有理数及其运算复习讲义精品资料
有理数及其运算复习讲义小书童教育连锁机构 初一升初二时间： 2014年 月 日 姓名有理数及其运算复习讲义一 【知识回顾】（一）、负数，有理数的分类1、负数的意义：上升1m 表示为-----，则下降2m 表示为------。
2、某品牌纯净水标着505±ml ”，则这瓶纯净水最多 ml ，最少 ml 。
3、0π⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩正整数整数有理数负整数分数（有限小数和循环小数属分数，但是无限不循环小数，不是分数）4、非负数即不是负数，包括0和正数。
5、因为a 可以表示正数、0和负数，所以a 不一定是正数，－a 不一定是负数。
（二）、数轴1、数轴的三要素： -------、原点和单位长度。
在数轴上，右边的数总比左边的数大。
最小的正整数是 ，最大的负整数是-----。
2、相反数：两个数只有符号不同，我们称一个是另一个的相反数。
2和－2，a 和－a ，2x y z --和2x y z -++。
3、0的相反数等于它本身的数是0。
两个相反数相加等于0.4、x ＋y 的相反数是-----，a －b 的相反数是---5、（1）a>0时，－a<0； (2)a<0时，－a>0；(3)a ＝0时，－a=0.6、表示互为相反数的两个点位于原点的----，且到原点的 相等。
7、符号的化简：－（－2）＝---；－（＋2）＝---；－（x ＋y ）＝---.（三）、绝对值1、在数轴上，一个数a 所对应的点到原点的----叫做该数的绝对值。
记作：||a 。
任何数的绝对值一定 0，即：||0a ≥.⎧⎪⎨⎪⎩正有理数有理数0负有理数2、(0)||(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩，正数的绝对值等于它本身，0的绝对值等于0，负数的绝对值等于它的相反数3、绝对值等于它的本身的数是 ；绝对值等于它的相反数的数是-----。
4、|x|=3,则x ＝ 。
5、两个负数，绝对值大的反而小。
452425()563030->-->-通分 6、绝对值化简：先判断绝对值号内的数的符号，再根据绝对值的代数意义来化简去绝对值号。
已知x<0,y>0,化简|x-y|+|x|+|y|= .（四）、有理数的加、减法1、有理数的加法法则：(1) (5)(6)(56)11-+-=-+=-（2）5(3)(53)2-++=--=-（3）5(5)0-++=，即互为相反数两数相加等于0.（4）一个数与零相加，仍得这个数。
0(6)6+-=-2、有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
()a b a b -=+-，()a b a b --=+3、有理数加法的运算律：交换律a b b a +=+、结合律()()a b c a b c ++=++4、去括号法则：去掉-（），括号里的数要变号。
如()a b c d a b c d --+=-+- （五）、有理数的乘、除法1、多个有理数相乘，积的符号由 来决定，偶数个负数相乘，结果得正；奇数个负数相乘，结果得负。
如2(1)1n -=，21(1)1n +-=-2、乘法分配律：2()222a b c a b c --+-=-+3、互为倒数的两个数乘积为1.0除以任何数都得0。
（六）、有理数的乘方1、N 个相同的数a 的乘积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做 。
记作n a ，其中，a 为底数，n 为 指数。
2、负数的偶次方得正，负数的奇次方得负。
如2(1)1n -=，21(1)1n +-=-3、分数、和负数的乘方要分清底数和指数，要明确区分有无括号的不同。
如22433-=-；224()39-=-；224()39-=； 4、平方等于本身的数是 ；立方等于本身的数是 0。
（七）、有理数的混合运算原则：先算乘方，再算乘除，最后加减。
有括号时先算括号里面的数。
二．【例题剖析】例1.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，其中O 是原点，b =c ．（1）用“<”把a 、b 、－a 、－b 连接起来；（2）b ＋c 的值是多少？（3）判断a ＋b 与a ＋c 的符号．例2 计算： ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-----2452132324三．【知识点分类精讲】知识点1. 数怎么不够用了大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3，218，5.2也可写作+3，+218，+5.2；零既不是正数，也不是负数。
【巩固练习】一、选择题1. 关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 （ ）A. 0是整数B. 0是偶数C. 0是自然数D. 0既不是正数也不是负数2. –3.782： （ ）A. 是负数，不是分数B. 不是分数，是有理数C. 是分数，不是有理数D. 是分数，也是负数二、将下列各数填入相应的集合中。
71，-1，12，0，-3.01，0.62，-15，-218，180，-42，-45%，π，1。
