北京科技大学附属中学 2020—2021 学年第一学期高二年级数学期中调研
P，A，B，C
四点共面，则
λ
-1-
＝（ ） A．9
B．﹣9 D．3
C．﹣3
12.已知直线 l : 2x + 3y + 5 = 0. （1）过点 A(1,-4)且与直线 l平行的直线方程
8. 点 M , N 分 别 是 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 棱 ______________________;
中点.
（1）求证： PA / /平面MNC；
（2）求直线 PB与平面 MNC 所成角的正弦值. （3）求点 B 到平面 MNC 的距离.
17.（本小题 12 分）
如图一所示，四边形 ABCD是边长为 2的正方形，沿 BD将 C 点翻
-3-
从① CD ^ BC ；② BC // 平面 PAD 这两个条件中选一个，补充在
13. 在长方体 ABCD - A1B1C1D1中, AA1 = AB = 2, AD = 1,点 F,G分别 是 AB,CC1 的中点，则点 D1到直线
GF 的距离为_ _________________.
二、填空题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.
14.如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面四边形 ABCD 的两组对边均
北京科技大学附属中学 2020—2021 学 年第一学期高二年级数学期中调研
2020.11.4 一、选择题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题列出的四个选
项中，选出符合题目要求的一项.
1.在复平面内，复数 对应的点是
，则复数 的共轭复数
C．
1
! a
-
1
! b
+
! c
D．
-
1
! a
-
1
B. 3 2
C. 5 2
D. 7 2
6.下列说法中，正确的是( )
A. 过点
且在 轴截距相等的直线方程为
B. 直线
在 轴上的截距为-2
C. 直线
的倾斜角为 60°
D. 过点 并且倾斜角为 的直线方程为
7.
已知
!!!" PA
=（2，1，﹣3），
!!!" PB
=（﹣1，2，3），
!!!" PC
=（7，6，λ），若
③平面 PAB 与平面 PDC 的交线与底面 ABCD 不．平行；
( ) 上述命题中正确命题的序号为_________________.
11 ． 过 点 2, 3 且 在 两 个 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 的 直 线 方 程 是
A
_____________；____________.
三、解答题(本大题共 4 小题，共 52 分)
BC,CC1的中点，动点 P 在正方形 BCC1B1（包括边界）内运动.
若 PA1∥平面AMN，则 PA1的长度范围是
A. éë2，5 ùû
é3 2 ù
C.
ê ë
2
，3ú û
é3 2 ù
B.
ê ë
2
，5 ú û
D. [2，3]
（2）过点 A(1,-4)且与直线 l 垂直的
直线方程是_____________________．
! b
+
! c
22
22
4．已知直线 l 的方程为 x + my - 2 = 0 ，则直线 l ( )
A． 恒过点 ( - 2,0)且不垂直 x轴
B．恒过点 ( - 2,0)且
不垂直 y 轴
C．恒过点 (2,0)且不垂直 x轴
D．恒过点 (2,0) 且不
垂直 y 轴
(
)
z
Z (1,- 2)
z A=.
B.
上面问题的横线中，并完成解答. 注：如果选择多个条件分别解
P
答，按第一个解答计分.
E A
B
18. (本小题 15 分)
如 图 ， 在 四 棱 锥 P - ABCD 中 ， PA ^ 平 面 ABCD ，
PA = AD = CD = 2，BC = 3，PC = 2 3，E 为中点，________ . （1）求证：四边形 ABCD是直角梯形； （2）求直线 AE 与平面 PCD所成角的正弦值. （3）在棱 PB上是否存在一点 F，使得 AF ∥平面 PCD？若存在，
z C.
5.在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 CD所成角的正切值为( )
D. 1+ 2i
1- 2i
2+ i
2.设2- i
是虚数单位，则“
”是“复数
为纯虚
a,b Î R，i
ab = 0
a+b i
数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
15.(本小题 10 分)
P
D
B
C
-2-
已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3）， M 是 BC 边上的中点.（1）求 AB 边所在的直线方程；（2）求中线 AM 的
长 ；（3）若点 A 的直线 l 与线段 BC 有公共点，求直线 l 的斜率的取
值范围.
折到 C1点位置（如图二所示）,使得平面 C1DB和ADB垂直. E, F 分 别为 BC1, AC1的中点.
（1）求证： BD ^ AC1；
（2）求平面 DEF 与平面 ABD所成的锐二面角的余弦值.
16. (本小题 15 分)
如 图 , 在 四 棱 锥 P - ABCD 中 , PD = 2AD=4 , PD ^ DA , PD ^ DC , 底面 ABCD为正方形, M , N 分别为 AD , PD的
1-i
9．复数 z = ，则 z =
．
1+ i
10.在平面直角坐标系中，已知点 A(1, 2, 0)， B(x,3, -1)，
不．平行. ①在平面 PAB 内不．存在直线与 DC 平行； ②在平面 PAB 内存在无数多条直线与平面 PDC 平行；
C(4, y, 2)，若 A、 B 、 C 三点共线，则 x + y =__________．
D．既不充分也不必要条件
3.在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点，
若
!!!" AB
=
" a,
!!!" AD
=
" b,
!!!" AA1
=
" c，则与
!B!M!!"相等的向量
是（ ）
A．
1
! a
+
1
! b
+
! c
22
B．
-
1
! a
-
1
! b
+
! c
22
A. 2 2
PF
求 值；若不存在，请说明理由.
PB
D C
-4-
北京海淀20中2020-2021学年高二上学期期中考试数学【理】试题
北京海淀20中2020-2021学年高二上学期期中考试数学【理】试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线1y x =-的倾斜角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．135︒ 2．如果直线m//直线n ，且m//平面α，那么n 与α的位置关系是（）A ．相交B ．n//αC ．n ⊂αD ．n//α或n ⊂α 3．若三点(3,1)A 、(2,)B k -、(8,11)C 共线，则k 的值为（ ）A ．9-B ．11C ．9D ．11-4．圆221:(1)(1)4C x y ++-=与圆222:(2)(3)16C x y -++=的位置关系是（ ）A ．相交B ．外离C ．内切D ．外切 5．若两直线330x y +-=与6210x y ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4BC D6．已知圆22:(2)4C x y -+=，直线1:l y 和2:1l y kx =-被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为A ．12BC ．1 D7．如图，已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABC ，4AB PA PB ===，则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x ，y ，z 分别是（ ）A ．2，2B ．4，2，C ．2D ．2，8．如图所示，已知平面α∩平面β＝l ，α⊥β.A ，B 是直线l 上的两点，C ，D 是平面β内的两点，且AD ⊥l ，CB ⊥l ，DA ＝4，AB ＝6，CB ＝8.P 是平面α上的一动点，且有∠APD ＝∠BPC ，则四棱锥P －ABCD 体积的最大值是（ ）A ．48B ．16C ．D ．144二、填空题 9．已知两点(3,1,5)A -，(0,2,3)B ，则线段AB 的长为__________．10．底面直径是6cm ，高是4cm 的圆柱的侧面积为__________2cm ．11．已知直线210ax y +-=与直线2310x y --=垂直，则a 的值为__________． 12．从点(1,2)P -引圆22(1)(1)4x y ++-=的切线，则切线长是__________．13．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是__________．14．若动点P 在直线1:20l x y --=上，动点Q 在直线2:60l x y --=上，设线段PQ的中点为00(,)M x y ，且2200(2)(2)8x y -++≤，则2200x y +的取值范围是__________．三、解答题15．求满足下列条件的曲线方程：（1）过点(1,2)A -，(2,1)B -两点的直线方程；（2）过点(2,1)A 且圆心在(4,0)的圆的方程．16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，AB AC ⊥，D 为BC 中点，1AB 与1A B 交于点O ．（1）求证：1A C 平面1AB D ；（2）求证：1A B ⊥平面1AB C ；（3）求三棱锥1C ABB -的表面积．17．已知ABC △的三个顶点(2,1)A ，(1,2)B -，(4,1)C -．（1）设AB ，AC 边上的中点分别为M ，N ，求MN 所在直线方程；（2）求BC 边上的高线所在直线方程；（3）求ABC △的面积．18．已知圆22:40C x y x +-=．（1）直线l 的方程为0x -=，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长||AB 的值；（2）从圆C 外一点(4,4)P 引圆C 的切线，求此切线方程．19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，4PD PB ==，60BAD ∠=︒，E 为PA 中点．（1）求证：平面EBD ⊥平面PAC ；（2）若PA PC =，AC ，BD 的交点记为O ，求证PO ⊥平面ABCD ；（3）在（2）的条件下求三棱锥C ABE 的体积． 20．已知圆O:和定点()2,1A ，由圆O 外一点(),P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =.（1）求实数a b 、间满足的等量关系；（2）求线段PQ 长的最小值；（3）若以P 为圆心所作的圆P 与圆0有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程.参考答案1．B【分析】先根据直线方程求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解.【详解】由直线方程1y x =-可知1k =，设倾斜角为α，所以tan 1α=，因为[0,)απ∈，45α=.故选：B【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角间的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．D【解析】【分析】利用直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质进行判断即可.【详解】∵直线m /⁄直线n ,且m /⁄平面α，∴当n 不在平面α内时，平面α内存在直线m′//m ⇒n//m′，符合线面平行的判定定理可得n /⁄平面α，当n 在平面α内时，也符合条件，n 与α的位置关系是n//α或n ⊂α，故选D .【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及线面平行的性质，意在考查对基本定理掌握的熟练程度，属于基础题.3．A【解析】∵三点(3,1)A ，(2,)B k -，(8,11)C 在一条直线上，∴AB AC k k =，∴11112383k --=---， 计算得出9k=-，故选A ．4．A【解析】 由圆()()221:114C x y ++-=与圆()()222:2316C x y -++=可得，1(1,1)C -，2(2,3)C -，12r =，24r =，所以125C C ==，21121226r r C C r r =-<<+=，所以两圆的位置关系是相交，故选A ．5．C【解析】6210x y ++=可化为1302x y ++=，由两平行线之间的距离公式可得20d ==，故选C ． 6．A【解析】【分析】 由条件利用直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式，求得k 的值．【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心为(2,0)，半径为2，圆心到线1:l y =，1l 被圆C所截得的弦的长度为2=，圆心到2l，2l 被圆C 所截得的弦的长度为1l ，2l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，可得22=⨯，求得12k =，故选A ． 【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题． 7．A【解析】由三棱锥及其三视图可知，x 为等边PAB △的高，所以x =又因为2y 为AB 的长，所以242y y ==，，可得z 为点C 到AB 的距离，由此2z =，故选A ．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8．