专题13 解直角三角形-(沪教版)
沪教版九年级上册-解直角三角形的应用讲义
．
3、如图，沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2米，坡度由原来的1:2改为1:2.5，已知坝
高6米，坝长50米．
(1)求加宽部分横断面AFEB 的面积； (2)完成这一工程需要多少方土？
巩固练习：
1．有一个坡角，坡度3:1=i ，则坡角=α
2．如图，∆ABC 中，∠ACB =90︒，CD 是斜边上的高，若AC =8，AB =10，tan ∠BCD =___________. 3．如图，若人在离塔BC 塔底B 的200米远的A 地测得塔顶B 的仰角是30︒，则塔高BC =___ ___（米精确到1.0,732.13≈）
C
A
B
D
A
B
C
D
E
F
G H
2米
6米
1:21
:2.5_
2题图
_ C
_ A
3题图
B
4题图
((图
九)
自我测试
1、汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的
P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图九）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结
果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，
2、2010年5月，第42届世博会将在上海隆重开幕，为了体现“城市让生活更美好”的理
念，市政府对许多基础设施进行修缮。
如图，某地下车库的入口处有斜坡BC 长为55米，其坡度为1:2i =，为增加行车安全，现将斜坡的坡角改造为15．
CD；
地面
C。
沪教版九年级上册-解直角三角形(基础),带答案
教学内容------解直角三角形 ★知识要点1、解直角三角形的依据在直角三角形ABC 中，如果∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么 （1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系为：2、其他有关公式直角三角形面积公式： （hc 为c 边上的高）3、解直角三角形的条件在除直角C 外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。
4、直角三角形的关键是正确选择关系式 在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数 （2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。
（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。
5、直角三角形时需要注意的几个问题（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。
（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。
（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算★新课学习引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为222410 ＝26 ， 26＋10＝36所以， 大树在折断之前的高为36米.解：120119sin ,cos 169169A A ==，120tan 119A =，119cot 120A =3. 已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，则底角∠B=30︒；4. 如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC 的面积(结果可保留根号).解：48163ABC S ∆=-例3、 已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm ，另一条直角边为8cm ，求它的面积.解：224S cm =例4、 在△ABC 中，90C ︒∠=，60B ︒∠=，33a b +=+，求：a 、b 、c 的值及∠A.解：3a =，3b =，23c =，30A ︒∠=例5、 已知△ABC 中，∠C=90°，若△ABC 的周长为30，它的面积等于30，求三边长. 解：5,12,13a b c ===或12,5,13a b c ===例6、 如图：△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 点，若∠A=60°，AB-CD=13，求BC 及ABC S ∆ . 解：683BC =+，48383ABC S ∆=+例7、 已知△ABC 中，∠BAC=60°，AB ∶AC=5∶2且103ABC S ∆= ，求三边的长. 解：10AB =，4AC =，219BC =例8、 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，BD 是中线，已知AB ＝10，3tan 2α=，求∠A 和BC.解：30A ︒∠=，5BC =例9、 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，AC ＝5，BC ＝12，（1）求AB 的值；（2）求∠BCD 的值。
新沪科版九年级数学上册课件： 解直角三角形
( 4 )根据( 1 )( 2 )( 3 )题的结论,试猜想 S△ABC 与12bc·sin A 的大小
关系,并给出证明.
解:( 4 )猜想 S△ABC=12bc·sin A, 理由:作△ABC 的高 CD,
在 Rt△ADC 中,∵CD=AC·sin A=bsin A, ∴S△ABC=12AB·CD=12c·bsin A=12bc·sin A.
第23章
第1课时 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-12-
第23章
第1课时 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
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解:( 1 )∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tan A=������������������������, ∴∠E=30°,BE=6tan 60°=6 3, 又∵∠CDE=90°,CD=4,∠E=30°,∴CE=8,
( 1 )当∠A=30°,b=6,c=3 时,S△ABC= 4.5 ,12bc·sin A= 4.5 ;
(
2
)当∠A=45°,b=6,c=3
时,S△ABC=
92 2
,12bc·sin
A=
92 2
;
( 3 )当∠A=60°,b=4,c=3 时,S△ABC= 3 3 ,12bc·sin A= 3 3 ;
略
第23章
第1课时 解直角三角形
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-7-
识点3 构造直角三角形 7.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos A的值为( B )
A.12
B.
2 2
C.
3 2
沪教版初中数学九年级第一学期 解直角三角形的应用 课件优秀课件资料
5. 假如你从来未曾害怕、受窘、受伤害，好就是你从来没有冒过险。 14、在政治中我们需要能有所奉献的人，而不是想有所收获的人。
米.
x 1 ，可以解得x的值. 5 0.8
5） 30 5
6）
50Biblioteka 三、应用---举例1：例1 如图：大楼前一处人行通道是斜坡，若用AB表示，沿 着通道走3米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高1.5米，那 么你知道该通道的坡度与坡角吗？
三、应用---举例1：
例1:如图：大楼前一处人行通道是斜坡，若用AB表示，沿 着通道走3米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高1.5米，那 么你知道该通道的坡度与坡角吗？
根据题意，可知BE=1.2 (米)， ∴ AD = AE+EF+DF = 2AE+EF
AE=DF，EF=BC=2.8(米).
