一、最大值和最小值定理
最大最小值定理
最大最小值定理最大最小值定理又称最小-最大定理，是指在约束条件下，某一约束优化问题的最优解是所有解的最大值或最小值。
其主要分为三种情况：1. 最小值原理：某一约束条件下的最优解是目标函数的最小值；2. 最大值原理：某一约束条件下的最优解是目标函数的最大值；3. 最小化最大值原理：存在某一约束条件下的最优解，它是满足某一约束条件下剩余约束函数的最大值最小化。
最大最小值定理是非常常用的一种优化算法，用于优化问题的最优解。
它包括构造约束条件、确定目标函数，以及实施算法求解等步骤，可以帮助我们快速求解给定优化问题的最优解。
有时候，由于约束条件的存在，我们无法直接求解优化问题的最优解。
此时，可以通过最大最小值定理来求解，即在约束条件下求解最优解，那么最优解就可以由于最大最小值定理而得出。
同时也可以将最大最小值定理和其他优化算法结合起来使用，从而加快求解速度，提高求解精度。
此外，最大最小值定理还可用于多维优化问题的求解。
因此，最大最小值定理是解决优化问题的重要方法，为优化问题的求解提供了有效的理论支持。
使用最大最小值定理来求解优化问题时，在确定约束条件、目标函数等步骤完成后，需要考虑算法复杂度、收敛速率等问题，以便选择合适的方法。
例如，可以考虑使用梯度下降法、遗传算法、变分法等方法来求解最优解。
此外，还可以对最大最小值定理的约束条件和目标函数进行有效的优化，以便提高求解精度。
为此，可以利用不同的方法，如凸优化技术、多约束技术、约束优化技术等，来优化约束条件和目标函数。
总之，最大最小值定理是一个非常有用的解决优化问题的算法，它能够帮助我们快速求解复杂优化问题，可以有效提高求解精度。
基本不等式最大值最小值公式
基本不等式最大值最小值公式不等式是数学中的一种基本概念。
在实际生活和工作中，我们会遇到各种各样的不等式问题。
投资的收益率大于某个固定值，或者某个物品的价格必须低于定价等等。
为了解决这些问题，我们需要用到不等式的理论和技巧。
不等式的最大值和最小值是非常重要的概念。
其指的是在给定条件下，不等式所能达到的最大和最小的值。
基本不等式就是一种常见的最大最小值公式。
基本不等式是指对于任意的正实数 a_1, a_2, ..., a_n，有如下的不等式关系：\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdot\cdot\cdot a_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{a_n}}左边的式子称为算术平均数和几何平均数不等式，右边的式子称为调和平均数不等式。
这两个不等式可以统称为基本不等式。
基本不等式的原理是利用平均值不等式和相应的积分不等式证明的。
平均值不等式指的是对于一组数，算术平均数大于等于几何平均数，大于等于调和平均数。
即：\frac{a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdot\cdot\cdota_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{a_n}}这是数学中的一个基本定理，其应用范围非常广泛。
而基本不等式是平均值不等式的一种特例，其应用范围也同样广泛。
下面我们来看一下基本不等式的具体应用。
基本不等式广泛应用于数学竞赛等数学问题的解决中。
在一些竞赛题目中，基本不等式常常被用来证明一些不等式关系，或者推导最大最小值等问题。
基本不等式还可以应用于物理、化学等领域的一些问题。
在物理和化学中，我们也经常会遇到一些关于最大最小值的问题。
最值定理及应用举
最值定理及应用举最值定理是高等数学中的重要概念，它有两种形式：最大最小值存在定理和最值原理。
最值定理是研究函数在闭区间上的最值性质的定理，对于函数的最大值和最小值的存在性具有重要的指导作用。
在实际问题中，我们经常需要确定函数在一定范围内的最大值和最小值，最值定理能够帮助我们简化问题的求解过程。
首先，我们来介绍最大最小值存在定理。
对于一个定义在闭区间[a, b]上的连续函数f(x)，最值存在定理告诉我们，f(x)在[a, b]上必定有最大值和最小值，并且这两个最值必定是在[a, b]的端点处或者在[a, b]的内部点处取到的。
证明最大最小值存在定理的方法通常使用反证法。
假设在[a, b]上不存在最大值，即对于任意的x∈[a, b]，都有f(x)<M，其中M是一个实数。
由于f(x)是连续函数，根据介值定理，我们可以得到存在一个点x0∈[a, b]，使得f(x0)=M，这与假设矛盾。
所以假设不成立，即[a, b]上必定存在最大值。
同理，可证明最小值也存在。
接下来，我们来介绍最值原理。
对于一个定义在开区间(a, b)上的函数f(x)，如果f(x)在(a, b)上取得了最大值或者最小值，那么这个最值只能是在(a, b)的端点处取到的。
最值原理的证明同样可以使用反证法。
假设f(x)在(a, b)的内部点处取得最大值或者最小值，即存在c∈(a, b)，使得f(c)是f(x)在(a, b)上的最大值或最小值。
由于f(x)在(a, b)上连续，根据介值定理，我们可以找到一个(a, b)内的点d，使得f(d)在f(c)的右侧或左侧，与f(c)是最大值或最小值的假设矛盾。
因此，我们可以得出结论，最值只能出现在(a, b)的端点处。
最值定理在实际问题中有着广泛的应用。
