26.1.1 反比例函数
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计
教师讲解：“大家总结得很好。反比例函数是我们学习函数的重要部分，希望大家能够掌握其定义、性质和几何意义，并在实际问题中灵活运用。”
五、作业布置
为了巩固学生对反比例函数知识的掌握，提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
（1）根据反比例函数的定义，求出以下函数的表达式，并说明k的几何意义：y=3/x、y=-2/x、y=5/|x|。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，规范解答，注意细节。
2.对于实践应用题，要求学生结合反比例函数的性质和几何意义，分析问题，列出方程，并求解。
3.拓展提高题要求学生独立思考，尝试不同的解题方法，锻炼数学思维能力。
4.思考题要求学生在理解反比例函数的基础上，深入思考，形成自己的见解。
2.教学策略：
（1）情境创设：以生活实例或有趣的故事引入反比例函数的学习，激发学生的学习兴趣；
（2）任务驱动：设置具有挑战性的任务，引导学生主动探究反比例函数的性质和应用；
（3）分层教学：针对不同学生的学习需求，设计难易适度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（4）反馈与评价：及时关注学生的学习进度，给予有效的反馈和激励，提高学生的学习积极性。
教师提问：“同学们，我们之前学习了正比例函数和一次函数，谁能来说说它们的特点和性质？”
2.创设情境：通过生活中的实例，如物体在反比例力作用下的运动轨迹，引出反比例函数的概念。
教师讲解：“在生活中，我们经常会遇到一些与反比例关系相关的问题。比如，当物体受到一个与速度成反比的阻力时，它的运动轨迹是怎样的呢？这就涉及到我们今天要学习的反比例函数。”
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计
人教版数学九年级下册26.1.1反比例函数中K的几何意义课件
利用K值解决实际问题
例题3：某工厂生产A、B两种配套产品 ，其中每天生产$x$吨A产品，需生产 $y$吨B产品。已知生产A产品的成本与 产量的平方成正比。经测算，生产1吨 A产品需要4万元，而B产品的成本为每
吨8万元。求
(1)生产A、B两种配套产品的平均成本 的最小值；
(2)若原料供应商对这种小型工厂供货 办法使得该工厂每天生产A产品的产量 $x$在$0 < x leqslant 2$的范围内， 那么在这种情况下，该工厂应生产A产
当$K < 0$时，距离公式同样适用， 只是图像位于第二、四象限。
K值与角度关系
对于反比例函数图像上任意一点，其与原点连线的倾斜角$theta$与该点 的横坐标$x$和纵坐标$y$满足关系：$tantheta = frac{y}{x} = frac{K}{x^2}$。
当$K > 0$时，$theta$为锐角或直角；当$K < 0$时，$theta$为钝角或 直角。
随着$|K|$的增大，倾斜角$theta$也逐渐增大，但始终不会超过直角。
05
典型例题解析
求反比例函数中K值
01
例题1
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$的图像经过点 $A(2,3)$，求$k$的值。
02
例题2
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$的图像经过点 $B(m,n)$和$C(p,q)$，且$mn = 6$，$pq = 8$
06
课堂小结与拓展延伸
课堂小结
反比例函数$y = frac{k}{x}$（$k neq 0$）中，比例系数$k$的几 何意义：过双曲线上任意一点引 $x$轴、$y$轴垂线，所得矩形面
积为$|k|$。
26.1.1反比例函数(教学课件)-九年级数学下册同步教学精品课件(人教版)
3. 反比例关系与反比例函数
（1）反比例关系：如果 = (k是常数， ≠ 0），那么
与这两个变量成反比例关系，这里的, 可以表示
多项式或者单项式；
2
如果 与 成反比例，则 =
或者 ∙ 2 = (k 为常数，k≠0)
2
(k 为常数，k≠0)
新知讲解
典例小结
人教版·九年级·下册·第二十六章·反比例函数
第二十六章 反比例函数
26.1.1
反比例函数
学习目标
1
理解反比例函数的概念和意义，并会判断一个给定的函数
是不是反比例函数；
2
能根据实际问题和已知条件用待定系数法求出反比例函数
的解析式；理解反比例关系与反比例函数的区别与联系；
3