A【分析】作PM ⊥AB 于点M ，证明PM ⊥平面β.再根据锥体体积公式得函数关系式，最后根据二次函数性质求最大值.【详解】由题意知，△P AD ，△PBC 是直角三角形，又∠APD ＝∠BPC ，所以△P AD ∽△PBC .因为DA ＝4，CB ＝8，所以PB ＝2P A .作PM ⊥AB 于点M ，由题意知，PM ⊥平面β.令BM ＝t ，则AM ＝|6－t |，P A 2－(6－t )2＝4P A 2－t 2，所以P A 2＝4t －12.所以PM即为四棱锥P －ABCD 的高，又底面ABCD 为直角梯形，S ＝12×(4＋8)×6＝36.所以V ＝13×＝48. 故选A 【点睛】本题考查锥体体积公式以及二次函数性质，考查推理论证求解能力，属基本题.9【解析】因为()3,1,5A -，()0,2,3B ，，所以由两点间距离公式可得线段AB 的长为AB ==.10．()224cmπ【解析】因为圆柱的底面直径是6cm ，所以底面半径为3 ，又因为圆柱的高是4cm ，所以由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积为22π3424π()S cm =⨯⨯⨯=，故答案为24π. 11．3【解析】由直线210ax y +-=与直线2310x y --=垂直，可得22(3)0a +⨯-=，计算得出3a =，故答案是3．12．3【解析】因为圆C 的方程为22(1)(1)4x y ++-=，所以圆心(1,1)-，半径2r ，所以13PC ==，所以切线长3l ===，故答案为3．13【解析】由三视图可以知道：该几何体是一个三棱锥．其中PA ⊥底面ABC ，1PA AC CB ===，则该三棱锥的最长棱的长是PB ，PB =故答案为．14．[]8,16【解析】由直线方程可知两直线斜率相等，所以12l l ，由平行线线的几何性质知M 的轨迹为平行于1l 的直线，直线方程为40x y --=，又M 点在圆22(2)(2)8x y -++=的内部，故M的轨迹是如图所示的线段．2200x y +即原点和M 距离d 的平方．由图可知，max 4d =，min d ==22200816x y d ≤+=≤，故答案为[8,16]． 【方法点晴】本题主要考查轨迹方程及解析几何求最值，属于难题.解决曲线轨迹中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线轨迹中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.本题是先将2200x y +转化为直线上的点与原点距离的平方，然后利用几何方法解答的.15．（1）10x y ++=；（2）22(4)5x y -+=.【解析】试题分析：（1）由()1,2A -，(2,1B -）求出直线的斜率，设出直线方程，将点()1,2-代入求出参数，即可得结果；（2）设圆为()2224x y r -+=，将()2,1A 代入，得r =，从而可得圆的方程.试题解析：（1）∵过点()1,2A -，()2,1B -，∴()21112k --==---， ∴设直线为0x y b ++=，将()1,2A -代入得：120b -+=，即1b =，∴10x y ++=．（2）∵圆心为()4,0，∴设圆为()2224x y r -+=，将()2,1A 代入，得：()222241r -+=，∴r =∴()2245x y -+=．16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4+.【解析】试题分析：（1）证明：连结OD ，可得OD 为1A BC ∆的中位线，可得1//OD A C ，根据线面平行的判定定理可得1//AC 平面1AB D ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，可证AC ⊥平面11AA B B ，从而可得1AC A B ⊥，又11A B AB ⊥，1AC AB A ⋂=，即可证明1A B ⊥平面1AB C ；（3）1111C ABB ABC AB B AB C BB C S S S S S -=+++，分别利用三角形面积公式求出各三角形面积，求和即可得结果.试题解析：（1）证明：连结OD ，∵直三棱柱111ABC A B C -，1AB AA =，∴四边形11AA B B 为正方形，∴O 为1A B 中点，∵D 为BC 中点，∴1OD AC ， ∵1AC ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ， ∴1A C 平面1AB D ．（2）证明：方法1，∵直三棱柱111ABC A B C -，∴1AA AC ⊥，又∵AC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，∴AC ⊥平面11AA BB ，∵1A B ⊂平面11AA B B ，∴1AC A B ⊥，∵正方形11AA B B ，∴11A B AB ⊥，又∵1AC AB A ⋂=，∴1A B ⊥平面1AB C ．方法2：∵直三棱柱111ABC A B C -，∴平面11A B BA ⊥平面ABC ，∵平面11A B BA ⋂平面ABC AB =，AC AB ⊥，∵AC ⊥平面11A B BA ，∵1A B ⊂平面11AA B B ，∴1AC A B ⊥，∵正方形11AA B B ，∴11A B AB ⊥，又∵1AC AB A ⋂=，∴1A B ⊥平面1AB C ．（3）1111C ABB ABC AB B AB C BB C S S S S S -=+++11112222222222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯4=+【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.17．（1）330x y --=；（2）370x y +-=；（3）4.【解析】试题分析：（1）由中点坐标公式可得,AB AC 的中点坐标，从而可得直线的斜率，再根据点斜式可得方程；（2）由两点可得BC 的斜率，由垂直关系可得高线的斜率，点斜式可得方程；（3）可得BC 的方程，可求()2,1A 到直线的距离即三角形的高，再由距离公式求得BC 边上的高，代入面积公式可得结果.试题解析：（1）∵()2,1A ，()1,2B -，()4,1C -， ∴31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()3,0N ， ∴1123332MN k ==-， ∴MN 所在直线方程：()133y x =-， 即330x y --=．（2）∵M ，N 为AB ，AC 中点，∴13BC MN k k ==， ∴所求直线斜率3k =-，代入()2,1A ，得()132y x -=--，即370x y +-=．（3）BC == A 到MN距离5d ==． ∵M ，N 为AB ，AC 中点，∴1242ABC S BC d =⋅⋅=．18．（1）（2）4x =或3440x y -+=.【解析】试题分析：（1）由圆方程可得圆心()2,0C ，2r =，先求出圆心C 到直线距离1d ，根据勾股定理可得AB ==；（2）当直线为4x =时，与圆相切，符合题意． 当斜率存在时，设斜率为k ，可设直线()44y k x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径列方程，即可解得k 的值，从而可得结果..试题解析：（1）∵圆22:40C x y x +-=，∴圆心()2,0C ，2r =，圆心C到直线距离11d ==，∴AB ==．（2）①当直线为4x =时，与圆相切，符合题意．②当斜率存在时，设斜率为k ，∴直线()44y k x -=-，即440kx y k -+-=，圆心C到直线距离2d ==， ∵直线与圆相切，∴2d r =2=， ∴34k =， ∴直线：3440x y -+=，∴综上可知，切线方程为4x =或3440x y -+=．19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4.【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质可得PO BD ⊥，根据菱形的性质可得AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理可得BD ⊥面PAC ，根据面面垂直的判定定理可得结果；（2）由PA PC =，O 为AC 中点，可得PO AC ⊥，由（1）知PO BD ⊥，利用线面垂直的判定定理可得结论；（3）先证明EF ⊥面ABC ，则C ABE E ABC V V --=，利用棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（1）设AC BD O ⋂=，连结PO ，∴PD PB =，O 为BD 中点，∴PO BD ⊥，又∵底面ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∵PO AC O ⋂=，∴BD ⊥面PAC ，又∵BD ⊂面EBD ，∴面EBD ⊥面PAC ．（2）∵PA PC =，O 为AC 中点，∴PO AC ⊥，又∵PO BD ⊥，AC BD O ⋂=，∴PO ⊥面ABCD ．（3）过E 作EF AC ⊥于F ，∴EF PO ，又∵PO ⊥面ABCD ，EF ⊥面ABC ， ∴13C ABE E ABC ABC V V S EF --==⋅ 111322OB AC PO =⨯⨯⨯⨯ 1112322=⋅⋅⋅⋅4=．【方法点晴】本题主要考线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理以及利用等积变换求棱锥体积，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论(||,)a b a b αα⊥⇒⊥；（3）利用面面平行的性质(),||a a ααββ⊥⇒⊥；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20．（1）230a b +-=；（2；（3）22263155x y ⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）连接,OQ OP ，则OQP ∆为直角三角形，利用PQ PA =，即可求得实数a ，b 满足的等量关系；（2）表示出PQ 利用配方法即可求出PQ 的最小值；（3）由⊙P 与⊙O 有公共点，可得1r PO ≥-，只需求出OP 的最小值以及取得最小值时的,a b 的值，即可求出半径最小值的圆的方程.试题解析：（1）连接OP ，∵Q 为切点，∴PQ OQ ⊥， ∴222||||PQ OP OQ =-，∵PQ PA =，= ∴230a b +-=．（2）∵230a b +-=，∴23b a =-+，∴PQ ====∴当65a =时，线段PQ （3）设QP 半径为r ，∵⊙P 与⊙O 有公共点，⊙O 半径为1， ∴11r PO r -≤≤+， 即1r PO ≥-且1r PO ≤+，∴OP ===∴当65a =时，min ||5OP =，此时35b =，min 15r =-， ∴当半径取最小值时，圆P 方程为：222631555x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。
北京海淀科大附中2020-2021学年高二上学期期中考试数学【理】试题
北京海淀科大附中2020-2021学年高二上学期期中考试数学【理】试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线经过点(0,4)A 和点(1,2)B ，则直线AB 的斜率为（ ） A ．3B ．2-C ．2D ．不存在2．如果直线x +(1+m)y =2−m 和2mx +4y =−16互相平行，则实数m 的值为（ ）． A ．−2B ．1C ．−2或1D ．1或03．圆22:4210A x y x y ++++=与圆22:2610B x y x y +--+=的位置关系是（ ）． A ．相交B ．外切C ．内含D ．内切4．P 为圆221x y +=上的动点，则点P 到直线34100x y --=的距离是最小值为（ ）． A ．3B ．2C ．1D ．05．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥6．圆22(1)(1)2x y -+-=被x 轴截得的弦长等于（ ）． A ．1B ．32C ．2D ．37．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知A ，B ，C ，D 是空间不共面的四个点，且AB CD ⊥，AD BC ⊥，则直线BD 与AC （ ）． A ．垂直B ．平行C ．相交D ．位置关系不确定二、填空题9．已知直线:10l x y --=，则直线l 的倾斜角的大小为__________． 10．已知四棱锥的各棱长均为2cm ，则它的表面积等于___________． 11．由点(1,3)P -向圆222220x y x y ++--=作的切线方程为___________． 12．如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，点P 是上底面1111D C B A 内一动点，则三棱锥P ABC -的正视图与侧视图的面积的比值为________．13．已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)(0)B m m >．若圆C 上存在点M ，使得AM MB ⊥，则m 的最小值为___________．14．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，下列结论正确的是__________．（写出所有正确的结论的序号）①侧面DBC 是等边三角形； ②AC BD ⊥；③三棱锥D ABC -的体积是6．三、解答题15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC 为底面ABCD 的对角线，E 为1D D 的中点．（1）求证：1D B AC ⊥． （2）求证：1D B ∥平面AEC ．