几何学在高等数学教育中的作用
高等数学几何学教材
高等数学几何学教材高等数学是大学数学中的重要学科之一，它的教材涵盖了多个分支，其中之一就是几何学。
几何学是研究空间和图形的性质及其变化规律的数学学科。
高等数学几何学教材通常按照不同的章节来组织内容，下面将从教材的章节内容、教学方法以及实际应用等方面，对高等数学几何学教材进行详细介绍。
章节内容高等数学几何学教材通常包含以下几个重要的章节内容：1. 直线和平面几何：介绍直线和平面的性质、相交关系等基本概念，其中包括点、直线的位置关系、投影等内容。
2. 空间几何：研究三维空间中的图形和性质，包括向量、直线与平面的关系、平行线与共面关系等。
3. 曲线与曲面：介绍曲线和曲面的性质及其参数方程，包括常见的曲线如圆、椭圆、抛物线、双曲线等的性质及其方程。
4. 空间向量：介绍向量的概念和性质，包括向量的加法、减法、数量积、向量积等运算，以及向量在空间中的应用。
5. 空间解析几何：以坐标系为基础，研究点、直线和平面等几何对象的性质，包括点、直线和平面的方程、距离公式、角度公式等。
教学方法高等数学几何学教材在传授知识的同时，应该重视培养学生的几何思维和解决实际问题的能力。
因此，在教学过程中可以采用以下方法：1. 理论与实践相结合：通过举例和实际问题的引入，让学生将几何学知识与实际问题相结合，提高学习的兴趣和应用能力。
2. 提供大量的练习题：给学生提供足够的练习题，让他们对几何学中的定理和公式有更深入的理解和运用能力。
3. 创设情境：通过设计情境和问题，让学生主动思考并找到解决问题的方法，培养他们的逻辑思维和推理能力。
4. 多媒体辅助教学：结合计算机软件、模拟实验等多媒体手段，提高教学效果，增加学生对几何学知识的感性认识。
实际应用高等数学几何学教材不仅仅是为了满足学生在考试中的需求，更应该注重将几何学知识与实际应用相结合，培养学生的实际问题解决能力。
几何学在现实生活和工程技术中有着广泛的应用，例如：1. 建筑设计：几何学可以帮助建筑师设计合理的建筑平面图和立体结构，保证建筑的稳定和美观。
几何变换在高等数学中的应用及其意义
几何变换是数学中一个重要的概念，是指对平面或空间中的点、线、面等进行变换的方法。
几何变换在高等数学中具有广泛的应用，不仅可以帮助我们理解和描述几何现象，还可以应用于解决实际问题，具有重要的意义。
首先，几何变换在高等数学中的应用之一是用于描述和研究几何图形的性质。
通过几何变换，我们可以将一个几何图形变换成其他的几何图形，从而帮助我们研究几何图形的性质和关系。
例如，对于平面上的一个三角形，我们可以通过平移、旋转、镜像等几何变换，将其变换成一个等边三角形，从而研究等边三角形的性质。
通过几何变换，我们可以更加直观地理解几何图形的性质，从而加深对几何学知识的理解。
其次，几何变换在高等数学中的应用之二是用于求解几何问题。
通过几何变换，我们可以将复杂的几何问题转化为简单的几何问题，从而更容易求解。
例如，在求解两个平行线之间的距离时，我们可以通过平移其中一条线，使其与另一条线重合，然后再计算两者的距离，从而得到所求的结果。
通过几何变换，我们可以将原问题转化为求解两条重合线的距离的问题，更容易进行计算。
几何变换在高等数学中的应用还可以帮助我们解决实际问题。
例如，在计算机图形学中，几何变换被广泛应用于图像处理和图形显示中。
通过几何变换，我们可以对图像进行平移、旋转、缩放等操作，从而实现图像的变换和处理。
几何变换的应用可以使图像处理更加灵活和高效，实现各种图像效果的生成和编辑。
此外，几何变换的意义还体现在其对数学思维的培养和发展上。
几何变换要求我们在进行变换时考虑图形的性质和关系，注重空间想象能力和几何直观思维的运用。
通过学习和应用几何变换，我们可以培养和发展自己的空间想象能力和几何直观思维，从而提高解决几何问题的能力和水平。
综上所述，几何变换在高等数学中具有广泛的应用和重要的意义。
它不仅帮助我们理解和描述几何图形的性质，还可以应用于解决实际问题。
几何变换的应用可以使我们更加直观地理解几何学知识，提高解决几何问题的能力，并对培养和发展我们的数学思维起到积极的促进作用。
高等数学教材解析几何
