解直角三角形 专题复习
中考数学专题复习：解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可． 解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米 又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米） （2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。
24 解直角三角形复习
2.如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学 帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分 别是0.5米和15米，已知小华的身高为1.6米， 那么分所住楼房的高度 为________米．
3．如图3，两建筑物AB和CD的水平 距离为30米，从A点测得D点的俯角为 30°，测得C点的俯角为60°，则建 筑物CD的高为______米．
2 2
1
60°
1 2
3 2
3 3
3 2
300 450
1 2
1 2
2
3
450
1
┌
600
1
┌
3
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
（2）坡度
tan α ＝
视线
h
l
铅 垂 线
仰角 水平线
俯角
北
α为坡角
视线
h α
A
（3）方位角
西
30°
l
B
O 45°
南
东
解直角三角形：(如图)
铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高AB=20m，观察点
E到地面的距离EF=35m，求小山BD的高（精确到 0.1m，
3 ≈1.732）．
题型4 应用举例
1．有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知
道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树的高（如图 1），她测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮助她算 出树高AB约为________米．（注：①树垂直于地面； ②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.2）
题型3 解斜三角形
1、如图6所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8，求△ABC的面积（结果可保留根 号）．
解直角三角形及其应用复习
30°
A
200米
45°
O
B
L Uห้องสมุดไป่ตู้D
合作与探究
例3：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P C
30°
A
200米
45°
O
B
合作与探究
例3：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
B
α=30° 120 D β=60°
A
C
合作与探究
例2：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB 的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上， 在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
P
45°
30°
O
B
400米
A
合作与探究
例3：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
解直角三角形（复习）
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
引例： 如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端,视线的仰角为64°, 双眼离地面为1.42米,请根据这些条件求出南峰塔的高度?
(供选用数据:sin64°=0.9, cos64°=0.4, tan64°=2, cot64°=0.5) A
解直角三角形专项复习(附带知识点和练习)
第24章:解直角三角形第一课时:锐角三角函数2、30°，60°，45°的函数值习题： 1、求下列各式的值（1） cos 260°＋sin 260°（2） tan450.sin450-4sin300.cos450+cos 2300 （3）（4）1－2 sin30°cos30° （5）3tan30°－tan45°+2sin60° （6）45tan 45sin 45cos -30tan 160sin 160cos ++2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，。
求∠A 的度数33、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，已知∠B=30°，计算的值。
4、如图，在△ABC 中，∠A=30度，求AB 。
5、在Rt △ABC 中，∠C=90度，tanA+tanB=4, △ABC 面积为8，求AB 的长。
6、在Rt △ABC 中，∠C=90度，化简7、已知：α为锐角，且满足3tan 2 α-4tan α+3 =0，求α的度数。
第二课时：解直角三角形的应用（测高问题）tan sin ACD BCD ∠+∠tan B AC ==知识点：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上方的角叫做仰角。
视线在水平线下方的角叫做俯角。
强调：仰角与俯角都是视线与水平线所成的角。
习题： 1、2、3、4、在旧城改造中，要拆除一烟囱AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在从离B 点21米远的建筑物CD 顶端C 测得A 点的仰角为45°，到B 点的俯角为30°，问离B 点30米远的保护文物是否在危险区内？约等于1.732）5、如图一个摄像仪器架在过街天桥上，检查马路行驶的车辆是否超速，已知摄像仪器A 到公路L 的垂直距离AD 为21米，A 到公路点C 的俯角为30°，到公路点B 的俯角为60°，一辆汽车在公路L 上沿CB 方向匀速行驶，测得它从点C 到点B 所用的时间为0.4秒。
解直角三角形复习
８．等腰三角形一腰上的高线长为1cm，这个高 与底边的夹角的正切值为1，则这个等腰三角形的 面积是____________.
9.若某一斜坡的坡度i=１： 3 ，则坡面的坡角为_________.
10、在△ABC中，∠C=90°,a=5,b=5， 解这个直角 三角形.
