综合法与分析法教案
高中数学 第9课时 不等式的证明方式 综合法与分析法教案
第09课时 不等式的证明方式之二：综合法与分析法目的要求：重点难点：教学进程：一、引入：综合法和分析法是数学中经常使用的两种直接证明方式，也是不等式证明中的大体方式。
由于二者在证明思路上存在着明显的互逆性，那个地址将其放在一路加以熟悉、学习，以便于对照研究两种思路方式的特点。
所谓综合法，即从已知条件动身，依照不等式的性质或已知的不等式，慢慢推导出要证的不等式。
而分析法，那么是由结果开始，倒过来寻觅缘故，直至缘故成为明显的或在已知中。
前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。
打一个例如：张三在山里迷了路，救援人员从驻地动身，慢慢寻觅，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。
以前取得的结论，能够作为证明的依照。
专门的，AB B A 222≥+是常常要用到的一个重要不等式。
二、典型例题：例一、b a ,都是正数。
求证：.2≥+a b b a 证明：由重要不等式AB B A 222≥+可得本例的证明是综合法。
例二、设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+ 证法一 分析法要证2233ab b a b a +≥+成立.只需证)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+成立， 又因0>+b a ，只需证ab b ab a ≥+-22成立， 又需证0222≥+-b ab a 成立， 即需证0)(2≥-b a 成立.而0)(2>-b a 显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法两边同时加上ab 得)()(m b a m a b +>+两边同时除以正数)(m b b +得（1）。
读一读：若是用Q P ⇒或P Q ⇐表示命题P 能够推出命题Q （命题Q 能够由命题P 推出），那么采纳分析法的证法一确实是 （1）).4()3()2(⇐⇐⇐而采纳综合法的证法二确实是 ).1()2()3()4(⇒⇒⇒若是命题P 能够推出命题Q ，命题Q 也能够推出命题P ，即同时有P Q Q P ⇒⇒,，那么咱们就说命题P 与命题Q 等价，并记为.Q P ⇔在例2中，由于m b m b +,,都是正数，事实上例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，若是水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
历史教案：各国历史的比较研究
历史教案：各国历史的比较研究一、不同国家历史比较研究的重要性历史是人类社会发展的见证，每个国家都有其独特的历史背景、文化传统和政治制度。
各国历史的比较研究对于深入了解各国之间的相互影响、共同点与差异以及历史事件背后的原因和影响具有重要意义。
通过进行各国历史比较研究，可以拓宽我们眼界，促进跨文化交流与理解，同时也对今天世界格局和未来发展趋势的推断提供了重要参考。
二、各国历史比较研究方法1. 对比法对比法是开展各国历史比较研究非常常用的方法之一。
通过将不同国家在同一时期或不同时期相似事件或现象进行对比分析，可以揭示出各自发生变化或差异的原因，并帮助我们更好地理解其中规律性和普遍性。
例如，在美洲大陆上存在着亚马逊雨林地区与湄公河流域两个相似的地理环境。
通过对这两个地区部落社会、经济发展和政治演变的对比研究，可以发现它们之间存在共性，即自然环境对人类社会的影响和制约。
2. 综合法综合法是一种将多个国家的历史案例进行深入研究并进行综合分析的方法。
通过比较整体历史发展模式、文化传统、社会结构等方面的差异和共同点，可以更好地把握各国历史之间的相互关系。
例如，通过对欧洲各国在中世纪之后逐渐形成并独立发展的封建制度进行综合研究，我们不仅能了解到不同欧洲国家在封建制度下政治、经济、文化等方面存在的特点和差异，还能够认识到这些特点和差异背后蕴含着共同因素和流动性。
三、各国历史比较研究的意义1. 深入了解人类社会发展规律各国历史相互联系，在时间上或空间上呈现出某种趋势或模式。
通过比较研究不同国家历史中相似时期或事件背后隐藏的普遍规律，并将其与全球历史情景联系起来，有助于我们更全面深入地了解人类社会的发展规律和演变趋势。
2. 推动跨文化交流与理解各国历史的比较研究可以促进跨文化交流与理解。
通过研究不同国家的历史，我们可以清楚地看到不同国家之间的相互影响以及文明之间的相互渗透和融合。
这为我们建立一种开放、包容、多元而和谐的全球社会提供了宝贵经验。
2.2.综合法与分析法-人教A版选修2-2教案
2.2.综合法与分析法-人教A版选修2-2教案
一、教学目标
1.理解综合法和分析法的概念。
2.掌握综合法和分析法的基本原理。
3.能够应用综合法和分析法解决实际问题。
4.培养学生系统思维的能力。
二、教学内容
1.综合法的概念和基本原理。
2.分析法的概念和基本原理。
3.综合法和分析法的应用。
三、教学过程
1. 导入（5分钟）
教师通过提问和讲解，引导学生了解问题解决的两种方法：综合法和分析法，并介绍本节课的教学目标和重点。
2. 讲解（25分钟）
2.1 综合法的概念和基本原理
1.综合法是从整体综合出发，从多个方面考虑，综合分析问题的方法。
2.综合法的基本原理是整体观念、多元观念和系统观念。
2.2 分析法的概念和基本原理
1.分析法是从局部出发，从单个方面考虑，分析问题的方法。
2.分析法的基本原理是简化化、抽象化和精确化。
3. 练习（25分钟）
1.给学生提供综合法和分析法的例子，让学生分别应用综合法和分析法解决问题。
2.针对不同的问题，让学生思考采用哪种方法更适合。
4. 总结（5分钟）
让学生回顾本节课的重点内容，并讲解综合法和分析法的区别和联系。
四、教学反思
本节课通过提供练习例子的方式，让学生更深入地理解了综合法和分析法的概念和应用方法。
同时，通过问题讨论的方式，培养了学生系统思维的能力。
综合法和分析法(公开课教案)
综合法和分析法(公开课教案)第一章：综合法的介绍1.1 教学目标：了解综合法的定义和应用范围。
掌握综合法的步骤和技巧。
1.2 教学内容：综合法的定义和意义。
综合法的应用领域，如科学研究、工程设计等。
综合法的步骤，包括问题定义、信息收集、方案设计等。
综合法的技巧，如图表制作、数据分析等。