高等数学教材解析几何解析几何是高等数学中的一门重要学科，它是研究平面和空间中几何图形的性质和变换规律的数学分支。
作为高等数学教材的内容之一，解析几何既深刻又具体地描述了几何问题，并通过数学方法进行分析和求解。
本文将对高等数学教材中的解析几何进行详细解析，为读者解释其基本概念、常用方法以及应用场景。
1. 直线与平面在解析几何中，直线和平面是两个基本的几何要素。
直线可以通过方程、向量等方式表示，而平面则可以由点和法向量确定。
在教材中，我们学习了直线和平面的基本性质，并能够应用它们解决实际问题，比如求直线与平面的交点、直线在平面上的投影等。
2. 向量与坐标向量是解析几何的重要工具，它可以表示从一个点到另一个点的位移。
在高等数学教材中，我们学习了向量的定义、运算法则以及坐标表示方法。
通过向量，我们可以更加直观地理解几何图形之间的关系，并可以通过向量的性质进行证明和推导。
3. 直线与曲线的方程直线和曲线在解析几何中经常出现，并且可以通过数学方程进行表示。
对于直线而言，我们学习了直线的点斜式、截距式等不同的表示方法，并能够根据给定条件求出直线的方程。
而对于曲线，我们掌握了圆、椭圆、抛物线、双曲线等常见曲线的方程，并能够分析其性质和特点。
4. 空间几何与立体图形除了平面几何外，解析几何还包括了空间几何的内容。
在高等数学教材中，我们学习了空间中点、直线、平面的位置关系以及其方程表示。
此外，我们还研究了立体图形的性质，比如球、圆柱、锥体等，并能够通过解析几何的知识进行计算和推导。
5. 解析几何的应用解析几何不仅仅是一门抽象的数学学科，它也有着广泛的应用场景。
在物理学、工程学、计算机图形学等领域中，解析几何都扮演着重要的角色。
通过解析几何的方法，我们可以分析和解决各种实际问题，比如物体的运动轨迹、工程结构的设计等。
总结起来，解析几何是高等数学教材中的一门重要学科，它通过数学方法来研究和解决几何问题。
通过学习解析几何，我们可以更加深入地理解几何图形的性质和变换规律，并能够将其应用于实际问题的求解中。
论解析几何的作用与意义
论解析几何的作用与意义【关键词】解析几何；方法；数学思想；指导意义被认为是迄今为止最好的一本数学史《古今数学思想》的作者m·克莱因在该书序言中指出“通常一些课程所介绍的是一些似乎没有什么关系的数学片断。
历史可以提供整个课程的概貌，不仅使得课程的内容互相联系，而且使它们与数学思想的主干也联系起来。
”下面通过有关解析几何产生的历史，谈谈对解析几何教学提出了哪些要求。
1 解析几何的地位和作用1.1 解析几何给几何研究提供一个新方法笛卡尔希望通过解析几何给几何引进一个新的方法——我们现在称它为解析法，他的成就远远超过了他的希望。
解析法即解析几何的基本研究方法，包括两个步骤：第一步选取坐标系建立曲线的方程，第二步通过方程研究曲线的几何性质，它们也称为解析几何的两个基本问题。
解析几何中对直线和圆锥曲线等都是这样研究的。
正如苏联著名几何学家波格列洛夫在他编的《解析几何》前言中指出的：“解析几何没有严格确定的内容，对它来说，决定性的因素，不是研究对象，而是方法。
这个方法的实质，在于用某种标准的方式把方程（方程组）同几何对象（图形）相对应，使得图形的几何关系在其方程的性质中表现出来。
”这里所说的标准方式就是通过建立坐标系。
由于解析几何方法解决各类问题的普遍性，它已经成为几何研究中的一个基本方法，而且，它还被广泛应用于精确的自然科学领域如力学和物理学之中。
既然解析几何的重要性在于它的方法，那么在解析几何教学中，应该将重点放在阐明解析几何的基本研究方法上，通过对具体对象的研究，使学生掌握解析几何的一般研究方法，而不是让学生死记具体结论。
1.2 解析几何把代数和几何结合起来在解析几何创立之前，代数已经有了相当的发展。
几何中关于圆锥曲线的研究也早已于公元前3世纪到2世纪就得到了充分考虑的发展。
笛卡尔的贡献在于把代数和几何结合起来，把以前数学家们不感兴趣的代数上的不定方程和几何中的曲线联系起来，从而把代数方法引进了几何的研究。
高等数学教学中应重视几何直观的作用
摘
要 在 高等数学 中几何方法与分析方法是密不可分 的， 析法使 问题严谨 而富有 哲理性 ， 分 几何方法使 问
中图分 类号 ０１ ２ ７
