直线的参数方程及弦长公式共21页

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弦长公式,

弦长公式,

得 y1 - y2 = k(x1 - x2 ) 或 x1 - x2 = (y1 - y2 ) /k
分别代入两点间的距离公式:
|AB| = √[(x1- x2 ) ^2; + (y1 - y2 ) ^2; ]
图像为双曲线。
、 b、 c 不都是零 .
2. b^2 - 4ac > 0.
^2+b^2=c^2
在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于
x, y 轴对称的情形。这时双曲线的
方程退化为: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.
上述的四个定义是等价的,并且根据建好的前后位置判断图像关于
公式三
d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2- 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| =
√ (1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]
关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线
y=kx+b 代入 曲线方程 ,化为关于
x(或关于 y)的 一元二次方程 ,设出交点坐标,利用韦达定理及弦长公式
在知道圆和直线方程求弦长时, 可利用方法二, 将直线方程代入圆方程, 消去一未知数,
得到一个一元二次方程,其中 △ 为一元二次方程中的 b^2 : -4ac , a 为二次项系数。
补遗:公式 2 符合椭圆等圆锥曲线 不光是圆。公式 /|a| 是在整个平方根运算后再进行
的 ……(先开平方了然后再除)
2 式可以由 1 推出,很简单,由韦达定理, x1+x2=-b/a x1x2=c/a 带入再通分即可 …… 在知道圆和直线方程求弦长时也可以用勾股定理(点到直线距离、半径、半弦)。

直线的参数方程(最全)

直线的参数方程(最全)

则 t 的几何意义:t=M0M
t>0
M 在 M0 的上方
t=0 M 与 M0 重合
t<0
M 在 M0 的下方
非标准形式 一般说来,t 不具有上述 几何意义
x x0 at
y
y0
bt
(t 为参数)
表示过定点(x0,y0),斜率
为 b 的直线的参数方程
a
例1
已知直线 L 过点 M0(4,0),倾为
(t为参数)
b ( a2 b2 t)
a2 b2
设: a = cos; b sin; a2 b2t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
tcos(t为参数) tsin
当b 0时,t有上述的几何意义。
基础训练
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
直线的参数方程
2020/7/4
请同学们回忆:
直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0) y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
法线式: Ax By C 0 (直线l的法向量(A,B))
t cos t sin
(t为参数)
思考
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中
参数t的几何意义吗?
解: M0M te M0M te
y M
又 e是单位向量, e 1
M0M t e t
M0
所以,直线参数方程中
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|

直线的标准参数方程

直线的标准参数方程

直线的标准参数方程直线是平面几何中的基本图形之一,它具有许多重要的性质和应用。

在直角坐标系中,直线的方程有多种表示形式,其中标准参数方程是一种常用的形式。

本文将介绍直线的标准参数方程的定义、推导方法和应用示例。

一、定义。

直线的标准参数方程是指用参数形式表示直线的方程。

设直线L上有一点P(x, y),则点P到直线L上某一固定点A的距离与点P到直线L的方向垂直的距离成比例。

这里引入参数t,点P的坐标可以表示为x=x0+mt,y=y0+nt,其中m和n是常数,称为参数。

二、推导方法。

1. 已知直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2),求直线的标准参数方程。

设直线上任一点P(x, y),则向量AP=(x-x1, y-y1),向量AB=(x2-x1, y2-y1)。

由于向量AP与向量AB垂直,根据向量的垂直条件可得(x-x1, y-y1)·(x2-x1, y2-y1)=0,展开得到(x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)=0,整理可得直线的标准参数方程。

