2019年湖北省襄阳市中考数学试卷
专题04 分式-湖北省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版)
专题04 分式一、单选题1．（2021·湖北黄石市·中考真题）函数()02y x =+-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥- B ．2x >C ．1x >-且2x ≠D ．1x ≠-且2x ≠【答案】C 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解． 【详解】 解：函数()02y x =+-的自变量x 的取值范围是： 10x +>且20x -≠，解得：1x >-且2x ≠， 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2．（2021·湖北随州市·中考真题）下列运算正确的是（ ） A ．22a a -=- B ．235a a a +=C ．236a a a ⋅=D ．()326a a =【答案】D 【分析】根据负指数运算法则可判断A ，根据同类项的定义可判断B ，根据同底数幂的乘法可判断C ，根据幂的乘方可判断D 【详解】 A . 2221aa a -=≠-，故选项A 计算不正确； B . 2a 与3a 不是同类项不能合并，235a a a +≠，故选项B 计算不正确；C . 232356a a a a a +⋅==≠，故选项C 计算不正确；D . ()23236a a a ⨯==，故选项D 正确．故选择D ． 【点睛】本题考查负整指数运算，同类项识别与合并，同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握负整指数运算，同类项识别与合并，同底数幂的乘法，幂的乘方是解题关键．3．（2020·湖北黄石市·中考真题）函数13y x =+-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x ≥，且3x ≠ B ．2x ≥ C ．3x ≠D ．2x >，且3x ≠【答案】A 【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解． 【详解】依题意可得x -3≠0，x -2≥0 解得2x ≥，且3x ≠ 故选A ． 【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质． 4．（2020·湖北随州市·中考真题）222142x x x÷--的计算结果为（ ） A ．2x x + B ．22xx + C ．22xx - D ．2(2)x x +【答案】B 【分析】先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果． 【详解】222142x x x÷-- =21(2)(2)(2)x x x x ÷+--=()()()2·222x x x x -+-=22xx +． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分式的除法，约分是解答的关键．5．（2020·湖北孝感市·中考真题）已知1x =，1y =，那么代数式()32x xy x x y --的值是（ ）A ．2BC ．4D ．【答案】D 【分析】先按照分式四则混合运算法则化简原式，然后将x 、y 的值代入计算即可． 【详解】解：()32x xy x x y --=()()()x x y x y x x y +--11 故答案为D ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据分式四则混合运算法则化简分式是解答本题的关键． 6．（2020·湖北荆门市·中考真题）下列等式中成立的是（ ） A ．()326339x yx y -=-B ．2221122x x x +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2+=+D ．111(1)(2)12x x x x =-++++【答案】D 【分析】根据幂的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则计算即可． 【详解】 解：A 、()3263327x yx y -=-，故选项A 错误；B 、22222122411412x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-+=- 2221214x x x x ++-+-=x =，故选项B 错误；C⎫=+===6=-故选项C 错误； D 、112112(1)(2)(1)(2)x x x x x x x x ++-=-++++++ 21(1)(2)x x x x +--=++1(1)(2)x x =++，故选项D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查了的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．7．（2019·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）函数11=+y x 自变量x 的取值范围是（ ） A ．23x ≤B ．23x ≥C ．23x <且1x ≠- D ．23x ≤且1x ≠-【答案】D 【分析】根据分式及二次根式有意义的条件解答即可. 【详解】∵11=-+y x ∵x+1≠0，2-3x≥0， 解得：23x ≤且1x ≠-， 故选D. 【点睛】本题考查分式及二次根式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0；要使二次根式有意义，被开方数大于等于0.8．（2019·湖北黄石市·在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1≥x 且2x ≠ B ．1x ≤C ．1x >且2x ≠D ．1x <【答案】A 【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】依题意，得x -1≥0且x -2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故选A ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（2019·湖北孝感市·中考真题）已知二元一次方程组1249x y x y +=⎧⎨+=⎩，则22222x xy y x y -+-的值是（ ） A ．5- B ．5C ．6-D ．6【答案】C 【分析】解方程组求出x 、y 的值，对所求式子进行化简，然后把x 、y 的值代入进行计算即可. 【详解】1249x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， 2②-①×得，27y =，解得72y =， 把72y =代入①得，712x +=，解得52x =-，∵222222()()()x xy y x y x y x y x y -+-=-+-572261x y x y ---===-+， 故选C. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，分式化简求值，正确掌握相关的解题方法是关键.二、填空题10．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：(1012a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b =_____________． 【答案】2 【分析】利用负整数指数幂和零指数幂求出a 的值，利用平方差公式，求出b 的值，进而即可求解． 【详解】解：∵(112213a -⎛⎫=+ =⎪+⎝=⎭，221b ==-=，=2=，故答案是：2．本题主要考查二次根式求值，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂以及平方差公式，是解题的关键．11．（2021·湖北黄冈市·这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设12a =，12b =，则1ab =，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++．则1210S S S +++=____．【答案】10 【分析】先根据1ab =求出1111n n nS a b =+++（n 为正整数）的值，从而可得1210,,,S S S 的值，再求和即可得．【详解】 解：1ab =，111111()1nn n n n n na S ab a a b ∴=+=+++++（n 为正整数）， 11()n n n n a a a ab =+++， 111nnna a a =+++， 1=，12101S S S ===∴=， 则121010S S S +++=，故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键． 12．（2020·湖北黄冈市·中考真题）计算：221yx x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是____________．【答案】1x y-先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得． 【详解】 解：221y x x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭()()yx y x x y x y x y x y ⎛⎫+=÷- ⎪+-++⎝⎭()()yyx y x y x y=÷+-+ ()()yx yx y x y y+=⋅+- 1x y=-， 故答案为：1x y-．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 13．（2020·湖北武汉市·中考真题）计算2223m nm n m n--+-的结果是________． 【答案】1m n- 【分析】根据分式的减法法则进行计算即可． 【详解】 原式2()3()()()()m n m nm n m n m n m n ---+=+--223()()m n m nm n m n --=++-()()m nm n m n =++-1m n=- 故答案为：1m n-． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，熟记运算法则是解题关键． 14．（2019·湖北武汉市·中考真题）计算221164a a a ---的结果是___________ 【答案】14a + 【分析】先通分，然后根据同分母分式加减法法则进行计算即可. 【详解】原式=()()()()244444a a a a a a +-+-+- =()()()2444a a a a -++-=()()444a a a -+- =14a +， 故答案为14a +. 【点睛】本题考查了异分母分式的加减法，熟练掌握异分母分式加减法的运算法则是解题的关键.三、解答题15．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）先化简，再求值：222414816a a a a a ---÷+++，其中2a =．【答案】22-+a ，【分析】先对分式进行化简，然后再代入进行求解即可． 【详解】解：原式=()()()242421142222a a a a a a a a +-+-+-⨯=-=-+++；把2a =代入得：原式==【点睛】本题主要考查二次根式的运算及分式的化简求值，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．16．（2021·湖北黄石市·中考真题）先化简，再求值：2111a a a -⎛⎫÷ ⎪⎝⎭-，其中31a．【答案】11a +【分析】先算括号内的减法，再把除法化为乘法，然后因式分解，约分化简，代入求值，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】 解：原式=1(1)(1)()a a a a a a1(1)(1)a aa a a1=1a +，将31a 代入，原式===． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握因式分解，分式的通分，约分，二次根式的化简是解题的关键．17．（2021·湖北襄阳市·中考真题）先化简，再求值：2211x x x x x ++⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，其中1x =．【答案】11x x +-；1+【分析】将被除数中分子因式分解，括号里先通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，然后约分，得到最简结果，代入x 的值计算即可．【详解】解：原式()2211x x xx x +⎛⎫=÷- ⎪⎝⎭， ()2211x x xx+-=÷，()()()2111x xx x x +=⋅+-，11x x +=-．当1x =时，原式1===【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应先将多项式因式分解后再约分．18．（2021·湖北中考真题）（1）计算：0(346)⨯- （2）解分式方程：212112x x x+=--． 【答案】（1）8；（2）1x =． 【分析】（1）先计算零指数幂、去括号、立方根、化简二次根式，再计算实数的混合运算即可得； （2）先将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得． 【详解】解：（1）原式1462⨯--+=44=+，8=；（2）212112xx x+=--， 方程两边同乘以21x -得：221x x -=-， 移项、合并同类项得：33x -=-，系数化为1得：1x =，经检验，1x =是原分式方程的解， 故方程的解为1x =． 【点睛】本题考查了零指数幂、立方根、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握各运算法则和方程的解法是解题关键．19．（2021·湖北鄂州市·中考真题）先化简，再求值：2293411x x x x x x-+÷+--，其中2x =．【答案】1x x +，32【分析】先通过约分、通分进行化简，再把给定的值代入计算即可． 【详解】 解：原式()()()313341x x x x x xx -=⨯++--+1x x+=， 当2x =时，原式32=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握因式分解，正确进行约分、通分．20．（2021·湖北荆州市·中考真题）先化简，再求值：2221211a a a a a ++⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中a =【答案】1a a + 【分析】先计算括号内的加法，然后化除法为乘法进行化简，继而把a =代入求值即可． 【详解】解：原式=()()21111a a a a a ++⎛⎫÷ ⎪--⎝⎭()()211=1+1a a a a a +-⎛⎫ ⎪-⎝⎭1=a a+当a =6【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．21．（2021·湖北随州市·中考真题）先化简，再求值：2141122x x x -⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中1x =． 