题形象直观， 所讨论问题的几何意义对寻求问题的解具有启发性和指导意义． 本文通过具体实例阐明了这一点．
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从几 何 意义 出发寻 求证题 思路
对于联系导数 、 积分的等式或不等式的证明题， 将导数的几何意义和积分的几何意义与所讨论 问题相联系可较容易找到证题 的正确思路．
例 １ 设 ｆ （ ）≥ ０， 证 明不 等式 戈 试
＾
（ ６一口
Ｊ， ｌ
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（ ６一口 ）
关键词 微积分 ； 分析方法 ； 几何意义
纵观微积分的发展史我们可以发现 ， 几何问题在微积分的发展中起到 了决定性的推动作用 ， 如 切线问题 ， 求任意平面图形的面积等． 一方面 ， 利用分析方法解决了大量的几何问题 ， 另一方面 ， 某 些问题 的几何意义对分析问题和解决问题也具有指导意义 ， 并能提供解决 问题的简捷方法． 几何直 观性在分析问题和解决问题中具有特殊的重要性． 在高等数学教学 中， 结合某些概念、 理以及题 定 目的几何直观意义进行授课更是能起到事半功倍 的效果． 本文通过几个具体实例 阐明了这一点．
关于高等数学课程中几何教学的认识与实践
．
维普资讯
ｌ ２
高等数学研究
２０ ０ ６年 ５月
重要的方法． 例如 ， 线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的秩的考察可以为空间中直线间的位置关系提 供有 效而简洁 的判定 ， 二次型 的正交相似对 角化 为二次 曲线 、 次曲面方程 的化 简提供 了理论依 据 ． 二
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Ｖｏ ． Ｎｏ ３ １９， ． Ｍａ ， ０ ６ ｙ２０
Ｓ ＴＵＤ Ｅ Ｎ Ｃ Ｌ Ｅ ＭＡ ＨＥＭＡ Ｉ Ｓ Ｉ Ｓ Ｉ ＯＬ ＥＧ Ｔ ＴＣ
高 等数学研究
关 于高 等数 学课 程 中几何 教 学 的认 识 与 实践 ・
几 何 为微积 分概念 的产 生提供 源泉 、 直观背 景 ， 为相 关 问题 的解 决 提供 重 要 方 法． 积 分 学 的 微 大部 分定理 都存 在相应 的几何 意 义与几何 （ 物理 ） 背景 。 观 的几何 背景 及 意义 有 助 于学 习者 理 解 直 定理 的来 源与意 义 ， 同时有 助于学 习者 了解定 理 的应 用价值 ， 而使得 学习 者能够 领悟 到数 学 知识 从 的发 生 、 展及 应用过 程 ． 如 ， 发 例 定积分 的概念 最初来 自于 曲边梯 形 的面积 的求解 问题 ， 通过 分 割 区 间 、 和式 、 求 取极 限等一 系 列操 作 在 完 成 面 积求 解 的 同时 ， 即给 出了 基 于 一 般 函数 的定 积 分 的定 义 … Ｊ但是 ， ． 我们 应该 意识 到 ： 定积 分 的数学定 义并没 有 为一 般 曲边 梯 形 的面 积 求解 提 供 有 效算
几 何也 是线性 代数 概念 产生 与 发展 的源 泉 ， 为代 数 的研 究对 象 及 相关 问题 提 供 直 观 背景 ［ ． ４ 】
浅谈几何图形在高等数学教学中的应用
第２ ４卷第 ２期
．
丽 水 师 范 专 科 学 校 学 报
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２ ０ 年 ４月 ０２
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２ Ｎｏ ２ ４
浅 谈 几 何 图形 在 高 等 数 学 教学 中 的应 用
拉格 朗 日定理 设 函数 ｆ ｘ） 足下列 条件 ： （ 满 （） 闭 区间 ［ ， ］上连 续 ； １在 ｎｂ （） 开 区间 （ ， ） 可导 ； ２在 ｎｂ 上 则在 开 区 间 （ ． ）内至 少 存 在一 点 ｃｎ ＜ ｃ ｎｂ （
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４ 通过 几 何圉形 ， 利于找 出解 题 的途 径 有