=2×1.92+2.8=6.64≈6.6(米)
在∴RAEt△=A1B.6EB中E=,∵1.6×i1.2BA=EE1.9121.6（，米）. 答：路基下底宽约为6.6米。
三、应用---练习3：
B
那么tanα=
5 4
.
tan i,即tan 1
0.8
i=1:0.8
5米
3）如果一斜坡的坡比是1∶0.8，斜坡高
为5米，那么斜坡的水平宽度为 4 米，那
么斜坡的长为 41 米.
A
根据勾股定理
5米 C
4）如果一斜坡的坡比是1∶0.8，斜坡
设斜坡的高度为x米，则
沪教版初中数学九年级第一学期 解直角三角形的应用 课件优秀课件资料
②运用解直角三角形的知识解决测距问题。 ③运用化归及方程思想解决实际问题
9、人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，咱们应当在这过程中，学习稳定冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 4、生活的激流已经涌现到万丈峭壁，只要再前进一步，就会变成壮丽的瀑布。 30、细心观察产业界中那些自大的、维持不变的、独断的恐龙之所以一夕倒下的原因。 3、一堆沙子是松散的，可是它和水泥、石子、水混合后，比花岗岩还坚韧。 10、艺术的大道上荆棘丛生，这也是好事，常人望而却步，只有意志坚强的人例外。 18、智力教育就是要扩大人的求知范围。 27、牛吃草，马吃料，牛的享受最少，出力最大，所以还是当一头黄牛最好。我甘愿为党、为人民当一辈子老黄牛。 14. 辛苦三年，幸福一生。 9、我们不要把眼睛生在头顶上，致使用了自己的脚踏坏了我们想得之于天上的东西。 9. 谁虚度年华，青春就会褪色，生命就会抛弃他们。 11、一生奉献于两个神明，即荣誉与英勇。 7、你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。 15、未曾失败的人恐怕也未曾成功过。 8. 青春不是用来荒废的，青春是用来拼搏的。青春的我们富有朝气，我们活力四射，我们敢作敢为!青春的我们应该尽全力做好我们该做的事 ，到达一个自己都想象不到的高度。
根据题意,可知 AE=CD=40(米), ∠BAE=32°,
∠CAE=25°.
在Rt△ABE中,tan∠BAE=
BE AE
BE=AE·tan∠BAE=40·tan32°≈25.0(米).
CE
在Rt△ACE中,tan∠CAE= AE
CE=AE·tan∠CAE=40·tan25°≈18.7(米). 则BC=BE+CE≈25.0+18.7=43.7≈44(米).
.已知如图，塔和楼的水平距离为80米， 从楼顶处及楼底处测得塔顶的仰角分别为 45º和60º，试求塔高与楼高.
沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第12讲 解直角三角形(解析版)
解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形．难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．1、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系： sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan b A B a== 解直角三角形内容分析知识结构知识精讲模块一：解直角三角形的基本类型步同级年九2 / 20【例1】 在ABC ∆中，已知90C ∠=︒，37B ∠=︒，c = 8，求这个直角三角形的其他边和角（sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈，cot370.25︒≈）． 【答案】53A ∠=︒， 4.8b =， 6.4a =．【解析】解：90903753A B ∠=︒-∠=︒-︒=︒；在Rt ABC △中，sin b B c =，则0.68b=，解得： 4.8b =；在Rt ABC △中，cos a B c =，则0.88a=，解得： 6.4a =． 【总结】已知斜边和一锐角度数时，求直角边时，用锐角的正弦或余弦．【例2】 在ABC ∆中，90C ∠=︒，43A ∠=︒，b = 9，解这个直角三角形（sin430.68︒≈，cos430.73︒≈，tan430.93︒≈，cot 43 1.07︒≈）．【答案】47B ∠=︒，8.37a =，12.33c =．【解析】解：90904347B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒； 在Rt ABC △中，tan a A b =，则0.939a=，解得：8.37a =；在Rt ABC △中，9cos A c=，则0.88a=，解得：12.33c =．【总结】已知直角边和一锐角度数时，求直角边时用锐角的正切或余切，求斜边时用锐角的正弦或余弦．【例3】 在ABC ∆中，已知90C ∠=︒，c = 8，a = 6，求这个直角三角形的其他边和角（利用计算器计算）．【答案】27b =，48A ∠=︒，42B ∠=︒．【解析】解：22228627b c a =-=-=．在Rt ABC △中，sin a A c =，则3sin 4A =．利用计算器解得：48A ∠=︒，90904842B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒．【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．【例4】 在ABC ∆中，已知90C ∠=︒，a = 7，b = 9，解这个直角三角形（利用计算器计算）．【答案】130c =，38A ∠=︒，52B ∠=︒．例题解析【解析】解：222279130c a b =+=+=， 在Rt ABC △中，tan a A b =，则7tan 9A =，利用计算器可得：38A ∠=︒，∴90903852B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒．【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．【例5】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 4，AC = 22，BC = ______，A ∠= ______． 【答案】22BC =，45A ∠=︒．【解析】解：()222242222BC AB AC =-=-=．在Rt ABC △中，cos AC A AB =，则2cos 2A =，∴45A ∠=︒． 【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．【例6】 在ABC ∆中，::1:3:2AC BC AB =，则A ∠= ______． 【答案】60°．【解析】解：设AC x =，3BC x =，2AB x =，∵222AC BC AB +=，∴ABC ∆为直角三角形． 师生总结解直角三角形的基本类型有哪些？并简述解法．