【答案】22x -，-2 【分析】（1）先把括号里通分合并，括号外的式子进行因式分解，再约分，将x=1代入计算即可． 【详解】 解：原式()()()21221222x x x x x x ++=⋅=++-- 当1x =时，原式2212==-- 【点睛】本题考查了分式的化简求值，用到的知识是约分、分式的加减，熟练掌握法则是解题的关键． 22．（2021·湖北宜昌市·中考真题）先化简，再求值：2211111x x x ÷--+-，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的x 代入求值． 【答案】11x -，1或12【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算即可． 【详解】 解：原式21(1)(1)(1)1x x x x =⋅+--+-11x =-．∵当2x =时，原式1=． 或当3x =时，原式12=．（选择一种情况即可） 【点睛】本题考查了分式的化简求值，要了解使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 23．（2021·湖北十堰市·中考真题）化简：22214244a a a a a a a a +--⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭． 【答案】21(2)a -【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法运算，进行约分，即可求解． 【详解】 解：原式=221(2)(2)4a a aa a a a ⎛⎫+--⋅⎪---⎝⎭=()()()22221(2)(2)4a a a a a a a a a a +--⎛⎫-⋅ ⎪---⎝⎭ =2224(2)4a a a a a a a --+⋅-- =24(2)4a aa a a -⋅--=21(2)a -【点睛】本题主要考查分式的化简，掌握分式的通分和约分，是解题的关键．24．（2020·湖北荆州市·中考真题）先化简，再求值2211121a a a a -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭：其中a 是不等式组22213a a a a -≥-⎧⎨-<+⎩①②的最小整数解； 【答案】1a a +，32先利用分式的混合运算法则化简分式，再解不等式组的解集求出最小整数解，代入即可解之． 【详解】解：原式=21(1)(1)(1)a a a a a -+⋅+-1a a +=，解不等式组22213a a a a -≥-⎧⎨-<+⎩①②，解不等式①得：2a ≥， 解不等式②得：4a <， ∵不等式组的解集为24a ≤<， ∵a 的最小值为2 ∵原式=21322+=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、解一元一次不等式组的解集，熟练掌握分式的混合运算法则，会求一元一次不等式组的整数解是解答的关键．25．（2020·湖北黄石市·中考真题）先化简，再求值：222111x x xx x ++---，其中5x =． 【答案】11x -，14． 【分析】先根据分式的减法法则进行化简，再将5x =代入求值即可． 【详解】原式2(1)(1)(1)1x xx x x +=-+-- 111x xx x +=--- 11x x x +--=11x =- 将5x =代入得：原式11514==-．本题考查了分式的减法运算与求值，熟练掌握分式的减法运算法则是解题关键．26．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）（1）先化简，再求值：22244422a a a a a a -+-÷-，其中1a =-． （2）解不等式组32235733x x x x +>-⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】（1）22a +，2；（2）24x -<≤，数轴见解析 【分析】（1）首先把分式的分子和分母分解因式，把除法去处转化成乘法运算，再把a 代入计算即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】（1）22244422a a a a a a-+-÷- 2(2)2(2)(2)(2)a a a a a a -=⋅-+- 22a =+， 当1a =-时， 原式2212==-+；（2）解：由322x x +>-得：2x >-， 由35733x x --得：4x ≤， ∵不等式组的解集为：24x -<≤． 在数轴上表示如下：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及分式的化简求值，正确对分式进行通分、约分是关键．27．（2020·湖北中考真题）先化简，再求值：22221244a b a b a b a ab b---÷+++，其中3,3a b ==．【答案】ba b-+， 【分析】利用完全平方公式、平方差公式和通分等方法将原分式化简成ba b-+，再将a 、b 的值代入化简后的分式中即可得出结论． 【详解】 解：原式()()()2122a b a b a b a b a b +--=-÷++ ()()()2212a b a ba b a b a b +-=-⨯++- 21a ba b+=-+ ba b=-+，当3,3a b ==时，原式==【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．28．（2020·湖北宜昌市·中考真题）先化简，再求值：20441(1)12x x x x x x ++----+，其中2020x =．【答案】1x +；2021 【分析】先把244x x ++分解因式，再进行约分化简，最后把x=2020代入进行计算即可． 【详解】20441(1)12x x x x x x ++-⋅---+2(2)1112x x x x +-=⋅--+21x =+-1x =+当2020x =时， 原式20201=+2021=．【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值，在化简过程中要注意运算顺序和分式的化简，注意运算的结果要化成最简分式或整式．29．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）先化简，再求值：222936933m m m m m m ⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭，其中m =．【答案】1m 【分析】根据分式的混合运算法则，先化简括号内的，将除法运算转化为乘法运算，再化简成最简分式，代入m 值求解即可． 【详解】222936933m m m m m m ⎛⎫--÷⎪-+--⎝⎭ 22(3)(3)33(3)3m m m m m m ⎡⎤+--=-⋅⎢⎥--⎣⎦ 2333()33m m m m m +-=-⋅-- 233m m m m -=⋅- 1m =；当m =2==． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的化简，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键.30．（2020·湖北鄂州市·中考真题）先化简2224421111x x x x x x x -+-÷+-+-，再从2-，1-，0，1，2中选一个合适的数作为x 的值代入求值． 【答案】2x，-1． 【分析】先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定x 的值并代入计算即可． 【详解】解：2224421111x x x x x x x -+-÷+-+- =()()()()22111121x x x x x x x -+⨯++---=()2111x x x x -+--=()()211x x x x x x-+--=()221x x x -- =()()211x x x --=2x在2-、1-、0、1、2中只有当x=-2时，原分式有意义，即x 只能取-2 当x=-2时，2212x ==--． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的x 的值是解答本题的关键． 31．（2019·湖北鄂州市·中考真题）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x 的值代入求值．2222444424x x x x x x x ⎛⎫---÷ ⎪-+--⎝⎭. 【答案】x+2；当1x =-时，原式=1.【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可． 【详解】解：原式()()22244242x x x x x x ⎡⎤--=-÷⎢⎥---⎢⎥⎣⎦ 244224xx x x x -⎡⎤=-÷⎢⎥---⎣⎦()()22424x x x x x -+-=⋅-- 2x =+∵20x -≠，40x -≠， ∵2x ≠且4x ≠， ∵当1x =-时， 原式121=-+=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．32．（2019·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）先化简，再求值：22111211+÷-++++x x x x x，其中1x .【答案】21x +【分析】把被除式分母利用完全平方公式因式分解，按照分式除法的运算法则计算，再通分整理可得最简结果，把x 的值代入计算即可. 【详解】 原式()()()221111x x x x +=⨯+--+()()211111x x x x x +-+=-++22111x x x +-+=+ 21x =+当1x =时，原式==. 【点睛】本题考查分式的计算——化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键.33．（2019·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）（1）计算：20(2)|3|(6)----； （2）解分式方程：22511x x =--． 【答案】(1)6;(2)x=32【解析】【分析】（1）先计算乘方、去绝对值符号、计算二次根式的乘法及零指数幂，再计算加减可得；（2）去分母化分式方程为整式方程，解之求得x 的值，再检验即可得．【详解】解：（1）原式＝43416-++=；（2）两边都乘以()()11x x +-，得：()215x +=， 解得：32x =， 检验：当32x =时，()()51104x x +-=≠， ∴原分式方程的解为32x =． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算与解分式方程，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法法则及解分式方程的步骤．34．（2019·湖北荆州市·中考真题）先化简2211a a a a⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，然后从22a -≤<中选出一个合适的整数作为a 的值代入求值．【答案】-1【分析】 先化简，再选出一个合适的整数代入即可，要注意a 的取值范围.【详解】 解：2211a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ (1)(1)12a a a a a ---=•- 1(1)12a a a a a -+-=•- 2a =， 当2a =-时，原式212-==-． 【点睛】 本题考查的是代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键.35．（2019·湖北宜昌市·中考真题）已知：x y ≠，8y x =-+，求代数式22x y x y y x+--的值． 【答案】8【分析】先根据分式加减运算法则化简原式，再将8y x =-+代入计算可得．【详解】 原式2222x y x y x y y x x y x y =+=-----()()22x y x y x y x y x y x y+--===+--， 当x y ≠，8y x +=-时，原式()88x x +-+==．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．36．（2019·湖北黄石市·中考真题）先化简，再求值：2321222x x x x x -+⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =. 【答案】11x x +-，3. 【分析】 根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】原式=2234(1)222x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪+++⎝⎭=221(1)22x x x x --÷++=2(1)(1)22(1)x x x x x +-+⋅+-=11x x +-， ∵|x|=2时，∵x=±2，由分式有意义的条件可知：x=2，∵原式=3．【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．37．（2019·湖北荆门市·中考真题）先化简，再求值：2222224333a b a b a a a b a b a bb +-⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭•，其中a b = 【答案】103【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a b 、的值代入进行计算即可．【详解】 原式2()43()3()()a b ab a b a b a b +=--+- 22()43()()a b ab a b a b +-=+-，()2223()()a b a b a b +=+-，当a b == 原式103==． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．38．（2019·湖北中考真题）先化简，再求值：21112a a a ⎛⎫+⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1a =．【分析】 根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】21112a a a ⎛⎫+⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2112a a a a a-+-=÷ 21(1)a a a a -=⋅- 11a =-，当1a =时，原式== 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．39．（2019·湖北黄冈市·中考真题）先化简，再求值．2222225381a b b a b b a a b ab+⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，其中a =1b =．【答案】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：原式=()225381a b b a b ab a b +-÷-+ ()()()()5a b ab a b a b a b -=⋅++- 5ab =，当a =1b =时，原式=．【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则.。
