2014-2015(2)概率B试卷A卷

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高三2014-2015学年度第二次联考(参考答案)(4月28日定稿)

江西省新八校2014-2015学年度第二次联考高三数学理科试题卷参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

ACADA BCDAD CA二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上.13.7114．023=+-y x 15.π10 16．),21[+∞-三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请把答案做在答题卡上.17.解：（1）()1cos(2)3cos 21sin 23cos 212sin(2).23f x x x x x x ππ⎡⎤=-+-=+-=+-⎢⎥⎣⎦----3分又,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则32326πππ≤-≤x ，故当232x ππ-=，即512x πα==时，max () 3.f x = -------------------------------------------------------------------------------6分（2）由（1）知123A ππα=-=，由2sin sin sin B C A =即2bc a =，又222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，则22b c bc bc +-=即2()0b c -=，故0.b c -= c b =∴ 又123A ππα=-=所以三角形为等边三角形. 12分18.解：（1）依题意可得，任意抽取一位市民会购买口罩的概率为41，从而任意抽取一位市民不会购买口罩的概率为43．设“至少有一位市民会购买口罩”为事件A ，则，()6437642714313==⎪⎭⎫⎝⎛=--A P ，故至少有一位市民会购买口罩的概率6437． --------------------- 5分（2）X 的所有可能取值为：0,1，2，3，4．-------------------------------6分()25681430404=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，()642725610841431314==⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ()1282725654414322224==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ，()6432561241433334==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ，()25614144=⎪⎭⎫⎝⎛==X P 所以X 的分布列为：X0 1 234P256816427 12827 643 2561 ---------------------------------------------------------------- 10分 ()125614643312827264271256810=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 12分或⎪⎭⎫ ⎝⎛414，B ~X ，1==∴np EX -----------------------------12分19．【解析】【方法一】（1）证明：由题意知23,D C = 则222B C D B D C B D D C+∴⊥=，， P D A B C D B D P D P D C D D ⊥∴⊥= 面而，，，..B D P DC P C PD C B D P C ∴⊥∴⊥ 面在面内，（6分）（2）过E 作EH CD ⊥交CD 于H ，再过H 作HN ⊥AB 交AB 于N ，连结EN ，则AB EN ⊥，故ENH ∠为所求角。

2014年概率参考答案

2014年历年概率汇编答案20．湖北卷解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4200×0.2＋10 000×③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得Y所以，E (Y )＝3400×0.2＋9200综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．四川卷17．解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为：(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 18．福建卷解：(1)设顾客所获的奖励额为X .(i)依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12.即顾客所获的奖励额为60元的概率为12，(ii)依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.16天津卷．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)，所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.18．重庆卷解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384，P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.17．湖南卷解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25，故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.17．安徽卷解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝⎛⎭⎫232＋13×⎝⎛⎭⎫232＋23×13×⎝⎛⎭⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为EX ＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.16．北京卷解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝AB ∪AB ，A ，B 相互独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.故P (C )＝P (AB )＋P (AB ) ＝35×35＋25×25 ＝1325. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x －.21．江西卷解：(1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 36＝20(种)，所以ξ的分布列为：E ξ＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n －1，n ，n ＋1，…，2n －2.又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1，2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k 2k 种．所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23，当n ≥3时，P (C )＝2⎝⎛⎭⎫2＋∑n －2k ＝1C k 2k C n 2n.(3)由(2)得，当n ＝2时，P (C )＝13，因此P (C )>P (C )．而当n ≥3时，P (C )<P (C )．理由如下：P (C )<P (C )等价于4(2＋∑n －2k ＝1C k 2k )<C n2n ，①用数学归纳法来证明：(i)当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C 36＝20，所以①式成立． (ii)假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，即4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k <C m 2m 成立，那么，当n ＝m ＋1时，左边＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m ＋1－2k ＝1C k 2k＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k ＋4C m －12（m －1）<C m 2m ＋4Cm －12（m －1）＝（2m ）！m ！m ！＋4·（2m －2）！（m －1）！（m －1）！＝（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m －1）（m ＋1）！（m ＋1）！<（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m ）（m ＋1）！（m ＋1）！＝C m ＋12（m ＋1）· 2（m ＋1）m （2m ＋1）（2m －1）<C m ＋12（m ＋1）＝右边，即当n ＝m ＋1时，①式也成立．综合(i)(ii)得，对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )<P (C )成立．18．辽宁卷解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P (A 2)＝0.003×50＝0.15，P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.X 的分布列为因为X ～B (3，0.6)(1－0.6)＝0.72. 20．全国卷解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2，所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝ P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝ 0．31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C ) ＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以 EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.18．山东卷解：(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)，则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)，则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3，由事件的独立性和互斥性，P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)·P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15 ＝310，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6. (2)由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝215，P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ所以数学期望E ξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.19．陕西卷解：(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000， 300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800.P (X ＝4000)＝P (A )P (B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2000)＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2，所以X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 季利润不少于2000元”(i ＝1，2，3)，由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1，2，3)， 3季的利润均不少于2000元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.20．全国卷解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.B表示事件：甲需使用设备．C表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0．31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.。