步同级年九4 / 20在Rt ABC △中，cos AC A AB =，则1cos 2A =，∴60A ∠=︒． 【总结】当已知直角三角形的三边比为32时，则这个直角三角形中的最小角为30°．【例7】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，AC + BC = 2，则AB 的长是______． 【答案】32．【解析】解：在Rt ABC △中，cos BC B AB =，又60B ∠=︒，则1cos 2B =． 设BC x =，则2AB x =，223AC AB BC x =-．∵AC + BC = 2， 32x x +=．解得：31x =， ∴2232AB x ==．【总结】当直角三角形中含有30°的锐角时，则三边比为32．【例8】 在直角三角形中，90C ∠=︒，30A B ∠-∠=︒，a –b =2，a 、b 、c 是A ∠、B ∠、C ∠所对的边，解这个直角三角形．【答案】60A ∠=︒，30B ∠=︒，33a =+31b =，232c =． 【解析】∵在Rt ABC △中，90C ∠=︒， ∴+90A B ∠∠=︒； 又∵30A B ∠-∠=︒， ∴60A ∠=︒，30B ∠=︒； 在Rt ABC △中，tan b B a =3ba=，即3a b =； ∵a –b =2， 32b b -=， ∴31b =．∴333a b ==2232c b ==．【总结】当直角三角形中含有30°的锐角时，则三边比为32．【例9】 如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，AC = 4，以B 为圆心，4为半径作圆弧交AC 边于点F ，交AB 于点E ，连接CE ，求ACE ∠的正切值．【答案】316．【解析】解：过点E 作EG ⊥AC ，交AC 于点G ．∵GE BC ∥，∴AE AG GEAB AC BC ==，∴1543AG GE==，∴45AG =，35GE =，A BCDE∴416455CG AC AG =-=-=．在Rt CEG △中，335tan 16165GE ACE CG ∠===． 【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角 形求锐角三角比．【例10】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，tan B =12，AE = 7，求DE 的长． 【答案】73． 【解析】解：在Rt BED ∆中，1tan 2ED B BE ==， 设DE x =，则2BE x =，()222225BD DE BE x x x =+=+=． ∵D 是BC 中点，∴5DC x =． 在Rt ABC ∆中，1tan 2AC B BC ==， 则1225AC x=，解得：5AC x =． 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+， 则()()()22227525x x x +=+，解得：73x =．即DE 的长为73．【总结】当同一个锐角在不同的直角三角形中时，可多次运用此锐角的三角比，得到不同的线段的比值．【例11】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，解下列直角三角形：（1）60B ∠=︒，232AC BC -=-； 模块二：解直角三角形的运用例题解析（2）10BC =，ABC S ∆=【答案】（1）30A ∠=︒，2BC =，AC =4AB =；（2）60A ∠=︒，30B ∠=︒，ACAB = 【解析】解：（1）9030A B ∠=︒-∠=︒．在Rt ABC ∆中，tan ACB BC ==BC x =，则AC ；∵2AC BC -=2x -=，∴2x =． ∴2BC =，AC ==24AB x ==． （2）∵ABC S ∆=12BC AC ⋅⋅，∴1102AC ⋅⋅=AC =在Rt ABC ∆中，3cot 10AC A AB ===，则60A ∠=︒． ∴906030B ∠=︒-︒=︒，2AB AC = 【总结】利用特殊角30°以及60°的特殊角的锐角三角比的值解直角三角形．【例12】 如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，EC = 1，cos B =513，则这个菱形的面积是______．【答案】3916． 【解析】解：在Rt ABE ∆中，cos B =513BE AB =，设5BE x =，则13AB x =． AB CDEABCD'D ∴()()222213512AE AB EB x x x =-=-，∴1358EC x x x =-=．∵EC = 1，∴81x =，解得：18x =．∴39121316ABCD S AE BC x x =⋅=⋅=四边形． 【总结】本题主要考查锐角三角比的直接运用．【例13】 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D落在CB 的延长线上的'D 处，则tan 'BAD ∠等于（）A ．1B 2C 2D ．22【答案】B【解析】解：∵线段BD 绕着点B 旋转后， 点D 落在CB 的延长线上的'D 处． ∴'22BD BD ==在'Rt ABD △中，'22tan '=2D B BAD AB ∠==． 【总结】本题一方面考查锐角三角比的意义，另一方面考查图形旋转的性质．【例14】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是BC 边上的中线．（1）求证：tan =2tan ADC ABC ∠∠； （2）若2BD =30B ∠=︒，求AD 的长．【答案】（1）证明略；（2）423． 【解析】（1）证明：在Rt ABC ∆中，tan CAABC BC∠=； 在Rt ADC ∆中，tan CAADC DC∠=． ∵AD 是BC 边上的中线，∴2BC CD =， ∴2CA CABC CD⨯=． ∴tan =2tan ADC ABC ∠∠．（2）∵2BD =，AD 是BC 边上的中线， ∴222BC BD ==步同级年九8 / 20ABCD在Rt ABC ∆中，tan30AC BC ︒=322=，解得：263AC =在Rt ADC ∆中，()2222242263AD CD CA ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 【总结】本题一方面考查锐角三角比的意义，一方面考查特殊角的锐角三角比的值．【例15】 ABC ∆中，=90C ∠︒，85AC =角平分线16153AD =解这个直角三角形． 【答案】30B ∠=︒，60CAB ∠=︒，165AB =815BC = 【解析】解：在Rt ADC ∆中，853cos 16153AC CAD AD ∠===，∴30CAD ∠=︒，∵AD 平分CAB ∠， ∴60CAB ∠=︒．∴9030B CAB ∠=︒-∠=︒，2165AB AC == 在Rt ABC ∆中，tan AC B BC =385=，∴815BC =【总结】通过直角三角形中边之间的关系得到角度．【例16】 如图，四边形ABCD 中，45A ∠=︒，90C ∠=︒，75ABD ∠=︒，30DBC ∠=︒，AB = 2a ，求BC 的长． 