2019年数学中考试卷(含答案)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
24．某公司销售两种椅子，普通椅子价格是每把 180 元，实木椅子的价格是每把 400 元． (1)该公司在 2019 年第一月销售了两种椅子共 900 把，销售总金额达到了 272000 元，求两 种椅了各销售了多少把？ (2)第二月正好赶上市里开展家俱展销活动，公司决定将普通椅子每把降 30 元后销售，实 木椅子每把降价 2a%(a＞0)后销售，在展销活动的第一周，该公司的普通椅子销售量比上
22．4 月 18 日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行 ，如图，广场上有一风筝 A，小 江抓着风筝线的一端站在 D 处，他从牵引端 E 测得风筝 A 的仰角为 67°，同一时刻小芸在 附近一座距地面 30 米高(BC＝30 米)的居民楼顶 B 处测得风筝 A 的仰角是 45°，已知小江 与居民楼的距离 CD＝40 米，牵引端距地面高度 DE＝1.5 米，根据以上条件计算风筝距地
7．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
解：A 选项中，根据对顶角相等，得 1与 2 一定相等； B、C 项中无法确定 1与 2 是否相等；
D 选项中因为∠1=∠ACD，∠2＞∠ACD，所以∠2＞∠1． 故选：D
8．A
解析：A 【解析】
【分析】
【详解】
该班男生有
x
人，女生有
y
人．根据题意得：
x y 30 3x 2y 78
2019年全国中考数学真题分类汇编：正多边形、弧长与扇形面积(含答案)
2019年全国中考数学真题分类汇编：正多边形、弧长与扇形面积一、选择题1.（2019年山东省青岛市）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．πB．2πC．2πD．4π【考点】切线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、弧长的计算【解答】解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．2.（2019年山东省枣庄市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A ．8﹣πB ．16﹣2πC ．8﹣2πD ．8﹣π【考点】正方形的性质、扇形的面积【解答】解：S 阴＝S △ABD ﹣S 扇形BAE ＝×4×4﹣＝8﹣2π， 故选：C ．3. （2019年云南省）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）A.48πB.45πC.36πD.32π【考点】圆锥的全面积【解答】设圆锥底面圆的半径为r ，母线长为l ，则底面圆的周长等于半圆的弧长8π，∴ ππ82=r ，∴4=r ，圆锥的全面积等于πππππ4832162=+=+=+r rl S S 底侧， 故选A4. (2019年浙江省温州市)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π【考点】弧长公式计算．【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π． 故选：C ．5. （2019年湖北省荆州市）如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在上的点D 处，且l ：l ＝1：3（l 表示的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A ．1：3B ．1：πC ．1：4D ．2：9【考点】圆锥的侧面积【解答】解：连接OD 交OC 于M ．由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°，∴∠OAM＝30°，∴∠AOM＝60°，∵且：＝1：3，∴∠AOB＝80°设圆锥的底面半径为r，母线长为l，＝2πr，∴r：i＝2：9．故选：D．6. （2019年西藏）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm【考点】圆锥的侧面积【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA＝OB＝90cm，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OE＝OA＝45cm，∴弧CD的长＝＝30π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝30π，解得r＝15．故选：A．二、填空题1.（2019年重庆市）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【考点】扇形面积公式、菱形的性质【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，∴AO＝AB＝1，由勾股定理得，OB＝＝，∴AC＝2，BD＝2，∴阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，故答案为：2﹣π．2. （2019年山东省滨州市）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．【考点】正多边形和圆、等边三角形的判定与性质、三角函数【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G；则OG＝2，∵六边形ABCDEF正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴OA＝＝＝，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．故答案为：．3. （2019年山东省青岛市）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．【考点】正多边形和圆、圆周角定理【解答】解：连接AD，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠ABC＝∠C＝108°，∴∠ABD＝72°，∴∠F＝∠ABD＝72°，∴∠FAD＝18°，∴∠CDF＝∠DAF＝18°，∴∠BDF＝36°+18°＝54°，故答案为：54．4. （2019年广西贵港市）如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为______．【考点】圆锥面积公式【解答】解：连接AB ，过O 作OM ⊥AB 于M ，∵∠AOB=120°，OA=OB ，∴∠BAO=30°，AM=， ∴OA=2，∵=2πr ， ∴r=故答案是：5. （2019年广西贺州市）已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是度．【考点】圆锥面积公式【解答】解：设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a ＝4，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n °，根据题意得2π•1＝，解得n ＝90，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°．故答案为：90．6. （2019年江苏省泰州市）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm ，则该莱洛三角形的周长为 cm ．【考点】扇形弧长公式【解答】∵l=180R n π=1806120⨯π=4π, ∴4π×3=12π. 故答案为：12π.7.（2019年江苏省无锡市）已知圆锥的母线成为5cm ，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为 cm ．【考点】圆锥侧面积【解答】圆锥底面圆的半径r=15π÷5π=3.8. （2019年江苏省扬州市）如图，AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n=__15_。
2019年湖北省武汉市中考数学试卷(含答案)
11．（3分）（2019•武汉）计算：﹣2+（﹣3）=﹣5．
考点：
有理数的加法
分析：
根据有理数的加法法则求出即可．
解答：
解：（﹣2）+（﹣3）=﹣5，
故答案为：﹣5．
点评：
本题考查了有理数加法的应用，注意：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加．
12．（3分）（2019•武汉）分解因式：a3﹣a=a（a+1）（a﹣1）．
按此规律第5个图中共有点的个数是（ ）
A．
31
B．
46
C．
51
D．
66
考点：
规律型：图形的变化类
分析：
由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．
考点：
概率公式
分析：
由一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，红色的有3个扇形，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：
解：∵一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，红色的有3个扇形，
∴指针指向红色的概率为： ．
故答案为： ．
点评：
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
解答：
解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，
2019年湖北省荆州中考数学试卷(含答案与解析)
数学试卷 第1页（共22页） 数学试卷 第2页（共22页）绝密★启用前湖北省荆州市2019年中考试卷数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1.（3分）下列实数中最大的是（ ）A .32B .πC .15D .||4- 2.（3分）下列运算正确的是（ ）A .1233x x -=B .()326a aa -=-gC .()()515+14-=D .()224a a -=3.（3分）已知直线M N ∥，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置()30ABC =o∠，其中A ，B 两点分别落在直线M ，N 上，若140=o∠，则2∠的度数为（ ）A .10oB .20oC .30oD .40o4.（3分）某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A .该几何体是长方体B .该几何体的高是3C .底面有一边的长是1D .该几何体的表面积为18平方单位5.（3分）如图，矩形ABCD 的顶点A ，B ，C 分别落在MON ∠的边OM ，ON 上，若OA OC =，要求只用无刻度的直尺作MON ∠的平分线.小明的作法如下：连接AC ，BD 交于点E ，作射线OE ，则射线OE 平分MON ∠.有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”.小明的作法依据是（ ） A .①②B .①③C .②③D .①②③6.（3分）若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是 （ ） A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根C .无实数根D .无法确定7.（3分）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,3，以原点为中心，将点A 顺时针旋转30︒得到点'A ，则点'A 的坐标为（ ）A .()3,1B .()3,1-C .()2,1D .()0,28.（3分）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、丙三位同学的平均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（ ）A .四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高B .丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高C .丁同学的身高为1.71米D .四位同学身高的众数一定是1.65 9.（3分）已知关于x 的分式方程211x kx x-=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ）A .20k -＜＜B .2k -＞且1k ≠-C .2k -＞D .2k ＜且1k ≠10.（3分）如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将OAC△沿AC 折叠，点O 恰好落在»AB 上的点D 处，且¼¼11:=1:3BD AD （¼1BD 表示»BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ） A .1:3 B .1:π C .1:4D .2:9二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.（3分）二次函数224+5y x x =--的最大值是 .12.（3分）如图①，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4 cm ，E ，F ，G 分别是AB ，1AA ，AD 的中点，截面EFG 将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为 2cm .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共22页）数学试卷 第4页（共22页）13.（3分）对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()x ，即当N 为非负整数时，若0.5+0.5n x n -≤＜，则()x n =.如()1.341=，()4.86=5.若()0.516x -=，则实数x的取值范围是 .14.（3分）如图，灯塔A 在测绘船的正北方向，灯塔B 在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行20海里后，恰好在灯塔B 的正南方向，此时测得灯塔A 在测绘船北偏西63.5o 的方向上，则灯塔A ，B 间的距离为 海里（结果保留整数）.（参考数据sin26.50.45︒≈ cos26.50.90︒≈，tan26.50.50︒≈，5 2.24≈）15.（3分）如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，过B 点的切线交AC 的延长线于点D ，E 为弦AC 的中点，10AD =，6BD =，若点P 为直径AB 上的一个动点，连接EP ，当AEP △是直角三角形时，AP 的长为 .16.（3分）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线1y k x =平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A ，B 两点，过B 点的双曲线2k y x=的一支交其中两个正方形的边于C ，D 两点，连接OC ，OD ，CD ，则OCD S △＝ . 