1.3 教学方法：讲授法：介绍综合法的定义、应用领域和步骤。
案例分析法：分析实际案例中的应用实例。
小组讨论法：分组讨论综合法的技巧和难点。
1.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。
案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。
第二章：分析法的介绍2.1 教学目标：了解分析法的定义和应用范围。
掌握分析法的步骤和技巧。
2.2 教学内容：分析法的定义和意义。
分析法的应用领域，如企业管理、市场研究等。
分析法的步骤，包括问题定义、数据收集、因素分析等。
分析法的技巧，如数据可视化、假设验证等。
2.3 教学方法：讲授法：介绍分析法的定义、应用领域和步骤。
案例分析法：分析实际案例中的应用实例。
小组讨论法：分组讨论分析法的技巧和难点。
2.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。
案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。
第三章：综合法和分析法在科学研究中的应用3.1 教学目标：了解综合法和分析法在科学研究中的具体应用。
掌握相应的应用技巧和注意事项。
3.2 教学内容：综合法和分析法在科学研究中的常见应用场景。
具体的应用技巧，如数据整合、信息提炼等。
应用过程中的注意事项，如数据准确性、逻辑严密性等。
3.3 教学方法：讲授法：讲解综合法和分析法在科学研究中的应用。
案例分析法：分析具体案例中的应用实例。
小组讨论法：分组讨论应用过程中的技巧和难点。
3.4 教学评估：课堂参与度：学生参与小组讨论和回答问题的积极性。
案例分析报告：学生分析实际案例的深度和准确性。
第四章：综合法和分析法在工程设计中的应用4.1 教学目标：了解综合法和分析法在工程设计中的具体应用。
小学数学—解决问题的两种分析方法
5、求一个数比另一个数多（少）百分之几，用 相差量÷单位“1”的量 。 6、税款＝应纳税收入×税率 利息＝本金×利率×时间 本息和=本金﹢利息
1、六年级一班有学生 45 人，上学期期末跳远测验有 80%的同学及格。及格的同学 有多少人？ 2、用 500 粒种子进行试验，有 15 粒没有发芽，求发芽率。
四、分数百分数问题：
3
1、求一个数的百分之几，用乘法计算。（和分数一样：求一个数的几分之几，用乘法计算） 2、已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数。 3、 求一个数是另一个数的百分之几， 用除法计算。 （分数为： 一个数是另一个数的几分之几） 。 4、百分率的计算： 百分率
比较量 100 % 标准量
练习 1：一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距 900 千米的甲、乙两地出发，相向 而行， 汽车每小时行 50 千米， 摩托车每小时行 40 千米， 小时两车相距多少千米？ 8
练习 2、甲、乙两车从相距 675 千米的两地相对出发，甲每小时行 45 千米，乙每 小时行 60 千米。甲先行 1 小时后，乙才出发，再经过几小时两车才能相遇？
3、有一袋米，第一周吃了 40%，第二周吃了 12 千克，还剩 6 千克。这袋米原来有 多少千克？
4、五年级有女生 60 人，男生比女生少 10%。五年级共有学生多少人？
5、 ○篮球个数是足球的 125％，篮球比足球多（ 1 （
）％，足球个数是篮球的
）％，足球个数比篮球少（ ）％。 ○、排球个数比篮球多 18％，排球个数相当于篮球的（ 2 ）％。 ○、足球个数比篮球少 20％。排球个数比篮球多 18％，（ 3 ）球个数最 多，（ ）球个数最少。 （1）某工厂九月份用水 800 吨，十月份用水 700 吨。节约百分之几？
高中数学第二讲第2节综合法与分析法创新应用教学案新人教A版选修38
第2节综合法与分析法创新应用[核心必知]1．综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法．2．分析法证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．[问题思考]1．如何理解分析法寻找的是充分条件？提示：用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A只需证B”表示，说明只要B 成立，就一定有A成立，所以B必须是A的充分条件才行，当然B是A的充要条件也可．2．用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？提示：综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(逐步推演不等式成立的必要条件)，即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(步步寻求不等式成立的充分条件)，总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法．已知a ，b ，c ∈R ＋，且互不相等，又abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.[精讲详析] 本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向．左端含有根号，脱去根号可通过a ＝1bc <1b ＋1c2实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可．法一：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1， ∴a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab＜1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c.法二：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc2＞ abc 2＋a 2bc ＋ab 2c＝a ＋b ＋c ——————————————————(1)用综合法证明不等式时，主要利用基本不等式，函数的单调性以及不等式的性质等知识，在严密的演绎推理下推导出结论．