直线 Ｆ Ｐ交 Ｙ轴于 点Ｑ ， 并且 Ｐ上 Ｆ Ｑ， 证 明： 当ａ 变化 时， 点 Ｐ在某 定 直 线 上．
解
在上面的解答过程中 ， 笔者发现椭圆方程 ＋
口
２
（ ２ ０ １ ３年安徽省数 学高考理科试题第 １ ８ 题） （ １ ） 略．
同理 可得 ： （ １ ） 点 Ｐ 为椭 圆 Ｅ（ 注： 椭 圆 Ｅ 的 方 程 与命 题 １相 同 ） 上 第 三象 限 内的 点 ， 则 当 ０变化
消去 ０得
０＋ Ｙ ｏ ＝ ，
时， 点Ｐ在定直线 ＋ Ｙ＝一 后 上； （ ２ ） 点Ｐ为椭 圆Ｅ
（ 注： 椭 圆 Ｅ的 方 程 与 命 题 １相 同） 上第四象限 内
１ ＝１中 的分 母 之 间存 在着 定 值 关 系 ： 口 ＋
１ 一 “
（ ２ ） 依 题 意 可 得 ， 丢＜
ａ ＜１ ．设 Ｐ（ ｏ ， Ｙ ｏ ）（ ‰ ＞０， Ｙ ｏ＞ Ｏ ） ， Ｆ （一ｃ ， ０ ） ， （ ｃ ， ０） ， 则直 线 Ｐ 的方程 为
留给 我们 的 一笔 巨大 “ 财富” ， 可 以 有 效 地 指 导 我
线垂直、 点在定直线 上等） ， 体现了解析几何 的核 心思 想． 学生 在 处理 此 题 时 ， 关 键 是 怎 样 将 几 何 条 件代数化 （ 如线线垂直转化 为斜率 之积为 一１ ， 点 在直线上就是点 的坐标满足直线方程等 ） ， 当然其
即当０变化时， 点 Ｐ在定直线 ＋ Ｙ ＝ １上． 评注 此题主要考查椭圆的标 准方程 ， 考查学 生利用椭 圆的标准方 程研 究相关 的几何性质 （ 线
・
２ ０・
中学教研 （ 数 学）
又 点 Ｐ（ 。 ， 。 ） 在椭 圆 Ｅ上 ， 从 而
２
Ｘ０
，
２
０ 一 ＿ Ｉ ＿ ， Ｙ ｏ ： 一 — ，
即 当 ８变化 时 ， 点 Ｐ在 定 直线 ＋， ， ＝Ｊ ｝ 上．
至此 ， 笔者发现“ 巧合” 背后 的异 常精彩 ， 同时 找到试题命制的“ 源头” ：
２
，
的点， 则 当ｎ变化时， 点Ｐ在定直线 — Ｙ ＝ 后 上．
将 上 面讨 论 的结果 叙 述如下 ：
２ ２
．
（ １ 一 ａ ） ＝１ ， 这是否是一种美妙 的“ 巧合” ？若将
． ，
２
．
．
２
试题 中的椭圆方程修改为 ： － ７＋
Ｕ ２
．
＝ １ （ 其中
／ ｉ ； 一 Ｕ
ｆ
图 １
ｋ＞ ０ ， 且 ＜ｎ ＜ｋ 。 ） ， 椭 圆的 焦点 在 轴 上 ， 并 且
们今后的教学工作． 笔者研究 了部分高考真题 ， 其 中最令 笔 者 感兴趣 的是 ２ ０ １ ３年 安徽 省 数学 高 考理
科 试题 第 １ ８题． １ 试 题 及答 案 呈现
２
，
２
题目 设 椭 圆 Ｅ： ＋
口 ｌ 一 口
＝１的焦 点在 轴
．
中还涉及到一些代数计算 ， 这可能会成为解决问题 的“ 拦路虎” ， 而这往往是学生解析几何学 习 中最 薄 弱 的． 本 题综 合 考 查 了学 生 的计 算 能 力 、 转 化 和
２
命题 １ 设椭圆 Ｅ ： ＋
７ ． ２
：１ （ 其中 ＞ ０ ，
命题 ２ 设 椭 圆 Ｅ： ＋
，
一
２ 。 ＋ ｌ ２
２＝ １ ，
（ ＼ ４ 。 ） ，
消去 （ ４ ） 知
２ ２
即 当 ０变 化 时 ， 点 Ｐ在 定 直 线 一Ｙ＝一 上．
， ， Ｙ ｏ 一 ｏ＝
０
，
第 ８期
施 刚 良： 对２ ０ １ ３年安徽省数 学高考理科第 １ ８题 的进一步探 究
・１ ９・
对２ ０ １ ３ 年 安徽 省 数 学 高 考理 科 第１ ８ 题 的进 一 步 探 究
●施 刚 良 （ 德清县第三中学 浙江德清 ３ １ ３ ２ ０ １ ）
２ ０ １ ３ 年全 国高考 已经结束 ， 高考试题是高考
又点 尸（ 。 ， Ｙ ｏ ） 在椭 圆Ｅ上 ， 从而
≥＋ 口 １ ＿： ０ ｌ ，
口ｚ
一
（ ２ ）
由式 （ １ ） 与式 （ ２ ） 知
０＝０ ， Ｙ ０＝１一ｎ ，
从 而 Ｑ （ ０ ’
因为 Ｆ 尸上Ｆ Ｑ， 所以
＝
．
消去 口得
０ ＋ Ｙ ０ ＝１ ，
Ｆ Ｐ上Ｆ Ｑ， 当 口变 化 时 ， 点 Ｐ是 否 还 在 某 定 直 线
上？
１
１ Ｑ －
下 面 是具 体 的探 究过 程 ：
， ． ２
即
一） ， ２ ０ ＝ ｃ 。 ＝２ ａ 一１ ．
（ １ ）
依题 意 ， ＜ 口 。 ＜ 后 。 ． 设 Ｐ（ ０ ， Ｙ ０ ） （ ＞０ ， Ｙ ０＞ ０ ） ， Ｆ 。 （一 ｃ ， ０ ） ， （ Ｃ ， ０ ） ， 则 直 线 Ｐ 的方程 为
2013年安徽省高考数学试卷(理科)
2013年安徽省高考数学试卷（理科)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1．(5分)(2013•安徽)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数,若(z•)i+2=2z,则z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分)（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图)的输出结果是（）A．B．C．D．3．（5分)（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．（5分）（2013•安徽）“a≤0”是“函数f（x）=|(ax﹣1)x|在区间（0,+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．(5分)（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86，94，88,92，90，五名女生的成绩分别为88,93，93，88,93，下列说法正确的是()A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数6．（5分）（2013•安徽)已知一元二次不等式f(x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞｝，则f（10x）＞0的解集为（)A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2｝B．{x｜﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x｜x＞﹣lg2｝D．｛x｜x＜﹣lg2｝7．（5分)（2013•安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（) A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=18．（5分）（2013•安徽）函数y=f(x)的图象如图所示,在区间［a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n,使得=…=，则n的取值范围是（）A．{3，4｝B．{2,3，4}C．{3，4，5}D．｛2，3}9．(5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A,B满足||=｜|=•=2，则点集{P|=λ+μ，｜λ|+｜μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B． C． D．10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2,且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x）)2+2af(x）+b=0的不同实根个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分,把答案填写在答题卡上11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=．12．（5分)（2013•安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c,若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．13．(5分)（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为．14．（5分)（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2,…，A n，…和B1，B2，…，B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n｝的通项公式是．15．（5分)（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q 为线段CC1上的动点,过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时,S的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1)求ω的值；（2）讨论f（x)在区间[0，]上的单调性．17．(12分)（2013•安徽)设函数f(x)=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0,区间I=｛x|f(x)＞0}（Ⅰ）求I的长度(注:区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ)给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．18．（12分）（2013•安徽)设椭圆E:的焦点在x轴上（1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程;（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．19．(13分）（2013•安徽)如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22。
2013年高考理科数学安徽卷word解析版
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线
4．(2013安徽，理4)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内
单调递增”的()．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2013安徽，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五
10．(2013安徽，理10)若函数f(x)＝x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))
3＋ax2＋bx＋c有极值点x
A．3B．4C．5D．6
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
8
a
4
的系数为7a__________.，则实数＝
6
2
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡
上的指定区域内．
2013安徽理科数学第2页
16．(2013安徽，理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cosωx·
期为π.
(1)求ω的值；
sin
π
x(ω＞0)的最小正周
4
(2)讨论f(x)在区间0,
2．(2013安徽，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()．
125311
6B．24C．4D．12
A．
3．(2013安徽，理3)在下列命题中，不是．．公理的是()．
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此