2a ．【解析】解：过B 作BE AD ⊥，垂足为E ． ∵45A ∠=︒，∴45ABE ∠=︒．∵75ABD ∠=︒，∴30EBD ∠=︒． 在Rt ABE ∆中，sin EB A AB =22EBa=，∴2EB a ；在Rt DBE ∆中，cos EB DBE DB ∠=32a=，∴263DB a =．在Rt DCB ∆中，cos CB DBC DB∠=3263CB a =，∴2CB a =． 【总结】将题目中的特殊角构造到直角三角形中．【例17】 如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AC = 2，AB = 4，ACD B ∠=∠，求cos DCB ∠． 【答案】45．【解析】解：过点D 作DE BC ⊥，交BC 边于点E ． 在Rt ABC ∆中，22222425BC AC AB =++ ∵ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ACD ABC △∽△．∴AC AD DCAB AC BC ==，即24225AD ==∴1AD =，5CD =．∵B B ∠=∠，BED BAC ∠=∠，∴BED BAC △∽△． ∴BE BD AB BC =，即425BE ，∴655BE =．∴64255555EC BC BE =-=在Rt DCE △中，4545cos 55CE DCB CD ∠===．【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角 形求锐角三角比．【例18】 如图，在ABC ∆中，AB = AC ，BD ⊥AC ，D 为垂足，且2sin 7DBC ∠=，求BC AC的值．【答案】47．【解析】解：过点A 作AE BC ⊥，交BC 边于点E ． ∵90C DBC ∠+∠=︒，90C EAC ∠+∠=︒， ∴DBC EAC ∠=∠．∴2sin sin 7DBC EAC ∠=∠=， 在Rt ACE △中，sin EC EAC AC ∠=，∴27EC AC =．∵AB AC =，AE BC ⊥， ∴2BC EC =．∴224277BC CE AC AC ==⨯=． 【总结】善于发现题目中的条件得到相等的角，然后运用角度相等的锐角三角比值也相等的思路去解题．【例19】 在ABC ∆中，已知D 为AB 中点，135ACB ∠=︒，AC ⊥CD ，求sin A 的值．步同级年九10 / 205． 【解析】解：过点D 作DE CD ⊥，交BC 边于点E ． ∵135ACB ∠=︒，∴45DCE ∠=︒． ∵DE CD ⊥，AC ⊥CD ， ∴AC DE ∥， ∴DB EDAB AC=． ∵D 为AB 中点，∴12ED AC =． 设ED x =，则CD x =，2AC x =．在Rt ACD △中，225AD AC CD x =+，∴5sin 5CD A AD x=== 【总结】1、本题还有一种辅助线的方法，如图．2、添辅助线的原则是：①将特殊角构造到直角三角形中； ②添加辅助线之后要能包含基本图形．【例20】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = BC ，AD 是BC 上的中线，求cos BAD ∠与sin BAD ∠的值．3101010． 【解析】解：过点D 作DE AB ⊥，交AB 于点E ． 设2DB x =，则2CD x =，4AC x =． 在Rt ABC △中，2242AB AC BC x =+=， 在Rt ADC △中，2225AD AC DC x =+，在Rt BDE △中，sin DE B BD =22DEx =，∴2DE x =， 在Rt BDE △中，cos BE B BD =22BEx=，∴2BE x =，∴42222AE AB BE x x x =-==在Rt ADE △中，323cos 101025AE x BAD AD x ∠==，210sin 25DE x BAD AD x ∠=== 【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角形求锐角三角比．【例21】 若等腰三角形两腰上的高的和等于底边上的高，求底角的余切值． 15． 【解析】已知：如图，等腰ABC △中，AB AC =，CD AB ⊥，BE AC ⊥，AF BC ⊥．且满足CD BE AF +=，求cot ABC ∠的值．解：∵A A ∠=∠，AB AC =，ADC AEB ∠=∠，∴ADC AEB △≌△． ∴DC BE =． ∵CD BE AF +=， ∴2CD AF =． ∵1122BC AF AB CD ⋅⋅=⋅⋅， ∴2BA BC =． 设2BC x =，则4AB x =，BF x =在Rt ABF △中，()2222415AF AB BF x x x -=-，15cot 15BF ABC AF x ∠== 【总结】本题是一道文字题，要根据题意先画出图形，然后再根据条件进行求解． 【例22】 在ABC ∆中，BC = 6，63AC =30A ∠=︒，求AB 的长．【答案】6或12．【解析】解：过点C 作CD AB ⊥，交AB 于点D ．在Rt ACD △中，sin CDA AC =，∴1263=，∴33CD =cos ADA AC=363=，∴6AD =． 在Rt BCD △中，()22226333BD CB CD =--，∴11936AB AD B D =-=-=，229312AB AD B D =+=+=．【总结】本题主要考查对题意的理解，要注意两种情况的讨论．【例23】 在四边形ABCD 中，AB = 8，BC = 1，30BAD ∠=︒，60ABC ∠=︒，四边形ABCD 的面积为53AD 的长． 【答案】3【解析】解：延长AD 和BC 相交于点E ．步同级年九12 / 20∵30BAD ∠=︒，60ABC ∠=︒，∴90E ∠=︒．在Rt AEB △中，sin BE A AB =，∴128BE=，∴4BE =，3EC BE BC =-=；∵cos AE A AB =，∴328AE=，∴43AE =． ∵四边形ABCD 的面积为53，∴1144335322AEB EDC ABCD S S S DE =-=⋅⋅-⋅⋅=△△四边形，∴23DE =．∴432323AD AE DE =-=-=．【总结】当看到30°和60°这些特殊角时，要想办法把它们构造到一个直角三角形中．【例24】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒，AD = 2，13AB =+，求CD 的长度．【答案】2．【解析】解：延长AD 和BC 交于点E ． ∵120BCD ∠=︒，∴60DCE ∠=．∵90ADC ∠=︒，∴30E ∠=， ∴60BAE ∠=． 在Rt ABE △中，cos AB A AE =，∴1132AE +=．∴223AE =+． ∴223223DE AE AD =-=+-=．在Rt CDE △中，tan DE DCE CD ∠=，∴233CD=，∴2CD =． 【总结】若题目中含有120°或者150°这些角时，要想到它们的邻补角也是特殊角．