(2)综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：①a 2≥0(a ∈R ②(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有：a 2＋b 2≥2ab ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab .a 2＋b 2≥12(a ＋b )2.③若a ，b 为正实数，a ＋b 2≥ab .特别b a ＋a b≥2.④a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .1．已知x ，y ，z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 证明：因为x ，y ，z 均为正数．所以x yz ＋y zx ＝1z (x y ＋y x)≥2z，同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y， 当且仅当x ＝y ＝z 时， 以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.a ，b ∈R ＋，且2c >a ＋b .求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .[精讲详析] 本题考查分析法在证明不等式中的应用．解答本题需要对原不等式变形为－c 2－ab <a －c <c 2－ab ，然后再证明．要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab ， 只需证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ， 即证|a －c |＜c 2－ab ，两边平方得a 2－2ac ＋c 2＜c 2－ab ， 也即证a 2＋ab ＜2ac ，即a (a ＋b )＜2ac .∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＜2c ，∴a (a ＋b )＜2ac 显然成立． ∴原不等式成立．——————————————————(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径．(2)对于无理不等式的证明，常采用分析法通过乘方将 其有理化，但在乘方的过程中，要注意其变形的等价性．(3)分析法证题的本质是从被证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证明的关键是推理的每一步都必须可逆．2．已知x >0，y >0，求证：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.证明：要证明(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 即证3x 4y 2＋3x 2y 4>2x 3y 3. ∵x >0，y >0，∴x 2y 2>0， 即证3x 2＋3y 2>2xy . ∵3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy ，∴3x 2＋3y 2>2xy 成立，∴(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，且b 2＝ac .求证：a 4＋b 4＋c 4＞(a 2－b 2＋c 2)2. [精讲详析] 本题考查综合法与分析法的综合应用．解答本题可先采用分析法将所要证明的不等式转化为较易证明的不等式，然后再用综合法证明．欲证原不等式成立，只需证a 4＋b 4＋c 4＞a 4＋b 4＋c 4－2a 2b 2＋2a 2c 2－2b 2c 2， 即证a 2b 2＋b 2c 2－a 2c 2＞0，∵b 2＝ac ，故只需证(a 2＋c 2)ac －a 2c 2＞0.∵a 、c ＞0，故只需证a 2＋c 2－ac >0， 又∵a 2＋c 2>2ac ，∴a 2＋c 2－ac >0显然成立． ∴原不等式成立． ——————————————————(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析与综合之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )，即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>a ·b ·c .又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴由基本不等式得：a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ac >0，以上三式中由于a ，b ，c 不全相等， 故等号不同时成立． ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>a ·b ·c .∴lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .数学证明是数学高考的核心问题，有时单独考查，有时以解答题的一问出现，综合法是解决数学证明问题的基本方法，而分析法又为综合法的使用提供了思路，因此，综合法与分析法是解决数学证明问题的重要工具．[考题印证]设a，b为非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．[命题立意] 本题考查综合法的应用，考查学生分类讨论的思想和转化化归思想的应用．[证明] 由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)((a)5－(b)5)．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)·((a)5－(b)5)≥0；当a<b时，a<b，从而(a)5<(b)5，得(a－b)·((a)5－(b)5)>0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．一、选择题1．设a，b∈R＋，A＝a＋b，B＝a＋b，则A、B的大小关系是( )A．A≥B B．A≤BC．A＞B D．A＜B解析：选C 用综合法(a＋b)2＝a＋2ab＋b，所以A2－B2＞0.