向量的加法与减法2
向量的加减法运算法则
向量的加减法运算法则
在向量的加减法运算中，可以用向量的模量和方向来进行计算，并且有四种基本计算规则，分别是：
1、向量的加法：将两个向量在平面上以具有相同方向性的标准坐标系下把向量放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累加在一起即可得到两个向量之和。
2、向量的减法：将两个向量以相反方向放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累减在一起即可得到两个向量之差。
3、向量的乘法：将两个向量的模量乘在一起，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量之积。
4、向量的除法：将一个向量的模量除以另一个向量的模量，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量的商。
向量的加减法是数学中一个基本的操作，但是要掌握它就必须正确理解向量的含义，以及向量的模量和方向性。
如果运算错误，得到的结果可能是不正确的，因此一定要仔细检查计算的准确性，以保证求得的结果是正确的。
2 向量的加法与减法
2向量的加法与减法一、基础知识：1．向量加法：求两个向量和的运算，2．向量加法运算律：（1）交换律：a b b a +=+；（2）结合律：（)()c b a c b a ++=++。
3．向量加法运算的几何方法：(1)三角形法则：以O 起点，作a OA =，再以A 为起点作向量b AB =，则以O 为起点的边OA 就是b a 与的和，这种作两个向量和的方法叫做三角形法则；(2)平行四边形法则：以同一A 为起点的两个已知向量a ，b 为相邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是b a 与的和，这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则。
4．向量减法：求两个向量差的运算，5．向量减法运算的几何方法：(1)三角形法则：注：方向指向被减向量。
(2)平行四边形法则：二、基本题型：1.在△ABC 中，点M 满足MA MB MC ++=0 ，若 AB AC m AM ++=0，则实数m 的值为 ．2.已知向量p 的模是2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，q p a 23+=，q p b -=， 则以a 、b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是 ．3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则 。
（填上正确的序号） ①0PA PB += ；②0PC PA += ；③0PB PC += ；④0PA PB PC ++= 。
4．已知O ，N ，P 在A B C ∆所在平面内，且||||||OC OB OA ==，0=++NC NB NA ， 且PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则点O ，N ，P 依次是A B C ∆的 心、 心、 心。
5．化简下列各式（1）CA BC AB ++；（2）CD BD AC AB -+-；（3）AD OD OA +-；（4）MP QP MN NQ +++结果是零向量的个数是 。
6．已知8||=AB ，5||=AC ，则||BC 的取值范围是 。
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
向量坐标加减公式
向量坐标加减公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向量是线性代数中一个非常重要的概念，它是具有大小和方向的量。
在三维空间中，一个向量可以用坐标表示，常见的形式是（x，y，z）。
向量之间的加减运算是线性代数中的基本操作，也是很多数学问题中常见的计算方法。
本文将介绍向量坐标的加减公式及其相关知识。
在向量的加减运算中，主要涉及到向量之间的加法和减法两种运算。
向量的加法是将两个向量的对应分量分别相加，而向量的减法则是将第二个向量的对应分量取反后再进行加法运算。
下面分别介绍向量的加法和减法公式。
1. 向量的加法公式设向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，则这两个向量的和向量C = A + B = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
也就是说，向量的加法是将两个向量的对应分量相加并得到新的向量。
举例来说，如果我们有向量A = (1, 2, 3)和向量B = (4, 5, 6)，那么它们的和向量C = A + B = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)。
2. 向量的减法公式设向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，则这两个向量的差向量C = A - B = (x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
也就是说，向量的减法是将第二个向量的对应分量取反后再进行加法运算得到新的向量。
举例来说，如果我们有向量A = (1, 2, 3)和向量B = (4, 5, 6)，那么它们的差向量C = A - B = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3, -3, -3)。
通过向量的加减公式，我们可以很方便地计算任意两个向量之间的加减运算。
这在几何学、物理学以及工程学等领域中都有着广泛的应用。
例如，在几何学中，可以通过向量的加减运算来求解线段的长度、方向及等相关问题；在物理学中，可以通过向量的运算来描述物体的位移、速度以及加速度等运动相关问题；在工程学中，可以通过向量的运算来解决力的合成与分解、力矩及力的平衡等静力学问题。
向量的加法与减法讲解学习
b
bC
a
B
作法:(1)在平面取一点A
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即 AD＝BC＝a, AB=DC=b
（3）则以点A为起点的对角线 AC＝a+b
练习2.如图,已知 a b 用向量加法的平行四
边形法则作出 a b
（1）
b
b
ab a
（2）
b
a
ab
a
三、运算律
a
(1) 交换律 : a b b a b a b b
下面我们就来学习向量的线性运算.