2013-2014(下)试卷A评分标准

评分标准（A ）2013——2014第2学期《概率统计》期末试卷A一、填空题（每空3分，共21分）1.设设A , B 为任意两事件，P (A )=0.7, P(A -B )=0.4, 且B ⊂A , 则P (B )= . 答案：0.32.设随机变量X 的分布律为230123,0.60.60.60.60.6niX n p k k k k则k 的值为 . 答案：0.43.设随机变量(X ,Y )的分布律为.则P {X +Y <1}.= . 答案：0.64.设随机变量X ~U (0,1), 则Y =X +1的概率密度为，所服从的分布为 . 答案：1,12()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩，其它 U (1,2) 5.随机变量X ~P (1), 则P {X =E (X )}= . .答案：λe -λ6.设总体X ~N (0,1),Y ~χ2(n ), X 与Y 相互独立，则随机变量nY X T =服从的分布为 .答案：自由度为n 的T 分布二、单选题（每小题3分，共21分）1. 设设A , B 为任意两事件，P (A )>0, P (B )>0, 且A 与B 互逆，则下列说法不成立的是( ) (A)A 与B 互不相容 (B) P (AB )=0 (C)P (AB )=P (A )P (B ) (D)P (A ∪B )=P (A )+P (B ) 答案：C2.设⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(2x x Ae x f x 是某个随机变量的概率密度，则A 的值是( )(A)1 (B)2 (C)-2 (D)0.5 答案：B3. 设随机变量(X , Y )的概率密度为f (x ,y ), X 和Y 的概率密度分别为f X (x ), f Y (x ) , 则X 与Y 相互独立的充要条件为( )(A) f (x ,y )= f X (x )+f Y (x ) (B) f (x ,y )= f X (x )f Y (x )在平面上几乎处处成立 (C) f (x ,y )= f X (x )f Y (x )在平面上处处成立 (D) f X (x )=f Y (x ) 答案：B4.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它，,0,10,10,1),(y x y x f则P {X ≤Y }的值为( ) (A)0.3 (B)0.2 (C)0.5 (D)0.7 答案：C5.设随机变量X 和Y 相互独立，方差分别为1, 4,则2X -3Y 的方差为( ) (A)20 (B)30 (C)40 (D)45 答案：C6.设随机变量X i (i =1,2,…)相互独立，具有同一分布，E (X i )=μ, D (X i )=σ2,i =1,2,…, 则n 充分大时，∑=ni iX1的近似分布为( ) (A)N (n μ, n σ2) (B)N (μ, σ2) (C)N (μ, σ2/n ) (D) N (n μ, σ2) 答案：A7. 设X 1,X 2,…，X n 是来自总体N (μ,σ2)的样本，其中μ已知，σ2未知，则下列表达式不是统计量的是( )(A)∑=ni i X n 11(B) ∑=-n i i X n 12)(1μ(C)}{max 1i ni X ≤≤(D)∑=-ni iX122)(1μσ答案：D三、解答题（共58分）1.（本题8分）经过普查，了解到人群患有某种癌症的概率为0.5%. 某病人因患有类似病症前去求医，医生让他做某项生化试验。