又A ＞0，B ＞0， ∴A ＞B .2．已知a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．b 2<ab 2D ．ac (a －c )>0解析：选A ⎩⎪⎨⎪⎧ac <0，c <a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，c <0. 又b >c ，∴ab >ac ，故A 正确． ∵b －a <0，c <0，∴c (b －a )>0， 故B 错误．由b 2＝0，可验证C 不正确， 而ac <0，a －c >0， ∴ac (a －c )<0，故D 错误．3．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x ＞0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫25x，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525＞⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，所以a ＞c ，故a ＞c ＞b .4．已知a 、b 、c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则( ) A ．S ≥2P B ．P <S <2P C ．S >P D ．P ≤S ＜2P解析：选D ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，即S ≥P .又三角形中|a －b |＜c ，∴a 2＋b 2－2ab ＜c 2， 同理b 2－2bc ＋c 2＜a 2，c 2－2ac ＋a 2＜b 2， ∴a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )，即S <2P . 二、填空题5．设a >2，x ∈R ，M ＝a ＋1a －2，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，则M ，N 的大小关系是________．解析：∵a ＞2， ∴M ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4. ∵x 2－2≥－2，∴N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4， ∴M ≥N . 答案：M ≥N6．设a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1，则M 的取值范围是________．解析：∵a ＋b ＋c ＝1，∴M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c c －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋b c≥2bca 2·2ac b 2·2ab c 2＝8.即M 的取值范围是[8，＋∞)． 答案：[8，＋∞)7．已知a ＞0，b ＞0，若P 是a ，b 的等差中项，Q 是a ，b 的正的等比中项，1R 是1a ，1b的等差中项，则P 、Q 、R 按从大到小的排列顺序为________．解析：由已知P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，1R ＝1a ＋1b 2＝a ＋b2ab，即R ＝2aba ＋b，显然P ≥Q ， 又2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ， ∴Q ≥R .∴P ≥Q ≥R . 答案：P ≥Q ≥R 8．若不等式1a －b ＋1b －c ＋λc －a>0在条件a >b >c 时恒成立，则λ的取值范围是________． 解析：不等式可化为1a －b ＋1b －c >λa －c. ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0， ∴λ<a －c a －b ＋a －cb －c恒成立． ∵a －c a －b ＋a －c b －c ＝（a －b ）＋（b －c ）a －b ＋（a －b ）＋（b －c ）b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2＝4.∴λ<4. 答案：(－∞，4) 三、解答题9．(新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 10．已知a >b >0，求证：（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b .证明：要证（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b ，只要证（a －b ）24a <a ＋b －2ab <（a －b ）24b，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2a 2<(a －b )2<⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2， 即证0＜a －b 2a ＜a －b ＜a －b 2b ，即证a ＋b a <2<a ＋bb ， 即证1＋b a <2<1＋ab，即证 b a<1< ab成立． 因为a >b >0，所以ab>1，b a<1，故b a ＜1, a b＞1成立， 所以有（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b成立．11．已知实数a 、b 、c 满足c ＜b ＜a ，a ＋b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1.求证：1＜a ＋b ＜43.证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴欲证结论等价于 1＜1－c ＜43，即－13＜c ＜0.又a 2＋b 2＋c 2＝1，则有 ab ＝（a ＋b ）2－（a 2＋b 2）2＝（1－c ）2－（1－c 2）2＝c 2－c .①又a ＋b ＝1－c .②由①②得a 、b 是方程x 2－(1－c )x ＋c 2－c ＝0的两个不等精心制作仅供参考 鼎尚出品鼎尚出品 实根，从而Δ＝(1－c )2－4(c 2－c )＞0，解得－13＜c ＜1. ∵c ＜b ＜a ，∴(c －a )(c －b )＝c 2－c (a ＋b )＋ab＝c 2－c (1－c )＋c 2－c ＞0，解得c ＜0或c ＞23(舍)． ∴－13＜c ＜0，即1＜a ＋b ＜43.。