2013年高考安徽卷理科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（安徽卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 A解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，因此z ＝1＋i. 2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.1112答案 D解析 赋值S ＝0，n ＝2 进入循环体：检验n ＝2<8， S ＝0＋12＝12，n ＝2＋2＝4； 检验n <8， S ＝12＋14＝34，n ＝4＋2＝6； 检验n <8，S ＝34＋16＝1112，n ＝6＋2＝8，检验n ＝8，脱离循环体， 输出S ＝1112.3．在下列命题中，不是公理的是( ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案 A解析 B 、C 、D 选项是公理．4．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a ＝0，f (x )＝|x |在(0，＋∞)上单调递增； 若a ≠0，f (x )＝|(ax －1)x |＝(ax －1)2x 2 f ′(x )＝2a 2x ⎝⎛⎭⎫x －12a ⎝⎛⎭⎫x －1a |(ax －1)x |；当x >0时，若a <0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上递增． 若a >0，由f ′(x )>0解得0<x <12a 或x >1a.因此“a ≤0”⇔“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”．5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( ) A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 答案 C解析 x 男＝15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，x 女＝15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，s 2甲＝15(42＋42＋22＋22＋02)＝8， s 2乙＝15(32＋22＋22＋32＋22)＝6. 6．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 答案 D解析 由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.7．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 答案 B解析 如图，在极坐标系中圆ρ＝2cos θ与圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝π2和ρcos θ＝2.8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值范围为( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}答案 B解析 过原点作直线与函数y ＝f (x )的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n 的取值范围是{2,3,4}．9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →.|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( ) A ．2 2 B ．2 3C ．4 2D ．4 3答案 D解析 由|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝π3，点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域如图所示；其面积为4S △AOB ＝4 3.10．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 A解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知x 1≠x 2，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋2ax 1＋b ＝0，3x 22＋2ax 2＋b ＝0，若x 1<x 2，作y ＝x 1，y ＝x 2与f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个不同交点．即方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同的实根． 若x 1>x 2，如图同理方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同实根．二、填空题11．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.答案 12解析T r ＋1＝C r 8x8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝a r C r 8x 8－43r ，由8－43r ＝4得r ＝3，由已知条件a 3C 38＝7，则a 3＝18，a ＝12.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.13．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x 2＋(y －a )2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1≥0，解得a ≥1.14．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．答案 a n ＝3n －2解析 由已知S 梯形A n B n B n ＋1A n ＋1＝S 梯形A n ＋1B n ＋1B n ＋2A n ＋2 S △OB n ＋1A n ＋1－S △OB n A n ＝S △OB n ＋2A n ＋2－S △OB n ＋1A n ＋1， 即S △OB n A n ＋S △OB n ＋2A n ＋2 ＝2S △OB n ＋1A n ＋1由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2n ＋OA 2n ＋2＝2OA 2n ＋1，即a 2n ＋a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 因此{a 2n }为等差数列a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，a n ＝3n －2.15．如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<CQ <12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13；④当34<CQ <1时，S 为六边形；⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62. 答案 ①②③⑤解析 截面S 与DD 1的交点为M ，由平面与平面平行的性质定理知AM ∥PQ ，若0<CQ <12，则M 在线段DD 1上(不包括端点)如图S 为四边形，命题①正确；当CQ ＝12时，M 点与D 1重合，四边形APQD 1为等腰梯形，命题②正确；当CQ ＝34时，由△PCQ ∽△ADM ，DM AD ＝CQ PC ，则DM ＝AD ·CQ PC ＝32.连接MQ 交C 1D 1于R 点C 1R D 1R ＝C 1QD 1M＝12，即D 1R ＝2C 1R ，又D 1R ＋C 1R ＝1，则C 1R ＝13故命题③正确．当34<CQ <1时，连接AM 交A 1D 1于N ，则截面S 为五边形APQRN ，命题④错误．当CQ ＝1时，截面S 为菱形，其对角线长分别为2，3，则S 的面积12·2·3＝62，故命题⑤正确．三、解答题16．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 (1)f (x )＝4cos w x ·sin ⎝⎛⎭⎫w x ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2 ωx ＋cos2 ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2 ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0. 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2. 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4， 即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．17．设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解 (1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a 1＋a 2. 故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}． 因此区间I ＝⎝⎛⎭⎫0，a1＋a 2，I 的长度为a1＋a 2.(2)设d (a )＝a1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2(1＋a 2)2.令d ′(a )＝0，得a ＝1. 由于0<k <1，故1－k ≤a <1时， d ′(a )>0，d (a )单调递增； 当1<a ≤1＋k 时， d ′(a )<0，d (a )单调递减． 所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得． 而d (1－k )d (1＋k )＝1－k1＋(1－k )21＋k 1＋(1＋k )2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3<1. 故d (1－k )<d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k 2.18．设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． (1)解 因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c.直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝⎛⎭⎫0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限． 解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2. 即点P 在定直线x ＋y ＝1上．19．如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°. (1)证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面； (2)求cos ∠COD .(1)证明 设面P AB 与面PCD 的交线为l .因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD . 又因为AB ⊂面P AB ，面P AB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l . 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知， l 与底面平行．(2)解 设CD 的中点为F ， 连接OF ，PF .由圆及等腰三角形的性质知，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD . 又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF . 又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD . 从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF .故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角． 由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP ·tan ∠OPF ＝h ·tan 60°＝3h . 根据题设有∠OCP ＝22.5°， 得OC ＝OP tan ∠OCP ＝h tan 22.5°.由1＝tan 45°＝2tan 22.5°1－tan 222.5°和tan 22.5°>0，可解得tan 22.5°＝2－1. 因此OC ＝h2－1＝(2＋1)h . 在Rt △OCF 中，cos ∠COF ＝OF OC ＝3h(2＋1)h ＝6－ 3.故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1 ＝2(6－3)2－1＝17－12 2.20．设函数f n (x )＝－1＋x ＋x 222＋x 332＋…＋x nn 2(x ∈R ，n ∈N *)．证明：(1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈⎣⎡⎦⎤23，1，满足f n (x n )＝0； (2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <1n .证明 (1)对每个n ∈N *，当x >0时， f n ′(x )＝1＋x2＋…＋x n －1n>0.故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增． 由于f 1(1)＝0，当n ≥2时， f n (1)＝122＋132＋…＋1n2>0.故f n (1)>0.所以存在唯一的x n ∈⎣⎡⎦⎤23，1，满足f n (x n )＝0.(2)当x>0时，f n ＋1(x)＝f n (x)＋x n ＋1(n ＋1)2>f n (x)， 故f n ＋1(x n )>f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f (n ＋1)(x)在(0，＋∞)内单调递增知x n ＋1<x n .故{x n }为单调递减数列．从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p <x n .对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝－1＋x n ＋x 2n 22＋…＋x n n n 2＝0.① f n ＋p (x n ＋p )＝－1＋x n ＋p ＋x 2n ＋p 22＋…＋x n n ＋p n 2＋x n ＋1n ＋p (n ＋1)2＋…＋x n ＋p n ＋p (n ＋p )2＝0.② ①式减去②式并移项，利用0<x n ＋p <x n ≤1，得∑n ＋pk ＝n ＋11k (k －1)＝1n －1n ＋p <1n. 因此，对任意p ∈N *，都有0<x n －x n ＋p <1n. 21．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .解 (1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝C k －1n －1C k n ＝k n ，故P (A )＝P (B )＝1－k n .因此学生甲收到活动通知信息的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－k n 2＝2kn －k 2n 2. (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k <n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(C k n )2.当X ＝m时，同时收到李老是和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －kx 由乘法计数原理知：事件|X ＝m |所含基本事件数为C k n C 2k －m k C m －k n －k ＝C k n C m －k k C m －k n －k . 此时P (X ＝m )＝C k n C 2k －m k C m －k n －k (C k n )2＝C m －k k C m －k n －k C k n . 当k ≤m ＜t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C m －k k C m －k n －k ≤C m ＋1－k k C m ＋1－k n －k ⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m )⇔m ≤2k －(k ＋1)2n ＋2.假如k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<t 成立． 则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时．k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<2k ＋1－(k ＋1)2n ＋2≤t . 故P (X ＝m )在m ＝2k －(k ＋1)2n ＋2和 m ＝2k ＋1－(k ＋1)2n ＋2处达最大值； 当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时．P (X ＝m )在m ＝2k －⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k ＋1)2n ＋2处达最大值． (注：[x ]表示不超过x 的最大整数)．下面证明k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<t . 因为1≤k <n ，所以2k －(k ＋1)2n ＋2－k ＝kn －k 2n ＋2－1≥ k (k ＋1)－k 2－1n ＋2＝k －1n ＋2≥0. 而2k －(k ＋1)2n ＋2－n ＝－(n －k ＋1)2n ＋2<0. 故2k －(k ＋1)2n ＋2<n .显然2k －(k ＋1)2n ＋2<2t . 因此k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<1.。
2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
2013年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（=8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（）1211211．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=_________．12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=_________．13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为_________．14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是_________．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．20．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x n，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．2013年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，代入），则，由则，解得S=+的值，并输出．S=+的值S=++．）=5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，[）﹣﹣6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为，由指数函数的单调性可得解集．}＜可化为，即（故圆的两条切线方程分别为8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）由解：∵表示（若本题考查的知识点是斜率公式，正确理解9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（）=满足=）．再设由．所以，解得等价于或或则区域面积为1211211．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=．，的展开式中，∴，解得故答案为．角C=．cosC=﹣C=故答案为：A为直角，可得A B，=m14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．，利用已知可得的中位线，得到，梯形相似比的平方可得：，，，已知，，可得}解：设，∵的中位线，∴，∴梯形）都相似，∴，，，∴，}，故．．故答案为．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．CQ==，只需在CQ=N=，故正确；＜为菱形，故其面积为AC PF=16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．]2x+]）sin cos（+x++=2x+），，所以2x+≤≤2x+时，即时，≤2x+时，即[，17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a）x，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0} （Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；，，），区间长度为=＜上取得最小值长度的最小值为18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出），其中的斜率=的方程为Q．得到直线的斜率．利用．化为，∴，解得的方程为．），其中的斜率==．的方程为．，解得Q．的斜率==化为联立解得底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；，∴OC=COF=1220．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x n，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．）＜，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立．1+x+++++（+[+•+×﹣＜n++++++]≤≤=．．和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；立事件，所以相互独立，由于=，故（）﹣﹣所包含的基本事件总数为（包含的基本事件数为﹣﹣＜﹣[]﹣k=≥＜＜﹣。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(安徽卷,含答案)