【习题1】在t R ABC ∆中，90C ∠=︒，下列条件中不能解直角三角形的是（ ）随堂检测AB CDCBAA ．已知c 和bB ．已知a 和A ∠C ．已知A ∠和B ∠D ．已知a 和b【答案】C【解析】两角只能确定三角形的形状，不能确定三角形的大小．【习题2】等腰三角形底边长为10厘米，周长为36厘米，则底角的余弦等于（ ）A ．513B ．1213C ．1013D ．512【答案】A【解析】等腰△ABC 中，AB AC =，10BC =，△ABC 的周长为36，求cos B ． ∵AB AC =，10BC =，△ABC 的周长为36， ∴13AB AC ==．过A 作AD BC ⊥，则5BD =，在Rt ABD △中，5cos 12BE B AB ==． 【总结】本题主要考查等腰三角形的性质和锐角三角比的意义．【习题3】如图，在ABC ∆中，高CH 是边AB 的一半，且=75B ∠︒，求A ∠的度数（tan 75︒）．【答案】30°．【解析】在Rt BCH △中，tan 2CHB HB== 设HB x =，则(2CH x =+．∵高CH 是边AB 的一半，∴(4AB x =+．∴((43AH AB HB x x x =-=+-=+，在Rt ACH △中，2tan x CH A HA ===30A ∠=︒． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值． 【习题4】等腰三角形ABC 的周长为4+AB = AC ，30B ∠=︒，求三角形的三边长．【答案】2AB AC ==，BC =【解析】过点A 作AD BC ⊥，交BC 边于点D ．设AD x =，则2AB x =，BD =．步同级年九14 / 20ABCD FG∵等腰三角形ABC 的周长为423+ ∴2223423x x x ++=+，解得：1x =．∴2AB AC ==，23BC =【总结】本题主要考查等腰三角形的性质和特殊角的锐角三角比的值．【习题5】如图，90C ∠=︒，30A ∠=︒，AC = 6，点G 是的重心，GF // BC ，求GF的长． 233【解析】在Rt ABC △中， ∵30A ∠=︒， ∴3tan CB A AC ==∵AC = 6，∴33CB =∵点G 是的重心，GF // BC ， ∴13GF DG BC DB ==，∴12333GF BC = 【总结】本题一方面考查了重心定理，一方面考查了特殊角的锐角三角比的值．【习题6】如图，在ABC ∆中，6AB =45B ∠=︒，60C ∠=︒，求AC 、BC 的长．【答案】2，13【解析】解：过点A 作AD BC ⊥，交BC 边于点D ．在Rt ABD △中，sin ADB AB =26=，∴3AD =， ∴3BD AD == 在Rt ACD △中，sin AD C AC =33=2AC =．∴()2222231CD AC AD =-=-， ∴13BC CD BD =+=A CD EDCBA【总结】本题主要是考查通过做高，将特殊角放到直角三角形中，再利用特殊角的锐角 三角比进行求值．【习题7】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，tan A =12，DE 是AB 的垂直平分线， BC = 2，求： （1）sin AED ∠的值；（2）CE 的长．【答案】（1；（2）32．【解析】（1）在Rt ABC ∆中，tan BC A AC =，∴122AC=， ∴4AC =，∴AB =∴sin AC B AB === ∵90A AED ∠+∠=︒，90A B ∠+∠=︒，∴B AED ∠=∠．∴sin sin AED B ∠=（2）∵D 为AB 的中点，∴AD = 在Rt AED ∆中，tan EDA AD=，∴12=∴DE =，∴52AE ==， ∴53422AC AB AE =-=-=． 【总结】当两个锐角相等时，它们的锐角三角比的值也相等．【习题8】 在ABC ∆中，BC = 15，AB : AC =7 : 8，1cos2C =，求BC 边上的高．【答案】．【解析】过点A 作AD BC ⊥，交BC 边于点D ． 设7AB x =，则8AC x =．在Rt ACD △中，cos CD C AC =， ∴128CDx =．∴4CD x =，∴154BD x =-．∵2222AB DB AC DC -=-，∴()()()()2222715484x x x x --=-．解得：13x =，25x =（舍去）．步同级年九16 / 20∴()()228443123AD x x x =-==．【总结】本题通过添高将已知的锐角放入直角三角形中，利用锐角三角比的值求解．【作业1】 已知等边三角形一边上的中线长为a ，则此三角形的边长为______．【答案】233a ．【解析】解：△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，AD =a ，求AB 的长． ∵AB =AC ， ∴AD ⊥BC ，在Rt ABD △中，sin AD B AB =， ∴32aAB=，∴233AB a =． 【总结】本题是一道基础题，主要考查60°角的正弦．【作业2】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，解下列直角三角形： （1）23BC =，3sin 2A =； （2）a = 5，53b =；（3）斜边上中线23CD =，AC = 6．【答案】（1）60A ∠=︒，30B ∠=︒，4AB =，2AC =； （2）30A ∠=︒，60B ∠=︒，10AB =；（3）30A ∠=︒，60B ∠=︒，43AB =，23BC =．【解析】解：（1）∵3sin 2A =，∴60A ∠=︒，∴906030B ∠=︒-︒=︒． 在Rt ABC △中，cot ACA BC=， ∴3323AC = ． ∴2AC =． ∴24AB AC ==．（2）在Rt ABC △中，53cot 35b A a ===， ∴30A ∠=︒，课后作业∴903060B ∠=︒-︒=︒， ∴210c a ==．（3）∵斜边上中线CD =∴2AB CD ==在Rt ABC △中，cos AC A AB === ∴30A ∠=︒．∴903060B ∠=︒-︒=︒，12BC AB == 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及运用．【作业3】 在ABC ∆中，AB = AC ，BC 边上的高为8，三角形的周长为32，则sin C的值是______． 【答案】45．【解析】过A 作AD ⊥BC ，则AD =8． ∵AB = AC ，三角形的周长为32， ∴232AB BC +=．∵AB = AC ，AD ⊥BC ， ∴2BC BD =，∴16AB BD +=，∴16DB BA =-．∵在Rt ABD △中，222AB AD DB =+， ∴()222816AB AB =+-． ∴10AB =，6BD =． ∴在Rt ABD △中，84sin 105AD B AB ===，∴4sin sin 5C B ==． 【总结】本题比较基础，解题时注意运用等腰三角形的性质．【作业4】 在ABC ∆中，=30A ∠︒，60C B ∠-∠=︒，若BC = a ，求AB 的长．． 