2014-2015学年北师大版数学【选修2-3】：第2章《概率》综合测试(含答案)

第二章综合测试时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (X ＝2)等于( ) A.316 B.4243 C.13243 D.80243[答案] D[解析] P (X ＝2)＝C 26⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫1－134＝80243.2．设随机变量X ～B (n ，p )，且EX ＝1.6，DX ＝1.28，则( ) A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45[答案] A[解析] ∵X ～B (n ，p )，∴EX ＝np ，DX ＝np (1－p )，从而有⎩⎪⎨⎪⎧np ＝1.6np (1－p )＝1.28，解得n ＝8，p ＝0.2.3．从某地区的儿童中挑选体操运动员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任选一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B.15C.14D.25[答案] D[解析] 设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝15，P (B )＝14.又A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，则P (A B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35，故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A B )＝25，选D.4．(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38 C.58 D.78[答案] D[解析] 四位同学安排有16种方式，周六、周日都有同学参加以有下方式，周六1人，周日3人；周六2人；周六3人，周日1人；所以共有2C 14C 33＋A 22C 24C 222＝14，由古典概型的概率得P ＝1416＝78.计算古典概型的概率，要将基本事件空间和满足条件的基本事件数逐一计算准确．5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机取2只，那么在第一只取为好的前提下，至多1只是坏的概率为( )A.112 B ．1 C.8384 D.184[答案] B[解析] 设事件A 表示“抽取第一只为好的”，事件B 为“抽取的两只中至多1只是坏的”，P (A )＝A 17A 19A 210＝710，P (AB )＝A 17A 13＋A 17A 16A 210＝710，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1. 6．(2011·湖北)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576[答案] B[解析] 可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个能正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P k ·P ＝0.9×0.96＝0.864.7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．P 1P 2B ．P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1)C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2) [答案] B[解析] 恰好有1人解决分两种情况： ①甲解决乙没解决： P ′＝P 1(1－P 2) ②甲没解决乙解决： P ″＝(1－P 1)P 2∴恰好有1人解决这个问题的概率P ＝P ′＋P ″＝P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1)． 8．设随机变量X 服从正态分布N (2,2)，则D ⎝⎛⎭⎫12X 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D ．4[答案] C[解析] 由X ～N (2,2)，即D (X )＝2， ∴D ⎝⎛⎭⎫12X ＝14D (X )＝12. 9．将一粒质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( )A.5216B.25216 C.31216 D.91216[答案] D[解析] 质地均匀的骰子先后抛掷3次，共有6×6×6种结果．“3次均不出现6点向上”的有5×5×5种结果．由于抛掷的每一种结果都等可能出现的，所以“不出现6点向上”的概率为5×5×56×6×6＝125216，由对立事件的概率公式，知“至少出现一次6点向上”的概率是1－125216＝91216.故选D. 10．(2014·浙江理，9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)[答案] C[解析] p 1＝m m ＋n ＋n m ＋n ×12＝2m ＋n2(m ＋n )，p 2＝3m 2－3m ＋2mn ＋n 2－n 3(m ＋n )(m ＋n －1)，p 1－p 2＝2m ＋n 2(m ＋n )－3m 2－3m ＋2mn ＋n 23(m ＋n )(m ＋n －1)＝5mn ＋n (n －1)6(m ＋n )(m ＋n －1)>0，故p 1>p 2，E (ξ1)＝0×⎝⎛⎭⎫n m ＋n ×12＋1×2m ＋n 2(m ＋n )＝2m ＋n2(m ＋n )，E (ξ2)＝3m 2－3m ＋2mn ＋n 2－n3(m ＋n )(m ＋n －1)，由上面比较可知E (ξ1)>E (ξ2)，故选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．(2010·重庆文，14)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__________．[答案]370[解析] 本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法．设加工出来的零件为次品为事件A ，则A 为加工出来的零件为正品． P (A )＝1－P (A )＝1－(1－170)(1－169)(1－168)＝370.12．某人乘公交车前往火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分钟)服从正态分布N (50,102)．则他在30～70分钟内赶上火车的概率为________．[答案] 0.954[解析] 因为X ～N (50,102)．即μ＝50，σ＝10，所以P (30<X <70)＝P (50－2×10<X <50＋2×10)＝0.954.13.(2013·九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．[答案] 34[解析] 小球落入B 袋中的概率为P 1＝(12×12×12)×2＝14，∴小球落入A 袋中的概率为P＝1－P 1＝34.14．某种动物从出生起算起，活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.3，现在一个10岁的这种动物，则它活到15岁的概率为________．