整数：______________________ 自然数：___________________________正数：______________________ 负数： ___________________________偶数：______________________ 奇数： ___________________________分数：______________________ 非负数：___________________________非负整数： _________________ 非正分数：_________________________非负有理数：________________ 有理数： __________________________三、填空题1. 河道中的水位比正常水位低0.2m 记作-0.2m ，那么比正常水位高0.1m 记作________。
2. 一潜艇所在深度是-80米,一条鲨鱼在艇上30m 处,鲨鱼所在的深度是________。
四、答下面的问题：1）将[少2千克]，用[多]表示出来； 2）不用负数表示[减少-7]。
知识点2. 数轴数轴是数与图形结合的工具；数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据；数轴的作用：1）形象地表示数（因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理数），2）通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，3）比较有理数的大小：a ）右边的数总比左边的数大，b ）正数都大于零，c ）负数都小于零，d ）正数大于一切负数【巩固练习】一、填空题1. 数轴上与表示﹣2点相距3个单位的点所表示的数是________。
2. 数轴表示+3和﹣3的点离开原点的距离是________个单位，这两个点的位置分别在________点右边和左边。
3. 在有理数中最大的负整数是________, 最小的正整数是________, 最大的非正数是________, 最小的非负数是________, 最大的非负数是________.4. 用“＞”或“＜”号填空：1）3.5 ____ 0 ; 2) ﹣2.8 ____ 0 ; 3) ﹣1.95 ____ 1.59 ;4)75 ____ 76- ;5) 31- ____ ﹣0.3 ; 6) ﹣0.67 ____ 32- ; 知识点3. 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别在原点的两边；规定：0的相反数是0。
【巩固练习】（1）填空题1. 如果一个数的相反数是它本身, 则这个数是________.2. 如果一个数的相反数是最小的正整数, 则这个数是________.3. 若1=b a , 则a 与b________; 若1-=ba , 则a 与b________; 若a+b=0, 则a 与b________.4. 在数轴上与－3距离4个单位的点表示的数是5.写出大于-4且小于3的所有整数为______________;6.求下列各数的相反数0.26 ；52-；π－3 ；﹣a ；﹣x+1 ； m+1 ；2xy ；a －b 。
知识点4. 绝对值一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作∣a ∣；绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若a ＞0，则∣a ∣＝a. 若a ＝0，则∣a ∣＝0. 若a ＜0，则∣a ∣＝﹣a ；绝对值越大的负数反而小；两个点a 与b 之间的距离为：∣a －b ∣。
【巩固练习】一、选择题1. ﹣∣﹣3∣是 （ ）2. A. 正数 B. 负数 C. 正数或0 D. 负数或02. 绝对值最小的整数是 （ ）3. A. 0 B. 1 C. –1 D. 1和-1二、填空题 1. 若a ＝213-, 则∣a ∣＝________; 若∣a ∣＝3, 则a ＝________.2. ﹣∣﹣324∣＝______; ∣﹣413∣－∣﹣321∣＝______; ∣﹣0.77∣÷∣+432∣＝_______;3. 绝对值小于4的负整数有 个，正整数有 个，整数有 个三、解答题1. 已知∣x+y+3∣=0，求∣x+y ∣的值。
2. 已知 A ，B 是数轴上两点，A 点表示﹣1，B 点表示3.5，求A ，B 两点间的距离。
3. 已知：∣a ＋2∣＋∣b －3∣=0，求2a 2－b ＋1的值。
知识点5 有理数的加减法【巩固练习】计算：1） ﹣31－21＋65－（43-）；2）﹣（﹣8）－∣﹣6∣－∣+8∣－（+7）；3）)434000()321999()652000(-+---。
知识点6. 有理数的乘除法倒数：乘积是1的两数互为倒数，即a ·a 1=1（a ≠0），0没有倒数。
注意：倒数与相反数的区别【巩固练习】计算：1）（215-）×313； 2） 512-×1132÷（212-）；3）（12787431+-）÷)241(-； 4）)241(-÷（12787431+-） ；知识点7. 有理数的乘方乘方：求n 个相同因数的积的运算。
乘方的结果叫幂，a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都为0。
【巩固练习】1.计算：（-5）3； -53；2)43(-；432-；（-1）2001； )211(-3。
第8讲 有理数及其运算(基础)