【解析】过点C 作CD ⊥AB ． ∵180A B C ∠+∠+∠=︒，=30A ∠︒，∴150B C ∠+∠=︒， ∵60C B ∠-∠=︒， ∴105C ∠=︒，45B ∠=︒．在Rt CBD △中，sin CD B CB =CD a =，∴CD =，∴BD CD ==．在Rt CAD △中，tan CD A AD =，2AD=，∴AD =，∴AB AD BD =+． 【总结】当已知的特殊角不在直角三角形中时，要构造包含该特殊角的直角三角形．步同级年九18 / 20【作业5】已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = 15，CD = 13，AD = 8，B ∠是锐角，4sin 5B =，求BC 的长．【答案】12或22．【解析】过点A 、点D 分别作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ， 垂足分别为E 、F ． 在Rt ABE △中，sin AEB AB=， ∴4515AE =，∴12AE =， ∴222215129BE AB AE =-=-． ∵四边形ADFE 是矩形，∴12DF AE ==．∴在Rt DCF △中，222213125CF CD DF -=-，∴117512BC BF CF =-=-=或217522BC BF CF =+=+=．【总结】本题有两种情况，要注意分类讨论．【作业6】已知在ABC ∆中，AB =23，AC = 2，BC 3BC 的长．【答案】4或2．【解析】解：如图，过A 作AD ⊥BC ，则3AD 在Rt ABD △中， ()()22222333BD AB AD =--=，在Rt ACD △中，()2222231CD AC AD =-=-，∴1312BC BD CD =-=-=或314BC BD CD =+=+=．【总结】当已知三角形两条边的长和第三边的高时，通常都有两种情况，锐角三角形和钝角三角形．【作业7】如图，在ABC ∆中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD = DC = 4，tan B =43．求： （1）ABC ∆的面积；（2）sin BAC ∠的值．【答案】(1)14；（27210【解析】解：（1）在Rt ABD △中，tan ADB DB=，∴443BD=，∴3BD =， ∴11741422ABC S BC AD =⋅⋅=⨯⨯=△． （2）过点C 作CE ⊥AB ，垂足为点E ． 在Rt ABD △中，2222435AB AD BD =++． ∵12ABC AB CE S ⋅⋅=△， ∴15142CE ⨯⨯=， ∴285CE =．在Rt ACD △中， 22224442AC AD CD =+=+=在Rt AEC △中， 2875sin 21042EC BAC AC ∠==．【总结】本题主要考查锐角三角比的意义．【作业8】如图，在四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，6AB =53BC =，CD = 6，求AD ．【答案】219【解析】解：过点A 作AH ∥BC 交CD 于H ，过点B 、C 分别作BE ⊥AH ，CF ⊥AH ，垂足分别为点E 、F ，过点A 作AG ⊥DC ，交DC 延长线交于点G ． ∵135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AH ∥BC ， ∴45BAE ∠=︒，60CHF ∠=︒．在Rt ABE △中，2sin 2BE BAE AB ∠==，又6AB = ∴3BE =，∴3AE BE =．∵四边形BEFC 为矩形， ∴3CF BE ==．在Rt CFH △中，tan 3CHF ∠，∴1FH =，∴22CH FH ==， ∴35316AH AE EF FH =++==，在Rt AGH △中，3sin AG AHG AH ∠=∴33AG =132GH AH ==．∴321CG GH CH =-=-=，∴7DG CG CD =+=．在Rt AGD △中，AD =．【总结】本题的综合性比较强，做题时注意辅助线的添加，依据还是构造包含特殊角的直角三角形．。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 25.4 解直角三角形的应用 教案
《解直角三角形的应用》教案教学目标：1、能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题；2、培养数形结合的思想，把实际问题转化为数学问题和运用数学方法分析解决实际问题的能力；3、通过解答实际问题，激发学习数学的兴趣和求知欲，促进数学思维的发展；4、培养严谨致学的学习态度。
教学重点与难点：将实际问题转化为数学问题教学过程：一、复习1、解直角三角形定义2、直角三角形中的边角关系；3、在解直角三角形中，经常接触的名称：二、解实际问题常用的两种思维方法：1、切割法：2、粘补法：三、举例：例1要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC= ，∴tan30°= .在此图基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan15°的值。
请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15°的值。
练习1：为了申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。
在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区。
现在某工人站在离B 点3米远的D 处测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°。
问距离 B 点8米远的保护物是否在危险区内？例2 如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交会，且∠QPN=30°，点A 处有一所中学，AP=160米，（1）假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？北东 D A B30°练习2：如图所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的速度由南向北移动，距台风中心20 里的圆形区域（包括边界）都属台风区。
沪教版解直角三角形讲解练习