[答案] 13[解析] 设事件A “能活到10岁”，事件B 为“能活到15岁”，则P (A )＝0.9，P (B )＝0.3，而所求的概率为P (B |A )由于B ⊆A ，故A ∩B ＝B ，于是 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝P (B )P (A )＝0.30.9＝13. 15．(2012·新课标理，15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．[答案] 38[解析] 本题考查了正态分布有关知识．三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502)得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p ＝12.超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P 1＝1－(1－p )2＝34，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p 2＝p 1×p ＝38.正确理解正态分布的意义是解题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的概率分布列； (2)求得分大于6分的概率．[解析] (1)从袋中随机取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求分布列为(2)根据随机变量X P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1238＋135＝1335. [点评] 建立超几何分布的关键是求得P (X ＝k )的组合关系式，利用超几何分布的概率公式进行验证，然后利用公式求得取其他值的概率，建立分布列．17．(2013·江西理，18)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种．X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：EX ＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.18．(2013·湖南理，18)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．[解析] (1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列．因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)， P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)，所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则 n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝n kN得P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝615＝25，P (X ＝4)＝315＝15.故所求的分布列为所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋425＝46.19．某突发事件在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定使总费用最少的预防方案．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值)[分析] 本题是一道期望应用题．根据题意，应分别求出①不采取任何措施，②单独采取甲措施，③单独采取乙措施，④联合采取甲、乙措施，这四种情况的总费用，比较总费用，少者为应选方案．[解析] ①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3＝120(万元)； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为400×0.1＝40(万元)，故总费用为45＋40＝85(万元)；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，损失期望值为400×0.15＝60(万元)，故总费用为30＋60＝90(万元)；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，发生突发事件的概率为(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，损失期望值为400×0.015＝6(万元)，故总费用为75＋6＝81(万元)．综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．[点评] 理解题意，将实际问题数学化，进而通过比较四种情况下的总费用多少来解决实际问题．20．某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是12.构造数列{a n }，使a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，当第n 次出现正面时－1，当第n 次出现反面时，记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n (n 为正整数)． (1)求S 8＝2的概率； (2)求S 2≠0且S 8＝2的概率．[分析] (1)要使S 8＝2，需要8次中有5次正面，3次反面，则S 8＝2的概率可看作是求8次独立重复试验中成功5次的概率；(2)S 2≠0，即前两次同时出现正面或同时出现反面，此时S 2＝2或S 2＝－2，由此分析S 8＝2的概率可看作是求6次独立重复试验中成功3次或5次的概率．[解析] (1)S 8＝2的概率为C 58×⎝⎛⎭⎫125×⎝⎛⎭⎫123＝732. (2)①当前两次同时出现正面时，则后6次出现3次正面，相应的概率为12×12×C 36×(12)3×(12)3＝564. ②当前两次同时出现反面时，则后6次出现5次正面，相应的概率为12×12×C 56×(12)5×(12)1＝3128. 所以S 2≠0且S 8＝2的概率为564＋3128＝13128.[点评] 此题以数列的和为载体，解题时需理解a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，当第n 次出现正面时－1，当第n 次出现反面时的含义．实际上，此题是一个典型的n 次独立重复试验成功k 次的问题，不过用相关知识前，需要进行有效的转化．21．(2014·山东理，18)乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．[解析] (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)，则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)，则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3，由事件的独立性和互斥性， P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3) ＝12×15＋15×16＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3) ＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为：所以，数学期望Eξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.。