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（） ６ 图３
结论： 从几何意义来说， 结论不变 （ ｃ点的 即 切线 与 直 线 Ａ 平 行 ） 用 数 学 式 子 来表 示 就 是 ： Ｂ ， 厂（ ） （ （ ）一ｆ ｂ ）（ ｃ ： ｆｎ （ ）／ ｎ—ｂ 。 ） 从 上面 的分析 及 图形所 示 ， 我们很 自然地 得到 下 面 的拉格朗 日定理 。
（ ） ０）： ｆ（ ； ３ ｆ（ ６）
２ 通过 几何图形 。 很好 地体 现数学 中有关概 能 念、 定理 之 间的关 系
数 学是 循序 渐 进 的， 念 、 概 定理 等 知 识 之 间 存 在 着一 种本质 的联 系 。 要学 好 数学 ． 生 就 必 须 了 学 解 并掌 握这 种联系 。 这种联 系 不一 定 很直 观地体 而 现于概 念 、 定理 的 叙 述 之 中． 因而 如 何 在 教 学 过程 中让学生 形象 地 了解 这 种 联 系是 数 学 教 学 的一 个 重 点。 通过 几何 图形 ， 很 直 观 地 体 现 数 学 中有 关 能 概 念 、 理之 间的关 系 。 定 例如 ． 尔定理 和 拉格 朗 日 罗
几何直观教学法在高等数学教学中的应用
运 用 直 观教 学 不 能 只停 留 在 直 观 、 具体 上 ，要从 感 性 认 识 上 升 到 理 性 认 识 ，应 体 现 具 体 模 型 与 抽 象 形 式 相 结 合 的原 则 ；淡 化 理 论 与 注 重 应 用 相结 合 的 原 则 ；展 现 思 维 过 程 与 培养 数学 素质 相 结 合 的 原则 ． 随着计算机多媒体的普及应用 ，几何直观教学法将会有更加丰富的 内涵 ，可 利用作 图软件作 图、演示 图形 的动态效 果 等 等 ，这 种 方 法 会 越 来 越 得 到 数 学 教 师 的喜 爱 ，在 数 学 教 学 中 将会 得 到 广 泛 的应 用 ．
第 １ 卷 第２ １ 期 ２ ０ 年 ６月 ９ ０
辽 宁 师 专 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＬｉｏ ｉ ｇ Ｔ ａ ｈ ｒ ｏ ｌｇ ｏ ｒ ａ ａ ｎ ｎ ｅ ｃ ｅ ｓ Ｃ ｌ ｅ ｏ ｅ
ＶＯ ． １ ＮＯ． １１ ２
Ｊ ｎ． ｕ ２００９
【 术研究 】 学
几 何 直 观教 学 法在 高等 数 学 教 学 中 的应 用
全 占茂
（ 锦 职 业技 术 学 院 ，辽 宁 盘 锦 １４ １ ） 盘 ２ ０ ０ 摘 要 ：介 绍 几何 直观 教 学 法 的 作 用 及 应 用 原 则 ， 并 结合 教 学 实践 加 以 应 用 ． 关键 词 ：高 等 数 学 ；几 何 图 形 ；直 观 教 学 中 图 分类 号 ：Ｇ ４ ． ６２４ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ —５ ８ （０ ９ ０ —０ １ 一Ｏ ０ ８ ６ ８ ２ ０ ）２ ０ ０ ２
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第24卷 第4期 开封大学学报 V o.l 24 N o .42010年12月J OU RNAL OF KA IFENG UN I VER SI TYD ec .2010收稿日期:2010-05-19基金项目:中原工学院 解析几何 教学改革项目(200915)。
作者简介:高永良(1973-),男,河南固始人,讲师。
研究方向:基础数学理论。
几何学在高等数学教育中的作用高永良,王燕燕(中原工学院理学院,河南郑州450007)摘 要:几何学对于人类认识客观世界发挥了巨大作用;几何学的美是数学美的重要组成部分,几何学对于培养大学生的空间想象能力和直觉能力具有重要作用。
因此在高等数学教育中应加强几何学教学。
关键词:高等数学教育;几何学;教学改革中图分类号:G642 文献标识码:A文章编号:1008-343X(2010)04-0076-02 数学素养作为当代大学生的基本素质之一,正在被越来越多的高校所重视。
