湖南高考数学文科试卷带答案

湖南高考数学文科试卷

带答案

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2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文科）

一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1． 复数

2

1i

-等于 ( )

A ．1+i

B ． 1－i

C ． －1+i

D ． －1－i 【测量目标】复数代数的四则运算. 【考查方式】复数分数形式的化简. 【参考答案】A

【试题解析】

22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2++===+--+,故选A ． 2． 下列命题中的假命题．．．

是 ( )

A ． ,lg 0x x ?∈=R

B ． ,tan 1x x ?∈=R

C ． 3,0x x ?∈>R

D ． ,20x x ?∈>R

【测量目标】函数值域定义域的判断

【考查方式】给出对数函数，三角函数，幂函数和指数函数求函数在某定义域下的值域.

【参考答案】C 【试题解析】易知A 、B 、D 都对，而对于C ，当0x

时有3

0x ，不对，故选C ．

3． 某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是 ( )

A ．^

10200y x =-+ B ． ^

10200y x =+ C ． ^

10200y x =-- D ． ^

10200y x =-

【测量目标】线性回归方程.

【考查方式】给出生活实例判断回归方程的正确性. 【参考答案】A

【试题解析】由正、负相关概念可排除B 、D ，而对于C ，显然与实际生活不符！故选A ．

4． 极坐标cos ρθ=和参数方程12x t

y t =--??

=+?

（t 为参数）所表示的图形分别是 ( )

A ． 直线、直线

B ． 直线、圆

C ． 圆、圆

D ．圆、直线

【测量目标】极坐标和参数方程的图象

【考查方式】给出两个函数判断函数的图象.

【参考答案】D

【试题解析】由极坐标方程cos ρθ=可得222cos ,0x y x ρρθ=∴+-=表示的是圆；

由参数方程1,

2x t y t

=--??=+?推得直线10x y +-=，故选D ．

5． 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ( )

A ． 4

B ． 6

C ． 8

D ． 12 【测量目标】抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点和准线.

【考查方式】给定抛物线和抛物线上点到y 轴的距离求点到焦点的距离. 【参考答案】B 【试题解析】易知抛物线的准线方程是2x =-，由抛物线的定义可知点P 到该抛物

线焦点的距离就是点P 到该抛物线准线的距离，即426d =+=，故选B ． 6． 若非零向量a ，b 满足||||,(2)0=+?=a b a b b ，则a 与b 的夹角为 ( )

A ．30

B ． 60

C ．120

D ．

150 【测量目标】向量夹角的计算

【考查方式】已知两向量模相等且给出关于两向量的等式求两向量的夹角. 【参考答案】C

【试题解析】令1==a b ，由()2020+=?+=a b b a b b ，得1

2

=-a b ，又

1

1

2cos ,||||112

-

<>===-?a b a b a b ，则其夹角为120，故选C

7．在△ABC 中，角A

，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C =120°，c a ，则( )

A ．a >b

B ．a ＜b

C ． a ＝b

D ．a 与b 的大小关系不能确定 【测量目标】利用余弦定理判断边的关系.

【考查方式】给出三角形的一角和角所对应的边求另外两边的关系. 【参考答案】A 【试题解析】由余弦定理得2222222cos 2c a b ab C a a b ab =+-?=++，则有

22a b ab =+，而△ABC 的边长a,b 均大于零，因而有a b >，故选A ．

8．函数y =ax 2+ bx 与y = ||log b a

x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图象

可能是( )

A B C D

【测量目标】含未知数函数图象的判断.

【考查方式】给出二次函数和对数函数判断在同一坐标系上的图片是否正确. 【参考答案】D

【试题解析】由二次函数图象的对称轴为2b

x a

=-逐一观察得，对于A 、B 、D ，有

对称轴2b x a =-1(0,)100||12b b

a a

∈?-<

2b x a =-

1(1,)121||22b b

a a ∈--?<

b a

y x ab a b =≠≠的单调

性，逐一观察得，对于A 、B 有||1b a >，对于C 、D 有||1b a <．在同一图形中||b

a

的范围应该是一致的只有D 符合．故选D ．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应的题号后的横线上．

9．已知集合A ={1,2,3}，B ={2，m ，4}，A ∩B ={2,3}，则m = 【测量目标】集合的交集运算.