π
2
(ρ ∈ R)和ρ cos=2
θ =0(ρ ∈ R )和ρ cos=1
可找到 n(n ≥ 2)
8 函数 y =f (x ) 的 个
如 所示，在区间 [ a,b ]
的数 x1 ,x2 ...,xn , 使得 A C 9
f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) = = , 则 n 的取值范围是 x1 x2 xn
86,94,88,92,90，五 女生的成绩
这种抽样方法是一种 层抽样 这种抽样方法是一种系统抽样 这五 男生成绩的方差大于这五 女生成绩的方差 该班级男生成绩的 均数小于该班女生成绩的 均数
6 已知一元 次 等式 f (x )<0 的解集 A C
{ x |x <-1或x >
1 2
} ，则 f (10 x )>0 的解集
π
(ϖ > 0) 的最小 周期 π 4
讨论 f ( x ) 在区间 [ 0, 2] 17 本小题满 12
的单调性
设函数 f ( x ) = ax − (1 + a 2 ) x 2 ，其中 a > 0 ，区间 I =| x f (x)>0 求的长度 注 区间 (α , β ) 的长度定
在点 C ，使得 ∠ABC
别在角 O 的两条边 ，所有
An Bn 相互 行，且所有梯形 An Bn Bn +1 An +1 的面积均相等 设 OAn = an . 若 a1 = 1, a2 = 2, 则数
列 {an } 的通项 式是____________ 15 如 ， 方体 ABCD − A1 B1C1 D1 的棱长 过点 A,P,Q 的 面截该 方体所得的截面记 确命题的编号 当 0 < CQ < 当 CQ = 1，P 分 则 BC 的中点，Q 线段 CC1 的动点，
2013年安徽省高考数学理科(精校版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. （1）设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z i z z 22=+⋅，则z =(A)1+i (B)1-i (C)-1+i (D)-1-i （2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是(A)61 (B)2425 (C)43 (D)1211 （3）在下列命题中，不是公理的是(A)平行于同一个平面的两个平面平行(B)过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面(C)如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 (D)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （4）“0a ≤”是“函数()(1)f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法一定正确的是(A)这种抽样方法是一种分层抽样 (B)这种抽样方法是一种系统抽样(C)这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 (D)该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 （6）已知一元二次不等式()0f x >的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则(10)0xf >的解集为 (A){}1lg 2x x x <->-或 (B){}1lg 2x x -<<- (C){}lg 2x x >- (D){}lg 2x x <-（7）在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为(A)()0cos 2θρρθ=∈=R 和 (B)()cos 22θρρθπ=∈=R 和 (C)()cos 12θρρθπ=∈=R 和 (D)()cos 12θρρθπ=∈=R 和（8）函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ，上可找到(2)n n ≥个不同的数11n x x x ,⋯,，，使得nn x x f x x f x x f )(...)()(2211===，则n 的取值范围是 (A){3，4} (B){2，3，4} (C){3，4，5} (D){2，3}（9）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=,则点集{|,||||1,,}P OP OA OB λμλμλμ=++≤∈R所表示的区域面积是(A)22 (B)32 (C)24 (D)34 （10）若函数32()f x ax ax bx c =+++有极值点12,x x ，且11()f x x =，则关于x 的方程()23()2()0f x af x b ++=的不同实根个数是(A)3 (B)4 (C)5 (D)6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上. （11）若83)(xa x +的展开式中4x 的系数为7，则实数a =____. （12）设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若+=2,3sin 5sin b c a A B =，则角C =_____.（13）已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点，若该抛物线上存在点C,使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为_____.（14）如图，互不相同的点12,,,n A A A ⋯,⋯和12,,,n B B B ⋯,⋯分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等，设n n OA a =，若1212a a ==，，则数列{}n a 的通项公式是_______.（15）如图，正方体1111ABCD A BC D -棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号). ①当0<CQ <21时，S 为四边形②当CQ =21时，S 为等腰梯形③当CQ =43时，S 与11C D 的交点R 满足1C R =31④当43<CQ <1时，S 为六边形⑤当CQ =1时，S 的面积为26Q1A BC三、解答题：本大题共6小题，共75分。
2013年高考真题—理科数学(安徽卷)精校精析
2013年高考真题精校精析2013·安徽卷(理科数学)1． 设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i1．A [解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈)，则z ＝a －b i ，所以z ·z i ＋2＝2z ，即2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，根据复数相等的充要条件得2＝2a ，a 2＋b 2＝2b ，解得a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.2． 如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )图1－1A.16B.2524C.34D.11122．D [解析] 依次运算的结果是s ＝12，n ＝4；s ＝12＋14，n ＝6；s ＝12＋14＋16，n ＝8，此时输出s ，故输出结果是12＋14＋16＝1112.3． 在下列命题中，不是．．公理的是( ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．A [解析] 选项B 、C 、D 中的都是公理，都是平面的三个基本性质． 4．、 “a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．C [解析] f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |，若a ＝0，则f (x )＝|x |，此时f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；若a <0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a <0，且x ＝0时y ＝0，此时y ＝ax 2－x 在区间(0，＋∞)上单调递减且y <0恒成立，故f (x )＝|ax 2－x |在区间(0，＋∞)上单调递增，故a ≤0时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的；反之若a >0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a >0，且在区间0，12a 上y <0，此时f (x )＝|ax 2－x |在区间0，12a 上单调递增，在区间12a ，1a 上单调递减，故函数f (x )不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的． 5．、 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数5．C [解析] 分层抽样是按照比例的抽样，由于男女生人数不同，抽取的人数相同；系统抽样是按照一定规则的分段抽样，故题中抽样方法即不是分层抽样也不是系统抽样．又五名男生的成绩的平均数为90，方差为8，五名女生成绩的平均数是91，方差为6，但该班所有男生成绩的平均数未必小于该班所有女生成绩的平均数．故选项C 中的结论正确，选项D 中的结论不正确．6．、、 已知一元二次不等式f (x )<0的解集为，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}6．D [解析] 根据已知可得不等式f (x )>0的解是－1<x <12，故－1<10x <12，解得x <－lg 2.7． 在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈)和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈)和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈)和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈)和ρcos θ＝17．B [解析] 圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为x ＝0，x ＝2，其极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈)和ρcos θ＝2.8． 函数y ＝f (x )的图像如图1－2所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值范围是( )图1－2A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}8．B [解析] 问题等价于直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2，3，4，故n 的取值范围是{2，3，4}．9．