A
11.如图，在△ABC中，
已知AC=6，∠C=75°，
５．计算： tan10°·tan20°·tan30°…tan80°=_____
sin 3cos ６．已知α为锐角tanα=，则 2 co s 3s in =_____
７．若∠ A为锐角，且tan A=，则（ ）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
ca
cos B=
c
a
tan A=
b tan B= b
a
b
cot A=
a
cot B= a
b
三.解直角三角形的应用
1.重点是把实际问题转化为数学问题. 2.仰角、俯角在我们进行测量时，在视线与水平线所成的 角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的角 叫做俯角(如图7-１-２所示).
图7-１-２
∠B=45°，
求△ABC的面积。
B
C
12.某段公路，每ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ进100m，路面就上升4m，则路面的坡
度为( )
A. 1 50
C.22°
1 B. 25
D. 39
156 13.如图7-１-４所示，是某市的一块三角形空地，准备在
上面种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售
价为a元，则购买这种草皮至少需要( )
解直角三角形专题
解直角三角形----专题【一】知识梳理【1】锐角三角函数定义锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的三角函数【2】特殊角的三角函数值3、三角函数的关系【3】三角函数关系: ①互余两角的关系sinA=cosB ， tanA •tanB=1（倒数关系） ②同角的正弦、余弦关系:（平方关系）斜对==c A a sin a b B c aB c bB ===tan cos sin 邻对斜邻====b a A c b A tan cos 1cos sin 22=+A A 注：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，一个角固定，它的三角函数值也确定，与它所在的图形没有关系注意：⑴、锐角α的三角函数的取值范围：0<sin α<1, 0<cos α<1; tan α>0 ⑵、锐角三角函数的增减性： ①、 锐角α的正弦、正切值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小（递增） ② 、锐角α的余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大（递减）③相等角的同种三角函数关系： 相等若A=Bsin A=sin B, cos A=cos B, tan A=tan B【4】解直角三角形: 1、直角三角形的性质 三边关系：222c b a =+三角关系：∠A+∠B=90° 边角关系：2、解直角三角形的应用①识图：把题中的已知条件在图上做标记②转化： 把实际问题转化为数学问题，进一步转化为解直角三角形问题 3、解直角三角形应用时的常见图形短：中：长＝１：３：２ １:１：２【5】题目类型斜对==c A a sin a b B caB c b B ===tan cos sin 邻对斜邻====b a A c b A tan cos 选择方案：有‘斜’用‘弦’，无‘斜’用‘切’，宁‘乘’勿‘除’，虚线代表高，第一、二个图往往用方程解决①求锐角三角函数例题1、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，则cosA= tanA= 、sinB= 、tanB=例题2、如图放置的两个三角板,连结AD,则tan ∠ADB=（2）3、如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（ ） A ．B ．C ．D ．4、如图则sin ∠ABC=（3） （4） 5、已知cosA=31，则AA A A tan 2sin 4tan sin 3+-=6、Rt △ABC 中，∠C=900，sinA= 53,则 cosA =_______. tanA ＝ .方法：1、定义2、转化为求等角的三角函数 注意：求三角函数时要在直角三角形中求 (1)C BA 437、已知⊙O的半径是5，△ABC内接于⊙O，AB=AC,BC=8，则sinB=8、已知△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，AD是中线，则sin∠ACD=9、如图，△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，则sin∠ACE= .（8）（9）10、如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示的值，错误的是A. B. C. D.11、如图，直线l1，l2，l3，分别过正方形ABCD的三个顶点A，B，D，且相互平行，若l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为1，则sin∠BAL1=______．（10）（11）12、如图，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点处，AB,CD相较于点 P，则cos∠APD=13、如图，⊙O半径为3，AB=2，则sinC=（12）（13）14、在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=______．15、如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数错误！未找到引用源。
解直角三角形知识点复习
