高一数学向量的加法与减法
(整理)高一数学向量的加减法
［教材优化全析］1.向量的加法 （1）引入①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：+BC =AC . A B C②若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB +BC =AC .③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AC +BC =AC . A BC上述①②③三个小题，说明向量共线、不共线时都可依据向量的运算法则求“和”.（2）向量的加法的定义 已知向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作=a ，=b ，则向量叫做向量a 、b 的和.记作a +b ，即a +b =+BC =AC .求两个向量和的运算，叫做向量的加法.对于零向量与任意向量a ，有a +0=0+a =a .（3）两个向量的和向量的作法如图（1）、（2）、（3）中，=a ，BC =b ，则+BC =AC.(1)(2)(3)A C①三角形法则：上面的（1）、（2）、（3）中各有两个向量，把其中一个向量的起点平移，使之与第二个向量的终点重合，则第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量，就是两个向量的和向量.常说两个向量“首尾相接”. 1°三角形法则对于两个向量共线时也适用. 2°可将向量加法的三角形法则推广到多个向量相加的多边形法则. 3°任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的全析提示向量运算是运用向量方法解决问题的基本工具，而向量的加法运算是最基本的向量运算之一，向量加法的平行四边形法则与三角形法则和物理中力的合成、速度的合成完全一致.思维拓展两个向量的和仍是一个向量，这如同两个力的合力仍是力（向量）一样.全析提示向量有几何表示法和字母表示法两种情况.用几何法表示时，箭头所指的方向是正方向；用字母表示时，起点字母在前，终点字母在后，方向由起点指向终点.思维拓展 向量是既有大小又有方向的量，向量的模与方向可通过解三角形的知识求得；对于首尾相连的几个向量的和,等于以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量.起点、终点即可，如：=+,如下所示，O点具有任意性.AB O课本99页例1.求a+b,在平面内任取一点O，平移a、b使之首尾相接，求和向量.实际上我们常在其中a或b上取一点，只平移一个向量即可.如可把a 的起点移至b的终点可求和向量.②平行四边形法则由同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则.不能.因为不可能以两平行向量为邻边作平行四边形.所以，平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.（3）两向量的和向量与原向量之间的关系（方向与模）.①当向量a、b不共线时，a+b的方向与a、b不同向，且|a+b|＜|a|+|b|.②当向量a、b同向时，a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|.当向量a、b反向时，若|a|＞|b|,则a+b的方向与a同向，且|a+b|=|a|－|b|.若|a|＜|b|,则a+b的方向与a反向，且|a+b|=|b|－|a|.（4）向量的运算律①交换律：a+b=b+a.证明：当向量a、b不共线时如下图，作平行四边形ABCD，使=a,=b,则BC=b,DC=a.全析提示不管平面内的点O选在何处，对于首尾相连的两个和向量，它的方向总是由第一向量的起点指向第二向量的终点.要点提炼在几何中向量的加法是用几何作图来定义的.它有两种法则，其中三角形法则比平行四边形法则更具有一般性.像两个向量共线时就只能用三角形法则了.全析提示当向量a、b不共线时，|a|、|b|及|a+b|构成一个三角形的三条边，由三角形的性质可知：｜|a|－|b|｜＜|a+b|＜|a|+|b|；当向量a、b共线时，|a|、|b|及|a+b|可理解成同一直线上的线段相加减.要点提炼向量的加法同实数的加法一样，满足交换律与结合律.因为=+=a+b,=+=b+a，所以a+b=b+a.当向量a、b共线时，若a与b同向，由向量加法的定义知：a+b与a同向，且|a+b|=|a|+|b|，b+a与a同向，且|b+a|=|b|+|a|，所以a+b=b+a；若a与b反向，不妨设|a|＞|b|，同样由向量加法的定义知：a+b与a同向，且|a+b|=|a|－|b|,b+a与a同向，且|b+a|=|a|－|b|,所以a+b=b+a.综上所述，a+b=b+a.②结合律，自己验证一下.由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了.例如化简：（+）+=（+）+=+=.又如化简：CM+（BC+）=（CM+）+BC=CB+BC=0,也可写成CM+（MB+BC）=CM+MC=0.2.向量的减法（1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量叫做相反向量，记作：－a.①规定：零向量的相反向量仍是零向量.②a与－a互为相反向量，即－（－a）=a.③任意向量与它的相反向量的和是零向量，即a+（－a）=（－a）+a=0.又如：与互为相反向量，+=0.④如果a、b互为相反向量，那么a=－b,b=－a,a+b=0.（2）向量减法的定义向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b=a+（－b）.求两个向量的差的运算叫做向量的减法，向量的减法是向量加法的逆运算.若b+x=a,则x叫做a与b的差，记作a－b.