16．已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y --=．（Ⅰ）求直线l 的方程．（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．17．已知圆22:280C x y x +--=，过点(2,2)P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点． （1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45︒时，求弦AB 的长；（3）求直线l 被圆C 截得的弦长||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程． 18．如图1所示，在Rt ABC ∆中，90,,C D E ο∠=分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1,A F CD ⊥如图2所示.（1）求证：DE //平面1A CB ； （2）求证：1A F BE ⊥；（3）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？请说明理由. 19．（本小题满分10分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（Ⅰ）求圆的方程．（Ⅱ）设直线50ax y -+=与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得点(2,4)P -到A ，B 两点的距离相等，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分10分）如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，BC m =，ABC α∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，点E 为BC 中点，连结AE 、ED ．（Ⅰ）若4m =，60α=︒，求证：平面PAE ⊥平面PED ．（Ⅱ）若=30α︒，试探究在直线BC 上有几个点Q ，使得PQ QD ⊥，并说明理由．参考答案1．B 【详解】根据斜率公式有42201k -==--. 故选：B . 2．B 【解析】若直线x +(1+m)y =2−m 和2mx +4y =−16互相平行，则12m =1+m 4≠2−m −16，解得m =1． 故选B ． 3．B 【解析】圆A 方程可化为22(2)(1)4x y +++=，圆心为(2,1)--，半径为12r =；圆B 方程可化为22(1)(3)9x y -+-=，圆心为(1,3)，半径23r =，两圆心之间的距离125d r r ===+，所以两个圆相外切．故选B ．点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系． (2)切线法：根据公切线条数确定． 4．C 【解析】由已知得圆的圆心为(0,0)，半径为1，圆心到直线34100x y --=的距离21d ==>，直线与圆相离，故圆上的点到直线的最小距离为211-=．故选C ． 5．B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系． 6．C 【解析】圆22(1)(1)2x y -+-=，圆心为(1,1)，，圆心到x 轴的距离为1，所以圆被x 轴所截得的弦长为2==． 故选C ． 7．D 【分析】试题分析：结合题目中的三视图可知，A 、B 中的几何体是有一条侧棱垂直于底面的三棱锥；D 中的几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，只有D 是不可能的. 考点：本小题主要考查空间几何体的三视图的判断，考查学生的空间想象能力. 点评：解决此类问题的关键是根据三视图正确还原几何体. 【详解】 8．A 【解析】过点A 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ． ∵AB CD ⊥，由三垂线定理可得BO CD ⊥． 同理CO BD ⊥，BD AO ⊥，所以BD AC ⊥． 故选A ．点睛：证明线线垂直的方法①用线面垂直定义；②利用三垂线正逆定理；③利用异面直线所成角为90°.④在平面上利用初中所学知识判断.9．045 【解析】由直线l 的方程10x y --=可知直线的斜率1k =，设直线l 的倾斜角内α，则tan 1α=， 又[0,180)α∈︒︒，所以45α=︒． 10．4+【解析】∵正四棱锥的各棱长均为2cm ，∴底面面积为224=． 各侧面都是边长为2的等边三角形，∴侧面积为1422⨯⨯=故四棱锥的表面积等于4+ 11．1x =或3490x y ++= 【解析】当直线斜率不存在时，直线为1x =，与圆相切，符合题意；当直线斜率存在时，设切线方程为3(1)y k x +=-，即30kx y k ---=．由于直线与圆相切，故圆心(1,1)-到直线的距离等于半径22=，解得34k =-，∴直线方程为33(1)4y x +=--，即3490x y ++=． 综上，切线的方程为1x =或3490x y ++=．点睛：本题是一道易错题，当定点在圆外时，可以作定圆的两条切线，如果只求出一条直线，原因在直线的设法上，点斜式不包括过定点且垂直x 轴的直线. 12．1 【解析】试题分析：因为三棱锥P ABC -的主视图与左视图都是三角形, 正视图和侧视图三角形的底边长都是正方体的棱长,高都是P 到底面的距离（ 都是正方体的棱长）,所以，三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积相等，即比值为1,故答案为1.考点：1、几何体的三视图；2、三角形面积公式.13．4 【解析】由已知以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，AB 中点为原点，2AB m =，则11m m -≤≤+，解得46m ≤≤．故m 的最小值为4．14．①② 【解析】如图：①项，取AC 的中点E ，连接DE ，EB ，则BE AC ⊥． ∵平面ADC ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ADC ，∴BE DE ⊥，1BD ===． ∴DBC △是等边三角形，故①项正确；②项，∵AC DE ⊥，AC BE ⊥，∴AC ⊥平面BDE ，∴AC BD ⊥．故②项正确；③项，111132D ABC V -=⨯⨯⨯=．故③项错误． 综上所述，结论中正确的是①②． 15．(1)见解析;(2)见解析. 【分析】(1)要证明1D B AC ⊥ ，即证明AC ⊥平面1BDD ，进而转证线线垂直即可；(2)要证明1D B ∥平面AEC ，转证线线平行即可.【详解】（1）证明：连接BD ．∵在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴1DD AC ⊥．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥． 又∵1BDDD D =，∴AC ⊥平面1BDD ． ∵1D B ⊂平面1BDD ， ∴1D B AC ⊥．（2）证明：设BD AC O ⋂=，连接OE ． ∵ABCD 是正方形，∴O 是BD 中点， 又∵E 是1DD 中点，∴1D B DE ． ∵1D B ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， ∴1D B ∥平面AEC ．16．（1）220x y ++=（2）1 【详解】 （1）3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩，则点P 的坐标为()2,2-．由于点P 的坐标是()2,2-，且所求直线l 与直线210x y --=垂直， 可设所求直线l 的方程为20x y c ++=．将点P 坐标代入得()2220c ⨯-++=，解得2c =． 故所求直线l 的方程为220x y ++=．（2）由直线l 的方程知它在x 轴，y 轴上的截距分别是1-，2-， 所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积11212S =⨯⨯=．17．（1）220x y --=；（2；（3）22(2)(2)4x y -+-=.【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l 的方程；（2）当直线l 的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB 的长；（3）利用垂径公式，明确P 是AB 的中点，进而得到以线段AB 为直径的圆的方程．【详解】（1）圆C 的方程可化为()2219x y -+=，圆心为()1,0，半径为3r =．当直线l 过圆心()1,0，()2,2P 时，20221l k -==-， ∴直线l 的方程为()21y x =-，即220x y --=．（2）因为直线l 的倾斜角为45︒且过()2,2P ，所以直线l 的方程为()212y x -=⨯-，即0x y -=．圆心()1,0到直线0x y -=的距离2d ==，∴弦AB ==（3）由于CP ==而弦心距d ===，∴d CP ==∴P 是AB 的中点． 故以线段AB 为直径的圆圆心是()2,2P ，半径为122AB =． 故以线段AB 为直径的圆的方程为()()22224x y -+-=． 18．（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）∵DE ∥BC ，由线面平行的判定定理得出（2）可以先证1DE A DC ⊥平面，得出1DE A F ⊥，∵1A F CD ⊥∴1A F BCDE ⊥底面 ∴1A F BE ⊥(3)Q 为1A B 的中点，由上问1DE A DC ⊥平面，易知1DE A C ⊥,取1A C 中点P ，连接DP和QP ，不难证出1PQ A C ⊥，1PD A C ⊥∴1A C PQD ⊥平面∴1A C PQ ⊥,又∵1DE A C ⊥∴1A C PQE ⊥平面19．（1）1m =，圆的方程是22(1)25x y -+=．（2）5(,0),12⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭（3）34a = 【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆心为M （m ，0）（m ∈Z ）．由于圆与直线4x +3y ﹣29=0相切，且半径为5，所以 42955m -=，由此能求出圆的方程．（Ⅱ）把直线ax ﹣y +5=0代入圆的方程，得()()22125110a x a x ++-+=，由于直线ax ﹣y +5=0交圆于A ，B 两点，故△＞0，由此能求出实数a 的取值范围． （Ⅲ设符合条件的实数a 存在，则存在过点P 的直线l 垂直平分弦AB ，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心()1,0M 必在l 上，从而求出实数a 的值．试题解析：（1）设圆心为()(),0M m m Z ∈．由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5，所以42955m -=，即42925m -=，因为m 为整数，故1m =，故所求的圆的方程是()22125x y -+=．（2）直线50ax y -+=即5y ax =+代入圆的方程，消去y 整理得 ()()22125110a x a x ++-+=，由于直线50ax y -+=交圆于A 、B 两点，故()()22451410a a ∆=--+>， 即21250a a ->，解得0a <或512a >． 所以实数a 的取值范围是()5,0,12⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． （3）设符合条件的实数a 存在，则存在过点P 的直线l 垂直平分弦AB ，由（2）得0a ≠，则直线l 的斜率为1a -，l 的方程为()124y x a=-++，即240x ay a ++-=． 由于l 垂直平分弦AB ，故圆心()1,0M 必在l 上，所以10240a ++-=，解得34a =．因为35,412⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭． 故存在实数34a =，使得点()2,4P -到A ，B 两点的距离相等． 点睛：本题主要考查了直线与圆相切，直线与圆相交，属于基础题；当直线与圆相切时，其性质圆心到直线的距离等于半径是解题的关键，当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题. 20．详见解析【解析】试题分析：（1）要证明平面PAE ⊥平面PED ，即证明DE ⊥平面PAE ，进而转证线线垂直即可；（2）假设BC 边上存在Q 使得PQ QD ⊥，则连结AQ ，必有DQ AQ ⊥，故问题转化为：在BC 边上是否存在点Q ，使得DQ AQ ⊥．由平面几何知识，问题又可转化为：以AD 为直径的圆与BC 有几个交点．试题解析：（1）证明：当4m =，60α=︒时，∵ABCD 是平行四边形，2AB =，4BC =，60α=︒，E 是BC 中点，∴2AE =，DE =4AD =，∴222AE DE AD +=，∴DE AE ⊥．又∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴DE PA ⊥．∵AE PA A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE ．又∵DE ⊂平面PED ，∴平面PAE ⊥平面PED ．（2）假设BC 边上存在Q 使得PQ QD ⊥，则连结AQ ，必有DQ AQ ⊥，故问题转化为：在BC 边上是否存在点Q ，使得DQ AQ ⊥．由平面几何知识，问题又可转化为：以AD 为直径的圆与BC 有几个交点．∵30α=︒，2AB =，∴以AD 为直径的圆圆心到直线BC 的距离1d =，半径为2m ． 易知当12m <时，以AD 为直径的圆与BC 无交点， 当12m =时，以AD 为直径的圆与BC 有且只有一个交点， 当12m >时，以AD 为直径的圆与BC 有2个交点． 故当2m <时，直线BC 上不存在点Q ，使得PQ QD ⊥．当2m =时，直线BC 上存在一个点Q ，使得PQ QD ⊥．当2m >时，直线BC 上存在2个点Q ，使得PQ QD ⊥．。