解直角三角形知识点复习一、 知识回顾：1.在R t △ABC 中，∠C=90°， AC=b ，则BC=a ，AB=c则sinA=斜边的对边A ∠ = = ；cosA= = = ； tanA= = = . ∴ < sinA < ， < cosA < ， < tanA < .Sin49º sin58º ，cos37º cos40º ，(填大于或小于) 2. 在R t △ABC 中，∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB= ， sinA= ，cosB= , cosA= ，sinB= ， tanA= ,tanB= .3.互为余角三角函数关系：Sin(90º-∠A)= ,cos(90º-∠A)= 。
4.同角三角函数关系：Sin 2A+ = 1 , tanA= 。
5.6.解直角三角形定义：在直角三角形中，除 外，已知 ，且至少有 ， ，叫做 。
7. 在R t △ABC 中，∠C=90°则（1）三边关系： ；(2)两锐角关系： ； （3）边与角的关系：sinA=cosB= ,cosA= = , tanA= = . 8.解直角三角形类型：（1）在R t △ABC 中∠C=90°, a=3，b=1，解这个直角三角形； （2）在R t △ABC 中∠C=90°，a=3,c=2，解这个直角三角形； （3）在R t △ABC 中∠C=90°∠A=60°，a=3，解这个直角三角形；（4）在R t △ABC 中∠C=90°∠A=60°，c=2，解这个直角三角形。
9.解直角三角形应用常识：（1）仰角，俯角 ； （2）坡面的铅直高度用h 表示，水平宽度用l 表示，则坡面的坡度表示为 ， 如果把坡面与水平面的夹角记为α（叫做坡角），那么坡度i 等于坡角的 。
解直角三角形专题复习
三角形专题一． 知识要点： 1、锐角三角函数的定义.cot tan cos sin 90Rt 的对边的邻边＝，的邻边的对边＝，斜边的邻边＝，斜边的对边＝，＝中，△如图，在A A A A A A A A A A C ABC ∠∠∠∠∠∠︒∠BACac2、特殊角的三角函数值3、互为余角的三角函数关系sinA ＝cos （90º－A ）， cos A ＝sin （90º－A ）， tan A ＝cot （90º－A ）， cot A ＝an （90º－A ）．4、锐角三角函数值随角度的变化规律当角度在0—90°变化时，正弦、正切值随角度的增大（或减小）而增大 （或减小）；余弦、余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．5、锐角的三角函数值的取值范围0＜sin α＜1， 0＜cos α＜1， tan α＞0， cot α＞0．6、解直角三角形（1）由直角三角形中除直角外的已知两个元素（至少有一个是边），求出其余的三个未知元素的过程，叫做解直角三角形．（2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，可供解直角三角形的依据是： ①直角三角形角的关系：∠A ＋∠B ＝90º； ②直角三角形边的关系：a 2＋b 2＝c 2； ③直角三角形的边角的关系： ．＝＝，＝＝，＝＝，＝＝abA B baB A c bA B c a B A cot tan cot tan cos sin cos sin （3）直角三角形的解法（4）在实际问题中常用的几种角 ①俯角和仰角在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角． ②坡度与坡角如图，通常坡面的竖直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即lhi ==αtan ，其中α是坡面与水平面的夹角即坡角．hαl二.典型例题:例1．在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度.如图（左），虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高.如图（右），设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d 1增加到d 2，已知d 1=4 m ，∠θ1=40°,∠θ2=36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01 m ）参考数据：sin36°=0.5878,cos36°=0.8090,tan36°=0.7256,sin40°=0.6428,cos40°=0.7660,tan40°=0.8391.分析：此题是日常生活中的常见事例，考查对生活常识的了解.楼梯的倾斜角变小时，斜度线要变长，即由AC 增加到AD ，楼梯所占用地板的长度也增长，即由BC 到BD ，所求的增加部分就是DC 的长，分别在直角三角形ABC 、ABD 中求出BC 和BD 长即可求出CD 长.解：∵在Rt △ABC 中，BC=d 1,∠ACB=∠θ1,∴AB=BC ·tanACB=BC ·tan θ1=d 1·tan40°=4tan40°. 又∵在Rt △ABD 中，BD=d 2,∠ADB=∠θ2, ∴AB=BD ·tanADB=BD ·tan θ2=d 2·tan36°， ∴DC=d 2－d 1=4.62－4=0.62（m ）. 答：楼梯占用地板的长度增加了0.62 m.例2．如图，北部湾海面上，一艘解放军舰正在基地A 的正东方向且距A 地40海里的B 处训练，突然接到基地命令，要舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多长时间才能把渔民送到基地医院？（精确到0.1 h ）分析：这是一道常见的基本图形题，通过作辅助线CD ⊥AB 于D ，构造可解的直角三角形ADC 、BDC ，求出AC 和BC 的长，可采用代数的方法列方程求解.解：过C 作CD ⊥AB 于D ，由题意知∠CAB=30°,∠CBD=45°，AB=40海里.