（3）a－b的作法由（a－b）+b=a+（－b）+b=a+0=a.所以a－b就是这样一个向量，它与b的和等于a.①已知a、b,怎样求作a－b?解法一：已知向量a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b,则=a －b,即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.思维拓展当向量a与b共线时，求a与b 的和，不管是b以a的终点为起点，还是a以b的终点为起点，它们的和都是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，从图象上看都是相等的.要点提炼由于向量可用表示它的有向线段的起点和终点的字母来表示，根据向量加法的三角形法则，可把首尾相连的向量先结合在一起相加.全析提示向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比.全析提示两个向量的差同两个向量的和一样，其运算结果仍是一个向量，它的模与方向可通过解三角形知识求得.全析提示由于向量是以OB的终点为起点的向量，所以根据向量加法的三角形法则有=+,即a+（aA解法二：在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，则=a －b ， 即a －b 也可以表示为从向量a 的起点指向向量b 的起点的向量.解法三：在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =－b ,则由向量加法的平行四边形法则可得 OC =a +（－b ）=a －b .②如下图,若a 与b 共线时，怎样作a －b ?(1)(2)在平面内任取一点O，作=a ,=b .则为所求的向量a －b .(1)(2)B一般地，不论两向量共线还是不共线，常选取一个适当的点，通过平移把两向量的起点重合，则由减数向量的终点指向被减数向量的终点的向量，即为所求的差向量.平行四边形ABCD 中，若设=a ，=b ，则两条对角线都可以用a 与b 表示，借助这一模型可进一步研究有关ABCD的一些性质.如课本103页例4.AC =a +b ,DB =a －b .变式训练一：当a 、b b 垂直？－b ）=b .显然减法是加法的逆运算.思维拓展向量a －b =a +（－b ），即向量的减法可用向量加法的三角形法则或平行四边形法则来表示，是化生为熟，化未知为已知的化归思想的具体应用.要点提炼若向量a 、b 是共线向量，则a ±b 与a 、b 仍是共线向量.全析提示从同一点出发的两个不共线向量的和、差同两个向量一起恰好构成一个平行四边形的边与对角线.变式训练二：当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a－b|?变式训练三：a+b与a－b可能是相等向量吗？变式训练四：当a与b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？答案：一、|a|=|b|,即ABCD为菱形，对角线互相垂直.二、|a+b|=|a－b|，即ABCD 的对角线长相等，ABCD应为矩形，所以应满足a与b垂直.三、a+b与a－b 不可能相等，因为ABCD的方向不同.四、当|a|=|b|时，对角线平分a与b所夹的角.全析提示以平行四边形为起点，借助平面几何图形的性质解答上述问题.。
高一向量公式总结
向量的运算法则公式向量的运算法则公式包括向量的加法、向量的减法、向量的数乘、向量的数量积、向量的向量积、三向量的混合积等。
以下是向量运算法则的具体内容：一、向量的加法1.1向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法OB+OA=OC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.1.2向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).二、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0。
2.1向量的减法AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').三、、向量的数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向；当λ＜0时,λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.3.1数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.3.2数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.四、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.4.1向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；4.2向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）4.3向量的数量积与实数运算的主要不同点4.3.1向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.4.3.2向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.4.3.3|a·b|≠|a|·|b|4.3.4由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.