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.（8分）已知：()()313+1||+12a =--，1182sin 45+2b ⎛⎫=-︒ ⎪⎝⎭﹣，求b a -的算术平方根.18.（8分）先化简2211a a a a⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，然后从22a -≤＜中选出一个合适的整数作为a 的值代入求值.19.（8分）如图①，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 为正方形ABCD 的中心，点C ，D 分别在OE 和OF 上，现将OEF △绕点O 逆时针旋转α角()090α︒︒＜＜，连接AF ，DE （如图②）.（1）在图②中，AOF =∠ ；（用含α的式子表示） （2）在图②中猜想AF 与DE 的数量关系，并证明你的结论.数学试卷 第5页（共22页） 数学试卷 第6页（共22页）20.（8分）体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：组别 个数段频数 频率 1 010x ≤＜5 0.1 2 1020x ≤＜ 21 0.42 3 2030x ≤＜ a43040x ≤＜b（1）表中的数a = ，b = ； （2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；（3）排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率.21.（8分）若二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的顶点在一次函数()0y kx t k =+≠的图象上，则称()20y ax bx c a =++≠为()0y kx t k =+≠的伴随函数，如：21y x =+是1y x =+的伴随函数.（1）若24y x =-是y x p =-+的伴随函数，求直线y x p =-+与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数()30y mx m =-≠的伴随函数22y x x n =++与x 轴两个交点间的距离为4，求m ，n 的值.22.（10分）如图，AB 是O e 的直径，点C 为O e 上一点，点P 是半径OB 上一动点（不与O ，B 重合），过点P 作射线l AB ⊥，分别交弦BC ，»BC于D ，E 两点，在射线l 上取点F ，使FC FD =. （1）求证：FC 是O e 的切线；（2）当点E 是»BC的中点时， ①若60BAC =︒∠，判断以O ，B ，E ，C 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由； ②若3tan 4ABC =∠，且20AB =，求DE 的长.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------23.（10分）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动.在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3 000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师.（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为()6,0，()4,3，经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为()1,0.（1）求该抛物线的解析式；（2）若AOC∠的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE PF+的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由.数学试卷第7页（共22页）数学试卷第8页（共22页）数学试卷 第9页（共22页） 数学试卷 第10页（共22页）湖北省荆州市2019年中考试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】解：∵3π|4|42<<-=， ∴所给的几个数中，最大的数是||4-． 故选：D ． 2.【答案】C【解析】解：A 、1233x x x -=，故本选项错误； B 、()325a a a -=-g ，故本选项错误； C、)11514=-=，故本选项正确；D 、()224a a -=-，故本选项错误；故选：C ． 3.【答案】B【解析】解：∵直线m n ∥， ∴21180ABC BAC ∠+∠+∠+∠=︒， ∵30ABC ∠=︒，90BAC ∠=︒，140∠=︒， ∴218030904020∠=︒-︒-︒-︒=︒， 故选：B ． 4.【答案】D【解析】解：A 、该几何体是长方体，正确； B 、该几何体的高为3，正确； C 、底面有一边的长是1，正确；D 、该几何体的表面积为：()212231322⨯⨯+⨯+⨯=平方单位，故错误， 故选：D ． 5.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AE CE =， 而OA OC =，∴OE 为AOC ∠的平分线．故选：C ． 6.【答案】A【解析】解：∵一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限， ∴0k ＞，0b ≤，∴240k b -=△＞，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ． 7.【答案】A【解析】解：如图，作AE x ⊥轴于E ，A F x '⊥轴于F ．∵90AEO OFA ∠=∠'=︒，30AOE AOA AOF ∠=∠'=∠'=︒ ∴AOE A ∠=∠'， ∵OA OA ='，∴()AOE OA F AAS '△≌△，∴OF AE ==1A F OE '==，∴)A '．故选：A ． 8.【答案】C数学试卷 第11页（共22页） 数学试卷 第12页（共22页）【解析】解：A 、四位同学身高的中位数可能是某两个同学身高的平均数，故错误； B 、丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高，错误； C 、丁同学的身高为1.654 1.633 1.71⨯-⨯=米，正确； D ．四位同学身高的众数一定是1.65，错误． 故选：C ． 9.【答案】B【解析】解：∵211x kx x-=--，∴21x k x +=-， ∴2x k =+， ∵该分式方程有解， ∴21k +≠， ∴1k ≠-， ∵0x ＞， ∴20k +＞， ∴2k ＞-， ∴2k ＞-且1k ≠-， 故选：B ． 10.【答案】D【解析】解：连接OD 交OC 于M ．由折叠的知识可得：12OM OA =，90OMA ∠=︒， ∴30OAM ∠=︒， ∴60AOM ∠=︒，∵且»»:1:3BDAD =， ∴80AOB ∠=︒设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，80π2π180lr =， ∴:2:9r l =． 故选：D ． 二、填空题 11.【答案】7【解析】解：()22245217y x x x =+=-+-+-， 即二次函数245y x x -=-+的最大值是7， 故答案为：7． 12.【答案】【解析】解：∵已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4cm ，E ，F ，G 分别是AB ，1AA ，AD 的中点，∴GF GE EF == 过G 作GH EF ⊥于H ，∴GH =，∴图②中阴影部分的面积21cm 2=⨯．故答案为：13.【答案】1315x ≤＜【解析】解：依题意得：60.50.5160.5x --+≤＜ 解得1315x ≤＜． 故答案是：1315x ≤＜． 14.【答案】22.4数学试卷 第13页（共22页） 数学试卷 第14页（共22页）【解析】解：由题意得，20MN =，63.5ANB ∠=︒，45BMN ∠=︒，90AMN BNM ∠=∠=︒，∴20BN MN ==，如图，过A 作AE BN ⊥于E ， 则四边形AMNE 是矩形， ∴20AE MN ==，EN AM =， ∵tan26.5200.5010AM MN =︒=⨯=g ， ∴201010BE =-=，∴22.4AB ==海里． 故答案为：22.4．15.【答案】4和2.56【解析】解：∵过B 点的切线交AC 的延长线于点D ， ∴AB BD ⊥，∴8AB ===，当90AEP ∠=︒时，∵AE EC =， ∴EP 经过圆心O ， ∴4AP AO ==；当90APE ∠=︒时，则EP BD ∥， ∴AP AEAB AD=， ∵2DB CD AD =g ，∴2363.610BD CD AD ===，∴10 3.6 6.4AC =-=，∴ 3.2AE =， ∴3.2810AP =， ∴ 2.56AP =．综上AP 的长为4和2.56． 故答案为4和2.56． 16.【答案】11948【解析】解：设()4,A t ，∵直线1y k x =平分这8个正方形所组成的图形的面积， ∴14412t ⨯⨯=+，解得52t =， ∴54,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把54,2A ⎛⎫⎪⎝⎭代入直线1y k x =得1542k =，解得158k =，∴直线解析式为58y x =，当2x =时，5584y x ==，则52,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，∵双曲线2ky x =经过点B ，∴255242k =⨯=，∴双曲线的解析式为5522y x x==，当2y =时，522x =，解得54x =，则5,24c ⎛⎫⎪⎝⎭；当3x =时，5526y x ==，则53,6D ⎛⎫⎪⎝⎭，∴1515155119323223262426448OCD S ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△．故答案为11948．三、解答题数学试卷 第15页（共22页） 数学试卷 第16页（共22页）17.【答案】解：∵)11|13111a =+=-=112sin 45222b -︒⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．∴211b a --．1=．18.【答案】解：2211a a a a ⎛⎫-÷⎪--⎝⎭(1)(1)12a a a a a ---=-g1(1)12a a a a a -+-=-g2a =， 当2a =-时，原式212-==-．19.【答案】解：（1）如图2， ∵OEF △绕点O 逆时针旋转α角， ∴DOF COE α∠=∠=， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴90AOD ∠=︒， ∴90AOF α∠=︒-； 故答案为90α︒-； （2）AF DE =． 理由如下：如图②，∵四边形ABCD 为正方形， ∴90AOD COD ∠=∠=︒，OA OD =， ∵DOF COE α∠=∠=， ∴AOF DOE ∠=∠，∵OEF △为等腰直角三角形， ∴OF OE =， 在AOF △和DOE △中0AO DO AOF DOE OF E =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AOF DOE SAS △≌△， ∴AF DE =．20.【答案】解（1）抽查了九年级学生数：50.150÷=（人），2030x ≤＜的人数：1445020360⨯=（人），即20a =， 3040x ≤＜的人数：50521204---=（人）， 40.0850b ==，故答案为20，0.08；（2）该九年级排球垫球测试结果小于10的人数()45010.1405⨯-=（人）， 答：该九年级排球垫球测试结果小于10的人数为405人； （3）列表如下∴2123205P ==（选出的人为一个男生一个女生的概率）． 21.【答案】解：∵24y x =-， ∴其顶点坐标为()0,4-，∵24y x =-是y x p =-+的伴随函数， ∴（0，-4）在一次函数y x p =-+的图象上， ∴40p -=+． ∴4p =-，∴一次函数为：4y x =--，∴一次函数与坐标轴的交点分别为()0,4-，()4,0-，数学试卷 第17页（共22页） 数学试卷 第18页（共22页）∴直线y x p =-+与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|4|4-=， ∴直线y x p =-+与两坐标轴围成的三角形的面积为：14482⨯⨯=．（2）设函数22y x x n =++与x 轴两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，则122x x +=-，12x x n =，∴12x x -==，∵函数22y x x n =++与x 轴两个交点间的距离为4， 4， 解得，3n =-，∴函数22y x x n =++为：()222314y x x x =+-=+-， ∴其顶点坐标为()1,4--，∵22y x x n =++是()30y mx m =-≠的伴随函数， ∴43m -=--， ∴1m =．22.【答案】解：（1）证明：连接OC ，∵OB OC =， ∴OBC OCB ∠=∠， ∵PF AB ⊥， ∴90BPD ∠=︒， ∴90OBC BDP ∠+∠=︒， ∵FC FD = ∴FCD FDC ∠=∠ ∵FDC BDP ∠=∠ ∴90OCB FCD ∠+∠=︒ ∴OC FC ⊥∴FC 是O e 的切线．（2）如图2，连接OC ，OE ，BE ，CE ，①以O ，B ，E ，C 为顶点的四边形是菱形．理由如下： ∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵60BAC ∠=︒，∴120BOC ∠=︒，∵点E 是»BC的中点， ∴60BOE COE ∠=∠=︒， ∵OB OE OC ==∴BOE △，OCE △均为等边三角形， ∴OB BE CE OC === ∴四边形BOCE 是菱形；②若3tan 4ABC ∠=，且20AB =，求DE 的长． ∵3tan 4AC ABC BC =∠=，设3AC k =，()40BC k k =＞， 由勾股定理得222AC BC AB +=，即()()2223420k k +=，解得4k =， ∴12AC =，16BC =，∵点E 是»BC的中点， ∴OE BC ⊥，8BH CH ==，∴OE BH OB PE ⨯=⨯，即10810PE ⨯=，解得：8PE =，由勾股定理得6OP ===， ∴1064BP OB OP =-=-=， ∵3tan 4DP ABC BP =∠=，即334344DP BP ==⨯= ∴835DE PE DP =-=-=．23.【答案】解：（1）设参加此次研学活动的老师有x 人，学生有y 人，依题意，得：1410156x yx y +=⎧⎨-=⎩，数学试卷 第19页（共22页） 数学试卷 第20页（共22页）解得：16234x y =⎧⎨=⎩．答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．（2）∵()234163575+÷=⋯⋯（辆）（人），1628÷=（辆），∴租车总辆数为8辆． 故答案为：8．