2. 已知直线的斜率k和截距b,求直线的标准参数方程。

直线的斜率k定义为k=(y2-y1)/(x2-x1),截距b定义为y=kx+b。

将y=kx+b代入直线方程中,整理可得x=(x1-kt)/(1-k),y=(y1-kt)/(1-k),即为直线的标准参数方程。

三、应用示例。

1. 求直线通过两点A(1, 2)和B(3, 4)的标准参数方程。

根据推导方法1,代入已知点的坐标得到(x-1)(3-1)+(y-2)(4-2)=0,整理得到直线的标准参数方程。

2. 求直线的斜率为2,截距为3的标准参数方程。

根据推导方法2,代入已知斜率和截距得到x=(1-2t)/(1-2),y=(2-2t)/(1-2),即为直线的标准参数方程。

综上所述,直线的标准参数方程是一种常用的表示形式,通过已知直线上的点或斜率和截距可以求得直线的标准参数方程。

在实际问题中,标准参数方程可以方便地描述直线的性质和运动规律,具有重要的应用价值。

直线标准参数方程

直线标准参数方程

直线标准参数方程
x
《直线标准参数方程》
直线的标准参数方程是一种几何形式,用于描述直线的性质,表示直线的位置,方向,长度,以及与其他直线之间的关系。

它可以用一个公式表示,为:
Ax + By + C = 0
其中,A,B和C是实数,A和B不能同时为零。

当A和B都不为0时,以A和B确定直线的斜率,C确定直线与原点的距离。

在这里,A,B,C的取值受到斜率和距离的限制,且有一定的规律:
(1)当A,B和C都不为0时,C的符号取决于斜率是否小于1,即:
①当斜率小于1时,C为正;
②当斜率大于1时,C为负。

(2)当A或B不为0时,当斜率大于或小于1时,A,B及C的符号可能不一定;
(3)当A不为0而B为0时,A为正,C,B及C不一定。

符号及规律只影响参数A,B,C的取值,不影响直线的位置,方向和长度。

因此,直线的标准参数方程可以表示为:Ax + By + C = 0,它
与斜率和距离之间有着紧密的联系,且可根据斜率及距离的不同来决定A,B和C的取值。

高中数学:四大类弦长公式

高中数学:四大类弦长公式

高中数学中的四大类弦长公式一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式1、已知两点坐标:()11,y x A ,()22,y x B ,则()()221221y y x x AB -+-=2、已知直线上两点:若()11,y x A ,()22,y x B 两点在直线b kx y +=(直线的斜率存在并且不为0)上,则ak x x k AB ∆+=-+=221211(∆,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式) ak y y k AB ∆+=-+=22121111(∆,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式)注:以上公式适用于直线与曲线相交,将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时,采用设而不求思想的解决弦长问题,以上公式的证明会用到韦达定理)二、平面直角坐标中特殊曲线(例如:圆,抛物线,椭圆)中的弦长公式1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()222:r b y a x M =-+-相交于B A ,,则222d r AB -=(其中22BA C Bb Aa d +++=为圆心),(b a M 到直线l 的距离)注:此公式证明需用垂径定理2、抛物线中的焦点弦弦长公式,过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长,BF AF AB += ①α221sin 2px x p AB =++=(其中抛物线开口向右,方程为px y 22=)②)(21x x p AB +-=(其中抛物线开口向左,方程为px y 22-=) ③21y y p AB ++=(其中抛物线开口向上,方程为py x 22=) ④)(21y y p AB +-=(其中抛物线开口向下,方程为py x 22-=) 注:此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式.3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB +=①过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ,()22,y x B 两点,则()212x x e a AB ++=.②过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ,()22,y x B 两点,则()212x x e a AB +-=.③过椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 的左焦点)0(1c F -,的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ,()22,y x B 两点,则()212y y e a AB ++=.④过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ,()22,y x B 两点,则()212y y e a AB +-=.注:此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式.三、直线标准参数方程下的弦长公式过定点),(00y x P ,倾斜角为α的直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为: t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量;即:直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .设点B A 、对应的参数分别为,,21t t 则有: ①2121,,t t AB t PB t PA -=== ②AB 中点M 对应的参数为221t t +,则.221t t PM += 证明:∵A 对应的参数分别为1t ∴()ααsin ,cos 1010t y t x A ++, ∴ ()()()()1212120102010sin cos sin cos t t t y t y x t x PA =+=-++-+=αααα同理2t PB =,21t t AB -=还有一些可能会用到的公式,他们都可通过以上两个结论+绝对值的运算而得:例如:③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA ;⎩⎨⎧<+>-=-=-0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA④ 若AB 的中点为P ,则021=+t t .(∵AB 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0)过定点),(00y x P 的直线l 的参数方程也可表示为:⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(b a ,是常数,t 为参数).设点N M 、对应的参数分别为21,t t ,即()()20201010,,,bt y at x N bt y at x M ++++则有:①122t b a PM +=,222t b a PN +=,()2122t t b a PN PM +=⋅②Aba t tb a MN ∆+=-+=222122(其中21,t t 是方程02=++C Bt At 的两根)③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PN PM ; ⎪⎩⎪⎨⎧<++>-+=-+=-0,0,2121222121222122t t t t b a t t t t b a t t b a PN PM④ 若MN 的中点为P ,则021=+t t .(∵MN 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0)四、极坐标系中的弦长公式:()()2211,,,θρθρB A①若21θθ=,则21ρρ-=AB②若21θθ≠,则()21212221cos 2θθρρρρ--+=AB ,()2121sin 21θθρρ-=∆OAB S。