五、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a 和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.5.1向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.5.2向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.六、三向量的混合积6.1向量的混合积定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c6.2混合积具有下列性质：6.2.1三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）6.2.2上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=06.2.3(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)6.2.4(a×b)·c=a·(b×c)。
高一数学向量的加法与减法
向量的是（ A ） C．0 D．a＋b OA OB OC 0，则O是△ABC （2）若为△ABC内一点O， 的（ D ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 （3）下列各等式或不等式中一定不能成立的个数（ A ） ① a b ab a b ② a b ab a b A．a＋a B．b+b
5.2 向量的加法与减法
向量和的特点： （1）两个向量的和仍是一个向量． （2）当向量a与向量b不共线时，a+b的方向与a，b都不同
向，且|a+b|<|a|+|b|．
（3）当a与b同向时，则a+b ，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|； 当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且
|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且
|a+b|=|b|-|a|．
5.2 向量的加法与减法
向量的运算律： 交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 验证： D 若向量a与b是不共线向量，将向量 a与b的起点平移到同一 a+b+c 点O，作平行四边形 OABC． 对角线 OB 是两向量和． c C b+c 三角形法则 平行四边形法则 a+b b a A C a+b C a O a+b b B b B b a A a A B
5.2 向量的加法与减法
5.2 向量的加法与减法
由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，乘
飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之
和是什么？
高一数学-向量的加法与减法 精品
向量的加法与减法
1．怎样将n(n≥3)个平面向量相加？
这个问题要分为几个步骤来回答.
（1）向量的加法满足哪些运算律？向量的加法满足：交换律，即a+b=b+a；结合律，即（a+b）+c=a+(b+c).
注意，结合律总是只对三个元素而言的.当元素超过三个时，就要多次运用结合律（有时还要运用交换律）.另外，正因为有（a+b）+c=a+(b+c)，我们才可以定义三个向量a、b、c相加，按习惯将它用a+b+c表示，且a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）.
（2）由于向量的加法满足交换律与结合律，所以n个向量a2、a2，…，an (n≥3)相加可以写成a1+a2+…+an，并且按照向量加法的三角形法则，可以得到n个向量相加的法则是：以前一个向量的终点作为下一个向量的起点，相继作出向量a1,a2，…，an，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量就是所求的这n个向量的和.
2．教学向量的减法时，要注意些什么？
（1）向量a–b是一个向量，其方向是从b的终点指向a的终点（可记忆为从“减数”指向“被减数”）.
（2）因为三角形的任何两边之和大于第三边，可知| a±b|=|a|+|b|,其中等号当且仅当a
与b平行（即共线）时成立.
——摘自《中学数学教学参考》2001年第5期（蔡上鹤写）。
高一数学向量的加法与减法一
高一数学向量的加法与减法一课题： 5.2向量的加法与减法（一） 目标：⑴掌握向量的加法的定义；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算。
⑵培养发现问题和提出问题的能力，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力，培养善于独立思考的习惯⑶激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量 难点：对向量加法的定义的理解. 过程:一、复习引入物理中怎样求两个力的合力，遵循什么法则？（平行四边形法则） 如果两个力在同一直线上呢？ 二、新课：由以上引出向量的加法的定义（求两个向量和的运算），与向量求和的平行四边形法则 1．平行四边形法则：由同一点A 为起点的两个已知向量b a,为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的向量AC 就是向量b a,的和。
这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则，如右图注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用。