【考查方式】用列举法表示两集合和交集求集合中的未知元素. 【参考答案】3

【试题解析】由集合的交集概念易知3m =，故填3．

10．已知一种材料的最佳加入量在100g 到200g 之间，若用法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g 【测量目标】黄金分割点

【考查方式】给出一区间求该区间上的黄金分割点 【参考答案】或

【试题解析】本题考查了黄金分割点的有关知识．由法求得第一次试点的加入量为1001000.618161.8+?=g 或2001000.618138.2-?=g ．

11．在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 ． 【测量目标】几何概率的计算

【考查方式】给定一区间，求x 出现在一子区间的概率.

【参考答案】1

3

【试题解析】由几何概型得长度比：101

213

P -==+．

12．如图是求实数x 的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填 【测量目标】选择结构的程序框图.

【考查方式】给定程序框图求判断框中应该填写的内容. 【参考答案】x >0?或0x

【试题解析】由实数x 的绝对值的几何意义得①中可填： x>0

或 x ≥0 第12题图

13．如图中的三个直角三角形是一个体积为203cm 的几何体的三视图，则h = cm

【测量目标】三棱锥的体积公式和三视图

【考查方式】给出三棱锥的体积和三视图求三角形的高. 【参考答案】4

【试题解析】原图为一个三棱锥，其底面是一个边长分别为5、6的直角三角形，高为h ，

11

20(56),432

V h h ==???∴=．

14．若不同两点P ,Q 的坐标分别为（a ,b ），（3－b ,3－a ），则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为 ,圆()()2

3

231x y -+-=关于直线对称的圆的方程

为 ．

【测量目标】直线的斜率和圆的方程确定.

【考查方式】给出线段的两点求线段垂直平分线的斜率，给出圆的方程求关于直线对称的圆的方程.

【参考答案】-1，()2

211x y +-=

【试题解析】特取0a b ==，则(0,0),(3,3)1PQ P Q k ?=，其垂直平分线l 的斜率为

-1；

l 的方程为30x y +-=，已知圆心(2,3)关于l 对称的点为(0,1)，可由以下变化得到：

3

3

(2,3)(2,0)(0,2)(0,1)y x

=-↓↑→?-→，故其对称圆的方程为()2

211x y +-=．

另解：31,13PQ l a b k k b a --?=

=∴=---；又,P Q 的中点坐标为33(,)22a b a b

+--+，则

l 的方程为33()3022

a b a b

y x x y -++--=--?+-=，设点(2,3)关于l 对称的点为

(,)m n ，解方程组可求得(0,1)，故其对称圆的方程为()2

211x y +-=．

15．若规定E ={}1,210...a a a 的子集{}

12...,n k k k a a a 为E 的第k 个子集，其中

k =1

2

11122+2n

k k k ---++… ，则

（1）{}1,3,a a 是E 的第__个子集；

（2）E 的第211个子集是_______

【测量目标】数学新定义，集合和子集.

【考查方式】给出集合和子集的表示形式，求子集与集合的关系. 【参考答案】5，{}12578,,,,a a a a a

【试题解析】（1）{}13,a a 是E 的第113122145k --=+=+=个子集；

(2) 从023456721,22,28,216,232,264,2128=======且

0122++72255+=的取值中，考虑255-211=44，观察532442223284=++=++，

即从{}1210,,,E a a a =中选取元素{}12578,,,,a a a a a ，故E 的第211个子集是

{}12578,,,,a a a a a ，检验得0146722222121664128211++++=++++=．故填{}12578,,,,a a a a a ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤．

16． （本小题满分12分） 已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期．

(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合．

【测量目标】三角函数的周期性和二倍角.

【考查方式】给出三角函数的表达式，求函数的最小正周期和函数最大值和最小值时x 的集合.

【试题解析】（Ⅰ）因为π

()sin 2(1cos 2))1,4

f x x x x =--=+-

所以函数()f x 的最小正周期为2π

π2

T ==．（步骤1）

（II ）由（Ⅰ）知，当ππ

22π,42

x k +=+

即π

π()8

x k k =+∈Z 时，()f x 1．（步骤2）

因此()f x 取最大值时x 的集合为π|π,8x x k k ??