阅读教材回答问题：何为向量的加法运算？
一、向量的加法： (1)、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
(2)、图示：
A
B
a a a a a a a a aa
b b b bO b
b
b
b
b
a+b
(3)、作法 1在平面内任取一点O
2作OA a, AB b 3则向量OB a b
当a，b 反向时，且| a || b |,则| a b || b | | a |
结论: || a | | b ||| a b || a | | b |
向量的加法与减法(2)
向量的减法 相反向量：长度相等方向相反的向量.
a的相反向量,记作- a，a 与 a 互为相反向量.
于是 (a ) a , a (a ) 0 . 规定， 0 0 .
向量的加法与减法(1)
复习回顾
1.向量的概念：有大小，有方向的量
2.向量的表示：
B
有向线段 A
黑体小写字母 a
记作AB
r 手写体 a
向量的长度：向量AB的大小即为向量AB的长度（或称模）.
向量的加减法
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20
2．如图，D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、
CA 的中点，则下列等式中正确的是 ①②③ . ①F→D＋D→A＋D→E＝0 ②A→D＋B→E＋C→F＝0 ③F→D＋D→E＋A→D＝A→B ④A→D＋E→C＋F→D＝B→D
解析 F→D＋D→A＋D→E＝F→A＋D→E＝0， A→D＋B→E＋C→F＝A→D＋D→F＋F→A＝0， F→D＋D→E＋A→D＝F→E＋A→D＝A→D＋D→B＝A→B，
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11
利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和
有时非常有效．例如，在正六边形 ABCDEF 中， A→C＋B→D＋C→E＋D→F＋E→A＋F→B＝____0____. 解析 A→C＋B→D＋C→E＋D→F＋E→A＋F→B＝(A→B＋B→C)＋(B→C＋C→D) ＋(C→D＋D→E)＋(D→E＋E→F)＋(E→F＋F→A)＋(F→A＋A→B) ＝(A→B＋B→C＋C→D＋D→E＋E→F＋F→A)＋(B→C＋C→D＋D→E＋E→F＋F→A ＋A→B)＝0＋0＝0.
后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就
得到两个向量的和向量．
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5
问题 1 当向量 a，b 是共线向量时，a＋b 又如何作出？
答 (1)当 a 与 b 同向时：
O→B＝O→A＋A→B＝a＋b (2)当 a 与 b 反向时：
O→A＝a，A→B＝b，O→B＝O→A＋A→B＝a＋b.
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15
例 2 化简： (1) B→C＋A→B；(2)D→B＋C→D＋B→C； (3) A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A. 解 (1) B→C＋A→B＝A→B＋B→C＝A→C. (2)D→B＋C→D＋B→C＝B→C＋C→D＋D→B＝(B→C＋C→D)＋D→B＝B→D＋ D→B＝0. (3) A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A
平面向量的加法与减法
平面向量的加法与减法一、向量的概念与表示在数学中，向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
平面向量可以表示为一个有序的数对（a，b），其中a是向量在x 轴上的分量，b是向量在y轴上的分量。
向量通常用小写字母加箭头来表示，例如：→a。
二、向量的加法要进行向量的加法，我们需要将两个向量的对应分量分别相加。
例如，对于向量→a = (a₁, a₂)和→b = (b₁, b₂)，它们的和向量→c = →a + →b可以表示为：→c = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
三、向量的减法向量的减法与向量的加法类似，但是需要将相应分量相减。
例如，对于向量→a = (a₁, a₂)和→b = (b₁, b₂)，它们的差向量→c = →a - →b 可以表示为：→c = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
四、向量的性质1. 交换律：向量的加法满足交换律，即对于任意向量→a和→b，→a + →b = →b + →a。
2. 结合律：向量的加法满足结合律，即对于任意向量→a、→b和→c，(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)。
3. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它的分量均为0，通常用0或者→0表示。
对于任意向量→a，→a + →0 = →a。
4. 逆向量：对于任意向量→a，存在一个与之相反的向量−→a，使得→a + (−→a) = →0。
5. 数乘：向量的数乘指将向量的每个分量都乘以一个常数。
例如，对于向量→a = (a₁, a₂)和常数k，k * →a = (k * a₁, k * a₂)。
五、向量的应用1. 位移向量：向量可以表示物体在平面上的位移。
例如，一个物体在平面上从点A移动到点B，可以用向量→AB来表示，它的分量为B的横坐标减去A的横坐标，以及B的纵坐标减去A的纵坐标。
2. 力学应用：向量在力学中有着广泛的应用。
例如，力可以用向量来表示，向量的方向表示力的作用方向，向量的大小表示力的大小。
向量的运算的加减
向量的加减如下：
简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为（x,y）形式。
具体如下：向量的加法：A+B=（X1+X2，Y1+Y2）。
向量的减法：A-B=（X1-X2，Y1-Y2）。
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则；向量的加减乘（向量没有除法）运算满足实数加减乘运算法则。
向量加减法定则：
三角形定则
三角形定则解决向量加法的办法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向比较后一个向量的终点。
平行四边形定则
平行四边形定则解决向量加法的办法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。
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向量的加法与减法
综合训练卷（120分钟，满分150分）
一、选择题（每题5分，共60分）
1 .下列命题中，正确的是（）
C.才二农=卞卩？
D.若方"马且正,则方“三
—■- __^&.