这具体体现在大学课程设置的变化上,譬如,以前文科学生是不学数学的,现在文科学生也必须学数学,只是比理工科的浅显一些。
但是,作为数学重要分支之一的几何学并没有得到重视。
在大学数学教学中普遍存在着几何课程和内容被压缩的现象,包括数学专业教学计划中也是如此。
往往在 形 和 数 的教学中,偏重于 数 的处理而忽略 形 的意义。
其原因是很多教育机构和学校对几何学在大学数学教育中的作用认识不足。
对这一问题,教育界和学术界有深入探讨的必要。
笔者在此结合自己的教学经历,谈谈个人的一些认识。
首先,几何学是人类认识客观世界的一个重要工具。
几何学中各种空间特别是微分流形概念的建立为各种数学门类的展开提供了适当的基础和舞台。
姜伯驹先生在为陈维桓教授 微分流形初步 一书作的序中指出:数学科学虽有众多分支,却是有机的统一。
几何的、代数的、分析的方法相辅相成,使现代数学成为人类认识世界、改造世界的锐利武器。
几何学的对象比较直观,比较接近人们的生活经验,所以更能激发开创性思维。
数学历史上许多划时代的事件,如无理数的发现、公理化方法的创立、坐标方法的提出、非欧几何的诞生、空间观念的改变,还有对整体性质和行为的关注、非线性数学的兴起等等,都首先发生在几何学的沃土上。
许多学科的发展也常常需要用几何学的观点进行观察和处理,需要用几何的语言。
然而,在20世纪50年代到90年代我国大学的几次教学改革中,几何课程被一再削减。
当时吴光磊先生就一语双关地批评这种现象为 得意忘形 。
几何课程被忽视,削弱了我国数学教育的基础,影响了我国科技的发展。
今天,数学科学的大趋势是走向综合,几何的观点、方法、语言正在大规模地向其他数学分支渗透。
而在高新技术发展的过程中,几何学的原理更是得到了空前的应用,无论是计算机图形学、CT 扫描或核磁共振成像、视觉信息处理,还是机器人、虚拟现实、数字仿真技术,都广泛采用了传统的和现代的几何学理论。
在当前的教学改革中,我们应该记取过去的教训,少走弯路。
目前,在大学非数学专业的教学中,几何学遭到排斥的状况仍然没有什么改变。
非数学专业的学生没有专门学习空间解析几何课,只在线性代数教材第一章学到了一些向量代数的基本概念和基本结论,这导致大部分学生空间想象能力比较薄弱。
在学习 概率论与数理统计 这门课的 几何概型 这一节时,由于学生画不出图形,因此求解问题出现困难。
例如这一题向区间[0,a]上随机投掷三个点,问三点到原点的三个线段构成三角形的概率。
设三线段的长分别为x,y,z ,则解这个问题就需要在三维空间中正确地画出样本空间和事件所对应的图形。
另外,在讲到二维连续型随机变量的概率分布时,需要计算相关事件的概率,相当一部分学生不会算,积分限不知怎么写,原因是几何知识和几何思想76匮乏。
非数学专业不开设几何课的弊端,由此可见一斑。
其次,几何学的美是数学美的重要组成部分。
用美不胜收、美妙绝伦来形容数学一点也不过分,因为数学美的含义是十分丰富的,如形象美、简洁美、创新美等等。
而这些恰恰都在几何学中得到了很好的体现。
数学是研究数与形的科学,数形的有机结合构成了万事万物的绚丽画面。
那些优美的几何图案更是令人赏心悦目。
二阶曲面的分类定理就非常漂亮、简洁。
无论一个三元二次方程多么复杂,只要选取合适的直角坐标系,即作直角坐标变换,就可以把它化成17种简单的标准方程之一,从而它所表示的几何图形的样子就可以被想象出来。
还有Gauss -Bonnet公式,用简单的形式表达了极其深刻的含义,即曲率和拓扑之间的关系。
在几何中,这样的例子不胜枚举。
非欧几何的诞生是数学创新美的最好体现。
欧几里得几何曾经被认为是完美的经典几何学,其公理5 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 和结论 三角形内角和等于二直角 ,似乎是绝对真理,但罗马切夫斯基得出了不同于公理5的结论: 过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行。
在这种几何里, 三角形内角和小于二直角 ,从而创造了罗氏几何。
黎曼几何学没有平行线。
这些与传统相违背的理论并不是虚无缥缈的。