、 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈}所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 39．D [解析] 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上且∠AOB ＝60°，在平面直角坐标系中，设A (2，0)，B (1，3)，设P (x ，y )，则(x ，y )＝λ(2，0)＋μ(1，3)，由此得x＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y 3，λ＝12x －12 3y ，由于|λ|＋|μ|≤1，所以12x －12 3y ＋13y ≤1，即|3x －y |＋|2y |≤2 3.①⎩⎨⎧3x －y ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤2 3或②⎩⎨⎧3x －y ≥0，y <0，3x －3y ≤2 3或 ③⎩⎨⎧3x －y <0，y ≥0，－3x ＋3y ≤23或④⎩⎨⎧3x －y <0，y <0，－3x －y ≤2 3.上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4 3.10．， 若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．610．A [解析] 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0且3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根分别为x 1，x 2，所以f (x )＝x 1或f (x )＝x 2，当x 1是极大值点时，f (x 1)＝x 1，x 2为极小值点，且x 2>x 1，如图(1)所示，可知方程f (x )＝x 1有两个实根，f (x )＝x 2有一个实根，故方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根；当x 1是极小值点时，f (x 1)＝x 1，x 2为极大值点，且x 2<x 1，如图(2)所示，可知方程f (x )＝x 1有两个实根，f (x )＝x 2有一个实根，故方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根；综合以上可知，方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根．11． 若x ＋a 3x8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.11.12 [解析] 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a rx 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，解得a ＝12.12． 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.12.2π3 [解析] 由3sin A ＝5sin B 可得3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，所以可令a ＝5t ，b ＝3t ，c ＝7t (t >0)，可得cos C ＝（5t ）2＋（3t ）2－（7t ）22×5t ×3t＝－12，故C ＝2π3.13． 已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．13．[1，＋∞) [解析] 方法一：设直线y ＝a 与y 轴交于M 点，若抛物线y ＝x 2上存在C 点使得∠ACB ＝90°，只要以|AB |为直径的圆与抛物线y ＝x 2有除A 、B 外的交点即可，即使|AM |≤|MO |，所以a ≤a ，所以a ≥1或a ≤0，因为由题意知a >0，所以a ≥1.方法二：设C (m ，m 2)，由已知可令A (a ，a )，B (－a ，a )，则AC →＝(m －a ，m 2－a )，BC →＝(m ＋a ，m 2－a )，因为AC →⊥BC →，所以m 2－a ＋m 4－2am 2＋a 2＝0，可得(m 2－a )(m 2＋1－a )＝0，解得m 2＝a >0且m 2＝a －1≥0，故a ∈[1，＋∞)．图1－314． 如图1－3所示，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．14．a n ＝3n －2 [解析] 令S △OA 1B 1＝m (m >0)，因为所有A n B n 相互平行且a 1＝1，a 2＝2，所以S 梯形A 1B 1B 2A 2＝3m ，当n ≥2时，a n a n －1＝OA nOA n －1＝m ＋（n －1）×3mm ＋（n －2）×3m ＝3n －23n －5， 故a 2n ＝3n －23n －5a 2n －1， a 2n －1＝3n －53n －8a 2n －2， a 2n －2＝3n －83n －11a 2n －3， …… a 22＝41a 21 以上各式累乘可得a 2n ＝(3n －2)a 21，因为a 1＝1，所以a n ＝3n －2.15． 如图1－4所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．图1－4①当0<CQ <12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13；④当34<CQ <1时，S 为六边形；⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62. 15．①②③⑤ [解析] 对于①②，如图(1)所示，因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，的棱长为1，当CQ ＝12时，PQ ＝22，这时过A ，P ，Q 三点的截面与正方体表面交于D 1，AP ＝D 1Q ＝52，且PQ ∥AD 1，截面S 为等腰梯形， 当CQ <12时，过A ，P ，Q 三点的截面与正方体表面的交点在棱DD 1上，截面S 为四边形，故①②正确．对于③④⑤，如图(2)所示，联结QR 并延长交DD 1的延长线于N 点，联结AN 交A 1D 1于M ，取AD 中点G ，作GH ∥PQ 交DD 1于H 点，可得GH ∥AN ，且GH ＝12AN ，设CQ ＝t ()0≤t ≤1，则DN ＝2t ，ND 1＝2t －1，ND 1C 1Q ＝D 1R RC 1＝2t －11－t， 当t ＝34时，D 1R C 1R ＝21，可得C 1R ＝13，故③正确，当34<t <1时，S 为五边形，故④错误， 当t ＝1时，Q 与C 重合，M 为A 1D 1的中点， S 为菱形PC 1MA ，AM ＝AP ＝PC 1＝C 1M ＝52，MP ＝2，AC 1＝3，S 的面积等于12×2×3＝62，故⑤正确．16． 已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间0，π2上的单调性．16．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π4＝2 2sin ωx ·cos ωx ＋2 2cos 2 ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin2ωx ＋π4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin2x ＋π4＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减．17． 设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0，1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值． 17．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a1＋a 2，故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}， 因此区间I ＝0，a 1＋a 2，I 的长度为a1＋a 2.(2)设d (a )＝a1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2（1＋a 2）2.令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增； 当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得． 而d （1－k ）d （1＋k ）＝1－k1＋（1－k ）21＋k 1＋（1＋k ）2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3<1， 故d (1－k )<d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k ，1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k 2，则I 长度的最小值为1－k2－2k ＋k 2.18．、、 设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．18．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c ，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c ，故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c (x －c )．x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 的坐标为0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．19．、 如图1－5，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面； (2)求cos ∠COD .图1－519．解：(1)证明：设面P AB 与面PCD 的交线为l ， 因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD . 又因为AB ⊂面P AB ，面P AB 与PCD 的交线为l ， 所以AB ∥l ，由直线AB 在底面上而l 在底面外可知， l 与底面平行．(2)设CD 的中点为F ，连接OF ，PF .由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD ， 又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD .因此面OPF ⊥面PCD .从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP ·tan ∠OPF ＝h ·tan 60°＝3h .根据题设有∠OCP ＝22.5°，得OC ＝OP tan ∠OCP ＝htan 22.5°.由1＝tan45°＝2tan 22.5°1－tan 2 22.5°和tan 22.5°>0，可解得tan 22.5°＝2－1，因此OC ＝h2－1＝(2＋1)h . 在Rt △OCF 中，cos ∠COF ＝OF OC ＝3h（2＋1）h＝6－3，故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝2(6－3)2－1＝17－12 2. 20．、 设函数f n (x )＝－1＋x ＋x 222＋x 332＋…＋x nn 2(x ∈，n ∈*)．