由以上“两个力在同一直线上的合力”及“飞机从A 到B ，再改变方向从B 到C ，则两次位移的和→→+BC AB 应该是”引出：2．向量和的定义：已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB==,，则向量AC 叫做向量b a ,的和。
记作：b a+;即AC BC AB b a =+=+这种求两个向量的和向量的作法称为向量加法的三角形法则:两个向量相加时，把一个向量的终点作为另一个向量的起点，这时前一个向量的起点到后一个向量终点的向量就是这两个向量的和向量，AC BC AB =+（两个向量“首尾”相接）注意：1°三角形法则对于两个向量共线时也适用；推广：①可将向量加法的三角形法则推广为多个向量相加的多边形法则：②任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点便可，如：OB AO AB +=练习：课本99页1、2、3、4.由练习1让学生讨论和向量与原向量间的关系：（方向与模） 3.两向量的和向量与原向量之间的关系⑴ a a a =+=+00⑵ AB +BA =0⑶ 当向量b a ,不共线时，b a +的方向与b a ,不同向，且||||||b a b a+<+ ⑷当向量b a ,同向时，b a+的方向与b a ,同向，且||||||b a b a +=+当向量b a ,反向时，若||||b a >，则b a +的方向与,a同向，且||||||b a b a -=+；若||||b a <，则b a +的方向与,a反向，且||||||a b b a -=+；4．向量的运算律：⑴交换律：a b b a+=+证明：当向量b a,不共线时,如上图，作平行四边形ABCD ，使a AB =，b AD =则b BC =,a DC =因为b a BC AB AC+=+=，a b DC AD AC +=+=所以a b b a +=+当向量b a ,共线时，若a 与b同向，由向量加法的定义知： b a +与a 同向，且||||||b a b a+=+a b +与a 同向，且||||||a b a b+=+，所以a b b a +=+ 若a 与b反向，不妨设||||b a >，同样由向量加法的定义知：b a +与a 同向，且||||||b a b a-=+a b + 与a同向，且||||||b a b a -=+，所以a b b a +=+ 综上，a b b a +=+⑵结合律：)()(c b a c b a++=++学生自己验证。
高一数学向量的加法与减法2
B A
BA =a-b
DC =c-d
a
a
b
O
d c
D C
例：如图：平行四边形ABCD中， AB=a,AD=b,用a,b表示向量 AC,DB。
解：由作向量和的平 行四边形法则，得 AC=a+b; 由作向量差的方法， 知DB=AB-AD=a-b.
A
D b a
C B
练习：p99-100
P102 作业：p102
0 1 2 3 4 5 6
5-3=?
7 8
例3.已知：向量a、b如图所ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，则ab=? O a A a b b a-b B
BA= a-b
注意方向呦！
例4.已知：如图，a//b,怎样做出
a-b?
a -b b
O
A
b -b b
B OB=
a
O
OA=
a-b
a-b
例5.已知：向量a,b,c,d,求作向量ab,c-d。
o
制 作 者 ： 李 王 晓 翠 荣 艳
1.向量的加法：
2 5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
A
a+b=? a b
A
C
a+b a
=
AC
b
B
a+b=
AB + BC
例1：已知向量a、 b,求作向量a+b。 b a
O A
三 角 形 法 则
B
作法：在平面内任取一点O，作OA=a,AB=b, 则
OB=a+b.
a+b=b+a
D
a
C
高一必修一向量知识点总结
高一必修一向量知识点总结一、向量的定义向量是具有大小和方向的物理量，通常用有向线段来表示。
向量的大小叫做模，用|a|表示，向量的方向是一个单位向量所指的方向。
在笛卡尔坐标系中，一个向量可以用它在坐标系中的投影来表示，也可以用坐标表示。
一个二维向量可以表示成 (x, y)，一个三维向量可以表示成 (x, y, z)。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
如果有两个向量 a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2)，那么 a + b= (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 向量的减法向量的减法可以看作向量的加法的逆运算。
如果有两个向量 a 和 b，那么 a - b = a + (-b)。
3. 向量的数量积（点积）向量的数量积等于两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。
如果有两个向量 a 和b，它们的数量积表示为a·b = |a| * |b| * cosθ。
其中θ 表示 a 和 b 之间的夹角。
4. 向量的数量积的几何意义向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角或者一个向量在另一个向量上的投影。
如果向量 a 在向量 b 上的投影是 p，那么a·b = |a| * |b| * cosθ = |b| * p。
5. 向量的数量积的性质- 数量积满足交换律：a·b = b·a。
- 数量积满足分配律：a·(b + c) = a·b + a·c。
- 与数量积的夹角θ有关：当θ = 0 时，a与b同向，a·b = |a| * |b|；当θ = π 时，a与b反向，a·b = -|a| * |b|。