设CD=x ，则BD=x ，BC=2x ，在Rt △ADC 中，AC=2x,AD=2x ·cos30°=3x ，∵AB=40， ∴3x ＋x=40，∴x=20(3－1)，∴AC ＋BC=2x ＋2x=2×20(3－1)＋ 2×20(3－1)=20(2＋2)(3－1).∵军舰的速度是20海里/时，∴所需时间为20)13)(22(20-+≈2.5（h ）.答：需要2.5小时才能把渔民送到基地医院.例3．已知：如图，A 、B 、C 三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB=2 km.在B 村的正北方向有一个D 村，测得∠DAC=45°,∠DCB=28°，今将△ACD 区域进行规划，除其中面积为0.5 km 2的水塘外，准备把剩余的一半作为绿地，试求绿化用地面积.（结果精确到0.1 km 2,sin28°=0.4695,cos28°=0.8829,tan28°=0.5317）分析：要求绿地的面积就是三角形ADC 的面积减去水塘的面积，所以先要求出AC 、DB 的长.在直角三角形ABD 中，利用正切求出DB ，然后在直角三角形DBC 中求出BC 的长，进而求出AC 的长.解：在Rt △ABD 中，∵∠ABD=90°，∠DAB=45°,∴AB=BD=2 km. 在Rt △DBC 中，∵∠DCB=28°，∴tanDCB=BCDB，∴BC=︒28tan BD =5371.02≈3.72（km ）.∴S △ACD =21 (AB ＋BC)·BD=21×5.72×2=5.72(km 2).∴S 绿地=21 (S △ADC －0.5)= 21(5.72－0.5)≈2.6(km 2). 答：绿化用地的面积为2.6 km 2.例4．如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)分析：要求DB 的长，需分别在Rt △ABC 和Rt △ACD 中求出BC 和DC.根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，AB ＝12 m ，则可根据勾股定理求出BC ；在Rt △ADC 中，坡比为1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC ＝AC ，可求出CD.解.根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，所以△ABC 为等腰直角三角形.设BC=AC ＝xm ，则 x 2+x 2＝122， x=62，所以BC ＝AC=62.在Rt △ADC 中，tanD=5.11CD AC =, 即5.11CD 26=CD=92. 所以DB ＝CD-BC ＝92-62=32(m).例5．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在BC 和土坡的坡面CD 上，如果CD 与地面成45°，∠A=60°,CD=4 m,BC=(46－22) m ，求电线杆AB 的长为多少米？分析：求AB 的长需求直角三角形ABE 中的BE 长，而BC=(46－22) m ，只要求出CE 的长即可，所以在直角三角形DFC 中，由坡面CD 可求CF 、DF ；在Rt △DFE 中，求出EF ，由线段BC 、CF 和EF 求得BE 的长.解：如图延长AD 交地面于E ，过D 作DF ⊥CE 于F ，∵在Rt △DFC 中，∠DCF=45°，CD=4 m,∴CF=DF=CD ·sin45°=4×22=22（m ）； 在Rt △DFE 中，62332230tan DF EF ==︒=（m ）， ∴BE=BC ＋CF ＋FE=()6662222264=++-（m ）.∴在Rt △ABE 中，∠A=60°，2636660tan BE AB ==︒=（m ）.答：电线杆AB 的长为62米.例6．如图，由于水资源缺乏，B 、C 两地不得不从黄河上的扬水站A 处，在A 、B 、C 之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：若图1－5－12(a)(b)(c)中实线表示管道铺设线路.在图(b)中，AD ⊥BC 于D ；在图(c)中，OA=OB=OC ，为减少渗漏节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC 恰好是一个边长为a 的等边三角形，请你通过计算,判断哪个铺设方案好.A(a) (b)(c)分析：本题贴近实际，题型新颖，是一道理论与实践相结合的好题，由题意知，只要求出管道的长度再相加即可，利用等边三角形的知识与三角函数相结合解决.解：如图(a)所示方案的线路总长为AB ＋AC=2a.在图(b)中，在Rt △ABD 中，AD=AB ·sin60°=23a,∴图(b)所示的方案线路总长为AD ＋BC=(23＋1)a. 在图(c)中，延长AO 交BC 于点E ，∴AB=AC,OB=OC,∴OE ⊥BC,BE=EC=21a,在Rt △OBE 中，∠OBE=30°,a 3323a2130cos BE OB ==︒=, ∴图(c)所示的线路总长为OA ＋OB ＋OC=3OB=3a. ∵a 2a 123a 3<⎪⎪⎭⎫⎝⎛+<,∴图(c)所示的方案最好. 例7．已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，BD=BC=43，求梯形的面积.分析：求梯形的面积需要求出梯形的两底AD 、BC 和高的长，而BC 的长已知，只需求出AD 和高的长即可.图1解法一：过点B 作BE ⊥DA 交DA 的延长线于E ，（如图1） ∵∠BAD=120°，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ， ∴∠ABC=60°,∠1=∠2=∠3=30°.