证明：(1)对每个n ∈*，存在唯一的x n ∈23，1，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p ∈*，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <1n .20．证明：(1)对每个n ∈*，当x >0时，f ′n (x )＝1＋x2＋…＋x n －1n>0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增．由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，f n (1)＝122＋132＋…＋1n 2>0.故f n (1)≥0.又f n 23＝－1＋23＋∑k ＝2n 23kk 2≤－13＋14∑k ＝2n23k＝－13＋14·⎝⎛⎭⎫2321－23n －11－23＝－13·23n －1<0.所以存在唯一的x n ∈23，1，满足f n (x n )＝0.(2)当x >0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋x n ＋1（n ＋1）2≥f n(x )，故f n ＋1(x n )>f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增，x n ＋1<x n ，故{x n }为单调递减数列． 从而对任意n ，p ∈*，x n ＋p <x n .对任意p ∈*，由于f n (x n )＝－1＋x n ＋x 2n 22＋…＋x n nn2＝0，①f n ＋p (x n ＋p )＝－1＋x n ＋p ＋x 2n ＋p 22＋…＋x n n ＋p n 2＋x n ＋1n ＋p （n ＋1）2＋…＋x n ＋pn ＋p（n ＋p ）2＝0，②①式减去②式并移项，利用0<x n ＋p <x n ≤1，得x n －x n ＋p ＝∑k ＝2nx k n ＋p －x k n k 2＋∑k ＝n ＋1n ＋p x k n ＋p k 2≤∑k ＝n ＋1n ＋p x k n ＋pk2 ≤∑k ＝n ＋1n ＋p1k 2<∑k ＝n ＋1n ＋p 1k （k －1）＝1n－1n ＋p <1n .因此，对任意p ∈*，都有0<x n －x n ＋p <1n.21．、 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .21．解：(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝C k －1n －1C k n ＝k n ，故P (A )＝P (B )＝1－k n，因此学生甲收到活动通知信息的概率P ＝1－1－k n 2＝2kn －k2n 2.(2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k <n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者，由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(C k n )2，当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m ，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k ，由乘法计数原理知事件{X ＝m }所含基本事件数为C k n C 2k －m k C m －k n －k ＝C k n C m －k kC m －kn －k ， 此时P (X ＝m )＝C k n C 2k －m k C m －k k （C k n ）2＝C m －k kC m －kn －k C k n . 当k ≤m <t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C m －k k C m －k n －k ≤C m ＋1－kkC m ＋1－kn －k⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m )⇔m ≤2k －（k ＋1）2n ＋2.假如k ≤2k －（k ＋1）2n ＋2<t 成立．则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k ≤2k －（k ＋1）2n ＋2<2k ＋1－（k ＋1）2n ＋2≤t ，故P (X ＝m )在m ＝2k －（k ＋1）2n ＋2和m ＝2k ＋1－（k ＋1）2n ＋2处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2k －（k ＋1）2n ＋2处达最大值．(注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2k －（k ＋1）2n ＋2<t .因为1≤k <n ，所以2k －（k ＋1）2n ＋2－k ＝kn －k 2－1n ＋2≥k （k ＋1）－k 2－1n ＋2＝k －1n ＋2≥0.而2k －（k ＋1）2n ＋2－n ＝－（n －k ＋1）2n ＋2<0，故2k －（k ＋1）2n ＋2<n ，显然2k －（k ＋1）2n ＋2<2k .因此k ≤2k －（k ＋1）2n ＋2<t。
2013年高考真题解析——安徽卷(数学理)纯word版
2013·安徽卷(理科数学)1． 设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i1．A [解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈)，则z ＝a －b i ，所以z ·z i ＋2＝2z ，即2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，根据复数相等的充要条件得2＝2a ，a 2＋b 2＝2b ，解得a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.2． 如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )图1－1A.16B.2524C.34D.11122．D [解析] 依次运算的结果是s ＝12，n ＝4；s ＝12＋14，n ＝6；s ＝12＋14＋16，n ＝8，此时输出s ，故输出结果是12＋14＋16＝1112.3． 在下列命题中，不是．．公理的是( ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．A [解析] 选项B 、C 、D 中的都是公理，都是平面的三个基本性质． 4．、 “a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．C [解析] f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |，若a ＝0，则f (x )＝|x |，此时f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；若a <0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a <0，且x ＝0时y ＝0，此时y ＝ax 2－x 在区间(0，＋∞)上单调递减且y <0恒成立，故f (x )＝|ax 2－x |在区间(0，＋∞)上单调递增，故a ≤0时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的；反之若a >0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a >0，且在区间0，12a 上y <0，此时f (x )＝|ax 2－x |在区间0，12a上单调递增，在区间12a ，1a 上单调递减，故函数f (x )不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的．5．、 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数5．C [解析] 分层抽样是按照比例的抽样，由于男女生人数不同，抽取的人数相同；系统抽样是按照一定规则的分段抽样，故题中抽样方法即不是分层抽样也不是系统抽样．又五名男生的成绩的平均数为90，方差为8，五名女生成绩的平均数是91，方差为6，但该班所有男生成绩的平均数未必小于该班所有女生成绩的平均数．故选项C 中的结论正确，选项D 中的结论不正确．6．、、 已知一元二次不等式f (x )<0的解集为，则f (10x )>0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >－lg 2} B ．{x |－1<x <－lg 2} C ．{x |x >－lg 2} D ．{x |x <－lg 2}6．D [解析] 根据已知可得不等式f (x )>0的解是－1<x <12，故－1<10x <12，解得x <－lg 2.7． 在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈)和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈)和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈)和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈)和ρcos θ＝17．B [解析] 圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为x ＝0，x ＝2，其极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈)和ρcos θ＝2.8． 函数y ＝f (x )的图像如图1－2所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值范围是( )图1－2A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}8．B [解析] 问题等价于直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2，3，4，故n 的取值范围是{2，3，4}．9．、 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈}所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 39．D [解析] 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上且∠AOB ＝60°，在平面直角坐标系中，设A (2，0)，B (1，3)，设P (x ，y )，则(x ，y )＝λ(2，0)＋μ(1，3)，由此得x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y 3，λ＝12x －12 3y ，由于|λ|＋|μ|≤1，所以12x －12 3y ＋13y ≤1，即|3x －y |＋|2y |≤2 3.①⎩⎨⎧3x －y ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤2 3或②⎩⎨⎧3x －y ≥0，y <0，3x －3y ≤2 3或 ③⎩⎨⎧3x －y <0，y ≥0，－3x ＋3y ≤23或④⎩⎨⎧3x －y <0，y <0，－3x －y ≤2 3.上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4 3.10．， 若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．610．