通过对反比例函数的研究和对一次函数（正比例函
所以，这两个变量之间具有函数关系；
. ×
函数解析式为： =
小结：
问题1 中得到的函数1： =
问题2 中得到的函数2： =
. ×
问题3 中得到的函数3： =
请问以上三个函数有什么共同点？
都是分式的形式
且分子上都是非零常数
= (k是非零常数)
（1）写出关于的函数解析式；
（2）当 = 4时，求的值；
解： 1 ∵ 是 的反比例函数
则设 关于的函数解析式为 = ( ≠ 0)
将 = 2， = 6 代入 = 中得 6 =
2
∴ = 12
12
∴ 关于的函数解析式为 =
（2）将 = 4 代入 =
人教版九年级数学下册26.1.1反比例函数优秀教学案例
（三）学生小组讨论
1.教师给出几个有关反比例函数的实际问题，让学生分组讨论，寻找解决方法。
2.学生通过小组讨论，共同探索反比例函数的性质，提高学生的团队合作能力。
3.各小组汇报讨论成果，教师给予评价和指导，帮助学生巩固反比例函数的知识。
人教版九年级数学下册26.1.1反比例函数优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景基于人教版九年级数学下册26.1.1反比例函数章节内容，旨在通过实际教学情境，引导学生理解和掌握反比例函数的定义、性质及其应用。在案例中，我担任特级教师，以班级为单位进行教学，学生年龄均为14-15岁，具备一定的数学基础。
根据教材内容，本节课的主要目标是让学生了解反比例函数的概念，能够运用反比例函数解决实际问题。在教学过程中，我充分运用人性化的教学语言，注重激发学生的学习兴趣，提高他们的自主学习能力，培养他们分析问题、解决问题的能力。
2.学生能够理解反比例函数在实际生活中的应用，认识到数学的重要性，培养学生的数学素养。
3.学生通过反比例函数的学习，能够感受到数学的美丽和逻辑性，培养学生的审美观念。
4.学生能够克服学习中的困难，勇于面对挑战，培养学生的自信心和坚韧性。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设情境，引发学生对反比例函数的思考。例如，通过展示图片，如商场打折、人口增长等，让学生感受到反比例函数在现实生活中的存在。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结反比例函数的定义、性质及其应用，使学生对反比例函数有一个全面的认识。
2.教师强调反比例函数在实际生活中的重要性，激发学生学习反比例函数的积极性。
3.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予鼓励和指导。
26.1.1反比例函数
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)当x= 4 时，求y的值;
(3)当y= 8 时，求x的值.
练一练：已知y是x2 的反比例函数，且当x=3时，
y=4.
(1)写出y1关于x的函数解析式; (2)当x= 3 时，求y的值;
(3)当y= 6 时，求x的值.
四.小结与思考 通过这节课的学习，你有什么收获？
1463
1000
1.68 104
(1)v
(2) y
(3)s
.
t
x
n
二.反比例函数的概念
一般地，形如 y
k
x (k为常数，k≠0)的函数，叫
做反比例函数，其中x是自变量，y是函数.
反比例函数的表示方法
思考:反比例函数除了这种分式的形式外， 还有其他表示方法吗?
练一练：
1.下列函数:
5
(1)y= x
一.情境引入
同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时 间有长有短,所以它们的平均速度有快有慢.
(1)如果速度v一定,那么路程s与时间t是 什么关系?
(2)如果时间t一定,那么路程s与速度v又 是什么关系呢?
(3)如果路程s一定,那么速度v和时间t又 是什么关系呢?
感知反比例函数，写出各问题的解析式.
(1)京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平 均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时 间t(单位:h)的变化而变化; (2)某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩 形草坪，草坪的长y(单位:m)随宽x(单位:m)的 变化而变化;
(3)已知北京市的总面积为1.68×104 km2，人 均占有面积S(单位:km2/人)随全市总人口n(单 位:人)的变化而变化.