《有理数及其运算》全章复习【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．0C要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·(b ≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒π--a 1b2(3)9-=3(3)27-=-数比较法．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．【典型例题】类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．举一反三：【变式】(1)的倒数是；的相反数是；的绝对值是．-（-8）的相反数是；的相反数的倒数是_____.(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是．(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m／min．(4) 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则____ ．2．已知|x|=|﹣3|，则x 的值为．3．在下列两数之间填上适当的不等号：________．举一反三：【变式】有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（）10na⨯10a<n5210⨯321-321-321-21-=++)(323bacd2005200620062007A ．a+b＜0 B ． a ﹣b ＜0 C ． a•b＞0 D ． ＞0类型二、有理数的运算4．计算：．举一反三：【变式】计算：（1） （2）类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系．A ．-a ＜a ＜1B ．1＜-a ＜aC ．1＜-a ＜aD ．a ＜1＜-a （2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y 的值． （3）转化思想：计算：举一反三：【变式】若a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么?11(2)(2)22-⨯÷⨯-()20064261031-+--⨯-3135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭类型四、规律探索6．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【巩固练习】一、选择题 1．的相反数是（ ） A ．2016B ．﹣2016C ．D ．2.如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）A ．点MB ． 点NC ． 点PD ． 点Q3． 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-)511(-|32+，中，负数的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个４．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（ ）A ．2.02×210人B ．202×810人C ．2.02×910人D ．2.02×1010人 5．若-1<a<0,则a ，2a ,a1从小到大排列正确的是（ ） A ．a 2<a<a 1 B ．a <a 1< a 2 C ．a 1<a< a 2 D ．a < a 2<a16．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )12-1314-1516-A ．6B ．-6C ．-1D ．-1或6 7．a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）A ． a+b>0B ． ab>0C ．ba>0 D ．a-b>0 8．已知有理数a ，b 在数轴上对应的两点分别是A ，B ．请你将具体数值代入a ，b ，充分实验验证：对于任意有理数a ，b ，计算A ， B 两点之间的距离正确的公式一定是（ ） A ．a b - B ．||||a b + C ．||||a b - D ．||a b - 二、 填空题9.计算：23×（）2= ．10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是___________.11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米． 12．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x . 13．已知实数a , 在数轴上如下图所示，则|1|-a = .14．若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= ． 15．()221---＝ ．16．观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32016的个位数字是 ．三、 解答题 17．计算：（1）222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭（2）4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯-- （3）21-49.5+10.2-2-3.5+19（4）323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，且x 的绝对值为3，求2x 2-(ab-c-d)+|ab+3|的值．19.居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2014年用电量为3000度，则2014年小敏家电费为多少元？20．先观察下列各式：11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；…；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算：1111447710+++⨯⨯⨯ (1)20052008+⨯的值．。