（3）设租35座客车m 辆，则需租30座的客车()8m -辆，依题意，得：()()353082341640032083000m m m m ⎧+-+⎪⎨+-⎪⎩…„，解得：1252m 剟． ∵m 为正整数， ∴2,3,4,5m = ∴共有4种租车方案．设租车总费用为w 元，则()4003208802560w m m m =+-=+， ∵800＞，∴w 的值随m 值的增大而增大，∴当2m =时，w 取得最小值，最小值为2 720． ∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2 720元．24.【答案】解：（1）∵平行四边形OABC 中，()6,0A ，()4,3C ∴6BC OA ==，BC x ∥轴∴610B C x x =+=，3B C y y ==，即()10,3B 设抛物线2y ax bx c =++经过点B 、C 、()1,0D∴10010316430a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：19149139a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为211413999y x x =+（2）如图1，作点E 关于x 轴的对称点E '，连接E F '交x 轴于点P ∵()4,3C∴45OC == ∵BC OA ∥∴OEC AOE ∠=∠ ∵OE 平分AOC ∠ ∴AOE COE ∠=∠ ∴OEC COE ∠=∠ ∴5CE OC ==∴59E C x x =+=，即()9,3E ∴直线OE 解析式为13y x =∵直线OE 交抛物线对称轴于点F ，对称轴为直线：1497129x =⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴77,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵点E 与点E '关于x 轴对称，点P 在x 轴上 ∴()9,3E '-，PE PE '=∴当点F 、P 、E '在同一直线上时，PE PF PE PF FE ''+=+=最小 设直线E F '解析式为y kx h =+∴93773k h k h +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：8321k h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线E F '：8213y x =-+当82103x -+=时，解得：638x =∴当PE PF +的值最小时，点P 坐标为63,08⎛⎫⎪⎝⎭． （3）存在满足条件的点M ，N ，使得以点M ，N ，H ，E 为顶点的四边形为平行四边数学试卷 第21页（共22页） 数学试卷 第22页（共22页）形．设AH 与OE 相交于点1,3G t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，如图2 ∵AH OE ⊥于点G ，()6,0A ∴90AGO ∠=︒ ∴222AG OG OA +=∴()22222116633t t t t ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴解得：10t =（舍去），2275t =∴279,55G ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线AG 解析式为y dx e =+∴6027955d e d e +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：318d e =-⎧⎨=⎩∴直线AG ：318y x =-+当3y =时，3183x -+=，解得：5x = ∴()5,3H∴954HE =-=，点H 、E 关于直线7x =对称①当HE 为以点M ，N ，H ，E 为顶点的平行四边形的边时，如图2 则HE MN ∥，4MN HE ==∵点N 在抛物线对称轴：直线7x =上 ∴74M x =+或74M x =-，即11M x =或3 当3x =时，1141320999999M y =⨯+⨯-= ∴203,9M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或2011,9⎛⎫⎪⎝⎭②当HE 为以点M ，N ，H ，E 为顶点的平行四边形的对角线时，如图3 则HE 、MN 互相平分∵直线7x =平分HE ，点F 在直线7x =上∴点M 在直线7x =上，即M 为抛物线顶点 ∴114134974999M y =⨯+⨯-= ∴()7,4M综上所述，点M 坐标为203,9⎛⎫ ⎪⎝⎭、2011,9⎛⎫⎪⎝⎭或()7,4．。
2019全国中考数学真题分类汇编之29：数学文化(含答案)
2019年全国中考数学真题分类汇编：数学文化一、选择题1. （2019年乐山市）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。
问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ） ()A 1,11()B 7,53 ()C 7,61 ()D 6,50【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解：设人数人，物价y 钱.⎩⎨⎧=+=-y x yx 4738解得：⎩⎨⎧==537y x ，故选B.2.（2019年重庆市）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为y ，则可建立方程组为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解：设甲的钱数为，乙的钱数为y ，依题意，得：．故选：A ．3. （2019年山东省德州市）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（）A. B. C D【考点二元一次方程组的解法与应用、数学文化【解答】解：设绳长尺，长木为y尺，依题意得，故选：B．4.（2019年湖北省襄阳市）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，所列方程正确的是（）A．5﹣45＝7﹣3 B．5+45＝7+3 C．＝D．＝【考点】一元一次方程的应用【解答】解：设合伙人数为人，依题意，得：5+45＝7+3．故选：B．5. （2019年湖北省宜昌市）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（）A．6B．6C．18D．【考点】二次根式的应用【解答】解：∵a＝7，b＝5，c＝6．∴p＝＝9，∴△ABC的面积S＝＝6；故选：A．6．（2019年福建省）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读个字，则下面所列方程正确的是（ ） A ．+2+4＝34685 B ．+2+3＝34685C ．+2+2＝34685D ．+12+14＝34685【考点】由实际问题抽象出一元一次方程【解答】解：设他第一天读个字，根据题意可得：+2+4＝34685， 故选：A ．7．（2019年吉林省长春市）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为y ，可列方程组为（ ） A ． B ．C D ．【考】由实际问题抽象出二元一次方程组【解答】解：设人数为，买鸡的钱数为y ，可列方程组为： ． 故：D ．8．（2019年甘肃兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为（ ） A ． B ．CD ．【考由际问抽出二元一次方程组 【解答】解：由题意可得， ， 故：C ．9．（019年湖南省长沙市）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．考点由实际问题抽象出二元一次方程组【解答】解：由题意可得，，故选A．10．（2019年浙江省舟山市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（）A．B．C．D【考】二元一次方程组的应用【解答】解：设马每匹两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：．故：D．11．（2019年浙江省宁波市）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【考点】勾股定理【解答】解：设直角三角形的斜边长为c ，较长直角边为b ，较短直角边为a ， 由勾股定理得，c 2＝a 2+b 2，阴影部分的面积＝c 2﹣b 2﹣a （c ﹣b ）＝a 2﹣ac +ab ＝a （a +b ﹣c ）， 较小两个正方形重叠部分的宽＝a ﹣（c ﹣b ），长＝a ， 则较小两个正方形重叠部分底面积＝a （a +b ﹣c ），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选：C ． 二、填空题1. （2019年上海市）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 ． 斛米．（注：斛是古代一种容量单位） 【考点】二元一次方程组的解法【解答】解：设1个大桶可以盛米斛，1个小桶可以盛米y 斛， 则，故++y +5y ＝5， 则+y =56．答：1大桶加1小桶共盛56斛米．故答案为：56．2. （2019年辽宁省大连市）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hu ，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒y 斛，根据题意，可列方程组为 ． 【考点】二元一次方程组的应用【解答】解：设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒y 斛， 根据题意得：， 故案为．3（2019年江苏省南通市）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为．【解答】一元一次方程的应用【考点】解：设有个人共同买鸡，根据题意得：9﹣11＝6+16．故答案为：9﹣11＝6+16．4．（2019年湖南省株洲市）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走步才能追到速度慢的人．【解答】一元一次方程的应用【考点】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据题意得：（100﹣60）t＝100，解得：t＝2.5，∴100t＝100×2.5＝250．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．故答案是：250．5．（2019年湖北省咸宁市）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长y尺，可列方程组为．【解答】二元一次方程组的应用【考点】解：设木条长尺，绳子长y尺，依题意，得：．答案为：．．（2019年江苏省泰安市）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为____．【解答】由实际问题抽象出二元一次方程组【考点】解：设每枚黄金重两，每枚白银重y两，由题意得：，故案为：．7（201年宁夏自治）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程2+5﹣14＝0即（+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（++5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程2﹣4﹣12＝0的正确构图是．（只填序号）【解答】一元二次方程的应用【考点】解：∵2﹣4﹣12＝0即（﹣4）＝12，∴构造如图②中大正方形的面积是（+﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，据此易得＝6．故答案为：②．8．（2019年甘肃白银）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数614040401000036000806403109204849791803139699出现“正面朝上”的次数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5（精确到0.1）．【解答】利用频率估计概率【考点】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．三、解答题1.（2019年甘肃省）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【考点】一元一次方程的解法及应用【解答】解：设共有人，根据题意得：+2＝，去分母得：2+12＝3﹣27，解得：＝39，∴＝15，则共有39人，15辆车．2．（2019年湖北省黄石市）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？【解答】一元一次方程的应用【考点】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走步，由题意得：600＝100：60∴＝1000∴1000﹣600﹣100＝300答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由题意得y＝200+60y100∴y＝500答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．。
2019年湖北省武汉市中考数学试卷含答案
2019年湖北省武汉市中考数学试卷含答案2019年武汉市初中毕业生数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.实数2019的相反数是（）。
A。
2019B。
－2019C。
1/2019D。
1/20192.式子x1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）。
A。
x＞1B。
x≥－1C。
x≥1D。
x≤13.不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）。
A。
3个球都是黑球B。
3个球都是白球C。
三个球中有黑球D。
3个球中有白球4.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称的是（）。
A。
诚B。
信C。
友D。
善5.如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（）。
6.“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度。
人们根据壶中水面的位置计算时间，用t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是（）。
7.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2＋4x＋c＝0有实数解的概率为（）。
A。
1/4B。
1/3C。
1/2D。
2/38.已知反比例函数y=k/x的图象分别位于第二、第四象限，A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA。