2 .化简以下各式：（1）嵌曲+阪；（2）朋一也+班；（3）OA-DD十疝；」+」
(4) 「“「•」—。
结果为零向量的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.若|< |CD |,且应|二！5,则1曲I的值是（）
A .必小于5
B .必大于10 C.有可能为0 D .不可能为0
4.若屈=3,1乩|=5,则阿的取值范围是（）
A . [3 , 8]
B . （3, 8）C. [3 , 13] D . （3, 13）
5.在平行四边形ABCD中，若卜「讣'：'・-卜,则必有（）
A . ABCD是菱形
B . ABCD是梯形
C . ABCD是正方形
D . ABCD是矩形
6.把所有单位向量的起点平移到同一点P,各向量终
点的集合构成什么图形（A .点P B .过点P的一条直线
C.过点P的一条射线D .以点P为圆心，1为半径的圆
7.下列有关零向量的说法正确的是（）
A .零向量是无长度，无方向的向量B.零向量是无长度，有方向的向量
C.零向量是有长度，无方向的向量 D .零向量是有长度，有方向的向量
8 .已知丽，同丁,则匠一而的取值范围是（）
A . [2 , 12]
B . （2, 12）
C . [2 , 7]
D . （2, 7）
9.“谢昭CA=O”是“ A , B , C是三角形三个顶点的”的（）
A .充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D .既不充分又不必要条件
10 .已知两个向量鱼，^ ,则下列说法正确的是（）
A .向量可以比较大小
B .向量不可以比较大小，但是模可以比较大小
是共线向量时，可以比较大小
D.当自，11两个向量中，有一个是零向量时，可以比较大小
11.一艘船从A点出发以2・3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流
速为2km/h。
则船实际航行速度大小和方向（用与流速间的夹角表示）
A .大小为4km/h，方向与流速夹角为60°
B .大小为2.3km/h，方向与流速夹角为60°
C.大小为4km/4，方向垂直于对岸
D .大小为2.3km / h，方向垂直于对岸
____
J
12.