6. 向量的向量积（叉积）向量的向量积等于两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的正弦值，并且方向符合右手定则。
如果有两个向量 a 和 b，它们的向量积表示为a×b = |a| * |b| * sinθ * n。
高一数学向量公式大全
高一数学向量公式大全一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
向量的加法满足交换律和结合律。
1. 两向量相加的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的和向量c为：c=a+b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量b的终点所在的点。
2. 向量的加法满足交换律和结合律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。
向量的减法也满足交换律和结合律。
1. 两向量相减的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的差向量c为：c=a-b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量-b的终点所在的点。
2. 向量的减法满足交换律和结合律：交换律：a-b=-(b-a)结合律：(a-b)+c=a-(b-c)三、数量积数量积又称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量。
数量积的结果是一个标量（即实数），数量积满足交换律和分配律。
1. 两向量的数量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的数量积为：a·b=|a|·|b|·cosθ。
其中，|a|和|b|分别为向量a和向量b的模，θ为向量a和向量b的夹角。
2. 数量积满足交换律和分配律：交换律：a·b=b·a分配律：(k·a)·b=k·(a·b)四、向量积向量积又称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量。
向量积的结果是一个垂直于原来的两个向量的向量，其大小等于原来两个向量围成的平行四边形的面积。
向量积满足反交换律和分配律。
1. 两向量的向量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的向量积为：a×b=|a|·|b|·sinθ·n。
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向量的是（ A ）
A．a＋a B．b+b C．0 D．a＋b （2）若为△ABC内一点O，OA OB OC 0，则O是△ABC
的（ D ）
A．内心
B．外心 C．垂心 D．重心
（3）下列各等式或不等式中一定不能成立的个数（ A ）
① a b ab a b
② a b ab a b
5.2 向量的加法与减法
例2.一艘船以 2 3km/h的速度和垂直于对岸的方向行驶，同
时，河水的流速为 2km/h，求船实际航行速度的大小与方向 （用与流速间的夹角表示）．
C 解：如图，设AD 表示船速，AB 表示水的流速，D 以AB，AD为邻边作 ABCD，则AC是船的 实际航行速度. 在 RtABC 中， AB 2 BC 2 3
当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且 |a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且 |a+b|=|b|-|a|．
5.2 向量的加法与减法
向量的运算律：
交换律：a+b=b+a 验证：
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
若向量a与b是不共线向D 量，将向量a与b的起点平移到同一
5.2 向量的加法与减法
5.2 向量的加法与减法
由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，乘 飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之 和是什么？
上海 台北 香港
5.2 向量的加法与减法
向量的加法：
定义：求两个向量和的运算．向量a与b的和记作a+b.
a
a
C
加法的动画演示
b baa b b a+bb b b a
a
Aa
a
B
同方向共线
aaaaaa+bbbbbbb
AB
C
异方向共线
a+abbabbbab
a
a a
CA B
5.2 向量的加法与减法
向量和的特点： （1）两个向量的和仍是一个向量． （2）当向量a与向量b不共线时，a+b的方向与a，b都不同
向，且|a+b|<|a|+|b|． （3）当a与b同向时，则a+b ，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|；
AC AB 2 BC 2 22 2 3 CAB 60
B
2
答：船实际航行速度为 4km/h，方向与流速间的夹角为 60 ．
5.2 向量的加法与减法
练习
（1）在平行四边形中ABCD，AB a, AD b 则用a、b表示
点O，作平a行+b四+c边形OABC． 对角线 OB 是两向量和．
c
b+c
C
平行四边形法则 A
aa+b
b
三角形法则 C
aO
a+b C
B
b b
a
B
a+b b
A
Aa
B
5.2 向量的加法与减法
练习 （1）一架飞机向西飞行100km 然后改变方向向南飞行100km , 则飞机两次位移的和为 向西南方向飞行 100 2 km． （2）a b a b 一定成立吗？ 不一定 （3）在四边形中 ABCD ，CB AD BA _C__D___ ．
③ a b ab a b
④ a b ab a b
A．0 B．1 C．2
D．3