=+∈????

Z ．（步骤3）

17． （本小题满分12分）

为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A ,B ,C 的相关人员中，抽取若

(Ⅰ)求x ,y ;

( II )若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C 的概率．

【测量目标】分层抽样和事件发生的概率.

【考查方式】给出三层的相关人数和某一层中的抽取人数求另外两层应该抽取的人数，在两层中抽取两样本，求样本来自一层的概率.

【试题解析】（Ⅰ）由题意可得，2183654

x y

==，所以1,3x y ==．（步骤1）

（II ）记从高校B 抽取的2人为12,b b ，记从高校C 抽取的3人为123,,c c c ， 则从高校,B C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有

共10种．（步骤2）

设选中的2人都来自高校C 的事件为X ,则X 包含的基本事件有

12(,),c c 13(,),c c 23(,)c c 共3种．因此3

()10

P X =． 故选中的2人都来自高校

C 的概率为3

10

．（步骤3）

18．（本小题满分12分）

如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =AD =1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面11A B M

【测量目标】两条直线的位置关系和面面垂直的判定. 【考查方式】给出长方体的底边和侧棱的长度和棱中点求长方体中线与线的夹角正切值和线面垂直推导面面垂直. 【试题解析】（Ⅰ）如图，因为1111//C D B A ，所

以

11MA B ∠为异面直线1A M 与11C D 所成的角．因为

11A B ⊥

平面11BCC B ，所以

1190A B M ∠=． （步骤1）

221111111,2A B B M B C MC ==+= ,故 11111

tan 2.B M

M A B A B ∠=

=即异面直线1A M 和11C D 所成的角的正切值为2． （步骤 2） 第18题图

（II ）由11A B ⊥平面11BCC B ，BM ?平面11BCC B ，得11A B BM ⊥．① （步骤3）

由（Ⅰ）知，12B M =，又222BM BC CM =+=，12B B =，所以

22211B M BM B B +=，从而1BM B M ⊥ ②． （步骤

4） 又11

11A B B M B =，再由①，②得BM ⊥平面11A B M ．而BM ?平面ABM ，因此平面

ABM ⊥平面11A B M ． （步骤5） 19．（本小题满分13分）

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）．考察范围到A 、B 两点的距离之和不超过10km 的区域．

( 1 )求考察区域边界曲线的方程：

( 2 )如图所示，设线段12P P 是冰川的部分边界线

（不

考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0．2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A 恰好在冰川边界线上？ 第19题图

【测量目标】椭圆的定义和点到直线的距离公式，等比数列前n 项和.

【考查方式】给出椭圆的焦点和长轴长求椭圆方程和给出直线方程求直线到椭圆的距离.

【试题解析】（1）设边界曲线上点Ｐ的坐标为(,)x y ，则由||||10PA PB +=知，点

Ｐ在以,A B 为焦点，长轴长为210a =的椭圆上．此时短半轴长 22543b =-=．所以考察区域边界曲线（如图）的方

程为22

1259

x y +

=．（步骤1） （2）易知过点12,P P 的直线方程为43470x y -+=．因此点Ａ到直线12P P 的距离为

22

31

5

4(3)d =

=

+-．（步骤2）

设经过n 年，点A 恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得

0.2(21)21n --31

5

=．解得5n =，即经过５年点A 恰好在冰川边界线上.（步骤3）

20．（本小题满分13分） 给出下面的数表序列：

其中表n （n =1,2,3 ）有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，2n -1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．

（I ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结

论推广到表n （n ≥3）（不要求证明）；

（II ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为

{}n b 求和：3

2

4

12

231

n n n b

b b b b

b b b b +++

+ ()

n *∈N 【测量目标】归纳推理和等比数列证明和求和.