北京市清华大学附属中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析
所以 ，此时 ，
又 ，此时 ，
综上可知： .
【点睛】思路点睛：求解形如 在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：
（1）先确定 这个整体的范围；
（2）分析 在（1）中范围下的取值情况；
（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的 的取值.
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， ， ， 平面 ， .
理由如下供参考：过 作 交 于 点，过点 作 交 于 点，连接 ，
因为 ， ，所以 ，因为 平面 ，所以 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ，所以 平面 ，所以 ，
所以 即为点 到直线 距离，
因为 ，所以 有最大值时 有最大值，
显然 有最大值时 与 点重合，此时 与 重合，则 ，
所以点 到直线 距离的最大值为 ，此时 与 重合.
【答案】
【解析】
由三角形的面积公式知， ,解得 ，再有余弦定理得 ，故 .
14.若椭圆 的离心率是 ，则 的值为_________.
【答案】 或
【解析】
【分析】
分焦点在 轴和 轴分类讨论，结合离心率得表达式即可求解
【详解】①当椭圆的焦点在x轴上时，由题意得 ，解得 ；
②当椭圆的焦点在y轴上时，由题意得 ，解得 .
即“ ”是“直线 的倾斜角大于 ”的充分而不必要条件，
故选A.
【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.
4.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg），将所得数据整理后画出了频率分布直方图如图所示，体重在 内适合跑步训练，体重在 内适合跳远训练，体重在 内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（）
北京市首都师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期数学期中考试试题
首都师大附中2020-2021学年第一学期高二数学期中考试（1-4）第Ⅰ卷（共30分）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 双曲线的方程为221169x y -=，则其离心率为（ ）A.45B.54C.43D.34【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，得出a ，c ，进而可求出离心率.【详解】因为双曲线的方程为221169x y -=， 所以216a =，29b =，因此216925c =+=， 所以离心率为2254cc e aa ===. 故选：B.2. 已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（ ） A. 1或0 B. 5C. 0或5D. 1或5【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行得出()224k k k -=-，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】解:直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.当0k =时，直线11:4l y =-，23:2l y =，两直线平行；当5k =时，直线1:510l x y -+=，23:502l x y -+=，两直线平行. 因此，0k =或5. 故选:C .【点睛】方法点睛:本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证.(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②2112210A A l B B l +⇔=⊥；3. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若m n ⊥，//n α，则m α⊥B. 若//m β，βα⊥，则m α⊥C. 若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D. 若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果. 【详解】对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误； 对于B ，设l αβ=，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误；对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确； 对于D ，设l αβ=，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误.故选：C .【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.4. 将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（ ）种．A. 6B. 12C. 18D. 36【答案】A 【解析】 【分析】完成此事分三步完成，利用乘法分步原理得解.【详解】先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格（不能选与第一步同行的的空格）不放硬币，有2种选法；最后在第三列选一格（不能选与第一、二步同行的空格）不放硬币，有1种方法.所以共有321=6⨯⨯种方法. 故选：A【点睛】本题主要考查计数原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5. 圆E ：221x y +=与圆F ：224440x y x y +--+=的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径间的关系可知两圆相交，从而得到两圆公切线的条数． 【详解】解：化22:4440F x y x y +-++=为22(2)(2)4-++=x y ，可知圆F 的圆心坐标为(2,2)-，半径为2； 又圆22:1E x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为1．而22||(20)(20)22EF =-+--=，即21||2221EF -<=<+．∴圆E 与圆F 相交，则公切线条数为2．故选：B ．6. 双曲线2212x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A. 2B.22C.63D.233【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程，得出顶点坐标，以及渐近线方程，由点到直线距离公式，即可得出结果.【详解】因为双曲线2212x y -=的顶点为()2,0±，渐近线方程为22y x =±，即220x y ±=， 所以顶点到渐近线的距离为()226324⨯±=+. 故选：C.7. 已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ．过点1F 的直线与C 交于A ，B 两点．若2ABF 的周长为8，则椭圆C 的标准方程为（ ）A. 2211615x y +=B. 22187x y +=C. 22143x y +=D. 22134x y +=【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点坐标，得到1c =；根据椭圆定义，由题中条件求出2a =，得出2b ，进而可求出结果. 【详解】因为椭圆C焦点为()11,0F -，()21,0F ，所以1c =； 又过点1F 的直线与C 交于A ，B 两点，2ABF 的周长为8，则根据椭圆定义可得，11112248++=+++==AF BF AB AF BF AF BF a ， 解得2a =，因此2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.故选：C.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，熟记椭圆的定义即可，属于常考题型.8. 如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，底面半径为1m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为（）A. 42mB. 4mC. 23mD. 2m【答案】A【解析】【分析】将该圆锥的侧面展开，由两点之间线段最短，结合弧长公式求出圆心角，进而确定小虫爬行的最短路程.【详解】该圆锥的侧面由P点展开，如下图所示圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为PP212PP ππ'=⨯=，∴该扇形的圆心角为242ππα== 2242PP OP OP ''∴=+=故选：A9. 要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A. 84 B. 54C. 42D. 18【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案． 【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A A A =种； ②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C A A =种. 综上所述，共有182442+=种不同的排法. 故选：C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．10. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为（ ）A 平行 B. 相交 C. 异面且垂直 D. 异面且不垂直【答案】B【解析】【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且，B C两点重合，所以AB与CD相交，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11. 在61xx⎛⎫+⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答）【答案】15 【解析】【分析】由二项式展开式通项有6321rrr nT C x-+=，可知常数项的值；【详解】二项展开式通项为66322 11()r rr r rr n nT C x C xx--+==，∴当2r时，常数项23615T C==，故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，利用二项式展开式的通项求常数项，属于简单题；12. 如图，F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C在抛物线上，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB |＋|FC|＝__________.【答案】6【解析】【分析】首先设()()()112233,,,,,A x yB x yC x y，由已知等式得到1233x x x++=，|FA|＋|FB|＋|FC|可表示为关于123,,x x x和焦距的式子，代入相关值即可.【详解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，∵F(1，0)，∴FA＋FB＋FC＝(x1＋x2＋x3－3，y1＋y2＋y3)＝0，∴1231233x x xy y y++=⎧⎨++=⎩，且2p=，∴|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋2p＋x2＋2p＋x3＋2p＝3＋3＝6．故答案为：6.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质、向量的坐标运算，熟记这些知识点是解答本题的关键，是基础题.13.某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B与C必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种.（用数字作答）【答案】24 【解析】试题分析：B 与C 必须相邻，看做一个元素，与剩下三个元素排列共有44A 种排法，而B 与C 共有22A 种排法，因为A 必须在D 的前面完成，所以利用除法得42422224.A A A ⋅= 考点：排列组合14. 若方程22141x y t t +=--所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①若C 为椭圆，则实数t 的取值范围为(1,4)；②若C 为双曲线，则实数t 的取值范围为(,1)(4,)-∞⋃+∞； ③曲线C 不可能是圆；④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则实数t 的取值范围为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.其中真命题的序号为________.