A [解析] 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0且3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根分别为x 1，x 2，所以f (x )＝x 1或f (x )＝x 2，当x 1是极大值点时，f (x 1)＝x 1，x 2为极小值点，且x 2>x 1，如图(1)所示，可知方程f (x )＝x 1有两个实根，f (x )＝x 2有一个实根，故方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根；当x 1是极小值点时，f (x 1)＝x 1，x 2为极大值点，且x 2<x 1，如图(2)所示，可知方程f (x )＝x 1有两个实根，f (x )＝x 2有一个实根，故方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根；综合以上可知，方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根．11． 若x ＋a 3x8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.11.12 [解析] 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a rx 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，解得a ＝12.12． 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.12.2π3 [解析] 由3sin A ＝5sin B 可得3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，所以可令a ＝5t ，b ＝3t ，c ＝7t (t >0)，可得cos C ＝（5t ）2＋（3t ）2－（7t ）22×5t ×3t＝－12，故C ＝2π3.13． 已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB为直角，则a 的取值范围为________．13．[1，＋∞) [解析] 方法一：设直线y ＝a 与y 轴交于M 点，若抛物线y ＝x 2上存在C 点使得∠ACB ＝90°，只要以|AB |为直径的圆与抛物线y ＝x 2有除A 、B 外的交点即可，即使|AM |≤|MO |，所以a ≤a ，所以a ≥1或a ≤0，因为由题意知a >0，所以a ≥1.方法二：设C (m ，m 2)，由已知可令A (a ，a )，B (－a ，a )，则AC →＝(m －a ，m 2－a )，BC →＝(m ＋a ，m 2－a )，因为AC →⊥BC →，所以m 2－a ＋m 4－2am 2＋a 2＝0，可得(m 2－a )(m 2＋1－a )＝0，解得m 2＝a >0且m 2＝a －1≥0，故a ∈[1，＋∞)．图1－314． 如图1－3所示，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．14．a n ＝3n －2 [解析] 令S △OA 1B 1＝m (m >0)，因为所有A n B n 相互平行且a 1＝1，a 2＝2，所以S 梯形A 1B 1B 2A 2＝3m ，当n ≥2时，a n a n －1＝OA nOA n －1＝m ＋（n －1）×3mm ＋（n －2）×3m ＝3n －23n －5， 故a 2n ＝3n －23n －5a 2n －1， a 2n －1＝3n －53n －8a 2n －2， a 2n －2＝3n －83n －11a 2n －3， …… a 22＝41a 21 以上各式累乘可得a 2n ＝(3n －2)a 21，因为a 1＝1，所以a n ＝3n －2.15． 如图1－4所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．图1－4①当0<CQ <12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13；④当34<CQ <1时，S 为六边形；⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62. 15．①②③⑤ [解析] 对于①②，如图(1)所示，因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，的棱长为1，当CQ ＝12时，PQ ＝22，这时过A ，P ，Q 三点的截面与正方体表面交于D 1，AP ＝D 1Q ＝52，且PQ ∥AD 1，截面S 为等腰梯形， 当CQ <12时，过A ，P ，Q 三点的截面与正方体表面的交点在棱DD 1上，截面S 为四边形，故①②正确．对于③④⑤，如图(2)所示，联结QR 并延长交DD 1的延长线于N 点，联结AN 交A 1D 1于M ，取AD 中点G ，作GH ∥PQ 交DD 1于H 点，可得GH ∥AN ，且GH ＝12AN ，设CQ ＝t ()0≤t ≤1，则DN ＝2t ，ND 1＝2t －1，ND 1C 1Q ＝D 1R RC 1＝2t －11－t， 当t ＝34时，D 1R C 1R ＝21，可得C 1R ＝13，故③正确，当34<t <1时，S 为五边形，故④错误， 当t ＝1时，Q 与C 重合，M 为A 1D 1的中点， S 为菱形PC 1MA ，AM ＝AP ＝PC 1＝C 1M ＝52，MP ＝2，AC 1＝3，S 的面积等于12×2×3＝62，故⑤正确．16． 已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间0，π2上的单调性．16．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ωx ＋π4＝2 2sin ωx ·cos ωx ＋2 2cos 2 ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin2ωx ＋π4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin2x ＋π4＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减．17． 设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0，1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值． 17．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a1＋a 2，故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}， 因此区间I ＝0，a 1＋a 2，I 的长度为a1＋a 2.(2)设d (a )＝a1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2（1＋a 2）2.令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增； 当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得． 而d （1－k ）d （1＋k ）＝1－k1＋（1－k ）21＋k 1＋（1＋k ）2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3<1， 故d (1－k )<d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k ，1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k 2，则I 长度的最小值为1－k2－2k ＋k 2.18．、、 设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．18．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c ，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c ，故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c (x －c )．x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 的坐标为0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．19．、 如图1－5，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面； (2)求cos ∠COD .图1－519．解：(1)证明：设面P AB 与面PCD 的交线为l ， 因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD . 又因为AB ⊂面P AB ，面P AB 与PCD 的交线为l ， 所以AB ∥l ，由直线AB 在底面上而l 在底面外可知， l 与底面平行．(2)设CD 的中点为F ，连接OF ，PF .由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD ， 又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD .因此面OPF ⊥面PCD .从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP ·tan ∠OPF ＝h ·tan 60°＝3h .根据题设有∠OCP ＝22.5°，得OC ＝OP tan ∠OCP ＝htan 22.5°.由1＝tan45°＝2tan 22.5°1－tan 2 22.5°和tan 22.5°>0，可解得tan 22.5°＝2－1，因此OC ＝h2－1＝(2＋1)h . 在Rt △OCF 中，cos ∠COF ＝OF OC ＝3h（2＋1）h＝6－3，故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝2(6－3)2－1＝17－12 2. 20．、 设函数f n (x )＝－1＋x ＋x 222＋x 332＋…＋x nn 2(x ∈，n ∈*)．证明：(1)对每个n ∈*，存在唯一的x n ∈23，1，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p ∈*，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <1n.20．证明：(1)对每个n ∈*，当x >0时，f ′n (x )＝1＋x2＋…＋x n －1n>0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增．由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，f n (1)＝122＋132＋…＋1n 2>0.故f n (1)≥0.又f n 23＝－1＋23＋∑k ＝2n 23kk 2≤－13＋14∑k ＝2n 23k＝－13＋14·⎝⎛⎭⎫2321－23n －11－23＝－13·23n －1<0.所以存在唯一的x n ∈23，1，满足f n (x n )＝0.(2)当x >0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋x n ＋1（n ＋1）2≥f n(x )，故f n ＋1(x n )>f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增，x n ＋1<x n ，故{x n }为单调递减数列． 从而对任意n ，p ∈*，x n ＋p <x n .