综合法和分析法教案
综合法和分析法教案教学要求：结合已经学过的数学实例，了解证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：分别掌握分析法和综合法思考过程，会利用两种方法解决具体问题。
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 解决上节课遗留下来的问题2. 提问：上节课的知识要点二、讲授新课：1. 教学例题：(1).如图，在等腰∆ABC 的两腰AB 即AC 上，分别取两点D 及E ，使AD=AE ，F 为BE 与CD 的交点，证明FB=FC 。
注：由上例题目可以看出，在分析个过程中思路是非常重要的，只要有了正确的清晰的分析思路，就可以按照分析的推理模式，逐步将分析的过程写出来。
同时也正确完成证明。
（不访写看看！）(2).计算曲边梯形的面积：微积分中的“元素法”如图所示，在曲 边 梯形AabB 中，任取一个小曲边梯形CEFD （即“元”），它的=，(3). 练习1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点(4).提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.(5) .练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. (6) .出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）(7). 出示例3：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法(8).提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因. (9). 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.2. 练习：1.,A B 为锐角，且tan tan 3tan tan 3A B A B ++=，求证：60A B +=. （提示：算tan()A B +）2. 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P xx 练习 x 题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.作业：教材P x 页1题.。
人教课标版高中数学选修4-5：《综合法与分析法》教案-新版
2.2 课时6 综合法与分析法一、教学目标（一）核心素养通过对综合法与分析法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路.（二）学习目标1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的综合法.2.了解直接证明分析法，注意格式规范.2.了解分析法和综合法的思考过程.（三）学习重点会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.（四）学习难点根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第23页至第25页，思考：什么是综合法？什么是分析法？（2）想一想：两种方法有什么区别与联系？2．预习自测（1）综合法又叫顺推证法，它的特点是.【知识点】综合法【数学思想】【解题过程】由因到果【思路点拨】了解综合法的原理【答案】由因到果（2）分析法的特点是.【知识点】分析法【数学思想】【解题过程】执果索因.【思路点拨】了解分析法的原理【答案】执果索因（32+<，最好用什么方法？ 【知识点】分析法 【数学思想】2+<，只需证22(2<+，只需证<<，只需证1820<，显然成立，原命题成立. 【思路点拨】分析法由果寻因，证明问题很方便 【答案】分析法 (二)课堂设计 1.知识回顾（1）如果,a b ∈R ，那么222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.（2）如果,0a b >，那么2a b+≥，当且仅当a b =时，等号成立. （3）如果,a b c d >>，那么a c b d +>+；如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >. 2．问题探究探究一 综合法与分析法 ●活动① 综合法与分析法的定义综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法.由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点.所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式.而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中.前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”.打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”.以前得到的结论，可以作为证明的根据.特别的，AB B A 222≥+是常常要用到的一个重要不等式.例1 b a ,都是正数，求证：.2≥+abb a【知识点】综合法；基本不等式 【数学思想】【解题过程】证明：由重要不等式AB B A 222≥+可得.22=≥+ab b a a b b a 【思路点拨】基本不等式：一正二定三取等 【答案】见解析同类训练 证明：当1x >时, 1+31x x ≥-. 【知识点】综合法；基本不等式 【数学思想】【解题过程】证明：因为1x >，所以11+(1)++11)+1=3111x x x x x =-≥---. 