c++期终考试2014-2015(2)-部分答案【范本模板】

enum AMPM{AM=1,PM}；
class Clock{
public：
Clock(int=0, int=0, int s=0);
void ShowTime()
｛cout<〈Hour<<"：”〈<Minute〈<":”〈〈Second;}
}；
则类MyDERIVED中保护成员个数是（）。B
A．4B．3C．2D．1
9.有下列代码：
1class Fred;
2class Barney {
3Fred x;
4 Fred *p；
5｝；
6class Fred {
7Barney y；
8};
有错误的地方是（）。B
A.第1行:class Fred；B.第3行：Fred x；
｝
12．以下基类哪个表示抽象类（).C
A．class MyClass｛virtual void vf（int）；}；
B．class MyClass｛void vf（int)=0;｝；
C．class MyClass{virtual void vf（）=0；｝;
D．class MyClass｛virtual void vf(int）｛｝｝；
int get(）const {return k；}
｝;
class MyDERIVED: protected MyBASE｛
protected；
int j;
public:
void set(int m，int n)｛MyBASE：：set（m);j=n;}
int get(）const｛return MyBASE：:get( )+j；}
ob1。getnumber();

2014-2015学年第2学期算法与数据结构(AB)试题与标准答案

2014-2015学年第2学期考试试题(A)卷课程名称算法与数据结构任课教师签名出题教师签名审题教师签名考试方式(闭)卷适用专业信息与计算机考试时间(120)分钟一、单项选择题（每小题4分，共20分）1、算法的时间复杂度与（）有关。

(A) 问题规模(B) 计算机硬件性能(C) 编译程序质量(D) 程序设计语言2、线性表的链式存储结构与顺序存储结构相比的优点是（）。

(A) 所有的操作算法实现简单(B) 便于随机存取(C) 便于插入和删除操作的实现(D) 便于利用零散的存储器空间3、设10个元素进栈序列是1，2，…，10，其输出序列是a1，a2，…，a10，如果a1=3，则a2的值为（）。

(A) 一定是2 (B) 一定是1(C) 不可能是4 (D) 不可能是14、设高度为h的二叉树上只有度为0和度为2的结点（假设仅含根结点的二叉树的高度为1），则此二叉树所包含的结点数至多有（）。

(A) 2h-1 (B) 2h - 1(C) 2h+1 (D) 2h + 15、设有13个值，用它们组成一棵哈夫曼树，则该哈夫曼树共有（）个结点。

(A) 13 (B) 12(C) 26 (D) 25二、填空题（每小题2分，共10分）1、把一个递归过程转换成一个等价的非递归过程，通常使用（）。

2、数据的逻辑结构是从逻辑上描述数据，它与数据的（）无关，是独立于计算机的。

3、在单链表中，结点与结点之间的逻辑关系不是通过存储单元的顺序来表示的，而是通过（）来实现的。

4、实现动态分配和动态回收一个结点空间的两个标准过程是（）和（）。

三、名词解释（每小题5分，共10分）1、线性表2、哈希函数四、简答题（每小题5分，共10分）1、简述顺序表和链表的优缺点。

2、举例说明直接选择排序方法是一种不稳定的排序方法。

五、应用题（每小题6分，共30分）1、关键字序列{12，7，18，13，17，29，34，6，8}是否为堆？若不是，请将其调整为最小堆，并统计建堆过程中的交换次数。