【考查方式】给出一组数表归纳推理求表4，每个表去一个数组成数列，求数列的和，

【试题解析】（Ⅰ）表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20

32 （步骤1）

它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32,它们构成首项为4，公比为2的等比数列.将结这一论推广到表n （n ≥3），即表n 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列． （步骤2） 简证如下（对考生不作要求）首先，表(3)n n 的第1行1,3,5,,21n -是等差数列，

其平均数为

135(21)

n n n

+++

+-=； （步骤3）

其次，若表n 的第(1

1)k k

n -行121,,

,n k a a a -+是等差数列，则它的第1k +行

12231,,

,n k n k a a a a a a --++++也是等差数列． （步骤4）

由等差数列得性质知，表n 的第k 行中的数的平均数与第1k +行中的数的平均数分别是

112n k a a -++，121

112n k

n k n k a a a a a a --+-++++=+．（步骤5） 由此可知，表(3)n n

各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下

的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列． （步骤6）

（Ⅱ）表n 的第1行是1,3,5,,21n -，其平均数是

135(21)

n n n

+++

+-=．由

（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列（从而它的第k 行中的数的平均数是12k n -?），于是，表n 中最后一行的唯一一个数为12n n b n -=?．因此

故

3242110

1223

11111

()()12222232

n n n b b b b b b b b b +---++++

=-+-+????

21．（本小题满分13分）

已知函数()(1)ln 15,a

f x x a x a x =++-+其中a <0,且a ≠-1．

（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）设函数

322(23646)e ,1e

(),1

(){x x ax ax a a x f x x g x -++-->=（e 是自然数的底数）．是否存

在a ，使()g x 在[a ,-a ]上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

【测量目标】利用导数判断函数的单调区间.

【考查方式】给出函数，讨论函数的单调性，分段函数给出函数的单调性求解函数表达式中未知数的范围.

【试题解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．22

1()(1)

()1a a x a x f x x x x -+-'=-++=． （１）若10a -<<，则当0x a <<-时，()0f x '>；当1a x -<<时，()0f x '<；当

1x >时，()0f x '>．故()f x 分别在(0,)a -，(1,)+∞上单调递增，在(,1)a -上单调递

减． （步骤1）

（２）若1a <-，仿（１）可得()f x 分别在(0,1)，(,)a -+∞上单调递增，在(1,)a -上单调递减． （步骤2）

（Ⅱ）存在a ，使()g x 在[,]a a -上为减函数．事实上，设

322()(23646)e (),x h x x ax ax a a x =-++--∈R 3()[23(2h x x a '=-+-2)12x ax +24]e .x a -再

设322()23(2)124()m x x a x ax a x R =-+-+-∈，则当()g x 在[,]a a -上单调递减时，()h x 必在[,0]a 上单调递减，所以()

0h a '．（步骤3）

由于e 0x >，因此()0m a ．而2()(2)m a a a =+，所以2a -．此时，显然有

()g x 在[,]a a -上为减函数，当且仅当()f x 在[1,]a -上为减函数，()h x 在[,1]a 上为减函

数，且(1)e (1)h f ．（步骤4）

由（Ⅰ）知，当2a

-时，()f x 在[1,]a -上为减函数①又

(1)e (1)h f 21

413303.4

a a a

?++?-- ②不难知道，[,1]x a ?∈，()

0[,1],()

0h x x a m x '??∈．（步骤5）

因2()66(2)126(2)()m x x a x a x x a '=-+-+=-+-，令()0m x '=，则x a =或

2x =-．而2a -，于是（１）当2a <-时，若2a x <<-，则()0m x '>；若

21x -<<，则()0m x '<．因而()m x 在(,2)a -上单调递增，在(2,1)-上单调递减．（步

骤6）

（２）当2a =-时， ()0m x '，()m x 在(2,1)-上单调递减．综合（１）、

（２）知，当2a

-时，()m x 在[,1]a 上的最大值为

2(2)4128m a a -=---.[,1],()0(2)

0x a m x m ?∈?-?-24a 12a -8

0-2

a ?-．（步骤7）

③又对[,1],()0x a m x ∈=只有当2a =-时在2x =-时取得，亦即()0h a '=只有当

2a =-时在2x =-时取得．因此，当2a

-时，()h x 在[,1]a 上为减函数．（步骤8）

从而由①，②，③知，32a --．综上所述，存在a ，使()g x 在[,]a a -上为减

函数，且a 的取值范围为[3,2]--．（步骤9）