对任意p ∈*，由于f n (x n )＝－1＋x n ＋x 2n 22＋…＋x n nn2＝0，①f n ＋p (x n ＋p )＝－1＋x n ＋p ＋x 2n ＋p 22＋…＋x n n ＋p n 2＋x n ＋1n ＋p （n ＋1）2＋…＋x n ＋pn ＋p（n ＋p ）2＝0，②①式减去②式并移项，利用0<x n ＋p <x n ≤1，得x n －x n ＋p ＝∑k ＝2nx k n ＋p －x k n k 2＋∑k ＝n ＋1n ＋p x k n ＋p k 2≤∑k ＝n ＋1n ＋p x k n ＋pk2 ≤∑k ＝n ＋1n ＋p1k 2<∑k ＝n ＋1n ＋p 1k （k －1）＝1n －1n ＋p <1n .因此，对任意p ∈*，都有0<x n －x n ＋p <1n.21．、 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .21．解：(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝C k －1n －1C k n ＝k n，故P (A )＝P (B )＝1－k n ，因此学生甲收到活动通知信息的概率P ＝1－1－k n 2＝2kn －k2n 2.(2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k <n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者，由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(C k n )2，当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m ，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k ，由乘法计数原理知事件{X ＝m }所含基本事件数为C k n C 2k －mkC m －k n －k ＝C k n C m －k kC m －k n －k ， 此时P (X ＝m )＝C k n C 2k －m k C m －k k （C k n ）2＝C m －k kC m －kn －k C k n . 当k ≤m <t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C m －k k C m －k n －k ≤C m ＋1－kkC m ＋1－kn －k⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m )⇔m ≤2k －（k ＋1）2n ＋2.假如k ≤2k －（k ＋1）2n ＋2<t 成立．则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k ≤2k －（k ＋1）2n ＋2<2k ＋1－（k ＋1）2n ＋2≤t ，故P (X ＝m )在m ＝2k －（k ＋1）2n ＋2和m ＝2k ＋1－（k ＋1）2n ＋2处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2k －（k ＋1）2n ＋2处达最大值．(注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2k －（k ＋1）2n ＋2<t .因为1≤k <n ，所以2k －（k ＋1）2n ＋2－k ＝kn －k 2－1n ＋2≥k （k ＋1）－k 2－1n ＋2＝k －1n ＋2≥0.而2k －（k ＋1）2n ＋2－n ＝－（n －k ＋1）2n ＋2<0，故2k －（k ＋1）2n ＋2<n ，显然2k －（k ＋1）2n ＋2<2k .因此k ≤2k －（k ＋1）2n ＋2<t。
2013安徽数学高考电子版
开始S=0，1s s n=+n=n+28n <输出s 结束否是2013年安徽卷理科数学解答（全部word 版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若z +2=2z zi ， 则z =（ A ）（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ D ）（A ） 16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112（3）在下列命题中，不是公理．．的是（ A ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（ C ）（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ C ）（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 （6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（ D ）（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x （C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x（7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ B ） （A ）=0()cos =2R ∈θρρθ和 （B ）=()cos =22R ∈πθρρθ和（C ） =()cos =12R ∈πθρρθ和 （D ）=0()cos =1R ∈θρρθ和（8）函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（ B ） Oa b xy（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3 （9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满（ D ）足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R =++≤∈λμλμλμ所表示的区域的面积 是（ D ）（A ）22 （B ）23 （C ） 42 （D ）43（10）若函数32()=+x +b +f x x a x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程23()+2()+=0f x af x b 的不同实根个数是（ A ）（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6解答:显然()()12=,=f x x f x x 是方程23(())2()0f x af x b ++=的两个实根，所以，画图知选A.二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
2013年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（）．C D．5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）（（8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（）．C D．10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x 的方程3（f（x））2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=_________．12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=_________．13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为_________．14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是_________．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．20．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x n，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．222013年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，代入，，解得．2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（）．C D．++S=++++．﹣，如图所示，它在区间（5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，[）﹣﹣[[6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）＜＜，可化为，即（（（8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）表示（表示（9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（）．C D．满足==（，解得①等价于或或．．10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x 的方程3（f（x））2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=．=，解得故答案为12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．=C=故答案为：13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．A B，m14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．，利用已知可得的中位线，得到==似比的平方可得：，，，可得}，∵=，，，∴，{=1+．的通项公式是．故答案为15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．时，即=＜时，如图，，连接R=可知当为菱形，故其面积为=三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．，]的范围，然后通过正弦函数的单调性求出x+=2x+2=2sin），T=2x++≤，所以≤≤，2x+≤≤2x+≤时，即≤时，][，]17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0} （Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．，利用导数可判断＞）；，则==＜上取得最小值．18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得的斜率，的方程为．Q．的斜率=，可得，∴的方程为，其中．的斜率，直线的斜率=的方程为．，解得Q=，∴．19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．OPF==COF==20．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x n，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．（+=1++＞=+＞）+[﹣+•×=•＜n++=0+++[+++≤＜=＜21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．件，所以相互独立，由于=，故（）﹣）所包含的基本事件总数为（事件数为=＜﹣﹣[＜﹣=﹣﹣﹣。