【思路点拨】配凑定值，用基本不等式可证 【答案】见解析例2 设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+ 【知识点】综合法；分析法 【数学思想】【解题过程】证法一 综合法ab b ab a b ab a b a ≥+-⇒≥+-⇒≥-22222020)(，注意到0,0>>b a ，即0>+b a ，由上式即得)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+，从而2233ab b a b a +≥+成立.证法二 分析法要证2233ab b a b a +≥+成立.只需证)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+成立， 又因0>+b a ，只需证ab b ab a ≥+-22成立，又需证0222≥+-b ab a 成立， 即需证0)(2≥-b a 成立.而0)(2>-b a 显然成立. 由此命题得证. 【思路点拨】因式分解化简不等式. 【答案】见解析同类训练 求证2252(2)a b a b ++≥- 【知识点】综合法；分析法【数学思想】【解题过程】证法一 综合法因为22(2)(1)0a b -++≥,所以224250a b a b +-++≥,所以2252(2)a b a b ++≥-. 证法二 分析法要证2252(2)a b a b ++≥-，只需证22542a b a b ++≥-,只需证224250a b a b +-++≥，只需证22(2)(1)0a b -++≥，显然成立，所以原不等式成立.【思路点拨】一元二次，配方. 【答案】见解析议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ 【设计意图】理解和掌握综合法与分析法. 探究二 综合法与分析法的特点 ●活动① 综合法与分析法的特点如果用Q P ⇒或P Q ⇐表示命题P 可以推出命题Q （命题Q 可以由命题P 推出），那么采用综合法的证法一就是).1()2()3()4(⇒⇒⇒采用分析法的证法二就是).4()3()2()1(⇐⇐⇐如果命题P 可以推出命题Q ，命题Q 也可以推出命题P ，即同时有P Q Q P ⇒⇒,，那么我们就说命题P 与命题Q 等价，并记为.Q P ⇔例3 证明：ca bc ab c b a ++≥++222. 【知识点】综合法；分析法 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证法一 因为ab b a 222≥+，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+ 所以三式相加得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++， 两边同时除以2即得ca bc ab c b a ++≥++222. 证法二 因为,0)(21)(21)(21)(222222≥-+-+-=++-++a c c b b a ca bc ab c b a 所以ca bc ab c b a ++≥++222成立.【思路点拨】基本不等式，不等式的可加性. 【答案】见解析同类训练 求证：222222222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++. 【知识点】综合法；分析法 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：因为222222a b b c ab c +≥，222222b c c a abc +≥，222222c a a b a bc +≥ 所以三式相加得2222222222()2()a b b c c a a bc ab c abc ++≥++， 两边同时除以2即得222222222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++. 【思路点拨】基本不等式，不等式的可加性. 【答案】见解析例4 证明：.)())((22222bd ac d c b a +≥++ 【知识点】分析法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】证明 要证.)())((22222bd ac d c b a +≥++只需证0)())((22222≥+-++bd ac d c b a只需证0)2(222222222222≥++-+++d b abcd c a d b d a c b c a 只需证022222≥-+abcd d a c b 只需证 0)(2≥-ad bc ，显然成立，原不等式成立. 此时显然成立.因此.)())((22222bd ac d c b a +≥++成立. 【思路点拨】化简，配方. 【答案】见解析同类训练 已知1m n >>,求证：2m n mn m +>+. 【知识点】分析法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 要证2m n mn m +>+,只需证2()()0m m n mn -+->,只需证(1)(1)0m m n m -+->,只需证(1)()0m m n -->,因为1m n >>，所以(1)()0m m n -->.【思路点拨】化简，因式分解. 【答案】见解析【设计意图】体会综合法与分析法在证明不等式时的异同． 探究三 巩固提升 ●活动① 巩固提升例5 已知c b a ,,都是正数，求证.3333abc c b a ≥++并指出等号在什么时候成立？ 【知识点】综合法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 abc c b a 3333-++=))((222ca bc ab c b a c b a ---++++ =].)()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++由于c b a ,,都是正数，所以.0>++c b a 而0)()()(222≥-+-+-a c c b b a ，可知03333≥-++abc c b a ，即abc c b a 3333≥++（等号在c b a ==时成立）【思路点拨】本题可以考虑利用因式分解公式))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++着手. 【答案】见解析同类训练 已知0,0,0a b c >>>,且1abc =,111+a b c≤+. 