有理数及其运算复习精选教学PPT课件
口答题
(-2)+(-10) (-31)-12
5+(-17) 23-(-10)
(-28)+0 (-10)-(-12)
3、有理数的乘法： 两数相乘，同号得正，异号得负， 绝对值相乘
任何数与0相乘，积仍为0 倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数
4、有理数的除法 ：
求法：整数、分数、小数 法则一：两数相乘，同号得正，异号 得负，
敞开心胸，便会云蒸霞蔚，快乐将永远伴随着你！
3、在数轴上，点A表示的数是4，则到点A的距离是5的数 是_________
9或-1
绝对值：1、定义： 在数轴上，一个数所对应 的点与原点的距离
2、性质： ①正数的绝对值是它本身
②负数的绝对值是它的相反数 ③0的绝对值还是0
3、比较大小
巩固练习（三）
1、绝对值是4的数有_2__个，分别是__4_和_-_4____；
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
【精品】初中数学讲义有理数及四则运算科学记数法
初中数学讲义有理数及其四则运算和科学记数法
龚天勇
一、知识目标：
1、正数与负数，
2、数轴、相反数、绝对值；
3、有理数
4、加减法、交换律、结合律
5、有理数的乘法与除法、倒数；交换律、结合律
6、有理数的正整数幂
7、有理数四则运算法则
8、科学记数法、近似数、有效数
二、教学过程
（一）、正数与负数
（二）、有理数
（三）、数轴
（四）、相反数
（五）、绝对值
怎样比较两个数的大小？
（六）有理数加减法
（七）、有理数加减法混合运算
（用计算器进行有理数加减法运算）
三、课堂总结
正数、负数、有理数；有理数的加减法混合运算。
计算器进行加减法运算
四，有理数的乘法运算、倒数
如果两个数的乘积为1，则称这两个数互为倒数；
多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘。
五、有理数的乘方
九、科学记数法
十、近似数与有效数。
有理数及其运算总复习
1第一章 有理数及其运算总复习一、【知识点归纳】（1）负数的应用，有理数的分类1、负数的意义：引入负数是我们实际的需要，我们通常用正、负来表示一对相反意义的量。
(1),上升1m 表示为＋1m ，则下降2m 表示为 。
生活中有很多这样的相反的量：前进－后退，向东－向西，等等。
(2),“某种机器零件规定其直径误差不得超过±0.8mm ”这是什么意思？ (3)、 和 统称为有理数。
注意：有限小数和无限循环小数都属于有理数。
例1.将下列各数填到相应的括号内： －7.2，34，－9，1.4，0，3.14，π，1245，－2.5，20％, 111 整数集合：正分数集合：非负数集合： 分数集合：例2. a 一定是正数，－a 一定是负数吗？回答并举例：（2）数轴 1、数轴的三要素： 、 、 。
在数轴上，右边的数总比左边的数大。
最小的正整数是 ，最大的负整数是 。
2、△相反数 特别的：0的相反数是 。
x ＋y 的相反数是（ ），a －b 的相反数是（ ）。
牢记：正数的相反数是 ，负数的相反数是 ，相反数等于它本身的数是 。
3、相反数的代数意义：a>0时，－a 0； a<0时，－a 0； a ＝0时，－a 0.（a 可以代表任意有理数）相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点位于原点的 ，且到原点的 相等。
4、会进行符号的化简： 例：－（－2）＝ ；＋[－（＋2）]＝ ；－（x ＋y ）＝ ；特别提醒：相反数的学习对绝对值的化简至关重要。
一定要把握住相反数的本质。
△※（3）绝对值1、概念：在数轴上，一个数所对应的点到原点的 叫做该数的绝对值。
记作： △任何数的绝对值一定 0，即：|a| 例：|x|=3,则x ＝ 2、利用绝对值比较大小：两个负数，绝对值大的反而小。
例：－45 －56， －58 －57△※5、绝对值化简：即去绝对值号。
把握一个原则：先判断绝对值号内的数的符号，再根据绝对值的代数意义来化简去绝对值号。
有理数及其运算知识点精华版
有理数一、有理数：整数和分数统称为有理数。
正整数（非负整数）正整数整数0正有理数负整数（非正整数）正分数有理数正分数有理数 0 负整数分数负有理数负分数负分数注意：正负数表示具有相反意义的量（具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量一定相等，负号“-”本身就表示意义相反的意思）。
0既不是正数也不是负数。
二、数轴三要素：原点、单位长度、正方向。
1、两方向无限延伸；三要素缺一不可；原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际情况需要规定的。