人教版数学九年级下册：(反比例函数)反比例函数(教案)
第二十六章反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数【知识与技能】1.理解反比例函数的意义.2.能够根据已知条件确定反比例函数的解析式.【过程与方法】经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程中，体会反比例函数来源于生活实际，并确定其解析式.【情感态度】经历反比例函数的形成过程，体验函数是描述变量关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力.【教学重点】理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式【教学难点】反比例函数解析式的确定.一、情境导入，初步认识问题京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该次列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化,速度v和时间t的对应关系可用怎样的函数式表示？【教学说明】教师提出问题，学生思考、交流，予以回答.教师应关注学生能否正确理解路程一定时，运行时间与运行速度两个变量之间的对应关系，能否正确列出函数关系式，对有困难的同学教师应及时予以指导.二、思考探究，获取新知问题1某住宅小区要种植一个面积为1000 m2的长方形草坪，草坪的长为y (单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化，你能确定y与x之间的函数关系式吗？问题2已知北京市的总面积为1. 68 ×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位平方千米/人）随全市人口 n(单位:人）的变化而变化，则S与n的关系式如何？说说你的理由.思考观察你列出的三个函数关系式，它们有何特征，不妨说说看看.【教学说明】学生相互交流，探寻三个问题中的三个函数关系式，教师再引导学生分析三个函数的特征，找出其共性，引入新知.反比例函数：形如y =kx(k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.试一试下列问题中，变量间的对应关系，可用怎样的函数解析式表示？(1)一个游泳池的容积为2000m 3，注满游泳池所用的时间t(单位:h)随注水速度v(单位: m 3/h)的变化而变化；(2)某长方体的体积为1000cm 3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S (单位：cm 2 )的变化而变化.(3)—个物体重100牛，物体对地面的压强 P 随物体与地面的接触面积S 的变化而变化.【教学说明】学生独立完成（1)、（2)、（3)题，教师巡视，关注学生完成情况，肯定他们的成绩，提出个别同学问题，帮助学生加深对构建反比例函数模型的理解.三、典例精析，掌握新知例1 已知y 是x 的反比例函数，当x =2 时,y = 6.(1) 写出y 与x 之间的函数解析式；(2) 当x =4时，求y 的值.【分析】由于y 是x 的反比例函数，故可说其表达式为y =k x，只须把x =2，y=6代入，求出k 值，即可得y =12x，再把x =4代入可求出 y=3. 【教学说明】本例展示了确定反比例函数表达式的方程，教师在评讲时应予以强调.在评讲前，仍应让学生自主探究，完成解答，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.例2 如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的 正比例函数，且x ≠0，那么y 与x 是怎样的函数关系？【分析】 因为y 是z 的反比例函数，故可设y =1k z(K 1≠0)，又z 是x 的正比例函数，则可设 z = 2k x (2k ≠0) x ≠0，∴ y =12k k x . 11220,k 0,0,k k k ≠≠∴≠ 故y =12k k x是y 关于x 的反比例函数. 【教学说明】本例仍可让学生先独立思考，然后相互交流探索结论.最后教师予以评讲，针对学生可能出现的问题（如设：y =k x，z=kx 时没有区分比例系数）予以强调，并对题中x ≠0的条件的重要性加以解释，帮助学生加深对反比例函数意义的理解.四、运用新知，深化理解1.下列哪个等式中y 是x 的反比例函数? y = 4x, y x= 3, y=6x+1,xy=123. 2.已知y 与x 2成反比例，并且当x= 3时,y=4.(1)写出y 和x 之间的函数关系式,y 是x 的反比例函数吗？(2)求出当x =1.5时y 的值.【教学说明】让学生通过对上述两道题的探究，加深对反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题技能，教师巡视，再给出答案并解决易错点.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.只有等式xy=123中,y 是x 的反比例函数.2.解：（1)由题知可设y =2,3k y x x==时y=4，∴ k= 4×9 = 36，即 y = 236x，y 不是 x 的反比例函数. (2)y=236x ，x=1.5 时，y=361.5 1.5⨯ =16. 五、师生互动，课堂小结1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.1.布置作业：从教材“习题26. 1”中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.反比例函数是初中学习阶段的第二种函数类型.因此本课时教学仍然是从实际问题入手，充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相互关系及变化规律，逐步加深理解.在概念的形成过程中，从感性认识到理性认识一旦建立，即已摆脱其原型成为数学对象.反比例函数具有丰富的数学含义，可以利用它通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象.此外，教师在例题的处理上，应要求学生将解题步骤写完整.。
26.1.1 反比例函数 课件-人教版数学九年级下册
感悟新知
知1－练
1-1.[月考·成都锦江区]下列函数中，y是x的反比例函数的 是( B )
A. y＝x－4 1 C. y＝32x
B. y＝25x D. y＝x12
感悟新知
知2－讲
知识点 2 反比例关系与反比例函数的区别与联系
1. 如果xy＝k(k为常数，k ≠ 0)，那么x与y这两个量成反比例 关系，这里的x和y既可以是单项式，也可以是多项式.