第二讲 解直角三角形知识要点：1、锐角三角函数的定义.cot tan cos sin 90Rt 的对边的邻边＝，的邻边的对边＝，斜边的邻边＝，斜边的对边＝，＝中，△如图，在A A A A A A A A A A C ABC ∠∠∠∠∠∠︒∠ BACac2、特殊角的三角函数值3、互为余角的三角函数关系sinA ＝cos （90º－A ）， cos A ＝sin （90º－A ）， tan A ＝cot （90º－A ）， cot A ＝an （90º－A ）． 4、锐角三角函数值随角度的变化规律当角度在0—90°变化时，正弦、正切值随角度的增大（或减小）而增大 （或减小）；余弦、余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．5、锐角的三角函数值的取值范围0＜sin α＜1， 0＜cos α＜1， tan α＞0， cot α＞0． 6、解直角三角形（1）由直角三角形中除直角外的已知两个元素（至少有一个是边），求出其余的三个未知元素的过程，叫做解直角三角形．（2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，可供解直角三角形的依据是： ①直角三角形角的关系：∠A ＋∠B ＝90º； ②直角三角形边的关系：a 2＋b 2＝c 2；③直角三角形的边角的关系：．＝＝，＝＝，＝＝，＝＝abA B b aB A c bA B caB A cot tan cot tan cos sin cos sin （3）在实际问题中常用的几种角 ①俯角和仰角在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角． ②坡度与坡角如图，通常坡面的竖直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即lhi ==αtan ，其中α是坡面与水平面的夹注意：三角函数值与梯子的倾斜程度的关系：tan A 的值越大，梯子越陡；sinA 的值越大，梯子越陡；cos A 的值越小，梯子越陡.7.解直角三角形通常应用在计算距离、高度、角度，应用于测量、工程、物理学中等方面的实际问题。
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专题13 解直角三角形【目标导向】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形； 2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题． 【知识点精讲梳理】 要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有： ①三边之间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系：sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b aba B B B B c c a b==== ④，h 为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、解直角三角形的常见类型及解法Rt △ABC由求∠A ，由求∠A ，，，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算；2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别地：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图；2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解；3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【精讲例题】类型一、解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由知， 由cos =aB c知，． (2)由B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ ，∴．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)．(1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【变式】（1）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=, c=6 ，求a 和b. 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=2．（湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长； （2）sin ∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt △ACE 中，CE=AC •cosC=1， ∴AE=CE=1，在Rt △ABE 中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，b =tan bB a=48cos cos 60a c B ===°tan bB a==222a b c +=2c ===23∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【变式】（河南模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为i ＝是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度． (2)在Rt △DEC 中，∵ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ ． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，，解得． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参＝1.73)．1:3i =31AGi BG'==tan DE C EC ∠==15m 2DE CD ==tan AGAFG FG∠=55FB =+5 3.66(m)FB ==3【答案与解析】过点C作CE⊥AB于E．∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD＝10，∴ AC＝CD＝5．在Rt△ACE中，AE＝AC·sin∠ACE＝5×sin 30°＝，CE＝AC·cos ∠ACE＝5×cos 30°＝，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝45°，∴≈6.8(米)．∴雕塑AB的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．【精练巩固】一、选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，4sin5A=，则cotB＝( )．A．43B．34C．35D．452．（绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．12525325553(31)222AB AE BE=+=+=+3．河堤、横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )．A ．B ．10米C ．15米D ．4．