2、画法：一条直线——取一点为原点——正方向，用箭头表示（一般规定向右）3、所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不是都表示有理数数。
4、数轴上的点，右边的数 > 左边的数。
正数 > 0 > 负数三、绝对值1、相反数：只有符号不同的两个数，互为相反数。
0的相反数是0.表示方法：a的相反数可表示为-a。
（根据相反数的意义，只改变原来的符号即可得到原来的相反数，在一个数前面加负号，即求它的相反数。
）-(-2)=2,-(+2)=-22、绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作∣a∣。
a (a>0) 正数的绝对值是它本身∣a∣= 0 (a=0) 0的绝对值是0-a (a<0) 负数的绝对值是的相反数（注意：∣a∣≥ 0）3、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
四、有理数的加法同号相加，取相同符号，∣∣+∣∣。
a+0=a.绝对值不等——取∣∣大的加数的符号，∣大∣-∣小∣异号相加绝对值相等——互为相反数的两个数相加得04、加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)5、简便原则：①互为相反数的两数先相加②同号数先相加③能凑成整数(整十、整百)的数先相加④同分母的分数线相加五、有理数的减法（注意符号的改变）减法是加法的逆运算。
(加数=和-另一加数)减去一个数等于加上这个数的相反数：a-b=a+(-b)减法运算时，先把减号变加号，把减数变加数六、有理数的加减混合运算1、运用减法法则将有理数混合运算中的减法变加法。
有理数及其运算(复习课)-教学课件
目录Biblioteka • 有理数的概念 • 有理数的运算 • 有理数的混合运算 • 有理数的应用 • 有理数的复习题与解析
01 有理数的概念
定义与性质
定义
有理数是可以表示为两个整数之 比的数，包括整数、分数和十进 制数。
性质
有理数具有封闭性、传递性和有 序性等基本性质。
有理数的分类
01
正数
大于0的有理数，包括正整数和正分数。
02
负数
小于0的有理数，包括负整数和负分数。
03
零
既不是正数也不是负数的有理数。
有理数的表示方法
01
02
03
分数表示
如$frac{a}{b}$，其中$a$ 是分子，$b$是分母，且 $b neq 0$。
小数表示
如$a.bc$，其中$a$是整 数部分，$bc$是小数部分 。
在科学中的应用
在物理学中，有理数被广泛应用 于描述速度、加速度、距离等物
理量。
在化学中，有理数可以用来表示 化学反应中的比例关系和平衡常
数。
在工程学中，有理数被广泛应用 于设计、施工和计算等方面。
05 有理数的复习题与解析
基础题
总结词
掌握有理数的基本概念 和性质
题目1
判断正误：所有的有理 数都是整数。
运算技巧
拆项法
将复杂的混合运算拆分成更简单 的部分，便于计算。
凑整法
通过调整运算顺序或添加适当的项 ，使计算结果更易于观察和计算。
逆向思维法
在解决某些复杂问题时，从结果出 发，逆向推导，简化计算过程。
04 有理数的应用
在数学中的应用
01
有理数是数学中基本的概念之一，是代数、几何等领域 的基础。
有理数及其运算复习讲义
有理数及其运算复习讲义小书童教育连锁机构 初一升初二时间： 2014年 月 日 姓名有理数及其运算复习讲义一 【知识回顾】（一）、负数，有理数的分类1、负数的意义:上升1m 表示为-———-，则下降2m 表示为——-—--。
2、某品牌纯净水标着505±ml ”，则这瓶纯净水最多 ml ，最少 ml 。
3、0π⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩正整数整数有理数负整数分数（有限小数和循环小数属分数，但是无限不循环小数，不是分数）4、非负数即不是负数，包括0和正数。
5、因为a 可以表示正数、0和负数，所以a 不一定是正数，－a 不一定是负数。
（二）、数轴1、数轴的三要素： ---——--、原点和单位长度。
在数轴上,右边的数总比左边的数大。
最小的正整数是 ，最大的负整数是——-——。
2、相反数：两个数只有符号不同，我们称一个是另一个的相反数。
2和－2,a 和－a ，2x y z --和2x y z -++.3、0的相反数等于它本身的数是0.两个相反数相加等于0.4、x ＋y 的相反数是--——-，a －b 的相反数是—-—5、（1)a 〉0时，－a<0； (2）a<0时，－a>0；（3)a ＝0时，－a=0。
6、表示互为相反数的两个点位于原点的-———,且到原点的 相等.7、符号的化简:－（－2）＝---;－（＋2）＝———；－（x ＋y ）＝———.（三)、绝对值1、在数轴上，一个数a 所对应的点到原点的-———叫做该数的绝对值。
记作:||a 。
任何数的绝对值一定 0，即：||0a ≥。
⎧⎪⎨⎪⎩正有理数有理数0负有理数2、(0)||(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩，正数的绝对值等于它本身，0的绝对值等于0，负数的绝对值等于它的相反数3、绝对值等于它的本身的数是 ；绝对值等于它的相反数的数是—————.4、|x ｜=3,则x ＝ 。
5、两个负数，绝对值大的反而小。
有理数及其运算总结
有理数及其运算 复习材料一、知识梳理：⑴正数与负数：负数产生的必要性；具有相反意义的量。