∵在Rt △BED 中，BD=34，∠3=30°， ∴BE=BD ·sin30°322134=⨯=，ED=BD ·cos30°=62334=⨯. ∵在Rt △BEA 中,∠EAB=60°,BE=23，∴233260tan BE AE ==︒=.∴AD=DE －AE=6－2=4. ∴S 梯形=()()12343234421BE BC AD 21+=⨯+⨯=⋅+. 解法二：过D 点作DF ⊥BC 于F ，过A 点作AH ⊥BD 于H ，（如图2）图2∵∠BAD=120°，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ， ∴∠ABC=60°，∠1=∠2=∠3=30°. ∴△ABD 是等腰三角形，∴DH=21BD=21×43=23. 在Rt △AHD 中，4233230cos DH AD ==︒=.又∵在Rt △BDF 中，DF=BD ·sin30°322134=⨯=， ∴S 梯形()()12343234421BE BC AD 21+=⨯+⨯=⋅+=.例8．高为12.6米的教学楼ED 前有一棵大树AB （如图1）．（1）某一时刻测得大树AB 、教学楼ED 在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB 的高度．（3分）（2）用皮尺、高为h 米的测角仪，请你设计另．一种．．测量大树AB 高度的方案，要求： ①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）；（3分）②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB 高度（用字母表示）．（3分）解：连结AC 、EF（1）∵太阳光线是平行线∴AC ∥EF ∴∠ACB=∠EFD∵∠ABC=∠EDF=90°∴△ABC ∽△EDF ∴DFBC ED AB =∴2.74.26.12AB = ∴AB=4.2答：大树AB 的高是4.2米．（2）（方法一）如图MG=BN=mAG=m tan α ∴AB=（m tan α＋h ）米（方法二）htan tan tan tan m AB h cot cot mAB cot cot mAG +β-αβα=+α-β=∴α-β=∴或例9.阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)，则sinB=c AD ，sinC=bAD，即AD=csinB ，AD=bsinC ， 于是csinB=bsinC ，即Csin cB sin b =． 同理有A sin a C sin c =，B sin bA sin a =． 所以Csin cB sin b A sin a ==………(*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论(*)和有关定理就可以 求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a 、b 、∠ A∠B ； 第二步：由条件 ∠A 、∠B．∠C ； 第三步：由条件．c ．(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°的方向上(如图11)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．解：(1)B sin b A sin a =, ∠A+∠B+∠C=180°，a 、∠A 、∠C 或b 、∠B 、∠C ，A sin a C sin c =或Csin cB sin b =(2)依题意，可求得∠ABC=65°，∠A=40°. BC=14．2． AB ≈21．3．答：货轮距灯塔A 的距离约为21.3海里．例10.某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB 的影长AC 为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB ；（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414， 3≈1.732）解：（1）在Rt △A BC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°∵tanC ＝ACAB∴AB ＝AC·tanC ＝9×33≈5.2（米） （2）以点A 为圆心，以AB 为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D 为切点，DE ⊥AD交AC 于E 点，（如图）在Rt △ADE 中，∠ADE ＝90°，∠E ＝30°， ∴AE ＝2AD＝2×5.2＝10.4（米）答：树高AB 约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米．例11.如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD.且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可以直接测得。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《解直角三角形》专题复习
一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2
1AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21
AB=BD=AD 】
4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】
5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2
AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】