（把所有正确命题的序号都填在横线上） 【答案】② 【解析】 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的标准方程，对选项进行逐一分析计算可得答案.【详解】方程22141x y t t +=--所表示的曲线为C①若C 为椭圆，则104014t t t t->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得(1,4)t ∈且52t ≠，故①不正确.②若C 为双曲线,则()()140t t --<，解得(,1)(4,)t ∈-∞⋃+∞，故②正确. ③当52t =时，曲线C 是圆，故③不正确. ④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则410t t ->->，则512t <<，故故④不正确. 故答案为：②15. 寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排,,,,A B C D E 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种. 【答案】45 【解析】 【分析】先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果. 【详解】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能； 剩下四人进行错排，设四人座位为1234，，，，则四人都不坐在自己位置上有214323412413,3142,3412,3421,4123,4312,4321，，这9种可能；所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5945⨯=种 故答案为：45【点睛】本题考查错排问题，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 设1F 为椭圆C ：2212x y +=的左焦点，P 为椭圆C 上给定一点，以1PF 为直径作圆Γ，点Q 为圆Γ上的动点，则坐标原点O 到Q 的距离的最大值为________.【答案】2 【解析】 【分析】设(,)P x y ，因为1F 为椭圆C ：2212x y +=的左焦点，记起右焦点为2F ，则()11,0F -，()21,0F ，记1PF 的中点为M ，得到1,22x y M -⎛⎫⎪⎝⎭为圆Γ的圆心，圆Γ的半径为12PF r =，再由圆的性质，以及椭圆的定义，即可得出结果.【详解】设(,)P x y ，因为1F 为椭圆C ：2212x y +=的左焦点，记起右焦点为2F ，则()11,0F -，()21,0F记1PF 的中点为M ，由题意可得，1,22x y M -⎛⎫⎪⎝⎭为圆Γ的圆心，圆Γ的半径为12PF r =， 因为点Q 为圆Γ上的动点，由圆的性质可得，坐标原点O 到Q 的距离的最大值为()22221121max1124222x y PF PF PF PF x yOQ OM r -+++-⎛⎫=+=++==⎪⎝⎭222aa ===.故答案为：2. 【点睛】方法点睛：求圆上的点与定点距离最值时，一般先计算定点到圆心的距离d ，根据圆的性质，得到定点到圆上任意一点距离的最大值为d r +，定点到圆上任意一点距离的最小值为d r -（其中r 为圆的半径）. 17. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 为棱AD 中点，现有一只蚂蚁从点1B 出发，在正方体1111ABCD A B C D -表面上行走一周后再回到点1B ，这只蚂蚁在行走过程中与平面1A BE 的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为__________． 【答案】26 【解析】分析：由题可知，蚂蚁在正方体1111ABCD A B C D -表面上行走一周的路线构成与平面1A BE 平行的平面，且围成的图形为菱形，从而求得答案.详解：由题可知，蚂蚁在正方体1111ABCD A B C D -表面上行走一周的路线构成与平面1A BE 平行的平面，设F 、G 分别为BC 、11A D 中点，连接1B G ，GD ，FD 和1FB ，则11B G GD DF FB ---为蚂蚁的行走轨迹. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，易得115GD DF F B G B ====，123B D =，22GF =，∴四边形1B GDF 为菱形，111262B GDF S B D GF =⋅= 故答案为26.点睛：本题考查面面平行和正方体截面问题的应用，正确理解与平面的距离保持不变的含义是解题关键.18. 关于曲线22:4C x xy y -+=，给出下列四个结论： ①曲线C 关于原点对称，但不关于x 轴、y 轴对称； ②曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线C 上任意一点都不在圆223x y +=的内部； ④曲线C 上任意一点到原点的距离都不大于22． 其中，正确结论的序号是________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据关于原点、x 轴、y 轴对称的横纵坐标特点，代入即可判断①；取x 的整数值，代入求得y 的值即可判断②；由基本不等式确定22x y +的最大值，即可判断③；由两点间距离公式及基本不等式，化简即可判断④；【详解】曲线22:4C x xy y -+=，对于①，将x -替换x ，y -替换y ，代入可得224x xy y -+=，所以曲线C 关于原点对称；将x -替换x ，代入可得224x xy y ++=，所以曲线C 不关于y 轴对称；将y -替换y ，代入可得224x xy y ++=，所以曲线C 不关于x 轴对称；所以①正确；对于②，当0x =时，代入可得2y =±，所以经过()()0,2,0,2-； 当0y =时，代入可得2x =±，所以经过()()2,0,2,0-； 当2x =时，代入可得2y =，所以经过()2,2； 当2x =-时，代入可得2y =-，所以经过()2,2--； 所以至少有六个整点在曲线C 上，所以②错误； 对于③，由224x xy y -+=可知224x y xy =++， 而222x y xy +≥，所以42xy xy +≥，解得4xy ≤， 即48xy +≤，则228x y +≤，同理222x y xy ≥-+，解得2283x y+≥，所以22883x y ≤+≤，则③错误； 对于④，由③可知22883x y ≤+≤，所以2222x y ≤+，故④正确， 综上可知，正确的为①④， 故答案为：①④.【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线性质的应用，由基本不等式确定取值范围的应用，属于中档题.三、解答题（本大题共4小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 如图所示，平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AA '⊥平面ABCD ，AB AC ⊥，M ，N 分别为CB ，CC '的中点，1AB AC AA '===.（1）求证：//MN 平面ACD '； （2）求证：C D '⊥平面ACD '； （3）求点B 到平面ACD '的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）22. 【解析】 【分析】（1）建立空间坐标系，利用向量证明//MN AD '得出//MN 平面ACD '； （2）利用向量证明DC CD '⊥'，DC AD '⊥'，得出DC '⊥平面ACD '； （3）根据点到平面的距离公式计算||||AB DC DC ''即可得出答案．【详解】（1）证明：AA '⊥平面ABCD ，//AA CC ''，CC ∴'⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，AB AC ⊥，CD AC ∴⊥，以C 为原点，以CD ，CA ，CC '为坐标轴建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则(0N ，0，1)2，(0A ，1，0)，(1D '，0，1)，(1B -，1，0)，1(2M ∴-，12，0)，∴1(2MN =，12-，1)2，(1AD '=，1-，1)， ∴12MN AD ='，//MN AD ∴'，又MN ⊂平面ACD '，AD '⊂平面ACD '，//MN ∴平面ACD '．（2）证明：(0C '，0，1)，(1D ，0，0)，(0C ，0，0)，∴(1DC '=-，0，1)，(1CD '=，0，1)， ∴0DC CD ''=，0DC AD ''=，DC CD ∴'⊥'，DC AD '⊥'，又CD AD D ''='，CD '⊂平面ACD '，AD '⊂平面ACD 'DC ∴'⊥平面ACD '．（3）解：由（2）可知()1,0,1DC '=-是平面ACD '一个法向量，又()1,0,0AB DC ==-，∴1AB DC '=，B ∴到平面ACD '的距离||122||2AB DC d DC '==='．【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和点到面的距离的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20. 已知点O 为坐标原点，(6,0)A -，动点P 使得:1:2PO PA =. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为Γ，过点(4,4)Q 的直线l 与Γ交于两点A 、B ，若43AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）22(2)16x y -+=；（2）4x =或3440x y -+=【解析】 【分析】（1）先设点(,)P x y ，根据题中等量关系列出等式，化简整理，即可得出结果；（2）先由（1）得到Γ为以(2,0)C 为圆心，以4r =为半径的圆，设AB 的中点为M ，连结CM ，CA ，求出点(2,0)C 到直线l 的距离为2，分别讨论所求直线斜率存在和斜率不存在两种情况，结合题中条件，即可求出直线方程. 【详解】（1）设点(,)P x y ，则22PO x y =+，22(6)PA x y =++.由题意，2222(6)2x y x y ++=+.整理得：22(2)16x y-+=，即点P的轨迹方程为22(2)16x y-+=，（2）由（1）得，Γ为以(2,0)C为圆心，以4r=为半径的圆，设AB的中点为M，连结CM，CA.由垂径定理，CM AB⊥.则222431622CM r AM⎛⎫=-=-=⎪⎪⎝⎭即点(2,0)C到直线l的距离为2.（i）当直线l的斜率不存在时，l：4x=，经检验符合题意；（ii）当直线l的斜率存在时，设l：4(4)y k x-=-，即440kx y k-+-=所以224421k kk+-=+，解得：34k=；所以，l：3104x y-+=，即3440x y-+=.综上，直线l的方程为4x=或3440x y-+=.【点睛】思路点睛：已知圆的弦长求弦所在直线方程时，一般需要先考虑直线的斜率是否存在，设出直线方程，再由圆的性质，根据垂径定理，得到圆心到直线的距离，由点到直线距离公式，列出方程求解，得出直线的斜率，即可求出直线方程.21. 四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，60DAB∠=︒，2PA AB AD===，点E是棱PC上一点.（1）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）当E 为PC 中点时，求二面角A BE D --的余弦值； （3）若直线BE 与平面PAC 所成的角为45︒时，求CE . 【答案】（1）证明见解析；（2）77；（3）1或2. 【解析】 【分析】（1）证明BD ⊥平面PAC 即可得出平面PAC ⊥平面BDE ；（2）建立空间坐标系，求出平面ABE 和平面BDE 的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小；（3）由45BEO ∠=︒可知1OE =，在OCE △中利用余弦定理计算CE ． 【详解】证明：（1）因为平行四边形ABCD 中，AB AD =， 所以四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥. 又因为PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC .所以平面PAC ⊥平面BDE .（2）在平面ABCD 内，过点A 作//AQ BD ，则AQ AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，AQ ⊂平面ABCD ，所以PA AQ ⊥.如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,3,0)B ，(0,23,0)C ，(1,3,0)D -，(0,0,2)P .当E 为PC 中点时，(0,3,1)E .所以()0,3,1AE =，()1,3,0AB =，()2,0,0BD =-，()1,0,1BE =-.设平面ABE 的方向量为()1111,,n x y z =，则111130,30.y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令13x =，得11y =-，13z =，所以()13,1,3n =-.设平面DBE 的方向量为()2222,,n x y z =，则22220,0.x x z -=⎧⎨-+=⎩则220x z ==，令21y =，则2(0,1,0)n =. 所以，12211217cos ,77n n n n n n ⋅-===-⋅.因为二面角A BE D --为锐二面角，得二面角A BE D --的余弦值为77. （3）设(01)CE CP λλ=≤≤，则()()()1,3,00,23,21,323,2BE BC CP λλλλ=+=-+-=--.