(完整word版)2014-2015年考研数学二真题及答案解析,推荐文档

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1siny x x =+(D) 21siny x x=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（）(A)50(B)100(C)(D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ （）(A)1(B)23(C)12(D)13(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得(7) 行列式0000000ab a bcd c d= （）(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2222a dbc -(D) 2222b c a d -(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ((9)12125dx x x -∞=++⎰__________.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________. (11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小值.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y ∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明： (I)0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,(II)()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.(20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,L 1()(()),n n f x f f x -=L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.(21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L LM M M M L与00100200n ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L 相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2【答案】B【解析】由定义 1000ln (12)(2)limlim lim 20x x x x x x x x-→→→+===αααα 所以10->α，故1>α.当0x +→时，211(1cos )~2xx -ααα是比x 的高阶无穷小，所以210->α，即2<α.故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x =+(D) 21siny x x=+ 【答案】C【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]limsin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =. 故选C(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选D.(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（）(C)(D)【答案】C 【解析】1112'21122432212t t t t t dy t dxtd y dy tdx dx t=====+==-===-()()''33'22211,11y k R kq y ==∴==++ 故选C(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ （）(A)1 (B)23(C)12(D)13【答案】D【解析】因为'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2()()x f x f x -=ξ 22222200011()arctan 11limlimlim lim ()arctan 33x x x x x f x x xx x x f x x x x →→→→---+====ξ故选D.(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得【答案】A【解析】记22222,,,0,,u u uA B C B A C x x y y∂∂∂===≠∂∂∂∂相反数则2=AC-B 0∆<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7) 行列式0000000ab a bcd c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a d b c - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列000000000000a b a b a b a b a cd c b c d dcdc d=--()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的 ( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.)⇒ 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.故选A二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)12125dx x x -∞=++⎰__________.【答案】38π【解析】()111221111arctan 252214132428x dx dx x x x -∞-∞-∞+==++++⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰πππ(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________. 【答案】1【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈，且为偶函数则()()[]'212,0f x x x =--∈-，又()22f x x x c =--+且为奇函数，故=0c()[]222,0f x x x x ∴=--∈-，又()f x Q 的周期为4，()()711f f ∴=-= (11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.【答案】1()2dx dy -+ 【解析】对2274yzex y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导22210(22)20yzyz z z e y x x z z e z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当11,22x y ==时,0z = 故1111(,)(,)222211,22z z x y∂∂=-=-∂∂故11(,)22111()()222dzdx dy dx dy =-+-=-+(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】22y x =-+ππ【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==⎧⎨==⎩θθθθθθ，于是(),,,22r ⎛⎫=⎪⎝⎭ππθ对应于(),0,,2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭π 切线斜率cos sin cos sin dydy d dx dx d +==-θθθθθθθθ0,22dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭∴=-ππ所以切线方程为()202y x -=--ππ即2=2y x -+ππ(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________. 【答案】1120【解析】质心横坐标()()1010x x dx x x dx=⎰⎰ρρ()()()()31122100042112310005=2133211=2143212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ρρ111112=5203x ∴=(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xtx t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim[(e 1)]xx x x →+∞=--12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小值.【解析】由221x y y y ''+=-，得22(1)1y y x '+=-………………………………………………………①此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为331133y y x x c +=-+ 由(2)0y =得23c =又由①可得 221()1x y x y -'=+当()0y x '=时，1x =±，且有：1,()011,()01,()0x y x x y x x y x '<-<'-<<>'><所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值 (1)0,(1)1y y -==即：()y x 的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y xy x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则：D D=⎰⎰12D D I dxdy ∴==⎢⎥⎣⎦⎰⎰1sin(2Ddxdy =⎰⎰π 2201211sin 21()cos 4d r rdrrd r =⋅=-⎰⎰⎰πθππππ22111cos |cos 4r r rdr ⎡⎤=-⋅-⎢⎥⎣⎦⎰ππ211121sin |4r ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ππ34=-(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,xz f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， ()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂，代入得， ()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,xe y t 得()()4f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+设特解*y at b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4t ty f t c e c e t -=+-由()()'00,00f f ==，得1211,1616c c ==-, 则 ()22111=16164u u y f u e e u -=--.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：（I ）0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,（II ）()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.【解析】（I ）由积分中值定理()()(),[,]xag t dt g x a a x =-∈⎰ξξ()01g x ≤≤Q ，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ()()0xa g t dt x a ∴≤≤-⎰（II ）直接由()01g x ≤≤，得到()()01=x xaag t dt dt x a ≤≤-⎰⎰（II ）令()()()()()ua u a g t dt aaF u f x g x dx f x dx +⎰=-⎰⎰()()()()()()()()()()'uaua F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由（I ）知()()0u ag t dt u a ≤≤-⎰ ()uaa a g t dt u ∴≤+≤⎰又由于()f x 单增，所以()()()0u af u f ag t dt -+≥⎰()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立. (20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===L L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x xf x f x f x f x x x x nx====++++L 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx+-∴===++⎰⎰⎰1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++⎰⎰ 211ln(1)n n n=-+ ln(1)ln(1)1lim 1lim 1lim 1lim 1n n n x x n x nS n x x→∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fy y∂=+∂,所以2(,)2(),f x y y y x =++ϕ其中()x ϕ为待定函数. 又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--ϕ，从而()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为()()2221122112ln ln 22V y dx x xdxx xd x =+=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰πππ22211221ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.444x x x x dxx x ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰πππππππ(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭,(I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L LM M M M L 与00100200n ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L 相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M L L M ，()12001B n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭LM =，则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T L ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量；故A 相似于对角阵=0n ⎛⎫⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭O .B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B .2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