若△ACO的面积为3，则k＝－6；②若x1＜＜x2，则y1＞y2；③若x1＋x2=0，则y1＋y2=0.其中真命题个数是（）。
A。
0B。
1C。
2D。
39.如图，AB是⊙O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E。
当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（）。
A。
2/5B。
2019年中考数学试卷及答案
2019年中考数学试卷及答案一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．2a ＋3b ＝5abB ．( a －b )2＝a 2－b 2C ．( 2x 2 )3＝6x 6D ．x 8÷x 3＝x 5 2．在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，若一次函数y ＝﹣2x +b 的图象与两坐标轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0，3），则不等式﹣2x +b ＞0的解集为（ ）A ．x ＞32B ．x ＜32C ．x ＞3D ．x ＜34．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（ ） A ．110B ．19C ．16D ．155．如图，将△ABC 绕点C （0，1）旋转180°得到△A'B'C ，设点A 的坐标为(,)a b ，则点的坐标为（ ）A ．(,)a b --B ．(,1)a b ---C ．(,1)a b --+D ．(,2)a b --+6．下列命题中，其中正确命题的个数为（ ）个．①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数；③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件． A ．1B ．2C ．3D ．47．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁8．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米9．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A．三棱柱B．四棱锥C．长方体D．正方体10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=5，BC=2，则sin ∠ACD的值为（）A．53B．255C．52D．2311．如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是()A ．24B ．16C ．413D ．2312．如图，O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(34)-，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数(0)ky x x=<的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ）A ．12-B ．27-C ．32-D ．36-二、填空题13．如图，△ABC 的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan ∠BAC =_____________．14．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，AC 与OB 交于点D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D ．若将菱形OABC 向左平移n 个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n 的值为___．16．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧BC的长为 cm．17．用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为_______．18．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是．19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．20．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是_____．三、解答题21．电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店，均销售A、B、C、D四种款式的电脑，每种款式电脑的利润如表1所示．现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的50台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表2所示．表1：四种款式电脑的利润电脑款式A B C D利润（元/台）160200240320表2：甲、乙两店电脑销售情况电脑款式A B C D甲店销售数量（台）2015105乙店销售数量（台）88101418试运用统计与概率知识，解决下列问题：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为；（2）经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当．现由于资金限制，需对其中一家分店作出暂停营业的决定，若从每台电脑的平均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说明理由．22．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．23．某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN项部M的仰角为37°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M 的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E．请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan35°≈0.75）24．今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：等级成绩（s）频数（人数）A90＜s≤1004B80＜s≤90xC70＜s≤8016D s≤706根据以上信息，解答以下问题：（1）表中的x= ；（2）扇形统计图中m= ，n=，C等级对应的扇形的圆心角为度；（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．25．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元(1)若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：A．原式不能合并，错误；B．原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；C．原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D．原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．详解：A．不是同类项，不能合并，故A错误；B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故B错误；C．（2x2）3＝8x6，故C错误；D．x8÷x3＝x5，故D正确．故选D．点睛：本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方及积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握公式及法则是解答本题的关键．2．B解析：B【解析】【分析】6的大小，即可得到结果．【详解】<<，46 6.2526 2.5∴<<，则在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是2，故选：B．【点睛】此题考查了实数与数轴，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．3．B解析：B【解析】【分析】根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y=0求出x值，从而找出点B的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝32，∴点B（32，0）．观察函数图象，发现：当x＜32时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜32．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．4．A解析：A【解析】∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 0都有可能），∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是1 10.故选A.5．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意，点A 、A′关于点C 对称，设点A 的坐标是（x ，y ），则0122a xb y++==，，解得2x a y b =-=-+，，∴点A 的坐标是(2)a b --+，．故选D ． 考点：坐标与图形变化-旋转．6．C解析：C 【解析】 【分析】利用方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】①方差是衡量一组数据波动大小的统计量，正确，是真命题； ②影响超市进货决策的主要统计量是众数，正确，是真命题； ③折线统计图反映一组数据的变化趋势，正确，是真命题； ④水中捞月是随机事件，故错误，是假命题， 真命题有3个， 故选C ． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解方差的意义，众数的定义、折线图及随机事件等知识，难度不大．7．D解析：D 【解析】【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【详解】∵22211x x x x x-÷--=2221·1x x x x x --- =()2212·1x x x x x---- =()()221·1x x x x x ---- =()2x x--=2xx-，∴出现错误是在乙和丁，故选D．【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键. 8．A解析：A【解析】【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB +，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．A解析：A【解析】【分析】本题可以根据三棱柱展开图的三类情况分析解答 【详解】三棱柱的展开图大致可分为三类：1.一个三角在中间,每边上一个长方体,另一个在某长方形另一端.2.三个长方形并排,上下各一个三角形.3.中间一个三角形,其中两条边上有长方形,这两个长方形某一个的另一端有三角形,在这三角形的一条(只有一条,否则拼不上)边有剩下的那个长方形.此题目中图形符合第2种情况 故本题答案应为：A 【点睛】熟练掌握几何体的展开图是解决本题的关键，有时也可以采用排除法．10．A解析：A 【解析】 【分析】在直角△ABC 中，根据勾股定理即可求得AB ，而∠B ＝∠ACD ，即可把求sin ∠ACD 转化为求sin B ． 【详解】在直角△ABC 中，根据勾股定理可得：AB ===3．∵∠B +∠BCD ＝90°，∠ACD +∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin ∠B AC AB ==． 故选A ． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．11．C解析：C 【解析】 【分析】由菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，AC=6，BD=4，即可得AC ⊥BD ，求得OA 与OB 的长，然后利用勾股定理，求得AB 的长，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD 是菱形，AC=6，BD=4， ∴AC ⊥BD ，OA=12AC=3， OB=12BD=2，AB=BC=CD=AD ，∴在Rt △AOB 中，AB=222+3=13，∴菱形的周长为413．故选C ．12．C 解析：C【解析】【分析】【详解】∵A （﹣3，4），∴OA=2234+=5，∵四边形OABC 是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B 的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，故B 的坐标为：（﹣8，4），将点B 的坐标代入k y x=得，4=8k -，解得：k=﹣32．故选C ． 考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征． 二、填空题13．【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格分别延长ABAC 连接它们延长线所经过的格点可构成直角三角形利用正切的定义即可得出答案详解：如图所示由图形可知∴tan∠BAC=故答案为点睛：本题考查了锐角三角函解析：13【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格，分别延长AB 、AC ，连接它们延长线所经过的格点，可构成直角三角形，利用正切的定义即可得出答案.详解：如图所示，由图形可知，90AFE ∠=︒，3AF AC =，EF AC =，∴tan ∠BAC =133EF AC AF AC ==.故答案为1 3 .点睛：本题考查了锐角三角函数的定义. 利用网格构建直角三角形进而利用正切的定义进行求解是解题的关键.14．5【解析】【分析】根据题意运用待定系数法建立适当的函数解析式代入求值即可解答【详解】以左边树与地面交点为原点地面水平线为x轴左边树为y轴建立平面直角坐标系由题意可得A(025)B(225)C(051解析：5【解析】【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)设函数解析式为y=ax2+bx+c把A. B. C三点分别代入得出c=2.5同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解得a=2，b=−4，c=2.5.∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5.∵2>0∴当x=1时,y min=0.5米.15．