当我们进行天文测量时,用罗氏几何学是很方便的,原子物理、狭义相对论中也有应用;而爱因斯坦建立的广义相对论中,只因较多地利用了黎曼几何这个工具,才克服了数学计算上的困难。
每一个理论都需要不断创新,每一个奇思妙想、每一个似乎不合理又不可思议的念头都可能开辟新的天地。
我们再大胆设想一下,是不是还存在一个能包容欧氏几何和非欧几何的更广泛的几何学呢?事实上,通过高斯曲率,可以将三种几何统一在曲面的内在几何学中,还可以通过克莱因几何学与变换群的观点将三种几何统一起来。
在不断创新的过程中,数学得到了发展。
这种开阔了我们的视野、开阔了我们的心胸、给我们完全不同感受的美难道不应该被珍惜吗?第三,几何学对培养学生的空间想象能力和直觉能力起到很大作用。
庞加莱按照从事数学研究的精神原则把数学家分为两类,一类是逻辑主义者,一类是直觉主义者。
当然,在数学家身上,这两种精神是交融在一起的,但是,不可否认,每位数学家都有自己的癖好。
庞加莱在举了一些例子之后说: 直觉不能给我们以严格性,甚或不能给我们以可靠性。
他又指出: 纯逻辑永远不能使我们得到任何东西;它不能创造任何新东西;任何科学也不能仅从它产生出来。
逻辑和直觉各有其必要的作用,二者缺一不可。
惟有逻辑能给我们以可靠性,它是证明的工具;而直觉是发明的工具。
当然,培养直觉能力不是几何课程的专利,但是,由于直觉能力和空间想象能力有密切的关系,因此几何课程为直觉能力的培养提供了很好的环境。
几何学提供了把握和理解数学空间的手段,注重于从总体上把握数学对象的概念、结构和相互关系;而代数学和分析学则更多的是提供解决问题的方法。
对于学生来说,掌握解决问题的方法似乎更重要、更有效、更有成就感,然而他们不知道,学会在总体上把握数学的概念和结构,更能够洞察数学的内涵,培养数学的观点,提高数学的创新能力。
一个典型的例子是,在函数论研究中引进L2,L 空间等概念,使得函数论研究成为泛函分析,从而达到一个全新的境界。
基于上述认识,我们应在大学数学教育中给几何学的教与学留出一片天空,突出其在数学教育中的重要作用,并在几何学的课程教学改革上进行一些有益的尝试,力争取得较好的效果。
参考文献:[1]陈维桓.微分流形初步[M].北京:高等教育出版社,1998.[2]丘成桐.微分几何讲义[M].北京:高等教育出版社,2004.[3]李养成.空间解析几何[M].北京:科学出版社,2000.[责任编辑 张 焰]Effect of Geom etry inM athe m aticalEducationGAO Yong-liang,WANG Yan-yan(C oll ege of S cience,Zhongyuan Un i versit y o f Technol ogy,Zh e ngzh ou450007,H e nan)Ab stract:B ased on teach i ng practice on geo m e try,th i s arti c le suggests t he i m portant ro l e o f geom etry shou l d be laid on m athe m atical educati on.T he inc reasi ng i m portance of geo m etrical teach i ng-t he effect of geo m e try i n hu m an understand i ng o f the objective w orld, the beauty of geome try as an i m po rtant part o f t he beau t y o fm at hema ti cs and t he effect o f geome try on cultivati ng studen ts'spa tia l ability of i m ag i nati on and perception a re d i scussed i n the article too.K ey w ords:m athe m atical educati on;geo m etry;teachi ng re f o r m77。