由（1）得，BD ⊥平面PAC .所以，平面PAC 的一个方向量为(2,0,0)BD =-，由题意：2cos ,2BD BE =，故22BD BE BD BE ⋅=⋅，即()2222221323(2)λλ=⋅+-+. 所以，221(323)(2)2λλ+-+=，即2161220λλ-+=. 解得114λ=，212λ=. 所以114CE CP ==或1CE CP 22==.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22. 已知椭圆C ：2221x y a+=（其中0a >）的右焦点为(1,0)F ，直线l 过点F 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的长轴长和离心率； （2）求AOB 的面积的最大值；（3）若AOB 为直角三角形，求直线l 的方程. 【答案】（1）长轴长为22，离心率为22；（2）22；（3）22y x =±.【解析】 【分析】（1）根据椭圆的右焦点坐标，由椭圆方程，求出2a =，进而可得出长轴长，以及离心率；（2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由三角形面积公式，表示出面积，进而可求出最值；（3）由题中条件，分别讨论90OAB ∠=︒，90AOB ∠=︒两种情况，分别求解，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，211a -=，解得2a =.所以，椭圆C 的长轴长为222a =，离心率为122e a ==. （2）设直线l 的方程为1x my =+，联立221,2 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：22(1)22my y ++=，即()222210m y my ++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，由()()222242(1)880mm m ∆=-⋅+⋅-=+>，得12222my y m +=-+，12212y y m ⋅=-+.所以，()2212121228842m y y y y y y m +-=+-=+.所以，AOB 的面积212211222m S OF y y m +=⋅⋅-=⋅+，令21m t +=，则[1,)t ∈+∞，得2222112t S t t t==≤++.当且仅当1t =时（即0m =时）等号成立，此时l ：1x =.（3）（i ）若90OAB ∠=︒，则OA FA ⊥，故()11,OA x y =，()111,FA x y =-，则()211110x x y -+=因为221112x y +=，故()2111112x x x --=，即211220x x -+=，无解.即90OAB ∠≠︒.同理，90OBA ∠≠︒.（ii ）若90AOB ∠=︒，得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，得()()1212110my my y y +++=.故()()21212110m y y m y y ++++=.故2222121022m m m m +--+=++.解得212m =，故22m =±.故l ：212x y =±+（即22y x=±）综上所述，所求直线l 的方程为22y x =±.【点睛】思路点睛：求解椭圆中三角形面积时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，以及弦长公式，表示出弦长，再由点到直线的距离公式，求出点到线的距离，由三角形的面积公式，即可求出结果；有时也可将所求三角形面积转为同底的两个小三角形的面积之和，结合题中条件求解.。
2020-2021深圳北大附中深圳南山分校高二数学上期中试题(附答案)
2020-2021深圳北大附中深圳南山分校高二数学上期中试题(附答案)一、选择题1．设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ） A ．1936B ．1136C ．712D ．122．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为a n4．如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长5．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温x C ︒171382月销售量y （件）24334055由表中数据算出线性回归方程y bx a =+$$$中的2b =-$，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件6．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．457．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．568．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n 的值为 （ ）A．20B．25C．30D．359．在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（）A．127B．128C．128.5D．12910．我国古代名著《庄子g天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．17?,,+1i s s i i i≤=-= B ．1128?,,2i s s i i i≤=-= C ．17?,,+12i s s i i i ≤=-= D ．1128?,,22i s s i i i≤=-= 11．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元12．运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <二、填空题13．已知一组数据：87,,90,89,93x 的平均数为90，则该组数据的方差为______． 14．将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为__________．15．某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x =_____________.16．执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出S 的值为__________．17．根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a ＝50.6，b ＝0.65，c ＝log0.65，则输出的数是________．18．执行如图所示的程序框图，如果输出3s =，则正整数M 为__________．19．如图程序框图的输出结果是_________.20．已知方程0.85 2.1ˆ87yx =-是根据女大学生的身高预报其体重的回归方程， ˆ,x y 的单位是cm 和kg ，则针对某个体()160,53的残差是__________．三、解答题21．中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某校高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班60名同学中，对此事关注的占13，他们在本学期期末考试中的物理成绩如下面的频率分布直方图：（1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）． （2）若物理成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量， ①补充下面的22⨯列联表：物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计对此事关注 对此事不关注 合计②是否有95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．画出解关于x 的不等式0ax b +<的程序框图，并用语句描述.23．自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视.某机构为了调查A 城市和B 城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：关注 不关注 合计 A 城高中家长2050B 城高中家长20合计100（1）完成上面的列联表；（2）根据上面列联表的数据，是否有95%的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城市有关；（3）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.24．某乡镇为了发展旅游行业，决定加强宣传，据统计，广告支出费x 与旅游收入y （单位：万元）之间有如下表对应数据：（1）求旅游收入y 对广告支出费x 的线性回归方程y bx a =+，若广告支出费12万元，预测旅游收入；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，根据（1）中的线性回归方程，求至少有一组数据，其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率.（参考公式：1221ni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，其中,x y 为样本平均值，参考数据：521145i i x ==∑，52113500i i y ==∑，511380i ii x y==∑）25．某“双一流A 类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数x ； （2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设区间[)1.85,2.15Ω=，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元； 方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？26．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如下图：（1）求实数a 的值；（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A解析：A 【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件数是6×6=36种结果， 方程x 2+mx +n =0有实根要满足m 2−4n ⩾0， 当m =2，n =1 m =3，n =1，2 m =4，n =1，2，3，4 m =5，n =1，2，3，4，5，6， m =6，n =1，2，3，4，5，6 综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果 ∴方程x 2+mx +n =0有实根的概率是1936； 本题选择A 选项.2．B解析：B 【解析】 【分析】设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P …，得10.90.3n-…， 由此能求出n 的最小值． 【详解】Q 李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =-， 21P P Q …，10.90.3n∴-…， 解得4n ≥．n ∴的最小值是4．故选B ． 【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为. 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.4．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低， 差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D解析：D 【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a =+$$$上且2b =-$，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58y x =-+，当6x =时，26ˆ5846y=-⨯+=，故选D. 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.6．C解析：C 【解析】 【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．7．A解析：A 【解析】 【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可. 【详解】由表知空气质量为优的概率是110， 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111632+=， 所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P =+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.8．B解析：B 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值. 【详解】输出20,80,100n m s ==≠；21,79,100n m s ==≠；22,78,100n m s ==≠； 23,77,100n m s ==≠；24,76,100n m s ==≠；25,75,100n m s ===，退出循环，输出25n =，故选B. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．D解析：D 【解析】分析：由茎叶图得出45名学生的数学成绩，从而求出中位数． 详解：根据茎叶图得出45名学生的数学成绩，可知中位数为129. 故选D.点睛：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，属基础题.．10．B解析：B 【解析】 【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论. 【详解】由题意，执行程序框图，可得： 第1次循环：11,42S i =-=； 第2次循环：111,824S i =--=； 第3次循环：1111,16248S i =--==； 依次类推，第7次循环：11111,256241288S i =----==L ， 此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i ≤， 执行框②应填入：1S S i=-，③应填入：2i i =. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．12．C解析：C 【解析】 【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 【详解】0S =，1k =；110121S -=+⨯=，2k =；211225S -=+⨯=， 3k =；3153217S -=+⨯=，4k =；41174249S -=+⨯=， 5k =；514952129S -=+⨯=，6k =，此时输出S ，即判断框内可填入的条件是“6?k <”.故选：C ． 【点睛】本题考查循环结构程序框图. 解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 二、填空题13．【解析】该组数据的方差为 解析：4【解析】8790899390591x x ++++=⨯∴=该组数据的方差为222221[(8790)(9190)(9090)(8990)(9390)]45-+-+-+-+-=14．【解析】【分析】先求出总的基本事件的总数再求出点数之积为奇数的基本事件的总数再利用古典概型的概率公式求解【详解】由题得总的基本事件个数为两次点数之积为奇数的基本事件的个数为由古典概型的概率公式得故答 解析：14【解析】 【分析】先求出总的基本事件的总数，再求出点数之积为奇数的基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式求解. 【详解】由题得总的基本事件个数为66=36⨯，两次点数之积为奇数的基本事件的个数为33=9⨯，由古典概型的概率公式得91364P ==. 故答案为：14【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题解析：8 【解析】 【分析】根据茎叶图计算平均数. 【详解】 由茎叶图得1617101920188.5x x +++++=∴=【点睛】本题考查茎叶图以及平均数，考查基本运算能力，属基础题.16．15【解析】程序执行过程为：当i=1s=1i<6s=1当i=3i<6s=3当i=5i<6s=15当i=7i>6退出s=15填15解析：15 【解析】 程序执行过程为：当i=1,s=1,i<6,s=1,当i=3,i<6,s=3,当i=5,i<6，s=15,当i=7，i>6，退出s=15.填15.17．6【解析】因为所以输出解析：6 【解析】因为a b c >>，所以输出50.6.a =18．27【解析】依次运行框图所示的程序可得第一次：不满足条件；第二次：不满足条件；第三次：不满足条件；……第二十四次：不满足条件；故判断框内的条件是答案：27点睛：程序框图的补全及逆向求解问题的解题策略解析：27 【解析】依次运行框图所示的程序，可得第一次：1331log 4log 4,4S k =⨯==，不满足条件； 第二次：2343log 4log 5log 5,5S k =⨯==，不满足条件； 第三次：3353log 5log 6log 6,6S k =⨯==，不满足条件； ……第二十四次：243263log 26log 27log 273,27S k =⨯===，不满足条件； 故判断框内的条件是27?k ≥。
北京市一零一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题
北京市一零一中学2020—2021学年高二数学上学期期中试题（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1。
在复平面内，复数1+i 的共轭复数所对应的点位于（ )A. 第一象限 B 。
第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 直线013=+-y x 的倾斜角的度数是（ ）A. 30°B. 45° C 。
60° D 。
90°3。
点(0，1）到直线1-=kx y 距离的最大值为（ ）A. 1 B 。
2 C 。
3 D. 2 4。
直线01)1()2(:1=--++y a x a l 与02)32()1(:2=+++-y a x a l 互相垂直，则实数a 的值为( ）A 。
-1 B. 1 C. -1或1 D 。
以上都不对5. 已知向量a =(1，x ，-2）,b =（0，l,2),c =（1，0，0），若a ,b ，c 共面，则x 等于( ）A. —1 B 。
l C 。
1或—1 D 。
1或06。
如图,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1=D 1F 1=41A 1B 1，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A.1715 B 。
21 C 。
178D.237。
如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A. 3个 B 。
4个 C. 5个 D. 6个8. 设复数z 满足|z —1—i|=2,则｜z|的最大值为（ ）A 。
2 B. 2 C 。
22 D. 4 9。
通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角。
已知0332:1=--y x l ,012:2=++y x l ，则l 1，l 2夹角的余弦值是（ ）A. 6565B. 65654C. 65657 D 。
北京师范大学第二附属中学未来科技城学校2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题新人教版选修1
2021北京北师大二附中未来科技城学校高二（上）期中数学考试时间：120分钟第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共50分）1. 经过点（1，2），且倾斜角为45°的直线方程是（）A．y＝x﹣3B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣3D．y＝﹣x+32. 已知向量a⃗=(−2,3,1),b⃗⃗=(1,−1,0),则∣∣a⃗+b⃗⃗∣∣=( )A. √26B. √14C. 2D. √63. 圆(x−1)2+y2=2的圆心到直线x+y+1=0的距离为( )A．2B．√2C．1D．√224. 已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，-2），则a+b的值为（）A．﹣2 B．22 C．2 D．265. 如图，已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为（）A．√32B．√52C．√105D．√10106. 若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=90∘(其中O为原点),则k的值为( )A. √2B. 1C. −√2或√2D. −1或17. 已知点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），则直线l的方程为（）A．x+4y+1＝0或x＝3 B．x+4y﹣1＝0或x＝3C．x+4y+1＝0 D．x+4y﹣1＝08. 直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ）A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[√2，3√2]D ．[2√2，3√2] 9. 若直线l 1：y ＝kx ﹣k +1与直线l 2关于点（3，3）对称，则直线l 2一定过定点（ ） A ．（3，1）B ．（2，1）C ．（5，5）D ．（0，1） 10. 如图，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1 的中点，在平面 ADD 1A 1 内且与平面 D 1EF 平行的直线 ( )A. 不存在 B . 有 1 条 C. 有 2 条 D. 有无数条第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共30分）11. 直线x +（m +2）y ﹣1＝0与直线mx +3y ﹣1＝0平行，则m 的值为_____．12. 若圆C ：x 2+（y +1）2＝1被直线l ：x +y +a ＝0相切，则实数a 的值是 ．13. 已知点P 在曲线（x ﹣1）2+y 2＝1上，点A 的坐标为（﹣2，0），O 为原点，则AO →•AP →的取值范围是 ．14. 已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C 的方程是 ．15. 如图正方体的棱长为 1，C 、 D 分别是两条棱的中点，A ，B ，M 是顶点，那么点 M 到截面 ABCD 的距离是 ．16. 方程 |x+1|＋|y -1|＝2表示的曲线围成的图形对称中心的坐标为_______，面积为________.三、解答题（共5道，共70分）17. (本题13分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣3，2），B （4，3），C （﹣1，﹣2）．（1）在△ABC 中，求BC 边上的高线所在的直线方程；（2）求△ABC 的面积．()4,3C -22:1O x y +=-中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面18. （本题13分）如图，在四棱锥P ABCDABCD，Q为棱PD的中点，PA AB=．（1）求证：AQ CD⊥；（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．19. (本题15分)已知圆C经过坐标原点，且与直线x﹣y+2＝0相切、切点为A（2，4）．（1）求圆C的方程；（2）已知斜率为﹣1的直线l与圆C相交于不同的两点M、N，若直线l被圆截得的弦MN的长为14，求直线l的方程.20. (本题15分)如图，在四棱锥 P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面 ABCD 为平行四边形，AB ⊥AC ，且 PA =AB =3，AC =2，E 是棱 PD 的中点．（1）求证：PB ∥平面AEC ；（2）求直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值；（3）在线段 PB 上（不含端点）是否存在一点 M ，使得二面角 M −AC −E 的余弦值为 √1010若存在，确定 M 的位置；若不存在，请说明理由．21.(本题14分)如图，圆C 与x 轴相切于点()1,0T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A的上方），且||2AB =.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 作任一条直线与圆O ：221x y +=相交于M ，N 两点.求证：||||MA MB 为定值，并求出这个定值；（3）在（2）的条件下求BMN ∆的面积的最大值.。
北京市海淀区清华大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