一个常见的应用是在优化问题中，我们需要找到一个函数在一定范围内的最大值或最小值。
最值定理告诉我们，只需要在闭区间的端点和内部点处计算函数值，然后从这些值中找出最大值或最小值即可。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
高等数学(一)学习笔记
π ,n ∈ Z)},为奇函数， π 为周期, 2
周期内单
π ， 2
π ],则 y=arc sinx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反正弦函数。)单加 2 反余弦函数：y=Arccosx 定义域 D={ x 一 1 ≤ x ≤ 1},为多值函数，2 π 为周期。若限制值域为[0， + π ],则 y=arc cosx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反余弦函数。)单减 反正切函数：y=Arctgx 定义域 D={ x 一 ∞ ≤ x ≤ + ∞ },为多值函数， π 为周期。若限制值域为[-
x → x0
定理一：如果 lim
x → x0
f ( x) = A ，而且 A>0(或 A<0),那幺就存在着点 x0 的某一去心邻域，当 x 在该邻 f ( x ) = A , 那幺 A ≥ 0(或 A ≤ 0).
域时，就有 f(x)>0(或 f(x)<0). 定理二：如果在点 x0 的某一去心邻域内 f(x) ≥ 0(或 f(x ≤ 0), 而且 lim 可证明：f( x0 -0)=f( x0 +0)为 lim
x →∞
7、无穷小和无穷大 (1)、无穷小，极限为 0，则称函数为无穷小(当 x →
x0 或 x → ∞ ). x0 或 x → ∞ )，具有极限
A、定理一(无穷小与函数极限的关系)：在自变量的同一变化过程中(x →
的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果一函数可表示为一常数和无穷小之和，则这常数 即为这函数的极限。 B、运算法则：I，有限个无穷小的和也是无穷小。II，有界函数与无穷小的积是无穷小(常数与无穷 小的积是无穷小;有限个无穷小的积也是无穷小) C、无穷小的比较：
第08讲 闭区间上连续函数的性质
a
,则对于 x1 , x2 (,) ,
总有 f ( x1 ) f ( x 2 ) ， 故 f ( x) ax b在(,) 上一致连续．
1 例4 f ( x) 在(0,1]上连续 , 却不一致连续 x 1 证明 因为 f x 在 (0,1] 上为初等函数,故连续 x
从而二者矛盾 f ( x)在(0,1]上不一致 连续．
一致连续定理
a, b 上连续， 若 f x 在闭区间 则它在该区间上
必定一致连续．
证明(略)
小结：
理解应用最值定理,有界性定理
熟练应用介值定理,零点定理
了解一致连续的概念和有关定理
作业：
第91页习题1-11： 1，2，3，4
设 f ( x)在[a, b]上c.t.且f (a) f (b) 0 （即两端
点函数值异号）：则在(a, b) 内至少存在一点 ，
使得 f 0 （至少有一个零点）．
★注意：
条件为闭区间，结论为开区 间．
几何解释：
x 若曲线 y f ( x) 的两个端点位于 轴有两侧， x 轴至少有一交点 则该曲线与 （或者说方程f ( x) 0
结论： ●最值点不唯一 ●最大值与最小值可以相等 ●最值点可以是边界点，间断点等
如：
1． f ( x) 1 sin x 有最大值 2，最小值 0；
2． y sgn x 有最大值 1，最小值 1 ； （不唯一）
3 y x 3． 在区间 [0,2] 上有最大值 8，最小值 0；
（边界点） 1 sin 4． y x 2
则 F 0 f 0 f a ，
F a f a f 2a f a f 0
最大值和最小值定理最大值和最小值
5
函数间断点的几种常见类型：
x2 1 在点 x 1 例1 函数 y x 1
没有定义，所以 x 1 为函数的间断点。
y
x2 1 lim lim ( x 1) 2 x 1 x 1 x 1
若补充定义： 令 x 1 时 y 2,
２
． 。
１
O
x
则该函数在 x 1 处连续。 所以，x 1 称为该函数的可去间断点。
k 0,1,2,;
10
2 x 1 解 1 y , 2 x 3x 2
x 1, x 2
x2 1 x 1 lim 2 lim 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2
x 1 是可去间断点，属于第一类间断点。
补充定义： 当x 1时，y 2. 则该函数在 x 1 点连续。
1 y tan x , y x
不是连续函数。
3
证明：函数
y sin x 是连续函数。
当 x 有增量
x x y sin( x x ) sin x 2 sin cos( x ) 2 2 x cos x 1 2 x y sin( x x ) sin x 2 sin . 2 又因为当 0 时， sin x x 0 y sin( x x ) sin x 2 sin 2 x 2 2 当 x 0 时， 由夹逼准则得 y 0. 这就证明了 y sin x 在 ( ,) 内连续。
2
O
2
3 2
x
的无穷间断点。
9
例5
下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那
一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。