⑵有理数的分类：整数、分数统称有理数；整数又包括正整数、零、负整数，分数又包括正分数与负分数。
⑶相反数、倒数、绝对值：只有符号不同的两个数是互为相反数，a 的相反数为－a ；一个数除以1所得的商是这个数的倒数，零没有倒数；一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
⑷数轴：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
⑸有理数的大小比较：方法一：零大于一切正数，而小于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。
方法二：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
⑹代数和：把有理数的加、减运算统一写成加法形式，成为几个有理数的和，通常称为代数和；省略加号的和的形式。
⑺去括号与添括号：去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号。
添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；在“－”号后边添括号，括到括号内的各项都要变号。
⑻乘方：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的给果叫做幂。
⑼有理数的运算法则①：有理数的加法法则：（1） 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2） 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；（3） 一个数同0相加，仍得这个数。
②有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
减去一个数等于加上这个数的相反数，引入相反数后，加减运算可以统一为加法运算。
减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，用字母表示为：)(b a b a -+=-在此过程中有两个转化必须同时进行，即当把减号变为加号时，减数必须变为原来的相反数。
有理数的减法(一) 由34)3(47347)3(4+=--⇒⎭⎬⎫=+=-- 30)3(03303)3(0+=--⇒⎭⎬⎫=+=--)7(157158)7(158715-+=-⇒⎭⎬⎫=-+=-得到有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 )(b a b a -+=-③有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
有理数及其运算复习课件(经典)
本课件全面回顾有理数的概念、运算规律及应用。通过丰富的图表和实例， 让您轻松掌握复杂的数学概念。我们开始吧！
有理数的概念及表示方法
通过例子和图示介绍有理数的定义以及常见的表示方法，如数轴、分数等。掌握有理数的基本概念和表示形式。运算规律和性质。通过实例演示绝对值在数轴上的 作用，帮助理解和掌握绝对值的概念。
有理数的比较与大小关系
介绍有理数的大小比较方法和运算规则。通过练习问题培养对有理数大小关 系的敏感性和判断能力。
有理数的加法与减法运算规律
总结有理数加法和减法的运算规律，提供实例演示。通过具体问题，培养对 有理数运算的理解和应用能力。
有理数的乘法与除法运算规律
详细介绍有理数乘法和除法的运算规律和性质。通过解决实际问题，巩固对 有理数乘除法的掌握。
有理数的运算性质及证明
探讨有理数运算的基本性质和证明方法。通过数学推理和证明题，加深对有理数运算性质的理解和运用。
有理数的约分与通分
教授有理数的约分和通分方法，通过实例演示和练习题，提高对有理数约分 和通分技巧的掌握。
有理数的混合运算
解释有理数的加减乘除混合运算规则，通过实际问题和练习题，提升对有理数混合运算的应用能力。
第一章 有理数及其运算 知识点
第一章 有理数及其运算复习一、正数与负数：(三个重要的定义)1.【正数】：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。
为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
2.【负数】：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。
而负数前面的“－”号不能省略。
3.【零】：既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
★注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如－a 不一定是负数，因为字母a 代表任何一个有理数，当a 是0时，－a 是0，当a 是负数时，－a 是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。
二、有理数及其分类：有理数：整数与分数统称为有理数。
整数包括三类：正整数、零、负整数。
分数包括两类：正分数和负分数。
按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。
三、数轴：1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。