【知识点】综合法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 由1abc =，得111+=ab bc ac a b c +++，又由基本不等式及0,0,0a b c >>>得ab bc +≥=bc ac +≥=,ab ac +≥=,111+a b c+≤+ 【思路点拨】基本不等式. 【答案】见解析同类训练 如果将不等式abc c b a 3333≥++中的333,,c b a 分别用c b a ,,来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a ，其中c b a ,,是互不相等的正数，且1=abc .【知识点】基本不等式；综合法 【数学思想】【解题过程】,,0)3a b c a b c ++≥>，当且仅当a b c ==时取等号. ,31,31,31333ac a c bc c b ab b a ≥++≥++≥++三式相乘的，得 127)1)(1)(1(32=>++++++）（abc a c c b b a ，所以27)1)(1)(1(≥++++++a c c b b a ，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧======c a c b b a 111，即1===c b a 时取等号，因为c b a ,,是互不相等的正数，所以27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a .【思路点拨】注意取等三个正数的均值不等式的条件 【答案】见解析【设计意图】掌握用综合法与分析法证明不等式． 3. 课堂总结 知识梳理(1)解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。
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2、2、1综合法与分析法教案
年级：高二 学科：数学
一、授课时间：2006年2月
二、授课地点：胶州一中
三、执教教师：纪淑燕
四、研究课题：综合法
五、教学目标
结合已学过的数学实例，了解直接证明的基本方法----综合法
了解综合法的思考过程、特点；培养学生逻辑推理能力
六、教学内容分析：本节课是选修1—2中第二章第一课时，本章是重点，可以和其他知识联系在一起。
学习重点：综合法证明数学问题
七、教学对象分析：学生是普通文科班的学生，基础较差，应以讲练结合的方法为主
八、教学用品：多媒体电脑与投影仪
九、教学过程：
一. 引入
合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。
若要证明下列问题：
已知a,b>0,求证
2222()()4a b c b c a abc +++≥ 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。
教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义
二.新知探索
1、综合法的定义
2、框图表示
()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒
P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论
三、典型例题
1、证明不等式
教师活动：由引入的例子的证明方法，让学生思考应该如何证明本题 学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
设计意图：应用不等式证明不等式问题
)(2:,,,,,12
22zx yz xy z c b a y b a c x a c b R
c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证、已知：例222222
c c a a b x x y y z z a b b c c
+++++若不等式左边分解成
b a
变式训练
学生活动：自主练习，个别学生到黑板做。
设计意图：规范解题步骤，充分体会综合法证明不等式的方法，体会综合法证明数学问题的思想
证明有关三角问题
教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
设计意图：应用综合法证明三角问题
教师活动：老师分析题目，引导学生找到解题思路
学生活动：自主练习，个别学生到黑板做。
4)11)(( ,, ≥++++∈+
c b a c b a R c b a 求证：已知为等边三角形
求证：成等比数列，
成等差数列且为对应的边分别
中，三个内角、在例ABC c b a C B A c b a C B A ABC ∆∆,,,,,,,,,,2变式训练：
形
等腰三角形或直角三角为求证：中，已知
)sin()()sin()(2
222ABC B A b a B A b a ABC ∆+-=-+∆
设计意图：规范解题步骤，充分体会综合法证明的方法，体会综合法证明数学问题的思想
法一：
法二：
小结：
1、综合法证明是证明题中常用的方法。
从条件入手，根据公理、定义、定理等推出要证的结论
2、综合法证明题时要注意，要先作语言的转换，如把文字语言转化
为符号语言，或把符号语言转化为图形语言等。
还要通过细致的分析，
把其中的隐含条件明确表示出来。
3、综合法可用于证明与函数、三角、数列、不等式、向量、立体几何、解析几何等有关的问题
教学反思：通过本节的学习，学生积极参加课堂教学，顺利地完成了教学任务，达到了预期的教学目的。
但由于学生的基础较差，知识遗忘严重，在一定程度上影响了教学进度，使课堂上进度比较紧张。
所以在以后的教学过程中，要特别注意学生的实际水平，让学生提前预习，以保证课堂教学进度。
通过本节的学习，使学生了解直接证明的基本方法----综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力。
本节的教学应该是比较成功的，是一节比较成功的公开课。
2
:,,3cos cos sin 3232)
(2,,,1222222π<++++∆*∆==∆++≥+++++∈+c b a cC bB aA ABC c b a ABC C
B B a b AB
C c b a c a c b b a R c b a 试证明的三内角的对应边
为、为等边三角形
求证：，且
中，已知、求证
、课后练习：。