学习目标
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
学习目标
1 课时讲解 反比例函数的定义
反比例关系与反比例函数的区别与联系 求反比例函数的解析式 在实际问题中建立反比例函数模型
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 反比例函数的定义
知1－讲
0)，整理，得y＝x－k 5－2，显然，y不是x的反比例函数．
感悟新知
知2－练
例 2 已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，并 且当x＝2时，y＝－4；当x＝－1 时，y＝5，求y关于x 的函数解析式.
思路引导：
感悟新知
解：∵ y1与x成正比例，∴设y1＝k1x(k1≠0).
知2－练
感悟新知
(2)求当x＝8时的函数值y． 【解】当 x＝8 时，y＝2×(8－1)＋68＝1434.
知2－练
感悟新知
知识点 3 求反比例函数的解析式
知3－讲
1. 确定反比例函数解析式的方法是待定系数法，由于在反
比例函数y＝，即可求出k的值，从而确 定其解析式.
综合应用创新
把x＝3代入y＝－2x，得y＝－2x. 所以y是x的反比例函数，函数解析式为y＝－2x. 补全表格如下：
人教版九年级数学下册第26章反比例函数 26.1.1 反比例函数 课件
(((((((((((453534434254))))))))))))-yyxyyx3yyxxyyyxyyy121x+1x1212=2xx11x0x21xx
(5)
y
2
x
不具备 y k 的形式，所以y不是x的反
比例函数。 x
可以改写成
y
2 3x
，所以y是x的反
比例函数，比例系数k= 2
否
是
是
是
⑨ y 1
x2
否
⑩ y ( 2 3)x1 ⑾
是
1000 y 0 x
是
“聚焦”自变量
对于反比例函数 y 1000
x
①当x=50时，y=__2_0__ ②当x=－100时，y=__-_1_0_
③X的值能不能取0？为什么？ 函数 y k(k≠0)中,自变量x的取值范围是不为0的一 切实数。x ④某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草 坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化。
4
变式2、已知函数 y = y1 + y2，y1与x 成正比例，y2与x成
反比例，且当x=1时，y=3；当x=2时，y=3。
解((12:))(1求 当)设yx与=y41x时的，k函1xy数,的关y值2 系。式kx2；方将求法两出：组函先值数分代的别入值设所。设y1,的y2函与数x的关关系系式式中，，
x
4.反比例函数 y k 中，当x的值由4增加
x
到6时，y的值减小3，求这个反比例函数的
解析式． y 36 x
“极限”大挑战
5.（1）已知y与z成正比例，z与x成正比例。问y是x
的什么函数？
y与x成正比例
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学科数学年级九年级班级903 课时 1 主备人司怀金辅备人执教人司怀金课题26.1.1 反比例函数
教学目标
1．理解反比例函数的概念；
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；
3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．
教学重点
能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．
教学难点理解反比例函数的概念
教学方法
教具
ppt
教学过程二次修改
一、情境导入
1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次
列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？
2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变
化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？
问题：这些关系式有什么共同点？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的定义 【类型一】 反比例函数的识别
下列函数中：①y ＝
3
2x
；②3xy ＝1；③y ＝1－2x ；④y ＝x
2
.反比例函数有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 解析：①y ＝
32x 是反比例函数，正确；②3xy ＝1可化为y ＝1
3x
，是反比例函数，正确；③y ＝1－2x 是反比例函数，正确；④y ＝x
2是正比例函数，错误．故
选C.