2014-2015《概率论与数理统计》试卷答案

12014学年第一学期《概率率与数理统计》（A 卷）标准答案和评分标准一、选择题1. D2. C3. A4. D5. D6. C7. B8. B9. D 10. B 二、填空题1. 0.12. 0.73. 2e -，,0()0,0x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩ 4. 4/5或0.85. 2(2)1Φ-或(2)(2)Φ-Φ-6. 4，127. 7， 8三、1.解：设123,,A A A 分别表示被保险人为“谨慎型”、“一般型”和“冒失型”，B 表示被保险人在一年内出了事故。

（1分）依题意，有 123()0.2,()0.5,()0.3P A P A P A ===， 111(|)0.05,(|)0.1,(|)0.3P B A P B A P B A ===，（2分）所以，由贝叶斯公式可得（1分）1111112233()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++ （4分） 0.20.0510.06670.20.050.50.10.30.315⨯===⨯+⨯+⨯ （2分） 2.解：根据题意，X 可能的取值有1，2，3，（1分）取值的概率分别为13241(1)2C P X C ===，12241(2)3C P X C ===，2411(3)6P X C ===故X (6分）11113(21)(211)(221)(231) 4.332363E X +=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== （3分）3.解：（1）由120()d d 13cf x x cx x +∞-∞===⎰⎰ 知3c =；（2分）（2）当0x ≤ 时，()()d 0d 0x xF x f x x x -∞-∞===⎰⎰；当01x <≤ 时，230()()d 3d xxF x f x x x x x -∞===⎰⎰；当1x > 时，120()()d 3d 1x F x f x x x x -∞===⎰⎰；所以30,0,(),0 1.1, 1.x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩（4分）2（3）1203()()30.754E X xf x dx x x dx +∞-∞==⋅==⎰⎰ （2分）1222203()()30.65E X x f x d x x x d x +∞-∞==⋅==⎰⎰ （2分） 223()()[()]0.37580D XE X E X =-== （2分）（4）解法一：因为1Y X =-是严格单调的函数，所以当01y <<时，即，01x <<时，2()(1)(1)3(1)Y X f y f y y y '=--=- 当Y 为其他值时， ()(1)(1)0Y X f y f y y '=--= 所以,1Y X =-的密度函数为：⎩⎨⎧<<-=其他,010,)1(3)(2y y y f Y （4分）解法二：1Y X =-的分布函数()Y F y 为()()(1)(1)Y F y P Y y P X y P X y =<=-<=>-1(1)1(1),X P X y F y =-≤-=--而其它100)1(3)1()]1(1[)()(2<<⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--==y y y f y F dy d dy y dF y f X X Y Y （4分）四、1. 解：矩法估计，因为1()xxxxE X xe dx xdexee dx θθθθμθ+∞+∞+∞----+∞===-=-+⎰⎰⎰0xeθθθ-+∞=-=或因为1XE θ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()E X μθ== （4分）由矩法估计ˆX μ= ，所以ˆX θ=。

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上海海洋大学试卷
（注：本试卷允许使用计算器）
诚信考试承诺书
本人郑重承诺：
我已阅读且透彻理解了“上海海洋大学学生考场规则”和“上海海洋大学学生违反校纪校规处理规定”，承诺在考试中自觉遵守，如有违反，按有关条款接受处理。