【解析】试题分析根据菱形的性质得出CD=ADBC∥OA根据D（84）和反比例函数的图象经过点D求出k=32C点的纵坐标是2×4=8求出C的坐标即可得出答案∵四边形ABCO是菱形∴CD=ADBC∥OA解析：【解析】试题分析根据菱形的性质得出CD=AD，BC∥OA，根据D （8，4）和反比例函数的图象经过点D求出k=32，C点的纵坐标是2×4=8，求出C的坐标，即可得出答案．∵四边形ABCO是菱形，∴CD=AD，BC∥OA，∵D （8，4），反比例函数的图象经过点D，∴k=32，C点的纵坐标是2×4=8，∴，把y=8代入得：x=4，∴n=4﹣2=2，∴向左平移2个单位长度，反比例函数能过C点，故答案为2．16．【解析】根据切线的性质可得出OB⊥AB从而求出∠BOA的度数利用弦BC∥AO及OB=OC可得出∠BOC的度数代入弧长公式即可得出∵直线AB是⊙O 的切线∴OB⊥AB（切线的性质）又∵∠A=30°∴∠B解析：2π．【解析】根据切线的性质可得出OB⊥AB，从而求出∠BOA的度数，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度数，代入弧长公式即可得出∵直线AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB（切线的性质）．又∵∠A=30°，∴∠BOA=60°（直角三角形两锐角互余）．∵弦BC∥AO，∴∠CBO=∠BOA=60°（两直线平行，内错角相等）．又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形（等边三角形的判定）．∴∠BOC=60°（等边三角形的每个内角等于60°）．又∵⊙O的半径为6cm，∴劣弧BC的长=606=2180ππ⋅⋅（cm）．17．2【解析】【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长列出方程即可解决问题【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R由题意：2πR=解得R=2故答案为2解析：2【解析】【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题.【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意：2πR=1804 180π⨯，解得R=2．故答案为2.18．【解析】试题分析：要求PE+PC的最小值PEPC不能直接求可考虑通过作辅助线转化PEPC的值从而找出其最小值求解试题解析：如图连接AE∵点C关于BD 的对称点为点A∴PE+PC=PE+AP根据两点之间【解析】试题分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．试题解析：如图，连接AE，∵点C关于BD的对称点为点A，∴PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，∴BE=1，∴AE=22125+=．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．19．110°或70°【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角解析：110°或70°．【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．20．【解析】【分析】列表得出所有等可能结果从中找到积为大于-4小于2的结果数根据概率公式计算可得【详解】列表如下：-2 -1 1 2 -2 2 -2 -4 -1 2 -1 -2 1 -2 -解析：1 2【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．【详解】列表如下：∴积为大于-4小于2的概率为612=12， 故答案为12． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 三、解答题21．（1）310（2）应对甲店作出暂停营业的决定 【解析】【分析】（1）用利润不少于240元的数量除以总数量即可得；（2）先计算出每售出一台电脑的平均利润值，比较大小即可得．【详解】解：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为1053201510510+=+++， 故答案为310； （2）甲店每售出一台电脑的平均利润值为160202001524010320550⨯+⨯+⨯+⨯＝204（元），乙店每售出一台电脑的平均利润值为160820010240143201850⨯+⨯+⨯+⨯＝248（元），∵248＞204，∴乙店每售出一台电脑的平均利润值大于甲店；又两店每月的总销量相当，∴应对甲店作出暂停营业的决定．【点睛】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比及加权平均数的定义．22．（1）AD=95；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；理由见解析.【解析】【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．（2）当ED与 O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE 即可．【详解】（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC=90°；∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴，∴；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD；∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD；∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.23．人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．【解析】【分析】在Rt△MED中，由∠MDE＝45°知ME＝DE，据此设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC 中，由ME＝EC•tan∠MCE知x≈0.7（x+15），解之求得x的值，根据MN＝ME+EN可得答案．【详解】由题意得四边形ABDC、ACEN是矩形，∴EN＝AC＝1.5，AB＝CD＝15，在Rt△MED中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴ME＝DE，设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，∵ME＝EC•tan∠MCE，∴x≈0.7（x+15），解得：x≈35，∴ME≈35，∴MN＝ME+EN≈36.5，答：人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识解题．24．（1）14；（2）10、40、144；（3）恰好选取的是a1和b1的概率为16．【解析】【分析】（1）根据D组人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其他三组人数即可得出x的值；（2）用A、C人数分别除以总人数求得A、C的百分比即可得m、n的值，再用360°乘以C等级百分比可得其度数；（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选取的是a1和b1的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵被调查的学生总人数为6÷15%=40人，∴x=40﹣（4+16+6）=14，故答案为14；（2）∵m%=440×100%=10%，n%=1640×10%=40%，∴m=10、n=40，C等级对应的扇形的圆心角为360°×40%=144°，故答案为10、40、144；（3）列表如下：a1和b1的有2种结果，∴恰好选取的是a1和b1的概率为21 126．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；概率=所求情况数与总情况数之比．25．（1该档次蛋糕每件利润为18元;（2）该烘焙店生产的是四档次的产品．【解析】【分析】（1）依题意可求出产品质量在第五档次的每件的利润．（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）10＋2×（5－1）＝18（元）．答：该档次蛋糕每件利润为18元．（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：[10＋2（x－1）]×[76－4(x－1）]＝1024，整理得：x2﹣16x＋48＝0，解得：x1＝4，x2＝12（不合题意，舍去）．答：该烘焙店生产的是四档次的产品．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据单件利润×销售数量=总利润，列出关于x的一元二次方程．。
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2019 年湖北省襄阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答1．（3 分）计算|﹣3|的结果是（）A．3 B． C．﹣3 D．±32．（3 分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a2•a3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）﹣3＝a﹣6 3．（3 分）如图，直线BC∥AE，CD⊥AB 于点D，若∠BCD＝40°，则∠1 的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．（3 分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（）A．青B．来C．斗D．奋5．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．6．（3 分）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3 分）如图，分别以线段AB 的两个端点为圆心，大于AB 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D 两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC 一定是（）A．正方形B．矩形C．梯形D．菱形8．（3 分）下列说法错误的是（）A．必然事件发生的概率是 1B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率C．概率很小的事件不可能发生D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得9．（3 分）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5 钱，会差45 钱；每人出7 钱，会差3 钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，所列方程正确的是（）A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝10．（3 分）如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC 平分OB 二、填空题：本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分.把答案填在答题卡的相应位置上11．（3 分）习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2 亿人在平台上学习．1.2 亿这个数用科学记数法表示为．12．（3 分）定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为．13．（3 分）从2，3，4，6 中随机选取两个数记作a 和b（a＜b），那么点（a，b）在直线y ＝2x 上的概率是．14．（3 分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB 的是（只填序号）．15．（3 分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为s．16．（3 分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D 在AB 上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC 与DE 交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝．三、解答题：本大题共9 个小题，共72 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。
17．（6 分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣1．18．（6 分）今年是中华人民共和国建国70 周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖国”主题学习竞赛活动．学校3000 名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成绩都不低于60 分（满分100 分）．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题：成绩x（分）分组频数频率60≤x＜70 15 0.3070≤x＜80 a 0.4080≤x＜90 10 b90≤x≤100 5 0.10（1）表中a＝，b＝；（2）这组数据的中位数落在范围内；（3）判断：这组数据的众数一定落在70≤x＜80 范围内，这个说法（填“正确”或“错误”）；（4）这组数据用扇形统计图表示，成绩在80≤x＜90 范围内的扇形圆心角的大小为；（5）若成绩不小于80 分为优秀，则全校大约有名学生获得优秀成绩．19．（6 分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？20．（6 分）襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC 和塔冠BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB 的底端A 到塔柱底端C 的距离为121m，拉索AB 与桥面AC 的夹角为37°，从点A 出发沿AC 方向前进23.5m，在D 处测得塔冠顶端E 的仰角为45°．请你求出塔冠BE 的高度（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）．21．（7 分）如图，已知一次函数 y 1＝kx +b 与反比例函数 y 2＝的图象在第一、第三象限分别交于 A （3，4），B （a ，﹣2）两点，直线 AB 与 y 轴，x 轴分别交于 C ，D 两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）比较大小：ADBC（填“＞”或“＜”或“＝”）；（3）直接写出 y 1＜y 2 时 x 的取值范围．22．（8 分）如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆⊙O 相交于点 D ，过 D 作直线 DG ∥BC ．