6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。
（a b c h •=•）
由上图可得：AB •CD=AC •BC
二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90°
c a
sin =∠=斜边的对边A A
c b
cos =∠=斜边的邻边A A
b a
tan =∠∠=的邻边的对边A A A
a
b cot =∠∠=的对边的邻边A A A
锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数
锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0.
三、锐角三角函数之间的关系
（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A
（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A)=1； cotA •cot(90°—A)=1； （3）弦切关系
tanA=A A cos sin cotA=A
A sin cos
（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
A
C B
D
sin A
2ab
=
）结论：直角三角形斜边上的高
东
西
2
八、基本图形（组合型）
翻折平移
九、解直角三角形的知识的应用问题：
(1)测量物体高度．
(2)有关航行问题．
(3)计算坝体或边路的坡度等问题
十、解题思路与数学思想方法
图形、条件单个直角三角形直接求解实际问题数学问题
抽象转化不是直角三角形直角三角形方程求解常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用
【聚焦中考考点】
1、锐角三角函数的定义
辅助线构造
2、特殊角三角函数值
3、解直角三角形的应用
【解直角三角形】经典测试题
（1——10题每题5分，11——12每题10分，13——16每题20分，共150分） 1、在△ABC 中，若2
2cos =
A ，3tan =
B ，则这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形 2、sin65°与cos26°之间的关系为（ ）
A. sin65°< cos26°
B. sin65°> cos26°
C. sin65°= cos26°
D. sin65°+ cos26°=1 3、如图1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）
A. 7米
B. 9米
C. 12米
D. 15米
4、如图2，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交
角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）
A. αsin 1
B. α
cos 1
C. αsin
D. 1
图2
图1
5、把直角三角形中缩小5倍，那么锐角∠A 的正弦值 ( ) A. 扩大5倍 B. 缩小5倍 C. 没有变化 D. 不能确定
6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上的一点，AD=BD=2，AB=23，则： AC 的长为（ ）．
A ．3
B ．22
C ．3
D ．3
22
7、如果∠A 是锐角，且3
sin 4
B =，那么（ ）． A ．030A ︒<∠<︒ B ．3045A ︒<∠<︒
C ．4560A ︒<∠<︒
D ．6090A ︒<∠<︒
8、已知1cos 3α=，则3sin tan 4sin 2tan αα
αα
-+的值等于（ ）
A.47
B.1
2
C ．13
D ．0
9、 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为______。
10、酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元。
11、如图4，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若10,3
1tan =+=∠CE DC AEN 。
（1）求△ANE 的面积；（2）求sin ∠ENB 的值。
12、某船向正东航行，在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30o ,又航行了半小时到D 处，望灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A 、D 两点间的距离。
（结果不取近似值）
D
A C B
图3 图4
13、某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）．
14、如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）
15、今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A点海拔121米．C点海拔721米．
（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度．
16、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC 中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= ；
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是；
（3）如图②，已知sinA=3
5
，其中∠A为锐角，试求sadA
的值。