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为( )．A ．12B C ．1第3题 第4题 第5题5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h α B ．tan h α C ．cos h αD ．sin h α 6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ， 若3cos 5BDC ∠=，则BD 的长是( )． A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距( )． A ．30海里 B ．40海里 C ．50海里 D ．60海里第6题 第7题 第8题8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m 的M 和N 两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P 在M 的正北方向，在Ⅳ的北偏西30°的方向，则河的宽度是( )．A ．m C ．m D ．100m 二、填空题9．（揭西县一模）在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，，BE=2，则tan ∠DBE 的值是 ．10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为________．第10题第11题11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝____米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为(即AB:BC＝)，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16. （包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD 的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）17．（资阳）北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）【精练巩固答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】如图，sin A＝45BCAB，设BC＝4x．则AB＝5x．根据勾股定理可得AC ＝3AC x =，∴44cot 33BC x B AC x ===． 2.【答案】B ．【解析】如图所示：设BC=x ，∵在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x ，AB=BC=x ，根据题意得：AD=BC=x ，AE=DE=AB=x ，作EM ⊥AD 于M ，则AM=AD=x ， 在Rt △AEM 中，cos ∠EAD===；3.【答案】A ；【解析】由tan BC i A AC ===1:知，53AC BC ==米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴sin h l α=. 6.【答案】D ；【解析】∵MN 是AB 的中垂线, ∴BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==， 设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】 连接AC ，∵AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°，∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里．8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM =，PM = 二、填空题9．【答案】2；【解析】设菱形ABCD 边长为t ，∵BE=2，∴AE=t ﹣2，∵cosA=，∴，∴=，∴t=5，∴AE=5﹣2=3，∴DE==4， ∴tan ∠DBE===2．故答案为：2．10． 【解析】由已知条件可证△ACE ≌△ACB ．从而得出∠CAE ＝∠BCD ．∴∠AFG ＝∠CAE+∠ACD ＝∠BCD+∠ACD ＝60°，在Rt △AFG 中，sin 60AG AF ==°．11．【答案】40+【解析】在Rt △APC 中，PC ＝AC ＝AP ·sin ∠APC ＝402=．在Rt △BPC 中，∠BPC ＝90°-30°＝60°，BC ＝PC ·tan ∠BPC ＝所以AB ＝AC+BC ＝40+12．【答案】12【解析】如图，连接BD ，作DF ⊥BC 于点F ，则CE ⊥BD ，∠BCE ＝∠BDF ，BF ＝AD ＝2，DF ＝AB ＝4，所以21tan tan 42BF BCE BDF DF ∠=∠===．13．【答案】58；【解析】∵α＝45°，∴DE ＝AE ＝BC ＝30，EC ＝AB ＝28，DE ＝DE+EC ＝5814．【答案】200；【解析】由已知∠BAC ＝∠C ＝30°，所以BC ＝AB ＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A 作AF ⊥DE 于F ，则四边形ABEF 为矩形，∴AF ＝BE ，EF ＝AB ＝2．设DE ＝x ，在Rt △CDE 中，tan tan 60DE DE CE x DCE ===∠°．在Rt △ABC 中，∵AB BC =，AB ＝2，∴BC = 在Rt △AFD 中，DF ＝DE-EF ＝x-2．∴22)tan tan 30DF x AF x DAF -===-∠°∵AF ＝BE ＝BC+CE ．2)3x x -=，解得6x =． 答：树DE 的高度为6米．16.【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=， ∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°， ∴CE==8，∴BC=BE ﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==， ∴设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====， 解得，DE=，∴AD=AE ﹣DE=10﹣=， 即AD 的长是．17.【答案与解析】解：作CD ⊥AB 交AB 延长线于D ，设CD=x 米．Rt △ADC 中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5， 所以AD==2x ．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3米．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．。