数学竞赛辅导 第三讲 中值定理
CUP
x3 (x ( x 4 ) x ) Taylor sin 3! lim x 0 x x3
sin lim 1 x 0 x
x3 (x ( x 4 ) x ) sin 1 3! lim 3 x 0 x x 6
CUP
Taylor 求极限、无穷小阶数的估计
f ( x ) f (a ) 又 f ( a ) lim 0, x a xa
[ 证 ]： f ( a ) f ( b ) 0 ,不妨设f ( a ) 0 , f ( b ) 0
根据保号性，存在 1 0 ,当x ( a , a 1 ), 有f ( x ) f ( a ). 同理，存在 2 0 ,当x ( b 2 , b ),有f ( x ) f ( b ).
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
( n 1 )
f ( ) 其中 Rn ( x ) ( x x0 )n1 ( 在 x0 与 x 之间) ( n 1)!
例3-6 设函数f ( x )在[0,1]上三阶可导，且有f (0) f (1) 0,
设F ( x ) x 3 f ( x ), 试证明在(0,1)内至少存在一个 , 使得 F ( ) 0
CUP
常用函数的麦克劳林公式
x3 x5 x 2 n1 sin x x ( 1) n o( x 2 n 2 ) 3! 5! ( 2n 1)!
2n x2 x4 x6 n x cos x 1 ( 1) o( x 2 n ) 2! 4! 6! ( 2n)!
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例1 证明方程 x 3 − 4x 2 + 1 = 0在区间(0,1)内 至少有一根.
例2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续, 且f (a) < a, f (b) > b. 证明 ∃ξ ∈ (a, b), 使得 f (ξ ) = ξ .
三、小结
四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 关键词 1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立．
那末，对于 A与B之间的任意一个数C ，在开区间
(a, b)内至少有一点ξ，使得 f (ξ ) = C (a < ξ < b).
y
M
B y = f (x)
C
a
o
A
x1 ξ1 ξ2 ξ3 x2 b x
m
几何上看: 连续曲线弧 y = f ( x)与水平 直线 y = C至少有一个交点 .
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M 与最小值 m之间的任何值.
解题思路
1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;
2
有：
f (ξ1) ≥ f (x) 且 f (ξ2 ) ≤ f (x)。
y y = f (x)
oa
ξ2
ξ1 b x
注:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y y = f (x)
o
x
π
2
y y = f (x)
1
o
12
x
二、介值定理
定义: 如果 x0使 f (x0 ) = 0, 则 x0称为函数 f (x) 的零点.
定理 3(零点定理) 设函数 f ( x)在闭区间 [a, b]
上连续，且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a) ⋅ f (b) < 0),
那末在开区间(a, b)内至少有函数 f ( x)的一个零
点,即至少有一点ξ (a < ξ < b)，使 f (ξ) = 0.
代数上看: 满足定理条件的方程 f (x) = 0在(a,b)内至 少存在一个实根 .
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间I上有定义的函数 f (x), 如果有 x0 ∈ I , 使得对于任一 x ∈ I 都有
f (x) ≤ f (x0 ) ( f (x) ≥ f (x0 )) 则称 f (x0 )是函数 f (x)在区间I上的最大(小)值. 如 y = 1 + sin x, 在[0,2π]上, ymax = 2, ymin = 0;
几何上看: 连续曲线弧 y = f (x)的 两个端点位于x轴的不 同侧,则曲线弧与 x轴 至少有一个交点.
y y = f (x)
aoξ1 ξ2 ξ3 b x Nhomakorabea1
定理 4(介值定理) 设函数 f ( x)在闭区间 [a, b]
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a) = A 及 f (b) = B,
如 y = sgn x, 在(−∞,+∞)上, ymax = 1, ymin = −1; 在(0,+∞)上, ymax = ymin = 1.
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函 数在此区间上有界且一定有最大值和最小值．即：
若 f (x)在[a,b]连续,则∃ξ1,ξ2 ∈[a,b],使得：∀x ∈[a,b],