高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件

高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI

4

= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是

2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或

3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6

直线的参数方程

直线的参数方程

直线的参数方程
直线是数学中最著名的几何体,在几何学和数学中,几乎没有比直线更重要的几何体。

直线有着许多有趣的性质,这些性质被称为“参数方程”。

参数方程定义了一条直线的性质,并用来解决复杂的数学问题。

参数方程的定义是:一条直线的参数方程是一个二元一次方程,其形式为:Ax + By + C = 0。

其中A,B和C是常数,x和y 为坐标变量。

参数方程的根据直线的特征而定义的。

例如,如果一条直线的斜率是m,那么它的参数方程为:y-y1= m(x-x1)。

其中m=斜率,x1和y1为直线上的某一点的坐标。

如果一条直线经过坐标原点,其参数方程为:y=mx,其中m为斜率。

如果一条直线的斜率为无穷大,则它的参数方程为:x=c,其中c为直线的一个游离参数。

当一条直线的斜率为零时,它的参数方程为:y=c,其中c为直线的另一个游离参数。

因此,参数方程定义了一条直线在坐标系中的位置,并用它可以描述任何一条直线在数学上的特征。

参数方程在许多方面都很有用,它不仅可以描述直线,而且可以帮助定义和解决复杂的几何问题或数学问题。

参数方程可以帮助研究者求解复杂的几何问题,例如求解两条直线的交点、求解两条
直线的位置关系等。

此外,参数方程还可以帮助解决复杂的数学问题,例如求解一元多次方程、求解曲线积分等。

总而言之,参数方程是一种强大而有效的数学工具,它可以帮助研究者解决各类几何和数学问题。

它可以帮助研究者更有效地描述和研究直线的各种性质和特征。

因此,参数方程在几何学和数学中有着十分重要的地位,是几何学和数学研究的重要工具和理论基础。

直线的参数方程

直线的参数方程
'2
t t ( t t ) 4t t
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2
4 17
.
练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
y
B
A M(x,y)
0
(t是参数)
M0(x0,y0)
0
O
x •t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
若M 0为中点, t 0 t1+t 2 0
•t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点,它们所对应的参 数值分别为t1,t2. (1)|AB|= t1 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程(标准式)
x x 0 t cos 直线的参数方程 ( t为参数) y y 0 t sin
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y y0 k ( x x0 )或x x0。 t表示几何意义: M( (x, y )(不同于点M 0)的 0 x0 , y0 )到直线上的点M 有向线段M 0 P的数量.
(2)M是AB的中点,求M对应的参数
t1 t 2 2
1 x 1 t 2 5.一条直线的参数方程是 (t为参数), y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点(1,-5)间的距离是
4 3
6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. x 1 9t (t为参数) y 1 12t
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