北京市海淀区清华大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A B C ．12 D ．132．倾斜角为135,在y 轴上的截距为1-的直线方程是A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．10x y +-=D ．10x y ++= 3．已知直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ） A ．3210x y +-=B ．3270x y ++=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=4．设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m-=表示的曲线为双曲线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知椭圆24x ＋23y ＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 6．已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（ ）A ．2B ．C ．0D ．17．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．2C D ．22- 8．在ABC ∆中，=1,AB AC D =是AC 的中点，则BD CD ⋅的取值范围是 A ．31(,)44-B ．1(,)4-∞C ．3(,)4-+∞D ．13(,)44二、填空题 9．双曲线2212y x -=的渐近线方程为_________. 10．已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是______．11．已知圆的方程为222880x y x y ++-+=，过点(1,0)P 作该圆的一条切线，切点为A ，那么线段PA 的长度为______．12．若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ．13．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．三、双空题14．已知l 为双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为()2,0，则C 的右顶点为______ ；C 的方程为______．四、解答题15．已知函数()2cos 2cos f x x x x =+． （1）求函数()f x 图象的相邻两条对称轴的距离；（2）求函数()f x 在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值，以及此时x 的取值． 16．在ABC ∆中，222a c b ac +=+．（1）求cos B 的值；（2）若1,87cosA a ==，求b 以及ABC S ∆的值．17．已知()222210x y C a b a b+=>>：的短轴长离心率为12，圆222:O x y b +=． （1）求椭圆C 和圆O 的方程；（2）过椭圆左焦点的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，165AB =，若直线l 于圆O 交于,M N 两点，求直线l 的方程及AOB ∆与OMN ∆的面积之比．18．已知函数()()x f x ax a e =+（其中 2.71828...e =），()22g x x bx =++，已知()f x 和()g x 在0x =处有相同的切线．（1）求函数()f x 和()g x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值；（3）判断函数()()()22F x f x g x =-+的零点个数，并说明理由．19．已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过点B 作平行于x 轴的直线BN ，交直线5x =于点N ，求证：直线AN 恒过定点．20．已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,...n n a a ++的最小值记为n B ，记n n n d A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为5,14 1,5n n n a n -≤≤⎧=⎨≥⎩，求数列{}n d 的通项公式； （2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件；（3）若n n d a =对任意n *∈N 恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =．参考答案1．B【分析】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即2a b =，再根据椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即2a b =，则椭圆的离心率为2c e a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的几何性质，合理应用,,a b c 的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．D【解析】试题分析：倾斜角135θ=tan 1k θ∴==-，直线方程截距式110y x x y =--∴++= 考点：斜截式直线方程点评：直线斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则直线方程为y kx b =+，求直线方程最终结果整理为一般式方程3．A【详解】直线2x –3y +1=0的斜率为2,3则直线l 的斜率为3,2- 所以直线l 的方程为32(1).3210.2y x x y -=-++-=即故选A4．A【解析】由题意得，方程221x y m m-=表示双曲线，则0m <或0m >， 所以“0m >”是方程“221x y m m-=表示双曲线”的充分不必要条件，故选A . 5．B【分析】结合椭圆第一定义列出|MF 1|+|MF 2|＝4，联立求解|MF 1|和|MF 2|，再判断△MF 1F 2三边关系即可【详解】 由题可知121214MF MF MF MF ⎧⎪⎨+⎪⎩－＝＝，解得125232MF MF ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，又因122F F =，2221221F F MF MF +=，所以△MF 1F 2为直角三角形答案选B【点睛】本题考查椭圆的基本性质，结合第一定义解题往往是圆锥曲线解题优先考虑的步骤 6．A【解析】椭圆2222x y +=，即为2212x y +=，则椭圆的1a b ==，则由OP 为12PF F ∆的中线，即有()1212PO PF PF =+，则122PF PF PO +=，可设(),P x y ，则2212x y +=，即有2122PO x ===，当0x =时，取得最小值1，则12PF PF +的最小值为2，故选A.7．D【解析】由题意得，圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =.因为OAB ∆为正三角形，则圆心O 到直线0x y m -+=的距离为22r =，即d ===m m =，故选D . 8．A 【详解】根据向量的运算得到()1··.4BD CD BC CD CD BC CD ⋅=+=+ 设BC=x,211,cos 244x x BCD BC CD θθ-+∠=⋅=-+= ()0,2x ∈,代入上式得到结果为31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：A 。
2020-2021学年北京市首师大附中1-4班高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京市首师大附中1-4班高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．（3分）双曲线的方程为，则其离心率为（）A．B．C．D．2．（3分）已知直线l1：kx+（4﹣k）y+1＝0与l2：2kx﹣2y+3＝0平行，则k的值是（）A．1或0B．5C．0或5D．1或53．（3分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α4．（3分）将6枚相同的硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币（）种．A．6B．12C．18D．365．（3分）圆E：x2+y2＝1与圆F：x2+y2﹣4x﹣4y+4＝0的公切线的条数为（）A．1B．2C．3D．46．（3分）双曲线﹣y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．D．7．（3分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过点F1的直线与C交于A，B 两点．若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝18．（3分）如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，底面半径为1m，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为（）A．4B．4m C．2D．2m9．（3分）要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻）（）A．84B．54C．42D．1810．（3分）佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，形形色色，玲珑夺目．图1的▱ABCD由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（4分）在（+）6的展开式中，常数项为（用数字作答）．12．（4分）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则＝．13．（4分）某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成（不一定相邻），但不能同时进行，为了节省加工时间，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有种．（用数字作答）14．（4分）若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1＜t＜4；②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；③曲线C不可能是圆；④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则．其中真命题的序号为（把所有正确命题的序号都填在横线上）．15．（4分）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种．16．（4分）设F1为椭圆C：+y2＝1的左焦点，P为椭圆C上给定一点，以PF1为直径作圆Γ，点Q为圆Γ上的动点，则坐标原点O到Q的距离的最大值为．17．（4分）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E为棱AD中点，现有一只蚂蚁从点B1出发，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上行走一周后再回到点B1，这只蚂蚁在行走过程中与平面A1BE的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为．18．（4分）关于曲线C：x2﹣xy+y2＝4，给出下列四个结论：①曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称；②曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③曲线C上任意一点都不在圆x2+y2＝3的内部；④曲线C．上任意一点到原点的距离都不大于2．其中，正确结论的序号是．三、解答题（本大题共4小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（9分）如图所示，平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥平面ABCD，M，N 分别为CB，CC′的中点（Ⅰ）求证：MN∥平面ACD′；（Ⅱ）求证：C′D⊥平面ACD′；（Ⅲ）求点B到平面ACD′的距离．20．（8分）已知点O为坐标原点，A（﹣6，0），动点P使得|PO|：|P A|＝1：2．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点P的轨迹为Γ，过点Q（4，4）的直线l与Γ交于两点A、B，求直线l的方程．21．（11分）四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，P A＝AB＝AD＝2，点E是棱PC上一点．（Ⅰ）求证：平面P AC⊥平面BDE；（Ⅱ）当E为PC中点时，求二面角A﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）若直线BE与平面P AC所成的角为45°时，求CE．22．（10分）已知椭圆C：+y2＝1（其中a＞0）的右焦点为F（1，0），直线l过点F与椭圆C交于A，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴长和离心率；（Ⅱ）求△AOB的面积的最大值；（Ⅲ）若△AOB为直角三角形，求直线l的方程．2020-2021学年北京市首师大附中1-4班高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析
6.已知长方体 ，下列向量的数量积一定不为0的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正方体几何性质计算出数量积为零的选项，根据长方体的性质证明数量积一定不为零的选项.
【详解】当长方体 为正方体时，根据正方体的性质可知：
，
所以 、 、 .
根据长方体的性质可知： ，所以 与 不垂直，即 一定不为 .
20.如图1，矩形 ， 点 为 的中点，将 沿直线 折起至平面 平面 （如图2），点 在线段 上， 平面 .
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小；
（3）若在棱 分别取中点 ，试判断点 与平面 的关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） 平面 ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）设 ，连接 ，由线面平行的性质可得 ，可得 ，由 可得 ，即可证明；
【答案】
【解析】
【分析】
由 求出a,再根据平行线间的距离公式求解即可
【详解】因为 ，
所以 ，
解得 ，
故
由平行线间的距离公式知 ，
故答案为：
15.已知正四面体 的棱长为 ，点 是 的中点，点 在线段 上，则下面四个命题中：
① ，
② ，
③ ， 与 不垂直
④ ，直线 与平面 夹角正弦的最大值为
所有不正确的命题序号为_______.
【解析】
【分析】
根据直线与平面所成角及充分条件、必要条件求解即可.
【详解】直线 ， 与平面 所成角相等,推不出直线 ， 平行，例如平面内任意两直线与平面所成角都为0，但是直线可以相交；
当直线 ， 平行时，直线与平面所成角相等成立，