方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y ＝k
x (k 为常数，
k ≠0)，y ＝kx －
1(k 为常数，k ≠0)或xy ＝k (k 为常数，k ≠0)．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 根据反比例函数的定义确定字母的值
已知函数y ＝(2m 2＋m
－1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，求m 的值．
解析：由反比例函数的定义可得 2m 2＋3m －3＝－1，2m 2＋m －1≠0，然后求解即可．
解：∵y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，∴
⎩
⎪⎨⎪⎧2m 2＋3m －3＝－1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2. 方法总结：反比例函数也可以写成y ＝kx －
1(k ≠0)的形式，注意x 的次数为－1，系数不等于0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 探究点二：用待定系数法确定反比例函数解析式 【类型一】 确定反比例函数解析式
已知变量y 与x 成反比
例，且当x ＝2时，y ＝－6.求：
(1)y 与x 之间的函数解析式；
(2)当y ＝2时，x 的值．
解析：(1)由题意中变量y 与x 成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．(2)代入求得的函数解析式，解得x 的值即可．
解：(1)∵变量y 与x 成反比例，∴设y ＝k
x (k ≠0)，∵当x ＝2时，y ＝－
6，∴k ＝2×(－6)＝－12，∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝－12
x
；
(2)当y ＝2时，y ＝－12
x
＝2，解得x ＝－6.
方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y ＝k
x (k 为常数，k ≠0)；②将已知条件(自变
量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型二】 解决与正比例函数和反比例函数有关的问题
已知y ＝y 1＋y 2，y 1与(x
－1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1.求：
(1)y 关于x 的关系式；
(2)当x ＝－1
2
时，y 的值．
解析：根据正比例函数和反比例函数的定义得到y 1，y 2的关系式，进而得到y 的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．
解：(1)∵y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，∴设y 1＝k 1(x －1)(k 1
≠0)，y 2＝k 2x ＋1(k 2≠0)，∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝k 1(x －1)＋k 2
x ＋1
.当x ＝0时，y ＝－
3；当x ＝1时，y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪
⎧－3＝－k 1＋k 2，－1＝1
2k 2，∴k 1＝1，k 2＝－2，∴y ＝x －1－2
x ＋1
； (2)把x ＝－12代入(1)中函数关系式得y ＝－11
2
.
方法总结：能根据题意设出y 1，y 2的函数关系式并用待定系数法求得等
量关系是解答此题的关键．
探究点三：建立反比例函数模型及其相关问题
写出下列问题中两个变
量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数．
(1)底边为3cm 的三角形的面积y cm 2随底边上的高x cm 的变化而变化； (2)一艘轮船从相距s km 的甲地驶往乙地，轮船的速度v km/h 与航行时间t h 的关系；
(3)在检修100m 长的管道时，每天能完成10m ，剩下的未检修的管道长y m 随检修天数x 的变化而变化．
解析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为反比例函数．
解：(1)两个变量之间的函数表达式为：y ＝3
2x ，不是反比例函数；
(2)两个变量之间的函数表达式为：v ＝s
t
，是反比例函数；
(3)两个变量之间的函数表达式为：y ＝100－10x ，不是反比例函数． 方法总结：解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系，列出函数解析式，然后根据解析式的特点判断是什么函数．
三、板书设计
1．反比例函数的定义：
形如y ＝k
x
(k 为常数，k ≠0)的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，自
变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．
2．反比例函数的形式：
(1)y ＝k
x
(k 为常数，k ≠0)；
(2)xy ＝k (k 为常数，k ≠0)；
(3)y ＝kx －
1(k 为常数，k ≠0)．
3．确定反比例函数的解析式：待定系数法． 4．建立反比例函数模型．
板书设计 课后作业 教学反思
让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义.
感谢您的阅读，祝您生活愉快。