承诺人签名：日期：
考生姓名：学号：专业班名：一、选择题（每小题3分，共18分）
1．若对两事件A,B 有P()0B >，P(|)0A B =，则 ( ) A ．事件A,B 互不相容 B. AB 必为不可能事件 C ．AB 未必为不可能事件 D. P(A)=0或P(B)=0
2．以下数列中，可以成为某一离散型随机变量的分布律的是 ( )
A. 1-)3
2(31k ，k =1, 2,… B. k )21(，k =0, 1, 2,…
C.
-1
12(-)33
k ，k =0 ,1, 2,… D.
2
1212121,,,… 3. 已知随机变量X 的数学期望E(X)存在，则下列等式中不一定成立的是 ( ) A. E[E(X)] = E(X ) B. 2
2
)]([)(X E X E = C. E[X-E(X)] = 0 D. E[X+E(X)] = 2E(X )
4．X 服从正态分布，∑===-=n
i i X n X X E X E 1
2
141,)(,)(是来自总体X 的样本均值，
则X 服从的分布是 ( )
A. ),(n N 31-
B. ),(n N 41-
C. ),(41n N -
D. ),(n
n N 31-
5．设12,,,n X X X 为正态总体2(0,2)N 的一个样本，X 表示样本均值。

则μ的置信度为
1α-()01α<<的置信区间为 ( )
A.
2
2(x u x u α
α-+
B. 112
2(x u
x u αα-
--+
C. (x u x u α
α-+
D. 2
2
(x u x u α
α-+ 6. 在假设检验问题中，显著性水平α的意义是 ( )
A. 在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率
B. 在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率
C. 在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率
D. 在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率二、填空题（每小题3分，共18分）
1．从数字1,2,3,4,5中取3次每次一个数字（取后放回），结果形成一个三位数，则这个三位数中不含数字5的概率为______________.
2．设X~U (1,4)，Y~N (2, 4)，则E (X +Y )= ______________.
3．设P (A )=0.3，P (B )=0.2，若A 与B 互不相容，则P (A ∩B )=______________ 4．设随机变量X 的分布函数为F(x)，它的分布律：
则F(2)=____________.
5．设总体X ~N (μ,σ2)(σ>0)，123,,X X X 为来自该总体的样本，若12311
23
X aX X μ=++
是参数μ无偏估计，则常数a ＝______.
6. 某电话交换台在时间［0，t ］内接到的电话呼唤次数服从参数为5的泊松分布，则在［0，t ］内接到的平均呼唤次数为_________. 三、计算与解答题（共64分）
1.（1０分）病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为0.8，若浇水则树死去的概率为0.15，有0.9的把握确定邻居会记得浇水. 求：(1)求主人回来树还活着的概率；
(2)若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率.
2. (12分) 设连续型随机变量X 的分布函数()F x 为
2
0,0()0111
x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩
（1）求A 的值；（2）X 落在区间(0.3,0.7)内的概率；（3）求X 的概率密度函数.
3.（10分）设长方形的长（以m 计）)2,0(~U X ，已知长方形的周长（以m 计）为20，求长方形面积A 的数学期望和方差.
4.（12分）一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于
3的概率为1=p ，若
船舶遭受了1800次波浪冲击，问其中有700~600次纵摇角大于
3的概率是多少？（1)5(=Φ）
5.（10分）设总体X 的密度函数为(,)f x θ，
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=-.,010,)(1其他x x x f θθ
12,,,n X X X 为其样本，12,,,n x x x 是一组样本值，求θ的极大似然估计量.
6.（10分）按规定, 100g 罐头番茄汁中的平均维生素C 含量不得少于21mg/g ，先从工厂的产品中抽取17个罐头，其100g 番茄汁中，测得维生素C 含量（mg/g ）记录如下：
样本均值20x =，样本标准差 3.984s =；
设维生素含量服从正态分布2
(,)N μσ，2
,μσ均未知，问这批罐头是否符合要求（取显著性水平
0.05α=，0.05(16) 1.7459t =,0.1(16) 1.3368t =,0.05(17) 1.7396t =,0.1(17) 1.3334t =）。