已知向量|
是（）
A .两者必不相等
C.两者可能相等
二、填空题（每题
13.如图5—5，在口ABCD 中，已知肚二卞，叽二b ,则AD = ________________________
AC =
[5 5—5
15.把平行于直线I的所有向量的起点移到I上的点P,则所有向量的终点构成图形
O
三、解答题（共74分）
17.—辆火车向东行驶400km后，改变方向向北行驶400km，求火车行驶的路程及两
次位移之和。
（10分）
18.飞机按东偏北25°从甲地飞行300km到达乙地，再从乙地按北偏西25°飞行400km 到达丙地，求甲丙两地之间的距离。
（12分）
19.一艘船以7km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为3km/h。
求航
A为
14 .已知的和向量，且AC
16 .已知a , b是非零向量，则-b a时，应满足条件
,b ,则下列有关吕一b与I乩丨一 | b |的说法正确的
B .廿-u |>R-hl
D.无法比较大小
4分，共16分）
20. 飞机从A 地按北偏西75°的飞向飞行 400km 后到达B 地，然后向C 地飞行。
已 知C 地从A
地西偏南30。
的方向处，且 A , C 两地相距为200.2km ，求飞机从B 地向C 地飞行的方向，及 B ，C 两地的距离。
（12分）
■ °F I
21 .已知O ABC 的外心，H 为垂心，求证：
丨-1「 ：
o （ 14分）
参考答案
1. C
2. D
3. D
4. C
5. D
6. D
7. D
8. A
9. B10. 13
. 七
a
—
-T
,2已 T
« - 6 a + £
14 . 2 * 2
15 .直线l 16 .江与匕’反向
17 .火车两次行驶路程为 800km ，因为位移是向量，则两次位移之和为
400・.2k
方向是东偏北45 ° o
18 . 500km ，甲、乙两地的连线与乙、丙两地连线垂直。
19 .航船实际航速为.58km/h 。
方向与河岸夹角为 arctan 7。
3
20 . B 地飞向C 地方向为东偏南60°,距离为200.2km 。
21. 略
22 .球对斜面压力为40
3N ，对挡板的压力为20
3N
3
3
［解题点拨］
1 .选项D 中：当“ =°时，对任意向量（非零）
已，匚，都有洼//
b /
c 但此时二才与百不一定平行。
22.在倾角为30 °的斜面上有一块坚直放置的挡板,
的光滑圆球，求这个球对斜面的压力和对挡板的压力。
在挡板和斜面之间有一个重为 （14 分）
20N
B11A . 12 . C
图 5—30
由1寸―亡“ 「V 诜，d -，：心「 加1 = 1垃/.I r
2< I AB- CDI < 12
11 •速度是向量，禾U 用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求
解。
与异向进行讨论。
当
mm
以下16题类似求解。
14 •利用向量加、减法的三角形法则求解。
20•准确画出图形后，经分析、计算知：△ ACB 是等腰直角三角形,
3•当 A , B , C , D 四点位置如图5— 29所示时，J
-
>5，排除A 。
D 四点如图5— 30时:
图 5—
29 而I <10 ,排除B 。
假设
=0, 则A 、D 两点重合,
4. •.nU；：当厂,,''- 同向时,
I 环 I =8-5=3 ; 当
AB
AC 不平行时，3<
<13。
结上可知 3W|BC|W 13
=8+5=13 ;,当 /应选C
注意：本题要根据问题的实际作好分类讨论，作到分类不漏不重。
7.零向量是特殊向量，符合向量的定义，零向量的长度为
0,零向量的方向是任意的。
& (1)若
与共线:
①AB 与伽同向时：
— 一 ・■ ■
\ AB- CD\ = \
CD\ -
［与
反向时：丨刖-3丨・丨胭1十［仞1=7 + "12
(2)若
CD 不共线，则由向量的可平移性及向量的三角形法则知：
12•分“
1
共线与不共线”两种情况进行讨论,
共线时又分同向
故IBCI 二 I -ICI =200^2
反向时，
共线且同向时：若
它们的内在联系，由三角形法则可知I H
' +、I ,而H 总是△ ABC 的垂心，说明AH 与
接0B 并延长它交圆于 D 点，由圆的知识可知 DC 与BC 垂直，则'11
与・上 的方向相同。
同时由图可知HC 与AT 的方向相同，四个点A ,H ,D ,c 可以构成平行四边形，右H 与
等是相反向量，
决问题。
本题在分析图形的基础上， 的思想，是向量考查中的一个难点。
22.
本题考查向量加法、 减法在实际物理问题中的运用。
力是一个既有大小又有方向的
量，它是一个向量。
力的分解也就是向量的分解。
已知了重力，即已知了两个向量的和，禾U 用直角三角形求两个向量的大小。
先画出草图，利用平面几何的知识分析直角三角形的内角， 再要求直角三角形中斜边与直角边的关系，
求出两个分力的大小。
高考在考查向量加、 减法
21.由图形可知,
0H 0A
oc 之间不存在表面上的联系，要借助圆来找到
BC 垂直，利用这一关系来寻找与
间的联系。
△ ABC 是圆0的内接三角形，可连
方向相同，大小相等是相等向量，而
DC — 0D ，向量0D 与方向相反，大小相
通过图形的分析，可以找出四个向量之间的联系，可以解 借助向量的方法，解决几何问题， 充分体现了数形结合
的运算中，一般不会直接考查，会借助一些实际的应用问题来考查向量的加、减法。