（1） 求证：DG 是⊙O 的切线；（2） 若 DE ＝6，BC ＝6，求优弧的长．23．（10 分）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：（1） 该超市购进甲种蔬菜 10kg 和乙种蔬菜 5kg 需要 170 元；购进甲种蔬菜 6kg 和乙种蔬菜 10kg 需要 200 元．求 m ，n 的值；（2） 该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100kg 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于 20kg ，且不大于 70kg ．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过 60kg 的部分，当天需要打 5 折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获有机蔬菜种类进价（元/kg ）售价（元/kg ）甲 m 16 乙n18得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量x（kg）之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a 的最大值．24．（10 分）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E，Q 分别在边BC，AB 上，DQ⊥AE 于点O，点G，F 分别在边CD，AB 上，GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，＝k（k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG，EP 交CD 于点H，连接AE 交GF 于点O．试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP 的长．25．（13 分）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3 与x 轴，y 轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1 的抛物线过B，C 两点，且交x 轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C 的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P 为第一象限内抛物线上一点，当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C 除外），使以点Q，A，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2019 年湖北省襄阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答1．（3 分）计算|﹣3|的结果是（）A．3 B． C．﹣3 D．±3【分析】根据绝对值的性质进行计算．【解答】解：|﹣3|＝3．故选：A．【点评】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0．2．（3 分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2＝a B．a2•a3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）﹣3＝a﹣6【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a3﹣a2，无法计算，故此选项错误；B、a2•a3＝a5，故此选项错误；C、a6÷a2＝a4，故此选项错误；D、（a2）﹣3＝a﹣6，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（3 分）如图，直线BC∥AE，CD⊥AB 于点D，若∠BCD＝40°，则∠1 的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】先在直角△CBD 中可求得∠DBC 的度数，然后平行线的性质可求得∠1 的度数．【解答】解：∵CD⊥AB 于点D，∠BCD＝40°，∴∠CDB＝90°．∴∠BCD+∠DBC＝90°，即∠BCD+40°＝90°．∴∠DBC＝50°．∵直线BC∥AE，∴∠1＝∠DBC＝50°．故选：B．【点评】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键．4．（3 分）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（）A．青B．来C．斗D．奋【分析】正方体展开图的“Z”字型找对面的方法即可求解；【解答】解：由：“Z”字型对面，可知春字对应的面上的字是奋；故选：D．【点评】本题考查正方体的展开图；熟练掌握正方体展开图的特点是解题的关键．5．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．6．（3 分）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（）A．B．C． D．【分析】求出不等式组的解集，表示出数轴上即可．【解答】解：不等式组整理得：，∴不等式组的解集为x≤﹣3，故选：C．【点评】此题考查了解一元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（3 分）如图，分别以线段AB 的两个端点为圆心，大于AB 的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D 两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC 一定是（）A．正方形B．矩形C．梯形D．菱形【分析】根据四边相等的四边形是菱形即可判断．【解答】解：由作图可知：AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ACBD 是菱形，故选：D．【点评】本题考查基本作图，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．8．（3 分）下列说法错误的是（）A.必然事件发生的概率是1B.通过大量重复试验，可以用频率估计概率C．概率很小的事件不可能发生D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0 并且小于1．【解答】解：A、必然事件发生的概率是1，正确；B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；C、概率很小的事件也有可能发生，故错误；D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，故选：C．【点评】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0；随机事件，发生的概率大于0 并且小于1．事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．9．（3 分）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5 钱，会差45 钱；每人出7 钱，会差3 钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，所列方程正确的是（）A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝【分析】设合伙人数为x 人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设合伙人数为x 人，依题意，得：5x+45＝7x+3．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．10．（3 分）如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC 平分OB【分析】利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD ＝OB，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP 中利用含30 度的直角三角形三边的关系可对A 选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC 可对C 选项进行判断；利用垂径可判断OP 为△ ACD 的中位线，则CD＝2OP，原式可对B 选项进行判断；同时得到OB＝2OP，则可对D 选项进行判断．【解答】解：∵AD 为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD 为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD 中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP 中，AP＝OP，所以A 选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C 选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP 为△ACD 的中位线，∴CD＝2OP，所以 B 选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC 平分OB，所以 D 选项的结论正确．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．二、填空题：本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分.把答案填在答题卡的相应位置上11．（3 分）习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2 亿人在平台上学习．1.2 亿这个数用科学记数法表示为 1.2×108 ．【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10 的n 次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n 表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10 的n 次幂．【解答】解：1.2 亿＝1.2×108．故答案为：1.2×108．【点评】此题考查了对科学记数法的理解和运用和单位的换算．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．12．（3 分）定义：a*b＝，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为 x＝1 ．【分析】根据新定义列分式方程可得结论．【解答】解：2*（x+3）＝1*（2x），＝，4x＝x+3，x＝1，经检验：x＝1 是原方程的解，故答案为：x＝1．【点评】本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．13．（3 分）从2，3，4，6 中随机选取两个数记作a 和b（a＜b），那么点（a，b）在直线y ＝2x 上的概率是．【分析】画出树状图，找到b＝2a 的结果数，再根据概率公式解答【解答】解：画树状图如图所示，一共有6 种情况，b＝2a 的有（2，4）和（3，6）两种，所以点（a，b）在直线y＝2x 上的概率是＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．14．（3 分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB 的是②（只填序号）．【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解．【解答】解：∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB∴若添加①∠A＝∠D，则可由AAS 判定△ABC≌△DCB；若添加②AC＝DB，则属于边边角的顺序，不能判定△ABC≌△DCB；若添加③AB＝DC，则属于边角边的顺序，可以判定△ABC≌△DCB．故答案为：②．【点评】本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断．15．（3 分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s．【分析】根据关系式，令h＝0 即可求得t 的值为飞行的时间【解答】解：依题意，令h＝0 得0＝20t﹣5t2得t（20﹣5t）＝0解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0 时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单16．（3 分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D 在AB 上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC 与DE 交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝．【分析】过点C 作CM⊥DE 于点M，过点E 作EN⊥AC 于点N，先证△BCD∽△ACE，求出AE 的长及∠CAE＝60°，推出∠DAE＝90°，在Rt△DAE 中利用勾股定理求出DE 的长，进一步求出CD 的长，分别在Rt△DCM 和Rt△AEN 中，求出MC 和NE 的长，再证△MFC∽△NFE，利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF 与EF 的比值．【解答】解：如图，过点C 作CM⊥DE 于点M，过点E 作EN⊥AC 于点N，∵BD＝1，AD＝5，∴AB＝BD+AD＝6，∵在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3 ，在Rt△BCA 与Rt△DCE 中，∵BAC＝∠DEC＝30°，∴tan∠BAC＝tan∠DEC，∴，∵BCA＝∠DCE＝90°，∴∵BCA﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，∴∠CAE＝∠B＝60°，∴，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝30°+60°＝90°，，∴AE＝，在Rt△ADE 中，DE＝＝＝2 ，在Rt△DCE 中，∠DEC＝30°，∴∠EDC＝60°，DC＝DE＝，在Rt△DCM 中，MC＝DC＝，在Rt△AEN 中，NE＝AE＝，∵∠MFC＝∠NFE，∠FMC＝∠FNE＝90，∴△MFC∽△NFE，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．三、解答题：本大题共9 个小题，共72 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内。